Was ist Perimeter und wie findet man es? So berechnen Sie den Umfang eines Polygons bei gegebenen Koordinaten

Es ist interessant, dass vor vielen Jahren ein Zweig der Mathematik wie "Geometrie" als "Vermessung" bezeichnet wurde. Und wie man den Umfang und die Fläche findet, ist seit langem bekannt. Zum Beispiel sagen sie, dass die allerersten Rechner dieser beiden Größen die Einwohner Ägyptens sind. Dank dieses Wissens waren sie in der Lage, Strukturen zu bauen, die heute bekannt sind.

Die Fähigkeit, Fläche und Umfang zu finden, kann im Alltag nützlich sein. Im Alltag werden diese Werte verwendet, wenn es darum geht, etwas zu streichen, einen Garten zu bepflanzen oder zu bearbeiten, Tapeten in einen Raum zu kleben usw.

Umfang

Meistens müssen Sie den Umfang von Polygonen oder Dreiecken herausfinden. Um diesen Wert zu bestimmen, reicht es aus, nur die Längen aller Seiten zu kennen, und der Umfang ist ihre Summe. Es ist auch möglich, den Umfang zu finden, wenn die Fläche bekannt ist.

Dreieck

Wenn Sie den Umfang eines Dreiecks kennen müssen, um ihn zu berechnen, sollten Sie die folgende Formel anwenden P \u003d a + b + c, wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind. In diesem Fall werden alle Seiten eines gewöhnlichen Dreiecks in der Ebene summiert.

Ein Kreis

Der Umfang eines Kreises wird üblicherweise Kreisumfang genannt.

So finden Sie Fläche und Umfang

Um diesen Wert herauszufinden, müssen Sie die Formel verwenden: L = &pi-*D = 2*&pi-*r, wobei L der Umfang, r der Radius, D der Durchmesser und die Zahl &pi-, as ist wissen Sie, ist ungefähr gleich 3,14 .

Quadrat, Raute

Die Formeln für die Umfänge eines Quadrats und einer Raute sind gleich, weil für die eine Figur und für die andere alle Seiten gleich sind. Da ein Quadrat und eine Raute gleiche Seiten haben, können sie (die Seiten) mit einem Buchstaben "a" bezeichnet werden. Es stellt sich heraus, dass der Umfang eines Quadrats und einer Raute gleich ist:

• P \u003d a + a + a + a oder P \u003d 4a

Rechteck, Parallelogramm

Ein Rechteck und ein Parallelogramm haben die gleichen gegenüberliegenden Seiten, sodass sie mit zwei verschiedenen Buchstaben "a" und "b" bezeichnet werden können. Die Formel sieht so aus:

• P \u003d a + b + a + b \u003d 2a + 2b. Die Zwei kann aus Klammern herausgenommen werden, und die folgende Formel ergibt sich: P \u003d 2 (a + b)

Trapez

Ein Trapez hat verschiedene Seiten, daher werden sie mit verschiedenen Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet. Insofern sieht die Formel für den Umfang eines Trapezes so aus:

• P = a + b + c + d Hier werden alle Seiten addiert.

Weitere Informationen zum Berechnen des Umfangs finden Sie im Artikel So ermitteln Sie den Umfang.

Quadrat

Fläche - der Teil der Figur, der von ihrer Kontur umschlossen ist.

Rechteck

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu berechnen, müssen Sie den Wert einer Seite (Länge) mit dem Wert der anderen (Breite) multiplizieren. Wenn die Längen- und Breitenwerte mit den Buchstaben "a" und "b" bezeichnet werden, wird die Fläche nach folgender Formel berechnet:

Quadrat

Wie Sie bereits wissen, sind die Seiten eines Quadrats gleich, also können Sie zur Berechnung der Fläche einfach eine Seite in ein Quadrat nehmen:

Rhombus

Die Formel zum Ermitteln der Fläche einer Raute hat eine etwas andere Form: S = a * ha, wobei ha die Länge der Höhe der Raute ist, die zur Seite gezogen wird.

Darüber hinaus kann die Fläche einer Raute durch die Formeln gefunden werden:

• S \u003d a2 * sin α-, während a die Seite der Figur ist und der Winkel α- der Winkel zwischen den Seiten ist;
• S = 4r2/sin &alpha-, wobei r der Radius des Kreises ist, der in die Raute eingeschrieben ist, und der Winkel &alpha- der Winkel zwischen den Seiten ist.

Ein Kreis

Auch die Fläche eines Kreises ist gut zu erkennen. Dazu können Sie die Formel verwenden:

• S = &pi-R2, wobei R der Radius ist.

Trapez

Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, können Sie diese Formel verwenden:

• S = 1/2*a*b*h, wobei a, b die Basen des Trapezes sind, h die Höhe ist.

Dreieck

Um die Fläche eines Dreiecks zu finden, verwenden Sie eine von mehreren Formeln:

• S \u003d 1/2 * a * b sin &alpha- (wobei a, b die Seiten des Dreiecks sind und &alpha- der Winkel zwischen ihnen ist);
• S \u003d 1/2 a * h (wobei a die Basis des Dreiecks ist, h die darauf abgesenkte Höhe ist);
• S = abc/4R (wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind und R der Radius des umschriebenen Kreises ist);
• S \u003d p * r (wobei p der Halbumfang ist, r der Radius des eingeschriebenen Kreises ist);
• S= &radic- (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (wobei p der halbe Umfang ist, a, b, c die Seiten des Dreiecks sind).

