Einführungstechnik der Newton-Leibniz-Formel. Berechnung eines bestimmten Integrals. Newton-Leibniz-Formel. Teilweise Integration bei der Berechnung eines bestimmten Integrals
Vorschau:
Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Google-Konto (Konto) und melden Sie sich an: https://accounts.google.com
Beschriftungen der Folien:
Integral. Newton-Leibniz-Formel. Herausgeber: Mathematiklehrer GOUNPO PU Nr. 27 S. Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna
Der Zweck der Lektion: Einführung in das Konzept eines Integrals und seine Berechnung mit der Newton-Leibniz-Formel unter Verwendung der Kenntnis der Stammfunktion und der Regeln für ihre Berechnung; Veranschaulichen Sie die praktische Anwendung des Integrals anhand von Beispielen zur Ermittlung der Fläche eines krummlinigen Trapezes; Vertiefen Sie das Gelernte durch die Übungen.
Definition: Gegeben sei eine positive Funktion f(x), definiert auf einer endlichen Strecke [ a;b ] . Das Integral einer Funktion f(x) auf [ a;b ] ist die Fläche ihres krummlinigen Trapezes. y=f(x) b ein 0 x y
Bezeichnung: „Integral von a nach b ef von x de x“
Historischer Bezug: Die Bezeichnung des Integrals Leibniz leitet sich vom Anfangsbuchstaben des Wortes „Summa“ (Summa) ab. Newton bot in seinen Werken keine alternative Symbolik des Integrals an, obwohl er verschiedene Optionen ausprobierte. Der Begriff Integral wurde von Jacob Bernoulli geprägt. Summa Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli
Die Notation für das unbestimmte Integral wurde von Euler eingeführt. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler Fourier erfand die Formulierung eines bestimmten Integrals in der uns bekannten Form.
Newton - Leibniz-Formel
Beispiel 1. Berechnen Sie das bestimmte Integral: = Lösung:
Beispiel 2. Berechnen Sie bestimmte Integrale: 5 9 1
Beispiel 3 . S y x Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch Linien und die x-Achse begrenzt ist. Lassen Sie uns zuerst die Schnittpunkte der x-Achse mit dem Graphen der Funktion finden. Dazu lösen wir die Gleichung. = Lösung: S =
y x S A B D C Beispiel 4 . Berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur und finden Sie die Schnittpunkte (Abszissen) dieser Linien, indem Sie die Gleichung S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4,5 = 4,5 lösen
REGELN VON SINQWINE 1 Zeile - das Thema von Syncwine 1 Wort 2 Zeile - 2 Adjektive, die die Merkmale und Eigenschaften des Themas beschreiben 3 Zeile - 3 Verben, die die Art der Aktion beschreiben 4 Zeile - ein kurzer Satz von 4 Wörtern, der Ihre persönliche Einstellung zum Ausdruck bringt das Thema 5 Zeile - 1 Wort, ein Synonym oder Ihre Assoziation mit dem Thema des Themas .
Integral 2. Bestimmt, positiv Zählen, addieren, multiplizieren 4. Berechnen mit der Newton-Leibniz-Formel 5. Fläche
Liste der verwendeten Literatur: Lehrbuch Kolmagorov A.N. und andere Algebra und der Beginn der Analyse 10 - 11 Zellen.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! „TALENT ist 99 % Arbeit und 1 % Fähigkeit“ Volksweisheit
Beispiel 1. Berechnen Sie das bestimmte Integral: = Lösung: Beispiel 4
Vorschau:
Fach: Mathematik (Algebra und Beginn der Analysis), Klasse: 11. Klasse.
Unterrichtsthema: "Integral. Newton-Leibniz-Formel.
Unterrichtstyp: Neues Material lernen.
Unterrichtsdauer: 45 Minuten.
Unterrichtsziele: Einführung in das Konzept eines Integrals und seine Berechnung mit der Newton-Leibniz-Formel unter Verwendung der Kenntnis der Stammfunktion und der Regeln für ihre Berechnung; veranschaulichen die praktische Anwendung des Integrals an Beispielen zur Ermittlung der Fläche eines krummlinigen Trapezes; festigen, was Sie in den Übungen gelernt haben.
Unterrichtsziele:
Lehrreich:
- den Begriff eines Integrals bilden;
- Bildung von Fähigkeiten zur Berechnung eines bestimmten Integrals;
- die Bildung von Fähigkeiten in der praktischen Anwendung des Integrals, um die Fläche eines krummlinigen Trapezes zu finden.
Entwicklung:
- Entwicklung des kognitiven Interesses der Schüler, Entwicklung der mathematischen Sprache, Beobachtungs-, Vergleichs- und Schlussfolgerungsfähigkeit;
- Interesse am Thema mit Hilfe von IKT entwickeln.
Lehrreich:
- zur Intensivierung des Interesses an der Gewinnung neuer Erkenntnisse, der Bildung von Genauigkeit und Genauigkeit bei der Berechnung des Integrals und der Ausführung von Zeichnungen.
Ausrüstung: PC, Betriebssystem Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; Multimedia-Projektor, Leinwand.
Literatur: Lehrbuch Kolmagorova A.N. und andere Algebra und der Beginn der Analyse 10-11 Zellen.
Technologien: IKT, individuelles Lernen.
