Welche mathematischen Operationen werden auf Russisch verwendet? "Die Sprache der Mathematik". Bericht. Mathematik und die moderne Welt

Mathematik und die moderne Welt

3. Was ist eine mathematische Sprache?

Jede exakte Erklärung dieses oder jenes Phänomens ist mathematisch, und umgekehrt ist alles, was exakt ist, Mathematik. Jede genaue Beschreibung ist eine Beschreibung in der entsprechenden mathematischen Sprache. Newtons klassische Abhandlung „The Mathematical Principles of Natural Philosophy“, die die gesamte Mathematik revolutionierte, ist im Wesentlichen ein Lehrbuch der Grammatik der „Sprache der Natur“, die er enträtselte, Differentialrechnung, zusammen mit einer Geschichte darüber, was er von ihr zu hören vermochte Ergebnis. Natürlich konnte er nur die Bedeutung ihrer einfachsten Sätze verstehen. Nachfolgende Generationen von Mathematikern und Physikern, die sich in dieser Sprache ständig verbesserten, verstanden immer komplexere Ausdrücke, dann einfache Vierzeiler, Gedichte ... Dementsprechend wurden erweiterte und ergänzte Versionen von Newtons Grammatik gedruckt.

Die Geschichte der Mathematik kennt zwei große Revolutionen, von denen jede ihr Aussehen und ihren inneren Inhalt völlig veränderte. Ihre treibende Kraft war „die Unmöglichkeit, auf die alte Weise zu leben“, d.h. die Unfähigkeit, die aktuellen Probleme der exakten Naturwissenschaft in der Sprache der bestehenden Mathematik angemessen zu interpretieren. Der erste von ihnen ist mit dem Namen Descartes verbunden, der zweite mit den Namen Newton und Leibniz, obwohl sie natürlich keineswegs auf diese großen Namen beschränkt sind. Laut Gibbs ist Mathematik eine Sprache, und die Essenz dieser Revolutionen war die globale Umstrukturierung der gesamten Mathematik auf einer neuen Sprachbasis. Als Ergebnis der ersten Revolution wurde die Sprache aller Mathematik zur Sprache der kommutativen Algebra, während die zweite sie zur Sprache der Differentialrechnung sprach.

Mathematiker unterscheiden sich von "Nicht-Mathematikern" dadurch, dass sie bei der Diskussion wissenschaftlicher Probleme oder der Lösung praktischer Probleme untereinander sprechen und Arbeiten in einer speziellen "mathematischen Sprache" schreiben - der Sprache der speziellen Symbole, Formeln usw.

Tatsache ist, dass in der mathematischen Sprache viele Aussagen klarer und transparenter aussehen als in der gewöhnlichen Sprache. In der Umgangssprache heißt es zum Beispiel: "Die Summe ändert sich nicht durch eine Änderung der Stellen der Terme" - so klingt das Kommutativgesetz der Addition von Zahlen. Ein Mathematiker schreibt (oder sagt): a + b = b + a

Und der Ausdruck: "Der Weg S, den der Körper mit einer Geschwindigkeit V über den Zeitraum vom Beginn der Bewegung t n bis zum letzten Moment t bis zurückgelegt hat" wird wie folgt geschrieben: S \u003d V (t bis - t n )

Oder ein solcher Satz aus der Physik: "Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung" wird geschrieben: F = m a

Er übersetzt die Aussage in eine mathematische Sprache, die verschiedene Zahlen, Buchstaben (Variablen), Rechenzeichen und andere Symbole verwendet. All diese Aufzeichnungen sind wirtschaftlich, übersichtlich und einfach zu handhaben.

Nehmen wir ein anderes Beispiel. In der Umgangssprache sagen sie: "Um zwei gewöhnliche Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und die Brüche in den Zähler schreiben, und den Nenner unverändert lassen und ihn in den Nenner schreiben." Der Mathematiker führt eine "Simultanübersetzung" in seine eigene Sprache durch:

Und hier ist ein Beispiel für eine Rückübersetzung. Das Distributivgesetz ist in mathematischer Sprache geschrieben: a (b + c) = ab + ac

Wenn wir in die gewöhnliche Sprache übersetzen, erhalten wir einen langen Satz: "Um die Zahl a mit der Summe der Zahlen b und c zu multiplizieren, müssen Sie die Zahl a der Reihe nach mit jedem Term multiplizieren: b, dann c und die resultierenden Produkte addieren ."

Jede Sprache hat ihre eigene geschriebene und gesprochene Sprache. Oben haben wir über das Schreiben in Mathematik gesprochen. Und mündliche Rede ist die Verwendung von speziellen Begriffen oder Phrasen, zum Beispiel: "Begriff", "Produkt", "Gleichung", "Ungleichung", "Funktion", "Funktionsgraph", "Punktkoordinate", "Koordinatensystem", etc. etc., sowie diverse mathematische Aussagen, ausgedrückt durch die Worte: "Die Zahl a ist genau dann durch 2 teilbar, wenn sie auf 0 oder eine gerade Ziffer endet."

Sie sagen, dass ein kultivierter Mensch neben seiner Muttersprache auch mindestens eine Fremdsprache beherrschen muss. Das stimmt, aber es bedarf eines Zusatzes: Ein gebildeter Mensch muss auch in mathematischer Sprache sprechen, schreiben und denken können, da dies die Sprache ist, in der, wie wir wiederholt gesehen haben, die umgebende Realität „spricht“. Um eine neue Sprache zu beherrschen, ist es notwendig, wie sie sagen, ihr Alphabet, ihre Syntax und Semantik zu lernen, d.h. Schreibregeln und die Bedeutung des Geschriebenen. Und natürlich werden sich als Ergebnis eines solchen Studiums die Vorstellungen über die mathematische Sprache und das Thema ständig erweitern.

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Bericht zur Tagung im Rahmen der "Days of Science"
(Organisator — Dynasty Foundation, St. Petersburg, 21.-23. Mai 2009)

Stellen Sie sich Paris in den 1920er Jahren vor, die Hauptstadt des Modernismus und der Weltmode. Coco Chanel erinnert sich an diese Zeit und erzählt Paul Morand über Picasso: „Ich habe seine Malerei bewundert, obwohl ich sie nicht verstanden habe. Aber ich fand es überzeugend, was ich liebe. Es ist für mich wie eine Logarithmentabelle."

Betrachten Sie diese erstaunliche Parallele. Mathematik ist abstrakt, Picassos Malerei ist abstrakt; Es scheint, dass dies die offensichtlichste Ähnlichkeit zwischen den beiden Unverständlichkeiten ist: "Mädchen mit einem Reifen" (1919) und "Tabelle der Logarithmen". Aber Chanel wählt ein anderes Wort: Beide sind „überzeugend“, und Überzeugungskraft ist es, was sie anzieht.

Im Rahmen dieses Berichts, der sich verschiedenen sprachlichen Aspekten des Inhalts und der Form der mathematischen Tätigkeit widmet, werde ich versuchen, dieser Qualität - "Überzeugungskraft" - besondere Aufmerksamkeit zu schenken.