Parallelogramm

Um die Fläche dieser Figur zu berechnen, müssen Sie die Werte in einer der Formeln ersetzen:

• S \u003d a * b * sin &alpha- (wobei a, b die Basen des Parallelogramms sind, &alpha- der Winkel zwischen den Seiten ist);
• S \u003d a * ha (wobei a die Seite des Parallelogramms ist, ha die Höhe des Parallelogramms ist, das auf die Seite a abgesenkt wird);
• S = 1/2 *d*D* sin &alpha- (wobei d und D die Diagonalen des Parallelogramms sind, &alpha- der Winkel zwischen ihnen ist).

Achtung, nur HEUTE!

Bei Reparaturen kann es vorkommen, dass der genaue Umfang des Raums bekannt sein muss, z. B. beim Kauf einer Sockelleiste oder bei der Berechnung der Tapeten- und Bodenbelagsmenge. Dies ist einfach, wenn der Raum eine Standardform hat. Was aber, wenn wir eine Berechnung für einen Korridor mit vielen Ecken oder für ein ungewöhnlich geformtes Schlafzimmer durchführen müssen? Dabei helfen einige Tricks, auf die Sie bei der Reparaturplanung zurückgreifen können.

Berechnung für Standardzimmer: quadratisch und rechteckig

Meistens gibt es Räume, deren Wände ein Rechteck oder Quadrat bilden. In diesem Fall benötigen wir:

Erinnern wir uns zunächst daran, was ein Perimeter ist. Dies ist ein geometrischer Wert, der die Summe der Längen aller Seiten der Figur ist. Die Berechnung ist noch einfacher als die Grundfläche.

Der einfachste Fall ist ein Raum, der quadratisch ist, das heißt, alle seine Seiten sind gleich. Dann messen wir eine Seite des Quadrats, indem wir ein Maßband an der Verbindung von Wand und Boden anbringen.

Wenn Sie kein Maßband haben, messen Sie mit einem Stück Schnur den Abstand von Ecke zu Ecke des Raums und messen Sie ihn mit einem Lineal.

Es ist ein wenig interessanter, wenn der Raum ein Rechteck ist. Das bedeutet, dass die Längen gegenüberliegender Wände einander gleich sind. In diesem Fall messen wir den Abstand von Ecke zu Ecke zweier benachbarter Wände mit einem Maßband, addieren die resultierenden Zahlen und multiplizieren sie mit 2. Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel: Bei einem rechteckigen Wohnzimmer die Länge von eins von seinen Wänden ist 5 Meter, der andere ist 5,5 m. Dann wird der Umfang sein:

(5 + 5,5) x 2 = 21 (m)

Vergessen Sie nicht, dass selbst bei einer genauen Berechnung der Baumaterialmenge diese im Schadensfall mit einer kleinen Marge gekauft werden müssen.

Nicht standardmäßige Optionen: Polygon und Kreis

Es ist einfach, den Umfang zu berechnen, wenn die gegenüberliegenden Seiten der Figur einander gleich sind. Verkomplizieren wir die Situation: Die bestehende Küche hat mehr als vier Ecken. In diesem Fall müssen Sie jedes Segment von einer Ecke zur anderen messen und dann alle Messergebnisse addieren. Diese Methode unterscheidet sich von der vorherigen darin, dass zur Berechnung des Umfangs mehr Anfangsdaten benötigt werden.

Nehmen Sie eine Küche, die die Form eines Sechsecks mit einer Nische hat. Dann ist die Anzahl der Wände, die wir messen müssen, gleich 8, wenn wir die erhaltenen Werte addieren.

Machen wir die Situation noch komplizierter: Die Halle ist ein Kreis. Das Messen von Ecke zu Ecke hilft hier nicht, da es sie einfach nicht gibt. Wenn man sich sicher ist, dass es sich wirklich um einen Kreis und nicht um eine Ellipse handelt, helfen Geometriekenntnisse. Der Umfang ist die Länge eines Kreises. Und der Umfang wiederum ist das Produkt des Kreisdurchmessers mit der Zahl π.

Es klingt beängstigend, aber es ist eigentlich ganz einfach.

1. Finde die Mitte des Raums und beschrifte sie.
2. Wir befestigen den Faden an einer Wand und ziehen ihn durch die Raummitte zur gegenüberliegenden.
3. Wir messen die Länge des resultierenden Segments. Dies ist der Durchmesser des Kreises.

Jetzt müssen wir zählen. Wir nehmen den resultierenden Durchmesser und multiplizieren ihn mit der Zahl π. Jeder weiß, dass diese Zahl unendlich groß ist. Aber wir brauchen keine Hundertstel-Millimeter-Genauigkeit, also nehmen wir 3,14. Der Umfang des Kreises ist also die Länge des Segments von Wand zu Wand durch die Raummitte, multipliziert mit 3,14.

