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Differentialrechnung einer Funktion. "Differentialrechnung" in Büchern. Arten von Differentialgleichungen

Material aus der Unzyklopädie

Die Differentialrechnung ist ein Zweig der mathematischen Analyse, der hauptsächlich mit den Konzepten der Ableitung und des Differentials einer Funktion verbunden ist. In der Differentialrechnung werden die Regeln für die Berechnung von Ableitungen (Differenzierungsgesetze) und die Anwendung von Ableitungen auf die Untersuchung der Eigenschaften von Funktionen untersucht.

Die zentralen Begriffe der Differentialrechnung – Ableitung und Differential – entstanden bei der Betrachtung einer Vielzahl naturwissenschaftlicher und mathematischer Probleme, die zur Berechnung gleichartiger Grenzwerte führten. Die wichtigsten unter ihnen sind das physikalische Problem der Bestimmung der Geschwindigkeit ungleichmäßiger Bewegungen und das geometrische Problem der Konstruktion einer Tangente an eine Kurve. Betrachten wir jeden von ihnen im Detail.

Wir werden dem italienischen Wissenschaftler G. Galileo folgen, um das Gesetz des freien Falls von Körpern zu studieren. Lass uns einen Kiesel aufheben und ihn dann aus der Ruhe lassen. Sei t die vom Beginn des Sturzes an gezählte Zeit und s(t) die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke. Galileo fand experimentell heraus, dass die Abhängigkeit s(t) die folgende einfache Form hat:

s(t) = (1/2)gt 2 ,

wobei t die Zeit in Sekunden und g eine physikalische Konstante von etwa 9,8 m/s 2 ist.

Die Bewegung eines frei fallenden Körpers ist eindeutig ungleichmäßig. Die Fallgeschwindigkeit v nimmt allmählich zu. Aber wie genau sieht die v(t)-Abhängigkeit aus? Es ist klar, dass wir bei Kenntnis der Abhängigkeit s(t), also des Bewegungsgesetzes eines fallenden Körpers, im Prinzip in der Lage sein sollten, daraus einen Ausdruck für die Geschwindigkeit v(t) als Funktion der Zeit abzuleiten.

Versuchen wir, die Abhängigkeit von v von t zu finden. Wir argumentieren wie folgt: Wir legen den Zeitpunkt t fest, an dem wir den Wert der Geschwindigkeit v(t) wissen wollen. Sei h eine kleine Zeitspanne, die seit dem Zeitpunkt t verstrichen ist. Während dieser Zeit legt der fallende Körper einen Weg gleich s(t + h) - s(t) zurück. Wenn das Zeitintervall h sehr klein ist, hat die Geschwindigkeit des Körpers während der Zeit h keine Zeit, sich merklich zu ändern, also können wir davon ausgehen, dass, wenn h klein ist, dann ungefähr

s(t + h)-s(t) ≈ v(t) h, (1)

(s(t + h)-s(t))/h ≈ u(t) (2)

außerdem ist die letzte ungefähre Gleichheit umso genauer, je kleiner h ist (je näher h an Null liegt). Das bedeutet, dass der Wert v(t) der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t als Grenze betrachtet werden kann, zu der das Verhältnis auf der linken Seite der Näherungsgleichung (2) tendiert, die die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall von ausdrückt Moment t auf den Moment t + h, wenn der Wert h gegen Null geht. Dies wird in das Formular geschrieben

v(t) = lim h→∞ (s(t + h) - s(t))/h. (2)

Führen wir die in Beziehung (3) angegebenen Berechnungen auf der Grundlage der von Galileo gefundenen Abhängigkeit durch

s(t) = (1/2)gt 2 .

Lassen Sie uns zuerst einige grundlegende Berechnungen durchführen:

s(t + h) - s(t) = (1/2)g(t + h) 2 - (1/2)gt 2 = (1/2)g(t 2 + 2th + ht 2) - ( 1/2)gt 2 = gth + (1/2)gh 2 .;

und jetzt teilen wir durch h und erhalten

(s(t + h) - s(t))/h = gt + (1/2)gh.

Wenn h gegen Null geht, geht auch der zweite Term der rechts geschriebenen Summe gegen Null, und der erste Term bleibt konstant, genauer gesagt, hängt nicht vom Wert von h ab, also in unserem Fall

v(t) = lim h→∞ ((1/2)g(t + h) 2 - (1/2)gt 2)/h = gt,

und wir fanden das Gesetz

Änderung der Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers. Bitte beachten Sie, dass Formel (3) gleichzeitig sowohl die Definition als auch die Regel zur Berechnung der Werte v(t) der momentanen Änderungsrate der Funktion s(t) angibt.

Da die Geschwindigkeit v(t) selbst eine Funktion der Zeit ist, könnte man die Frage nach der Geschwindigkeit ihrer Änderung aufwerfen. In der Physik wird die Änderungsrate der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet. Wenn also v(t) die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist, dann erhalten wir, wenn wir wie in der Herleitung von Formel (3) argumentieren, für die Momentanbeschleunigung a(r) zum Zeitpunkt t den Ausdruck

a(t) = limh→0 (v(t + h) - v(t))/4. (vier)

Mal sehen, was diese Formel für den Fall des freien Falls ergibt, in dem, wie wir berechnet haben, v(t) = gt gilt:

v(t + h) - v(t) = g(t + h)-gt = gh,

(v(t + h) - v(t))/h = g,

und da g eine Konstante ist, stellt sich aus (4) heraus, dass a (f) \u003d q, d. H. Die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers ist konstant und die Größe q ist dieselbe physikalische Konstante, die die Beschleunigung von ausdrückt Freier Fall in der Nähe der Erdoberfläche.

Es ist leicht, die vollständige Ähnlichkeit der Ausdrücke (3), (4) zu bemerken und zu verstehen, dass wir einen allgemeinen mathematischen Ausdruck für die momentane Änderungsrate einer Variablen gefunden haben. Natürlich hängt das Ergebnis von Berechnungen mit den Formeln (3), (4), wie wir gesehen haben, von der spezifischen Form der Funktionen s(t) oder v(t) ab, aber die Operationen selbst auf diesen Funktionen, die sind die durch die rechten Seiten der Formeln (3), (4) vorgeschrieben sind, sind gleich.

Fasst man die Beobachtungen zusammen, die in der mathematischen Analyse bereits für jede Funktion y \u003d f (x) gemacht wurden, wird ein wichtiger Wert berücksichtigt:

f"(x) = lim h→0 (f(x + h)-f(x))/h, (5)

die als Ableitung der Funktion f bezeichnet wird.

Die Ableitung spielt somit die Rolle der Änderungsrate der abhängigen Variablen y in Bezug auf die Änderung der unabhängigen Variablen x; letzteres muss nicht mehr die physikalische Bedeutung von Zeit haben.

Der Wert der Ableitung f "(x) hängt vom Wert des Arguments x ab, daher ist, wie im Fall der Geschwindigkeit, die Ableitung f" (x) einer Funktion f (x) selbst eine Funktion der Variablen x .

Wenn zum Beispiel f(x) = x 3 , dann

(f(x + h) - f(x))/h = ((x + h) 3 - x 3)/h = 3x 2 + (3xh + h 2);

weiter geht, wenn h gegen null geht, der Wert in der letzten Klammer gegen null und die gesamte rechte Seite gegen den Wert 3x 2 . Wir haben so festgestellt, dass wenn f (x) \u003d x 3, dann f "(x) \u003d 3x 2.

In Formel (5) wird der Wert h der Differenz (x + h) - x das Inkrement des Arguments der Funktion genannt und oft mit dem Symbol ∆x (sprich: delta x) bezeichnet, und die Differenz f( x + h) - f(x) wird normalerweise mit ∆f (oder vollständiger mit ∆f(x, ∆x)) bezeichnet und heißt das Funktionsinkrement, das dem gegebenen Argumentinkrement entspricht. In diesen Notationen nimmt der Ausdruck (5) die Form an:

f"(x) = lim ∆x→0 (f(x, ∆x) - f (x))/∆x,

f"(x) = lim ∆x→0 ∆a/∆x.

Somit ist der Wert f"(x) der Ableitung der Funktion f(x) im Punkt x die Grenze des Verhältnisses des Zuwachses der Funktion ∆f(x, ∆x), entsprechend der Verschiebung ∆x vom Punkt x zum Inkrement ∆x des Arguments x, wenn ∆ x gegen Null geht.

Die Operation, die Ableitung einer Funktion zu finden, wird Differentiation genannt. Aus physikalischer Sicht ist Differentiation, wie wir jetzt verstehen, die Bestimmung der Änderungsgeschwindigkeit einer Variablen.

In der Differentialrechnung werden Ableitungen elementarer Grundfunktionen hergeleitet. Wir weisen zum Beispiel darauf hin, dass die Ableitungen der Funktionen x α , sin x, cos x jeweils die Funktionen αx α-1 , cos x und -sin x sind.

In der Differentialrechnung werden auch die folgenden allgemeinen Regeln zur Ableitung abgeleitet:

(cf)" = cf" (konstanter Multiplikator);

(f 1 ± f 2)" = f" 1 ± f" 2 (Differenzierung der Summe und Differenz von Funktionen);

(f 1 f 2)" = f" 1 f 2 + f 1 f" 2 (Differenzierung des Funktionsprodukts);

(f 1 / f 2)" = (f" 1 f 2 - f 1 f" 2) / f 2 2 (Differenzierung von Teilfunktionen).

Schließlich gilt noch die folgende wichtige Regel zum Ableiten einer komplexen Funktion: Wenn y = f(u) und u = φ(x), dann ist die Ableitung der Funktion f(φ(x)) gleich f"(u ) φ"(x), oder (f(φ (x)))" =f"(φ(x)) φ"(x).

Die allgemeinen Gesetze der Differentiation erleichtern die Suche nach Ableitungen erheblich und machen die Differentiation für eine Person, die das Einmaleins kennt, für jede Kombination elementarer Funktionen zu einer ebenso zugänglichen Operation wie arithmetische Operationen.

Wenn zum Beispiel f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...+ a n x n ein Polynom ist, dann ist f "(x) = (a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = (a 2 x 0)" + (a 1 x 1)" + (a 2 x 2)" + ... + (a n x n) = a 0 (x 0)" + a 1 ( x 1)" + a 2 (x 2)" + a n (x n)" = a 0 (0 x 0-1)" + a 1 (1 x 1-1)" + a 2 (2 x 2- 1) " + ein n (n x n-1)" = ein 1 + 2a 2 x + ... + na n x n-1 .

Oder wenn ψ(x) = sin x 2 , dann erhalten wir durch Setzen von f(u) = sin u, u = φ(x) = x 2 , dass φ(x) = f(φ(x)) und daher ψ"(x) = f"(u) φ"(x) = cos u 2x = 2x cos x 2 .

Wir haben bereits festgestellt, dass viele Probleme zur Berechnung von Grenzwerten der Form (3), (4), (5) führten, d. h., wie wir jetzt sagen können, zur Berechnung der Ableitung.

Betrachten wir nun ein weiteres klassisches Beispiel einer rein geometrischen Fragestellung, die durch eine Ableitung gelöst wird, die Konstruktion einer Tangente an eine Kurve (siehe Tangente).

Es ist erforderlich, eine gerade Linie T (Abb. 1) zu konstruieren, die im Punkt A die Kurve tangiert - den Graphen der Funktion y = f(x).

Wie bei der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit wird die Konstruktion einer Tangente von einer Verfeinerung des Begriffs einer Tangente begleitet.

Seien (x 0, y 0) die Koordinaten von Punkt A. Wie Sie wissen, ist jede nicht vertikale Linie, die durch Punkt A verläuft, durch die Gleichung y \u003d y 0 + k (x - x 0) gegeben, wobei k \ u003d (y - y 0) /(x - x0)

die sogenannte Steigung einer Geraden, die ihre Neigung zur horizontalen Achse kennzeichnet. In unserem Fall ist y 0 \u003d f (x 0), daher sieht die Gleichung der durch Punkt A verlaufenden Geraden wie y \u003d f (x 0) + k (x - x 0) aus, und wir möchten wählen den Wert des Koeffizienten k so, dass die Gerade möglichst gut an die Kurve y = f(x) „angepasst“ wurde, also unsere Kurve in der Nähe des Punktes A am besten annäherte. Wir wollen also k wählen so dass die ungefähre Gleichheit f(x) ≈ f(x 0 ) + k (x - x 0) oder äquivalent die ungefähre Gleichheit

(f(x) - f(x 0))/(x - x 0) ≈ k,

war wahrscheinlich genauer für x-Werte nahe x 0 .

Dies ist jedoch eine bekannte Situation, und bis zur Umbenennung von x - x 0 \u003d h, x \u003d x 0 + h ist dies die bekannte Beziehung aus Formel (5), daher

k = lim x→x 0 (f(x) - f(x 0))/(x - x 0) = lim h→0 (f(x 0 + h) - f(x 0)/h (6)

Wir haben also die Gleichung gefunden

y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0) (7)

die Gerade, die die Kurve y = f(x) in der Nähe des Punktes (x 0 , f(0)) am besten annähert. Es ist natürlich, diese Linie als die gewünschte Tangente an die gegebene Kurve an dem betrachteten Punkt zu betrachten.

