Numerische Pyramiden. Eigenschaften numerischer Gleichheiten

Nachdem wir allgemeine Informationen über Gleichheiten in der Mathematik erhalten haben, gehen wir zu engeren Themen über. Das Material dieses Artikels gibt eine Vorstellung von den Eigenschaften numerischer Gleichheiten.

Was ist zahlengleichheit

Zahlengleichheiten begegnen uns zum ersten Mal in der Grundschule, wenn wir uns mit Zahlen und dem Begriff „gleich“ vertraut machen. Diese. die primitivsten numerischen Gleichheiten sind: 2 = 2, 5 = 5 usw. Und auf dieser Studienebene nannten wir sie einfach Gleichheiten, ohne „numerisch“ zu spezifizieren, und legten ihnen eine quantitative oder ordinale Bedeutung (die natürliche Zahlen tragen) bei. Beispielsweise entspricht die Gleichung 2 = 2 einem Bild mit zwei Blumen und zwei Hummeln darauf. Oder zum Beispiel zwei Warteschlangen, in denen Vasya und Vanya an zweiter Stelle stehen.

Mit zunehmendem Wissen über arithmetische Operationen werden numerische Gleichheiten komplizierter: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3 usw. Dann beginnen Gleichheiten aufzutreten, an deren Aufzeichnung numerische Ausdrücke verschiedener Art beteiligt sind. Beispiel: (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1 usw. Dann lernen wir andere Arten von Zahlen kennen, und numerische Gleichheiten werden immer interessanter und vielfältiger.

Bestimmung 1

Numerische Gleichheit ist eine Gleichheit, deren beide Teile aus Zahlen und/oder numerischen Ausdrücken bestehen.

Eigenschaften numerischer Gleichheiten

Die Bedeutung der Eigenschaften numerischer Gleichungen in der Mathematik kann kaum überschätzt werden: Sie sind die Grundlage für vieles, bestimmen das Prinzip der Arbeit mit numerischen Gleichungen, Lösungsmethoden, Regeln für die Arbeit mit Formeln und vieles mehr die Notwendigkeit einer detaillierten Untersuchung der Eigenschaften numerischer Gleichheiten.

Die Eigenschaften numerischer Gleichheiten sind absolut konsistent mit der Definition von Aktionen mit Zahlen sowie mit der Definition gleicher Zahlen durch die Differenz: Zahl a ist gleich der Zahl b nur wenn der Unterschied a-b es gibt null. Weiter in der Beschreibung jeder Eigenschaft werden wir diese Verbindung nachvollziehen.

Grundlegende Eigenschaften numerischer Gleichheiten

Beginnen wir mit dem Studium der Eigenschaften numerischer Gleichheiten mit drei grundlegenden Eigenschaften, die allen Gleichheiten innewohnen. Wir listen die wichtigsten Eigenschaften numerischer Gleichheiten auf:

• Reflexivitätseigenschaft: ein = ein;
• Symmetrieeigenschaft: wenn a = b, dann b = a;
• Transitivitätseigenschaft: wenn a = b und b=c, dann a = c, wobei a , b und c sind beliebige Zahlen.

Die Eigenschaft der Reflexivität bezeichnet die Tatsache, dass eine Zahl gleich sich selbst ist: zum Beispiel 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7 usw.

Beweis 1

Es ist leicht, die Gültigkeit der Gleichheit zu demonstrieren a − a = 0 für jede Zahl a: Unterschied ein - ein kann als Summe geschrieben werden ein + (- ein), und die Additionseigenschaft von Zahlen gibt uns die Möglichkeit zu behaupten, dass jede Zahl a entspricht der einzigen Gegenzahl − ein, und ihre Summe ist Null.

Bestimmung 3

Gemäß der Symmetrieeigenschaft numerischer Gleichheiten: Wenn die Zahl a ist gleich der Zahl b,
diese Nummer b ist gleich der Zahl a. Z.B, 4 3 = 64 , dann 64 = 4 3 .