WÄHREND DER KLASSEN
Unterrichtsphase | Lehrertätigkeit | Studentische Aktivitäten | Zeit |
|
Einführung | ||||
Zeit organisieren | Begrüßt, prüft die Bereitschaft der Schüler für den Unterricht, organisiert die Aufmerksamkeit. Gibt eine Zusammenfassung aus. | Hören Sie, schreiben Sie das Datum auf. | 3 Minuten |
|
Über das Thema und die Ziele der Lektion berichten | Aktualisierung von Basiswissen und subjektivem Erleben mit Zugang zu den Unterrichtszielen. | Hören Sie zu, schreiben Sie das Thema der Lektion in ein Notizbuch.Aktiv an geistiger Aktivität beteiligt. Analysieren, vergleichen, Schlussfolgerungen ziehen mit Zugang zu den Zielen der Lektion. | Präsentation IKT 3 Minuten |
|
Hauptteil des Unterrichts Eine Präsentation von neuem Material mit einem bestandenen Test des Wissens über vergangene Themen. | ||||
Definition des Integrals (Folie 3) | Gibt eine Definition. IKT Was ist ein krummliniges Trapez? | Eine Figur, die durch einen Funktionsgraphen, eine Strecke und gerade Linien x=a und x=b begrenzt ist. | 10 Minuten |
|
Integralschreibweise (Folie 4) | Führt die Notation für das Integral ein und wie es gelesen wird. | Hör zu Schreib. | ||
Geschichte des Integrals (Folien 5 und 6) | Erzählt die Geschichte des Begriffs "Integral". | Hör zu, mach Notizen. | ||
Newton-Leibniz-Formel (Folie 7) | Gibt die Newton-Leibniz-Formel an. Wofür steht F in der Formel? | Hören Sie zu, machen Sie Notizen, beantworten Sie Fragen des Lehrers. Primitive. | ||
Der letzte Teil der Lektion. | ||||
Fixieren des Materials. Lösen von Beispielen mit dem studierten Material | ||||
Beispiel 1 (Folie 8) | Analysiert die Lösung des Beispiels und stellt Fragen zum Finden von Stammfunktionen für Integranden. | Hören Sie zu, schreiben Sie auf, zeigen Sie Kenntnisse der Stammfunktionstabelle. | 20 Minuten |
|
Beispiel 2 (Folie 9). Beispiele für Schüler zum selbstständigen Lösen. | Steuert die Lösung von Beispielen. | Führen Sie die Aufgabe der Reihe nach aus und kommentieren Sie (Individuelle Lerntechnologie), einander zuhören, aufschreiben, Wissen zu vergangenen Themen zeigen. | ||
Beispiel 3 (Folie 10) | Analysiert die Lösung des Beispiels. Wie finde ich die Schnittpunkte der Abszissenachse mit dem Graphen einer Funktion? | Hören Sie zu, beantworten Sie Fragen, zeigen Sie Wissen über vergangene Themen, schreiben Sie auf. Setze den Integranden mit 0 gleich und löse die Gleichung. | ||
Beispiel 4 (Folie 11) | Analysiert die Lösung des Beispiels. Wie finde ich die Schnittpunkte (Abszissen) von Funktionsgraphen? Bestimmen Sie die Art des Dreiecks ABC. Welchen Flächeninhalt hat ein rechtwinkliges Dreieck? | Hör zu, beantworte Fragen. Setze die Funktionen einander gleich und löse die resultierende Gleichung. Rechteckig. wobei a und b die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind. | ||
Zusammenfassung der Lektion (Folien 12 und 13) | Organisiert die Arbeit am Kompilieren von Syncwine. | Beteiligen Sie sich an der Zusammenstellung von Syncwine. Analysieren, vergleichen, Rückschlüsse auf das Thema ziehen. | 5 Minuten. |
|
Hausaufgaben nach Schwierigkeitsgrad. | Gibt Hausaufgaben und erklärt. | Hör zu Schreib. | 1 Minute. |
|
Bewertung der Arbeit der Schüler im Unterricht. | Bewertet die Arbeit der Schüler im Unterricht, analysiert. | Hör mal zu. | 1 Minute |
Vorschau:
Referenz-Abstract zum Thema „Integral. Newton-Leibniz-Formel.
Definition: Gegeben sei eine positive Funktion f(x) , definiert auf einem endlichen Segment .Das Integral der Funktion f(x) onist die Fläche seines krummlinigen Trapezes. | ||
Bezeichnung: Liest: "Integral von a nach b ef von x de x" | ||
Newton - Leibniz-Formel | ||
Beispiel 1 Berechnen Sie das bestimmte Integral: Lösung: | ||
Beispiel 3. und die x-Achse. Lösung: | ||
Beispiel 3 Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur und . |
Newton Leibniz ist ein deutscher Philosoph, der am 1. Juli 1646 geboren wurde. Neben der Philosophie faszinierten ihn die exakten Wissenschaften. Er zeichnete sich in Logik, Mathematik, Mechanik, Physik, Geschichte, Diplomatie und Mechanik aus. Newton gilt auch als Erfinder und Linguist. Er war der Gründer und der erste, der die Akademie der Wissenschaften in Berlin leiten konnte. Leibniz nahm als ausländisches Mitglied einen Ehrenplatz in der Französischen Akademie der Wissenschaften ein.
Als wichtigste wissenschaftliche Leistungen von Leibniz gelten:
Erstellung mathematischer Analysen. Der Kalkül ist Differential- und Integralrechnung, die er auf Infinitesimalzahlen basiert.
Mit seiner Hilfe wurde der Grundstein der mathematischen Logik gelegt.
Die Wissenschaft der Kombinatorik.
Binäres Zahlensystem mit den Zahlen 0 und 1. Jetzt basiert die gesamte moderne Technologie darauf.
Für die Psychologie gab es einen sehr wichtigen Beitrag, wie das Konzept der unbewussten kleinen Wahrnehmungen. Außerdem erschien die Lehre vom unbewussten Seelenleben.
Er enthüllte das Energieerhaltungsgesetz und führte den Begriff der Arbeitskraft ein.
Newton gilt als Finalist der Philosophie des 17. Jahrhunderts. Er wurde der Vorfahre eines neuen Systems und gab ihm einen Namen - Monadologie. Neben Leistungen in der Philosophie konnte er die Lehre der Synthese und Analyse identifizieren. Leibniz hat es als das Gesetz des zureichenden Grundes formuliert. Wie er feststellte, ging all dies nicht nur vom Denken und der Logik aus, sondern auch vom Sein und der Ontologie. Dem Philosophen kann die Urheberschaft der modernen Formulierung des Identitätsgesetzes zugeschrieben werden. Er war es, der das Verständnis des Begriffs "Modell" in die Welt getragen hat.
Leibniz schrieb in seinen Schriften über die Vielfalt maschineller Simulationsmöglichkeiten im menschlichen Gehirn. Wie sich herausstellte, hat es eine große Anzahl von Funktionen. Es war dieser Wissenschaftler, der der Welt als erster die Idee vor Augen führte, dass einige Arten von Energie auf andere übertragen werden können. Diese Studien haben einen großen Beitrag zur Physik geleistet. Das wichtigste und berühmteste Werk seines Lebens war natürlich die Formel. Sie nannten es die Newton-Leibniz-Formel.