Auf persönlicher Ebene hängt die Überzeugungskraft eines Beweises, einer Idee, einer Computersimulation von der Veranlagung eines Mathematikers zu geometrischem oder logischem Denken, philosophischen Neigungen (vielleicht unbewusst) und schließlich einer Wertorientierung ab.

Gesellschaftlich kommen großräumige historische Umstände ins Spiel, die sowohl zur erstaunlichen Blüte der Mathematik als auch zu ihrem praktischen Verschwinden beitragen können.

Mathematikhistoriker wenden sich aus naheliegenden Gründen jenen Orten und Zeiten zu, in denen die Mathematik entstanden oder zumindest vererbt wurde. Aber es wäre sehr interessant, die historischen Umstände ihrer Ablehnung bis hin zum (vorübergehenden) Abgang von der Bildfläche genau zu betrachten.

Die Entwicklung der antiken, hauptsächlich griechischen Mathematik in Europa war zumindest für die ersten tausend Jahre des Christentums unterbrochen. Aber noch vor dem Christentum integrierten die praktischen und militanten Römer, die eine hohe Zivilisation geschaffen hatten, die griechische humanitäre Kultur, aber nicht die griechische Wissenschaft. Selbst die offensichtlichen militärischen Anwendungen konnten sie nicht verlocken. Laut Plutarch forderte der römische General Marcellus bei der Belagerung von Syrakus seine Soldaten vergeblich auf, sich nicht vor "diesem geometrischen Briareus" (Archimedes) zurückzuziehen, der mit seinen militärischen Spielzeugen "die hundertarmigen Riesen der Mythologie übertrifft!"

Archimedes selbst betrachtete seine Ingenieurleistungen jedoch nicht als „Anwendung“ seiner Mathematik: Sie waren für seinen mächtigen Verstand eine Ablenkung von der Mathematik, die er lieber vermeiden würde.

Das magere mathematische Erbe des alten Roms umfasst die Notation für ganze Zahlen, die bis heute erhalten geblieben ist:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,…, L,…, C,…, D,…, M.

Es ist äußerst aufschlussreich, es als eine einzigartige archäologische Sammlung von Spuren des archaischen Zustands des mathematischen Denkens zu betrachten.

Die Einheit I symbolisiert die Kerbe auf dem Stab (nicht der lateinische Buchstabe I – dies ist ein späteres Umdenken). Die Mühe, die in jede Kerbe gesteckt wird, und der Platz, den sie beispielsweise auf einem Hirtenstab einnehmen, zwingt uns, von einem dummen, aber äußerst systematischen und potenziell unendlich erweiterbaren Notationssystem für Zahlen wegzukommen

I, II, III, IIII, IIIIII, IIIIII,. . .

zu einem viel inkonsistenteren (und nicht ins Unendliche gehenden), aber zunächst sparsamen und gemütlichen System von „Namen“ statt Symbolen (auch auf Kerben im Anfangssegment zurückzuführen):

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

Kurze Folgen dieser Primärsymbole werden mit Addition, manchmal Subtraktion interpretiert: 2009 = MMIX = M + M - I + X. Natürlich hat die Null keinen Namen. Der Schrecken der „Abwesenheit“, der „Leere“, ist tief in der menschlichen Psychologie verwurzelt. Schon der Prediger sagte: „Was nicht ist, kann nicht gezählt werden.“

Die Unfähigkeit, Null zu bezeichnen, behindert die Entwicklung des Systems und seine Transformation in ein positionelles System entscheidend.

Verbreitung der Positionsnotation von Zahlen in Europa nach der Veröffentlichung des Buches von Leonardo Fibonacci Liber Abaci (1202) war im Wesentlichen der Beginn der Expansion der einzigen wirklich globalen Weltsprache. Semantik diese Sprache hatte ein Konto irgendetwas: Nicks, Vieh, Schiffe, Gulden ... Seine nukleare Syntax wurde durch die universelle Regel für die Übersetzung einer abstrakten Größe in eine Positions- (Dezimal-) Notation und umgekehrt bestimmt. Endlich seine Pragmatik hatte zwei Seiten. Wenn ein Fragment der Außenwelt, sagen wir, der Handel, der Referent eines aus Zahlen bestehenden Textes war, wurden syntaktische Regeln einer höheren Ebene zu einem wichtigen Bindeglied zwischen dem Text und der Außenwelt. Ein berühmtes Beispiel für solche Regeln ist das System der doppelten Buchführung, das 1494 von Luca Pacioli kodifiziert wurde.

Wenn die Daten wissenschaftlicher, zum Beispiel astronomischer, Beobachtungen als Bezugspunkt eines numerischen Textes dienten, konnte dessen Pragmatik zugeordnet werden Vorhersage Sagen wir, Finsternisse oder das Erstellen eines quantitativen Modells des Sonnensystems. In diesem Fall war der Text zu unterwerfen algorithmische Verarbeitung. Mit anderen Worten, es dient als Eingabe für ein Programm, während seine Ausweg wird zu einem neuen numerischen Text, der wiederum die beobachtete Welt als Referenz hat.

Der unschätzbare Vorteil des Positionssystems war seine ideale Anpassung an eine solche algorithmische Verarbeitung, insbesondere einfache und universelle Additions- und Multiplikationsregeln, die Schülern und Angestellten beigebracht werden konnten. Komplexere Programme - Anweisungen an Sachbearbeiter - wurden in natürlicher Sprache als Iterationen elementarer Algorithmen mit dem Hinzufügen von bedingten Sprüngen beschrieben ("wenn die Belastung des Kunden NN sein Guthaben um ZZ Gulden übersteigt, Lieferung stoppen").

Die Programmiersprache existierte sehr lange nur als nicht formalisierter Subdialekt der natürlichen Sprache mit einem sehr begrenzten (aber entscheidenden) Anwendungsbereich. Schon Alan Turing, der schon im 20. Jahrhundert seine universelle Formalisierung der Berechenbarkeit begründete, meinte, wenn er „Computer“ sagte, eine Person, die mechanisch der vor ihm liegenden endgültigen Liste von Anweisungen folgte.

Ein paradoxes Beispiel für eine solche Aktivität, die zu einem kulturellen und historischen Denkmal von zivilisatorischem Maßstab geworden ist, sind 90 Seiten mit Tabellen natürlicher Logarithmen von John Napier, die in seiner Arbeit veröffentlicht wurden Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614(Coco Chanels Intuition hat sie auch hier nicht getäuscht). Die Logarithmen wurden Zeichen für Zeichen von Hand berechnet. Natürlich vereinte Napier in einer Person die Rolle des Schöpfers neuer Mathematik und des Computerangestellten, der seinen eigenen Anweisungen folgte.

Umso auffälliger ist die philosophische Einsicht von Leibniz, seinem berühmten Kalkül! zu postulieren, dass nicht nur Manipulationen mit Zahlen, sondern jede strenge und logisch konsistente Argumentation, die aus den akzeptierten Prämissen eine Schlussfolgerung zieht, auf Berechnung reduziert werden muss.

Wenn man die genauen Grenzen der idealen Welt von Leibniz abbildet, in der Argumentation gleichbedeutend mit Berechnung ist, kann Wahrheit formalisiert, aber nicht immer formal verifiziert werden, wo mit äußerster Klarheit zu sehen ist, wie sich selbst die kleinste cantorianische Unendlichkeit (der natürlichen Zahlen) dem Zugriff entzieht der endlich erzeugten Sprache und war die höchste Errungenschaft der großen Logiker des zwanzigsten Jahrhunderts. (Gilbert, Church, Gödel, Tarsky, Turing, Markov, Kolmogorov…).