Wenn wir zum Beispiel eine Parabel y \u003d x 2 nehmen, d.h. f (x) \u003d x 2, dann wird die Tangente daran am Punkt (1; 1) aufgrund von (7) durch die Gleichung y \ u003d 1 + 2 (x - 1 ), die in eine kompaktere Form y = 2x - 1 umgewandelt werden kann.

Oben haben wir eine physikalische Interpretation der Ableitung als Momentangeschwindigkeit gegeben, und jetzt können wir basierend auf der Tangentengleichung (7) eine geometrische Interpretation der Ableitung geben. Der Wert f "(x 0) der Ableitung f" (x) der Funktion f (x) an einem festen Punkt x \u003d x 0 ist nämlich die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d f (x) am Punkt (x 0, f (x 0)).

Das bedeutet insbesondere, dass in den Änderungsbereichen der Variablen x, auf denen f "(x) > 0 ist, die Funktion f (x) zunimmt; wobei f" (x)< 0, функция f(x) убывает, а в точках местных максимумов или минимумов функции ее производная должна обращаться в нуль, ибо касательная в этих точках горизонтальна. Ясно также, что если в некоторой точке x = a производная обратилась в нуль, то нельзя спешить с выводом, что это точка максимума или минимума (см. точку a 4), ибо знак производной может не измениться при переходе через эту точку, и функция будет продолжать возрастать или убывать. Но если производная меняет свой знак при переходе через эту точку (см. точки a 1 , a 2 , a 3), то ясно, что при x = a функция будет иметь или местный максимум, если идет смена знака с «+» на «-» (как в точках a 1 , a 3), или местный минимум, если знаки меняются с «-» на «+» (как в точке a 2).

Die Beobachtungen über die Beziehung des Vorzeichens oder der Nullstellen der Ableitung zur Art der Monotonie (Zunahme, Abnahme) der Funktion oder zu ihren Extrema (Maxima, Minima) haben zahlreiche Anwendungen.

Versuchen wir zum Beispiel, einen solchen rechteckigen Abschnitt der Wiese mit einem Draht einer bestimmten Länge zu umschließen, um einen möglichst geräumigen Korral für Rinder zu erhalten, d.h. unter Rechtecken mit einem gegebenen Umfang 2p (d. h. unter isoperimetrischen Rechtecken) muss man dasjenige finden, das die größte Fläche hat.

Wenn x die Länge einer der Seiten des Rechtecks ist, dann ist unter der angegebenen Bedingung die Länge der anderen Seite p - x und die Fläche des Rechtecks x (p - x). Wir müssen den Maximalwert der Funktion f(x) = x(p - x) auf dem Intervall 0 ≤ x ≤ p finden. Da die Funktion offensichtlich bei x = 0 oder x = p verschwindet (das Rechteck entartet zu einem Segment), wird das Maximum bei einem Wert von x zwischen 0 und p erreicht. Wie findet man diesen Wert?

Gemäß der oben gemachten Beobachtung können die Maximalwerte der Funktion f (x) nur bei dem Wert x 0 liegen, bei dem die Änderungsrate der Funktion Null ist, d.h. f "(x 0) \u003d 0 .

Lassen Sie uns unter Verwendung der bereits früher durchgeführten Berechnungen die Ableitung unserer Funktion finden. Da f (x) \u003d px - x 2, dann f "(x) \u003d p - 2x und f" (x) \u003d p - 2x 0 \u003d 0 für x 0 \u003d (1/2) p. Nach der Bedeutung des Problems muss die Funktion mit dem gefundenen Wert des Arguments x genau das Maximum haben. Dies kann auch formal überprüft werden:

f"(x) > 0 für x< (1/2) p и f"(x) < 0 при x >(1/2) p.

Somit haben wir herausgefunden, dass das gesuchte Rechteck mit der größten Fläche ein Quadrat ist, dessen Seitenlänge gleich (1/2) p ist.

Die Lösung verschiedener Probleme zum Auffinden der Maximal- und Minimalwerte von Funktionen oder, wie sie in der Mathematik allgemein genannt werden, von Problemen zum Auffinden von Extrema durch eine einzige Methode, ist eines der frühesten und gleichzeitig beliebtesten und beeindruckende Errungenschaften der mathematischen Analyse (siehe Geometrische Probleme für Extremum) .

Bisher haben wir in Anlehnung an I. Newton die Ableitung als Hauptbegriff der Differentialrechnung herausgegriffen. G. V. Leibniz, ein weiterer Begründer der mathematischen Analysis, wählte als Anfangsbegriff den Begriff des Differentials, der, wie wir sehen werden, dem Begriff der Ableitung logisch äquivalent ist, aber nicht mit ihm zusammenfällt. Leibniz fand Regeln zum Berechnen von Differentialen, die den Regeln zum Bestimmen von Ableitungen äquivalent waren, und nannte den von ihm entwickelten Kalkül Differential. Dieser Name ist erhalten geblieben. Die oben betrachteten Beispiele werden uns helfen, die folgenden, auf den ersten Blick formalen, aber sehr wichtigen Definitionen der gesamten Differentialrechnung schnell zu verstehen.

Eine Funktion y = f(x) heißt differenzierbar für einen Wert x ihres Arguments, wenn das Inkrement ∆f = f(x + h) - f(x) dieser Funktion dem Inkrement h = (x + h) - x = ∆x seines Arguments x kann dargestellt werden als

f(x + h) - f(x) = k(x) h + α h, (8)

wobei k(x) ein Koeffizient ist, der nur von x abhängt, und α ein Wert ist, der gegen Null tendiert, wenn h gegen Null tendiert.

Auf diese Weise,

f(x + h) - f(x) ≈ k(x) h, (9)

diese. bis zu einem Fehler α h , der klein gegenüber dem Wert h des Inkrements des Arguments ist, kann das Inkrement f(x + h) – f(x) einer an der Stelle x differenzierbaren Funktion durch den Wert k ersetzt werden (x) h, linear in Bezug auf das Inkrement h des Arguments x.

Diese in h lineare Näherungsfunktion k(x) h wird als Differential der ursprünglichen Funktion f im Punkt x bezeichnet und mit dem Symbol df oder vollständiger mit df(x) bezeichnet.

An jedem Punkt x hat die approximierende lineare Funktion k(x) h allgemein gesprochen ihre eigene, die durch die Abhängigkeit des Koeffizienten k(x) von x gekennzeichnet ist.

Dividiert man beide Teile von Gleichheit (8) durch h und berücksichtigt man, dass der Wert von α gegen Null geht, wenn h gegen Null geht, erhält man die Beziehung:

lim h→0 (f(x + h) - f(x))/h, (10)

Damit können Sie den Differentialkoeffizienten k (x) berechnen und zeigen, dass er einfach mit dem Wert der Ableitung f "(x) der Funktion f (x) am Punkt x übereinstimmt.

Ist also die Funktion an einer Stelle x differenzierbar, so existiert an dieser Stelle die in (10) angegebene Grenze, d.h. es enthält eine Ableitung f"(x) und k(x) = f"(x).

Umgekehrt, wenn die Funktion f(x) an einem Punkt x eine durch Gleichheit (5) definierte Ableitung hat, dann gilt (f(x + h) - f(x))/h = f(x) + α,

wobei die Korrektur a gegen Null geht, wenn h gegen Null geht. Wenn wir diese Gleichheit mit h multiplizieren, erhalten wir

f(x + h) - f(x) - f"(x) = f"(x) h + α h, (11)

und damit ist die Funktion im Punkt x differenzierbar.

Wir haben also gesehen, dass eine Funktion genau dann ein Differential df = k(x) h hat, wenn sie eine Ableitung f"(x) hat und df=f"(x) h. Aber das Differential als Funktion k (x) h linear in h wird vollständig durch den Koeffizienten k (x) \u003d f "(x) bestimmt, daher ist das Finden des Differentials einer Funktion dem Finden seiner Ableitung ziemlich gleichwertig. Das heißt warum diese beiden Operationen oft mit demselben Begriff bezeichnet werden - "Differenzierung", und der Kalkül heißt Differential.

Wenn wir statt h ∆x schreiben, dann können wir statt df= f"(x) h auch df=f"(x) ∆х schreiben. Wenn wir f (x) \u003d x nehmen, dann f "(x) \u003d 1 und dx \u003d 1 ∆x, schreiben wir daher oft das Differential dx, anstatt ∆x einer unabhängigen Variablen zu erhöhen. In diesen Notationen , erhalten wir eine schöne Notation df \u003d f" (x) dx Funktionsdifferential, aus der Leibniz zur Notation df / dx für die Ableitung f "(x) kam, wobei letztere als Verhältnis der Differentiale der Funktion und betrachtet wurde Beachten Sie, dass die Notation f" (x) für die Ableitung erst 1770 von dem französischen Mathematiker J. L. Lagrange eingeführt wurde, und die ursprüngliche Bezeichnung lautete

df/dx oder df(x)/dx

G. Leibniz, das in vielerlei Hinsicht so erfolgreich ist, dass es bis heute weit verbreitet ist.

Bevor wir zeigen, wie das Differential in ungefähren Berechnungen verwendet werden kann, wollen wir seine geometrische und physikalische Interpretation verfolgen.

Wenn wir in Gleichheit (8) statt x schreiben x 0 , dann können wir davon ausgehen, dass in Abb. 1 der linken Seite der Gleichheit (8) entspricht dem Segment BD (dies ist das Inkrement ∆f der Funktion oder das Inkrement der Ordinate der Kurve y \u003d f (x)), das Differential df \u003d f " (x) ∆x entspricht der Strecke CD (dies ist die Zunahme der Ordinate der Tangente, die unsere Kurve in der Nähe des Punktes A annähert), und der Rest α h entspricht der Strecke BC, die kleiner ist in Vergleich mit dem Segment CD, desto kleiner ist das Inkrement ∆x des Arguments ≈df.

In physikalischer Sprache, wenn f "(x) als Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x interpretiert wird, und f (x + h) - f (x) - als der Weg, der in dem Zeitintervall h zurückgelegt wird, das ab dem Zeitpunkt x verstrichen ist, die ungefähre Gleichheit f (x + h ) - f(x) ≈ f "(x) h bedeutet, dass sich für eine kurze Zeit h die Geschwindigkeit wenig ändert, sodass die zurückgelegte Strecke ungefähr wie in (1) durch die Formel f gefunden werden kann (x) h, die eine gleichmäßige geradlinige Bewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit f "(x) ausdrückt.

Gleichheit (11) und die daraus durch Umbenennung folgende Relation

f(x) ≈ f(x 0) + f(x 0) (x - x 0) (12)

ermöglichen es Ihnen, die Werte der Funktion f (x) ungefähr an Punkten x in der Nähe eines Punktes x 0 zu finden, an dem der Wert f (0) der Funktion selbst und der Wert f "(x 0) ihrer Ableitung ist sind bereits bekannt.

Sei zum Beispiel f(x) = x α und x 0 = 1. Dann gilt f(1)= 1 α = 1, f"(x) = αx α-1 , f"(1) = α1 α-1 = α , also x = 1 + ∆ vorausgesetzt, finden wir aus (12) folgende Formel (1 + ∆) α ≈ 1 + α ∆ für Näherungsrechnungen, gültig für beliebige (nicht nur ganzzahlige) Werte von α, vorausgesetzt dass ∆ klein ist. Nach dieser Formel

7 √1,07 = (1 + 0,07) 1/7 ≈ 1 + (1/7) 0,07 = 1,01;

√0,96 = (1 + (-0,04)) 1/2 ≈ 1 + (1/2) (-0,04) = 0,98;

(1,05) 7 = (1 + 0,05) 7 ≈ 1 + 7 0,05 = 1,35.

Die wichtige Formel (12) kann durch Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung verfeinert werden, die wir nun definieren werden.

Da sich die Ableitung f"(x) der Funktion f(x) selbst als Funktion des Arguments x herausstellt, können wir die Frage aufwerfen, die Ableitung der Funktion f"(x) zu finden, d.h. Funktion (f")"(x), die mit dem Symbol f"(x) bezeichnet und als zweite Ableitung der ursprünglichen Funktion f(x) bezeichnet wird. Wenn beispielsweise s(t) das Bewegungsgesetz ist, v(t) = s"(t) - Erogeschwindigkeit und a(t)=v"(t) - Beschleunigung, dann ist a(t) = s"(t) die zweite Ableitung der Funktion s(t) . Im Allgemeinen können Ableitungen beliebiger Ordnung definiert werden: Die n-te Ableitung einer Funktion ist die Ableitung ihrer (n - 1)-ten Ableitung.

Ableitungen der Ordnung n werden üblicherweise mit den Symbolen f n (x) oder d n f(x)/dx bezeichnet

im Gegensatz zu den Symbolen f "(x), f" (x), f "" (x) nur für Ableitungen kleiner Ordnungen (1, 2, 3) verwendet.