Newton-Leibniz-Formel
Es sei eine stetige Funktion f auf einem Segment der Ox-Achse gegeben. Wir nehmen an, dass diese Funktion ihr Vorzeichen auf dem gesamten Intervall nicht ändert.
Wenn f eine kontinuierliche und nicht negative Funktion auf einem bestimmten Segment ist und F einige seiner Stammfunktionen auf diesem Segment ist, dann ist die Fläche des krummlinigen Trapezes S gleich dem Inkrement der Stammfunktion auf diesem Segment.
Dieser Satz lässt sich in die folgende Formel schreiben:
S = F(b) – F(a)
Das Integral der Funktion f(x) von a nach b ist gleich S. Hier und im Folgenden verwenden wir die folgende Notation, um das bestimmte Integral einer Funktion f(x) mit Integrationsgrenzen von a nach b zu bezeichnen (a;b)∫f(x). Unten ist ein Beispiel dafür, wie es aussehen würde.
Wir können diese beiden Ergebnisse also gleichsetzen. Wir erhalten: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), vorausgesetzt, dass F eine Stammfunktion für die Funktion f auf ist. Diese Formel heißt Newton-Leibniz-Formel. Es gilt für jede stetige Funktion f auf dem Intervall.
Zur Berechnung von Integralen wird die Newton-Leibniz-Formel verwendet. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:
Beispiel 1: Berechnung des Integrals. Wir finden die Stammfunktion für den Integranden x2. Eine der Stammfunktionen wird die Funktion (x3)/3 sein.
Nun verwenden wir die Newton-Leibniz-Formel:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Antwort: (-1;2)∫x2dx = 3.
Beispiel 2: Berechnen Sie das Integral (0;pi)∫sin(x)dx.
Finden Sie die Stammfunktion für den Integranden sin(x). Eine der Stammfunktionen wird die –cos(x)-Funktion sein. Nehmen wir die Newton-Leibniz-Formel:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Antwort: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Manchmal wird zur Vereinfachung und Bequemlichkeit der Notation das Inkrement der Funktion F auf dem Segment (F(b)-F(a)) wie folgt geschrieben:
Unter Verwendung dieser Notation für das Inkrement kann die Newton-Leibniz-Formel wie folgt umgeschrieben werden:
Wie oben erwähnt, ist dies nur eine Abkürzung für eine einfachere Aufnahme, nichts anderes wird durch diese Aufnahme beeinflusst. Diese Notation und die Formel (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) sind äquivalent.
Diese Formel wird immer noch von einer großen Anzahl von Wissenschaftlern und Rechnern verwendet. Mit seiner Hilfe hat Leibniz viele Wissenschaften weiterentwickelt.
Die Lösung angewandter Probleme wird auf die Berechnung des Integrals reduziert, was jedoch nicht immer genau möglich ist. Manchmal ist es notwendig, den Wert eines bestimmten Integrals mit einer gewissen Genauigkeit zu kennen, beispielsweise auf ein Tausendstel.
Es gibt Aufgaben, bei denen es notwendig wäre, den Näherungswert eines bestimmten Integrals mit der erforderlichen Genauigkeit zu finden, dann wird numerische Integration verwendet, z. B. die Simposn-Methode, Trapeze, Rechtecke. Nicht in allen Fällen können wir es mit einer gewissen Genauigkeit berechnen.
Dieser Artikel betrachtet die Anwendung der Newton-Leibniz-Formel. Dies ist für die exakte Berechnung des bestimmten Integrals notwendig. Es werden detaillierte Beispiele gegeben, die Änderung der Variablen im bestimmten Integral betrachtet und die Werte des bestimmten Integrals bei der partiellen Integration ermittelt.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Newton-Leibniz-Formel
Bestimmung 1Wenn die Funktion y = y (x) vom Segment [ a ; b ], und F (x) ist dann eine der Stammfunktionen der Funktion dieses Segments Newton-Leibniz-Formel als gerecht angesehen. Schreiben wir es so ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Diese Formel wird berücksichtigt die Grundformel der Integralrechnung.
Um diese Formel zu beweisen, ist es notwendig, das Konzept eines Integrals mit der verfügbaren Variablenobergrenze zu verwenden.
Wenn die Funktion y = f (x) vom Segment [ a ; b ] , dann der Wert des Arguments x ∈ a ; b , und das Integral hat die Form ∫ a x f (t) d t und wird als Funktion der Obergrenze betrachtet. Es ist notwendig zu akzeptieren, dass die Notation der Funktion die Form ∫ a x f (t) d t = Φ (x) annehmen wird, sie ist stetig, und die Ungleichung der Form ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) gilt dafür.
Wir legen fest, dass das Inkrement der Funktion Φ (x) dem Inkrement des Arguments ∆ x entspricht, es ist notwendig, die fünfte Haupteigenschaft eines bestimmten Integrals zu verwenden und zu erhalten
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
wobei Wert c ∈ x ; x + ∆x .
Wir legen die Gleichheit in der Form Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) fest. Bei der Definition der Ableitung einer Funktion ist es notwendig, zum Grenzwert als ∆ x → 0 zu gehen, dann erhalten wir eine Formel der Form, die auf [ a ; b ] steht. Andernfalls kann der Ausdruck geschrieben werden
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , wobei der Wert von C konstant ist.
Lassen Sie uns F (a) berechnen, indem wir die erste Eigenschaft des bestimmten Integrals verwenden. Dann bekommen wir das
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , also C = F (a) . Das Ergebnis gilt für die Berechnung von F (b) und wir erhalten:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , mit anderen Worten, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (ein) . Gleichheit beweist die Newton-Leibniz-Formel ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Das Inkrement der Funktion wird als F x a b = F (b) - F (a) angenommen. Mit Hilfe der Notation wird die Newton-Leibniz-Formel zu ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Um die Formel anwenden zu können, muss man eine der Stammfunktionen y = F (x) des Integranden y = f (x) aus der Strecke [ a ; b ] , berechnen Sie das Inkrement der Stammfunktion aus diesem Segment. Betrachten Sie einige Beispiele für Berechnungen mit der Newton-Leibniz-Formel.
