Belichtungsreihe. Den gemeinsamen Multiplikator aus der Klammer nehmen - Knowledge Hypermarket. Wie bringt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Regel, Beispiele, Lösungen

>>Mathe: Den gemeinsamen Teiler in Klammern setzen

Bevor Sie mit dem Studium dieses Abschnitts beginnen, kehren Sie zu § 15 zurück. Dort haben wir bereits ein Beispiel betrachtet, in dem es erforderlich war, ihn darzustellen Polynom als Produkt eines Polynoms und eines Monoms. Wir haben festgestellt, dass dieses Problem nicht immer richtig ist. Wurde dennoch ein solches Produkt erstellt, so wird üblicherweise gesagt, dass die Entfernung des Polynoms mit der allgemeinen Entfernung des gemeinsamen Teilers aus Klammern faktorisiert wird. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1 Faktorisiere das Polynom:

A) 2x + 6y, c) 4a 3 + 6a 2; e) 5a 4 - 10a 3 + 15a 8.
b) a 3 + a 2; d) 12ab 4 - 18a 2 b 3 c;

Lösung.
a) 2x + 6y \u003d 2 (x + Zy). Der gemeinsame Teiler der Koeffizienten der Terme des Polynoms wurde aus Klammern genommen.

b) a 3 + a 2 = a 2 (a + 1). Wenn dieselbe Variable in allen Mitgliedern des Polynoms enthalten ist, kann sie bis zu einem Grad eingeklammert werden, der dem kleinsten der verfügbaren Indikatoren entspricht (dh der kleinste der verfügbaren Indikatoren wird ausgewählt).

c) Hier verwenden wir die gleiche Technik wie beim Lösen der Beispiele a) und b): für die Koeffizienten finden wir einen gemeinsamen Teiler (in diesem Fall die Zahl 2), für Variablen - den kleinsten Grad verfügbar (in diesem Fall eine 2). Wir bekommen:

4a 3 + 6a 2 \u003d 2a 2 2a + 2a 2 3 \u003d 2a 2 (2a + 3).

d) Normalerweise versuchen sie für ganzzahlige Koeffizienten, nicht nur einen gemeinsamen Teiler zu finden, sondern den größten gemeinsamen Teiler. Für die Koeffizienten 12 und 18 ist es die Zahl 6. Beachten Sie, dass die Variable a in beiden Termen des Polynoms enthalten ist, während der kleinste Exponent 1 ist. Die Variable b ist ebenfalls in beiden Termen des Polynoms enthalten, mit dem kleinsten Exponent gleich 3 ist. Schließlich ist die Variable c nur im zweiten Term des Polynoms und nicht im ersten Term enthalten, was bedeutet, dass diese Variable nicht in irgendeiner Weise geklammert werden kann. Als Ergebnis haben wir:

12ab 4 - 18a 2 b 3 c \u003d 6ab 3 2b - 6ab 3 Zac \u003d 6ab 3 (2b - Zac).

e) 5a 4 -10a 3 + 15a 8 \u003d 5a 3 (a-2 + Für 2).

Tatsächlich haben wir in diesem Beispiel den folgenden Algorithmus entwickelt.

Kommentar . In manchen Fällen ist es sinnvoll, aus Klammern einen gemeinsamen Faktor und einen Bruchkoeffizienten herauszunehmen.

Zum Beispiel:

Beispiel 2 Multiplizieren:

X 4 y 3 -2x 3 y 2 + 5x 2.

Lösung. Lassen Sie uns den formulierten Algorithmus verwenden.

1) Der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten -1, -2 und 5 ist 1.
2) Die Variable x ist in allen Gliedern des Polynoms mit den Exponenten 4, 3 bzw. 2 enthalten; daher kann x 2 eingeklammert werden.
3) Die Variable y ist nicht in allen Gliedern des Polynoms enthalten; was bedeutet, dass es nicht geklammert werden kann.

Fazit: Sie können x 2 aus Klammern nehmen. Allerdings ist es in diesem Fall sinnvoller, die Klammern -x 2 wegzulassen.

Wir bekommen:
-x 4 und 3 -2x 3 und 2 + 5x 2 \u003d - x 2 (x 2 und 3 + 2x 2 - 5).

Beispiel 3. Ist es möglich, das Polynom 5a 4 - 10a 3 + 15a 5 in das Monom 5a 3 zu teilen? Wenn ja, dann ausführen Aufteilung.

Lösung. In Beispiel 1e) haben wir das erhalten

5a 4 - 10a 3 + 15a 8 - 5a 3 (a - 2 + Für 2).

Das bedeutet, dass das gegebene Polynom durch 5a 3 geteilt werden kann, während wir im Quotienten a - 2 + For 2 erhalten.

Ähnliche Beispiele haben wir in § 18 betrachtet; sehen Sie sie sich bitte noch einmal an, aber unter dem Gesichtspunkt, den gemeinsamen Multiplikator aus den Klammern zu nehmen.

Die Faktorisierung eines Polynoms durch Einklammern des gemeinsamen Faktors ist eng verwandt mit den beiden Operationen, die wir in §§ 15 und 18 untersucht haben, der Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom und der Division eines Polynoms durch Monom.

Und jetzt erweitern wir unsere Ideen, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu streichen, etwas. Der Punkt ist, dass manchmal Algebraischer Ausdruck ist so gegeben, dass nicht ein Monom, sondern die Summe mehrerer Monome als gemeinsamer Teiler wirken kann.

Beispiel 4 Multiplizieren:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

Lösung. Wir führen eine neue Variable y \u003d x - 2 ein. Dann erhalten wir:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2xy + 5y 2 .