Wenn wir also einen runden Raum mit einem Durchmesser von 5 Metern haben, erhalten wir den benötigten Wert wie folgt:

• Nehmen Sie ein Laser-Maßband von einem Freund. Mit diesem Gerät können Sie alle Messungen selbst durchführen, im Gegensatz zu einem Maßband, bei dem ein Freund sein Ende halten muss.

  Wie man den Umfang eines Raums ermittelt, wenn man seine Fläche kennt

  Außerdem liefert das Gerät ein genaueres Ergebnis, da der Laserstrahl nicht abgelenkt wird. Dies hilft, den Umfang des Raums genauer zu berechnen.

• Verwenden Sie einen langen Faden. Es ist viel bequemer, Teile des Fadens an den Ecken anzubringen, ohne die Messung zu unterbrechen. Der Faden sollte sich abwickeln, bis er auf sein eigenes Ende trifft - den Beginn der Messung. Seine endgültige Länge ist der gewünschte Wert. Diese Methode hilft, wenn es einen Raum gibt, der die Form einer Ellipse hat, da es problematisch ist, die Länge dieser Figur auf andere Weise zu berechnen.

So können Sie in kurzer Zeit alle notwendigen Messungen durchführen und erhalten das fertige Ergebnis. Es sei jedoch daran erinnert, dass daher ein Fehler berücksichtigt werden muss, um nicht weniger Baumaterialien als nötig zu kaufen. Wenn beispielsweise die Wand uneben ist, wird selbst bei genauer Berechnung am Ende mehr Sockel benötigt, um die Unebenheiten auszugleichen.

Der Umfang ist die Länge einer geschlossenen Kontur einer geometrischen Figur, und die Fläche ist die Menge an Raum, die von dieser geschlossenen Kontur begrenzt wird. Mathematische Größen wie Fläche und Umfang werden im Alltag, beim Bauen und in anderen Bereichen verwendet. Um beispielsweise Wände zu streichen, müssen Sie wissen, wie viel Farbe Sie benötigen, dh Sie müssen den zu streichenden Bereich der Oberfläche bestimmen. Ähnliche Berechnungen werden beim Bau eines Zauns oder bei ähnlichen Aktivitäten durchgeführt. Indem Sie die Fläche und den Umfang im Voraus berechnen, sparen Sie Zeit und Geld beim Kauf von Baumaterialien.

Schritte

Teil 1 Berechnung des Umfangs

1. 1 Bestimmen Sie die Form des zu messenden Objekts. Der Umfang ist die Länge einer geschlossenen Kontur einer geometrischen Figur, und es gibt verschiedene Formeln zur Berechnung des Umfangs von Figuren verschiedener Formen. Denken Sie daran, dass der Umfang einer solchen Figur nicht berechnet werden kann, wenn die Figur keine geschlossene Kontur hat.
2. Beginnen Sie damit, den Umfang eines Rechtecks ​​oder Quadrats zu ermitteln (insbesondere, wenn Sie dies zum ersten Mal tun).

   So finden Sie den Umfang und die Fläche eines Rechtecks

   Solche Figuren haben die richtige Form, was es einfacher macht, ihren Umfang zu finden.

3. 2 Nehmen Sie ein Blatt Papier und zeichnen Sie ein Rechteck darauf. Sie werden diese Form verwenden, um ihren Umfang zu finden. Achte darauf, dass die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks ​​gleich lang sind.
4. 3 Messen Sie die Breite des Rechtecks ​​(dh messen Sie die "kurze" Seite des Rechtecks). Dies kann mit einem Lineal oder Maßband erfolgen. Notieren Sie den Breitenwert (in der Nähe der "kurzen" Seite). Beispielsweise beträgt die Breite eines Rechtecks ​​3 cm.
5. Wenn du den Umfang einer kleinen Figur misst, verwende Zentimeter als Maßeinheit und Meter als Maßeinheit für große Objekte.
6. Denken Sie daran, dass gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks ​​gleich sind, sodass Sie nur die Länge zweier benachbarter Seiten messen müssen.
7. 4 Messen Sie die Länge des Rechtecks ​​(dh messen Sie die "lange" Seite des Rechtecks). Dies kann mit einem Lineal oder Maßband erfolgen. Notieren Sie den Längenwert (in der Nähe der "langen" Seite).
8. Beispielsweise beträgt die Länge eines Rechtecks ​​5 cm.
9. 5 Notieren Sie die entsprechenden Werte in der Nähe der gegenüberliegenden Seiten. Denken Sie daran, dass ein Rechteck 4 Seiten hat und gegenüberliegende Seiten des Rechtecks ​​​​gleich sind. Notieren Sie die Länge und Breite des Rechtecks ​​(im Beispiel 5 cm und 3 cm) an gegenüberliegenden Seiten.
10. 6 Um den Umfang zu berechnen, addieren Sie die Werte aller Seiten. Das heißt, im Fall eines Rechtecks ​​schreiben Sie: Länge + Länge + Breite + Breite.
11. Im angegebenen Beispiel beträgt der Umfang: 3 + 3 + 5 + 5 = 16 cm.
12. Sie können auch die folgende Formel verwenden: Rechteckumfang = 2* (Länge + Breite) (diese Formel ist richtig, weil das Rechteck zwei Paare identischer Seiten hat). Im angegebenen Beispiel: (5+3)*2 = 8*2 = 16 cm.
13. 7 Um den Umfang einer Figur mit einer anderen Form zu berechnen, benötigen Sie die entsprechende Formel. Um im wirklichen Leben den Umfang eines Objekts beliebiger Form zu ermitteln, messen Sie einfach seine Seiten. Sie können auch die folgenden Formeln verwenden, um den Umfang von geometrischen Standardformen zu berechnen:
14. Quadrat: Umfang = 4 * Seite.
15. Dreieck: Umfang = Seite 1 + Seite 2 + Seite 3.
16. Unregelmäßiges Polygon: Der Umfang ist die Summe aller Seiten des Polygons.
17. Kreis: Umfang = 2 x π x Radius = π x Durchmesser.
18. π ist pi (eine Konstante um 3,14). Wenn Ihr Taschenrechner über eine „π“-Taste verfügt, verwenden Sie diese, um genauere Berechnungen durchzuführen.
19. Der Radius ist die Länge des Segments, das den Mittelpunkt des Kreises mit einem beliebigen auf diesem Kreis liegenden Punkt verbindet. Der Durchmesser ist die Länge eines Segments, das durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft und zwei beliebige Punkte verbindet, die auf diesem Kreis liegen.

