Der Wert der Sünde ist 30. Definitionsgemäß finden Sie die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Werte mit trigonometrischen Formeln finden

Eine einführende Lektion zur Trigonometrie wurde in der vorherigen Präsentation vorgestellt. Schulkinder lernten die Konzepte von Sinus, Cosinus und Tangens kennen, wie sie bezeichnet werden und wie man sie findet. Es wurde ein spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet. Außerdem lernten sie die grundlegende trigonometrische Identität kennen, die die Grundlage für zahlreiche Formeln bildet, mit denen die Schüler etwas später vertraut werden.

Diese Lektion schlägt vor, bestimmte Winkel zu berücksichtigen: 45, 30 und 60 Grad. Es ist notwendig, ihren Sinus, Kosinus und Tangens zu finden. Alle drei dieser Winkel sind spitz. Es wird davon ausgegangen, dass wir wie in der vorherigen Lektion mit rechtwinkligen Dreiecken arbeiten.

Folien 1-2 (Präsentationsthema „Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel von 30, 45 und 60 Grad“, Beispiel)

Die erste Folie der Präsentation „Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel von 30, 45 und 60 Grad“ zeigt den Schülern ein rechtwinkliges Dreieck, dessen spitzer Winkel 30 Grad beträgt. Da wir wissen, dass einer der Winkel richtig ist, können wir leicht den Wert des dritten Winkels berechnen. Die Summe aller Winkel eines beliebigen Dreiecks beträgt 180 Grad. Achtklässler sollten diese Eigenschaft bereits kennen. Um also den dritten unbekannten Winkel zu finden, ist es notwendig, 120 Grad von 180 und Grad zu subtrahieren, was die Summe der beiden anderen Seiten ist. Der dritte unbekannte Winkel beträgt 60 Grad. Dies ist auf der Zeichnung gekennzeichnet.

Der Autor stellt fest, dass das Verhältnis der Beine eines rechtwinkligen Dreiecks ABC die Hälfte ist. Woher hat der Autor diese Nummer? Tatsache ist, dass das Bein, das dem Winkel von 30 Grad gegenüberliegt, der in der Abbildung zu sehen ist, gleich der Hälfte der Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Dies ist eine der wichtigen Eigenschaften von rechtwinkligen Dreiecken. Dieses Verhältnis ist der Sinus eines Winkels von 30 Grad. Somit wird der Sinus des Winkels von 30 Grad gefunden.

Folien 3-4 (Beispiel, Sinus-, Cosinus-, Tangenstabelle)

Dieses Verhältnis ist auch der Kosinus für den Winkel neben dem Bein, also für einen Winkel von 60 Grad. Außerdem können Sie basierend auf den Informationen, die Sie in der vorherigen Lektion erhalten haben, den verbleibenden Tangens berechnen, indem Sie den gefundenen Sinus eines bestimmten Winkels durch den gefundenen Kosinus desselben Winkels dividieren.

Auf der nächsten Folie werden in ähnlicher Weise Sinus, Cosinus und Tangens eines 45-Grad-Winkels untersucht. Zuerst wird die dritte unbekannte Ecke gefunden. Es stellt sich heraus, dass die Winkel an der Hypotenuse gleich sind, dh das Dreieck ist nicht nur rechteckig, sondern auch gleichschenklig. Nach dem Satz des Pythagoras drücken wir die Hypotenuse durch die Beine aus. Da sie, wie sich herausstellte, gleich sind, ist es möglich, ein Bein durch ein anderes zu ersetzen und ein einfaches Produkt der Zahl 2 durch das Quadrat eines der Beine zu erhalten. Außerdem befreit sich der Autor von Irrationalität und drückt Beine aus. Es gibt also zwei Beine. Außerdem können Sie mit den untersuchten Formeln den Sinus und den Kosinus sowie den Tangens eines Winkels von 45 Grad finden.

Die letzte Folie zeigt diese Werte in Form einer Tabelle. Es ist wünschenswert, dass die Schüler aus einem Notizbuch eine Tabelle für sich selbst aufschreiben. Wir können sagen, dass es ein Analogon des Einmaleins ist, nur trigonometrisch. Es ist wünschenswert, dass die Schüler wissen, woher diese Werte stammen, und sich an die Tabellen erinnern.