Beispiel 1
Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫ 1 3 x 2 d x mit der Newton-Leibniz-Formel.
Lösung
Bedenken Sie, dass der Integrand der Form y = x 2 vom Intervall [ 1 ; 3 ] , dann ist und auf diesem Intervall integrierbar. Gemäß der Tabelle der unbestimmten Integrale sehen wir, dass die Funktion y \u003d x 2 eine Reihe von Stammfunktionen für alle reellen Werte von x hat, was bedeutet, dass x ∈ 1; 3 wird geschrieben als F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Es ist notwendig, die Stammfunktion mit C \u003d 0 zu nehmen, dann erhalten wir das F (x) \u003d x 3 3.
Lassen Sie uns die Newton-Leibniz-Formel verwenden und erhalten, dass die Berechnung des bestimmten Integrals die Form ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 annehmen wird.
Antworten:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Beispiel 2
Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x mit der Newton-Leibniz-Formel.
Lösung
Die gegebene Funktion ist stetig vom Segment [ - 1 ; 2 ], was bedeutet, dass es darauf integrierbar ist. Es ist notwendig, den Wert des unbestimmten Integrals ∫ x e x 2 + 1 d x mit der Methode der Summation unter dem Differentialzeichen zu finden, dann erhalten wir ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.
Damit haben wir eine Menge Stammfunktionen der Funktion y = x · e x 2 + 1 , die für alle x , x ∈ − 1 gelten; 2.
Es ist notwendig, die Stammfunktion bei C = 0 zu nehmen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden. Dann erhalten wir einen Ausdruck der Form
∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Antworten:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Beispiel 3
Berechnen Sie die Integrale ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x und ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Lösung
Segment - 4; - 1 2 besagt, dass die Funktion unter dem Integralzeichen stetig, also integrierbar ist. Von hier aus finden wir die Menge der Stammfunktionen der Funktion y = 4 x 3 + 2 x 2 . Das verstehen wir
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Es ist notwendig, die Stammfunktion F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x zu nehmen, dann erhalten wir unter Anwendung der Newton-Leibniz-Formel das Integral, das wir berechnen:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Wir gehen zur Berechnung des zweiten Integrals über.
Aus dem Segment [-1; 1 ] haben wir, dass der Integrand als unbeschränkt gilt, denn lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , dann folgt daraus eine notwendige Bedingung für die Integrierbarkeit aus dem Segment. Dann ist F (x) = 2 x 2 - 2 x keine Stammfunktion für y = 4 x 3 + 2 x 2 aus dem Intervall [ - 1 ; 1 ] , da der Punkt O zum Segment gehört, aber nicht im Definitionsbereich enthalten ist. Das heißt, es gibt ein bestimmtes Integral von Riemann und Newton-Leibniz für die Funktion y = 4 x 3 + 2 x 2 aus dem Intervall [ - 1 ; eines ] .
Antwort: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, es gibt ein bestimmtes Integral von Riemann und Newton-Leibniz für die Funktion y = 4 x 3 + 2 x 2 aus dem Intervall [ - 1 ; eines ] .
Bevor Sie die Newton-Leibniz-Formel verwenden, müssen Sie genau wissen, dass es ein bestimmtes Integral gibt.
Änderung der Variablen in einem bestimmten Integral
Wenn die Funktion y = f (x) definiert und aus dem Segment [ a ; b ] , dann die bestehende Menge [ a ; b ] wird als Bereich der Funktion x = g (z) betrachtet, die auf dem Intervall α definiert ist; β mit der bestehenden stetigen Ableitung, wobei g (α) = a und g β = b , daher erhalten wir ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Diese Formel wird verwendet, wenn es notwendig ist, das Integral ∫ a b f (x) d x zu berechnen, wobei das unbestimmte Integral die Form ∫ f (x) d x hat, wir berechnen mit der Substitutionsmethode.
Beispiel 4
Berechnen Sie ein bestimmtes Integral der Form ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Lösung
Der Integrand wird auf dem Integrationsintervall als stetig angesehen, was bedeutet, dass das bestimmte Integral existiert. Geben wir die Notation an, dass 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Der Wert x \u003d 9 bedeutet, dass z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, und für x \u003d 18 erhalten wir, dass z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, dann g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Setzen wir die erhaltenen Werte in die Formel ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z ein, erhalten wir das
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
Gemäß der Tabelle der unbestimmten Integrale haben wir, dass eine der Stammfunktionen der Funktion 2 z 2 + 9 den Wert 2 3 a r c t g z 3 annimmt. Wenn wir dann die Newton-Leibniz-Formel anwenden, erhalten wir das
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
Die Feststellung könnte ohne Verwendung der Formel ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z erfolgen.
Wenn die Ersetzungsmethode ein Integral der Form ∫ 1 x 2 x - 9 d x verwendet, dann können wir zu dem Ergebnis ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C gelangen.
Von hier aus führen wir Berechnungen mit der Newton-Leibniz-Formel durch und berechnen das bestimmte Integral. Das verstehen wir
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18
Die Ergebnisse stimmten überein.
Antwort: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Teilweise Integration bei der Berechnung eines bestimmten Integrals
Wenn auf dem Segment [ a ; b ] Funktionen u (x) und v (x) definiert und stetig sind, dann sind ihre Ableitungen erster Ordnung v " (x) u (x) integrierbar, also aus diesem Intervall für die integrierbare Funktion u " (x) v ( x) die Gleichheit ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x ist wahr.
Die Formel kann dann verwendet werden, es ist notwendig, das Integral ∫ a b f (x) d x zu berechnen, und ∫ f (x) d x war es notwendig, es durch partielle Integration zu finden.
Beispiel 5
Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Lösung
Die Funktion x sin x 3 + π 6 ist integrierbar auf dem Segment - π 2; 3 π 2 , also stetig.
Sei u (x) \u003d x, dann d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x und d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x und v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Aus der Formel ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x bekommen wir das
∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 Sünde π 2 + π 6 - Sünde - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Die Lösung des Beispiels kann auch auf andere Weise erfolgen.