Wir bemerken, dass die Variable y aus Klammern herausgenommen werden kann:

2x + 5j 2 - j (2x + 5j). Nun zurück zur alten Schreibweise:

y(2x + 5y) = (x-2)(2x + 5(x - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

In solchen Fällen können Sie nach einiger Erfahrung keine neue Variable einführen, sondern Folgendes verwenden

2x(x - 2) + 5(x - 2) 2 = (x - 2)(2x + 5(x - 2))= (x - 2)(2x + 5x ~ 10) = (x - 2)( 7x - 10).

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Im wirklichen Leben müssen wir mit gewöhnlichen Brüchen operieren. Um jedoch Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, wie z. B. 2/3 und 5/7, müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden. Nachdem wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht haben, können wir problemlos Additions- oder Subtraktionsoperationen durchführen.

Definition

Brüche sind eines der schwierigsten Themen in der Grundrechentechnik, und rationale Zahlen sind einschüchternd für Schüler, die ihnen zum ersten Mal begegnen. Wir sind es gewohnt, mit dezimal geschriebenen Zahlen zu arbeiten. Es ist viel einfacher, 0,71 und 0,44 sofort zu addieren, als 5/7 und 4/9 zu addieren. Um Brüche zu summieren, müssen sie nämlich auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Brüche stellen jedoch die Bedeutung von Mengen viel genauer dar als ihre dezimalen Äquivalente, und in der Mathematik wird die Darstellung von Reihen oder irrationalen Zahlen als Bruch zu einer Priorität. Eine solche Aufgabe wird "Reduzieren des Ausdrucks auf eine geschlossene Form" genannt.

Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eines Bruchs mit demselben Faktor multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht. Dies ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Bruchzahlen. Zum Beispiel wird der Bruch 3/4 in Dezimalform als 0,75 geschrieben. Wenn wir Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren, erhalten wir den Bruch 9/12, der genau gleich 0,75 ist. Dank dieser Eigenschaft können wir verschiedene Brüche so multiplizieren, dass sie alle denselben Nenner haben. Wie kann man das machen?

Einen gemeinsamen Nenner finden

Der kleinste gemeinsame Nenner (LCD) ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner eines Ausdrucks. Wir können eine solche Zahl auf drei Arten finden.

Verwenden des größten Nenners

Dies ist eine der einfachsten, aber zeitaufwändigsten Methoden, um ICDs zu finden. Zuerst schreiben wir aus den Nennern aller Brüche die größte Zahl aus und prüfen ihre Teilbarkeit durch kleinere Zahlen. Wenn teilbar, dann ist der größte Nenner NOZ.

Wenn in der vorherigen Operation die Zahlen durch einen Rest teilbar sind, müssen Sie die größte von ihnen mit 2 multiplizieren und die Teilbarkeitsprüfung wiederholen. Wenn er ohne Rest dividiert wird, wird der neue Koeffizient zu NOZ.

Wenn nicht, wird der größte Nenner mit 3, 4, 5 usw. multipliziert, bis das kleinste gemeinsame Vielfache für die Böden aller Brüche gefunden wird. In der Praxis sieht es so aus.

Nehmen wir an, wir haben die Brüche 1/5, 1/8 und 1/20. Wir prüfen 20 auf Teilbarkeit von 5 und 8. 20 ist nicht durch 8 teilbar. Wir multiplizieren 20 mit 2. Wir prüfen 40 auf Teilbarkeit von 5 und 8. Die Zahlen sind ohne Rest teilbar, also NOZ (1/5, 1/ 8 und 1/20) = 40 , und die Brüche werden zu 8/40, 5/40 und 2/40.

Sequentielle Aufzählung von Vielfachen

Der zweite Weg ist eine einfache Aufzählung von Vielfachen und die Auswahl des kleinsten davon. Um Vielfache zu finden, multiplizieren wir die Zahl mit 2, 3, 4 usw., sodass die Anzahl der Vielfachen gegen unendlich geht. Sie können diese Folge durch eine Grenze begrenzen, die ein Produkt gegebener Zahlen ist. Für die Zahlen 12 und 20 lautet die NOC beispielsweise wie folgt:

• schreibe Zahlen aus, die Vielfache von 12 sind - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
• schreibe Zahlen aus, die Vielfache von 20 sind - 40, 60, 80, 100, 120;
• gemeinsame Vielfache bestimmen - 60, 120;
• Wählen Sie den kleinsten von ihnen - 60.

Somit ist für 1/12 und 1/20 der gemeinsame Nenner 60 und die Brüche werden in 5/60 und 3/60 umgewandelt.

Primfaktorzerlegung

Diese Methode zum Auffinden des NOC ist die relevanteste. Diese Methode beinhaltet die Erweiterung aller Zahlen aus den unteren Teilen von Brüchen in unteilbare Faktoren. Danach wird eine Zahl zusammengestellt, die die Faktoren aller Nenner enthält. In der Praxis funktioniert es so. Ermitteln Sie das LCM für dasselbe Paar aus 12 und 20:

• faktorisiere 12 - 2 × 2 × 3;
• 20 auslegen - 2 × 2 × 5;
• wir kombinieren die Faktoren so, dass sie die Zahlen und 12 und 20 enthalten - 2 × 2 × 3 × 5;
• Multiplizieren Sie die Unteilbarkeiten und erhalten Sie das Ergebnis - 60.

Im dritten Absatz kombinieren wir Faktoren ohne Wiederholungen, das heißt, zwei Zweien reichen aus, um 12 in Kombination mit einem Dreier und 20 mit einer Fünf zu bilden.