In dem Artikel werden wir vollständig verstehen, wie es aussieht Tabelle der trigonometrischen Werte, Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Betrachten Sie den Grundwert trigonometrischer Funktionen aus einem Winkel von 0,30,45,60,90,...,360 Grad. Und sehen wir uns an, wie man diese Tabellen zur Berechnung des Werts trigonometrischer Funktionen verwendet.
Erst überlegen Tabelle von Kosinus, Sinus, Tangens und Kotangens aus einem Winkel von 0, 30, 45, 60, 90, ... Grad. Die Definition dieser Größen ermöglicht es, den Wert der Funktionen von Winkeln von 0 und 90 Grad zu bestimmen:

sin 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. tg 00 \u003d 0, der Kotangens von 00 ist undefiniert
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, der Tangens von 90 0 ist undefiniert

Nehmen wir rechtwinklige Dreiecke, deren Winkel 30 bis 90 Grad betragen. Wir bekommen:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

Wir stellen alle erhaltenen Werte im Formular dar trigonometrische Tabelle:

Tabelle von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens!

Wenn wir die Gussformel verwenden, wird unsere Tabelle erweitert, Werte für Winkel bis zu 360 Grad werden hinzugefügt. Es wird so aussehen:

Basierend auf den Eigenschaften der Periodizität kann die Tabelle auch erweitert werden, wenn wir die Winkel durch 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z ersetzen, wobei z eine ganze Zahl ist. In dieser Tabelle ist es möglich, den Wert aller Winkel zu berechnen, die Punkten in einem einzelnen Kreis entsprechen.

Lassen Sie uns deutlich sehen, wie die Tabelle in der Lösung verwendet wird.
Alles ist sehr einfach. Da der benötigte Wert am Schnittpunkt der benötigten Zellen liegt. Nehmen wir zum Beispiel einen Winkel von 60 Grad, in der Tabelle sieht es so aus:

In der Abschlusstabelle der Hauptwerte trigonometrischer Funktionen verfahren wir genauso. Aber in dieser Tabelle ist es möglich, herauszufinden, wie groß die Tangente von einem Winkel von 1020 Grad sein wird, es = -√3 Prüfen wir 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Suchen wir den Tisch.

Bradis-Tisch. Für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Die Tabellen von Bradys sind in mehrere Teile unterteilt, sie bestehen aus Tabellen von Cosinus und Sinus, Tangens und Kotangens - die in zwei Teile unterteilt sind (tg eines Winkels bis zu 90 Grad und ctg eines kleinen Winkels).

Sinus und Kosinus

Winkel tg von 00 bis 760, Winkel ctg von 140 bis 900.

tg bis 900 und ctg kleine Winkel.

Lassen Sie uns herausfinden, wie man Bradis-Tabellen zur Lösung von Problemen verwendet.

Finden wir die Bezeichnung sin (die Bezeichnung in der Spalte vom linken Rand) 42 Minuten (die Bezeichnung befindet sich in der obersten Zeile). Durch Kreuzen suchen wir eine Bezeichnung, sie ist = 0,3040.

Die Werte der Minuten werden mit einem Intervall von sechs Minuten angezeigt, was ist, wenn der von uns benötigte Wert in dieses Intervall fällt. Nehmen wir 44 Minuten, und in der Tabelle sind nur 42. Wir nehmen 42 als Basis und verwenden die zusätzlichen Spalten auf der rechten Seite, nehmen die 2. Korrektur und addieren zu 0,3040 + 0,0006, wir erhalten 0,3046.

Bei sin 47 min nehmen wir 48 min zu Grunde und ziehen davon 1 Korrektur ab, also 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

Bei der Berechnung von cos gehen wir ähnlich vor wie bei sin, nur nehmen wir die unterste Zeile der Tabelle zu Grunde. Zum Beispiel cos 20 0 = 0,9397

Werte tg eines Winkels bis zu 90 0 und Kinderbett eines kleinen Winkels sind korrekt und enthalten keine Korrekturen. Finden Sie zum Beispiel tg 78 0 37min = 4,967


und ctg 20 0 13 min = 25,83

Nun, hier haben wir die wichtigsten trigonometrischen Tabellen betrachtet. Wir hoffen, dass diese Informationen für Sie äußerst nützlich waren. Ihre Fragen zu den Tischen, falls vorhanden, schreiben Sie unbedingt in die Kommentare!