Wenn man die Ableitungen der Funktion x α , sin x, cos x kennt, kann man leicht per Induktion nachprüfen, dass die n-ten Ableitungen dieser Funktionen jeweils gleich sind

α(α - 1) ... (α - n + 1) x α-n,

sin(x + nπ/2) , cos(x + nπ/2).

Kommen wir nun zurück zu Formel (12), in der die Funktion f(x) näherungsweise durch das Polynom 1. Grades bezüglich x - x 0 auf der rechten Seite stehend ersetzt wird. Es stellt sich heraus, dass die Beziehung (12) ein Sonderfall der allgemeinen Gleichheit ist

f (x) \u003d f (x 0) + f "(x 0) / 1! (x - x 0) + ... + f (n) (x 0) / n! (x - x 0) n + rn+1 (13)

die so genannte Taylor-Formel, in der der Wert r n+1 , der als Rest der Taylor-Formel bezeichnet wird, zum Beispiel gesagt wird, dass er dargestellt werden kann als:

r n+1 = f n+1 (ξ)/(n+1)! (x - x 0) n+1 (14)

ähnlich der Form der vorherigen Formelglieder, nur dass hier f n+1 (x) nicht an der Stelle x 0 , sondern irgendwo zwischen x 0 und x gerechnet wird.

Aber diese Informationen reichen für Berechnungszwecke aus. Also, wenn f (x) \u003d sin x und x 0 \u003d 0, dann erinnere dich daran

sin n (x) = sin (x + nπ/2), erhalten wir

|r n+1 | = |sin (ξ + (n+1)π/2))/(n+1)! xn+1 | ≤ |x| n+1 /(n+1)!.

Wenn also beispielsweise |x| ≤ 1 und n = 6, dann |r 7 |< 10 -3 и потому, подставив в (13) f (k) (0) = sin(/kπ/2), находим формулу:

sinx x ≈ x - x 3 /3! + x 5 /5!, (15)

Berücksichtigung jedes x aus dem Intervall [-1; 1] Berechnen Sie den Wert von sin x mit einer Genauigkeit von nicht schlechter als 10 -3 .

Es lässt sich nachweisen, dass im betrachteten Fall r n+1 → 0 gilt, wenn n unbegrenzt wächst, sodass wir folgende Notation vorschlagen können:

Sünde x \u003d x - x 3/3! +x 5 /5 + x 7 /7 +...+ (-1) k x 2k+1 /(2k+1)! + ... . (16)

Rechts in dieser Gleichheit gibt es unendlich viele Terme, d.h. wie man sagt, es gibt eine Reihe. Gleichheit (16) wird, wie auch die Summe der Reihen im Allgemeinen, in dem Sinne verstanden, dass für jeden Wert von x die Differenz zwischen sin x und der Summe einer endlichen Anzahl von Termen, die der Reihe nach in die Reihe aufgenommen werden, tendiert Null, wenn die Anzahl der Terme unendlich zunimmt.

Der Wert der Formeln der Form (15), (16) liegt darin, dass sie es ermöglichen, die Berechnung der Werte einer komplexen Funktion durch die Berechnung der Werte des Polynoms zu ersetzen, das sie annähert. Die Berechnung der Werte eines Polynoms reduziert sich auf eine Rechenoperation, die beispielsweise auf einem elektronischen Rechner durchgeführt werden kann.

Reihe (16) ist ein Sonderfall der Reihe

f (x 0) + f "(x 0) / 1! (x - x 0) + ... + f (n) (x 0) / n! (x - x 0) n + ... (17 )

die für jede unendlich differenzierbare Funktion f(x) geschrieben werden kann. Es wird die Taylor-Reihe dieser Funktion genannt (B. Taylor (1685-1731) - englischer Mathematiker). Die Taylor-Reihe (17) hat nicht immer die Funktion f(x), die sie erzeugt hat, als ihre Summe, daher erfordert die Frage nach der Summe der Taylor-Reihe jedes Mal eine bestimmte Studie, zum Beispiel die, die wir oben gemacht haben, das Schätzen der Wert des Restes r n+1 . Solche Überlegungen können das zeigen

cos x = 1 - x 2 /2! + x 4 /4 - ... + (-1) k x 2k /(2k)! + ...

für jeden Wert von x und Gleichheit

(1 + x) α = 1 + α/1! x + α(α-1)/2! x 2 + ... + (α(α-1)...(α-n+1))/n! x n + ...

gilt für |x|< 1, если α не целое, и при любом x, если α = n - целое положительное число. Но если α = n, то α(α - 1)...(α - m) = n(n - 1)...(n - m) = 0 при m >n. Daher erhalten wir insbesondere für positive ganze Zahlen n die Beziehung:

(1 + x) n = 1 + n/1! x + n(n - 1)/2! x 2 + ... + (n(n - 1)...(n - n + 1))/n! x n ist in der Mathematik als Newtons Binomial bekannt (siehe Newtons Binomial).

Ministerium für Wissenschaft und Bildung

Abteilung "IiVT"

ERLÄUTERUNGEN

Zur Kursarbeit

Fach: Höhere Mathematik

Zum Thema: Differentialrechnung

Stadt Taldykorgan 2008

Einführung

1. Das Fach Mathematik und die Hauptperioden seiner Entwicklung. Mathematik ist eine der wichtigsten Grundlagenwissenschaften. Das Wort „Mathematik“ kommt vom griechischen Wort „mathema“, was Wissen bedeutet. Die Mathematik entstand in den allerersten Stadien der menschlichen Entwicklung im Zusammenhang mit der praktischen Tätigkeit der Menschen. Seit den ältesten Zeiten begegneten Menschen, die verschiedene Arbeiten verrichteten, der Notwendigkeit, bestimmte Gruppen von Objekten, Grundstücken, Wohnbedürfnissen von Objekten und Wohnungen zuzuweisen und zu bilden.

Zunächst war es in all diesen Fällen notwendig, quantitative Schätzungen der betrachteten Sets zu erstellen, ihre Flächen und Volumina zu messen, zu vergleichen, zu berechnen und zu transformieren. Nach der Definition von F. Engels:

MATHE - Diese Wissenschaft untersucht quantitative Beziehungen und räumliche Formen der realen Welt.

2. Grundlegende mathematische Konzepte wie Zahl, geometrische Figur, Funktion, Ableitung, Integral, zufälliges Ereignis und seine Wahrscheinlichkeit usw. Im Laufe ihrer Geschichte hat sich die Mathematik, die sich in enger Verbindung mit der Entwicklung der Produktionsaktivitäten der Menschen und der Sozialkultur entwickelt hat, zu einer kohärenten deduktiven Wissenschaft entwickelt, die sich als mächtiges Werkzeug zum Studium der Welt um uns herum präsentiert.

Akademiker A. N. Kalinov hob vier Hauptentwicklungen in der Geschichte der Mathematik hervor.

Die erste ist die Geburtsperiode der Mathematik, deren Beginn in den Tiefen der Jahrtausende der Menschheitsgeschichte liegt und verloren geht und bis zum 6.-5. Jahrhundert v. Chr. andauert. In dieser Zeit entstehen die Arithmetik sowie die Anfänge der Geometrie. Mathematische Informationen dieser Zeit bestehen hauptsächlich aus einer Reihe von Regeln zur Lösung verschiedener praktischer Probleme.

Die zweite Periode - elementare Mathematik, d.h. Mathematik, Konstanten (VI - V Jahrhundert v. Chr. - XVII Jahrhundert n. Chr.). Bereits zu Beginn dieser Periode (um 300 v. Chr.) schuf Euklid die Theorie von drei Büchern ("Euklids Anfang" - die erste der großen theoretischen Studien zur Mathematik, die uns überliefert sind), in denen er insbesondere studiert deduktiv auf der Grundlage des Axiomensystems die gesamte elementare Geometrie. Al-Khwarizmis Werk "Kibat al-Jarap al-Mukabana", das im 9. Jahrhundert veröffentlicht wurde, enthält allgemeine Methoden zur Lösung von Problemen, die sich auf Management ersten und zweiten Grades reduzieren. Im 15. Jahrhundert begannen sie, anstelle von lauten Ausdrücken Zeichen + und -, Gradzeichen, Wurzeln und Klammern zu verwenden. Im 16. Jahrhundert verwendete F. Viet Buchstaben, um Daten und unbekannte Größen zu bezeichnen. Mitte des 17. Jahrhunderts hatte die moderne algebraische Symbolik im Wesentlichen Gestalt angenommen und damit die Grundlagen einer formalen mathematischen Sprache geschaffen.

Die dritte Periode ist die Periode der Schaffung der Mathematik der Variablen (XVII Jahrhundert - Mitte des XIX Jahrhunderts). Ab dem 17. Jahrhundert wurden im Zusammenhang mit der Untersuchung quantitativer Beziehungen im Prozess ihrer Veränderung die Konzepte der variablen Größe und Funktion in den Vordergrund gerückt. In dieser Zeit wurde in den Werken von R. Descartes auf der Grundlage der weltweiten Untersuchung der Methode der Systemkoordinaten die analytische Geometrie geschaffen. In den Arbeiten von I. Newton und G. V. Leibniz vervollständigt er die Erstellung der Differentialintegralrechnung.

Die vierte Periode sind moderne Mathematiker. Sein Beginn sollte den zwanziger Jahren des 19. Jahrhunderts zugeschrieben werden - diese Periode beginnt mit den Arbeiten von E. Gauss, der die Ideen der Theorie der algebraischen Strukturen, V. I. Lobachevsky, der die erste nicht-euklidische Geometrie entdeckte - die Geometrie von Lobatschewski.

In der Folge fand die axiomatische Methode weitere Verbreitung, und die Arbeiten zur Begründung der Mathematik, der mathematischen Logik und der mathematischen Modellierung traten in eine neue Phase. Die Schaffung von Computern Mitte des letzten Jahrhunderts führte nicht nur zu einer tieferen und breiteren Anwendung der Mathematik in anderen Wissensgebieten, in den technischen Wissenschaften, in Fragen der Organisation und des Managements der Produktion, sondern auch zur Entstehung der Entwicklung von neue Bereiche theoretischer und angewandter mathematischer Funktionen. Das Eindringen der Methoden der modernen Mathematik und Computer in andere Wissenschaften und Praktiken ist so universell und tief, dass eine der Fähigkeiten des gegenwärtigen Entwicklungsstadiums der menschlichen Kultur der Prozess der Mathematisierung des Wissens und der Computerisierung aller Arbeitsbereiche ist Leben der Menschen.

3. Das Konzept der mathematischen Modellierung. Bei der Untersuchung der quantitativen Eigenschaften komplexer Objekte und Phänomenprozesse verwenden sie die Methode der mathematischen Modellierung, die darin besteht, dass die betrachteten Muster in einer mathematischen Sprache gebildet und mit geeigneten mathematischen Werkzeugen untersucht werden. Das mathematische Modul des zu untersuchenden Objekts ist mit mathematischen Symbolen geschrieben und besteht aus einer Reihe von Gleichungen, Ungleichungen, Formeln, Programmalgorithmen (für Computer), die Variablen und Konstanten, verschiedene Operationen, Funktionen, möglicherweise ihre Ableitungen, und andere mathematische enthalten Konzepte. Die Methoden zur Erstellung einfachster mathematischer Modelle sind bekannt, aus dem Mathematikunterricht der Oberstufe die Methode zur Lösung von Problemen mit Gleichungen und Gleichungssystemen - die resultierende Gleichung oder das Gleichungssystem ist ein mathematisches Modell dieses Problems. Dies waren Beispiele für Probleme mit einer einzigen Lösung - deterministische Probleme. Es gibt jedoch oft Probleme, für die es viele Lösungen gibt. In solchen Fällen stellt sich in der Praxis die Frage, eine solche Lösung zu finden, die für einen bestimmten Standpunkt am besten geeignet ist. Solche Lösungen nennt man optimale Lösungen.

Die optimale Lösung ist als die Lösung definiert, für die eine Funktion als Zielfunktion bezeichnet wird, die unter gegebenen Bedingungen die größten und kleinsten Werte annimmt. Die Zielfunktion setzt sich aus den Bedingungen des Problems zusammen und drückt den Wert aus, der optimiert (dh maximiert oder minimiert) werden muss, z. B. Gewinn, Kosten, Ressourcen usw.

Es stellt sich heraus, dass eine breite Klasse, insbesondere Kontrollprobleme, Probleme in mathematischen Modellen sind, deren Bedingungen an Variablen Ungleichheit oder Gleichheit erzeugen. Die Theorie und Methoden zur Lösung solcher Probleme bilden einen Zweig der Mathematik, der als "Mathematische Programmierung" bekannt ist.

Wenn die Nebenbedingungen und die Zielfunktion Vielfache ersten Grades (linear) sind, dann bilden solche Probleme einen Zweig der mathematischen Programmierung.

Mathematische Modelle großer abgeleiteter Systeme sind in der Regel komplex aufgebaut. Insbesondere die Anzahl der Variablen und Ungleichungen oder Gleichungen in ihnen kann mehrere zehn und sogar hundert Grad betragen und eine ziemlich komplexe Form haben. Solche Aufgaben werden in Rechenzentren mit Großrechnern gelöst.