Teil 2 Flächenberechnung

1. 1 Finden Sie die Werte der Seiten der Ihnen gegebenen Figur oder des Objekts. Zeichnen Sie beispielsweise ein Rechteck (oder verwenden Sie das Rechteck, das Sie im vorherigen Kapitel gezeichnet haben). Um im obigen Beispiel die Fläche eines Rechtecks ​​zu berechnen, müssen Sie dessen Länge und Breite ermitteln.
2. Verwenden Sie ein Lineal oder Maßband, um die Länge und Breite des Rechtecks ​​zu messen. In diesem Beispiel verwenden wir die Werte der Seiten des Rechtecks ​​​​aus dem vorherigen Kapitel, nämlich Breite = 3 cm, Länge = 5 cm.
3. 2 Die Essenz der Fläche einer geometrischen Figur. Die Berechnung der durch eine geschlossene Kontur begrenzten Fläche ist wie die Aufteilung des Innenraums einer Figur in Quadrate mit den Maßen 1 Einheit x 1 Einheit. Denken Sie daran, dass die Fläche einer Form größer oder kleiner als der Umfang dieser Form sein kann.
4. Sie können die Ihnen gegebene Figur in Einheitsquadrate (1 cm x 1 cm oder 1 m x 1 m) aufteilen, um den Prozess der Berechnung der Fläche der Figur zu visualisieren.
5. 3 Multiplizieren Sie die Länge und Breite des Rechtecks. Im gegebenen Beispiel: Fläche = 3 * 5 = 15 Quadratzentimeter. Denken Sie daran, dass die Fläche in Quadrateinheiten gemessen wird (Quadratkilometer, Quadratmeter, Quadratzentimeter usw.).
6. Sie können Flächeneinheiten in folgender Form schreiben:
7. Kilometer²/km²
8. m²/m²
9. Zentimeter²/cm²
10. 4 Wende verschiedene Formeln auf verschiedene Formen an. Um die Fläche einer Figur einer anderen Form zu berechnen, benötigen Sie die entsprechende Formel. Sie können die folgenden Formeln verwenden, um die Fläche von geometrischen Standardformen zu berechnen:
11. Parallelogramm: Fläche = Grundfläche x Höhe
12. Quadrat: Fläche = Seite 1 x Seite 2
13. Dreieck: Fläche = ½ x Grundfläche x Höhe
14. In manchen Lehrbüchern sieht diese Formel so aus: S = ½ah.
15. Kreis: Fläche = π x Radius²
16. Der Radius ist die Länge des Segments, das den Mittelpunkt des Kreises mit einem beliebigen auf diesem Kreis liegenden Punkt verbindet. Das Quadrat des Radius ist der Wert des Radius multipliziert mit sich selbst.

• Die Formeln in diesem Artikel zur Berechnung von Fläche und Umfang gelten für 2D-Formen. Wenn Sie das Volumen einer dreidimensionalen Figur wie eines Kegels, Würfels, Zylinders, Prismas oder einer Pyramide ermitteln müssen, schlagen Sie die entsprechende Formel in einem Lehrbuch oder online nach.

Was werden Sie brauchen

• Papier
• Bleistift
• Taschenrechner (optional)
• Roulette (optional)
• Lineal (optional)

Das Rechteck hat viele charakteristische Merkmale, auf deren Grundlage die Regeln zur Berechnung seiner verschiedenen numerischen Eigenschaften entwickelt wurden. Also das Rechteck:

Flache geometrische Figur;
Viereck;
Eine Figur, bei der gegenüberliegende Seiten gleich und parallel sind, alle Winkel richtig sind.

Der Umfang ist die Gesamtlänge aller Seiten einer Figur.

Die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks ​​ist eine ziemlich einfache Aufgabe.

Alles, was Sie wissen müssen, ist die Breite und Länge des Rechtecks. Da das Rechteck zwei gleiche Längen und zwei gleiche Breiten hat, wird nur eine Seite gemessen.