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Wertetabelle trigonometrischer Funktionen

Notiz. Diese Wertetabelle für trigonometrische Funktionen verwendet das Zeichen √ zur Bezeichnung der Quadratwurzel. Um einen Bruch zu bezeichnen - das Symbol "/".

siehe auch Nützliche Materialien:

Zum Bestimmen des Wertes einer trigonometrischen Funktion, finden Sie es am Schnittpunkt der Linie, die die trigonometrische Funktion angibt. Zum Beispiel ein Sinus von 30 Grad - wir suchen eine Spalte mit der Überschrift sin (Sinus) und finden den Schnittpunkt dieser Spalte der Tabelle mit der Zeile "30 Grad", an ihrem Schnittpunkt lesen wir das Ergebnis - eins zweite. Ähnlich finden wir Kosinus 60 Grad, Sinus 60 Grad (auch hier finden wir am Schnittpunkt der sin (Sinus)-Spalte und der 60-Grad-Reihe den Wert sin 60 = √3/2) usw. Auf die gleiche Weise werden die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens anderer "beliebter" Winkel gefunden.

Sinus von Pi, Kosinus von Pi, Tangens von Pi und andere Winkel im Bogenmaß

Die folgende Tabelle mit Kosinus, Sinus und Tangens eignet sich auch, um den Wert von trigonometrischen Funktionen zu finden, deren Argument ist in Radiant angegeben. Verwenden Sie dazu die zweite Spalte mit Winkelwerten. Dank dessen können Sie den Wert gängiger Winkel von Grad in Radiant umrechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den 60-Grad-Winkel in der ersten Zeile suchen und seinen Wert im Bogenmaß darunter ablesen. 60 Grad sind gleich π/3 Radianten.

Die Zahl Pi drückt eindeutig die Abhängigkeit des Umfangs eines Kreises vom Gradmaß des Winkels aus. Pi im Bogenmaß entspricht also 180 Grad.

Jede in Pi (Radiant) ausgedrückte Zahl kann leicht in Grad umgewandelt werden, indem die Zahl Pi (π) durch 180 ersetzt wird.

Beispiele:
1. Sinus Pi.
Sünde π = Sünde 180 = 0
Somit ist der Sinus von Pi derselbe wie der Sinus von 180 Grad und gleich Null.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
Somit ist der Kosinus von Pi derselbe wie der Kosinus von 180 Grad und gleich minus eins.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
Somit ist der Tangens von Pi derselbe wie der Tangens von 180 Grad und gleich Null.

Tabelle der Sinus-, Cosinus-, Tangens-Werte für Winkel 0 - 360 Grad (häufige Werte)

Wenn in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen anstelle des Funktionswerts ein Strich angegeben ist (Tangens (tg) 90 Grad, Kotangens (ctg) 180 Grad), dann für einen bestimmten Wert des Gradmaßes der Winkel, die Funktion hat keinen bestimmten Wert. Wenn kein Bindestrich vorhanden ist, ist die Zelle leer, sodass wir den gewünschten Wert noch nicht eingegeben haben. Wir interessieren uns für die Anfragen, mit denen Benutzer zu uns kommen, und ergänzen die Tabelle mit neuen Werten, obwohl die aktuellen Daten zu den Werten von Cosinus, Sinus und Tangens der häufigsten Winkelwerte ausreichen, um die meisten zu lösen Probleme.

Wertetabelle trigonometrischer Funktionen sin, cos, tg für die gängigsten Winkel
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 Grad
(Zahlenwerte „nach Bradis-Tabellen“)

Jede trigonometrische Funktion für einen bestimmten Winkel entspricht einem bestimmten Wert dieser Funktion. Aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens geht hervor, dass der Wert des Sinus des Winkels die Ordinate des Punktes ist, den der Anfangspunkt des Einheitskreises passiert, nachdem er sich um den Winkel gedreht hat, der Wert von der Kosinus ist die Abszisse dieses Punktes, der Wert der Tangente ist das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse und der Wert des Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate.

Bei der Lösung von Problemen müssen häufig die Werte der Sinus-, Kosinus-, Tangenten- und Kotangentenwerte der angegebenen Winkel ermittelt werden. Für einige Winkel, zum Beispiel bei 0, 30, 45, 60, 90, ... Grad, ist es möglich, die genauen Werte trigonometrischer Funktionen zu finden, für andere Winkel ist das Finden der genauen Werte problematisch und man muss sich mit ungefähren Werten begnügen.