Nach A. N. Tikhonov berechnen wir bei der Lösung realer Probleme durch die Methode der mathematischen Modellierung die folgenden fünf Phasen:

1. Erstellen eines qualitativen Modells, d. h. Betrachten von Phänomenen, Hervorheben der Hauptfaktoren und Festlegen von Mustern, die im nächsten Phänomen stattfinden.

2. Aufbau eines mathematischen Modells, d.h. Übersetzung in die Sprache der mathematischen Zustände, etablierte qualitative Muster von Phänomenen. Auf der gleichen Stufe des Staates wird die objektive Funktion, d.h. eine solche numerische Eigenschaft von Variablen, deren größter oder kleinster Wert der besten Situation aus Sicht der vorherigen Entscheidung entspricht.

3. Lösung des resultierenden Problems. Da mathematische Modelle oft sehr groß sind, werden Berechnungen mit Computern in Rechenzentren durchgeführt.

4. Der Vergleich der Berechnungsergebnisse ist unbefriedigend, dann gehe zum zweiten Zyklus des Modellierungsprozesses, d.h. Wiederholen Sie die Schritte 1, 2, 3 mit angemessener Klärung der Informationen, bis eine zufriedenstellende Übereinstimmung mit den verfügbaren Daten über das modulierte Objekt erreicht ist.

Bei der Lösung großer Probleme müssen mathematische Methoden angewendet werden, wie z Platz usw.

Es wäre jedoch ein Fehler zu glauben, dass mathematische Methoden nur zur Lösung großer Probleme benötigt werden. Im Studium der Naturwissenschaften in der High School begegnen wir der Anwendung mathematischer Methoden und Berechnungen zur Lösung verschiedener spezifischer Probleme. Ähnliche Aufgaben finden sich in der täglichen Arbeit von Fachspezialisten, Wirtschaftswissenschaftlern und Technologen. Daher müssen die Arbeitnehmer der Volkswirtschaft, in welchem Bereich auch immer sie tätig sind, die grundlegenden Forschungsmethoden und Rechentechniken, mündliche, schriftliche und maschinelle Abrechnungen beherrschen. Spezialisten müssen die Fähigkeiten moderner Computer vollständig verstehen.

In der High School lernten wir die grundlegenden Gleichungstheorien, ihre Systeme, Vektoren, Differential- und Integralrechnung und ihre Anwendungen bei der Lösung praktischer Probleme kennen.

Der Zweck des Mathematikstudiums an weiterführenden Fachinstituten besteht darin, die Kenntnisse der studierten Bereiche zu vertiefen und sich mit einigen neuen Bereichen der Mathematik (analytische Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie usw.) vertraut zu machen, die die allgemeine Kultur bereichern, logisches Denken entwickeln und weit verbreitet sind verwendet bei der mathematischen Modellierung von Problemen, mit denen ein moderner Spezialist in seiner täglichen Arbeit konfrontiert wird.

Musterstudienplan

Musterstudienplan- Dies ist ein Dokument zur Umsetzung staatlicher Anforderungen an einen Mindestinhalt und ein Mindestausbildungsniveau von graduierten Bildungseinrichtungen der Sekundarstufe. Es definiert eine allgemeine Liste von Disziplinen und den erforderlichen Zeitaufwand für ihre Umsetzung, Arten und Mindestdauer der Praxis, eine ungefähre Liste von Klassenzimmern, Labors und Werkstätten. Das Curriculum sieht zudem eine Studiengestaltung in maximal drei Fachrichtungen während der gesamten Studienzeit vor. Die Arten der industriellen Praxis und ihre Dauer werden in Übereinstimmung mit der Standardausbildungspraxis für eine bestimmte Fachrichtung bestimmt. Der Zeitplan des Bildungsprozesses hat beratenden Charakter und kann von der Bildungseinrichtung unter verbindlicher Einhaltung der Dauer der theoretischen Ausbildung, der Prüfungssitzungen sowie des Zeitpunkts der das Studienjahr beendenden Winter- und Sommerferien angepasst werden (vgl Tabelle 1).

zu einer eigenständigen mathematischen Disziplin, verbunden mit den Namen I. Newton und G. Leibniz (zweite Hälfte des 17. Jahrhunderts). Sie formulierten die Grundprinzipien Differentialrechnung und deutlich auf die wechselseitig umgekehrte Natur der Differenzierungs- und Integrationsoperationen hingewiesen. Von jetzt an Differentialrechnung entwickelt sich in enger Verbindung mit Integralrechnung , zusammen mit denen es den Hauptteil der mathematischen Analyse (oder Infinitesimalanalyse) darstellt. Die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung eröffnete eine neue Ära in der Entwicklung der Mathematik. Sie brachte die Entstehung einer Reihe mathematischer Disziplinen mit sich: die Theorie der Reihen, die Theorie der Differentialgleichungen, die Differentialgeometrie und die Variationsrechnung. Methoden der mathematischen Analyse haben in allen Zweigen der Mathematik Anwendung gefunden. Das Anwendungsgebiet der Mathematik auf Fragen der Naturwissenschaft und Technik hat sich ins Unermessliche ausgedehnt. „Erst die Differentialrechnung gibt der Naturwissenschaft die Möglichkeit, nicht nur Zustände, sondern auch Prozesse mathematisch darzustellen: Bewegung“ (Engels F., siehe Marx K. und Engels F., Soch., 2. Aufl., Bd. 20, S. 587 ).

Differentialrechnung basiert auf den folgenden wichtigsten Begriffen der Mathematik, deren Definition und Studium Gegenstand einer Einführung in die mathematische Analysis sind: reale Nummern (Zahlenstrahl), Funktion , Grenze , Kontinuität . Alle diese Begriffe haben sich im Zuge der Entwicklung und Begründung der Differential- und Integralrechnung herauskristallisiert und modernen Inhalt erhalten. Hauptidee Differentialrechnung besteht darin, Funktionen im Kleinen zu studieren. Etwas präziser: Differentialrechnung stellt eine Vorrichtung zum Untersuchen von Funktionen bereit, deren Verhalten in einer ausreichend kleinen Umgebung jedes Punktes dem Verhalten einer linearen Funktion oder eines Polynoms nahe kommt. Solche Apparate sind die zentralen Konzepte Differentialrechnung: Ableitung und Differential. Der Begriff der Ableitung entstand aus einer Vielzahl naturwissenschaftlicher und mathematischer Probleme, die zur Berechnung gleichartiger Grenzwerte führten. Die wichtigsten davon sind die Bestimmung der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung eines Punktes und die Konstruktion einer Tangente an eine Kurve. Das Konzept eines Differentials ist ein mathematischer Ausdruck der Nähe einer Funktion zu einer linearen Funktion in einer kleinen Umgebung des untersuchten Punktes. Im Gegensatz zur Ableitung kann es leicht auf Abbildungen von einem euklidischen Raum in einen anderen und auf Abbildungen beliebiger linearer normierter Räume übertragen werden und ist eines der Grundkonzepte der modernen Nichtlinearität Funktionsanalyse .

Derivat. Es sei erforderlich, die Geschwindigkeit eines sich geradlinig bewegenden materiellen Punktes zu bestimmen. Wenn die Bewegung gleichförmig ist, dann ist der vom Punkt zurückgelegte Weg proportional zur Bewegungszeit; die Geschwindigkeit einer solchen Bewegung kann definiert werden als der pro Zeiteinheit zurückgelegte Weg oder als das Verhältnis des in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Weges zur Dauer dieses Intervalls. Wenn die Bewegung ungleichmäßig ist, werden die Wege, die der Punkt in denselben Zeitintervallen zurücklegt, im Allgemeinen unterschiedlich sein. Ein Beispiel für eine ungleichförmige Bewegung ist ein frei fallender Körper im Vakuum. Das Bewegungsgesetz eines solchen Körpers wird durch die Formel ausgedrückt s = gt2/2, wo s- zurückgelegte Strecke seit Sturzbeginn (in Metern), t- Abfallzeit (in Sekunden), g- konstanter Wert, Freifallbeschleunigung, g» 9.81 m/s 2. In der ersten Sekunde des Fallens bewegt sich der Körper um etwa 4,9 m, für die zweite - etwa 14.7 m, und für den zehnten - etwa 93,2 m, d.h. der Abfall erfolgt ungleichmäßig. Daher ist die obige Definition von Geschwindigkeit hier nicht akzeptabel. In diesem Fall wird die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum nach (oder vor) einem festen Moment betrachtet t; sie ist definiert als das Verhältnis der Länge des in diesem Zeitraum zurückgelegten Weges zu seiner Dauer. Diese Durchschnittsgeschwindigkeit hängt nicht nur vom Moment ab t, sondern auch von der Wahl des Zeitintervalls. In unserem Beispiel ist die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit über das Zeitintervall von t Vor t+D t ist gleich

Dieser Ausdruck mit unbegrenzter Abnahme des Zeitintervalls D t nähert sich dem Wert gt, die die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt genannt wird t. Somit ist die Bewegungsgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt als Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit definiert, wenn das Zeitintervall unendlich abnimmt.

Im Allgemeinen sollten diese Berechnungen für jeden Zeitpunkt durchgeführt werden t, Zeitintervall von t Vor t+D t und das durch die Formel ausgedrückte Bewegungsgesetz s = f(t). Dann die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum ab t Vor t+D t gegeben durch die Formel /D t, wo d s = f(t+D t) - f(t) und die Geschwindigkeit der Bewegung zum Zeitpunkt der Zeit t ist gleich

Der Hauptvorteil der Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt oder der momentanen Geschwindigkeit gegenüber der Durchschnittsgeschwindigkeit besteht darin, dass sie wie das Bewegungsgesetz eine Funktion der Zeit ist. t, nicht die Intervallfunktion ( t, t+D t). Andererseits ist die Momentangeschwindigkeit eine Art Abstraktion, da eher die Durchschnittsgeschwindigkeit als die Momentangeschwindigkeit direkt messbar ist.

Die Aufgabe führt auch zu einem Ausdruck vom Typ (*) (vgl. Reis. ) Konstruktion Tangente irgendwann zu einer flachen Kurve M. Die Kurve Γ sei der Graph der Funktion bei = f(x). Die Position der Tangente wird bestimmt, wenn ihre Steigung gefunden wird, d. h. der Tangens des Winkels a, der durch die Tangente an die Achse gebildet wird Ochse. Bezeichne mit x0 Abszissenpunkt M, Und durch x 1 = x0+D X- Abszissenpunkt M1. Steigung der Sekante mm 1 gleich

Die Operation zum Auffinden der Ableitung nennt man Differentiation. Bei der Klasse von Funktionen, die eine Ableitung haben, ist diese Operation linear.

Tabelle der Formeln und Ableitungsregeln

Diese Vorschläge erlauben Methoden Differentialrechnung Führen Sie eine detaillierte Untersuchung des Verhaltens von Funktionen mit ausreichender Glätte (d. h. mit Ableitungen ausreichend hoher Ordnung) durch. Auf diese Weise ist es möglich, den Glättegrad zu untersuchen, Konvexität und Konkavität , zunehmende und abnehmende Funktionen , Sie Extreme , finde sie Asymptoten , Wendepunkte (siehe Wendepunkt), berechnen Krümmung Kurve, finden Sie ihre Natur heraus singuläre Punkte usw. Zum Beispiel der Zustand f"(x) > 0 führt zu einer (strengen) Erhöhung der Funktion bei = f(x) und der Zustand f"(x) > 0 - seine (strenge) Konvexität. Alle Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion, die zum Inneren ihres Definitionsbereichs gehören, gehören zu den Wurzeln der Gleichung f"(x) = 0.

Die Untersuchung von Funktionen mit Hilfe von Ableitungen ist die Hauptanwendung Differentialrechnung Außerdem, Differentialrechnung erlaubt Ihnen, verschiedene Arten von Funktionsgrenzen zu berechnen, insbesondere Grenzen der Form 0/0 und ¥/¥ (siehe. Undefinierter Ausdruck , Lopitalregel ). Differentialrechnung besonders praktisch für das Studium elementarer Funktionen, da in diesem Fall werden ihre Ableitungen explizit ausgeschrieben.

Differentialrechnung Funktionen mehrerer Variablen. Methoden Differentialrechnung werden verwendet, um Funktionen mehrerer Variablen zu untersuchen. Für eine Funktion zweier unabhängiger Variablen z = f (X, bei) partielle Ableitung in Bezug auf X heißt die Ableitung dieser Funktion nach X bei konstant bei. Diese partielle Ableitung wird bezeichnet z"x, f"x(x, j), ¶ z/¶ X oder ¶ f(x, j)/¶ x, Also

Die partielle Ableitung wird ähnlich definiert und bezeichnet z an bei. Wert

D z = f(x+D x, j+D j) - f(x, j)

heißt das volle Inkrement der Funktion z = f(x, j). Wenn es als dargestellt werden kann

D z = EIN D x + BEI D bei+a,

wobei a eine infinitesimal höhere Ordnung als der Abstand zwischen Punkten ist ( X, bei) und ( X+D X, bei+D bei), dann sagen wir, dass die Funktion z = f(x, j) ist differenzierbar. Bedingungen ABER D X + BEI D bei bilden ein vollständiges Differential dz Funktionen z = f(x, j), und ABER = z"x, = z" y. Statt d x und d j normalerweise schreiben dx und dy, Also

Geometrisch bedeutet die Differenzierbarkeit einer Funktion zweier Variablen, dass ihr Graph eine Tangentialebene hat und das Differential das Inkrement der Anwendung der Tangentialebene ist, wenn die unabhängigen Variablen inkrementiert werden dx und dy. Für eine Funktion aus zwei Variablen ist das Konzept eines Differentials viel wichtiger und natürlicher als das Konzept der partiellen Ableitungen. Anders als bei Funktionen einer Variablen garantiert bei Funktionen zweier Variablen die Existenz beider partieller Ableitungen erster Ordnung noch nicht die Differenzierbarkeit der Funktion. Sind aber auch die partiellen Ableitungen stetig, so ist die Funktion differenzierbar.