Beweis 2

Sie können diese Eigenschaft durch die Differenz der Zahlen begründen. Bedingung a = b entspricht der Gleichberechtigung a − b = 0. Lassen Sie uns das beweisen b − a = 0.

Lassen Sie uns den Unterschied schreiben b-a als - (a-b), basierend auf der Regel für das Öffnen von Klammern mit vorangestelltem Minuszeichen. Der neue Eintrag für den Ausdruck ist - 0 , und das Gegenteil von Null ist Null. Auf diese Weise, b − a = 0, Folglich: b = a.

Bestimmung 4

Die Eigenschaft der Transitivität numerischer Gleichheiten besagt, dass zwei Zahlen einander gleich sind, wenn sie gleichzeitig gleich einer dritten Zahl sind. Zum Beispiel, wenn 81 = 9 und 9 = 3 2 , dann 81 = 3 2 .

Der Eigenschaft der Transitivität entspricht auch die Definition gleicher Zahlen durch die Differenz und Eigenschaften von Operationen mit Zahlen. Gleichheiten a = b und b=c entsprechen den Gleichheiten a − b = 0 und b − c = 0.

Beweis 3

Beweisen wir die Gleichheit a - c = 0, woraus die Zahlengleichheit folgt a und c. Denn das Hinzufügen einer Zahl zu Null ändert die Zahl selbst nicht ein - c ins Formular schreiben a + 0 − c. Anstelle von Null setzen wir die Summe der entgegengesetzten Zahlen ein -b und b, dann wird der letzte Ausdruck zu: a + (− b + b) − c. Gruppieren wir die Begriffe: (a - b) + (b - c). Die Differenzen in Klammern sind gleich Null, dann die Summe (a - b) + (b - c) es gibt null. Dies beweist, dass wenn a − b = 0 und b − c = 0, die Gleichheit a - c = 0, wo a = c.

Andere wichtige Eigenschaften numerischer Gleichheiten

Die oben diskutierten Haupteigenschaften numerischer Gleichungen sind die Grundlage für eine Reihe zusätzlicher Eigenschaften, die im Zusammenhang mit der Praxis sehr wertvoll sind. Lassen Sie uns sie auflisten:

Bestimmung 5

Indem wir zu beiden Teilen der numerischen Gleichheit, die wahr ist, dieselbe Zahl addieren (oder von ihnen subtrahieren), erhalten wir die korrekte numerische Gleichheit. Schreiben wir es wörtlich: wenn a = b, wo a und b sind dann einige Zahlen a + c = b + c für alle c.

Beweis 4

Als Begründung schreiben wir die Differenz (a + c) − (b + c).
Dieser Ausdruck kann leicht in die Form umgewandelt werden (a - b) + (c - c).
Aus a = b durch Bedingung folgt das a − b = 0 und c − c = 0, dann (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. Dies beweist das (a + c) − (b + c) = 0, Folglich, a + c = b + c;

Bestimmung 6

Wenn beide Teile der korrekten numerischen Gleichheit mit einer beliebigen Zahl multipliziert oder durch eine Zahl ungleich Null dividiert werden, dann erhalten wir die korrekte numerische Gleichheit.
Schreiben wir es wörtlich auf: wann a = b, dann a c = b c für jede Zahl c. Wenn c ≠ 0 dann und a:c = b:c.

Beweis 5

Gleichberechtigung gilt: ein c - b c = (a - b) c = 0 c = 0, und es impliziert die Gleichheit der Produkte ein c und b c. Und die Division durch eine Zahl c ungleich Null kann als Multiplikation mit dem Kehrwert von 1 c geschrieben werden;

Bestimmung 7

Bei a und b, von Null verschieden und einander gleich sind, sind auch ihre Kehrwerte gleich.
Schreiben wir: wenn a ≠ 0 , b ≠ 0 und a = b, dann 1 a = 1 b. Die extreme Gleichheit ist nicht schwer zu beweisen: Dazu teilen wir beide Seiten der Gleichheit a = b durch eine Zahl gleich dem Produkt ein b und ungleich null.