Das zentrale Konzept dieses Programms, formelle Sprache, erbte die Hauptmerkmale beider natürlicher Sprachen (festgelegt durch alphabetisches Schreiben) und das Positionssystem der Notation von Zahlen und Arithmetik. Insbesondere ist jede klassische formale Sprache eindimensional/linear, besteht aus diskreten Symbolen, drückt explizit grundlegende logische Mittel aus.

Jeder echte mathematische Text besteht aus Wörtern, die mit Formeln durchsetzt sind. Formeln können als Ausdrücke einer formalen Sprache betrachtet werden (die von Artikel zu Artikel variieren kann, aber oft nur eine Version der Sprache der Mengenlehre ist).

Die Frage, wie Wörter und Symbole die Funktion der Inhaltsvermittlung teilen, verdient eine gesonderte Diskussion. Am wichtigsten ist, dass Worte Arbeit an Menschen adressieren, nicht an Automaten; sie befassen sich auch mit Feinheiten wie dem Ausdruck des Wertesystems des Autors.

Formeln sind nicht immer und überall Bedeutungsträger in den Kernfragmenten eines mathematischen Textes. Spätestens seit Euklid bis heute spielen Zeichnungen in Schulbüchern der Geometrie die Rolle von Formeln. Viele Menschen erinnern sich an die Zeichnung eines Quadrats, das durch zwei Linien in zwei kleinere Quadrate und zwei Rechtecke geteilt wurde. Diese Zeichnung veranschaulicht/ersetzt/beweist die Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Viel interessanter – und viel weniger bekannt – ist eine Zeichnung, die den antiken Lehrsatz von Pappus von Alexandria (um 300 n. Chr.) illustriert.

Damit lässt sich gut veranschaulichen, wie das geometrische Denken der Mathematiker mit dem Formelhaften und Formalen interagiert, und das über viele Generationen hinweg.

Zunächst zum Inhalt des Theorems.

Beginnen wir mit einem flachen Sechseck, auf der Zeichnung seines Scheitelpunkts BXbCYc. (Es muss nicht konvex sein wie auf dem Bild! Hier ist die erste Falle von Blaupausen – sie zwingen Sie oft dazu, unbewusste Einschränkungen zu akzeptieren.)

Jedes Paar gegenüberliegender Seiten eines Sechsecks, sagen wir Bc und bC, definiert auch eine XY-Diagonale dazwischen. Lassen Sie uns diese beiden Seiten und die Diagonale fortsetzen; Es kann sich herausstellen, dass sich drei Linien an einem Punkt schneiden.

PAPP-SATZ. Wenn diese Eigenschaft für zwei Paare gegenüberliegender Seiten eines Sechsecks gilt, dann gilt sie auch für das dritte Paar.

Das ist ein erstaunliches Ergebnis. Zunächst einmal ist es schwer vorstellbar, wie man darauf gekommen sein könnte. Sie gehört nicht zur euklidischen Geometrie: Abstände, Längen und Winkel spielen bei ihrer Formulierung und ihrem Beweis keine Rolle; auch die Gruppe der euklidischen Bewegungen der Ebene spielt keine Rolle. Die einzigen strukturellen Beziehungen sind primitiv: Die Ebene besteht aus Punkten; gerade Linien sind einige Teilmengen von Punkten; zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt; Eine Gerade geht durch zwei Punkte.

Erst im 19. Jahrhundert Es wurde erkannt, dass der Satz von Pappus das zentrale Ergebnis der Ebene ist projektiv Geometrie. Zuerst war es die Geometrie einer gewöhnlichen Ebene über reellen Zahlen. Dann wurde entdeckt, dass etwas für die projektive Ebene über jedem abstrakten Feld zutrifft; dieses Feld, seine Kompositionsgesetze und Axiome – alles wird gemäß den Konfigurationen von Pappus wiederhergestellt.

Schließlich gegen Ende des 20. Jahrhunderts es stellte sich heraus, dass die Äquivalenz des Satzes von Pappus mit der Theorie der kommutativen Körper in einem weiten Zusammenhang erklärt und verallgemeinert werden kann Modelltheorie. Formales Sprachmodell ist, einfach ausgedrückt, eine Abbildung dieser Sprache in die Sprache der Mengenlehre, zusammen mit der Standardinterpretation der letzteren. So manifestiert sich die Bedeutung einer exquisiten Zeichnung in einer komplexen metalinguistischen Konstruktion.

Zeichnungen lassen sich aus vielen Gründen nicht zu einer Sprache kombinieren. Die Syntax der Zeichnungen ist skurril und nicht systematisch, die syntaktischen Verbindungen zwischen ihnen widerstehen einer Formalisierung, die Zeichnungen haben eine Integrität, die während der Analyse verloren geht. Ihre Funktion in verschiedenen Prozessen der Informationsübermittlung und -speicherung unterscheidet sich von der Funktion selbst „synonymer“ Sprachkonstruktionen, sie appellieren an eine andere Vorstellungskraft, an die rechtshemisphärische Intuition.

Wann mit der Entwicklung der homologischen Algebra und der Kategorientheorie in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. „zeichnerische“ Sprachkonstruktionen, kommutative Diagramme, begannen in die Mathematik eingeführt zu werden, und es musste eine gewisse Eingewöhnungszeit vergehen.

Auf Abb. 2 zeigt ein solches Diagramm (ziemlich realistisch: aus der Arbeit von D. Borisov und dem Autor, 2007). Die elementare Komponente des Diagramms ist das Kommutativquadrat. Vor dem Kategorienzeitalter wäre die linearsprachliche Aussage der durch dieses Quadrat ausgedrückten Aussage durch die Gleichheit h ◦ f = k ◦ g fast erschöpft. Aber das gilt nur mit einem wesentlichen Vorbehalt: f, g, h, k sind hier Morphismen in der Kategorie, und es ist notwendig zu wissen, von welchem ​​Objekt jeder Morphismus in welches Objekt „trifft“.

Außerdem ist in dem großen Diagramm in Abb. 2 sehen Sie schräge Pfeile, wie a. Dieser Pfeil repräsentiert den Morphismus nicht in der ursprünglichen Kategorie, sagen wir C, wo Objekte leben, deren Namen den Anfang und das Ende von Pfeilen markieren. Sie bildet Morphismen in ab Kategorien von Morphismen Mor C:

a: Id ◦ F"-F" ◦ G.

Der genaue Inhalt des Diagramms kann nur vermittelt werden, indem es ausführlich mit gewöhnlichem linearem Text, der mit Wörtern und Formeln durchsetzt ist, kommentiert wird. Aber macht ein solcher Text das Diagramm selbst überflüssig? Nein! (Ich habe mit einem Kollegen per E-Mail korrespondiert, in dem es um eine ganz bestimmte mathematische Handlung ging. Im Text einer E-Mail muss ich mich natürlich mit verbalen Zweideutigkeiten begnügen. Plötzlich bekomme ich einen Schrei von meinem Gesprächspartner aus dem Herzen : "Diagramm! Das halbe Königreich für das Diagramm!")