Die partiellen Ableitungen höherer Ordnungen sind ähnlich definiert. Partielle Ableitungen ¶ 2 f/¶ x 2 und ¶ 2 f/¶ um 2, bei denen nach einer Variablen differenziert wird, heißen reine und partielle Ableitungen ¶ 2 f/¶ x¶ j und ¶ 2 f/¶ bei¶ X- gemischt. Wenn gemischte partielle Ableitungen stetig sind, dann sind sie einander gleich. Alle diese Definitionen und Notationen lassen sich auf den Fall einer größeren Anzahl von Variablen übertragen.

Geschichtlicher Bezug. Separate Probleme der Bestimmung der Tangenten an Kurven und der Ermittlung der Maximal- und Minimalwerte von Variablen wurden von den Mathematikern des antiken Griechenlands gelöst. Beispielsweise wurden Möglichkeiten gefunden, Tangenten an Kegelschnitte und einige andere Kurven zu konstruieren. Die von antiken Mathematikern entwickelten Methoden waren jedoch nur in sehr speziellen Fällen anwendbar und weit von den Ideen entfernt Differentialrechnung

Das Zeitalter der Schöpfung Differentialrechnung als eigenständiger Zweig der Mathematik sollte die Zeit betrachtet werden, in der verstanden wurde, dass diese speziellen Probleme zusammen mit einer Reihe anderer (insbesondere mit dem Problem der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit) mit demselben mathematischen Apparat gelöst werden - unter Verwendung von Ableitungen und Differentialen. Dieses Verständnis wurde von I. Newton und G. Leibniz erreicht.

Um 1666 entwickelte I. Newton die Methode der Fluxionen (vgl. Flussrechnung ). Newton formulierte die Hauptaufgaben in Bezug auf die Mechanik: 1) Bestimmung der Bewegungsgeschwindigkeit aus der bekannten Abhängigkeit des Weges von der Zeit; 2) Bestimmung der in einer gegebenen Zeit zurückgelegten Strecke unter Verwendung einer bekannten Geschwindigkeit. Newton nannte eine kontinuierliche Variable fließend (Strom), ihre Geschwindigkeit - Fluss. Daher waren Newtons Hauptkonzepte die Ableitung (Fluxion) und das unbestimmte Integral als Stammfunktion (Fluent). Er suchte die Methode der Fluxionen mit Hilfe der Grenzwerttheorie zu begründen, obwohl letztere nur von ihm skizziert wurde.

Mitte der 70er Jahre. 17. Jahrhundert G. Leibniz hat einen sehr bequemen Algorithmus entwickelt Differentialrechnung Die Grundbegriffe von Leibniz waren das Differential als unendlich kleiner Zuwachs einer Variablen und das bestimmte Integral als Summe unendlich vieler Differentiale. Leibniz besitzt die Notation für das Differential dx und das Integral ò ydx, eine Reihe von Differenzierungsregeln, bequeme und flexible Symbolik und schließlich der Begriff "Differentialrechnung" selbst. Weitere Entwicklung Differentialrechnung ging zunächst den von Leibniz vorgezeichneten Weg; Eine große Rolle spielten in dieser Phase die Werke der Brüder Y. und I. Bernoulli , B. Taylor usw.

Der nächste Entwicklungsschritt Differentialrechnung waren die Werke von L. Euler und J. Lagrange (18. Jahrhundert). Euler begann sie zunächst als eine von Geometrie und Mechanik unabhängige analytische Disziplin darzustellen. Er stellte erneut als Grundkonzept vor Differentialrechnung Derivat. Lagrange versuchte zu bauen Differentialrechnung algebraisch unter Verwendung der Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen; er gehört insbesondere zur Einführung des Begriffs "Ableitung" und der Notation bei" oder f"(x). Zu Beginn des 19. Jahrhunderts das Problem der Begründung wurde zufriedenstellend gelöst Differentialrechnung basiert auf der Theorie der Grenzen. Dies geschah hauptsächlich dank der Arbeit von O. Cauchy , B. Bozen und k. Gauß . Tiefere Analyse der ersten Konzepte Differentialrechnung wurde mit der Entwicklung der Mengenlehre und der Theorie der Funktionen einer reellen Variablen im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert in Verbindung gebracht.

Zündete.: Geschichte. Vileitner G., Die Geschichte der Mathematik von Descartes bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts, übers. aus dem Deutschen, 2. Aufl., M., 1966; Stroik D. Ya., Kurzer Aufsatz zur Geschichte der Mathematik, übers. aus dem Deutschen, 2. Aufl., M., 1969; Cantor M., Vorlesungenüber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. -V., 1901-24.

Werke der Gründer und Klassiker Differentialrechnung Newton I., Mathematische Werke, übers. aus dem Lateinischen, M. - L., 1937; Leibniz G., Ausgewählte Passagen aus mathematischen Werken, übers. übersetzt aus dem Lateinischen, Uspekhi matematicheskikh nauk, 1948, Bd. 3, c. eines; L "Opital G.F. de, Analyse der Infinitesimals, übersetzt aus dem Französischen, M. - L., 1935; Euler L., Einführung in die Analyse der Infinites, übersetzt aus dem Lateinischen, 2. Aufl., Bd. 1, M., 1961; sein eigenes, Differentialrechnung, übersetzt aus dem Lateinischen, M.-L., 1949, O. L. Cauchy, Zusammenfassung der Lektionen über Differential- und Integralrechnung, übersetzt aus dem Französischen, St. Petersburg, 1831, sein eigenes, Algebraische Analysis, übersetzt aus dem Französischen , Leipzig, 1864.

Lehrbücher und Tutorials auf Differentialrechnung Khinchin A. Ya., Ein kurzer Kurs in mathematischer Analyse, 3. Aufl., M., 1957; sein eigener, Acht Vorlesungen über mathematische Analyse, 3. Aufl., M. - L., 1948; Smirnov V. I., Course of Higher Mathematics, 22. Aufl., Bd. 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Course of Differential and Integral Calculus, 7. Aufl., Bd. 1, M., 1969; La Vallee-Poussin Ch. J. de, Ein Kurs in der Analyse von Infinitesimals, übers. aus dem Französischen, Bd. 1, L. - M., 1933; Courant R., Kurs der Differential- und Integralrechnung, trans. mit ihm. und Englisch, 4. Aufl., Bd. 1, M., 1967; Banach S., Differential- und Integralrechnung, übers. aus dem Polnischen, 2. Aufl., M., 1966; Rudin U., Grundlagen der mathematischen Analysis, übers. aus dem Englischen, M., 1966.

Herausgegeben von S. B. Stechkin.

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Der Kalkül ist ein Zweig des Kalküls, der die Ableitung, Differentiale und ihre Verwendung beim Studium einer Funktion untersucht.

Geschichte des Aussehens

Die Differentialrechnung entwickelte sich in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts zu einer eigenständigen Disziplin, dank der Arbeiten von Newton und Leibniz, die die grundlegenden Bestimmungen in der Differentialrechnung formulierten und den Zusammenhang zwischen Integration und Differentiation bemerkten. Seit diesem Moment hat sich die Disziplin zusammen mit der Integralrechnung entwickelt und bildet so die Grundlage der mathematischen Analyse. Das Erscheinen dieser Kalküle eröffnete eine neue moderne Periode in der mathematischen Welt und verursachte die Entstehung neuer Wissenschaftsdisziplinen. Es erweiterte auch die Anwendungsmöglichkeiten mathematischer Wissenschaften in Naturwissenschaft und Technik.

Grundlegendes Konzept

Die Differentialrechnung basiert auf den Grundbegriffen der Mathematik. Sie sind: Kontinuität, Funktion und Grenze. Dank Integral- und Differentialrechnung bekamen sie nach einiger Zeit ein modernes Aussehen.

Entstehungsprozess

Die Bildung der Differentialrechnung in Form einer angewandten und dann einer wissenschaftlichen Methode erfolgte vor der Entstehung einer philosophischen Theorie, die von Nikolaus von Kues geschaffen wurde. Seine Werke gelten als evolutionäre Weiterentwicklung der Urteile der antiken Wissenschaft. Obwohl der Philosoph selbst kein Mathematiker war, ist sein Beitrag zur Entwicklung der mathematischen Wissenschaft unbestreitbar. Kuzansky war einer der ersten, der die Betrachtung der Arithmetik als das genaueste Wissenschaftsgebiet aufgab und die damalige Mathematik in Frage stellte.

Für antike Mathematiker war die Einheit ein universelles Kriterium, während der Philosoph anstelle der exakten Zahl die Unendlichkeit als neues Maß vorschlug. Insofern wird die Darstellung von Präzision in der mathematischen Wissenschaft umgekehrt. Wissenschaftliches Wissen ist seiner Meinung nach in rationales und intellektuelles Wissen unterteilt. Die zweite ist laut dem Wissenschaftler genauer, da die erste nur ein ungefähres Ergebnis liefert.

Idee

Die Hauptidee und das Konzept der Differentialrechnung beziehen sich auf eine Funktion in kleinen Nachbarschaften bestimmter Punkte. Dazu ist es notwendig, einen mathematischen Apparat zur Untersuchung einer Funktion zu schaffen, deren Verhalten in einer kleinen Umgebung der festgelegten Punkte dem Verhalten eines Polynoms oder einer linearen Funktion nahe kommt. Dies basiert auf der Definition von Ableitung und Differential.

Das Erscheinen wurde durch eine Vielzahl von Problemen aus den Naturwissenschaften und der Mathematik verursacht, die dazu führten, die Werte der Grenzen des gleichen Typs zu finden.

Eine der Hauptaufgaben, die als Beispiel ab dem Gymnasium angegeben werden, besteht darin, die Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes entlang einer geraden Linie zu bestimmen und eine Tangente an diese Kurve zu konstruieren. Das Differential hängt damit zusammen, da es möglich ist, die Funktion in einer kleinen Umgebung des betrachteten Punktes der linearen Funktion zu approximieren.

Gegenüber dem Begriff der Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen geht die Definition von Differentialen einfach auf eine Funktion allgemeiner Art über, insbesondere auf die Darstellung eines euklidischen Raums auf einen anderen.

Derivat

Lassen Sie den Punkt sich in Richtung der Oy-Achse bewegen, für die Zeit, die wir nehmen x, die von einem bestimmten Beginn des Moments an gezählt wird. Eine solche Bewegung kann durch die Funktion y=f(x) beschrieben werden, die jedem Zeitpunkt x der Koordinate des bewegten Punktes zugeordnet ist. In der Mechanik wird diese Funktion als Bewegungsgesetz bezeichnet. Das Hauptmerkmal der Bewegung, insbesondere der Ungleichmäßigkeit, ist: Wenn sich ein Punkt gemäß dem Gesetz der Mechanik entlang der Oy-Achse bewegt, erhält er zu einem zufälligen Zeitpunkt x die Koordinate f (x). Zum Zeitpunkt x + Δx, wobei Δx das Zeitinkrement bezeichnet, ist seine Koordinate f(x + Δx). So wird die Formel Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) gebildet, die als Inkrement der Funktion bezeichnet wird. Sie stellt den vom Zeitpunkt x bis x + Δx zurückgelegten Weg dar.

Im Zusammenhang mit dem Auftreten dieser Geschwindigkeit zum Zeitpunkt wird eine Ableitung eingeführt. In einer beliebigen Funktion wird die Ableitung an einem festen Punkt als Grenzwert bezeichnet (sofern sie existiert). Es kann durch bestimmte Symbole gekennzeichnet werden:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Den Vorgang der Berechnung der Ableitung nennt man Differentiation.

Differentialrechnung einer Funktion mehrerer Variablen

Diese Berechnungsmethode wird bei der Untersuchung einer Funktion mit mehreren Variablen verwendet. Bei Vorhandensein von zwei Variablen x und y heißt die partielle Ableitung nach x im Punkt A die Ableitung dieser Funktion nach x bei festem y.

Es kann durch die folgenden Symbole dargestellt werden:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x oder ∂f(x,y)'/∂x.

Benötigte Fähigkeiten

Um Diffuses erfolgreich studieren und lösen zu können, sind Fähigkeiten zur Integration und Differenzierung erforderlich. Um das Verständnis von Differentialgleichungen zu erleichtern, sollte man sich mit dem Thema der Ableitung gut auskennen und es schadet auch nicht zu lernen, wie man die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion sucht. Dies liegt daran, dass im Laufe des Studiums häufig Integrale und Differentiationen verwendet werden müssen.

