Was ist ein zusätzlicher Multiplikator. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Laden Sie das Video-Tutorial "Brüche auf einen gemeinsamen Nenner kürzen" herunter

Dieser Artikel erklärt, wie man den kleinsten gemeinsamen nenner findet und wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Zuerst werden die Definitionen des gemeinsamen Nenners von Brüchen und des kleinsten gemeinsamen Nenners gegeben, und es wird auch gezeigt, wie man den gemeinsamen Nenner von Brüchen findet. Das Folgende ist eine Regel zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner und Beispiele für die Anwendung dieser Regel werden betrachtet. Abschließend werden Beispiele analysiert, wie man drei oder mehr Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

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Was heißt Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen?

Jetzt können wir sagen, was es heißt, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen ist die Multiplikation der Zähler und Nenner gegebener Brüche mit solchen zusätzlichen Faktoren, dass Brüche mit gleichem Nenner entstehen.

Gemeinsamer Nenner, Definition, Beispiele

Jetzt ist es an der Zeit, den gemeinsamen Nenner von Brüchen zu definieren.

Mit anderen Worten, der gemeinsame Nenner einiger gewöhnlicher Brüche ist jede natürliche Zahl, die durch alle Nenner dieser Brüche teilbar ist.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass diese Menge von Brüchen unendlich viele gemeinsame Nenner hat, da es unendlich viele gemeinsame Vielfache aller Nenner der ursprünglichen Menge von Brüchen gibt.

Das Bestimmen des gemeinsamen Nenners von Brüchen ermöglicht es dir, die gemeinsamen Nenner von gegebenen Brüchen zu finden. Nehmen wir zum Beispiel die Brüche 1/4 und 5/6 an, deren Nenner 4 bzw. 6 sind. Die positiven gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 sind die Zahlen 12, 24, 36, 48, ... Jede dieser Zahlen ist der gemeinsame Nenner der Brüche 1/4 und 5/6.

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung des folgenden Beispiels.

Beispiel.

Ist es möglich, die Brüche 2/3, 23/6 und 7/12 auf einen gemeinsamen Nenner von 150 zu bringen?

Lösung.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir herausfinden, ob die Zahl 150 ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 3, 6 und 12 ist. Prüfen Sie dazu, ob 150 durch jede dieser Zahlen ohne Rest teilbar ist (siehe ggf. die Regeln und Beispiele zur Division natürlicher Zahlen sowie die Regeln und Beispiele zur Division natürlicher Zahlen mit Rest): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (rest. 6) .

So, 150 ist nicht durch 12 teilbar, also ist 150 kein gemeinsames Vielfaches von 3, 6 und 12. Daher kann die Zahl 150 kein gemeinsamer Nenner der ursprünglichen Brüche sein.

Antworten:

Es ist verboten.

Der kleinste gemeinsame Nenner, wie finde ich ihn?

In der Menge der Zahlen, die gemeinsame Nenner dieser Brüche sind, gibt es die kleinste natürliche Zahl, die als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet wird. Lassen Sie uns die Definition des kleinsten gemeinsamen Nenners dieser Brüche formulieren.

Definition.

Kleinster gemeinsamer Nenner ist die kleinste Zahl aller gemeinsamen Nenner dieser Brüche.

Bleibt noch die Frage, wie man den kleinsten gemeinsamen Teiler findet.

Da der kleinste positive gemeinsame Teiler einer bestimmten Menge von Zahlen ist, ist das LCM der Nenner dieser Brüche der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche.

Somit wird das Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners von Brüchen auf die Nenner dieser Brüche reduziert. Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Beispiel.

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von 3/10 und 277/28.

Lösung.

Die Nenner dieser Brüche sind 10 und 28. Der gesuchte kleinste gemeinsame Nenner findet sich als LCM der Zahlen 10 und 28. In unserem Fall ist es einfach: da 10=2 5 und 28=2 2 7 , dann LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .

Antworten:

140 .

Wie bringt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Regel, Beispiele, Lösungen

Gemeinsame Brüche führen in der Regel zum kleinsten gemeinsamen Nenner. Jetzt schreiben wir eine Regel auf, die erklärt, wie man Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringt.

Die Regel zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner besteht aus drei Schritten:

• Finde zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche.
• Zweitens wird für jeden Bruch ein zusätzlicher Faktor berechnet, für den der kleinste gemeinsame Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.
• Drittens werden Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor multipliziert.

Wenden wir die angegebene Regel auf die Lösung des folgenden Beispiels an.

Beispiel.

Kürze die Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Lösung.

Lassen Sie uns alle Schritte des Algorithmus zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ausführen.

Zuerst finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner, der gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 14 und 18 ist. Da 14=2 7 und 18=2 3 3 , dann LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Nun berechnen wir weitere Faktoren, mit deren Hilfe die Brüche 5/14 und 7/18 auf den Nenner 126 gebracht werden. Für den Bruch 5/14 beträgt der zusätzliche Faktor 126:14=9 und für den Bruch 7/18 beträgt der zusätzliche Faktor 126:18=7 .

Es bleibt, die Zähler und Nenner der Brüche 5/14 und 7/18 mit zusätzlichen Faktoren von 9 bzw. 7 zu multiplizieren. Wir haben und .

Damit ist die Kürzung der Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner abgeschlossen. Das Ergebnis waren die Fraktionen 45/126 und 49/126.

Ursprünglich wollte ich gemeinsame Nennermethoden in den Abschnitt "Addieren und Subtrahieren von Brüchen" aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn Sie gerade erst anfangen, Brüche zu lernen, ist es besser, mit dieser Methode zu arbeiten – so sichern Sie sich gegen viele Fehler ab und erhalten garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen ist nicht unbedingt gleich dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie dies bei der "Kreuzmethode" angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt 8 12 = 96 .

Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) genannt.

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b wird mit LCM(a ; b ) bezeichnet. Zum Beispiel LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist üblich. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner herausstellte:

1. Nachdem wir dieselben Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.

Um zu sehen, wie viel Gewinn die Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.

Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche nicht in echten Beispielen vorkommen werden. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal wird alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hier werden wir darauf nicht eingehen.