Mit unserem Rechner können Sie die NOZ für eine beliebige Anzahl von Brüchen bestimmen, die sowohl in gewöhnlicher als auch in Dezimalform geschrieben sind. Um nach NOZ zu suchen, müssen Sie nur durch Tabulatoren oder Kommas getrennte Werte eingeben, woraufhin das Programm den gemeinsamen Nenner berechnet und die umgewandelten Brüche anzeigt.

Beispiel aus dem wirklichen Leben

Addition von Brüchen

Angenommen, wir müssen in der Rechenaufgabe fünf Brüche addieren:

0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

Die manuelle Lösung würde auf folgende Weise erfolgen. Zunächst müssen wir die Zahlen in einer Schreibweise darstellen:

• 0,75 = 75/100 = 3/4;
• 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

Jetzt haben wir eine Reihe gewöhnlicher Brüche, die auf denselben Nenner gebracht werden müssen:

3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

Da wir 5 Begriffe haben, ist es am einfachsten, die NOZ-Suchmethode anhand der größten Zahl zu verwenden. Wir prüfen 20 auf Teilbarkeit durch andere Zahlen. 20 ist nicht ohne Rest durch 8 teilbar. Wir multiplizieren 20 mit 2, prüfen 40 auf Teilbarkeit – alle Zahlen teilen 40 vollständig. Das ist unser gemeinsamer Nenner. Um nun rationale Zahlen zu summieren, müssen wir zusätzliche Faktoren für jeden Bruch bestimmen, die als das Verhältnis des LCM zum Nenner definiert sind. Zusätzliche Multiplikatoren sehen folgendermaßen aus:

• 40/4 = 10;
• 40/5 = 8;
• 40/8 = 5;
• 40/4 = 10;
• 40/20 = 2.

Nun multiplizieren wir Zähler und Nenner der Brüche mit den entsprechenden zusätzlichen Faktoren:

30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

Für einen solchen Ausdruck können wir leicht die Summe gleich 85/40 oder 2 Ganzzahlen und 1/8 bestimmen. Dies sind umständliche Berechnungen, sodass Sie die Aufgabendaten einfach in das Kalkulationsformular eingeben und sofort eine Antwort erhalten.

Fazit

Rechenoperationen mit Brüchen sind keine sehr bequeme Sache, denn um die Antwort zu finden, muss man viele Zwischenrechnungen durchführen. Verwenden Sie unseren Online-Rechner, um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und Schulprobleme schnell zu lösen.

Im Rahmen des Studiums identischer Transformationen ist das Thema des Entfernens des gemeinsamen Faktors aus Klammern sehr wichtig. In diesem Artikel erklären wir, was genau diese Transformation ist, leiten die Grundregel ab und analysieren typische Problemfälle.

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Das Konzept des Ausklammerns der Klammern

Um diese Transformation erfolgreich anzuwenden, müssen Sie wissen, für welche Ausdrücke sie verwendet wird und welches Ergebnis Sie als Ergebnis erhalten möchten. Lassen Sie uns diese Punkte erklären.

Sie können den gemeinsamen Faktor aus Klammern in Ausdrücken nehmen, bei denen es sich um Summen handelt, in denen jeder Term ein Produkt ist, und in jedem Produkt gibt es einen gemeinsamen (gleichen) Faktor für alle. Dies wird als gemeinsamer Faktor bezeichnet. Das nehmen wir aus den Klammern heraus. Also, wenn wir Werke haben 5 3 und 5 4 , dann können wir den gemeinsamen Faktor 5 aus Klammern nehmen.

Was ist diese Verwandlung? Dabei stellen wir den ursprünglichen Ausdruck als Produkt eines gemeinsamen Faktors und eines Ausdrucks in Klammern dar, der die Summe aller ursprünglichen Terme außer dem gemeinsamen Faktor enthält.

Nehmen wir das obige Beispiel. Wir nehmen den gemeinsamen Faktor 5 in heraus 5 3 und 5 4 und erhalte 5 (3 + 4) . Der endgültige Ausdruck ist das Produkt aus dem gemeinsamen Faktor 5 und dem Ausdruck in Klammern, der die Summe der ursprünglichen Terme ohne 5 ist.

Diese Transformation basiert auf dem Distributivgesetz der Multiplikation, das wir bereits vorher untersucht haben. In wörtlicher Form kann es geschrieben werden als a (b + c) = ein b + ein c. Indem wir die rechte Seite von der linken Seite ändern, sehen wir das Schema, bei dem der gemeinsame Teiler aus Klammern genommen wird.

Die Regel zum Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern

Aus all dem Obigen leiten wir die Grundregel für eine solche Transformation ab:

Bestimmung 1

Um den gemeinsamen Faktor einzuklammern, müssen Sie den ursprünglichen Ausdruck als Produkt des gemeinsamen Faktors und der Klammern schreiben, die die ursprüngliche Summe ohne den gemeinsamen Faktor enthalten.

Beispiel 1

Nehmen wir ein einfaches Rendering-Beispiel. Wir haben einen numerischen Ausdruck 3 7 + 3 2 − 3 5, die die Summe dreier Terme 3 · 7, 3 · 2 und eines gemeinsamen Faktors 3 ist. Ausgehend von der von uns abgeleiteten Regel schreiben wir das Produkt als 3 (7 + 2 - 5). Das ist das Ergebnis unserer Transformation. Der Lösungseintrag sieht so aus: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Wir können den Faktor aus Klammern nicht nur in numerischen, sondern auch in wörtlichen Ausdrücken herausnehmen. Zum Beispiel im 3 x − 7 x + 2 Sie können die Variable x herausnehmen und erhalten 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, im Ausdruck (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- gemeinsamer Multiplikator (x2 + y) und am Ende bekommen (x 2 + y) (x y − x 3).