Der Umfang eines Rechtecks ​​ist gleich der doppelten Summe seiner 2 Seitenlänge und -breite.

P = (a + b) 2, wobei a die Länge des Rechtecks ​​und b die Breite des Rechtecks ​​ist.

Der Umfang eines Rechtecks ​​lässt sich auch aus der Summe aller Seiten ermitteln.

P= a+a+b+b, wobei a die Länge des Rechtecks ​​und b die Breite des Rechtecks ​​ist.

Der Umfang eines Quadrats ist die Seitenlänge des Quadrats multipliziert mit 4.

P = a 4, wobei a die Seitenlänge des Quadrats ist.

Nachtrag: Finding Find Area und Perimeter of Rectangles

Der Lehrplan für die 3. Klasse sieht das Studium von Polygonen und ihren Merkmalen vor. Um zu verstehen, wie man den Umfang eines Rechtecks ​​und die Fläche findet, wollen wir herausfinden, was mit diesen Konzepten gemeint ist.

Grundlegendes Konzept

Das Ermitteln des Umfangs und der Fläche erfordert die Kenntnis einiger Begriffe. Diese beinhalten:

1. Rechter Winkel. Es wird aus 2 Strahlen gebildet, die einen gemeinsamen Ursprung in Form eines Punktes haben. Beim Kennenlernen der Figuren (Klasse 3) wird der rechte Winkel mit einem Winkel ermittelt.
2. Rechteck. Es ist ein Viereck mit allen rechten Winkeln. Seine Seiten heißen Länge und Breite. Wie Sie wissen, sind die gegenüberliegenden Seiten dieser Figur gleich.
3. Quadrat. Es ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Bei Einführung in Polygone können ihre Eckpunkte ABCD genannt werden. In der Mathematik ist es üblich, Punkte in Zeichnungen mit Buchstaben des lateinischen Alphabets zu benennen. Der Name des Polygons listet alle Eckpunkte lückenlos auf, zB Dreieck ABC.

Umfangsberechnung

Der Umfang eines Polygons ist die Summe der Längen aller seiner Seiten. Dieser Wert wird mit dem lateinischen Buchstaben P gekennzeichnet. Der Kenntnisstand für die vorgeschlagenen Beispiele ist Stufe 3.

Aufgabe Nr. 1: „Zeichne ein 3 cm breites und 4 cm langes Rechteck mit Eckpunkten ABCD. Finden Sie den Umfang des Rechtecks ​​ABCD.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: P=AB+BC+CD+AD oder P=AB×2+BC×2.

Antwort: P=3+4+3+4=14 (cm) oder P=3×2 + 4×2=14 (cm).

Aufgabe Nummer 2: "Wie finde ich den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks ABC, wenn die Seiten 5, 4 und 3 cm groß sind?".

Antwort: P=5+4+3=12 (cm).

Aufgabe Nummer 3: "Finde den Umfang eines Rechtecks, dessen eine Seite 7 cm und die andere 2 cm länger ist."

Antwort: P=7+9+7+9=32 (cm).

Aufgabe Nummer 4: „Schwimmwettbewerbe wurden in einem Becken mit einem Umfang von 120 m abgehalten. Wie viele Meter hat der Wettkämpfer geschwommen, wenn das Becken 10 m breit war?“

Bei dieser Aufgabe stellt sich die Frage, wie man die Länge des Beckens ermittelt. Finden Sie die Längen der Seiten des zu lösenden Rechtecks. Die Breite ist bekannt. Die Summe der Längen der beiden unbekannten Seiten sollte 100 m betragen, 120-10×2=100. Um die vom Schwimmer zurückgelegte Strecke zu ermitteln, müssen Sie das Ergebnis durch 2 teilen. 100:2=50.

Antwort: 50 (m).

Flächenberechnung

Eine komplexere Größe ist die Fläche der Figur. Maßnahmen werden verwendet, um es zu messen. Der Standard unter den Maßen sind Quadrate.

Die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1 cm ist 1 cm². Der Quadratdezimeter wird als dm² und der Quadratmeter als m² bezeichnet.

Anwendungsbereiche von Maßeinheiten können sein:

1. Kleine Gegenstände werden in cm² gemessen, z. B. Fotos, Schulbuchumschläge, Papierblätter.
2. In dm² können Sie eine geografische Karte, Fensterglas, ein Bild messen.
3. Messen Sie den Boden, die Wohnung, den Grundstücksverbrauch m².

Wenn Sie ein 3 cm langes und 1 cm breites Rechteck zeichnen und es in Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm teilen, passen 3 Quadrate hinein, was bedeutet, dass seine Fläche 3 cm² beträgt. Wenn das Rechteck in Quadrate geteilt wird, können wir auch ohne Schwierigkeiten den Umfang des Rechtecks ​​finden. In diesem Fall sind es 8 cm.

Eine andere Möglichkeit, die Anzahl der Quadrate zu zählen, die in eine Form passen, ist die Verwendung einer Palette. Zeichnen wir auf ein Pauspapier ein Quadrat mit einer Fläche von 1 dm², also 100 cm². Lassen Sie uns ein Pauspapier auf die Figur legen und die Anzahl der Quadratzentimeter in einer Reihe zählen. Finden Sie danach die Anzahl der Zeilen heraus und multiplizieren Sie dann die Werte. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist also das Produkt aus Länge und Breite.

