Arithmetische und geometrische Progressionsformel mit Beispielen. Wie man die Differenz einer arithmetischen Progression findet. Wichtige arithmetische Progressionsformeln
Beim Studium der Algebra in einer weiterführenden Schule (Klasse 9) ist eines der wichtigen Themen das Studium numerischer Folgen, zu denen Progressionen gehören - geometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Progression und Beispiele mit Lösungen.
Was ist eine arithmetische Progression?
Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betrachteten Ablauf zu definieren sowie die grundlegenden Formeln anzugeben, die bei der Lösung von Problemen weiter verwendet werden.
Es ist bekannt, dass in einigen algebraischen Fortschritten der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Sequenz zum 7. Term wiederherzustellen.
Lassen Sie uns die Formel verwenden, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Wir ersetzen die bekannten Daten aus der Bedingung, dh die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 \u003d 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie leicht die Differenz berechnen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Damit war der erste Teil der Aufgabe gelöst.
Um die Folge bis zum 7. Glied wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Progression verwenden, dh a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d und so weiter. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 und 7 = 18.
Beispiel Nr. 3: eine Progression machen
Lassen Sie uns die Bedingung des Problems noch komplizierter machen. Jetzt müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie eine arithmetische Progression finden. Wir können folgendes Beispiel geben: Es sind zwei Zahlen gegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu machen, damit drei weitere Terme dazwischen passen.
Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen in der zukünftigen Progression einnehmen werden. Da es drei weitere Terme zwischen ihnen geben wird, dann eine 1 \u003d -4 und eine 5 \u003d 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, fahren wir mit einer Aufgabe fort, die der vorherigen ähnlich ist. Auch hier verwenden wir für den n-ten Term die Formel, wir erhalten: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Aus: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Hier ist die Differenz kein ganzzahliger Wert, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression gleich bleiben.
Jetzt addieren wir den gefundenen Unterschied zu einer 1 und stellen die fehlenden Mitglieder der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, was mit der Bedingung des Problems übereinstimmte.
Beispiel #4: Das erste Mitglied der Progression
Wir geben weiterhin Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten wir nun ein Problem anderer Art: Gegeben seien zwei Zahlen, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es ist notwendig herauszufinden, ab welcher Zahl diese Folge beginnt.
Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. Über diese Zahlen ist im Zustand des Problems nichts bekannt. Schreiben wir trotzdem die Ausdrücke für jeden Begriff, über den wir Informationen haben: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen, in denen es 2 Unbekannte gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.
Das angegebene System lässt sich am einfachsten lösen, wenn Sie in jeder Gleichung eine 1 ausdrücken und dann die resultierenden Ausdrücke vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, woher die Differenz d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (nur 3 Dezimalstellen sind angegeben).
Wenn Sie d kennen, können Sie jeden der beiden obigen Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, können Sie es überprüfen, indem Sie beispielsweise das 43. Glied der Progression bestimmen, das in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ein kleiner Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.
Beispiel #5: Summe
Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.
Gegeben sei eine Zahlenreihe folgender Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?
Dank der Entwicklung der Computertechnologie kann dieses Problem gelöst werden, dh alle Zahlen nacheinander addieren, was der Computer tut, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem lässt sich aber gedanklich lösen, wenn man darauf achtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz 1 ist. Wendet man die Summenformel an, erhält man: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Es ist merkwürdig, dass dieses Problem "Gaußsche" genannt wird, da der berühmte Deutsche es Anfang des 18. Jahrhunderts im Alter von nur 10 Jahren in wenigen Sekunden in Gedanken lösen konnte. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer dasselbe Ergebnis erhält, wenn man Zahlenpaare addiert, die sich an den Rändern der Folge befinden, nämlich 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) sein werden, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.
Beispiel #6: Summe der Terme von n bis m
Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das folgende: Bei einer Reihe von Zahlen: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie die Summe ihrer Glieder von 8 bis 14 finden.
Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Terme von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zu summieren. Da es nur wenige Terme gibt, ist diese Methode nicht mühsam genug. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem durch die zweite Methode zu lösen, die universeller ist.
Die Idee ist, eine Formel für die Summe einer algebraischen Folge zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Für beide Fälle schreiben wir zwei Ausdrücke für die Summe:
- S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (ein n + ein 1) / 2.
Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2-Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen bilden und den Term a m dazu addieren (im Falle der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + ein n * n / 2 + ein m * (1- m / 2). Es ist notwendig, Formeln für ein n und ein m in diesen Ausdruck einzusetzen. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen einsetzen, erhalten wir: S mn = 301.
Wie aus den obigen Lösungen ersichtlich ist, basieren alle Aufgaben auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, dass Sie die Bedingung sorgfältig lesen, klar verstehen, was Sie finden möchten, und erst dann mit der Lösung fortfahren.
Ein weiterer Tipp ist, sich um Einfachheit zu bemühen, dh wenn Sie die Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers geringer ist. Beispielsweise könnte man im Beispiel einer arithmetischen Folge mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m stehen bleiben, und Unterteilen Sie die allgemeine Aufgabe in separate Unteraufgaben (in diesem Fall finden Sie zuerst die Begriffe a n und a m).
Wenn Zweifel am erzielten Ergebnis bestehen, wird empfohlen, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele geschehen ist. Wie man eine arithmetische Progression findet, herausgefunden. Wenn du es einmal herausgefunden hast, ist es nicht so schwer.
Bevor wir uns entscheiden Arithmetische Progressionsprobleme, überlegen Sie, was eine Zahlenfolge ist, da eine arithmetische Folge ein Sonderfall einer Zahlenfolge ist.
Eine Zahlenfolge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Element eine eigene fortlaufende Nummer hat. Die Elemente dieser Menge heißen Folgenglieder. Die Ordnungszahl eines Sequenzelements wird durch einen Index angegeben:
Das erste Element der Sequenz;
Das fünfte Element der Sequenz;
- "ntes" Element der Sequenz, d.h. das Element "in der Warteschlange stehen" bei Nummer n.