Welcher Multiplikator üblich ist, lässt sich nicht immer sofort feststellen. Manchmal muss ein Ausdruck vorläufig transformiert werden, indem Zahlen und Ausdrücke durch Produkte ersetzt werden, die ihnen identisch sind.

Beispiel 2

So zum Beispiel im Ausdruck 6x + 4j Sie können den nicht explizit geschriebenen gemeinsamen Faktor 2 herausnehmen. Um es zu finden, müssen wir den ursprünglichen Ausdruck umwandeln und sechs als 2 3 und vier als 2 2 darstellen. Also 6x + 4y = 2 3x + 2 2y = 2 (3x + 2y). Oder im Ausdruck x 3 + x 2 + 3 x kann durch den gemeinsamen Faktor x eingeklammert werden, der nach der Ersetzung gefunden wird x 3 auf der x · x2 . Eine solche Transformation ist aufgrund der grundlegenden Eigenschaften des Grades möglich. Als Ergebnis erhalten wir den Ausdruck x (x 2 + x + 3).

Ein weiterer gesondert zu behandelnder Fall ist die Einklammerung des Minus. Dann nehmen wir nicht das Zeichen selbst heraus, sondern minus eins. Lassen Sie uns beispielsweise den Ausdruck auf diese Weise umwandeln − 5 − 12 x + 4 x y. Schreiben wir den Ausdruck um als (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y damit der Gesamtmultiplikator deutlicher zu sehen ist. Nehmen wir es aus den Klammern und erhalten − (5 + 12 x − 4 x y) . Dieses Beispiel zeigt, dass in Klammern derselbe Betrag erhalten wird, jedoch mit entgegengesetzten Vorzeichen.

In den Schlussfolgerungen stellen wir fest, dass die Transformation durch Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern in der Praxis sehr häufig verwendet wird, beispielsweise um den Wert rationaler Ausdrücke zu berechnen. Diese Methode ist auch nützlich, wenn Sie einen Ausdruck als Produkt darstellen müssen, um beispielsweise ein Polynom in einzelne Faktoren zu zerlegen.

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Wir beschäftigen uns weiterhin mit den Grundlagen der Algebra. Heute werden wir mit arbeiten, nämlich eine solche Aktion als betrachten indem man den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnimmt.

Unterrichtsinhalt

Das Grundprinzip

Das Distributivgesetz der Multiplikation ermöglicht es Ihnen, eine Zahl mit einer Summe (oder eine Summe mit einer Zahl) zu multiplizieren. Um beispielsweise den Wert des Ausdrucks 3 × (4 + 5) zu finden, können Sie die Zahl 3 mit jedem Term in Klammern multiplizieren und die Ergebnisse addieren:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Die Zahl 3 und der Klammerausdruck können vertauscht werden (folgt aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation). Dann wird jeder Term, der in Klammern steht, mit der Zahl 3 multipliziert

(4 + 5) × 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 12 + 15

Wir berechnen vorerst nicht die Konstruktion 3 × 4 + 3 × 5 und addieren die Ergebnisse 12 und 15. Lassen wir den Ausdruck als 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Im Folgenden werden wir ihn in dieser Form brauchen, um die Essenz des Entfernens des gemeinsamen Teilers aus Klammern zu verstehen.

Das Verteilungsgesetz der Multiplikation wird manchmal als Multiplikator in Klammern bezeichnet. Im Ausdruck 3 × (4 + 5) stand der Faktor 3 außerhalb der Klammern. Indem wir es mit jedem Term in Klammern multiplizierten, brachten wir es im Wesentlichen in die Klammern. Zur Verdeutlichung können Sie es so schreiben, obwohl es nicht üblich ist, es so zu schreiben:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Denn im Ausdruck 3×(4+5) die Zahl 3 wird mit jedem Term in Klammern multipliziert, diese Zahl ist ein gemeinsamer Faktor für die Terme 4 und 5

Wie bereits erwähnt, multiplizieren wir diesen gemeinsamen Faktor mit jedem Term in Klammern und bringen ihn in die Klammern. Aber auch der umgekehrte Vorgang ist möglich – der gemeinsame Teiler kann aus Klammern zurückgenommen werden. In diesem Fall im Ausdruck 3×4 + 3×5 Der gemeinsame Faktor ist sichtbar, wie in Ihrer Handfläche - dies ist ein Faktor von 3. Es muss eingeklammert werden. Dazu wird zunächst der Faktor 3 selbst geschrieben

und als nächstes in Klammern steht der Ausdruck 3×4 + 3×5 aber ohne den gemeinsamen Faktor 3 , da er aus Klammern genommen wird

3 (4 + 5)

Durch Entfernen des gemeinsamen Teilers aus Klammern erhält man den Ausdruck 3 (4 + 5) . Dieser Ausdruck ist identisch mit dem vorherigen Ausdruck 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Wenn wir beide Teile der resultierenden Gleichheit berechnen, erhalten wir die Identität:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Wie ist das Entfernen des gemeinsamen Teilers aus Klammern?

Das Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern ist im Wesentlichen die umgekehrte Operation des Einfügens des gemeinsamen Faktors in die Klammer.

Wenn wir bei der Einführung eines gemeinsamen Faktors in Klammern diesen Faktor mit jedem Term in Klammern multiplizieren, dann müssen wir, wenn wir diesen Faktor wieder aus der Klammer setzen, jeden Term in Klammern durch diesen Faktor dividieren.

Im Ausdruck 3×4 + 3×5, was oben besprochen wurde, und geschah. Jeder Term wurde durch einen gemeinsamen Faktor von 3 geteilt. Die Produkte von 3 × 4 und 3 × 5 sind Terme, denn wenn wir sie berechnen, erhalten wir die Summe 12 + 15

Jetzt können wir im Detail sehen, wie der gemeinsame Teiler ausgeklammert wird:

Es ist ersichtlich, dass der gemeinsame Faktor 3 zuerst aus Klammern genommen wird, dann wird in Klammern jeder Term durch diesen gemeinsamen Faktor dividiert.