Im Folgenden möchte ich den Standpunkt vertreten, nach dem die Entwicklung der Kategorientheorie und insbesondere der Homotopietopologie in den letzten Jahrzehnten nicht nur einen bedeutenden Fortschritt in einem bestimmten Bereich der Mathematik darstellt, sondern auch zur Bewusstseinsbildung beigetragen hat und Verbalisierung des erkenntnistheoretischen Wandels, der vor unseren Augen in dem stattfindet, was allgemein als "Grundlagen" der Mathematik bezeichnet wird.

Einen Vorbehalt muss ich machen: „Gründe“ haben für mich keine präskriptive oder normative Funktion. Ich verstehe unter „Grundlagen“ die Früchte der Arbeit von Mathematikern, die dazu neigen, einen Blick in die Praxis der Problemauswahl, das Entwerfen von Beweisen und Experimenten, in die Wertorientierungen lebender und verstorbener Generationen von Mathematikern zu werfen.

Die wichtigste gesellschaftliche Funktion der Stiftungsforschung besteht darin, den Dialog zwischen „zwei Kulturen“ (C.P. Snow) zu fördern. Dieser Dialog beginnt, weil die Mathematik ständig naturphilosophische Ängste hervorruft. Wenn wir die Existenz einer objektiven, von uns unabhängigen platonischen Ideenwelt nicht wörtlich nehmen (und Philosophen sind manchmal bereit, nicht einmal die Existenz einer Welt der Dinge und Phänomene zu akzeptieren), dann müssen wir zugeben, dass die Mathematik einfach die ist Frucht der hochtrainierten Vorstellungskraft von mehreren tausend Menschen in jeder Generation.

Dann, selbst wenn man die Sorge um die Kriterien für die "Wahrheit" mathematischer Aussagen für eine Weile beiseite lässt, kann man nicht umhin, sich über die hartnäckige Stabilität mathematischen Wissens, seine intergenerationale und interzivilisatorische Reproduzierbarkeit zu wundern.

Außerdem wird dieses Wissen nicht einfach reproduziert, wie die Texte der Odyssee, des Gilgamesch oder des Evangeliums reproduziert werden. Sie hat sich in den letzten 200 Jahren in einem nie dagewesenen Tempo entwickelt und bereichert.

Um auf das Problem des mathematischen Inhalts der "Grundlagen der Mathematik" und ihrer historischen Entwicklung in den letzten hundertfünfzig Jahren zurückzukommen, werde ich es wie folgt darstellen.

Das anfängliche geistige Bild, das der überwiegenden Mehrheit der arbeitenden Mathematiker nach, sagen wir, dem Zweiten Weltkrieg gemeinsam ist, ist das Bild einer Menge mit einer zusätzlichen Struktur: ein topologischer Raum, eine Gruppe, ein Ring, ein Raum mit einem Maß ... .

Auf den ersten Schritten ist diese Menge eine rein cantorische Abstraktion: Die Natur ihrer Elemente ist nicht wichtig, wichtig ist nur, dass sie paarweise unterscheidbar und als zu einem Ganzen vereint gedacht sind. In den nächsten Phasen können die Elemente der neuen Menge offene Teilmengen der vorherigen sein, lokale Funktionen darauf usw.

Kantor selbst stellte in minimalistischer Inspiration die grundlegendsten Fragen zu solchen Mengen, demonstrierte eine unendliche Skala von Unendlichkeiten und überließ die Aufgabe, sich mit der Ontologie und Erkenntnistheorie dieser Skala zu befassen, mehreren Generationen von Logikern.

Die pragmatischere Generation, die den ersten Krieg überlebte, baute auf diesem möglicherweise metaphysischen Fundament ein architektonisch modernes und funktional effizientes Gebäude der Arbeitsmathematik aus industriell hergestellten Elementen, die „Strukturen“ im Sinne von Bourbaki genannt werden.

Fragen nach der Skala der Unendlichkeit sind für arbeitende Mathematiker in den Hintergrund getreten, aber diskrete Mengen als Hauptbaumaterial sind geblieben. Das Kontinuierliche ist zu einem Überbau über dem Diskreten geworden.

Inzwischen, sogar vor Cantor, wurden einige Probleme mit der Konstruktion sogar elementarer Arithmetik aus Mengen ziemlich deutlich. Nennen die natürlichen Zahlen die Anzahl der Stäbchen oder beliebige endliche diskrete Mengen,

I, II, III. . .

dann schafft die Null als Potenz der leeren Menge psychologische Probleme, und negative Zahlen erfordern entweder künstliche Algebra oder eine Interpretation in einem völlig anderen Universum, beispielsweise in wirtschaftlichen Beziehungen („Schulden“).

Wenn gleichzeitig das anfängliche Element der Intuition als kontinuierlich betrachtet und das Diskrete als abgeleitete Struktur eingeführt wird, erhalten ganze Zahlen eine überraschend natürliche Verkörperung. Stellen Sie sich einen Punkt vor, der sich entlang einer Ebene bewegt. Lassen Sie es eine Anfangsposition verlassen, einige Zeit wandern und dann zurückkehren, ohne einen Moment lang, sagen wir, zum Ursprung zu gelangen. Frage: Wie oft wird sie den Anfang umrunden? Es ist nicht schwierig, eine genaue Definition dieser Ganzzahl zu geben: Sie kann null, positiv oder negativ sein (Umgehungen erfolgen im Uhrzeigersinn und manchmal gegen den Uhrzeigersinn).

Außerdem ist es nicht schwer zu verstehen, wie die Umgehungen zuerst in einer Richtung und dann in der anderen reduziert werden (1 - 1 = 0): Ein Pfad, der aus zwei solchen Umgehungen besteht, kann bis zu einem Punkt zusammengezogen werden, ohne den Ursprung zu berühren.

Was war also am Anfang, diskret oder kontinuierlich? Das ist natürlich die Urfrage der Philosophie: joyoq, symbolisiert wahrscheinlich das Diskrete, und x ao?- kontinuierlich.

Unter Verwendung einer Metapher aus einem verwandten Beruf, der Ethnographie, würde ich diese Situation mit der Mythostheorie von Lévi-Strauss vergleichen. Nicht ohne den Einfluss von Bourbaki konstruierte Levi-Strauss eine Interpretation des Mythos als Vermittlung der Opposition. Als ich vor einem Vierteljahrhundert über seine Konzeption nachdachte, nahm ich eine Entwicklung in die entgegengesetzte Richtung an: Der Mythos markiert nach dieser Ansicht eine Epoche, in der das Bewusstsein der Opposition ("diskret") aus dem mentalen Chaos geboren wurde. Die Notenschrift wurde also aus der Musik selbst geboren.

Der Weg zur Einführung ganzer Zahlen, den ich oben skizziert habe – um die Anzahl der orientierungsbasierten Durchquerungen zu zählen, die ein geschlossener Pfad in der Ebene um den Ursprung macht – begann als einer der frühesten Sätze. Homotopie-Topologie.