Es besteht eine Abhängigkeit zwischen dem Wert eines Sequenzelements und seiner Ordnungszahl. Daher können wir eine Folge als eine Funktion betrachten, deren Argument die Ordnungszahl eines Elements der Folge ist. Mit anderen Worten, das kann man sagen die Folge ist eine Funktion des natürlichen Arguments:
Die Reihenfolge kann auf drei Arten angegeben werden:
1 . Die Reihenfolge kann über eine Tabelle festgelegt werden. In diesem Fall setzen wir einfach den Wert jedes Mitglieds der Sequenz.
Zum Beispiel entschied sich jemand für ein persönliches Zeitmanagement und berechnete zunächst, wie viel Zeit er während der Woche mit VKontakte verbringt. Indem er die Zeit in eine Tabelle schreibt, erhält er eine Sequenz, die aus sieben Elementen besteht:
Die erste Zeile der Tabelle enthält die Nummer des Wochentages, die zweite - die Zeit in Minuten. Wir sehen das, das heißt, am Montag hat jemand 125 Minuten auf VKontakte verbracht, das heißt am Donnerstag - 248 Minuten, und das heißt, am Freitag nur 15.
2 . Die Reihenfolge kann mit der n-ten Gliedformel angegeben werden.
Dabei wird die Abhängigkeit des Werts eines Folgenelements von seiner Nummer direkt als Formel ausgedrückt.
Zum Beispiel wenn, dann
Um den Wert eines Sequenzelements mit einer bestimmten Nummer zu finden, setzen wir die Elementnummer in die Formel für das n-te Element ein.
Dasselbe tun wir, wenn wir den Wert einer Funktion finden müssen, wenn der Wert des Arguments bekannt ist. Wir ersetzen stattdessen den Wert des Arguments in der Gleichung der Funktion:
Wenn zum Beispiel 
, dann
Ich bemerke noch einmal, dass in einer Folge im Gegensatz zu einer beliebigen numerischen Funktion nur eine natürliche Zahl ein Argument sein kann.
3 . Die Folge kann mit einer Formel angegeben werden, die die Abhängigkeit des Werts des Folgeglieds mit der Nummer n vom Wert der vorangegangenen Glieder ausdrückt. In diesem Fall reicht es nicht aus, nur die Nummer eines Folgenglieds zu kennen, um seinen Wert zu finden. Wir müssen das erste Mitglied oder die ersten paar Mitglieder der Sequenz angeben.
Betrachten Sie beispielsweise die Reihenfolge 
, 
Wir können die Werte der Mitglieder einer Sequenz finden der Reihe nach, ab dem dritten:
Das heißt, jedes Mal, um den Wert des n-ten Glieds der Folge zu finden, kehren wir zu den beiden vorherigen zurück. Diese Art der Sequenzierung wird aufgerufen wiederkehrend, vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück.
Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren. Eine arithmetische Folge ist ein einfacher Sonderfall einer Zahlenfolge.
Arithmetische Progression wird eine Zahlenfolge genannt, bei der jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, ergänzt um dieselbe Nummer.
Die Nummer wird angerufen die Differenz einer arithmetischen Progression. Die Differenz einer arithmetischen Progression kann positiv, negativ oder null sein.
Wenn title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zunehmend.
Zum Beispiel 2; 5; acht; elf;...
Wenn , dann ist jeder Term der arithmetischen Progression kleiner als der vorherige, und die Progression ist abnehmend.
Zum Beispiel 2; -eines; -vier; -7;...
Wenn , dann haben alle Mitglieder der Progression die gleiche Zahl, und die Progression ist stationär.
Zum Beispiel 2;2;2;2;...
Die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge:
Schauen wir uns das Bild an.
Wir sehen das
, und gleichzeitig
Addiert man diese beiden Gleichheiten, erhält man:
.
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2:
Jedes Mitglied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist also gleich dem arithmetischen Mittel zweier benachbarter:
Außerdem seit
, und gleichzeitig
, dann
, und daher
Jedes Mitglied der arithmetischen Folge beginnend mit title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
te Mitgliedsformel.
Wir sehen, dass für die Glieder der arithmetischen Folge folgende Beziehungen gelten:
und endlich,
Wir haben bekommen Formel des n-ten Terms.
WICHTIG! Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge kann durch und ausgedrückt werden. Wenn Sie den ersten Term und den Unterschied einer arithmetischen Folge kennen, können Sie jedes seiner Mitglieder finden.
Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge.
In einer willkürlichen arithmetischen Folge sind die Summen der Terme mit gleichem Abstand von den Extremen einander gleich:
Betrachten Sie eine arithmetische Folge mit n Mitgliedern. Die Summe der n Mitglieder dieser Folge sei gleich .
Ordnen Sie die Terme der Progression zuerst in aufsteigender Reihenfolge der Zahlen und dann in absteigender Reihenfolge:
Paaren wir es:
Die Summe in jeder Klammer ist , die Anzahl der Paare ist n.
Wir bekommen:
So, Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge kann mit den Formeln gefunden werden:
In Betracht ziehen arithmetische Progressionsaufgaben lösen.
1 . Die Reihenfolge ergibt sich aus der Formel des n-ten Terms: . Beweisen Sie, dass diese Folge eine arithmetische Folge ist.
Lassen Sie uns beweisen, dass die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern der Folge gleich der gleichen Zahl ist.
Wir haben festgestellt, dass die Differenz zweier benachbarter Glieder der Folge nicht von ihrer Anzahl abhängt und eine Konstante ist. Daher ist diese Folge per Definition eine arithmetische Folge.
2 . Bei einer arithmetischen Progression -31; -27;...
a) Finden Sie die 31 Terme der Progression.
b) Bestimmen Sie, ob die Zahl 41 in dieser Progression enthalten ist.
a) Wir sehen das ;
Schreiben wir die Formel für den n-ten Term für unsere Progression auf.
Im Algemeinen 
In unserem Fall 
, deshalb 
Wir bekommen:
b) Angenommen, die Zahl 41 ist ein Mitglied der Folge. Finden wir seine Nummer. Dazu lösen wir die Gleichung:
Wir haben einen natürlichen Wert von n, also ja, die Zahl 41 ist ein Mitglied der Progression. Wenn der gefundene Wert von n keine natürliche Zahl wäre, würden wir antworten, dass die Zahl 41 KEIN Mitglied der Progression ist.