Die Division jedes Terms durch einen gemeinsamen Faktor kann nicht nur wie oben gezeigt durch Division des Zählers durch den Nenner erfolgen, sondern auch durch Kürzen dieser Brüche. In beiden Fällen wird das gleiche Ergebnis erzielt:

Wir haben uns das einfachste Beispiel für das Einklammern des gemeinsamen Faktors angesehen, um das Grundprinzip zu verstehen.

Doch nicht alles ist so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Nachdem die Zahl mit jedem Term in Klammern multipliziert wurde, werden die Ergebnisse addiert und der gemeinsame Teiler verschwindet aus dem Blickfeld.

Kommen wir zurück zu unserem Beispiel 3 (4 + 5) . Wir wenden das Distributivgesetz der Multiplikation an, d. h. wir multiplizieren die Zahl 3 mit jedem Glied in Klammern und addieren die Ergebnisse:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Nachdem die Konstruktion 3 × 4 + 3 × 5 berechnet ist, erhalten wir einen neuen Ausdruck 12 + 15 . Wir sehen, dass der gemeinsame Faktor 3 außer Sichtweite ist. Jetzt werden wir in dem resultierenden Ausdruck 12 + 15 versuchen, den gemeinsamen Teiler aus den Klammern herauszunehmen, aber um diesen gemeinsamen Teiler herauszunehmen, müssen wir ihn zuerst finden.

Üblicherweise gibt es beim Lösen von Problemen genau solche Ausdrücke, bei denen erst die Gemeinsamkeit gefunden werden muss, bevor sie herausgenommen werden kann.

Um den gemeinsamen Faktor aus den Klammern im Ausdruck 12 + 15 herauszunehmen, müssen Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Terme 12 und 15 finden. Der gefundene ggT ist der gemeinsame Faktor.

Lassen Sie uns also den ggT für die Zahlen 12 und 15 finden. Erinnern Sie sich daran, dass es notwendig ist, um den ggT zu finden, die ursprünglichen Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen, dann die erste Erweiterung zu schreiben und Faktoren daraus zu entfernen, die darin nicht enthalten sind die Erweiterung der zweiten Zahl. Die restlichen Faktoren müssen multipliziert werden, um den erforderlichen ggT zu erhalten. Wenn Sie an dieser Stelle Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie es unbedingt.

ggT für 12 und 15 ist die Zahl 3. Diese Zahl ist ein gemeinsamer Faktor für die Terme 12 und 15. Sie muss aus Klammern herausgenommen werden. Dazu schreiben wir zuerst den Faktor 3 selbst auf und schreiben als nächstes in Klammern einen neuen Ausdruck, in dem jeder Term des Ausdrucks 12 + 15 durch einen gemeinsamen Faktor 3 dividiert wird

Nun, die weitere Berechnung ist nicht schwierig. Der Klammerausdruck ist einfach auszuwerten − zwölf geteilt durch drei ist vier, a fünfzehn geteilt durch drei ist fünf:

Wenn also der gemeinsame Faktor in dem Ausdruck 12 + 15 aus Klammern genommen wird, wird der Ausdruck 3(4 + 5) erhalten. Die Detaillösung lautet wie folgt:

Die kurze Lösung überspringt die Notation, die zeigt, wie jeder Term durch einen gemeinsamen Faktor geteilt wird:

Beispiel 2 15 + 20

Finden Sie den ggT für die Terme 15 und 20

ggT für 15 und 20 ist die Zahl 5. Diese Zahl ist ein gemeinsamer Faktor für die Terme 15 und 20. Wir werden sie aus Klammern nehmen:

Wir haben den Ausdruck 5(3 + 4). Der resultierende Ausdruck kann überprüft werden. Dazu genügt es, die fünf mit jedem Term in Klammern zu multiplizieren. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollten wir den Ausdruck 15 + 20 erhalten

Beispiel 3 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck 18+24+36

Lassen Sie uns den ggT für die Terme 18, 24 und 36 finden. Dazu müssen Sie diese Zahlen in Primfaktoren zerlegen und dann das Produkt der gemeinsamen Faktoren finden:

ggT für 18, 24 und 36 ist die Zahl 6. Diese Zahl ist ein gemeinsamer Faktor für die Terme 18, 24 und 36. Wir nehmen sie aus den Klammern heraus:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck überprüfen. Multiplizieren Sie dazu die Zahl 6 mit jedem Begriff in Klammern. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollten wir den Ausdruck 18 + 24 + 36 erhalten

Beispiel 4 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck 13 + 5

Die Terme 13 und 5 sind Primzahlen. Sie zerfallen nur in die Einheit und sich selbst:

Das bedeutet, dass die Terme 13 und 5 keine anderen gemeinsamen Faktoren als Eins haben. Dementsprechend macht es keinen Sinn, diese Einheit aus Klammern zu nehmen, da dies nichts bringt. Zeigen wir es:

Beispiel 5 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck 195+156+260

Finden Sie den ggT für die Terme 195, 156 und 260

ggT für 195, 156 und 260 ist die Zahl 13. Diese Zahl ist ein gemeinsamer Faktor für die Terme 195, 156 und 260. Wir nehmen sie aus den Klammern heraus:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck überprüfen. Multiplizieren Sie dazu 13 mit jedem Term in Klammern. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollten wir den Ausdruck 195 + 156 + 260 erhalten