In diesem Artikel werden wir herausfinden, welche Prinzipien bei der Berechnung des Wertes von Sinus, Kosinus, Tangens oder Kotangens befolgt werden sollten. Lassen Sie uns sie der Reihe nach auflisten.

Betrachten wir nun jedes der aufgeführten Prinzipien zur Berechnung der Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens im Detail.

Seitennavigation.

Finden der Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens per Definition. Linien von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von Winkeln von 30, 45 und 60 Grad. Abflachung auf einen Winkel von 0 bis 90 Grad. Es genügt, den Wert einer der trigonometrischen Funktionen zu kennen. Werte mit trigonometrischen Formeln finden. Was tun in anderen Fällen?

Finden der Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens per Definition

Basierend auf der Definition von Sinus und Kosinus können Sie die Werte von Sinus und Kosinus eines bestimmten Winkels finden. Dazu müssen Sie einen Einheitskreis nehmen, den Startpunkt A (1, 0) um einen Winkel drehen, danach geht es zu Punkt A1. Dann ergeben die Koordinaten des Punktes A1 jeweils den Kosinus und den Sinus des gegebenen Winkels. Danach kann man den Tangens und den Kotangens des Winkels berechnen, indem man die Verhältnisse der Ordinate zur Abszisse bzw. der Abszisse zur Ordinate berechnet.

Per Definition können wir die exakten Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Winkel 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … Grad (0, ±p/2, ±p, ±3p/2, ±2p, …Radiant). Unterteilen wir diese Winkel in vier Gruppen: 360 z Grad (2p z Radiant), 90+360 z Grad (p/2+2p z Radiant), 180+360 z Grad (p+2p z Radiant) und 270 +360 z Grad (3p/2+2p z Bogenmaß), wobei z eine beliebige Ganzzahl ist. Lassen Sie uns in den Abbildungen darstellen, wo sich der Punkt A1 befinden wird, der durch Drehen des Startpunkts A um diese Winkel erhalten wird (untersuchen Sie gegebenenfalls das Material des Artikels den Drehwinkel).

Für jede dieser Winkelgruppen finden wir anhand der Definitionen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Was die anderen Winkel außer 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … Grad betrifft, können wir per Definition nur ungefähre Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens finden. Lassen Sie uns zum Beispiel Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Winkels –52 Grad finden.

Lass uns bauen.

Gemäß der Zeichnung finden wir, dass die Abszisse des Punktes A1 ungefähr 0,62 und die Ordinate ungefähr –0,78 ist. Auf diese Weise, und . Es bleibt die Berechnung der Werte von Tangens und Kotangens, die wir haben und .

Es ist klar, dass je genauer die Konstruktionen durchgeführt werden, desto genauer werden die ungefähren Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines bestimmten Winkels gefunden. Es ist auch klar, dass das Auffinden der Werte trigonometrischer Funktionen per Definition in der Praxis nicht bequem ist, da es unpraktisch ist, die beschriebenen Konstruktionen auszuführen.

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Linien von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens

Kurz gesagt lohnt es sich, bei den sogenannten Linien von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens zu verweilen. Linien von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens werden als Linien bezeichnet, die zusammen mit einem Einheitskreis dargestellt werden, einen Bezugspunkt haben und im eingeführten rechtwinkligen Koordinatensystem gleich Eins sind. Sie repräsentieren alle möglichen Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Wir stellen sie in der Zeichnung unten dar.

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Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von Winkeln von 30, 45 und 60 Grad

Für Winkel von 30, 45 und 60 Grad sind die genauen Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens bekannt. Sie können aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras gewonnen werden.

Um die Werte trigonometrischer Funktionen für Winkel von 30 und 60 Grad zu erhalten, betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit diesen Winkeln und nehmen Sie es so an, dass die Länge der Hypotenuse gleich eins ist. Es ist bekannt, dass das Bein gegenüber dem Winkel von 30 Grad die Hälfte der Hypotenuse ist, daher beträgt seine Länge 1/2. Die Länge des anderen Beins ermitteln wir mit dem Satz des Pythagoras: .

Da der Sinus eines Winkels das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse ist, dann und . Der Kosinus wiederum ist dann das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse und . Die Tangente ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein, und der Kotangens ist das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden Bein, daher und , und auch und .