Arten von Differentialgleichungen

In fast allen verwandten Tests gibt es 3 Arten von Gleichungen: homogen, mit trennbaren Variablen, linear inhomogen.

Es gibt auch seltenere Arten von Gleichungen: mit totalen Differentialen, Bernoulli-Gleichungen und anderen.

Lösungsgrundlagen

Zuerst müssen Sie sich die algebraischen Gleichungen aus dem Schulkurs merken. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Um eine gewöhnliche Gleichung zu lösen, müssen Sie eine Reihe von Zahlen finden, die eine bestimmte Bedingung erfüllen. In der Regel hatten solche Gleichungen eine Wurzel, und um die Richtigkeit zu überprüfen, brauchte man nur diesen Wert durch die Unbekannte zu ersetzen.

Ähnlich verhält es sich mit der Differentialgleichung. Im Allgemeinen enthält eine solche Gleichung erster Ordnung:

unabhängige Variable.
Die Ableitung der ersten Funktion.
Funktion oder abhängige Variable.

In einigen Fällen kann eine der Unbekannten x oder y fehlen, aber das ist nicht so wichtig, da das Vorhandensein der ersten Ableitung ohne Ableitungen höherer Ordnung notwendig ist, damit die Lösung und die Differentialrechnung korrekt sind.

Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet, die Menge aller Funktionen zu finden, die zu einem gegebenen Ausdruck passen. Eine solche Menge von Funktionen wird oft als allgemeine Lösung der Differentialgleichung bezeichnet.

Integralrechnung

Die Integralrechnung ist einer der Zweige der mathematischen Analyse, der das Konzept eines Integrals, Eigenschaften und Methoden für seine Berechnung untersucht.

Die Berechnung des Integrals erfolgt häufig bei der Berechnung der Fläche einer krummlinigen Figur. Diese Fläche bedeutet die Grenze, zu der die Fläche eines Polygons, das in eine bestimmte Figur eingeschrieben ist, mit einer allmählichen Zunahme seiner Seite tendiert, während diese Seiten kleiner als jeder zuvor festgelegte willkürlich kleine Wert sein können.

Die Hauptidee bei der Berechnung der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur besteht darin, die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, dh zu beweisen, dass seine Fläche gleich dem Produkt aus Länge und Breite ist. Wenn es um Geometrie geht, werden alle Konstruktionen mit Lineal und Zirkel erstellt, und dann ist das Verhältnis von Länge zu Breite ein rationaler Wert. Wenn Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, können Sie feststellen, dass, wenn Sie dasselbe Dreieck daneben legen, ein Rechteck gebildet wird. In einem Parallelogramm wird die Fläche nach einer ähnlichen, aber etwas komplizierteren Methode durch ein Rechteck und ein Dreieck berechnet. Bei Polygonen wird die Fläche durch die darin enthaltenen Dreiecke berechnet.

Bei der Bestimmung der Gnade einer beliebigen Kurve funktioniert diese Methode nicht. Wenn Sie es in einzelne Quadrate aufteilen, werden unbesetzte Plätze vorhanden sein. In diesem Fall versucht man, zwei Abdeckungen zu verwenden, mit Rechtecken oben und unten, als Ergebnis enthalten diese den Graphen der Funktion und nicht. Wichtig bleibt hier die Art der Aufteilung in diese Rechtecke. Auch wenn wir immer kleiner werdende Teilungen nehmen, dann müssen die Fläche darüber und darunter bei einem bestimmten Wert zusammenlaufen.

Sie sollten zur Methode der Teilung in Rechtecke zurückkehren. Es gibt zwei beliebte Methoden.

Riemann formalisierte die von Leibniz und Newton geschaffene Definition des Integrals als Fläche eines Teilgraphen. In diesem Fall wurden Figuren betrachtet, die aus einer bestimmten Anzahl vertikaler Rechtecke bestehen und durch Teilen des Segments erhalten werden. Wenn es bei abnehmender Teilung eine Grenze gibt, bis zu der sich die Fläche einer ähnlichen Figur verringert, wird diese Grenze als Riemann-Integral einer Funktion in einem bestimmten Intervall bezeichnet.

Die zweite Methode ist die Konstruktion des Lebesgue-Integrals, das darin besteht, dass für den Ort der Teilung des definierten Bereichs in Teile des Integranden und die anschließende Bildung der Integralsumme aus den in diesen Teilen erhaltenen Werten sein Wertebereich ist wird in Intervalle unterteilt und dann mit den entsprechenden Maßen der inversen Bilder dieser Integrale summiert.

Moderne Vorteile

Eines der wichtigsten Handbücher für das Studium der Differential- und Integralrechnung wurde von Fikhtengolts geschrieben - "Kurs zur Differential- und Integralrechnung". Sein Lehrbuch ist ein grundlegender Leitfaden für das Studium der mathematischen Analyse, das viele Auflagen und Übersetzungen in andere Sprachen durchlaufen hat. Erstellt für Universitätsstudenten und wird seit langem in vielen Bildungseinrichtungen als eines der wichtigsten Lernhilfen verwendet. Gibt theoretische Daten und praktische Fähigkeiten. Erstveröffentlichung 1948.

Funktionsforschungsalgorithmus

Um eine Funktion mit Methoden der Differentialrechnung zu untersuchen, ist es notwendig, den bereits angegebenen Algorithmus zu befolgen:

Finden Sie den Umfang der Funktion.
Finden Sie die Wurzeln der gegebenen Gleichung.
Extreme berechnen. Berechnen Sie dazu die Ableitung und die Punkte, an denen sie gleich Null ist.
Setzen Sie den resultierenden Wert in die Gleichung ein.

Sorten von Differentialgleichungen

DE erster Ordnung (sonst Differentialrechnung einer Variablen) und ihre Typen:

Getrennte Variablengleichung: f(y)dy=g(x)dx.
Die einfachsten Gleichungen oder Differentialrechnungen einer Funktion einer Variablen mit der Formel: y"=f(x).
Lineares inhomogenes DE erster Ordnung: y"+P(x)y=Q(x).
Bernoullis Differentialgleichung: y"+P(x)y=Q(x)y a .
Gleichung mit totalen Differentialen: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung und ihre Typen:

Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Werten des Koeffizienten: y n +py"+qy=0 p, q gehört zu R.
Lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstantem Wert der Koeffizienten: y n +py"+qy=f(x).
Lineare homogene Differentialgleichung: y n + p(x)y" + q(x)y=0 und inhomogene Gleichung zweiter Ordnung: y n + p(x)y" + q(x)y=f(x).

Differentialgleichungen höherer Ordnung und ihre Typen:

Differentialgleichung mit niedrigerer Ordnung: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Die lineare Gleichung höherer Ordnung ist homogen: y (n) + f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, und inhomogen: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Phasen der Lösung eines Problems mit einer Differentialgleichung

Mit Hilfe der Fernsteuerung werden nicht nur mathematische oder physikalische Fragestellungen gelöst, sondern auch diverse Probleme aus Biologie, Wirtschaft, Soziologie und anderen Dingen. Trotz der großen Themenvielfalt sollte man sich bei der Lösung solcher Probleme an eine einzige logische Reihenfolge halten:

Zusammenstellung von DU. Einer der schwierigsten Schritte, der höchste Präzision erfordert, da jeder Fehler zu völlig falschen Ergebnissen führt. Alle den Prozess beeinflussenden Faktoren sollten berücksichtigt und die Anfangsbedingungen ermittelt werden. Es sollte auch auf Fakten und logischen Schlussfolgerungen beruhen.
Lösung der formulierten Gleichung. Dieser Prozess ist einfacher als der erste Punkt, da er nur strenge mathematische Berechnungen erfordert.
Analyse und Bewertung der erzielten Ergebnisse. Die abgeleitete Lösung sollte bewertet werden, um den praktischen und theoretischen Wert des Ergebnisses festzustellen.

Ein Beispiel für die Verwendung von Differentialgleichungen in der Medizin

Der Einsatz von Fernsteuerung im Bereich der Medizin erfolgt beim Aufbau eines epidemiologischen mathematischen Modells. Dabei darf man nicht vergessen, dass diese Gleichungen auch in der der Medizin nahestehenden Biologie und Chemie zu finden sind, denn dort spielt die Erforschung verschiedener biologischer Populationen und chemischer Prozesse im menschlichen Körper eine wichtige Rolle.

Im obigen Beispiel einer Epidemie kann man die Ausbreitung einer Infektion in einer isolierten Gesellschaft betrachten. Die Einwohner werden in drei Typen eingeteilt:

Infizierte, Anzahl x(t), bestehend aus Individuen, Träger der Infektion, von denen jeder ansteckend ist (die Inkubationszeit ist kurz).
Die zweite Art umfasst anfällige Personen y(t), die sich durch Kontakt mit infizierten Personen infizieren können.
Die dritte Art umfasst Immunindividuen z(t), die immun sind oder an einer Krankheit gestorben sind.

Die Personenzahl ist konstant, Geburten, natürliche Todesfälle und Wanderungen werden nicht berücksichtigt. Sie basiert auf zwei Hypothesen.

Der Prozentsatz der Inzidenz zu einem bestimmten Zeitpunkt ist gleich x(t)y(t) (basierend auf der Annahme, dass die Anzahl der Fälle proportional zur Anzahl der Schnittmengen zwischen kranken und anfälligen Vertretern ist, was in erster Näherung sein wird proportional zu x(t)y(t)), in Daher nimmt die Zahl der Kranken zu und die Zahl der anfälligen Personen ab mit einer Rate, die nach der Formel ax(t)y(t) berechnet wird (a > 0 ).

Die Zahl der Immunpersonen, die eine Immunität erlangt haben oder gestorben sind, steigt proportional zur Zahl der Erkrankten, bx(t) (b > 0).

Dadurch ist es möglich, ein Gleichungssystem unter Berücksichtigung aller drei Indikatoren aufzustellen und darauf aufbauend Schlussfolgerungen zu ziehen.

Anwendungsbeispiel in der Wirtschaftswissenschaft

Die Differentialrechnung wird häufig in der Wirtschaftsanalyse verwendet. Die Hauptaufgabe in der Wirtschaftsanalyse ist die Untersuchung von Größen aus der Wirtschaft, die in Form einer Funktion geschrieben werden. Dies wird verwendet, um Probleme wie Einkommensänderungen unmittelbar nach einer Steuererhöhung, Einführung von Zöllen, Änderungen der Unternehmenseinnahmen bei Änderungen der Produktionskosten zu lösen, in welchem \u200b\u200bVerhältnis können pensionierte Arbeitnehmer durch neue Geräte ersetzt werden. Um solche Fragen zu lösen, ist es erforderlich, aus den Eingangsvariablen eine Verbindungsfunktion zu konstruieren, die dann mit der Differentialrechnung untersucht wird.

Im wirtschaftlichen Bereich ist es oft notwendig, die optimalsten Indikatoren zu finden: maximale Arbeitsproduktivität, höchstes Einkommen, niedrigste Kosten und so weiter. Jeder derartige Indikator ist eine Funktion eines oder mehrerer Argumente. Beispielsweise kann die Produktion als Funktion des Arbeits- und Kapitaleinsatzes betrachtet werden. Insofern kann das Finden eines geeigneten Wertes auf das Finden des Maximums oder Minimums einer Funktion aus einer oder mehreren Variablen reduziert werden.

Probleme dieser Art schaffen eine Klasse von Extremalproblemen im ökonomischen Bereich, deren Lösung die Differentialrechnung erfordert. Wenn ein wirtschaftlicher Indikator als Funktion eines anderen Indikators minimiert oder maximiert werden muss, dann wird das Verhältnis des Zuwachses der Funktion zu den Argumenten am Punkt des Maximums gegen Null gehen, wenn der Zuwachs des Arguments gegen Null geht. Andernfalls, wenn ein solches Verhältnis zu einem positiven oder negativen Wert tendiert, ist der angegebene Punkt nicht geeignet, da Sie durch Erhöhen oder Verringern des Arguments den abhängigen Wert in die erforderliche Richtung ändern können. In der Terminologie der Differentialrechnung bedeutet dies, dass die erforderliche Bedingung für das Maximum einer Funktion der Nullwert ihrer Ableitung ist.

In der Wirtschaftswissenschaft gibt es oft Aufgaben, das Extremum einer Funktion mit mehreren Variablen zu finden, denn Wirtschaftsindikatoren setzen sich aus vielen Faktoren zusammen. Solche Fragen werden in der Theorie der Funktionen mehrerer Variablen unter Anwendung der Methoden der Differentialrechnung gut untersucht. Solche Probleme umfassen nicht nur maximierte und minimierte Funktionen, sondern auch Beschränkungen. Solche Fragestellungen sind mit der mathematischen Programmierung verwandt und werden mit Hilfe speziell entwickelter Methoden, ebenfalls basierend auf diesem Wissenschaftszweig, gelöst.