Ein Geometer, der sich mit Homotopie-Topologie befasst, sieht mit seinem geistigen Auge unendlich dimensionale Räume, die bis zu einer Kontraktion auf einen einzigen Punkt deformiert werden können und müssen. Letztlich reduziert sich die Diskretion, die ein Topologe berechnet und in einer diskreten Sprache vermittelt, auf die „zusammenhängenden Komponenten“ dieser Räume und ihrer abgeleiteten Abbildungsräume.

In populären mathematischen Präsentationen und jetzt auch in Videos kommen „Knoten“ vor R3, oder "die Sphäre von innen nach außen stülpen" werden verwendet, um solche privaten mentalen Bilder nach außen zu bringen. Die Möglichkeiten dieser Äußerlichkeit als Lernwerkzeug sind begrenzt, ebenso wie die Möglichkeit, sich selbst als Svyatoslav Richter vorzustellen, der Schubert spielt, nachdem er sein Interview mit Bruno Monsaingeon gesehen hat.

Ich kann daher nur kurz meine Eindrücke von dem erkenntnistheoretischen Wandel schildern, dessen Dynamik ich in den Grundlagen der Mathematik sehe.

Ihr Wesen besteht darin, dass die Beziehungen zwischen diskret und kontinuierlich, zwischen Sprache und Imagination, zwischen Algebra und Topologie umgekehrt sind. Kontinuität, geometrische Vorstellungskraft, Topologie gewinnen langsam den Platz des primären mathematischen Materials.

Die Sprache wird sekundär, untergeordnet, ihre "innere Schrift" kehrt zu einer archaischen Hieroglyphenform zurück, und die Kombinatorik geometrischer Bilder wird zu ihrer Sache. Diese Kombinatorik selbst ist nicht-linear, multidimensional, und bereits auf der Ebene ihrer Entstehung vermischt die neue Sprache Syntax, Semantik und Pragmatik auf eine Weise, die wir philosophisch noch nicht zu begreifen begonnen haben.

Die kommutativen Diagramme der kategorialen Sprache waren die Vorläufer einer solchen Entwicklung. Mit der Durchdringung von Polykategorien, angereicherten Kategorien, A∞-Algebren und ähnlichen Strukturen beginnen wir, eine Sprache zu sprechen, die der Exteriorisation viel weniger zugänglich ist, als wir es gewohnt sind.

Ein für mich sehr überzeugendes Argument dafür, dass diese Wahrnehmung mehr ist als meine private Illusion, war die Erkenntnis paralleler Prozesse an der Grenze der Mathematik zur theoretischen Physik. Ich meine Feynmans Integrale, Renormierungsmethoden und Anwendungen wie das Witten-Integral, das Knoteninvarianten berechnet.

Abschließend möchte ich auf das Thema zurückkommen, mit dem ich begonnen habe, das Problem der Überzeugungskraft der Mathematik und allgemeiner der modernen Naturwissenschaften.

Die Überzeugungskraft von persönlichen Erfahrungen, Augenzeugenberichten, Verweisen auf Autoritäten und maßgeblichen Texten wird oft als vollständige Liste von Überzeugungsmitteln wahrgenommen. Natürlich fügen Physiker, Chemiker und Biologen dieser Liste gezielte Experimente hinzu.

Aber ich möchte hier betrachten, was ich das "zivilisatorische" Argument nennen möchte, das von Coco Chanel intuitiv erraten wurde. Die Zivilisation stellt uns Wege zur Verfügung, die Wahrheit zu verifizieren, die nicht darauf beschränkt sind, sich an Autoritäten zu wenden, noch auf persönliche Erfahrungen mit dem Analysieren langer mathematischer Beweise, noch auf Beweise.

In Vorbereitung auf diesen Bericht habe ich eine umfangreiche E-Mail-Korrespondenz geführt. Die Möglichkeit dazu wird mittlerweile von fast allen als selbstverständlich empfunden. Aber es wurde durch ein solches Niveau der Mathematik ermöglicht, das über 2000 Jahre aufgebaut wurde und dessen volle Glaubwürdigkeit weder wir selbst noch die für uns maßgeblichen Personen überprüfen können. Die Mathematik hat unter anderem Recht, weil die Entdeckung der Maxwellschen Gleichungen zur Technik der Informationsübertragung durch elektromagnetische Wellen führte und die Boolesche Algebra in Ihrem und meinem Laptop zu arbeiten begann.

Die Kultur des mathematischen Denkens im zivilisatorischen Aspekt ist die wichtigste Form der Objektivierung abstrakten mathematischen Wissens, ein Weg seiner Weitergabe von Generation zu Generation.

Auf persönlicher Ebene würde ich die Kultur der Mathematik, die Kultur der Evidenz, mit der Ausbildung eines Musikers vergleichen - das Erarbeiten der Genauigkeit kleiner Bewegungen, bis sie automatisch werden und beispielsweise in Bachs "Solo-Violinsonate" synthetisiert werden können. . Die Kodifizierung einer formalen Sprache mit ihren logischen und mengentheoretischen Komponenten war ein ideales Mittel für eine solche "Praxis präziser Bewegungen". Aber wenn es von ideologischer Propaganda wie Intuitionismus oder Konstruktivismus begleitet wird, wird es philosophisch verblendet und verliert seinen zivilisatorischen Wert.

Sektion Mathematik

"Die Sprache der Mathematik"

Hergestellt von Anna Shapovalova

Wissenschaftlicher Leiter

Mathematiklehrer der höchsten Qualifikationskategorie.

Einführung.

Als ich im Büro die Aussage von G. Galileo „Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben“ sah, interessierte ich mich: Was ist das für eine Sprache?

Es stellt sich heraus, dass Galileo der Meinung war, dass die Natur nach einem mathematischen Plan erschaffen wurde. Er schrieb: „Die Philosophie der Natur ist im größten Buch geschrieben ... aber nur diejenigen, die zuerst die Sprache lernen und die Schriften verstehen, mit denen sie eingeschrieben ist, können sie verstehen. Und dieses Buch ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“

Um also die Antwort auf die Frage nach der mathematischen Sprache zu finden, habe ich viel Literatur und Materialien aus dem Internet studiert.

Insbesondere habe ich im Internet die Geschichte der Mathematik gefunden, wo ich die Entwicklungsstufen der Mathematik und der mathematischen Sprache kennengelernt habe.

Ich habe versucht, die Fragen zu beantworten:

Wie ist die mathematische Sprache entstanden?

Was ist mathematische Sprache?

Wo wird es verteilt?

Ist es wirklich universell?

Ich denke, es wird nicht nur für mich interessant sein, weil wir alle die Sprache der Mathematik verwenden.

Daher war der Zweck meiner Arbeit, ein Phänomen wie die "mathematische Sprache" und ihre Verbreitung zu untersuchen.

Das Studienobjekt wird natürlich die mathematische Sprache sein.

Ich werde eine Analyse der Anwendung der mathematischen Sprache in verschiedenen Wissenschaftsbereichen (Naturwissenschaften, Literatur, Musik) durchführen; im Alltag. Ich werde beweisen, dass diese Sprache tatsächlich universell ist.

Kurze Geschichte der Entwicklung der mathematischen Sprache.