Ermitteln Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion x sin x 3 + π 6 durch partielle Integration unter Verwendung der Newton-Leibniz-Formel:
∫ x Sünde x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = Sünde x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Antwort: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter
bestimmtes Integral aus einer stetigen Funktion f(x) auf dem endlichen Intervall [ a, b] (wobei ) das Inkrement einiger seiner Stammfunktionen auf diesem Segment ist. (Im Allgemeinen wird das Verständnis merklich einfacher, wenn Sie das Thema des unbestimmten Integrals wiederholen.) In diesem Fall die Notation
Wie in den folgenden Diagrammen zu sehen ist (das Inkrement der Stammfunktion wird durch angezeigt), Das bestimmte Integral kann entweder positiv oder negativ sein.(Er wird berechnet als die Differenz zwischen dem Wert der Stammfunktion in der oberen Grenze und ihrem Wert in der unteren Grenze, d.h. als F(b) - F(a)).
Zahlen a und b heißen untere bzw. obere Integrationsgrenze und das Intervall [ a, b] ist das Integrationssegment.
Also wenn F(x) ist eine Stammfunktion für f(x), dann ist laut Definition
(38)
Gleichheit (38) wird aufgerufen Newton-Leibniz-Formel . Unterschied F(b) – F(a) wird kurz so geschrieben:
Daher wird die Newton-Leibniz-Formel wie folgt geschrieben:
(39)
Beweisen wir, dass das bestimmte Integral nicht davon abhängt, welche Stammfunktion des Integranden bei seiner Berechnung genommen wird. Lassen F(x) und F( X) sind beliebige Stammfunktionen des Integranden. Da es sich um Stammfunktionen derselben Funktion handelt, unterscheiden sie sich durch einen konstanten Term: Ф( X) = F(x) + C. Deshalb
Somit wird festgestellt, dass auf dem Segment [ a, b] Inkremente aller Stammfunktionen der Funktion f(x) passen.
Um das bestimmte Integral zu berechnen, ist es daher notwendig, eine Stammfunktion des Integranden zu finden, d.h. Zuerst müssen Sie das unbestimmte Integral finden. Konstante AUS von weiteren Berechnungen ausgeschlossen. Dann wird die Newton-Leibniz-Formel angewendet: Der Wert der oberen Grenze wird in die Stammfunktion eingesetzt b , weiter - der Wert der unteren Grenze a und berechnen Sie die Differenz F(b) - F(a) . Die resultierende Zahl ist ein bestimmtes Integral..
Bei a = b per Definition akzeptiert
Beispiel 1
Lösung. Lassen Sie uns zuerst das unbestimmte Integral finden:
Anwendung der Newton-Leibniz-Formel auf die Stammfunktion
(bei AUS= 0), erhalten wir
Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals ist es jedoch besser, die Stammfunktion nicht separat zu finden, sondern das Integral gleich in die Form (39) zu schreiben.
Beispiel 2 Berechnen Sie ein bestimmtes Integral
Lösung. Mit der Formel
Eigenschaften des bestimmten Integrals
Satz 2.Der Wert des bestimmten Integrals hängt nicht von der Bezeichnung der Integrationsvariablen ab, d.h.
(40)
Lassen F(x) ist Stammfunktion für f(x). Zum f(t) ist die Stammfunktion dieselbe Funktion F(t), in der die unabhängige Variable anders bezeichnet wird. Folglich,
Nach Formel (39) bedeutet die letzte Gleichheit die Gleichheit der Integrale
Satz 3.Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen eines bestimmten Integrals genommen werden, d.h.
(41)
Satz 4.Das bestimmte Integral der algebraischen Summe endlich vieler Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der bestimmten Integrale dieser Funktionen, d.h.
(42)
Satz 5.Wenn das Integrationssegment in Teile geteilt wird, dann ist das bestimmte Integral über das gesamte Segment gleich der Summe der bestimmten Integrale über seine Teile, d.h. wenn
(43)
Satz 6.Beim Umstellen der Integrationsgrenzen ändert sich der Betrag des bestimmten Integrals nicht, sondern nur sein Vorzeichen, d.h.
(44)
Satz 7(Mittelwertsatz). Das bestimmte Integral ist gleich dem Produkt aus der Länge des Integrationssegments und dem Wert des Integranden an einem Punkt darin, d.h.
(45)
Satz 8.Ist die obere Integrationsgrenze größer als die untere und der Integrand nichtnegativ (positiv), dann ist auch das bestimmte Integral nichtnegativ (positiv), d.h. wenn
Satz 9.Wenn die obere Integrationsgrenze größer als die untere Grenze ist und die Funktionen und stetig sind, dann ist die Ungleichung
Term für Term integriert werden können, d.h.
(46)
Die Eigenschaften des bestimmten Integrals ermöglichen es uns, die direkte Berechnung von Integralen zu vereinfachen.
Beispiel 5 Berechnen Sie ein bestimmtes Integral
Unter Verwendung der Sätze 4 und 3 und beim Auffinden von Stammfunktionen - Tabellenintegrale (7) und (6) - erhalten wir
Bestimmtes Integral mit variabler Obergrenze
Lassen f(x) ist stetig auf dem Intervall [ a, b]-Funktion und F(x) ist sein Prototyp. Betrachten Sie das bestimmte Integral
(47)
Und durch t die Integrationsvariable wird bezeichnet, um sie nicht mit der oberen Grenze zu verwechseln. Wenn es sich ändert X auch das bestimmte Integral (47) ändert sich, d.h. sie ist eine Funktion der oberen Integrationsgrenze X, die wir mit bezeichnen F(X), d. h.
(48)
Lassen Sie uns beweisen, dass die Funktion F(X) ist Stammfunktion für f(x) = f(t). In der Tat differenzierend F(X), wir bekommen
als F(x) ist Stammfunktion für f(x), a F(a) ist ein konstanter Wert.
Funktion F(X) ist eine der unendlichen Menge von Stammfunktionen für f(x), nämlich derjenige, der x = a geht auf null. Diese Aussage wird erhalten, wenn wir in Gleichheit (48) setzen x = a und verwenden Sie Satz 1 des vorherigen Abschnitts.
Berechnung bestimmter Integrale nach der Methode der partiellen Integration und der Methode der Variablenänderung
wo per definitionem F(x) ist Stammfunktion für f(x). Wenn wir im Integranden die Änderung der Variablen vornehmen
dann können wir gemäß Formel (16) schreiben
In diesem Ausdruck
Stammfunktion für
In der Tat, seine Ableitung, nach die Ableitungsregel einer komplexen Funktion, ist gleich
Seien α und β die Werte der Variablen t, für die die Funktion
nimmt jeweils die Werte an a und b, d.h.