Es bleiben die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel von 45 Grad. Wenden wir uns einem rechtwinkligen Dreieck mit Winkeln von 45 Grad (es wird gleichschenklig) und einer Hypotenuse gleich eins zu. Dann ist es nach dem Satz des Pythagoras leicht zu überprüfen, ob die Längen der Beine gleich sind. Jetzt können wir die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnis der Längen der entsprechenden Seiten des betrachteten rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Wir haben und .

Die erhaltenen Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens der Winkel von 30, 45 und 60 Grad werden sehr oft zur Lösung verschiedener geometrischer und trigonometrischer Probleme verwendet, daher empfehlen wir Ihnen, sich diese zu merken. Der Einfachheit halber listen wir sie in der Tabelle der Grundwerte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens auf.

Zum Abschluss dieses Absatzes veranschaulichen wir die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Winkel 30, 45 und 60 anhand des Einheitskreises und der Linien von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

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Abflachung auf einen Winkel von 0 bis 90 Grad

Wir stellen sofort fest, dass es praktisch ist, die Werte trigonometrischer Funktionen zu finden, wenn der Winkel im Bereich von 0 bis 90 Grad liegt (von Null bis Pi in halbem Bogenmaß). Wenn das Argument der trigonometrischen Funktion, deren Wert wir finden müssen, die Grenzen von 0 bis 90 Grad überschreitet, können wir immer die Reduktionsformeln verwenden, um den Wert der trigonometrischen Funktion zu finden, deren Argument sein wird innerhalb der angegebenen Grenzen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Sinus von 210 Grad finden. Indem 210 als 180+30 oder als 270−60 dargestellt wird, reduzieren die entsprechenden Reduktionsformeln unser Problem von der Bestimmung des Sinus von 210 Grad auf die Bestimmung des Werts des Sinus von 30 Grad oder des Kosinus von 60 Grad.

Lassen Sie uns für die Zukunft vereinbaren, wenn Sie die Werte trigonometrischer Funktionen immer unter Verwendung der Reduktionsformeln finden, gehen Sie zu Winkeln aus dem Intervall von 0 bis 90 Grad, es sei denn, der Winkel liegt natürlich bereits innerhalb dieser Grenzen.

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Es genügt, den Wert einer der trigonometrischen Funktionen zu kennen

Grundlegende trigonometrische Identitäten stellen Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens desselben Winkels her. Mit ihrer Hilfe können wir also den bekannten Wert einer der trigonometrischen Funktionen verwenden, um den Wert einer beliebigen anderen Funktion desselben Winkels zu finden.

Betrachten wir eine Beispiellösung.

Bestimmen Sie, was der Sinus des Winkels Pi mal acht ist, wenn .

Finden Sie zuerst heraus, was der Kotangens dieses Winkels ist:

Jetzt mit der Formel , können wir berechnen, was das Quadrat des Sinus des Winkels Pi mal acht ist, und daher den gewünschten Wert des Sinus. Wir haben

Es bleibt nur noch der Wert des Sinus zu finden. Da der Winkel pi mal acht der Winkel des ersten Koordinatenviertels ist, ist der Sinus dieses Winkels positiv (siehe ggf. den Abschnitt zur Theorie der Vorzeichen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens bei Vierteln). Auf diese Weise, .

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Werte mit trigonometrischen Formeln finden

In den beiden vorherigen Absätzen haben wir bereits damit begonnen, die Frage der Bestimmung der Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens mithilfe von Trigonometrieformeln zu behandeln. Hier wollen wir nur sagen, dass es manchmal möglich ist, den erforderlichen Wert der trigonometrischen Funktion mit trigonometrischen Formeln und bekannten Werten von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens zu berechnen (z. B. für Winkel von 30, 45 und 60 Grad).

Zum Beispiel berechnen wir mit trigonometrischen Formeln den Wert des Tangens des Winkels pi durch acht, den wir im vorherigen Absatz verwendet haben, um den Wert des Sinus zu finden.

Finden Sie den Wert.

Unter Verwendung der Formel für den Tangens eines halben Winkels können wir die folgende Gleichung schreiben . Wir kennen die Werte des Kosinus des Winkels Pi um vier, sodass wir sofort den Wert des Quadrats der gewünschten Tangente berechnen können: .

Der Winkel pi mal acht ist der Winkel des ersten Koordinatenviertels, also ist der Tangens dieses Winkels positiv. Folglich, .

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