Möglichkeiten zum Flächenvergleich:

1. CA. Manchmal reicht schon ein Blick auf die Objekte, denn teilweise ist mit bloßem Auge zu erkennen, dass eine Figur mehr Platz einnimmt, wie zum Beispiel ein Lehrbuch, das neben dem Federmäppchen auf dem Tisch liegt.
2. Überlagerung. Wenn die Figuren bei der Überlagerung zusammenfallen, sind ihre Flächen gleich. Wenn einer von ihnen vollständig in den zweiten passt, ist seine Fläche kleiner. Der Platz, den ein Notizbuchblatt und eine Seite aus einem Lehrbuch einnehmen, kann verglichen werden, indem sie übereinander gelegt werden.
3. Durch die Anzahl der Messungen. Bei der Überlagerung fallen die Figuren möglicherweise nicht zusammen, sondern haben dieselbe Fläche. In diesem Fall können Sie vergleichen, indem Sie die Anzahl der Quadrate zählen, in die die Figur unterteilt ist.
4. Zahlen. Vergleichen Sie gemessene Zahlenwerte mit dem gleichen Maß, zum Beispiel in m².

Beispiel Nr. 1: „Eine Näherin nähte eine Babydecke aus quadratischen bunten Fetzen. Ein Stück 1 dm lang, in einer Reihe von 5 Stück. Wie viel Dezimeter Klebeband benötigt eine Näherin, um die Kanten einer Decke zu versäubern, wenn die Fläche mit 50 dm² bekannt ist?

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie die Länge des Rechtecks ​​​​finden. Finde als Nächstes den Umfang eines Rechtecks, das aus Quadraten besteht. Aus dem Problem geht hervor, dass die Breite der Decke 5 dm beträgt, wir berechnen die Länge, indem wir 50 durch 5 teilen, und wir erhalten 10 dm. Finde nun den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seiten 5 und 10. P=5+5+10+10=30.

Antwort: 30 (m).

Beispiel Nr. 2: „Während der Ausgrabung wurde eine Stelle entdeckt, an der sich möglicherweise antike Schätze befinden. Wie viel Territorium müssen Wissenschaftler erforschen, wenn der Umfang 18 m und die Breite des Rechtecks ​​3 m beträgt?

Bestimmen Sie die Länge des Abschnitts, indem Sie 2 Schritte ausführen. 18-3×2=12. 12:2=6. Die gewünschte Fläche beträgt ebenfalls 18 m² (6 × 3 = 18).

Antwort: 18 (m²).

Wenn Sie also die Formeln kennen, wird es nicht schwierig sein, die Fläche und den Umfang zu berechnen, und die obigen Beispiele werden Ihnen helfen, das Lösen mathematischer Probleme zu üben.

In den folgenden Testaufgaben müssen Sie den Umfang der in der Abbildung gezeigten Figur finden.

Es gibt viele Möglichkeiten, den Umfang einer Form zu ermitteln. Sie können die ursprüngliche Form so transformieren, dass der Umfang der neuen Form leicht berechnet werden kann (z. B. in ein Rechteck ändern).

Eine andere Lösung besteht darin, direkt nach dem Umfang der Figur zu suchen (als Summe der Längen aller ihrer Seiten). Aber in diesem Fall kann man sich nicht nur auf die Zeichnung verlassen, sondern die Längen der Segmente anhand der Daten des Problems ermitteln.

Ich möchte Sie warnen: Bei einer der Aufgaben habe ich unter den vorgeschlagenen Antworten nicht diejenige gefunden, die sich für mich herausgestellt hat.

c) .

Lassen Sie uns die Seiten der kleinen Rechtecke vom inneren Bereich zum äußeren verschieben. Dadurch wird das große Rechteck geschlossen. Formel zum Finden des Umfangs eines Rechtecks

In diesem Fall ist a = 9a, b = 3a + a = 4a. Also P=2(9a+4a)=26a. Zum Umfang des großen Rechtecks ​​addieren wir die Summe der Längen von vier Segmenten, von denen jedes gleich 3a ist. Als Ergebnis ist P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

Nachdem wir die Innenseiten der kleinen Rechtecke auf die äußere Fläche übertragen haben, erhalten wir ein großes Rechteck, dessen Umfang P=2(10x+6x)=32x ist, und vier Segmente, zwei von x Länge, zwei von 2x Länge.

Insgesamt, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Gehen wir 6 horizontale „Stufen“ von innen nach außen. Der Umfang des resultierenden großen Rechtecks ​​ist P=2(6y+8y)=28y. Es bleibt die Summe der Streckenlängen innerhalb des Rechtecks ​​4y+6∙y=10y zu finden. Der Umfang der Figur ist also P=28y+10y= 38 Jahre .

D) .

Lassen Sie uns die vertikalen Segmente vom inneren Bereich der Figur nach links in den äußeren Bereich verschieben. Um ein großes Rechteck zu erhalten, verschieben Sie eine der 4x-Längen in die linke untere Ecke.