Aber nach der Newton-Leibniz-Formel der Unterschied F(b) – F(a) Es gibt
1 von 30
Vortrag zum Thema: Newton-Leibniz-Formel
Folie Nummer 1
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 2
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 3
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 4
Beschreibung der Folie:
Newton und Leibniz Aus den erhaltenen Dokumenten haben Wissenschaftshistoriker herausgefunden, dass Newton die Differential- und Integralrechnung bereits 1665-1666 entdeckte, aber erst 1704 veröffentlichte. Leibniz entwickelte seine Version der Analysis unabhängig (seit 1675), obwohl der erste Anstoß zu seinem Denken wahrscheinlich von Gerüchten kam, dass Newton bereits einen solchen Kalkül hatte, sowie von wissenschaftlichen Gesprächen in England und Korrespondenz mit Newton. Im Gegensatz zu Newton veröffentlichte Leibniz seine Version sofort und machte später zusammen mit Jacob und Johann Bernoulli diese bahnbrechende Entdeckung in ganz Europa bekannt. Die meisten Wissenschaftler auf dem Kontinent hatten keinen Zweifel daran, dass Leibniz die Analyse entdeckt hatte.
Folie Nummer 5
Beschreibung der Folie:
Der Überzeugung von Freunden folgend, die an seinen Patriotismus appellierten, sagte Newton im 2. Buch seiner „Principles“ (1687): In Briefen, die ich vor etwa zehn Jahren mit einem sehr erfahrenen Mathematiker austauschte, Mr. eine Methode zur Bestimmung von Maxima und Minima , Tangenten ziehen und ähnliche Fragen lösen, die gleichermaßen auf rationale und irrationale Terme anwendbar sind, und ich versteckte die Methode, indem ich die Buchstaben des folgenden Satzes neu anordnete: „Wenn eine Gleichung gegeben ist, die eine beliebige Anzahl von Stromgrößen enthält, finde Fluxionen und zurück“. Der berühmteste Ehemann antwortete mir, dass er auch eine solche Methode angreife und teilte mir seine Methode mit, die sich kaum von meiner unterscheidet, und dann nur in Begriffen und Formeln.
Folie Nummer 6
Beschreibung der Folie:
Als Newton 1693 schließlich die erste Zusammenfassung seiner Version der Analyse veröffentlichte, wechselte er freundschaftliche Briefe mit Leibniz. Newton sagte: Unser Wallis hat seiner soeben erschienenen „Algebra“ einige der Briefe beigefügt, die ich Ihnen zu meiner Zeit geschrieben habe. Gleichzeitig forderte er von mir, dass ich die Methode, die ich Ihnen damals durch die Umordnung der Briefe verschwiegen habe, offen darlege; Ich machte es so kurz wie ich konnte. Ich hoffe, dass ich nichts Unangenehmes für Sie geschrieben habe, aber wenn dies passiert ist, dann lassen Sie es mich bitte wissen, denn meine Freunde sind mir lieber als mathematische Entdeckungen.
Folie Nummer 7
Beschreibung der Folie:
Nach dem Erscheinen der ersten ausführlichen Veröffentlichung der Newtonschen Analysis (eine mathematische Ergänzung zu „Optik“, 1704) erschien in der Leibniz-Zeitschrift „Acta eruditorum“ eine anonyme Rezension mit beleidigenden Anspielungen auf Newton. Die Überprüfung zeigte deutlich, dass der Autor des neuen Kalküls Leibniz war. Leibniz selbst bestritt vehement, dass die Rezension von ihm geschrieben wurde, aber Historiker konnten einen in seiner Handschrift geschriebenen Entwurf finden. Newton ignorierte den Artikel von Leibniz, aber seine Studenten reagierten empört, woraufhin ein europaweiter Prioritätenkrieg ausbrach, "der schändlichste Streit in der gesamten Geschichte der Mathematik".
Folie Nummer 8
Beschreibung der Folie:
Am 31. Januar 1713 erhielt die Royal Society einen Brief von Leibniz, der eine versöhnliche Formulierung enthielt: Er stimmt zu, dass Newton von sich aus zur Analyse gekommen sei, „nach allgemeinen Prinzipien wie den unseren“. Ein wütender Newton forderte die Einsetzung einer internationalen Kommission zur Klärung der Priorität. Die Kommission ließ sich nicht viel Zeit: Anderthalb Monate später erkannte sie Newtons Priorität nach Studium der Korrespondenz Newtons mit Oldenburg und anderer Dokumente einstimmig an, und zwar in einer diesmal Leibniz beleidigenden Formulierung. Die Entscheidung der Kommission wurde in den Protokollen der Gesellschaft mit allen beigefügten Belegen abgedruckt.