Die Mathematik eignet sich zur Beschreibung verschiedenster Phänomene der realen Welt und kann somit die Funktion einer Sprache erfüllen.

Die historischen Bestandteile der Mathematik - Arithmetik und Geometrie - sind bekanntlich aus den Bedürfnissen der Praxis gewachsen, aus der Notwendigkeit, verschiedene praktische Probleme der Landwirtschaft, der Navigation, der Astronomie, der Steuererhebung, der Schuldeneintreibung, der Himmelsbeobachtung, der Ernteverteilung, usw. Bei der Schaffung der theoretischen Grundlagen der Mathematik, der Grundlagen der Mathematik als Wissenschaftssprache, der formalen Sprache der Wissenschaften, sind verschiedene theoretische Konstruktionen zu wichtigen Elementen verschiedener Verallgemeinerungen und Abstraktionen geworden, die von diesen praktischen Problemen und ihren Werkzeugen ausgehen.

Die Sprache der modernen Mathematik ist das Ergebnis ihrer langen Entwicklung. Während ihrer Entstehung (vor dem 6. Jahrhundert v. Chr.) hatte die Mathematik keine eigene Sprache. Bei der Schriftbildung schienen mathematische Zeichen einige natürliche Zahlen und Brüche zu bezeichnen. Die mathematische Sprache des alten Roms, einschließlich des bis heute erhaltenen Notationssystems für ganze Zahlen, war arm:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,..., L,..., C,..., D,..., M.

Die Einheit I symbolisiert die Kerbe auf dem Stab (nicht der lateinische Buchstabe I – dies ist ein späteres Umdenken). Der Aufwand, der in jede Kerbe gesteckt wird, und der Platz, den sie beispielsweise auf einem Hirtenstab einnehmen, macht es notwendig, von einem einfachen Nummerierungssystem wegzukommen

I, II, III, III, III, III, . . .

zu einem komplexeren, sparsameren System von "Namen" anstelle von Symbolen:

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

2. Perlovsky L. Bewusstsein, Sprache und Mathematik. "Russisches Journal" *****@***ru

3. Grünes F. Mathematische Harmonie der Natur. Zeitschrift Neue Gesichter #2 2005

4. Bourbaki N. Essays on the History of Mathematics, Moskau: IL, 1963.

5. Stroyk D. I "Geschichte der Mathematik" - M .: Nauka, 1984.

6. Euphonics of „The Stranger“ von A. M. FINKEL Veröffentlichung, Vorbereitung des Textes und Kommentare von Sergei GINDIN

7. Wohlklang der "Winterstraße". Wissenschaftlicher Berater - Lehrer der russischen Sprache

In einer Sprache unterliegt alles strengen Regeln, oft ähnlich denen mathematischer Art. Zum Beispiel ähneln die Beziehungen zwischen Phonemen mathematischen Proportionen im Russischen [b] verhält sich zu [p] wie [d] zu [t] (siehe Artikulatorische Klassifikation von Lauten) Aus drei Gliedern einer solchen "Proportion" kann man die vierte "berechnen". Ebenso kann man aus einer Form eines Wortes gewöhnlich seine anderen Formen "berechnen", wenn alle Formen einer anderen " ähnliche" Wörter bekannt sind, solche "Rechnungen" werden von Kindern ständig angestellt, wenn sie sprechen lernen (siehe Analogie in der Grammatik) Dank ihrer strengen Regeln kann die Sprache als Kommunikationsmittel dienen; wenn es keine gäbe, würde sie es tun schwierig sein, einander zu verstehen

Die Ähnlichkeit dieser Regeln mit mathematischen erklärt sich aus der Tatsache, dass die Mathematik letztlich aus einer Sprache entstanden ist und selbst eine besondere Art von Sprache zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge und der gegenseitigen Anordnung von Objekten darstellt.Solche Sprachen sind speziell darauf ausgelegt, einige getrennte zu beschreiben „Teile" oder Aspekte der Realität. , werden spezialisierte im Gegensatz zu universellen genannt, in denen man über alles sprechen kann. Die Menschen haben viele spezialisierte Sprachen geschaffen, zum Beispiel das System der Verkehrszeichen, die Sprache der chemischen Formeln, die Notation Aber unter all diesen Sprachen ist die mathematische Sprache den universellen am nächsten, weil die Beziehungen, die mit ihrer Hilfe ausgedrückt werden, überall zu finden sind - in der Natur und im menschlichen Leben, und außerdem sind dies die einfachsten und einfachsten wichtige Beziehungen (mehr, weniger, näher, weiter, innen, außen, zwischen, unmittelbar folgt usw. ), nach deren Vorbild die Menschen nicht lernten, über andere, komplexere zu sprechen

Viele mathematische Ausdrücke ähneln in ihrer Struktur Sätzen in gewöhnlicher, natürlicher Sprache, zum Beispiel in solchen Ausdrücken wie 2< 3 или 2 + 3=5, знаки < и = играют такую же роль, как глагол (сказуемое) в предложениях естественною языка, а роль знаков 2, 3, 5 похожа на роль существительного (подлежащего) Но особен но похожи на предложения естественного язы ка формулы математической логики - наукн, в которой изучается строение точных рассуж дений, в первую очередь математических, н при этом используются математические же методы Наука эта сравнительно молода она возникла в XIX в и бурно развивалась в течение первой половины XX в Примерно в то же время воз никла и развилась абстрактная алгебра - ма тематическая наука, изучающая всевозможные отношения и всевозможные действия, которые можно производить над чем угодно (а не только над числами и многочленами, как в элементарной алгебре, которую изучают в школе)

Mit der Entwicklung dieser beiden Wissenschaften sowie einiger anderer eng mit ihnen verwandter Zweige der Mathematik wurde es möglich, mathematische Werkzeuge zu verwenden, um die Struktur natürlicher Sprachen zu untersuchen, und seit Mitte dieses Jahrhunderts werden mathematische Werkzeuge tatsächlich verwendet Fertige Methoden, die für sprachliche Anwendungen geeignet sind, gab es in der Mathematik nicht, sie mussten neu geschaffen werden, und als Vorbild dienten ihnen zunächst die Methoden der mathematischen Logik und der abstrakten Algebra, also einer neuen Wissenschaft entstand - die mathematische Linguistik Und obwohl es sich um eine mathematische Disziplin handelt, spielen die von ihr entwickelten Konzepte und Methoden in der Linguistik eine immer größere Rolle und werden allmählich zu einem ihrer Hauptwerkzeuge

Warum werden mathematische Werkzeuge in der Linguistik verwendet? Sprache kann man sich als eine Art Mechanismus vorstellen, durch den der Sprecher die „Bedeutungen“ in seinem Gehirn (also seine Gedanken, Gefühle, Wünsche etc.) in „Texte“ (also Klangketten oder Schriftzeichen) umwandelt und wandelt dann "Texte" wieder in "Bedeutungen" um Es ist bequem, diese Transformationen mathematisch zu studieren, zu ihrem Studium dienen formale Grammatiken - komplexe mathematische Systeme, die überhaupt nicht wie gewöhnliche Grammatiken sind, um wirklich zu verstehen, wie sie angeordnet sind und wie Zunächst ist es wünschenswert, sich mit der mathematischen Logik vertraut zu machen, aber unter den mathematischen Methoden, die in der Linguistik verwendet werden, gibt es ganz einfache, zum Beispiel verschiedene Möglichkeiten, die syntaktische Struktur eines Satzes mithilfe von Graphen genau zu beschreiben.