Unter den Methoden der Differentialrechnung, die in den Wirtschaftswissenschaften verwendet werden, ist ein wichtiger Abschnitt die Randanalyse. Im wirtschaftlichen Bereich bezieht sich dieser Begriff auf eine Reihe von Methoden zur Untersuchung variabler Indikatoren und Ergebnisse, wenn das Volumen der Erzeugung und des Verbrauchs auf der Grundlage der Analyse ihrer Randindikatoren geändert wird. Der begrenzende Indikator ist die Ableitung oder partielle Ableitung mit mehreren Variablen.

Die Differentialrechnung mehrerer Variablen ist ein wichtiges Thema im Bereich der mathematischen Analysis. Für ein detailliertes Studium können Sie verschiedene Lehrbücher für die Hochschulbildung verwenden. Einer der berühmtesten wurde von Fikhtengolts erstellt - "Kurs der Differential- und Integralrechnung". Wie der Name schon sagt, sind Kenntnisse im Umgang mit Integralen für das Lösen von Differentialgleichungen von erheblicher Bedeutung. Wenn die Differentialrechnung einer Funktion einer Variablen stattfindet, wird die Lösung einfacher. Es sollte jedoch beachtet werden, dass es denselben Grundregeln gehorcht. Um eine Funktion in der Praxis durch Differentialrechnung zu untersuchen, reicht es aus, dem bereits vorhandenen Algorithmus zu folgen, der in der High School gegeben wird und nur geringfügig kompliziert wird, wenn neue Variablen eingeführt werden.

Wir werden dem italienischen Wissenschaftler G. Galileo folgen, um das Gesetz des freien Falls von Körpern zu studieren. Lass uns einen Kiesel aufheben und ihn dann aus der Ruhe lassen. Lassen Sie - die Zeit, die ab Beginn des Sturzes gezählt wird, a - die von dem Moment zurückgelegte Strecke. Galileo fand experimentell heraus, dass die Abhängigkeit die folgende einfache Form hat:

wobei die Zeit in Sekunden und eine physikalische Konstante von etwa 9,8 m/s2 ist.

Die Bewegung eines frei fallenden Körpers ist eindeutig ungleichmäßig. Die Fallgeschwindigkeit nimmt allmählich zu. Aber wie genau sieht Sucht aus? Es ist klar, dass das Wissen um die Abhängigkeit, d.h. Bewegungsgesetz eines fallenden Körpers, sollten wir daraus im Prinzip einen Ausdruck für Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ableiten können.

Versuchen wir, die Abhängigkeit von zu finden. Wir werden wie folgt argumentieren: Wir legen den Moment fest, in dem wir den Wert der Geschwindigkeit wissen wollen. Sei ein kleines Zeitintervall, das seit dem Moment verstrichen ist. Während dieser Zeit legt der fallende Körper eine Strecke gleich zurück. Wenn das Zeitintervall sehr klein ist, hat die Geschwindigkeit des Körpers keine Zeit, sich merklich zu ändern, also können wir davon ausgehen, dass es ungefähr so ist, wenn es klein ist

, (1)

, (2)

und die letzte ungefähre Gleichheit ist umso genauer, je kleiner (je näher der Wert an Null liegt). Das bedeutet, dass der Wert der momentanen Geschwindigkeit als Grenze angesehen werden kann, zu der das Verhältnis auf der linken Seite der ungefähren Gleichheit (2) tendiert, die die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall von dem Moment bis zu dem Moment ausdrückt, an dem die Wert tendiert gegen Null.

Dies wird in das Formular geschrieben

. (3)

Führen wir die in Beziehung (3) angegebenen Berechnungen auf der Grundlage der von Galileo gefundenen Abhängigkeit durch

Lassen Sie uns zuerst einige grundlegende Berechnungen durchführen:

und jetzt dividieren wir durch , erhalten wir

Wenn es gegen Null geht, geht auch der zweite Term der rechts geschriebenen Summe gegen Null, und der erste bleibt konstant, genauer gesagt, hängt also in unserem Fall nicht vom Wert von ab

und wir fanden das Gesetz

Änderung der Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers. Bitte beachten Sie, dass Formel (3) gleichzeitig sowohl die Definition als auch die Regel zur Berechnung der Werte der momentanen Änderungsrate der Funktion angibt.

Da die Geschwindigkeit selbst eine Funktion der Zeit ist, könnte man die Frage nach der Geschwindigkeit ihrer Änderung aufwerfen. In der Physik wird die Änderungsrate der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet. Wenn also die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit ist, dann erhalten wir, argumentierend wie in der Herleitung von Formel (3), für die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt der Zeit den Ausdruck

. (4)

"Die Entdeckung der Infinitesimalrechnung gab den Mathematikern die Möglichkeit, die Bewegungsgesetze von Körpern auf analytische Gleichungen zu reduzieren." J. L. Lagrange

Mal sehen, was diese Formel für den Fall des freien Falls ergibt, in dem, wie wir berechnet haben, gilt:

und da eine Konstante ist, ergibt sich aus (4), dass die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers konstant ist und der Wert dieselbe physikalische Konstante ist, die die Beschleunigung des freien Falls in der Nähe der Erdoberfläche ausdrückt.

Es ist leicht, die vollständige Ähnlichkeit der Ausdrücke (3), (4) zu bemerken und zu verstehen, dass wir einen allgemeinen mathematischen Ausdruck für die momentane Änderungsrate einer Variablen gefunden haben. Natürlich hängt das Ergebnis der Berechnungen mit den Formeln (3), (4), wie wir gesehen haben, von der spezifischen Art der Funktionen oder den Operationen selbst an diesen Funktionen ab, die durch die rechten Teile der Formeln (3) vorgeschrieben sind. , (4), sind gleich.

Fasst man die Beobachtungen zusammen, die in der mathematischen Analyse bereits für jede Funktion gemacht wurden, wird eine wichtige Größe berücksichtigt:

, (5)

was als Ableitung der Funktion bezeichnet wird.

Die Ableitung spielt somit die Rolle der Änderungsrate der abhängigen Variablen in Bezug auf die Änderung der unabhängigen Variablen; letzteres muss nicht mehr die physikalische Bedeutung von Zeit haben.

Der Wert der Ableitung hängt vom Wert des Arguments ab, so dass, wie im Fall der Geschwindigkeit, die Ableitung einer Funktion selbst eine Funktion der Variablen ist.

In Formel (5) wird die Größe der Differenz als Inkrement des Arguments der Funktion bezeichnet und oft durch ein Symbol (sprich: Delta x) und die Differenz bezeichnet wird normalerweise mit (oder vollständiger mit ) bezeichnet und heißt das Inkrement der Funktion, das dem gegebenen Inkrement des Arguments entspricht. In diesen Notationen nimmt der Ausdruck (5) die Form an:

oder .

Somit ist der Wert der Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion, das dem Offset von dem Punkt entspricht, zum Inkrement des Arguments, wenn es sich Null nähert.

In der Differentialrechnung werden Ableitungen elementarer Grundfunktionen hergeleitet. Lassen Sie uns zum Beispiel angeben, dass die Ableitungen der Funktionen , , die Funktionen , bzw. sind.

In der Differentialrechnung werden auch die folgenden allgemeinen Regeln zur Ableitung abgeleitet:

(Herausnehmen eines konstanten Multiplikators);

(Differenzierung der Summe und Differenz von Funktionen);

(Differenzierung des Produkts von Funktionen);

(Differenzierung von Teilfunktionen).

Schließlich gilt auch die folgende wichtige Regel zum Ableiten einer komplexen Funktion: Wenn , und , dann ist die Ableitung der Funktion gleich , oder .

Wenn zum Beispiel ein Polynom ist, dann

ISAAC NEWTON
(1643-1727)

Im Jahr 1665 machte Isaac Newton seinen Abschluss an der University of Cambridge und stand kurz davor, dort an seinem heimatlichen Trinity College zu arbeiten. Die Pest, die in England wütete, zwang Newton jedoch, sich auf seine Farm in Woolsthorpe zurückzuziehen. Fast zwei Jahre zogen sich die „Pestferien“ hin. „Ich war damals in der Blüte meiner erfinderischen Kräfte und dachte mehr als je zuvor an Mathematik und Philosophie“, schrieb Newton. Dann machte der junge Wissenschaftler fast alle seine Entdeckungen in Physik und Mathematik. Er entdeckte das Gesetz der universellen Gravitation und begann mit seiner Hilfe die Planeten zu erforschen. Er fand heraus, dass Keplers 3. Gesetz der Beziehung zwischen Planetenperioden und Entfernung zur Sonne notwendigerweise folgt, vorausgesetzt, dass die Gravitationskraft der Sonne umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung des Planeten ist.

Aber um die Gesetze der Physik zu erforschen und auszudrücken, musste sich Newton auch mit Mathematik auseinandersetzen. In Woolstorpe, Newton, schafft das Lösen von Problemen beim Zeichnen von Tangenten an Kurven und das Berechnen der Flächen von krummlinigen Figuren eine allgemeine Methode zur Lösung solcher Probleme - die Methode der Flüsse (Ableitungen) und des Flusses, die G. V. Leibniz Differentiale nannte. Newton berechnete die Ableitung und das Integral jeder Potenzfunktion. Der Wissenschaftler schreibt ausführlich über Differential- und Integralrechnung in seinem bedeutendsten Werk zur Mathematik, The Method of Fluxions (1670-1671), das nach seinem Tod veröffentlicht wurde. Es legte die Grundlagen der mathematischen Analyse. Newton findet auch eine Formel für verschiedene Grade der Summe zweier Zahlen (siehe Newtons Binomial) und beschränkt sich nicht auf natürliche Indikatoren und kommt auf die Summen unendlicher Zahlenreihen (siehe Reihen). Newton zeigte, wie man Reihen in der mathematischen Forschung anwendet.

Als Newton 1666 nach Cambridge zurückkehrte, brachte er unzählige und unbezahlbare Ergebnisse aus seinen mathematischen Studien in Woolsthorpe mit. Er hatte noch keine Zeit, sie in eine veröffentlichungsfähige Form zu bringen, und er hat es nicht eilig damit. Er fügte weitere Fälle hinzu, 1669 erhielt er eine physikalische und mathematische Abteilung. 1672 wurde er zum Mitglied der Royal Society of London (English Academy of Sciences) gewählt.

1680 begann Newton mit der Arbeit an seinem Hauptwerk The Mathematical Principles of Natural Philosophy, in dem er sein Weltsystem darstellen wollte. Die Veröffentlichung des Buches war ein bedeutendes Ereignis in der Geschichte der Naturwissenschaften. Darin ist das ganze majestätische Gebäude der Mechanik auf der Grundlage der Bewegungsaxiome aufgebaut, die heute als Newtonsche Gesetze bekannt sind.

In den „Prinzipien“ leitet Newton rein mathematisch alle damals bekannten Grundtatsachen der Mechanik von Erd- und Himmelskörpern, die Bewegungsgesetze eines Punktes und eines festen Körpers, die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung ab.

Viele von Newtons mathematischen Arbeiten wurden nie rechtzeitig veröffentlicht. Seine ersten relativ ausführlichen Veröffentlichungen gehen auf das Jahr 1704 zurück. Dies sind die Arbeiten „Aufzählung von Kurven dritter Ordnung“, die die Eigenschaften dieser Kurven beschreiben, und „Abhandlungen über die Quadratur eines Kreises“, die sich der Differential- und Integralrechnung widmen.

1688 wurde I. Newton ins Parlament gewählt, und 1699 zog er nach London, wo er eine lebenslange Position als Direktor der Münze erhielt.

Die Arbeiten von I. Newton bestimmten lange Zeit die Entwicklung der Physik und Mathematik. Ein bedeutender Teil der klassischen Mechanik ist in der von Newton geschaffenen Form lange erhalten geblieben. Das Gesetz der universellen Gravitation wurde allmählich als ein einziges Prinzip verwirklicht, das es ermöglicht, eine perfekte Theorie der Bewegung von Himmelskörpern aufzubauen. Die von ihm geschaffene mathematische Analyse eröffnete eine neue Ära in der Mathematik.

Oder wenn , dann unter der Annahme , , erhalten wir das und deshalb, .

Wir haben bereits festgestellt, dass viele Probleme zur Berechnung von Grenzwerten der Form (3), (4), (5) führten, d. h., wie wir jetzt sagen können, zur Berechnung der Ableitung.

Betrachten wir nun ein weiteres klassisches Beispiel einer rein geometrischen Fragestellung, die durch eine Ableitung gelöst wird, die Konstruktion einer Tangente an eine Kurve (siehe Tangente).

Es ist erforderlich, eine gerade Linie (Abb. 1) zu erstellen, die an einem Punkt die Kurve tangiert - den Graphen der Funktion.

„Erst die Differentialrechnung gibt der Naturwissenschaft die Möglichkeit, nicht nur Zustände, sondern auch Prozesse mathematisch darzustellen: Bewegung.“ F. Engels

Wie bei der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit wird die Konstruktion einer Tangente von einer Verfeinerung des Begriffs einer Tangente begleitet.