Der Ausdruck, in dem Sie den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnehmen möchten, kann nicht nur die Summe von Zahlen sein, sondern auch die Differenz. Nehmen wir zum Beispiel den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck 16 - 12 - 4. Der größte gemeinsame Teiler für die Zahlen 16, 12 und 4 ist die Zahl 4. Wir nehmen diese Zahl aus Klammern:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck überprüfen. Multiplizieren Sie dazu die vier mit jeder Zahl in Klammern. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollten wir den Ausdruck 16 - 12 - 4 erhalten

Beispiel 6 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck 72+96−120

Finden wir den ggT für die Zahlen 72, 96 und 120

ggT für 72, 96 und 120 ist die Zahl 24. Diese Zahl ist ein gemeinsamer Faktor für die Terme 195, 156 und 260. Wir nehmen sie aus den Klammern heraus:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck überprüfen. Multiplizieren Sie dazu 24 mit jeder Zahl in Klammern. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollten wir den Ausdruck 72+96−120 erhalten

Der in Klammern genommene gemeinsame Faktor kann auch negativ sein. Nehmen wir zum Beispiel den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck −6−3. Es gibt zwei Möglichkeiten, den gemeinsamen Teiler in einem solchen Ausdruck aus Klammern zu nehmen. Betrachten wir jeden von ihnen.

Methode 1.

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

−6 + (−3)

Jetzt finden wir den gemeinsamen Faktor. Der gemeinsame Teiler dieses Ausdrucks ist der größte gemeinsame Teiler der Terme –6 und –3.

Der Modul des ersten Terms ist 6. Und der Modul des zweiten Terms ist 3. GCD(6 und 3) ist 3. Diese Zahl ist ein gemeinsamer Faktor für die Terme 6 und 3. Wir werden sie aus Klammern nehmen:

Der so erhaltene Ausdruck erwies sich als nicht sehr genau. Viele Klammern und negative Zahlen machen den Ausdruck nicht einfach. Daher können Sie die zweite Methode verwenden, deren Kern darin besteht, nicht 3, sondern −3 einzuklammern.

Methode 2.

Wie zuvor ersetzen wir die Subtraktion durch Addition

−6 + (−3)

Diesmal klammern wir nicht 3, sondern −3 ein

Der diesmal erhaltene Ausdruck sieht viel einfacher aus. Lassen Sie uns die Lösung kürzer schreiben, um es noch einfacher zu machen:

Die Möglichkeit, einen negativen Faktor aus Klammern herauszunehmen, liegt daran, dass die Zerlegung der Zahlen −6 und (−3) in zwei Formen geschrieben werden kann: Erstens mache den Multiplikator negativ und den Multiplikator positiv:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

im zweiten Fall kann der Multiplikand positiv und der Multiplikator negativ gemacht werden:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Das bedeutet, dass wir den gewünschten Faktor frei ausklammern können.

Beispiel 8 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck −20−16−2

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Der größte gemeinsame Teiler für die Terme –20, –16 und –2 ist 2. Diese Zahl ist der gemeinsame Faktor für diese Terme. Mal sehen, wie es aussieht:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Aber die obigen Erweiterungen können durch identisch gleiche Erweiterungen ersetzt werden. Der Unterschied besteht darin, dass der gemeinsame Teiler nicht 2, sondern −2 ist

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Daher können wir der Einfachheit halber nicht 2, sondern −2 aus Klammern nehmen

Lassen Sie uns die obige Lösung kürzer schreiben:

Und wenn wir 2 aus Klammern herausnehmen würden, dann würden wir einen nicht ganz genauen Ausdruck bekommen:

Beispiel 9 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck −30−36−42

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

−30 + (−36) + (−42)

Der größte gemeinsame Teiler der Terme –30, –36 und –42 ist 6. Diese Zahl ist der gemeinsame Faktor für diese Terme. Aber wir nehmen nicht 6 heraus, sondern −6, weil die Zahlen −30, −36 und −42 wie folgt dargestellt werden können:

5 × (−6) = −30

6 × (–6) = –36

7 × (–6) = –42

Das Minus einklammern

Beim Lösen von Problemen kann es manchmal sinnvoll sein, das Minus aus Klammern zu setzen. Dadurch können Sie den Ausdruck vereinfachen und ordnen.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Entfernen Sie das Minus aus den Klammern im Ausdruck −15+(−5)+(−3)

Zur Verdeutlichung schließen wir diesen Ausdruck in Klammern ein, da es sich um das Entfernen des Minus aus diesen Klammern handelt

(−15 + (−5) + (−3))

Um also das Minus aus den Klammern zu entfernen, müssen Sie ein Minus vor die Klammern schreiben und alle Begriffe in Klammern schreiben, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen

Wir haben das Minus aus den Klammern im Ausdruck −15+(−5)+(−3) entfernt und erhalten −(15+5+3). Beide Ausdrücke sind gleich dem gleichen Wert –23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Daher können Sie zwischen den Ausdrücken −15+(−5)+(−3) und −(15+5+3) ein Gleichheitszeichen setzen, da sie denselben Wert haben:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

In der Tat, wenn das Minus aus Klammern entfernt wird, funktioniert das Verteilungsgesetz der Multiplikation wieder:

a(b+c) = ab + ac

Wenn wir den linken und den rechten Teil dieser Identität vertauschen, stellt sich heraus, dass der Faktor a eingeklammert

ab + ac = a(b+c)

Dasselbe passiert, wenn wir den gemeinsamen Teiler in anderen Ausdrücken weglassen und wenn wir das Minus in Klammern weglassen.

Es ist offensichtlich, dass, wenn das Minus aus Klammern entfernt wird, kein Minus entfernt wird, sondern ein Minus. Wir haben bereits gesagt, dass es üblich ist, den Koeffizienten 1 nicht aufzuschreiben.