Ein Graph in der Mathematik ist eine Figur, die aus Punkten besteht - sie werden Knoten eines Graphen genannt -, die durch Pfeile verbunden sind, ein Graph, dessen Knoten Personen sind. Wenn Sie Graphen verwenden, um die Struktur eines Satzes zu beschreiben, ist es am einfachsten, Wörter als Knoten zu nehmen und Pfeile von untergeordneten Wörtern zu untergeordneten zu ziehen. Für den Satz Wolga fließt beispielsweise in das Kaspische Meer, erhalten wir die folgende Grafik:

Die Wolga mündet in das Kaspische Meer.

In der formalen Grammatik ist es üblich anzunehmen, dass das Prädikat nicht nur allen eventuellen Zusätzen und Umständen, sondern auch dem Subjekt untergeordnet ist, denn das Prädikat ist das „semantische Zentrum“ des Satzes: Der ganze Satz als Ganzes beschreibt einige „ Situation“, und das Prädikat ist in der Regel der Name dieser Situation, und das Subjekt und die Objekte sind die Namen ihrer „Teilnehmer“. Zum Beispiel beschreibt der Satz Ivan kaufte eine Kuh von Peter für hundert Rubel eine "Kauf" -Situation mit vier Teilnehmern - einem Käufer, einem Verkäufer, einem Produkt und einem Preis, und der Wolga-Satz fließt in das Kaspische Meer - ein "Fluss". "Situation mit zwei Teilnehmern. Bedenken Sie außerdem, dass das Substantiv der Präposition unterliegt, weil das Verb das Substantiv durch die Präposition kontrolliert. Bereits eine solch einfache mathematische Darstellung, die der üblichen „Schul“-Analyse eines Satzes ein wenig hinzuzufügen scheint, erlaubt uns, viele wichtige Muster genau zu erkennen und zu formulieren.

Es stellte sich heraus, dass für Sätze ohne homogene Glieder und nicht komplex die so konstruierten Graphen Bäume sind. Ein Baum in der Graphentheorie ist ein Graph, in dem: 1) es einen Knoten gibt und darüber hinaus nur einen - Wurzel genannt -, der keinen Pfeil enthält (in einem Satzbaum dient in der Regel das Prädikat als Wurzel). ); 2) jeder Knoten außer der Wurzel enthält genau einen Pfeil; 3) es ist unmöglich, von einem Knoten in Richtung der Pfeile zu diesem Knoten zurückzukehren. Bäume, die wie im Beispiel für Sätze erstellt wurden, werden als syntaktische Unterordnungsbäume bezeichnet. Einige Stilmerkmale des Satzes hängen von der Art des Baumes der syntaktischen Unterordnung ab. In Sätzen des sogenannten neutralen Stils (siehe Funktionale Stile der Sprache) wird in der Regel das Gesetz der Projektivität beachtet, das darin besteht, dass wenn im syntaktischen Unterordnungsbaum alle Pfeile über der geraden Linie eingezeichnet sind wo der Satz geschrieben ist, dann schneiden sich keine zwei von ihnen (genauer gesagt, man kann sie so zeichnen, dass sich keine zwei schneiden) und kein einziger Pfeil geht über die Wurzel. Mit Ausnahme einer kleinen Anzahl von Sonderfällen, wenn der Satz einige spezielle Wörter und Phrasen enthält (z. B. komplexe Formen von Verben: Hier spielen Kinder), ist die Nichtbeachtung des Projektivitätsgesetzes in einem neutralen Satz ein sicheres Zeichen für mangelnde Alphabetisierung:

"Die Versammlung hat die Vorschläge von Sidorov diskutiert."

In der Sprache der Belletristik, insbesondere in der Poesie, sind Verstöße gegen das Gesetz der Projektivität zulässig; dort gibt man dem Satz meistens eine besondere stilistische Färbung, zum Beispiel Feierlichkeit, Hochgefühl:

Noch ein letztes Wort

Und meine Chronik ist zu Ende.

(A. S. Puschkin)

oder umgekehrt Leichtigkeit, Umgangssprache:

Irgendein Chef, gebildet, Aus der Küche lief sein zu einer Taverne (er war fromme Regeln)

(I. A. Krylow)

Die stilistische Färbung des Satzes ist auch mit dem Vorhandensein von Nestern im Baum der syntaktischen Unterordnung verbunden - Pfeilfolgen, die ineinander verschachtelt sind und keine gemeinsamen Enden haben (die Anzahl der Pfeile, die ein Nest bilden, wird als Tiefe bezeichnet). Ein Satz, in dem der Baum Nester enthält, wird als umständlich, schwerfällig empfunden, und die Tiefe des Nestes kann als "Maß für Sperrigkeit" dienen. Vergleichen Sie zum Beispiel die Sätze:

Ein Autor (dessen Baum Slots der Tiefe 3 enthält) ist angekommen und sammelt die Informationen, die für ein neues Buch benötigt werden.

Ein Schriftsteller ist angekommen und sammelt Informationen, die für ein neues Buch benötigt werden (dessen Baum keine Nester hat, genauer gesagt, es gibt keine Nester mit einer Tiefe von mehr als 1).

Das Studium der Merkmale von Bäumen syntaktischer Unterordnung kann viele interessante Dinge für das Studium des individuellen Stils von Schriftstellern liefern (zum Beispiel sind Verletzungen der Projektivität bei A. S. Puschkin weniger verbreitet als bei I. A. Krylov).

Mit Hilfe von syntaktischen Unterordnungsbäumen wird die syntaktische Homonymie untersucht – das Phänomen, dass ein Satz oder eine Phrase zwei verschiedene Bedeutungen – oder mehr – hat, aber nicht aufgrund der Mehrdeutigkeit seiner Wortbestandteile, sondern aufgrund von Unterschieden in der syntaktischen Struktur. Zum Beispiel kann der Satz Schulkinder aus Kostroma gingen nach Jaroslawl entweder „Kostroma-Schulkinder gingen von irgendwo (nicht unbedingt aus Kostroma) nach Jaroslawl“ oder „einige (nicht unbedingt Kostroma-) Schulkinder gingen von Kostroma nach Jaroslawl“ bedeuten. Die erste Bedeutung entspricht dem Baum Schulkinder aus Kostroma gingen nach Jaroslawl, die zweite - Schulkinder aus Kostroma gingen nach Jaroslawl.

Es gibt andere Möglichkeiten, die syntaktische Struktur eines Satzes mithilfe von Graphen darzustellen. Wenn wir seine Struktur mit Hilfe eines Baums darstellen, werden die konstituierenden Knoten Phrasen und Wörter sein; Pfeile werden von größeren Phrasen zu den darin enthaltenen kleineren und von Phrasen zu den darin enthaltenen Wörtern gezogen.

Der Einsatz exakter mathematischer Methoden ermöglicht es einerseits, tiefer in die Inhalte der „alten“ sprachwissenschaftlichen Konzepte einzudringen, andererseits die Sprache in neue, nur schwer zu skizzierende Richtungen zu erforschen Vor.

Mathematische Methoden der Sprachforschung sind nicht nur für die theoretische Linguistik wichtig, sondern auch für angewandte Sprachprobleme, insbesondere solche, die sich auf die Automatisierung einzelner Sprachprozesse beziehen (siehe Automatische Übersetzung), automatische Suche nach wissenschaftlichen und technischen Büchern und Artikeln zu einem bestimmten Thema, usw. Die technische Grundlage zur Lösung dieser Probleme sind elektronische Rechner. Zu entscheiden! jede Aufgabe auf einer solchen Maschine, müssen Sie zuerst ein Programm schreiben, das die Betriebsreihenfolge der Maschine klar und eindeutig bestimmt, und um das Programm zu schreiben, müssen Sie die Ausgangsdaten in klarer und präziser Form präsentieren. Insbesondere zum Kompilieren von Programmen, die sprachliche Probleme lösen, benötigen Sie eine genaue Beschreibung der Sprache (oder zumindest der für diese Aufgabe wichtigen Aspekte davon) - und es sind mathematische Methoden, die es ermöglichen, eine solche Beschreibung zu erstellen.

Nicht nur natürliche, sondern auch künstliche Sprachen (siehe Künstliche Sprachen) können mit Hilfe von Werkzeugen der mathematischen Linguistik erforscht werden. Einige künstliche Sprachen lassen sich auf diese Weise vollständig beschreiben, was für die ungleich komplexeren natürlichen Sprachen nicht möglich ist und vermutlich nie möglich sein wird. Formale Grammatiken werden insbesondere bei der Konstruktion, Beschreibung und Analyse der Eingabesprachen von Computern verwendet, auf denen die in die Maschine eingegebenen Informationen aufgezeichnet werden, und bei der Lösung vieler anderer Probleme im Zusammenhang mit der sogenannten Kommunikation zwischen einer Person und eine Maschine (alle ethnischen Probleme werden auf die Entwicklung einiger künstlicher Sprachen reduziert)

Vorbei sind die Zeiten, in denen ein Linguist auf mathematische Kenntnisse verzichten konnte, denn von Jahr zu Jahr wird diese uralte Wissenschaft, die natur- und geisteswissenschaftliche Besonderheiten vereint, für Wissenschaftler, die sich mit der theoretischen Erforschung der Sprache und ihrer praktischen Anwendung befassen, immer wichtiger die Ergebnisse dieser Studie. Daher sollte in unserer Zeit jeder Student, der sich gründlich mit der Linguistik vertraut machen möchte oder sie in Zukunft selbst studieren wird, dem Studium der Mathematik die größte Aufmerksamkeit schenken.

ICH. Das bekannte Konzept aus dem Titel des Abschnitts erfordert ein Umdenken im Kontext der Grundschulbildung. Kinder verwenden sie von den ersten Tagen des Mathematiklernens an. Aber sie kennen und werden keine strengen Definitionen kennen, weil Das ist Highschool-Zeug.

Mathematische Sprache künstliche Sprache. Eine Sache wird zusammen mit einer Person geboren, und eine mathematische Sprache wird nur als Ergebnis des Lernens eingeführt. Betrachten Sie die Komponenten einer mathematischen Sprache.

1) Zahlen oder "Buchstaben" der Sprache: Es gibt nur 10-0,1,2,3 ... 9 davon. Mit ihrer Hilfe werden Zahlen nach besonderen Regeln geschrieben. Dieser Vorgang wird Nummerierung genannt. Nummerierung beinhaltet - Zahlen lesen, Zahlen und Zahlen nicht verwechseln. Es gibt nur 10 Zahlen, und es gibt unendlich viele Zahlen. Bis zur ersten Zehn können Ziffern als Nummern bezeichnet werden.

2) Zeichen Operationen:

+

-

.

:

3) Zeichen Beziehungen:

=

>

<

: .

- dividiert ohne Rest 24:0,3; 24:. 12

4) Die Buchstaben des lateinischen Alphabets (Latein ist eine tote Sprache; es ist die Sprache der Wissenschaft; das Ursprungsgebiet ist Italien)

5) Technische Zeichen - Klammern (), , {}

Mit diesem Alphabet in der Mathematik bilden sie einen Ausdruck namens "Ausdruck". Aus dem Ausdruck wird ein mathematischer Ausdruck gebildet, der „numerische Gleichheit“ oder „numerische Ungleichheit“, „Gleichung“ usw. genannt wird.

II Expression und ihre Typen.

Schreiben wir einige Sätze der mathematischen Sprache auf: 15 + 21, 72: 5a, 2x + 18. Sie unterscheiden sich voneinander:

1) enthält keine Buchstaben, die Variablen genannt werden; 15+21 - numerischer Ausdruck;

2) Die letzten Einträge heißen Ausdrücke mit Variablen.

AUSDRUCK ENTHÄLT KEINE VERHÄLTNISZEICHEN

Ein Buchstabe ist bereits ein Ausdruck, eine Zahl ist auch ein Ausdruck. Nachdem Sie alle Schritte abgeschlossen haben, können Sie die Werte eines numerischen Ausdrucks finden. Nicht alle Ausdrücke sind sinnvoll. Zunächst einmal sind dies die Ausdrücke, die damit verbunden sind Durch Null teilen. 35+26:(27-27)

In den unteren Klassen achten Kinder darauf nicht, aber in den oberen Klassen muss man ständig kontrollieren, ob eine Division durch Null im Ausdruck vorhanden ist. Für einen jüngeren Schüler ist auch Folgendes bedeutungslos: 14-23, 4:48 usw.

In Ausdrücken aus Klammern gelten Multiplikation und Division als stark, daher werden sie der Reihe nach von links nach rechts ausgeführt, dann mit der Addition fortgefahren und auch der Reihe nach ausgeschrieben.

III identische Transformationen des Ausdrucks.

Eine Aufgabe: Den Ausdruck mit der Variablen ausklammern: ah- in 2 - in + av.

ah-v 2 –in+ab= - ursprünglicher Ausdruck

Ah-in + av-in 2 \u003d - verwendet eine Variable - das Additionsgesetz

\u003d (ax-in) + (av-in 2) \u003d - verwendet das Assoziativgesetz

Х(а-в)+в(а-в)= - verwendet das Verteilungsgesetz der relativen Subtraktion

\u003d (a-c).(x + c) - das gewünschte Ergebnis

Beachten Sie, dass derselbe Ausdruck auf 5 Arten geschrieben wird. In solchen Fällen soll der Ausdruck sein Identitätstransformation eines Ausdrucks.

Definition: Zwei Ausdrücke werden als identisch gleich bezeichnet, wenn für beliebige Werte der Variablen aus dem Gültigkeitsbereich der Ausdrücke ihre entsprechenden Werte gleich sind.

Im Mathematik-Grundkurs beschäftigen sie sich hauptsächlich mit numerischen Ausdrücken. Kinder führen identische Transformationen durch, ohne sie mit einem mathematischen Wert zu markieren: 35,4=(30+5).4=30,4+5,4=120+20=140. Es gibt 5 Ausdrücke, die einander identisch sind. Wir werden keine Erklärung schreiben.