Folie Nummer 9
Beschreibung der Folie:
Als Reaktion darauf wurde Europa ab Sommer 1713 mit anonymen Pamphleten überschwemmt, die Leibniz' Priorität verteidigten und behaupteten, dass "Newton sich die Ehre aneignet, die einem anderen gebührt". Die Broschüren beschuldigten Newton auch, die Ergebnisse von Hooke und Flamsteed gestohlen zu haben. Newtons Freunde beschuldigten ihrerseits Leibniz selbst des Plagiats; ihrer Version zufolge lernte Leibniz während seines Aufenthalts in London (1676) Newtons unveröffentlichte Werke und Briefe in der Royal Society kennen, woraufhin Leibniz die dort geäußerten Ideen veröffentlichte und als seine eigenen ausgab.Der Krieg ließ erst nach Dezember 1716, als der Abt Conti Newton mitteilte: „Leibniz ist tot – der Streit ist beendet
Folie Nummer 10
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 11
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 12
Beschreibung der Folie:
Setze einen beliebigen Wert x € (a.b) und definiere eine neue Funktion. Sie ist für alle Werte x € (a.b) definiert, denn wir wissen, wenn es ein Integral von ʄ auf (a,b) gibt, dann gibt es eins auch ein Integral von ʄ auf (a ,b) , wobei Erinnern Sie sich, dass wir per Definition annehmen
Folie Nummer 13
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 14
Beschreibung der Folie:
Somit ist F stetig auf (a,b), unabhängig davon, ob ʄ Diskontinuitäten hat oder nicht; wichtig ist, dass ʄ auf (a,b) integrierbar ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von ʄ . Die Fläche der variablen Figur aABx ist gleich F (X) Ihr Inkrement F (X+h)-F(x) ist gleich der Fläche der Figur xBC(x+h) , was aufgrund von die Beschränktheit von ʄ, strebt offensichtlich gegen Null, wenn h → 0, unabhängig davon, ob x ein Kontinuitäts- oder Diskontinuitätspunkt ʄ sein wird, z.B. Punkt x-d
Folie Nummer 15
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 16
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 17
Beschreibung der Folie:
Der Übergang zum Grenzwert in als h→0 zeigt die Existenz der Ableitung von F an diesem Punkt und die Gültigkeit der Gleichheit. Für x=a,b sprechen wir von der rechten bzw. linken Ableitung. Wenn die Funktion ʄ auf (a,b) stetig ist, dann hat die ihr entsprechende Funktion basierend auf dem Obigen eine Ableitung gleich Daher ist die Funktion F(x) die Stammfunktion für ʄ (a,b)
Folie Nummer 18
Beschreibung der Folie:
Wir haben bewiesen, dass eine beliebige stetige Funktion ʄ auf der Strecke (a,b) eine durch Gleichheit definierte Stammfunktion auf dieser Strecke hat. Dies beweist die Existenz einer Stammfunktion für jede intervallstetige Funktion. Es gebe nun eine beliebige Stammfunktion der Funktion ʄ(x) auf (a,b) . Wir wissen, dass Wobei C eine Konstante ist. Unter der Annahme dieser Gleichheit x=a und unter Berücksichtigung von F(a)=0 erhalten wir Ä(a)=C Also, But
Folie Nummer 19
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 20
Beschreibung der Folie:
Integral Das Integral einer Funktion ist ein natürliches Analogon der Summe einer Folge. Nach dem fundamentalen Theorem der Analysis ist die Integration die zur Differentiation umgekehrte Operation. Der Vorgang, ein Integral zu finden, wird als Integration bezeichnet.Es gibt verschiedene Definitionen der Operation der Integration, die sich in technischen Details unterscheiden. Sie sind jedoch alle kompatibel, d. h. zwei beliebige Integrationsmethoden ergeben, wenn sie auf eine gegebene Funktion angewendet werden können, das gleiche Ergebnis.
Folie Nummer 21
Beschreibung der Folie:
Folie Nummer 22
Beschreibung der Folie:
Geschichte Die Zeichen für das Integral ʃ der Ableitung dx wurden erstmals Ende des 17. Jahrhunderts von Leibniz verwendet. Das Symbol des Integrals wurde aus dem Buchstaben S gebildet - einer Abkürzung des Wortes lat. summa (Summe). Das Integral in der Antike Integration kann bis ins alte Ägypten um 1800 v. Chr. zurückverfolgt werden. der Moskauer mathematische Papyrus demonstriert die Kenntnis der Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes. Die erste bekannte Methode zur Berechnung von Integralen ist die Erschöpfungsmethode von Eudoxus (ca. 370 v. Chr.), der versuchte, Flächen und Volumen zu finden, indem er sie in eine unendliche Anzahl von Teilen zerlegte, für die die Fläche oder das Volumen bereits bekannt war. Diese Methode wurde von Archimedes aufgegriffen und weiterentwickelt und zur Berechnung der Flächen von Parabeln und zur Annäherung an die Fläche eines Kreises verwendet. Ähnliche Methoden wurden im 3. Jahrhundert n. Chr. in China von Liu Hui unabhängig entwickelt, der sie verwendete, um die Fläche eines Kreises zu finden. Diese Methode wurde später von Ju Chongshi verwendet, um das Volumen einer Kugel zu bestimmen.
Folie Nummer 23
Beschreibung der Folie:
Historische Bedeutung und philosophische Bedeutung der Newton-Leibniz-Formel Eines der wichtigsten Forschungswerkzeuge dieser Reihe ist die Newton-Leibniz-Formel und die dahinter stehende Methode zur Ermittlung der Stammfunktion durch Integration ihrer Ableitung. Die historische Bedeutung der Formel liegt in der Verwendung unendlich kleiner Größen und in der absolut exakten Beantwortung der gestellten Frage. Die Vorteile der Anwendung dieser Methode zur Lösung mathematischer, physikalischer und anderer naturwissenschaftlicher Probleme, beispielsweise des klassischen Problems der Quadratur eines Kreises – das Bilden eines gleich großen Quadrats zu einem gegebenen Kreis – sind hinlänglich bekannt. Die philosophische Bedeutung – in der Möglichkeit, Informationen über das Ganze aus seinem unendlich kleinen Teil zu gewinnen, der bereits erwähnt wurde – wird in Medizin und Biologie klar verwirklicht, wofür ein Beispiel der Erfolg der Gentechnik beim Klonen sein kann – die Schaffung von einander ähnlichem Leben Wesen. Die Geschichte bleibt eine seltene Ausnahme in der Liste der Wissenschaften, die die Newton-Leibniz-Formel verwendet haben. Die Unmöglichkeit, Informationen aus historischen Quellen in Form von Zahlen – Formelargumenten – darzustellen, ist traditionell. Daher ist die philosophische Bedeutung der Formel bisher nicht vollständig philosophisch, da sie nur in naturwissenschaftlichem Wissen verwirklicht wird und soziales und humanitäres Wissen ohne ein so mächtiges Werkzeug bleibt. Wenn man jedoch an den traditionellen Merkmalen des sozialen und humanitären Wissens festhält, sozusagen an seinen Schwächen, dann liegt es an ihm.