Daher wird vor den Klammern ein Minus gebildet, und die Vorzeichen der Terme, die in den Klammern standen, ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil, da jeder Term durch minus eins geteilt wird.

Gehen wir zurück zum vorherigen Beispiel und sehen uns im Detail an, wie das Minus tatsächlich eingeklammert wurde

Beispiel 2 Nimm das Minus aus den Klammern im Ausdruck −3 + 5 + 11

Wir setzen ein Minus und schreiben als nächstes in Klammern den Ausdruck −3 + 5 + 11 mit dem entgegengesetzten Vorzeichen für jeden Term:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Wie im vorigen Beispiel wird hier kein Minus, sondern ein Minus aus Klammern genommen. Die Detaillösung lautet wie folgt:

Zuerst haben wir den Ausdruck −1(3 + (−5) + (−11)) erhalten, aber wir haben die inneren Klammern darin geöffnet und den Ausdruck −(3 − 5 − 11) erhalten. Die Erweiterung von Klammern ist das Thema der nächsten Lektion. Wenn Sie also Probleme mit diesem Beispiel haben, können Sie es vorerst überspringen.

Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern in einem wörtlichen Ausdruck

Viel interessanter ist es, den gemeinsamen Teiler in einem wörtlichen Ausdruck aus Klammern zu nehmen.

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Lass es einen Ausdruck geben 3a + 2a. Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern.

In diesem Fall ist der gemeinsame Faktor mit bloßem Auge sichtbar - das ist der Faktor a. Nehmen wir es aus den Klammern. Dazu schreiben wir den Multiplikator selbst a und schreiben Sie als nächstes in Klammern den Ausdruck 3a + 2a, aber ohne den Multiplikator a weil es eingeklammert ist:

Wie bei einem numerischen Ausdruck wird hier jeder Term durch den wiedergegebenen gemeinsamen Faktor dividiert. Es sieht aus wie das:

Variablen in beiden Brüchen a reduziert wurden auf a. Statt dessen erwiesen sich Zähler und Nenner als Einheiten. Einheiten fielen aufgrund der Tatsache aus, dass anstelle einer Variablen a kann eine beliebige Zahl sein. Diese Variable befand sich sowohl im Zähler als auch im Nenner. Und wenn Zähler und Nenner die gleichen Zahlen sind, dann ist der größte gemeinsame Teiler für sie diese Zahl selbst.

Zum Beispiel if anstelle einer Variablen a eine Zahl ersetzen 4 , dann nimmt die Struktur folgende Form an: . Dann können die Vierer in beiden Brüchen um 4 gekürzt werden:

Es stellt sich heraus wie zuvor, als es anstelle von Vieren eine Variable gab a .

Daher sollten Sie nicht erschrecken, wenn Sie die Reduzierung von Variablen sehen. Eine Variable ist ein vollwertiger Multiplikator, auch wenn sie durch einen Buchstaben ausgedrückt wird. Ein solcher Faktor kann aus Klammern genommen, reduziert und andere Aktionen ausgeführt werden, die für gewöhnliche Zahlen gelten.

Ein wörtlicher Ausdruck enthält nicht nur Zahlen, sondern auch Buchstaben (Variablen). Daher ist der aus Klammern genommene gemeinsame Faktor oft ein Buchstabenfaktor, bestehend aus einer Zahl und einem Buchstaben (Koeffizient und Variable). Die folgenden Ausdrücke sind beispielsweise wörtliche Faktoren:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Bevor Sie einen solchen Faktor aus Klammern nehmen, müssen Sie entscheiden, welche Zahl im numerischen Teil des gemeinsamen Faktors und welche Variable im Buchstabenteil des gemeinsamen Faktors stehen soll. Mit anderen Worten, Sie müssen herausfinden, welchen Koeffizienten der gemeinsame Faktor haben wird und welche Variable darin enthalten sein wird.

Betrachten Sie Ausdruck 10 ein + 15a. Versuchen wir, den gemeinsamen Teiler aus Klammern herauszunehmen. Lassen Sie uns zuerst entscheiden, woraus der gemeinsame Faktor bestehen wird, dh seinen Koeffizienten herausfinden und welche Variable darin enthalten sein wird.

Der Koeffizient des gemeinsamen Faktors muss der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten des wörtlichen Ausdrucks 10 sein ein + 15a. 10 und 15, und ihr größter gemeinsamer Teiler ist 5. Die Zahl 5 ist also der Koeffizient des gemeinsamen Faktors, der aus Klammern genommen wird.

Lassen Sie uns nun entscheiden, welche Variable in den gemeinsamen Faktor aufgenommen wird. Sehen Sie sich dazu den Ausdruck 10 an ein + 15a und finden Sie den wörtlichen Faktor, der in allen Termen enthalten ist. In diesem Fall ist es ein Faktor a. Dieser Faktor ist in jedem Term des Ausdrucks 10 enthalten ein + 15a. Also die Variable a wird in den wörtlichen Teil des gemeinsamen Faktors aufgenommen, der aus Klammern genommen wird:

Nun bleibt noch der gemeinsame Faktor herauszunehmen 5a für Klammern. Dazu teilen wir jeden Term des Ausdrucks 10a + 15a auf der 5a. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden die Koeffizienten und Zahlen durch das Multiplikationszeichen (×) getrennt.

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck überprüfen. Dazu multiplizieren wir 5a für jeden Begriff in Klammern. Wenn wir alles richtig gemacht haben, erhalten wir den Ausdruck 10a + 15a

Der wörtliche Multiplikator kann nicht immer geklammert werden. Manchmal besteht der gemeinsame Teiler nur aus einer Zahl, da es im Ausdruck nichts Passendes für den Buchstabenteil gibt.