3 . a) Fügen Sie zwischen den Zahlen 2 und 8 4 Zahlen ein, sodass sie zusammen mit den angegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.
b) Finden Sie die Summe der Terme der resultierenden Progression.
a) Lassen Sie uns vier Zahlen zwischen den Zahlen 2 und 8 einfügen:
Wir haben eine arithmetische Progression, in der es 6 Terme gibt. 
Lassen Sie uns den Unterschied dieser Progression finden. Dazu verwenden wir die Formel für den n-ten Term:
Jetzt ist es einfach, die Werte der Zahlen zu finden:
3,2; 4,4; 5,6; 6,8
b) 
Antwort: a) ja; b) 30
4. Der LKW transportiert eine Charge Schotter mit einem Gewicht von 240 Tonnen und erhöht die Transportrate täglich um die gleiche Anzahl von Tonnen. Es ist bekannt, dass am ersten Tag 2 Tonnen Schutt transportiert wurden. Bestimmen Sie, wie viele Tonnen Schotter am zwölften Tag transportiert wurden, wenn alle Arbeiten in 15 Tagen abgeschlossen wurden.
Je nach Zustand des Problems steigt die Schottermenge, die der LKW transportiert, jeden Tag um die gleiche Anzahl. Wir haben es also mit einer arithmetischen Progression zu tun.
Wir formulieren dieses Problem in Form einer arithmetischen Progression.
Am ersten Tag wurden 2 Tonnen Schotter transportiert: a_1=2.
Alle Arbeiten wurden in 15 Tagen abgeschlossen: .
Der LKW transportiert eine Ladung Schotter mit einem Gewicht von 240 Tonnen:
Wir müssen finden .
Lassen Sie uns zuerst den Fortschrittsunterschied finden. Verwenden wir die Formel für die Summe von n Mitgliedern der Progression.
In unserem Fall:
Viele haben von einer arithmetischen Folge gehört, aber nicht jeder weiß genau, was das ist. In diesem Artikel geben wir die entsprechende Definition, gehen auch auf die Frage ein, wie man den Unterschied einer arithmetischen Folge findet, und geben eine Reihe von Beispielen.
Mathematische Definition
Wenn wir also von einer arithmetischen oder algebraischen Progression sprechen (diese Begriffe definieren dasselbe), dann bedeutet dies, dass es eine Zahlenreihe gibt, die das folgende Gesetz erfüllt: Alle zwei benachbarten Zahlen in der Reihe unterscheiden sich um denselben Wert. Mathematisch schreibt man das so:
Hier bedeutet n die Nummer des Elements a n in der Folge, und die Nummer d ist die Differenz der Progression (ihr Name folgt aus der vorgestellten Formel).
Was bedeutet es, den Unterschied d zu kennen? Darüber, wie weit benachbarte Zahlen voneinander entfernt sind. Die Kenntnis von d ist jedoch eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Bestimmung (Wiederherstellung) der gesamten Progression. Sie müssen eine weitere Zahl kennen, die absolut jedes Element der betrachteten Reihe sein kann, zum Beispiel eine 4, a10, aber in der Regel wird die erste Zahl verwendet, dh eine 1.
Formeln zur Bestimmung der Elemente der Progression
Im Allgemeinen reichen die obigen Informationen bereits aus, um zur Lösung spezifischer Probleme überzugehen. Bevor jedoch eine arithmetische Progression angegeben wird und es notwendig sein wird, ihren Unterschied zu finden, stellen wir einige nützliche Formeln vor, die den nachfolgenden Prozess der Problemlösung erleichtern.
Es ist leicht zu zeigen, dass jedes Element der Folge mit der Nummer n wie folgt gefunden werden kann:
ein n \u003d ein 1 + (n - 1) * d
Tatsächlich kann jeder diese Formel durch einfaches Aufzählen überprüfen: Wenn wir n = 1 einsetzen, erhalten wir das erste Element, wenn wir n = 2 einsetzen, ergibt der Ausdruck die Summe der ersten Zahl und der Differenz und so weiter.
Die Bedingungen vieler Probleme sind so zusammengestellt, dass für ein bekanntes Zahlenpaar, dessen Zahlen auch in der Folge angegeben sind, die Wiederherstellung der gesamten Zahlenreihe (Finden der Differenz und des ersten Elements) erforderlich ist. Jetzt werden wir dieses Problem allgemein lösen.
Nehmen wir also an, wir bekommen zwei Elemente mit den Nummern n und m. Mit der oben erhaltenen Formel können wir ein System aus zwei Gleichungen zusammenstellen:
ein n \u003d ein 1 + (n - 1) * d;
ein m = ein 1 + (m - 1) * d
Um unbekannte Größen zu finden, verwenden wir eine bekannte einfache Methode zur Lösung eines solchen Systems: Wir subtrahieren den linken und den rechten Teil paarweise, während die Gleichheit gültig bleibt. Wir haben:
ein n \u003d ein 1 + (n - 1) * d;
ein n - ein m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Somit haben wir eine Unbekannte (a 1) eliminiert. Jetzt können wir den letzten Ausdruck zur Bestimmung von d schreiben:
d = (a n - a m) / (n - m), wobei n > m
Wir haben eine sehr einfache Formel erhalten: Um die Differenz d gemäß den Bedingungen des Problems zu berechnen, muss nur das Verhältnis der Differenzen zwischen den Elementen selbst und ihren Seriennummern genommen werden. Auf einen wichtigen Punkt sollte geachtet werden: Die Unterschiede zwischen den "älteren" und "jüngeren" Mitgliedern, das heißt, n\u003e m ("älterer" - was bedeutet, dass er weiter vom Anfang der Sequenz entfernt steht, kann seinen absoluten Wert haben entweder mehr oder weniger "jüngeres" Element sein).
Der Ausdruck für die Differenz d der Progression sollte zu Beginn der Lösung des Problems in eine der Gleichungen eingesetzt werden, um den Wert des ersten Terms zu erhalten.
In unserem Zeitalter der Entwicklung der Computertechnik versuchen viele Schüler, Lösungen für ihre Aufgaben im Internet zu finden, daher stellen sich häufig Fragen dieser Art: Finden Sie online den Unterschied einer arithmetischen Folge. Bei einer solchen Anfrage zeigt die Suchmaschine eine Reihe von Webseiten an, auf denen Sie die aus der Bedingung bekannten Daten eingeben müssen (es können entweder zwei Mitglieder der Progression oder die Summe einiger von ihnen sein ) und erhalten sofort eine Antwort. Dennoch ist ein solcher Ansatz zur Lösung des Problems im Hinblick auf die Entwicklung des Schülers und das Verständnis des Wesens der ihm übertragenen Aufgabe unproduktiv.
Lösung ohne Formeln
Lassen Sie uns das erste Problem lösen, wobei wir keine der obigen Formeln verwenden werden. Seien die Elemente der Reihe gegeben: a6 = 3, a9 = 18. Finde die Differenz der arithmetischen Folge.
Bekannte Elemente stehen dicht nebeneinander in einer Reihe. Wie oft muss die Differenz d zur kleinsten addiert werden, um die größte zu erhalten? Dreimal (beim ersten Hinzufügen von d erhalten wir das 7. Element, beim zweiten Mal - das achte, schließlich beim dritten Mal - das neunte). Welche Zahl muss dreimal zu drei addiert werden, um 18 zu erhalten? Das ist die Nummer fünf. Wirklich:
Somit ist die unbekannte Differenz d = 5.
Natürlich könnte die Lösung mit der entsprechenden Formel erfolgen, aber dies wurde nicht absichtlich getan. Eine detaillierte Erklärung der Lösung des Problems sollte ein klares und anschauliches Beispiel dafür werden, was eine arithmetische Progression ist.
Eine ähnliche Aufgabe wie die vorherige
Lassen Sie uns nun ein ähnliches Problem lösen, aber die Eingabedaten ändern. Sie sollten also finden, wenn a3 = 2, a9 = 19.
Natürlich können Sie wieder auf die Lösungsmethode "auf der Stirn" zurückgreifen. Da aber die Elemente der Reihe gegeben sind, die relativ weit voneinander entfernt sind, wird ein solches Verfahren nicht sehr bequem. Aber die Verwendung der resultierenden Formel führt uns schnell zur Antwort:
d \u003d (ein 9 - ein 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83
Hier haben wir die Endzahl gerundet. Wie sehr diese Rundung zu einem Fehler geführt hat, lässt sich anhand des Ergebnisses beurteilen:
ein 9 \u003d ein 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98
Dieses Ergebnis weicht nur um 0,1 % von dem in der Bedingung angegebenen Wert ab. Daher kann das Runden auf verwendete Hundertstel eine gute Wahl sein.
Aufgaben zur Anwendung der Formel für ein Mitglied
Betrachten wir ein klassisches Beispiel für das Problem der Bestimmung der Unbekannten d: Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge, wenn a1 = 12, a5 = 40.
Wenn zwei Zahlen einer unbekannten algebraischen Folge gegeben sind und eine davon das Element a 1 ist, dann brauchst du nicht lange zu überlegen, sondern solltest gleich die Formel für das a n -Glied anwenden. In diesem Fall haben wir:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Beim Dividieren haben wir die genaue Zahl erhalten, daher macht es keinen Sinn, die Genauigkeit des berechneten Ergebnisses zu überprüfen, wie dies im vorherigen Absatz geschehen ist.
Lassen Sie uns ein anderes ähnliches Problem lösen: Wir sollten die Differenz der arithmetischen Folge finden, wenn a1 = 16, a8 = 37.
Wir verwenden einen ähnlichen Ansatz wie der vorherige und erhalten:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Was Sie sonst noch über arithmetische Progression wissen sollten
Neben Problemen, einen unbekannten Unterschied oder einzelne Elemente zu finden, ist es oft notwendig, Probleme der Summe der ersten Terme einer Folge zu lösen. Die Betrachtung dieser Probleme geht über das Thema des Artikels hinaus, aber der Vollständigkeit halber stellen wir eine allgemeine Formel für die Summe von n Zahlen der Reihe vor:
∑ n ich = 1 (a ich) = n * (a 1 + ein n) / 2
Die Summe einer arithmetischen Progression.
Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber es gibt allerlei Aufgaben zu diesem Thema. Von elementar bis ziemlich solide.
Beschäftigen wir uns zunächst mit der Bedeutung und Formel der Summe. Und dann entscheiden wir. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung der Summe ist so einfach wie Lowing. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, müssen Sie nur alle ihre Mitglieder sorgfältig addieren. Wenn diese Terme wenige sind, können Sie ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel ... Addition ist ärgerlich.) In diesem Fall spart die Formel.
Die Summenformel ist einfach:
Lassen Sie uns herausfinden, welche Art von Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges aufklären.
Sn ist die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alle Mitglieder, mit Erste an letzte. Es ist wichtig. Füge genau hinzu alle Mitglieder in einer Reihe, ohne Lücken und Sprünge. Und, genau, ab Erste. Bei Problemen wie dem Ermitteln der Summe des dritten und achten Glieds oder der Summe der Glieder fünf bis zwanzig wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschend sein.)
eine 1 - Der Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.
ein- letzte Mitglied der Progression. Die letzte Zahl der Zeile. Kein sehr geläufiger Name, aber auf die Menge bezogen sehr passend. Dann wirst du es selbst sehen.
n ist die Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Terme überein.
Lassen Sie uns das Konzept definieren letzte Mitglied ein. Füllfrage: Welche Art von Mitglied wird letzte, falls gegeben endlos arithmetische Folge?
Für eine sichere Antwort müssen Sie die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)
Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt werden soll. Andernfalls eine endliche, bestimmte Menge existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, welche Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es gegeben ist: durch eine Reihe von Zahlen oder durch die Formel des n-ten Glieds.
Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Glied der Progression bis zum Glied mit der Zahl funktioniert n. Eigentlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Zahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. n, wird allein durch die Aufgabenstellung bestimmt. In der Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber nichts, in den folgenden Beispielen werden wir diese Geheimnisse enthüllen.)
Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.
Erstmal nützliche Informationen:
Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge ist die richtige Bestimmung der Elemente der Formel.
Die Autoren der Aufgaben verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Die Hauptsache hier ist, keine Angst zu haben. Um die Essenz der Elemente zu verstehen, genügt es, sie zu entziffern. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.
1. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finde die Summe der ersten 10 Terme.
Gut gemacht. Einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge nach der Formel zu bestimmen? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Begriffs n.