Wir weisen auch auf ein paar Eigenschaften hin, die die Addition und Multiplikation der entsprechenden Teile der richtigen numerischen Gleichungen ermöglichen:

Bestimmung 8

Durch Term-für-Term-Addition der korrekten numerischen Gleichheiten wird die korrekte Gleichheit erhalten. Diese Eigenschaft wird wie folgt geschrieben: if a = b und c = d, dann a + c = b + d für beliebige Zahlen a , b , c und d.

Beweis 6

Diese nützliche Eigenschaft lässt sich anhand der zuvor genannten Eigenschaften belegen. Wir wissen, dass zu beiden Seiten einer wahren Gleichheit jede beliebige Zahl addiert werden kann.
Auf dem Weg zur Gleichberechtigung a = b füge die Nummer hinzu c, und zur Gleichberechtigung c = d- Nummer b, das Ergebnis sind die korrekten numerischen Gleichungen: a + c = b + c und c + b = d + b. Den letzten schreiben wir in der Form: b + c = b + d. Von Gleichberechtigung a + c = b + c und b + c = b + d nach der Transitivitätseigenschaft folgt die Gleichheit a + c = b + d. Was bewiesen werden musste.

Es muss klargestellt werden, dass es Term für Term möglich ist, nicht nur zwei echte numerische Gleichheiten hinzuzufügen, sondern auch drei oder mehr;

Bestimmung 7

Schließlich beschreiben wir eine solche Eigenschaft: Termweise Multiplikation zweier korrekter numerischer Gleichheiten ergibt die korrekte Gleichheit. Schreiben wir in Buchstaben: wenn a = b und c = d, dann a c = b d.

Beweis 7

Der Beweis dieser Eigenschaft ist ähnlich wie der Beweis der vorherigen. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit einer beliebigen Zahl, multipliziere a = b auf der c, a c = d auf der b, erhalten wir die richtigen numerischen Gleichungen a c = b c und c b = d b. Wir schreiben das letzte als b c = b d. Die Eigenschaft der Transitivität macht es aus der Gleichheit möglich a c = b c und b c = b d Gleichheit herleiten a c = b d was wir beweisen mussten.

Und wieder stellen wir klar, dass diese Eigenschaft für zwei, drei oder mehr numerische Gleichheiten gilt.
Man kann also schreiben: if a = b, dann ein n = b n für beliebige Zahlen a und b, und jede natürliche Zahl n.

Lassen Sie uns diesen Artikel beenden, indem wir alle betrachteten Eigenschaften zur Verdeutlichung sammeln:

Wenn a = b, dann b = a.

Wenn a = b und b = c , dann ist a = c .

Wenn a = b , dann ist a + c = b + c .

Wenn a = b, dann a c = b c.

Wenn a = b und c ≠ 0, dann ist a: c = b: c.

Wenn a = b , a = b , a ≠ 0 und b ≠ 0 , dann ist 1 a = 1 b .

Wenn a = b und c = d, dann ist a c = b d.

Wenn a = b , dann a n = b n .

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Nachdem Sie eine allgemeine Vorstellung von Gleichheiten in der Mathematik erhalten haben, können Sie mit einer detaillierteren Untersuchung dieses Themas fortfahren. In diesem Artikel werden wir erstens erklären, was numerische Gleichheiten sind, und zweitens werden wir studieren.

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Was ist Zahlengleichheit?

Die Bekanntschaft mit numerischen Gleichheiten beginnt bereits in der Anfangsphase des Mathematikstudiums in der Schule. Dies geschieht in der Regel in der 1. Klasse gleich nachdem die ersten Zahlen von 1 bis 9 bekannt geworden sind und der Satz „dasselbe“ Bedeutung erlangt hat. Dann erscheinen die ersten numerischen Gleichheiten, zum Beispiel 1=1, 3=3 usw., die an dieser Stelle normalerweise einfach Gleichheiten ohne eine klarstellende Definition von "numerisch" genannt werden.