Nehmen wir zum Beispiel den gemeinsamen Teiler aus den Klammern im Ausdruck 2a - 2b. Hier wird der gemeinsame Faktor nur die Zahl sein 2 , und unter den wörtlichen Faktoren gibt es keine gemeinsamen Faktoren im Ausdruck. Daher wird in diesem Fall nur der Multiplikator herausgenommen 2

Beispiel 2 Nimm den gemeinsamen Teiler des Ausdrucks heraus 3x+9y+12

Die Koeffizienten dieses Ausdrucks sind die Zahlen 3, 9 und 12, ihr GCD ist 3 3 . Und unter den wörtlichen Faktoren (Variablen) gibt es keinen gemeinsamen Faktor. Der letzte gemeinsame Faktor ist also 3

Beispiel 3 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck 8x+6y+4z+10+2

Die Koeffizienten dieses Ausdrucks sind die Zahlen 8, 6, 4, 10 und 2, ihr GCD ist 2 . Das bedeutet, dass der in Klammern genommene Koeffizient des gemeinsamen Faktors die Zahl ist 2 . Und unter den wörtlichen Faktoren gibt es keinen gemeinsamen Faktor. Der letzte gemeinsame Faktor ist also 2

Beispiel 4 Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus 6ab + 18ab + 3abc

Die Koeffizienten dieses Ausdrucks sind die Zahlen 6, 18 und 3, ihr GCD ist 3 . Das bedeutet, dass der in Klammern genommene Koeffizient des gemeinsamen Faktors die Zahl ist 3 . Der wörtliche Teil des gemeinsamen Faktors enthält Variablen a und b, denn im Ausdruck 6ab + 18ab + 3abc diese beiden Variablen sind in jedem Term enthalten. Der letzte gemeinsame Faktor ist also 3ab

Bei einer detaillierten Lösung wird der Ausdruck umständlich und sogar unverständlich. In diesem Beispiel ist das mehr als auffällig. Das liegt daran, dass wir die Faktoren im Zähler und im Nenner kürzen. Am besten machst du das in Gedanken und schreibst gleich das Ergebnis der Teilung auf. Dann wird der Ausdruck kurz und prägnant:

Wie bei einem numerischen Ausdruck in einem wörtlichen Ausdruck kann der gemeinsame Teiler auch negativ sein.

Nehmen wir zum Beispiel das Common aus Klammern in den Ausdruck −3a−2a.

Der Einfachheit halber ersetzen wir die Subtraktion durch Addition

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Der gemeinsame Faktor in diesem Ausdruck ist der Faktor a. Aber nicht nur a, aber auch -a. Nehmen wir es aus den Klammern:

Ein ordentlicher Ausdruck −a(3+2). Es sollte nicht vergessen werden, dass der Multiplikator -a sah tatsächlich aus −1a und nach der Reduktion beider Anteile der Variablen a, die Nenner blieben minus eins. Daher werden als Ergebnis positive Antworten in Klammern erhalten.

Beispiel 6 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck −6x − 6y

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition

−6x−6y = −6x+(−6y)

Nehmen wir es aus den Klammern −6

Schreiben wir kurz die Lösung:

−6x − 6y = −6(x + y)

Beispiel 7 Nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern im Ausdruck −2a − 4b − 6c

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Nehmen wir es aus den Klammern −2

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Um Beispiele mit Brüchen zu lösen, musst du in der Lage sein, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Nachfolgend finden Sie eine detaillierte Anleitung.

Wie man den kleinsten gemeinsamen Nenner findet - Konzept

Der kleinste gemeinsame Nenner (LCD) ist in einfachen Worten die kleinste Zahl, die durch die Nenner aller Brüche eines gegebenen Beispiels teilbar ist. Mit anderen Worten, es wird das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) genannt. NOZ wird nur verwendet, wenn die Nenner der Brüche unterschiedlich sind.

So finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner - Beispiele

Betrachten wir Beispiele für das Auffinden von NOZ.

Berechnen Sie: 3/5 + 2/15.

Lösung (Aktionsfolge):

• Wir schauen uns die Nenner von Brüchen an, achten darauf, dass sie unterschiedlich sind und die Ausdrücke so weit wie möglich gekürzt werden.
• Wir finden die kleinste Zahl, die sowohl durch 5 als auch durch 15 teilbar ist. Diese Zahl ist 15. Somit ist 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Wir haben den Nenner herausgefunden. Was wird im Zähler stehen? Ein zusätzlicher Multiplikator hilft uns dabei, dies herauszufinden. Ein zusätzlicher Faktor ist die Zahl, die man erhält, wenn man die NOZ durch den Nenner eines bestimmten Bruchs dividiert. Für 3/5 ist der zusätzliche Faktor 3, da 15/5 = 3. Für den zweiten Bruch ist der zusätzliche Faktor 1, da 15/15 = 1.
• Nachdem wir den zusätzlichen Faktor herausgefunden haben, multiplizieren wir ihn mit den Zählern der Brüche und addieren die resultierenden Werte. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Antwort: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Wenn im Beispiel nicht 2, sondern 3 oder mehr Brüche addiert oder subtrahiert werden, dann muss die NOZ nach so vielen Brüchen wie angegeben durchsucht werden.

Berechne: 1/2 - 5/12 + 3/6

Lösung (Aktionsfolge):

• Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner. Die Mindestzahl, die durch 2, 12 und 6 teilbar ist, ist 12.
• Wir erhalten: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Wir suchen weitere Multiplikatoren. Für 1/2 - 6; für 5/12 - 1; für 3/6 - 2.
• Wir multiplizieren mit den Zählern und weisen die entsprechenden Vorzeichen zu: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Antwort: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.