Wo bekommt man die letzte Mitgliedsnummer n? Ja, an gleicher Stelle, im Zustand! Es sagt, finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, welche Nummer wird es sein letzte, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein wir werden in die Formel einsetzen eine 10, aber stattdessen n- zehn. Auch hier ist die Nummer des letzten Mitglieds gleich der Anzahl der Mitglieder.
Es bleibt zu bestimmen eine 1 und eine 10. Dies lässt sich leicht durch die Formel des n-ten Terms berechnen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie es geht? Besuchen Sie die vorherige Lektion, ohne dies - nichts.
eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
eine 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
Sn = S10.
Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt, sie zu ersetzen und zu zählen:
Das ist alles dazu. Antwort: 75.
Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:
2. Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; ein 1 \u003d 2,3. Finde die Summe der ersten 15 Terme.
Wir schreiben sofort die Summenformel:
Diese Formel ermöglicht es uns, den Wert eines beliebigen Mitglieds anhand seiner Nummer zu ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Es bleibt übrig, alle Elemente in der Formel durch die Summe einer arithmetischen Folge zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:
Antwort: 423.
Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein ersetzen Sie einfach die Formel des n-ten Terms, wir erhalten:
Geben wir ähnliche an, erhalten wir eine neue Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge:
 |
Wie Sie sehen, wird hier der n-te Term nicht benötigt. ein. Bei manchen Aufgaben hilft diese Formel sehr, ja ... Sie können sich diese Formel merken. Und Sie können es einfach zum richtigen Zeitpunkt abheben, wie hier. Schließlich muss man sich die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term unbedingt merken.)
Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):
3. Finden Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.
Wie! Kein erstes Mitglied, kein letztes, überhaupt keine Progression ... Wie soll man leben!?
Sie müssen mit Ihrem Kopf denken und aus der Bedingung alle Elemente der Summe einer arithmetischen Folge ziehen. Was sind zweistellige Zahlen - wir wissen es. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird Erste? 10, vermutlich.) letztes Ding zweistellige Zahl? 99 natürlich! Die dreistelligen werden ihm folgen ...
Vielfache von drei ... Hm ... Das sind hier Zahlen, die ohne Rest durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können je nach Problemstellung bereits eine Reihe schreiben:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Wird diese Reihe eine arithmetische Folge sein? Na sicher! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen strikt um drei. Wenn dem Term beispielsweise 2 oder 4 hinzugefügt wird, ist das Ergebnis, d.h. eine neue Zahl wird nicht mehr durch 3 geteilt. Sie können sofort die Differenz der arithmetischen Progression zum Haufen feststellen: d = 3. Nützlich!)
Wir können also sicher einige Progressionsparameter aufschreiben:
Wie wird die Nummer sein n letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 irrt, der irrt gewaltig ... Zahlen - sie gehen immer hintereinander, und unsere Mitglieder springen über die ersten drei. Sie passen nicht zusammen.
Hier gibt es zwei Lösungen. Ein Weg ist für die super Fleißigen. Sie können den Verlauf, die ganze Zahlenreihe malen und die Anzahl der Begriffe mit dem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für die Nachdenklichen. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn die Formel auf unser Problem angewendet wird, erhalten wir, dass 99 das dreißigste Glied der Progression ist. Diese. n = 30.
Wir betrachten die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge:
Wir schauen und freuen uns.) Wir haben alles Notwendige herausgezogen, um den Betrag aus dem Zustand des Problems zu berechnen:
eine 1= 12.
eine 30= 99.
Sn = S30.
Was bleibt, ist elementare Arithmetik. Ersetzen Sie die Zahlen in der Formel und berechnen Sie:
Antwort: 1665
Eine andere Art von beliebten Rätseln:
4. Eine arithmetische Progression ist gegeben:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Ermitteln Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.
Wir sehen uns die Summenformel an und ... wir sind verärgert.) Die Formel, ich möchte Sie daran erinnern, berechnet die Summe vom ersten Mitglied. Und in dem Problem müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.
Sie können natürlich die gesamte Progression hintereinander malen und die Mitglieder von 20 bis 34 setzen. Aber ... irgendwie stellt sich das als dumm und lang heraus, oder?)
Es gibt eine elegantere Lösung. Lassen Sie uns unsere Serie in zwei Teile aufteilen. Der erste Teil wird von der ersten Amtszeit bis zum neunzehnten. Der zweite Teil - zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S1-19, addieren wir es zur Summe der Mitglieder des zweiten Teils S 20-34, erhalten wir die Summe der Progression vom ersten Term bis zum vierunddreißigsten S1-34. So:
S1-19 + S 20-34 = S1-34
Dies zeigt, dass die Summe zu finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen
S 20-34 = S1-34 - S1-19
Beide Summen auf der rechten Seite werden berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. die Standard-Summenformel ist durchaus anwendbar auf sie. Fangen wir an?
Wir extrahieren die Progressionsparameter aus der Aufgabenbedingung:
d = 1,5.
eine 1= -21,5.
Um die Summen der ersten 19 und der ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir zählen sie nach der Formel des n-ten Terms, wie in Aufgabe 2:
eine 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
eine 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nichts ist übriggeblieben. Subtrahiere die Summe von 19 Termen von der Summe von 34 Termen:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Antwort: 262.5
Ein wichtiger Hinweis! Es gibt eine sehr nützliche Funktion zur Lösung dieses Problems. Statt direkter Berechnung was du brauchst (S 20-34), wir haben gezählt was anscheinend nicht benötigt wird - S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem vollständigen Ergebnis verworfen wird. Eine solche "Täuschung mit den Ohren" erspart oft böse Rätsel.)
In dieser Lektion haben wir Probleme untersucht, für die es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)
Praktische Ratschläge:
Wenn Sie ein Problem für die Summe einer arithmetischen Folge lösen, empfehle ich, die beiden Hauptformeln aus diesem Thema sofort aufzuschreiben.
Formel des n-ten Terms:
Diese Formeln sagen Ihnen sofort, wonach Sie suchen müssen, in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.
Und nun die Aufgaben zur selbstständigen Lösung.
5. Finde die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.
Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Aufgabe 4 versteckt. Nun, Aufgabe 3 wird helfen.
6. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = –5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finde die Summe der ersten 24 Terme.
Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Rätsel sind häufig im GIA zu finden.
7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. So viel wie 4550 Rubel! Und ich beschloss, der am meisten geliebten Person (mich) ein paar Tage des Glücks zu schenken). Lebe schön, ohne dir etwas zu versagen. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und geben Sie an jedem weiteren Tag 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld aufgebraucht ist. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?
Ist es schwierig?) Eine zusätzliche Formel aus Aufgabe 2 hilft weiter.
Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.
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Was ist die Essenz der Formel?
Mit dieser Formel können Sie finden irgendein NACH SEINER NUMMER" n" .
Natürlich müssen Sie den ersten Term kennen eine 1 und Verlaufsunterschied d Nun, ohne diese Parameter können Sie keinen bestimmten Verlauf aufschreiben.
Es reicht nicht, diese Formel auswendig zu lernen (oder zu betrügen). Es ist notwendig, seine Essenz zu assimilieren und die Formel bei verschiedenen Problemen anzuwenden. Ja, und zur rechten Zeit nicht vergessen, ja ...) Wie nicht vergessen- Ich weiß nicht. Aber wie man sich erinnert Bei Bedarf gebe ich dir einen Tipp. Für diejenigen, die die Lektion bis zum Ende meistern.)
Beschäftigen wir uns also mit der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.
Was ist eine Formel im Allgemeinen - stellen wir uns vor.) Was eine arithmetische Progression, eine Elementnummer, eine Progressionsdifferenz ist - wurde in der vorherigen Lektion klar gesagt. Schau mal rein, falls du es nicht gelesen hast. Da ist alles einfach. Es bleibt herauszufinden, was ntes Mitglied.
Die Progression im Allgemeinen kann als eine Reihe von Zahlen geschrieben werden:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
eine 1- bezeichnet den ersten Term einer arithmetischen Folge, eine 3- drittes Mitglied eine 4- vierte, und so weiter. Wenn wir an der fünften Amtszeit interessiert sind, nehmen wir an, wir arbeiten mit eine 5, wenn einhundertzwanzigste - von eine 120.
Wie allgemein definieren irgendein Mitglied einer arithmetischen Folge, s irgendein Nummer? Sehr einfach! So:
ein
Das ist es n-tes Glied einer arithmetischen Folge. Unter dem Buchstaben n sind alle Mitgliedernummern auf einmal versteckt: 1, 2, 3, 4 und so weiter.
Und was gibt uns ein solcher Rekord? Denken Sie nur, statt einer Zahl haben sie einen Buchstaben aufgeschrieben ...
Diese Notation gibt uns ein mächtiges Werkzeug für die Arbeit mit arithmetischen Progressionen. Verwendung der Notation ein, können wir schnell finden irgendein Mitglied irgendein arithmetische Progression. Und eine Reihe von Aufgaben, die nach und nach gelöst werden müssen. Sie werden weiter sehen.
In der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge:
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
eine 1- das erste Glied der arithmetischen Folge;
n- Mitgliedsnummer.
Die Formel verbindet die Schlüsselparameter jeder Progression: ein ; a 1 ; d und n. Um diese Parameter drehen sich alle Rätsel nacheinander.
Die n-te Termformel kann auch verwendet werden, um eine bestimmte Progression zu schreiben. Beispielsweise kann in der Aufgabe gesagt werden, dass die Progression durch die Bedingung gegeben ist:
ein n = 5 + (n-1) 2.
Ein solches Problem kann sogar verwirren ... Es gibt keine Reihe, keinen Unterschied ... Aber wenn man die Bedingung mit der Formel vergleicht, kann man das in dieser Progression leicht herausfinden a 1 \u003d 5 und d \u003d 2.
Und es kann noch wütender sein!) Wenn wir die gleiche Bedingung nehmen: ein n = 5 + (n-1) 2, ja, öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche ein? Wir erhalten eine neue Formel:
an = 3 + 2n.
Das Nur nicht allgemein, sondern für einen bestimmten Verlauf. Hier liegt die Falle. Manche Leute denken, dass das erste Glied eine Drei ist. Obwohl das erste Mitglied in Wirklichkeit eine Fünf ist ... Etwas niedriger werden wir mit einer solchen modifizierten Formel arbeiten.
Bei Aufgaben zum Fortschreiten gibt es eine andere Notation - ein n+1. Dies ist, Sie haben es erraten, der „n plus das erste“ Glied der Progression. Seine Bedeutung ist einfach und harmlos.) Dies ist ein Mitglied der Progression, deren Anzahl um eins größer ist als die Anzahl n. Zum Beispiel, wenn wir bei einem Problem für ein fünfte Amtszeit also ein n+1 wird das sechste Mitglied. Und dergleichen.
Meistens die Bezeichnung ein n+1 kommt in rekursiven Formeln vor. Haben Sie keine Angst vor diesem schrecklichen Wort!) Dies ist nur eine Art, einen Begriff einer arithmetischen Folge auszudrücken durch das vorherige. Angenommen, wir erhalten eine arithmetische Progression in dieser Form unter Verwendung der wiederkehrenden Formel:
ein n+1 = ein n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Vom vierten bis zum dritten, vom fünften bis zum vierten und so weiter. Und wie man sofort zählt, sagen wir den zwanzigsten Begriff, eine 20? Aber auf keinen Fall!) Während das 19. Semester nicht bekannt ist, kann das 20. nicht gezählt werden. Dies ist der grundlegende Unterschied zwischen der rekursiven Formel und der Formel des n-ten Terms. Rekursiv funktioniert nur durch früher Begriff und die Formel des n-ten Begriffs - durch Der Erste und erlaubt sofort Finden Sie jedes Mitglied anhand seiner Nummer. Nicht die ganze Reihe von Zahlen der Reihe nach zählen.
In einer arithmetischen Folge kann eine rekursive Formel leicht in eine reguläre umgewandelt werden. Zählen Sie ein Paar aufeinanderfolgender Begriffe, berechnen Sie die Differenz d, Finden Sie ggf. den ersten Term eine 1, schreibe die Formel in der üblichen Form und arbeite damit. Im GIA sind solche Aufgaben oft zu finden.
Anwendung der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.