Seien die Koordinaten des Punktes: Wie Sie wissen, ist jede nicht senkrechte Linie, die durch den Punkt verläuft, durch die Gleichung gegeben ,

die sogenannte Steigung einer Geraden, die ihre Neigung zur horizontalen Achse kennzeichnet. In unserem Fall hat also die Gleichung einer durch den Punkt gehenden Geraden die Form , und wir wollen den Wert des Koeffizienten so wählen, dass die Gerade möglichst gut an die Kurve „angepasst“ wird, also unsere Kurve in der Nähe des Punktes am besten annähert. Das bedeutet, dass wir so wählen wollen, dass die ungefähre Gleichheit oder, was dasselbe ist, die ungefähre Gleichheit

war wahrscheinlich genauer für Werte in der Nähe von .

Aber dies ist eine bekannte Situation und bis auf die Umbenennung von , ist dies eine bekannte Beziehung aus Formel (5), daher

Wir haben also die Gleichung gefunden

die gerade Linie, die die Kurve in einer Umgebung des Punktes am besten annähert. Es ist natürlich, diese Linie als die gewünschte Tangente an die gegebene Kurve an dem betrachteten Punkt zu betrachten.

Nehmen wir zum Beispiel eine Parabel, d.h. , dann wird die Tangente daran an dem Punkt aufgrund von (7) durch die Gleichung gegeben, die in eine kompaktere Form transformiert werden kann.

Oben haben wir eine physikalische Interpretation der Ableitung als Momentangeschwindigkeit gegeben, und jetzt können wir basierend auf der Tangentengleichung (7) eine geometrische Interpretation der Ableitung geben. Der Wert der Ableitung einer Funktion an einem festen Punkt ist nämlich die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt .

Das bedeutet insbesondere, dass in den Änderungsbereichen der Variablen , auf denen , die Funktion zunimmt; wo , die Funktion abnimmt, und an den Punkten lokaler Maxima oder Minima der Funktion muss ihre Ableitung verschwinden, weil die Tangente an diesen Punkten horizontal ist. Klar ist auch, dass, wenn die Ableitung irgendwann verschwindet, man nicht vorschnell auf einen Maximum- oder Minimumpunkt schließen kann (siehe Punkt), weil sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen dieses Punktes nicht ändern darf, und der Die Funktion wird weiter erhöht oder verringert. Wenn aber die Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ihr Vorzeichen ändert (siehe Punkte), dann ist klar, dass die Funktion entweder ein lokales Maximum haben wird, wenn es einen Vorzeichenwechsel von "" nach "" (wie in Punkten) gibt, oder ein lokales Minimum, wenn sich die Vorzeichen von "" nach "" ändern (wie in Punkt ).

Versuchen wir zum Beispiel, einen solchen rechteckigen Abschnitt der Wiese mit einem Draht einer bestimmten Länge zu umschließen, um einen möglichst geräumigen Korral für Rinder zu erhalten, d.h. Unter Rechtecken mit einem bestimmten Umfang (dh unter isoperimetrischen Rechtecken) muss man dasjenige finden, das die größte Fläche hat.

Wenn die Länge einer der Seiten des Rechtecks ist, dann ist unter der angegebenen Bedingung die Länge der anderen Seite und die Fläche des Rechtecks . Wir müssen den Maximalwert der Funktion finden auf dem Segment. Da bei oder die Funktion offensichtlich verschwindet (das Rechteck entartet zu einem Segment), wird das Maximum bei einem Wert zwischen 0 und erreicht. Wie findet man diesen Wert?

Entsprechend der oben gemachten Beobachtung können die Maximalwerte der Funktion nur beim Wert von liegen, bei dem die Änderungsrate der Funktion gleich Null ist, also .

Lassen Sie uns unter Verwendung der bereits früher durchgeführten Berechnungen die Ableitung unserer Funktion finden. Weil die , dann und bei . Entsprechend der eigentlichen Bedeutung des Problems sollte die Funktion mit dem gefundenen Wert des Arguments genau das Maximum haben. Dies kann auch formal überprüft werden:

Bei und bei .

Somit haben wir herausgefunden, dass das gewünschte Rechteck mit der größten Fläche ein Quadrat ist, dessen Seitenlänge ist.

Eine Funktion heißt differenzierbar für einen Wert ihres Arguments, wenn das Inkrement dieser Funktion entsprechend dem Inkrement sein Argument kann dargestellt werden als

wobei ein Koeffizient ist, der nur von abhängt, und ein gegen Null tendierender Wert ist, der gegen Null tendiert.

Auf diese Weise,

diese. bis auf einen Fehler , klein im Vergleich zur Größe des Inkrements des Arguments, des Inkrements eine an einem Punkt differenzierbare Funktion kann durch einen Wert ersetzt werden, der bezüglich der Schrittweite des Arguments linear ist.

Diese lineare Näherungsfunktion in wird das Differential der ursprünglichen Funktion an einem Punkt genannt und wird durch das Symbol oder vollständiger bezeichnet.

An jedem Punkt hat die approximierende lineare Funktion im Allgemeinen ihre eigene, was durch die Abhängigkeit des Koeffizienten von vermerkt ist.

Dividiert man beide Teile von Gleichheit (8) durch und berücksichtigt man, dass der Wert gegen Null geht, wenn er gegen Null geht, erhält man die Beziehung:

, (10)

erlaubt, den Differentialkoeffizienten zu berechnen und zu zeigen, dass er einfach mit dem Wert der Ableitung der Funktion am Punkt zusammenfällt.

Ist also die Funktion an der Stelle differenzierbar, so existiert an dieser Stelle die in (10) angegebene Grenze, d.h. es hat eine Ableitung und .

GOTTFRID WILHELM LEIBNITZ
(1646-1716)

Mathematik war nicht seine einzige Leidenschaft. Schon in jungen Jahren wollte er die Natur als Ganzes kennen, und die Mathematik sollte zu einem entscheidenden Werkzeug dieser Erkenntnis werden. Er war Philosoph und Linguist, Historiker und Biologe, Diplomat und Politiker, Mathematiker und Erfinder. Leibniz' wissenschaftliche und gesellschaftliche Pläne waren grandios. Er träumte davon, eine Weltakademie der Wissenschaften zu gründen, eine „universelle Wissenschaft“ aufzubauen. Er wollte die einfachsten Begriffe herausgreifen, aus denen nach gewissen Regeln alle beliebig komplexen Begriffe gebildet werden können. Leibniz träumte von einer universellen Sprache, die es erlauben würde, jeden Gedanken in Form mathematischer Formeln zu schreiben, wobei sich logische Fehler als mathematische Fehler zeigen. Er dachte an eine Maschine, die Theoreme aus Axiomen ableitet, daran, logische Aussagen in arithmetische umzuwandeln (diese Idee wurde in unserem Jahrhundert zum Leben erweckt).

Aber die Grandiosität von Leibniz' Plänen bestand gleichzeitig mit dem Verständnis dessen, was direkt umgesetzt werden könnte. Er kann keine Weltakademie organisieren, aber 1700 organisiert er eine Akademie in Berlin, empfiehlt Peter I., eine Akademie in Russland zu organisieren. Bei der Organisation der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften im Jahr 1725 wurden die Pläne von Leibniz verwendet. Er ist auch hervorragend darin, spezifische Probleme in der Mathematik zu lösen: Er erschafft eine neue Art von Addiermaschine, die nicht nur Zahlen addiert und subtrahiert, sondern auch multipliziert, dividiert, potenziert und Quadrat- und Kubikwurzeln zieht, schwierige geometrische Probleme löst. Führt das Konzept einer Determinante ein und legt die Grundlagen für die Theorie der Determinanten. Und doch versuchte Leibniz, jede Frage immer vom allgemeinsten Standpunkt aus zu betrachten. Beispielsweise bemerkt X. Huygens die Energieerhaltung am Beispiel einiger mechanischer Probleme, und Leibniz versucht diese Aussage in ein universelles Naturgesetz zu überführen, er betrachtet das Universum als Ganzes als ein Perpetuum Mobile (eine Vorformulierung von Energieerhaltungssatz!).

Aber diese Qualitäten von Leibniz zeigten sich besonders deutlich, als er, nachdem er die verschiedenen mathematischen und mechanischen Probleme, die von Huygens gelöst wurden, auf dessen Rat hin mit den Arbeiten von B. Pascal über die Zykloide bekannt gemacht hatte, bekannt wurde. Er beginnt zu verstehen, dass sich in der Lösung dieser unterschiedlichen Probleme eine allgemeine, universelle Methode zur Lösung einer Vielzahl von Problemen verbirgt und dass Pascal vor dem entscheidenden Schritt innehält, "als ob ein Schleier vor seinen Augen wäre". Leibniz erstellt Differential- und Integralrechnung, die in einer anderen Version gebaut, aber nicht von I. Newton veröffentlicht wurden.

Der Wissenschaftler, der an der Entwicklung einer universellen Sprache beteiligt ist, versteht, welche Rolle die Symbolik im neuen Kalkül spielen soll (siehe Mathematische Zeichen). Ohne die Symbolik (die bis heute in der von Leibniz vorgeschlagenen Form überlebt hat) wäre die Methode der mathematischen Analyse nicht über den engen Kreis der Elite hinausgekommen (wie es mit der Algebra vor der Symbolik von Vieta-Descartes der Fall war). Übrigens hat Leibniz einige andere mathematische Symbole vorgeschlagen, zum Beispiel (Gleichheit), (Multiplikation). Im Gegensatz zu Newton verwendete Leibniz viel Energie darauf, seine Methode auf andere Mathematiker zu übertragen, unter denen die Brüder Jacob und Johann Bernoulli herausragten. Auf seine Initiative hin entstand eine Zeitschrift, in der eine Gruppe von Mathematikern die Methoden einer neuen mathematischen Analyse perfektionierte.

Leibniz sah den Sinn seines Lebens in der Erkenntnis der Natur, in der Schaffung von Ideen, die helfen, ihre Gesetze aufzudecken.

Umgekehrt, wenn die Funktion an einem Punkt eine durch Gleichheit (5) definierte Ableitung hat, dann

wo die Korrektur auf Null geht, wenn sie auf Null geht. Multiplizieren wir diese Gleichheit mit , erhalten wir

und damit ist die Funktion am Punkt differenzierbar.

Wir haben also gesehen, dass eine Funktion genau dann ein Differential hat, wenn sie eine Ableitung , und hat. Aber das Differential als lineare Funktion in wird vollständig durch den Koeffizienten bestimmt, also ist das Finden des Differentials einer Funktion ziemlich gleichbedeutend mit dem Finden ihrer Ableitung. Aus diesem Grund werden diese beiden Operationen oft mit dem gleichen Begriff bezeichnet - "Differenzierung", und der Kalkül heißt Differential.

Wenn statt zu schreiben , dann kannst du stattdessen schreiben . Wenn wir , dann und nehmen, schreiben sie daher oft ein Differential, anstatt die unabhängige Variable zu inkrementieren. In diesen Notationen erhält man eine schöne Notation für das Differential einer Funktion, von der Leibniz zur Notation für die Ableitung kam, wobei er letztere als das Verhältnis der Differentiale der Funktion und ihres Arguments betrachtete. Beachten Sie, dass die Notation für die Ableitung erst 1770 vom französischen Mathematiker J. L. Lagrange eingeführt wurde und die ursprüngliche Notation war

G. Leibniz, das in vielerlei Hinsicht so erfolgreich ist, dass es bis heute weit verbreitet ist.

Bevor wir zeigen, wie das Differential in ungefähren Berechnungen verwendet werden kann, wollen wir seine geometrische und physikalische Interpretation verfolgen.

Wenn wir in Gleichheit (8) statt schreiben, dann können wir davon ausgehen, dass in Abb. 1 der linken Seite der Gleichheit (8) entspricht einem Segment (dies ist ein Inkrement einer Funktion oder ein Inkrement der Ordinate der Kurve), dem Differential entspricht dem Segment (dies ist die Erhöhung der Ordinate der Tangente, die unsere Kurve in der Nähe des Punktes annähert), und der Rest entspricht dem Segment, das im Vergleich zu dem Segment um so kleiner ist, je kleiner das Inkrement von ist das Argument. Es ist dieser Umstand, der durch die Beziehung (11) und die ungefähre Gleichheit (9) widergespiegelt wird, was bedeutet, dass .. seine Geschwindigkeit ist und . Es stellt sich heraus, dass Beziehung (12) ein Sonderfall der allgemeinen Gleichheit ist, und zwar mit einer Genauigkeit von nicht schlechter als .

Es lässt sich nachweisen, dass wir im betrachteten Fall mit unbegrenzter Steigerung daher folgende Notation vorschlagen können:

Rechts in dieser Gleichheit gibt es unendlich viele Terme, d.h. wie man sagt, es gibt eine Reihe. Gleichheit (16) wird, wie die Summe einer Reihe im Allgemeinen, in dem Sinne verstanden, dass für jeden Wert die Differenz zwischen und die Summe einer endlichen Anzahl von Gliedern, die in der Reihe der Reihe nach genommen werden, gegen Null geht, wenn die Anzahl von Laufzeiten erhöhen sich auf unbestimmte Zeit.

Und Gleichberechtigung

in der Mathematik als Newtons Binomial bekannt (siehe Newtons Binomial).

Typ