Gleichheiten des angegebenen Typs erhalten in diesem Stadium eine quantitative oder ordinale Bedeutung, die in eingebettet ist. Die Zahlengleichung 3=3 entsprach beispielsweise dem Bild, das zwei Äste eines Baumes zeigt, auf denen jeweils 3 Vögel sitzen. Oder wenn unsere Kameraden Petya und Kolya in zwei Reihen an dritter Stelle stehen.

Nach dem Studium der Rechenoperationen erscheinen vielfältigere Aufzeichnungen numerischer Gleichheiten, zum Beispiel 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2 usw. Außerdem beginnen numerische Gleichheiten einer noch interessanteren Form aufzutreten, die verschiedene Teile in ihren Teilen enthalten, zum Beispiel (2+1)+3=2+(1+3) . 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1 und dergleichen. Dann gibt es eine Bekanntschaft mit anderen Arten von Zahlen, und numerische Gleichheiten werden immer vielfältiger.

Es reicht also, um den heißen Brei herumzureden, es ist an der Zeit, eine Definition der numerischen Gleichheit zu geben:

Definition.

Numerische Gleichheit ist eine Gleichheit, in deren beiden Teilen Zahlen und / oder numerische Ausdrücke stehen.

Eigenschaften numerischer Gleichheiten

Die Prinzipien der Arbeit mit numerischen Gleichungen werden durch ihre Eigenschaften bestimmt. Und vieles hängt mit den Eigenschaften numerischer Gleichungen in der Mathematik zusammen: von den Eigenschaften zum Lösen von Gleichungen und einigen Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen bis hin zu den Regeln für das Arbeiten mit Formeln, die verschiedene Größen verbinden. Dies erklärt die Notwendigkeit einer detaillierten Untersuchung der Eigenschaften numerischer Gleichheiten.

Die Eigenschaften numerischer Gleichheiten stimmen vollständig mit der Definition von Operationen mit Zahlen überein und stimmen auch mit überein Definition gleicher Zahlen durch die Differenz: Die Zahl a ist genau dann gleich der Zahl b, wenn die Differenz a−b gleich Null ist. Im Folgenden werden wir bei der Beschreibung jeder Eigenschaft diese Verbindung nachzeichnen.

Grundlegende Eigenschaften numerischer Gleichheiten

Eine Betrachtung der Eigenschaften numerischer Gleichheiten sollte mit drei grundlegenden Eigenschaften beginnen, die ausnahmslos alle Gleichheiten kennzeichnen. So, grundlegende Eigenschaften numerischer Gleichheiten Das:

• Reflexivitätseigenschaft: a=a ;
• Symmetrieeigenschaft: wenn a=b , dann b=a ;
• und die Transitivitätseigenschaft: wenn a=b und b=c , dann a=c ,

wobei a , b und c beliebige Zahlen sind.

Die Reflexivitätseigenschaft numerischer Gleichheiten bezieht sich auf die Tatsache, dass eine Zahl mit sich selbst gleich ist. Zum Beispiel 5=5 , −2=−2 usw.

Es ist leicht zu zeigen, dass für jede Zahl a die Gleichheit a−a=0 gilt. Tatsächlich kann die Differenz a−a als Summe a+(−a) umgeschrieben werden, und aus den Eigenschaften der Zahlenaddition wissen wir, dass es für jede Zahl a ein eindeutiges −a gibt und die Summe der entgegengesetzten Zahlen gleich Null ist .

Die Symmetrieeigenschaft numerischer Gleichheiten besagt, dass wenn die Zahl a gleich der Zahl b ist, die Zahl b gleich der Zahl a ist. Wenn zum Beispiel 2 3 =8 (siehe ), dann ist 8=2 3 .

Wir begründen diese Eigenschaft durch die Differenz der Zahlen. Die Bedingung a=b entspricht der Gleichheit a−b=0 . Zeigen wir, dass b−a=0 . Die Regel für das Öffnen von Klammern mit vorangestelltem Minuszeichen ermöglicht es uns, die Differenz b−a als −(a−b) umzuschreiben, was wiederum gleich −0 ist, und die Zahl, die Null gegenübersteht, ist Null. Daher ist b−a=0 , was impliziert, dass b=a .