Schauen wir uns zunächst die direkte Anwendung der Formel an. Am Ende der vorherigen Lektion gab es ein Problem:
Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n). Finden Sie a 121, wenn a 1 = 3 und d = 1/6.
Dieses Problem lässt sich ganz ohne Formeln lösen, einfach anhand der Bedeutung der arithmetischen Folge. Füge hinzu, ja füge hinzu ... Ein oder zwei Stunden.)
Und laut Formel dauert die Lösung weniger als eine Minute. Sie können es timen.) Wir entscheiden.
Die Bedingungen liefern alle Daten für die Anwendung der Formel: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Es bleibt abzuwarten, was n. Kein Problem! Wir müssen finden eine 121. Hier schreiben wir:
Bitte pass auf! Anstelle eines Index n eine bestimmte Zahl erschien: 121. Was ziemlich logisch ist.) Uns interessiert das Glied der arithmetischen Folge Nummer einhunderteinundzwanzig. Das wird unser sein n. Es ist diese Bedeutung n= 121 setzen wir weiter in die Formel ein, in Klammern. Ersetzen Sie alle Zahlen in der Formel und berechnen Sie:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Das ist alles dazu. Genauso schnell konnte man das fünfhundertzehnte Mitglied und das tausenddrittste Mitglied finden. Wir setzen stattdessen n die gewünschte Nummer im Index des Buchstabens " a" und in Klammern, und wir betrachten.
Lassen Sie mich Sie an die Essenz erinnern: Diese Formel ermöglicht es Ihnen, zu finden irgendein Term einer arithmetischen Progression NACH SEINER NUMMER" n" .
Lassen Sie uns das Problem intelligenter lösen. Nehmen wir an, wir haben folgendes Problem:
Finden Sie den ersten Term der arithmetischen Folge (a n), wenn a 17 =-2; d=-0,5.
Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, werde ich den ersten Schritt vorschlagen. Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf! Ja Ja. Schreiben Sie handschriftlich direkt in Ihr Notizbuch:
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Und jetzt, wenn wir uns die Buchstaben der Formel ansehen, verstehen wir, welche Daten wir haben und was fehlt? Verfügbar d=-0,5, es gibt ein siebzehntes Mitglied ... Alles? Wenn Sie denken, das ist alles, dann können Sie das Problem nicht lösen, ja ...
Wir haben auch eine Nummer n! Im Zustand a 17 = –2 versteckt zwei Optionen. Dies ist sowohl der Wert des siebzehnten Elements (-2) als auch seine Nummer (17). Diese. n = 17. Diese „Kleinigkeit“ rutscht oft am Kopf vorbei, und ohne sie (ohne die „Kleinigkeit“, nicht den Kopf!) ist das Problem nicht zu lösen. Obwohl ... und auch ohne Kopf.)
Jetzt können wir unsere Daten einfach dumm in die Formel einsetzen:
ein 17 \u003d ein 1 + (17-1) (-0,5)
Oh ja, eine 17 wir wissen, dass es -2 ist. Okay, setzen wir es ein:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Das ist im Wesentlichen alles. Es bleibt, den ersten Term der arithmetischen Folge aus der Formel auszudrücken und zu berechnen. Sie erhalten die Antwort: eine 1 = 6.
Eine solche Technik – eine Formel schreiben und bekannte Daten einfach ersetzen – hilft bei einfachen Aufgaben sehr. Nun, Sie müssen natürlich in der Lage sein, eine Variable aus einer Formel auszudrücken, aber was tun!? Ohne diese Fähigkeit kann Mathematik überhaupt nicht studiert werden ...
Ein weiteres beliebtes Problem:
Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge (a n), wenn a 1 =2; a 15 = 12.
Was machen wir? Sie werden überrascht sein, wir schreiben die Formel!)
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Bedenken Sie, was wir wissen: a 1 = 2; a 15 = 12; und (besonderes Highlight!) n = 15. Fühlen Sie sich frei, in der Formel zu ersetzen:
12=2 + (15-1)d
Rechnen wir mal.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Dies ist die richtige Antwort.
Also Aufgaben ein n, eine 1 und d beschlossen. Es bleibt zu lernen, wie man die Nummer findet:
Die Zahl 99 ist Mitglied einer arithmetischen Folge (a n), wobei a 1 = 12; d=3. Finden Sie die Nummer dieses Mitglieds.
Wir setzen die bekannten Größen in die Formel des n-ten Terms ein:
ein n = 12 + (n-1) 3
Hier gibt es auf den ersten Blick zwei Unbekannte: ein n und n. Aber ein ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer n... Und dieses Mitglied der Progression kennen wir! Es ist 99. Wir kennen seine Nummer nicht. n, also muss diese Nummer auch gefunden werden. Setzen Sie den Progressionsterm 99 in die Formel ein:
99 = 12 + (n-1) 3
Wir drücken aus der Formel aus n, wir glauben. Wir bekommen die Antwort: n = 30.
Und jetzt ein Problem zum gleichen Thema, aber kreativer):
Bestimmen Sie, ob die Zahl 117 ein Mitglied einer arithmetischen Folge ist (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Schreiben wir die Formel noch einmal. Was, es gibt keine Parameter? Hm ... Warum brauchen wir Augen?) Sehen wir das erste Mitglied der Progression? Wir sehen. Dies ist -3,6. Sie können sicher schreiben: ein 1 \u003d -3,6. Unterschied d kann aus der Serie bestimmt werden? Es ist einfach, wenn Sie wissen, was der Unterschied einer arithmetischen Progression ist:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Ja, wir haben das Einfachste gemacht. Es bleibt, sich mit einer unbekannten Nummer zu befassen n und eine unverständliche Zahl 117. Bei der vorherigen Aufgabe war zumindest bekannt, dass es sich um den Begriff der Progression handelte, der angegeben wurde. Aber hier wissen wir das nicht einmal ... How to be!? Nun, wie man ist, wie man ist ... Schalten Sie Ihre kreativen Fähigkeiten ein!)
Wir vermuten dass 117 schließlich ein Mitglied unserer Progression ist. Mit unbekannter Nummer n. Und, genau wie im vorigen Problem, versuchen wir, diese Nummer zu finden. Diese. wir schreiben die Formel (ja-ja!)) und ersetzen unsere Zahlen:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Wieder drücken wir aus der Formel ausn, wir zählen und erhalten:
Hoppla! Die Nummer stellte sich heraus Bruchteil! Einhunderteineinhalb. Und Bruchzahlen in Progressionen kann nicht sein. Welches Fazit ziehen wir? Ja! Nummer 117 ist nicht Mitglied unserer Progression. Es liegt irgendwo zwischen dem 101. und 102. Mitglied. Wenn sich herausstellte, dass die Zahl natürlich ist, d.h. positive ganze Zahl, dann wäre die Zahl ein Mitglied der Progression mit der gefundenen Zahl. Und in unserem Fall lautet die Antwort auf das Problem: Nein.
Aufgabe basierend auf einer realen Version des GIA:
Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:
ein n \u003d -4 + 6,8n
Finde den ersten und zehnten Term der Progression.
Hier wird die Progression auf ungewöhnliche Weise gesetzt. Eine Art Formel ... Es passiert.) Diese Formel (wie ich oben geschrieben habe) - auch die Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge! Sie lässt es auch zu Finden Sie jedes Mitglied der Progression anhand seiner Nummer.
Wir suchen das erste Mitglied. Der, der denkt. dass der erste Term minus vier ist, ist ein fataler Irrtum!) Weil die Formel in der Aufgabe modifiziert wird. Das erste Glied einer arithmetischen Progression darin versteckt. Nichts, wir werden es jetzt finden.)
Genau wie in den vorherigen Aufgaben ersetzen wir n=1 in diese Formel:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Hier! Der erste Term ist 2,8, nicht -4!
Ebenso suchen wir nach dem zehnten Term:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Das ist alles dazu.
Und jetzt, für diejenigen, die bis zu diesen Zeilen gelesen haben, der versprochene Bonus.)
Angenommen, Sie haben in einer schwierigen Kampfsituation des GIA oder des Einheitlichen Staatsexamens die nützliche Formel des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge vergessen. Etwas fällt mir ein, aber irgendwie unsicher... Ob n dort, bzw n+1, bzw n-1... Wie sein!?
Ruhig! Diese Formel lässt sich leicht ableiten. Nicht sehr streng, aber definitiv genug für Vertrauen und die richtige Entscheidung!) Für den Schluss reicht es, sich an die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge zu erinnern und ein paar Minuten Zeit zu haben. Sie müssen nur ein Bild zeichnen. Zur Klarheit.
Wir zeichnen eine numerische Achse und markieren die erste darauf. zweite, dritte usw. Mitglieder. Und beachten Sie den Unterschied d zwischen Mitgliedern. So:
Wir sehen uns das Bild an und denken: Was ist der zweite Term gleich? Zweite eines d:
a 2 = a 1 + 1 d
Was ist der dritte Begriff? Dritte Term ist gleich erster Term plus zwei d.
a 3 = a 1 + 2 d
Verstehst du es? Ich habe nicht umsonst einige Worte fett gedruckt. Okay, noch ein Schritt.)
Was ist der vierte Begriff? Vierte Term ist gleich erster Term plus drei d.
a 4 = a 1 + 3 d
Es ist Zeit zu erkennen, dass die Anzahl der Lücken, d.h. d, stets eins weniger als die Nummer des gesuchten Mitglieds n. Das heißt, bis auf die Zahl n, Anzahl der Lücken wird sein n-1. Die Formel lautet also (keine Optionen!):
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Im Allgemeinen sind visuelle Bilder sehr hilfreich bei der Lösung vieler Probleme in der Mathematik. Vernachlässigen Sie die Bilder nicht. Aber wenn es schwierig ist, ein Bild zu zeichnen, dann ... nur eine Formel!) Darüber hinaus können Sie mit der Formel des n-ten Begriffs das gesamte mächtige Arsenal der Mathematik mit der Lösung verbinden - Gleichungen, Ungleichungen, Systeme usw. Man kann kein Bild in eine Gleichung einfügen...
Aufgaben zur selbstständigen Entscheidung.
Zum Aufwärmen:
1. In arithmetischer Folge (a n) a 2 =3; ein 5 \u003d 5.1. Finde eine 3.
Hinweis: Laut Bild ist das Problem in 20 Sekunden gelöst ... Laut Formel gestaltet es sich schwieriger. Aber zum Beherrschen der Formel ist es nützlicher.) In Abschnitt 555 wird dieses Problem sowohl durch das Bild als auch durch die Formel gelöst. Fühle den Unterschied!)
Und das ist kein Aufwärmen mehr.)
2. In arithmetischer Progression (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Finde a 3 .
Was, Zurückhaltung, ein Bild zu zeichnen?) Immer noch! Es ist besser in der Formel, ja ...
3. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:ein 1 \u003d -5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finden Sie das einhundertfünfundzwanzigste Glied dieser Progression.
Bei dieser Aufgabe wird die Progression wiederkehrend vorgegeben. Aber bis zum einhundertfünfundzwanzigsten Term hochzählen... Nicht jeder kann so etwas vollbringen.) Aber die Formel des n-ten Terms liegt in der Macht eines jeden!
4. Gegeben eine arithmetische Progression (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Finden Sie die Nummer des kleinsten positiven Glieds der Progression.
5. Finden Sie gemäß der Bedingung von Aufgabe 4 die Summe der kleinsten positiven und größten negativen Glieder der Progression.
6. Das Produkt des fünften und des zwölften Glieds einer ansteigenden arithmetischen Folge ist -2,5, und die Summe des dritten und des elften Glieds ist Null. Finden Sie eine 14 .
Nicht die einfachste Aufgabe, ja ...) Hier funktioniert die Methode "an den Fingern" nicht. Sie müssen Formeln schreiben und Gleichungen lösen.
Antworten (durcheinander):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Passiert? Es ist schön!)
Nicht alles klappt? Es passiert. Übrigens gibt es in der letzten Aufgabe einen subtilen Punkt. Aufmerksamkeit beim Lesen des Problems ist erforderlich. Und Logik.
Die Lösung all dieser Probleme wird in Abschnitt 555 ausführlich besprochen. Und das Fantasieelement für das vierte und das subtile Moment für das sechste sowie allgemeine Ansätze zur Lösung von Problemen für die Formel des n-ten Begriffs - alles ist gemalt. Ich empfehle.
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