Wir finden den Umfang der ursprünglichen Figur als Summe des Umfangs dieses großen Rechtecks ​​und der Längen der verbleibenden drei Segmente P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Wenn wir die Innenseiten der kleinen Rechtecke nach außen verschieben, erhalten wir ein großes Quadrat. Sein Umfang ist P=4∙10x=40x. Um den Umfang der ursprünglichen Figur zu erhalten, müssen Sie die Summe der Längen von acht Segmenten, die jeweils 3x lang sind, zum Umfang des Quadrats addieren. Insgesamt, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Lassen Sie uns alle horizontalen "Stufen" und vertikalen oberen Segmente in den äußeren Bereich verschieben. Der Umfang des resultierenden Rechtecks ​​ist P=2(7y+4y)=22y. Um den Umfang der ursprünglichen Figur zu finden, musst du zum Umfang des Rechtecks ​​die Summe der Längen von vier Segmenten mit jeweils einer Länge von y addieren: P=22y+4∙y= 26 Jahre .

D) .

Verschieben Sie alle horizontalen Linien vom inneren Bereich in den äußeren Bereich und verschieben Sie die beiden vertikalen äußeren Linien in der linken bzw. rechten Ecke z nach links und rechts. Als Ergebnis erhalten wir ein großes Rechteck, dessen Umfang P=2(11z+3z)=28z ist.

Der Umfang der ursprünglichen Figur ist gleich der Summe aus dem Umfang des großen Rechtecks ​​und den Längen von sechs Segmenten in z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

Die Lösung ist der Lösung des vorherigen Beispiels völlig ähnlich. Nachdem wir die Figur transformiert haben, finden wir den Umfang des großen Rechtecks:

P=2(5z+3z)=16z. Zum Umfang des Rechtecks ​​addieren wir die Summe der Längen der verbleibenden sechs Segmente, von denen jedes gleich z ist: P=16z+6∙z= 22z .

Wie finde ich den Umfang eines Rechtecks?

Unten im Artikel erfahren Sie, was ist und wie Sie den Umfang eines Rechtecks ​​​​finden, wenn seine Seiten bekannt sind. Und auch, wie man die Seiten eines Rechtecks ​​findet, wenn sein Umfang bekannt ist. Und noch ein interessantes Konstruktionsproblem.

Ein bisschen Theorie:

Der Umfang ist die Länge einer geometrischen Figur entlang ihrer äußeren Begrenzung.

Der Umfang eines Rechtecks ​​ist die Summe seiner Seitenlängen.

Formeln zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: P = 2*(a+b) oder P = a + a + b + b.

Lassen Sie uns rekapitulieren! Um den Umfang eines Rechtecks ​​zu berechnen, addieren Sie alle seine Seiten.

Typische mathematisch-praktische Aufgaben:

Aufgabe 1:

Ausgangsdaten: Bestimmen Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seitenlängen 5 cm und 10 cm.

Entscheidung:

Nach der Formel ist der Umfang eines Rechtecks ​​= 2 * (5 + 10) = 30 cm.

Antwort: 30 cm.

Aufgabe Nr. 2:

Anfangsdaten: Bestimmen Sie die Seiten des Rechtecks, ausgedrückt als ganze Zahlen, wenn der Umfang des Rechtecks ​​10 ist.

Entscheidung:

Gemäß der Formel bestimmen wir die Summe der Seitenlängen (a + b) \u003d P / 2 \u003d 10 / 2 \u003d 5
Ganzzahlige Seitenwerte können nur 1 + 4 = 5 und 2 + 3 = 5 sein

Antwort: Die Seitenlängen können nur 2 und 3 oder 1 und 4 sein.

Aufgabe Nummer 3 (praktisch):

Anfangsdaten: Bestimmen Sie die Anzahl der Sockelleisten in ausreichender Menge, um den Boden in einem Raum mit einer Länge von 5 Metern und einer Breite von 3 Metern zu reparieren, wenn die Länge einer Sockelleiste 3 Meter beträgt.

Entscheidung:

Raumumfang = 2 * (5 + 3) = 16 Meter
Anzahl Sockelleisten = 16 / 3 = 5,33 Stück
Normalerweise werden Sockelleisten in Baumärkten nicht in Laufmetern, sondern stückweise verkauft. Daher nehmen wir die folgende Ganzzahl. Es ist sechs.

Antwort: Die Anzahl der Sockelleisten beträgt 6 Stück.

Abschließend:

Die Lösung des Problems der Berechnung des Umfangs ist ein ziemlich einfaches mathematisches Problem, das jedoch einen sehr wichtigen praktischen Wert hat, beispielsweise beim Bau oder bei der allgemeinen Planung des Territoriums.

Diese Seite bietet den einfachsten Online-Rechner zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks. Mit diesem Programm können Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit einem Klick ermitteln, wenn Sie dessen Länge und Breite kennen.

Offensichtlich ist die Grenze jedes Kreises ein Kreis. Daher stimmt das Konzept des Umfangs eines Kreises mit einem solchen Konzept wie dem Umfang eines Kreises überein. Deshalb erinnern wir uns zunächst daran, was ein Kreis ist und welche Konzepte damit verbunden sind.

Das Konzept eines Kreises

Bestimmung 1

Eine solche geometrische Figur wird ein Kreis genannt, der aus allen solchen Punkten besteht, die von einem beliebigen Punkt den gleichen Abstand haben.

Bestimmung 2

Der Mittelpunkt des Kreises wird als Punkt bezeichnet, der im Rahmen von Definition 1 angegeben wird.

Bestimmung 3

Der Radius eines Kreises ist der Abstand vom Mittelpunkt dieses Kreises zu einem seiner Punkte (Abb. 1).

Im kartesischen Koordinatensystem $xOy$ können wir auch die Gleichung eines beliebigen Kreises eingeben. Lassen Sie uns den Mittelpunkt des Kreises durch den Punkt $X$ bezeichnen, der die Koordinaten $(x_0,y_0)$ haben wird. Der Radius dieses Kreises sei gleich $τ$. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt $Y$, dessen Koordinaten mit $(x,y)$ bezeichnet werden (Abb. 2).

Nach der von uns angegebenen Formel für den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem erhalten wir:

$|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$

Andererseits ist $|XY|$ die Entfernung von jedem Punkt auf dem Kreis zu unserem gewählten Mittelpunkt. Das heißt, nach Definition 3 erhalten wir, dass $|XY|=τ$, also

$\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2$ (1)

Somit erhalten wir, dass Gleichung (1) die Gleichung eines Kreises im kartesischen Koordinatensystem ist.

Umfang (Kreisumfang)

Wir werden die Länge eines beliebigen Kreises $C$ aus seinem Radius gleich $τ$ ableiten.

Wir betrachten zwei beliebige Kreise. Bezeichnen wir ihre Längen mit $C$ und $C"$, deren Radien gleich $τ$ und $τ"$ sind. Wir werden in diese Kreise regelmäßige $n$-Ecke einschreiben, deren Umfänge gleich $ρ$ und $ρ"$ sind und deren Seitenlängen gleich $α$ bzw. $α"$ sind. Wie wir wissen, ist die Seite eines regelmäßigen $n$-Ecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, gleich

$α=2τsin\frac(180^0)(n)$

Dann kriegen wir das hin

$ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n)$

$ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n)$

$\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ") $

Wir erhalten, dass die Beziehung $\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ")$ wahr ist, unabhängig vom Wert der Seitenzahl einbeschriebener regelmäßiger Vielecke . Also

$\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ")$

Wenn wir andererseits die Anzahl der Seiten von einbeschriebenen regelmäßigen Polygonen unendlich erhöhen (d. h. $n→∞$), erhalten wir die Gleichheit:

$lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C")$

Aus den letzten beiden Gleichheiten bekommen wir das

$\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ")$

$\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ")$

Wir sehen, dass das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem verdoppelten Radius immer dieselbe Zahl ist, unabhängig von der Wahl des Kreises und seiner Parameter

$\frac(C)(2τ)=const$

Diese Konstante wird als Zahl "pi" bezeichnet und mit $π$ bezeichnet. Ungefähr entspricht diese Zahl 3,14 $ (es gibt keinen genauen Wert dieser Zahl, da es sich um eine irrationale Zahl handelt). Auf diese Weise

$\frac(C)(2τ)=π$

Schließlich erhalten wir, dass der Umfang (Umfang des Kreises) durch die Formel bestimmt wird

Aufgabenbeispiel

Beispiel 1

Ermitteln Sie den Umfang eines Kreises, der einem Quadrat mit den Seiten $α$ einbeschrieben ist.

Gegeben sei ein Quadrat $ABCD$, in das ein Kreis mit Mittelpunkt $O$ einbeschrieben ist. Lassen Sie uns ein Bild entsprechend dem Zustand des Problems zeichnen (Abb. 3).

Offensichtlich fällt der Mittelpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt des Quadrats zusammen, in das er eingeschrieben ist. Da das Quadrat um den Kreis herum beschrieben wird, sind seine Seiten tangential zu ihm, dh der Radius, der beispielsweise zur Seite $AB$ gezeichnet wird, steht senkrecht dazu. Der Durchmesser des Kreises ist also gleich der Seite des Quadrats. Also

$τ=\frac(α)(2)$

Nach der Formel für den Umfang eines Kreises bekommen wir das

$C=2π\cdot \frac(α)(2)=πα$

Antwort: $πα$.

Beispiel 2

Ermitteln Sie den Umfang eines Kreises, der von einem rechtwinkligen Dreieck mit den Schenkeln $α$ und $β$ umschrieben wird.

Gegeben sei ein Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel $C$, das einen umschriebenen Kreis mit Mittelpunkt $O$ hat. Wie wir wissen, ist der Durchmesser eines solchen Kreises die Hypotenuse eines solchen Dreiecks. Das heißt, $|AO|=|OB|=|OC|=τ$ (Abb. 4).

Nach dem Satz des Pythagoras ist die Hypotenuse gleich

$|AB|=\sqrt(α^2+β^2)$

$|AO|=τ=\frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)$

Der Umfang eines Kreises ist nach der Formel gleich

$C=2π\cdot \frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)=π\sqrt(α^2+β^2)$

Antwort: $π\sqrt(α^2+β^2)$.