Die Eigenschaft der Transitivität numerischer Gleichheiten besagt, dass zwei Zahlen gleich sind, wenn sie beide gleich einer dritten Zahl sind. Zum Beispiel folgt aus den Gleichungen (siehe ) und 4=2 2, dass .

Diese Eigenschaft ist auch konsistent mit der Definition gleicher Zahlen durch die Differenz und den Eigenschaften von Operationen mit Zahlen. Tatsächlich entsprechen die Gleichungen a=b und b=c den Gleichungen a−b=0 und b−c=0 . Zeigen wir, dass a−c=0 , woraus folgt, dass die Zahlen a und c gleich sind. Da das Hinzufügen von Null die Zahl nicht ändert, kann a−c als a+0−c umgeschrieben werden. Null wird durch die Summe der entgegengesetzten Zahlen −b und b ersetzt, während der letzte Ausdruck die Form a+(−b+b)−c annimmt. Nun können wir die Terme wie folgt gruppieren: (a−b)+(b−c) . Und die Differenzen in Klammern sind Nullen, also ist die Summe (a−b)+(b−c) gleich Null. Dies beweist, dass unter der Bedingung a−b=0 und b−c=0 die Gleichheit a−c=0 gilt, womit a=c .

Weitere wichtige Eigenschaften

Aus den Haupteigenschaften numerischer Gleichheiten, die im vorigen Absatz analysiert wurden, folgt eine Reihe von Eigenschaften, die einen greifbaren praktischen Wert haben. Lassen Sie uns sie zerlegen.

Beginnen wir mit dieser Eigenschaft: Wenn Sie dieselbe Zahl zu beiden Teilen einer echten numerischen Gleichheit addieren (oder subtrahieren), erhalten Sie eine echte numerische Gleichheit. Mit Buchstaben kann es so geschrieben werden: Wenn a=b , wobei a und b Zahlen sind, dann a+c=b+c für jede Zahl c .

Zur Begründung bilden wir die Differenz (a+c)−(b+c) . Es kann in die Form (a−b)+(c−c) umgewandelt werden. Da a=b per Konvention, dann a−b=0 und c−c=0 , also (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Dies beweist, dass (a+c)−(b+c)=0 , also a+c=b+c .

Wir gehen noch weiter: Wenn beide Teile einer echten numerischen Gleichheit mit einer beliebigen Zahl multipliziert oder durch eine Zahl ungleich Null dividiert werden, dann erhalten wir die korrekte numerische Gleichheit. Das heißt, wenn a=b , dann a c=b c für eine beliebige Zahl c , und wenn c eine Zahl ungleich Null ist, dann a:c=b:c .

Tatsächlich ist a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , was impliziert, dass die Produkte von a·c und b·c gleich sind. Und die Division durch eine Zahl c ungleich Null kann als Multiplikation mit 1/c betrachtet werden.

Aus der analysierten Eigenschaft numerischer Gleichheiten folgt eine nützliche Konsequenz: Wenn a und b von Null verschieden und gleiche Zahlen sind, dann sind auch ihre Kehrwerte gleich. Das heißt, wenn a≠0, b≠0 und a=b, dann 1/a=1/b. Die letzte Gleichheit ist leicht zu beweisen: Dazu genügt es, beide Teile der ursprünglichen Gleichheit a=b durch eine Zahl ungleich Null zu dividieren, die gleich dem Produkt a b ist.

Und lassen Sie uns auf zwei weitere Eigenschaften eingehen, die es uns ermöglichen, die entsprechenden Teile der richtigen numerischen Gleichungen zu addieren und zu multiplizieren.

Wenn Sie die richtigen numerischen Gleichheiten Term für Term addieren, erhalten Sie die richtige Gleichheit. Das heißt, wenn a=b und c=d , dann ist a+c=b+d für alle Zahlen a , b , c und d .

Begründen wir diese Eigenschaft numerischer Gleichheiten ausgehend von den uns bereits bekannten Eigenschaften. Es ist bekannt, dass wir zu beiden Teilen einer wahren Gleichheit eine beliebige Zahl addieren können. Bei der Gleichung a=b addieren wir die Zahl c und bei der Gleichung c+d addieren wir die Zahl b, als Ergebnis erhalten wir die korrekten numerischen Gleichungen a+c=b+c und c+b=d+b, die letzte schreiben wir um als b+c= b+d. Aus den Gleichheiten a+c=b+c und b+c=b+d folgt durch die Transitivitätseigenschaft die zu beweisende Gleichheit a+c=b+d.

Beachten Sie, dass es möglich ist, Term für Term nicht nur zwei korrekte numerische Gleichheiten hinzuzufügen, sondern auch drei und vier und eine beliebige endliche Anzahl davon.

Wir schließen die Wiederholung der Eigenschaften von Zahlengleichungen mit der folgenden Eigenschaft ab: Wenn wir zwei richtige Zahlengleichungen Term für Term multiplizieren, erhalten wir die richtige Gleichheit. Formulieren wir es formal: wenn a=b und c=d , dann a c=b d .

Der Beweis dieser Eigenschaft ist ähnlich wie der Beweis der vorherigen. Wir können beide Seiten der Gleichheit mit einer beliebigen Zahl multiplizieren, multiplizieren a=b mit c und c=d mit b, wir erhalten die korrekten numerischen Gleichungen a c=b c und c b=d b , von denen wir die letzte als b c=b d umschreiben . Dann implizieren aufgrund der Transitivitätseigenschaft die Gleichungen a·c=b·c und b·c=b·d die erforderliche Gleichheit a·c=b·d .

Beachten Sie, dass die stimmhafte Eigenschaft für die Term-für-Term-Multiplikation von drei oder mehr korrekten numerischen Gleichheiten gilt. Aus dieser Aussage folgt, dass wenn a=b , dann a n = b n für alle Zahlen a und b und jede natürliche Zahl n .

Am Ende dieses Artikels schreiben wir alle analysierten Eigenschaften numerischer Gleichheiten in eine Tabelle:

Referenzliste.

• Moro MI. Mathe. Proz. für 1cl. frühzeitig Schule Um 14 S. Teil 1. (Erstes Halbjahr) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. Aufl. - M.: Aufklärung, 2006. - 112 S.: Abb. + App. (2 separate l. Abb.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Und jetzt analysieren wir diese Aufgabe im Detail.

Betrachten Sie die nächste Zelle in der Pyramide.

Wir wissen, dass 11 die Summe aus 7 und einer weiteren unbekannten Zahl ist. Offensichtlich ist die zweite Zahl 4, also können wir die Zelle rechts in der ersten Zeile ausfüllen.

Es bleibt eine leere Zelle in der Pyramide übrig. Es sollte eine Zahl enthalten, deren Addition aus 7 12 ergibt. Also. in der leeren Zelle links in der ersten Zeile sollte die Zahl 5 stehen.

Betrachten Sie die Zellen in der zweiten Reihe. Es sollte zwei Zahlen geben, deren Summe gleich 24 sein sollte. Beachten Sie gleichzeitig, dass Sie 3 und 5 zu einer unbekannten Zahl hinzufügen müssen, um die gewünschten zwei Zahlen in der zweiten Spalte zu erhalten befindet sich in der mittleren Zelle der ersten Zeile, dh die Differenz dieser beiden Zahlen sollte 2 betragen. Die Zahlen 11 und 13 sind für diese Bedingungen geeignet, da 11 + 13 \u003d 24 und andererseits 13 - 11 \ u003d 2. Damit können wir die Zellen der 2. Reihe ausfüllen.

Und es bleibt die letzte Zahl in der ersten Reihe zu finden. Diese Zahl erhält man, wenn man sie zu 3 addiert und dann 11 erhält. Also. diese Zahl ist 8.