Folie Nummer 24
Beschreibung der Folie:
Aber weitere wissenschaftliche Analysen in unserer Zeit ergeben ein neues, anderes Bild des laufenden Prozesses. Die heute in der Wissenschaft vorherrschenden atomistischen Ansichten zerlegen Materie in ein Bündel winziger Teilchen oder regelmäßig angeordneter Kraftzentren, die sich in ewigen verschiedenen Bewegungen befinden. Ebenso wird die den Äther durchdringende Materie ständig angeregt und schwingt in Wellen. All diese Bewegungen von Materie und Äther stehen in engster und ständiger Verbindung mit dem für uns unendlichen Weltenraum. Eine solche unserer konkreten Vorstellungskraft unzugängliche Darstellung ergibt sich aus den Daten der Physik.
Folie Nummer 25
Beschreibung der Folie:
Auch mystische und magische Strömungen müssen mit dieser Position rechnen, obwohl sie durch eine andere Bedeutung des Zeitbegriffs die Bedeutung dieser Tatsache in der allgemeinen Weltanschauung völlig zunichte machen können. So lange es also um sinnlich wahrnehmbare Phänomene geht, müssen auch diese von exakter Erkenntnis am weitesten entfernten Bereiche der Philosophie und Religion mit der wissenschaftlich bewiesenen Tatsache rechnen, wie sie mit der Tatsache rechnen sollten, dass zweimal zwei ist vier im Bereich der Sinne und des Geistes.
Folie Nummer 26
Beschreibung der Folie:
Gleichzeitig reicht das von der Menschheit angesammelte Wissen bereits aus, um diese Tradition zu brechen. Tatsächlich besteht keine Notwendigkeit, auf pythagoreische Weise nach einer numerischen Entsprechung zu den Aussagen „Peter I. besuchte Venedig während der Großen Botschaft“ und „Peter I. war während der Großen Botschaft nicht in Venedig“ zu suchen, wenn diese Ausdrücke selbst leicht dienen können als Argumente der Algebra der Logik von George Boole. Das Ergebnis jeder historischen Forschung ist im Wesentlichen eine Reihe solcher Argumente. Daher ist es meiner Meinung nach gerechtfertigt, eine Reihe historischer Studien als Integrandenfunktion zu verwenden, die in Form von Argumenten der Algebra der Logik präsentiert werden, mit dem Ziel, die wahrscheinlichste Rekonstruktion des untersuchten historischen Ereignisses als eine zu erhalten Stammfunktion. Es gibt viele Herausforderungen auf dem Weg. Insbesondere: die Präsentation einer bestimmten historischen Studie - ein Derivat eines rekonstruierten Ereignisses - in Form einer Reihe logischer Ausdrücke - die Operation ist offensichtlich komplizierter als beispielsweise die elektronische Katalogisierung eines einfachen Bibliotheksarchivs. Der Informationsdurchbruch des späten 20. bis frühen 21. Jahrhunderts (ein extrem hoher Integrationsgrad der Elementbasis und eine Zunahme der Informationsmacht) macht die Erfüllung einer solchen Aufgabe jedoch durchaus real.
Folie Nummer 27
Beschreibung der Folie:
Im Lichte des Vorhergehenden ist die historische Analyse im gegenwärtigen Stadium eine mathematische Analyse mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Algebra der Logik, und die gewünschte Stammfunktion ist die Wahrscheinlichkeit eines historischen Ereignisses, die im Allgemeinen ziemlich konsistent und gleichmäßig ist ergänzt den Wissenschaftsgedanken im gegenwärtigen Stadium, denn die Ersetzung des Wesensbegriffs durch den Funktionsbegriff – die Hauptsache im Wissenschaftsverständnis der Neuzeit – wird durch eine Bewertung dieser Funktion ergänzt. Die neuzeitgeschichtliche Bedeutung der Formel liegt folglich in der Möglichkeit, Leibniz’ Traum zu verwirklichen „von der Zeit, wo statt endloser Streitereien zwei Philosophen wie zwei Mathematiker Federn in die Hand nehmen und, sich an den Tisch setzend, austauschen werden der Streit mit der Berechnung" . Jeder historische Forschungsschluss hat seine Daseinsberechtigung, spiegelt ein reales Ereignis wider und ergänzt das informative Geschichtsbild. Die Gefahr, dass die Geschichtswissenschaft zu einer Reihe farbloser Phrasen-Aussagen degeneriert – das Ergebnis der Anwendung der vorgeschlagenen Methode, ist nicht mehr als die Gefahr, dass Musik zu einer Reihe von Tönen und Malerei zu einer Reihe von Farben im gegenwärtigen Stadium degeneriert menschliche Entwicklung. So sehe ich die neue philosophische Bedeutung der Newton-Leibniz-Formel, die erstmals Ende des 17. - Anfang des 18. Jahrhunderts gegeben wurde.
Folie Nummer 28
Beschreibung der Folie:
Tatsächlich wird die Formel angesichts der Eigentümlichkeit der Wahrnehmung mathematischer Symbole durch Träger von sozialem und humanitärem Wissen, die von diesen Trägern in panischer Angst vor jeglicher Darstellung solcher Zeichen zum Ausdruck gebracht wird, in verbaler Form gegeben: ein bestimmtes Integral des Ableitung einer Funktion ist die Stammfunktion dieser Funktion. Ein gewisser formaler Unterschied zwischen dem gegebenen Beispiel des Problems der Quadratur eines Kreises und dem üblichen pädagogischen und mathematischen Beispiel der Berechnung der Fläche, die sich unter einer beliebigen Kurve im kartesischen Koordinatensystem befindet, ändert natürlich nichts an der Essenz.
Folie Nummer 29
Beschreibung der Folie:
VERWENDETE LITERATUR: 1. Brodsky I.A. Werke in vier Bänden. T.3. SPb., 1994. 2. Wernadski V.I. Biosphäre und Noosphäre. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Einführung in die Philosophie. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. Die Entwicklung des Wissenschaftsbegriffs. M., 1980. 5. Descartes, Rene. Überlegungen zur primitiven Philosophie. SPb., 1995. 6. Karpov G.M. The Great Embassy of Peter I. Kaliningrad, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Vidman F. Philosophie: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovskiy V.S. Ausgewählte Kapitel der Geschichte der Mathematik. Kaliningrad, 2002. 9. Natanson I.P. Ein kurzer Kurs in höherer Mathematik. SPb., 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Sheremetevsky V.P. Essays zur Geschichte der Mathematik. M., 2004 Internetquellen http://ru.wikipedia.org
Folie Nummer 30
Beschreibung der Folie:
