Recherchieren und erstellen Sie online eine Funktion. Anwendung der Ableitung zur Lösung angewandter Probleme für das Extremum einiger Größen. Untersuchen Sie eine Funktion und ein Diagramm: Beispiele und Lösungen online

Führen Sie eine vollständige Studie durch und zeichnen Sie einen Funktionsgraphen

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funktionsumfang. Da die Funktion ein Bruch ist, musst du die Nullstellen des Nenners finden.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Wir schließen den einzigen Punkt x=1x=1 aus dem Funktionsdefinitionsbereich aus und erhalten:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunktes. Einseitige Grenzen finden:

Da die Grenzen gleich unendlich sind, ist der Punkt x=1x=1 eine Unstetigkeit zweiter Art, die Gerade x=1x=1 eine senkrechte Asymptote.

3) Lassen Sie uns die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen bestimmen.

Finden wir die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse OyOy, für die wir x=0x=0 gleichsetzen:

Somit hat der Schnittpunkt mit der Achse OyOy die Koordinaten (0;8)(0;8).

Finden wir die Schnittpunkte mit der Abszissenachse OxOx, für die wir y=0y=0 setzen:

Die Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Schnittpunkte mit der OxOx-Achse.

Beachten Sie, dass x2+8>0x2+8>0 für alle xx. Daher ist für x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) die Funktion y>0y>0 (nimmt positive Werte an, der Graph liegt über der x-Achse), für x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) Funktion y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, denn:

5) Wir untersuchen die Funktion auf Periodizität. Die Funktion ist nicht periodisch, da es sich um eine gebrochen rationale Funktion handelt.

6) Wir untersuchen die Funktion für Extrema und Monotonie. Dazu finden wir die erste Ableitung der Funktion:

Lassen Sie uns die erste Ableitung gleich Null setzen und die stationären Punkte finden (an denen y′=0y′=0):

Wir haben drei kritische Punkte: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Wir teilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion durch gegebene Punkte in Intervalle und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall:

Für x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ist die Ableitung y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Für x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) die Ableitung y′>0y′>0, wächst die Funktion auf diesen Intervallen.

In diesem Fall ist x = –2x = –2 ein lokaler Minimalpunkt (die Funktion nimmt ab und steigt dann an), x = 4x = 4 ist ein lokaler Maximalpunkt (die Funktion steigt an und fällt dann ab).

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an diesen Punkten finden:

Der Minimalpunkt ist also (−2;4)(−2;4), der Maximalpunkt ist (4;−8)(4;−8).

7) Wir untersuchen die Funktion auf Knicke und Konvexität. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion:

Gleichsetzen Sie die zweite Ableitung mit Null:

Die resultierende Gleichung hat keine Wurzeln, also gibt es keine Wendepunkte. Wenn x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 erfüllt ist, d. h., die Funktion ist konkav, wenn x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Wir untersuchen das Verhalten der Funktion im Unendlichen, also bei .

Da die Grenzen unendlich sind, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Versuchen wir, schiefe Asymptoten der Form y=kx+by=kx+b zu bestimmen. Wir berechnen die Werte von k,bk,b nach den bekannten Formeln:

Wir haben festgestellt, dass die Funktion eine schiefe Asymptote y=−x−1y=−x−1 hat.

9) Zusätzliche Punkte. Lassen Sie uns den Wert der Funktion an einigen anderen Punkten berechnen, um ein genaueres Diagramm zu erstellen.

y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.

10) Aus den gewonnenen Daten bauen wir einen Graphen auf, ergänzen ihn mit den Asymptoten x=1x=1 (blau), y=−x−1y=−x−1 (grün) und markieren die charakteristischen Punkte (den Schnittpunkt mit der Ordinatenachse ist violett, Extrema sind orange, Zusatzpunkte sind schwarz) :

Aufgabe 4: Geometrische, ökonomische Probleme (keine Ahnung was, hier eine ungefähre Auswahl von Problemen mit Lösung und Formeln)

Beispiel 3.23. a

Lösung. x und j j
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24.

Lösung.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Beispiel 3.22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösung. Da f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 \u003d 2 und x 2 \u003d 3. Extreme Punkte können nur an diesen Punkten sein.Wenn also beim Durchgang durch den Punkt x 1 \u003d 2 die Ableitung das Vorzeichen von Plus zu Minus ändert, dann hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum.Beim Durchgang durch den Punkt x 2 \u003d 3 die Ableitung Ändert das Vorzeichen von Minus zu Plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 \u003d 3 ein Minimum Berechnen der Werte der Funktion in Punkten
x 1 = 2 und x 2 = 3 finden wir die Extrema der Funktion: Maximum f(2) = 14 und Minimum f(3) = 13.

Beispiel 3.23. Es ist notwendig, in der Nähe der Steinmauer einen rechteckigen Bereich zu bauen, der auf drei Seiten mit Maschendraht eingezäunt ist und auf der vierten Seite an die Mauer angrenzt. Dafür gibt es a laufende Meter des Gitters. Bei welchem ​​Seitenverhältnis hat die Site die größte Fläche?

Lösung. Bezeichnen Sie die Seiten der Website durch x und j. Die Fläche des Standorts ist S = xy. Lassen j ist die Länge der an die Wand angrenzenden Seite. Dann muss per Bedingung die Gleichheit 2x + y = a gelten. Daher y = a - 2x und S = x(a - 2x), wobei
0 ≤ x ≤ a/2 (die Länge und Breite der Fläche dürfen nicht negativ sein). S "= a - 4x, a - 4x = 0 für x = a/4, woraus
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24. Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einem Fassungsvermögen von V=16p ≈ 50 m 3 herzustellen. Welche Abmessungen sollte der Tank haben (Radius R und Höhe H), um möglichst wenig Material für seine Herstellung zu verwenden?

Lösung. Die Gesamtoberfläche des Zylinders ist S = 2pR(R+H). Wir kennen das Volumen des Zylinders V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Daher ist S(R) = 2p(R 2 + 16/R). Wir finden die Ableitung dieser Funktion:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S "(R) \u003d 0 für R 3 \u003d 8, daher
R = 2, H = 16/4 = 4.

Ähnliche Informationen.

Seit einiger Zeit funktioniert in TheBat (unklar aus welchem ​​Grund) die eingebaute Zertifikatsdatenbank für SSL nicht mehr richtig.

Beim Überprüfen des Beitrags wird ein Fehler angezeigt:

Unbekanntes CA-Zertifikat
Der Server hat in der Sitzung kein Root-Zertifikat präsentiert und das entsprechende Root-Zertifikat wurde nicht im Adressbuch gefunden.
Diese Verbindung kann nicht geheim sein. Bitte
Wenden Sie sich an Ihren Serveradministrator.

Und es wird eine Auswahl an Antworten angeboten - JA / NEIN. Und so jedes Mal, wenn Sie Post schießen.

Lösung

In diesem Fall müssen Sie den S/MIME- und TLS-Implementierungsstandard durch Microsoft CryptoAPI in TheBat ersetzen!

Da ich alle Dateien zu einer zusammenführen musste, konvertierte ich zuerst alle doc-Dateien in eine einzige PDF-Datei (mit dem Acrobat-Programm) und übertrug sie dann über einen Online-Konverter auf fb2. Sie können Dateien auch einzeln konvertieren. Formate können absolut beliebig sein (Quelle) und doc und jpg und sogar ein Zip-Archiv!

Der Name der Seite entspricht dem Wesen :) Online Photoshop.

Aktualisierung Mai 2015

Ich habe noch eine tolle Seite gefunden! Noch bequemer und funktionaler zum Erstellen einer völlig beliebigen Collage! Diese Seite ist http://www.fotor.com/ru/collage/ . Verwendung für die Gesundheit. Und ich werde es selbst verwenden.

Konfrontiert im Leben mit der Reparatur von Elektroherden. Ich habe schon viel gemacht, viel gelernt, aber irgendwie hatte ich wenig mit Fliesen zu tun. Es war notwendig, die Kontakte an den Reglern und Brennern auszutauschen. Es stellte sich die Frage: Wie bestimmt man den Durchmesser des Brenners am Elektroherd?

Die Antwort erwies sich als einfach. Sie müssen nichts messen, Sie können in Ruhe mit dem Auge bestimmen, welche Größe Sie benötigen.

Der kleinste Brenner beträgt 145 Millimeter (14,5 Zentimeter)

Mittlerer Brenner beträgt 180 Millimeter (18 Zentimeter).

Und schließlich die meisten großer Brenner beträgt 225 Millimeter (22,5 Zentimeter).

Es reicht aus, die Größe mit dem Auge zu bestimmen und zu verstehen, welchen Durchmesser Sie für einen Brenner benötigen. Als ich das nicht wusste, stieg ich mit diesen Größen in die Höhe, ich wusste nicht, wie man misst, an welcher Kante man navigiert, etc. Jetzt bin ich weise :) Ich hoffe, es hat dir auch geholfen!

In meinem Leben stand ich vor einem solchen Problem. Ich denke, ich bin nicht der Einzige.

Wenn es in der Aufgabe erforderlich ist, eine vollständige Untersuchung der Funktion f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 mit der Konstruktion ihres Graphen durchzuführen, werden wir dieses Prinzip im Detail betrachten.

Um ein Problem dieser Art zu lösen, sollte man die Eigenschaften und Graphen der wichtigsten elementaren Funktionen verwenden. Der Forschungsalgorithmus umfasst die folgenden Schritte:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Den Definitionsbereich finden

Da auf dem Gebiet der Funktion geforscht wird, muss mit diesem Schritt begonnen werden.

Beispiel 1

Das gegebene Beispiel besteht darin, die Nullstellen des Nenners zu finden, um sie aus dem DPV auszuschließen.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Als Ergebnis erhalten Sie Wurzeln, Logarithmen usw. Dann kann die ODZ nach der Wurzel eines geraden Grades vom Typ g (x) 4 durch die Ungleichung g (x) ≥ 0 , nach dem Logarithmus log a g (x) durch die Ungleichung g (x) > 0 gesucht werden.

Untersuchung von ODZ-Grenzen und Auffinden vertikaler Asymptoten

An den Grenzen der Funktion gibt es vertikale Asymptoten, wenn die einseitigen Grenzen an solchen Punkten unendlich sind.

Beispiel 2

Betrachten Sie zum Beispiel die Grenzpunkte gleich x = ± 1 2 .

Dann ist es notwendig, die Funktion zu untersuchen, um den einseitigen Grenzwert zu finden. Dann erhalten wir das: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Dies zeigt, dass die einseitigen Grenzen unendlich sind, was bedeutet, dass die Linien x = ± 1 2 die vertikalen Asymptoten des Diagramms sind.

Untersuchung der Funktion und für gerade oder ungerade

Wenn die Bedingung y (- x) = y (x) erfüllt ist, wird die Funktion als gerade betrachtet. Dies deutet darauf hin, dass der Graph bezüglich O y symmetrisch angeordnet ist. Wenn die Bedingung y (- x) = - y (x) erfüllt ist, wird die Funktion als ungerade betrachtet. Dies bedeutet, dass die Symmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung geht. Wenn mindestens eine Ungleichung versagt, erhalten wir eine Funktion allgemeiner Form.

Die Erfüllung der Gleichheit y (- x) = y (x) zeigt an, dass die Funktion gerade ist. Bei der Konstruktion muss berücksichtigt werden, dass bezüglich O y eine Symmetrie besteht.

Zur Lösung der Ungleichung werden Zunahme- und Abnahmeintervalle mit den Bedingungen f "(x) ≥ 0 bzw. f" (x) ≤ 0 verwendet.

Bestimmung 1

Stationäre Punkte sind Punkte, die die Ableitung zu Null machen.

Kritische Punkte sind innere Punkte aus dem Bereich, wo die Ableitung der Funktion gleich Null ist oder nicht existiert.

Bei der Entscheidungsfindung sollten folgende Punkte berücksichtigt werden:

• für die bestehenden Intervalle der Zunahme und Abnahme der Ungleichung der Form f "(x) > 0 werden die kritischen Punkte nicht in die Lösung einbezogen;
• Punkte, an denen die Funktion ohne endliche Ableitung definiert ist, müssen in die Intervalle der Zunahme und Abnahme aufgenommen werden (z. B. y \u003d x 3, wobei der Punkt x \u003d 0 die definierte Funktion ausmacht, die Ableitung den Wert unendlich hat an diesem Punkt ist y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ist im Erhöhungsintervall enthalten);
• Um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden, wird empfohlen, mathematische Literatur zu verwenden, die vom Bildungsministerium empfohlen wird.

Die Einbeziehung von kritischen Punkten in die Intervalle des Ansteigens und Abnehmens für den Fall, dass sie den Definitionsbereich der Funktion erfüllen.

Bestimmung 2

Zum um die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion zu bestimmen, ist es notwendig zu finden:

• Derivat;
• kritische Punkte;
• den Definitionsbereich mit Hilfe von kritischen Punkten in Intervalle zerlegen;
• Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung in jedem der Intervalle, wobei + eine Zunahme und - eine Abnahme ist.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung auf der Domäne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Lösung

Zur Lösung benötigen Sie:

• finde stationäre Punkte, dieses Beispiel hat x = 0 ;
• Finde die Nullstellen des Nenners, das Beispiel nimmt den Wert Null bei x = ± 1 2 an.

Wir exponieren Punkte auf der numerischen Achse, um die Ableitung für jedes Intervall zu bestimmen. Dazu genügt es, einen beliebigen Punkt aus dem Intervall zu nehmen und eine Berechnung durchzuführen. Wenn das Ergebnis positiv ist, zeichnen wir + in den Graphen, was eine Zunahme der Funktion bedeutet, und - bedeutet ihre Abnahme.

Zum Beispiel f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, was bedeutet, dass das erste Intervall links ein +-Zeichen hat. Betrachten Sie die Zahl Linie.

Antworten:

• es gibt eine Zunahme der Funktion auf dem Intervall - ∞ ; - 1 2 und (- 1 2 ; 0 ] ;
• es gibt eine Abnahme im Intervall [ 0 ; 1 2) und 1 2 ; +∞ .

Im Diagramm werden mit + und - die Positivität und Negativität der Funktion dargestellt, und die Pfeile zeigen abnehmend und zunehmend an.

Die Extrempunkte einer Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion definiert ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen ändert.

Beispiel 4

Betrachten wir ein Beispiel, in dem x \u003d 0 ist, dann ist der Wert der darin enthaltenen Funktion f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von + nach - ändert und den Punkt x \u003d 0 durchläuft, wird der Punkt mit den Koordinaten (0; 0) als maximaler Punkt betrachtet. Wenn das Vorzeichen von - nach + geändert wird, erhalten wir den Mindestpunkt.

Konvexität und Konkavität werden bestimmt, indem Ungleichungen der Form f "" (x) ≥ 0 und f "" (x) ≤ 0 gelöst werden. Seltener verwenden sie den Namen Ausbuchtung nach unten statt Konkavität und Ausbuchtung nach oben statt Ausbuchtung.

Bestimmung 3

Zum Bestimmen der Lücken von Konkavität und Konvexität notwendig:

• finden Sie die zweite Ableitung;
• finden Sie die Nullstellen der Funktion der zweiten Ableitung;
• Brechen Sie den Definitionsbereich durch die Punkte, die in Intervallen erscheinen;
• Bestimmen Sie das Vorzeichen der Lücke.

Beispiel 5

Finden Sie die zweite Ableitung aus dem Definitionsbereich.

Lösung

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Wir finden die Nullstellen von Zähler und Nenner, wobei wir in unserem Beispiel haben, dass die Nullstellen des Nenners x = ± 1 2 sind

Jetzt müssen Sie Punkte auf den Zahlenstrahl setzen und das Vorzeichen der zweiten Ableitung aus jedem Intervall bestimmen. Das verstehen wir

Antworten:

• die Funktion ist konvex aus dem Intervall - 1 2 ; 12 ;
• die Funktion ist konkav aus den Lücken - ∞ ; - 1 2 und 1 2 ; +∞ .

Bestimmung 4

Wendepunkt ein Punkt der Form x 0 ist; f(x0) . Wenn es eine Tangente an den Graphen der Funktion hat, ändert die Funktion beim Durchgang durch x 0 das Vorzeichen in das Gegenteil.

Mit anderen Worten, dies ist ein solcher Punkt, durch den die zweite Ableitung geht und das Vorzeichen wechselt, und an den Punkten selbst gleich Null ist oder nicht existiert. Alle Punkte werden als Definitionsbereich der Funktion betrachtet.

Im Beispiel hat man gesehen, dass es keine Wendepunkte gibt, da die zweite Ableitung beim Durchgang durch die Punkte x = ± 1 2 das Vorzeichen wechselt. Sie sind wiederum nicht im Definitionsbereich enthalten.

Horizontale und schiefe Asymptoten finden

Wenn man eine Funktion im Unendlichen definiert, muss man nach horizontalen und schiefen Asymptoten suchen.

Bestimmung 5

Schräge Asymptoten werden unter Verwendung von Linien gezeichnet, die durch die Gleichung y = k x + b gegeben sind, wobei k = lim x → ∞ f (x) x und b = lim x → ∞ f (x) – k x .

Für k = 0 und b ungleich unendlich finden wir, dass die schiefe Asymptote wird horizontal.

Mit anderen Worten, die Asymptoten sind die Linien, denen sich der Graph der Funktion im Unendlichen nähert. Dies trägt zum schnellen Aufbau des Graphen der Funktion bei.

Wenn es keine Asymptoten gibt, aber die Funktion an beiden Unendlichkeiten definiert ist, ist es notwendig, den Grenzwert der Funktion an diesen Unendlichkeiten zu berechnen, um zu verstehen, wie sich der Graph der Funktion verhalten wird.

Beispiel 6

Betrachten Sie das als Beispiel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 – 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) – k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ist eine horizontale Asymptote. Nachdem Sie die Funktion erforscht haben, können Sie mit dem Erstellen beginnen.

Berechnen des Wertes einer Funktion an Zwischenpunkten

Um das Plotten möglichst genau zu machen, wird empfohlen, mehrere Werte der Funktion an Zwischenpunkten zu finden.

Beispiel 7

Aus dem betrachteten Beispiel müssen die Werte der Funktion an den Punkten x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 ermittelt werden. Da die Funktion gerade ist, erhalten wir, dass die Werte mit den Werten an diesen Punkten übereinstimmen, dh wir erhalten x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Lassen Sie uns schreiben und lösen:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Um die Maxima und Minima der Funktion, Wendepunkte und Zwischenpunkte zu bestimmen, müssen Asymptoten gebildet werden. Zur bequemen Bezeichnung sind Intervalle für Zunahme, Abnahme, Konvexität und Konkavität festgelegt. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Es ist notwendig, Diagrammlinien durch die markierten Punkte zu ziehen, damit Sie den Asymptoten näher kommen können, indem Sie den Pfeilen folgen.

Damit ist die vollständige Untersuchung der Funktion abgeschlossen. Es gibt Fälle, in denen einige elementare Funktionen konstruiert werden, für die geometrische Transformationen verwendet werden.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Für eine vollständige Untersuchung der Funktion und das Zeichnen ihres Diagramms wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) finden Sie den Umfang der Funktion;

2) Finden Sie die Unstetigkeitspunkte der Funktion und vertikale Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen, finden Sie die horizontalen und schiefen Asymptoten;

4) Untersuchung der Funktion auf Gleichmäßigkeit (Oddity) und auf Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexität und Wendepunkte;

7) Finden Sie Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, wenn möglich, und einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verfeinern.

Die Untersuchung der Funktion wird gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen durchgeführt.

Beispiel 9 Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion bricht an bestimmten Stellen ab
,
;

Wir untersuchen die Funktion für das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein von schrägen und horizontalen Asymptoten.

Gerade
─ schiefe Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist sogar da
. Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen in Bezug auf die y-Achse an.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie und die Extrema der Funktion.

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;
. Wir haben drei Punkte
;

. Diese Punkte teilen die gesamte reelle Achse in vier Intervalle. Lassen Sie uns die Zeichen definieren auf jedem von ihnen.

Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ab. Beim Passieren eines Punktes
die Ableitung wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher hat die Funktion an dieser Stelle ein Maximum
.

6. Finden wir Konvexitätsintervalle, Wendepunkte.

Lassen Sie uns die Punkte finden, wo 0 ist oder nicht existiert.

hat keine wirklichen Wurzeln.
,
,

Punkte
und
Teilen Sie die reelle Achse in drei Intervalle. Lassen Sie uns das Zeichen definieren in jedem Intervall.

Somit ist die Kurve auf den Intervallen
und
konvex nach unten, auf dem Intervall (-1;1) konvex nach oben; es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an den Punkten
und
unentschlossen.

7. Finde die Schnittpunkte mit den Achsen.

mit Achse
der Graph der Funktion schneidet sich am Punkt (0; -1) und mit der Achse
der Graph schneidet sich nicht, weil der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Graph der Funktion

Anwendung des Begriffs des Derivats in der Volkswirtschaftslehre. Funktionselastizität

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Funktionselastizität verwendet.

Definition. Funktionselastizität
heißt die Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion auf das relative Inkrement der Variablen bei
, . (VII)

Die Elastizität einer Funktion zeigt ungefähr, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert
beim Ändern der unabhängigen Variablen um 1%.

Die Elastizität einer Funktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Elastizität der Nachfrage (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral falls
─ unelastisch in Bezug auf Preis (oder Einkommen).

Beispiel 10 Berechnen Sie die Elastizität einer Funktion
und finden Sie den Wert des Elastizitätsindex für = 3.

Lösung: nach Formel (VII) die Elastizität der Funktion:

Sei dann x=3
Das bedeutet, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, steigt der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %.

Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren bezüglich des preises hat die Form
, wo ─ konstanter Koeffizient. Ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit der Formel (VII)

Vorausgesetzt
Geldeinheiten, bekommen wir
. Das heißt, zum Preis
Geldeinheit eine Preiserhöhung von 1 % führt zu einem Rückgang der Nachfrage um 6 %, d.h. Die Nachfrage ist elastisch.

Heute laden wir Sie ein, mit uns einen Funktionsgraphen zu erkunden und zu zeichnen. Nach einem sorgfältigen Studium dieses Artikels müssen Sie nicht lange schwitzen, um diese Art von Aufgabe zu erledigen. Es ist nicht einfach, eine Funktion zu untersuchen und einen Graphen zu erstellen, die Arbeit ist umfangreich und erfordert maximale Aufmerksamkeit und Genauigkeit der Berechnungen. Um die Wahrnehmung des Materials zu erleichtern, werden wir nach und nach dieselbe Funktion untersuchen, alle unsere Aktionen und Berechnungen erklären. Willkommen in der erstaunlichen und faszinierenden Welt der Mathematik! Gehen!

Domain

Um eine Funktion zu untersuchen und darzustellen, müssen Sie einige Definitionen kennen. Eine Funktion ist eines der grundlegenden (grundlegenden) Konzepte in der Mathematik. Es spiegelt die Abhängigkeit zwischen mehreren Variablen (zwei, drei oder mehr) mit Änderungen wider. Die Funktion zeigt auch die Abhängigkeit von Mengen.

Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Variablen, die einen bestimmten Änderungsbereich haben. Also ist y eine Funktion von x, vorausgesetzt, dass jeder Wert der zweiten Variablen einem Wert der zweiten entspricht. In diesem Fall ist die Variable y abhängig und wird als Funktion bezeichnet. Es ist üblich zu sagen, dass die Variablen x und y in Um diese Abhängigkeit besser zu verdeutlichen, wird ein Graph der Funktion erstellt. Was ist ein Funktionsgraph? Dies ist eine Menge von Punkten auf der Koordinatenebene, wobei jeder Wert von x einem Wert von y entspricht. Diagramme können unterschiedlich sein - eine gerade Linie, Hyperbel, Parabel, Sinuskurve und so weiter.

Ein Funktionsgraph kann nicht ohne Exploration gezeichnet werden. Heute lernen wir, wie man recherchiert und einen Funktionsgraphen zeichnet. Es ist sehr wichtig, sich während des Studiums Notizen zu machen. So wird es viel einfacher sein, mit der Aufgabe fertig zu werden. Der bequemste Studienplan:

1. Domain.
2. Kontinuität.
3. Gerade oder ungerade.
4. Periodizität.
5. Asymptoten.
6. Nullen.
7. Konstanz.
8. Aufsteigend und absteigend.
9. Extreme.
10. Konvexität und Konkavität.

Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Lassen Sie uns den Definitionsbereich finden, dh in welchen Intervallen unsere Funktion existiert: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). In unserem Fall existiert die Funktion für beliebige Werte von x, das heißt, der Definitionsbereich ist R. Dies kann als xОR geschrieben werden.

Kontinuität

Jetzt untersuchen wir die Diskontinuitätsfunktion. In der Mathematik tauchte der Begriff "Kontinuität" als Ergebnis des Studiums der Bewegungsgesetze auf. Was ist unendlich? Raum, Zeit, einige Abhängigkeiten (ein Beispiel ist die Abhängigkeit der Variablen S und t in Bewegungsproblemen), die Temperatur des erhitzten Objekts (Wasser, Bratpfanne, Thermometer usw.), eine durchgehende Linie (d. h. eins das gezeichnet werden kann, ohne es vom Blattstift zu nehmen).

Ein Graph gilt als stetig, wenn er nicht irgendwann bricht. Eines der offensichtlichsten Beispiele für einen solchen Graphen ist eine Sinuswelle, die Sie auf dem Bild in diesem Abschnitt sehen können. Die Funktion ist an einem Punkt x0 stetig, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind:

• eine Funktion ist an einem bestimmten Punkt definiert;
• die rechte und linke Grenze an einem Punkt sind gleich;
• der Grenzwert ist gleich dem Wert der Funktion am Punkt x0.

Wenn mindestens eine Bedingung nicht erfüllt ist, spricht man von einer Unterbrechung der Funktion. Und die Punkte, an denen die Funktion bricht, werden Breakpoints genannt. Ein Beispiel für eine Funktion, die bei grafischer Darstellung „bricht“, ist: y=(x+4)/(x-3). Außerdem existiert y nicht an der Stelle x = 3 (da nicht durch Null geteilt werden kann).

In der Funktion, die wir untersuchen (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), stellte sich alles als einfach heraus, da der Graph kontinuierlich sein wird.

Gerade ungerade

Untersuchen Sie nun die Funktion auf Parität. Beginnen wir mit ein wenig Theorie. Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die die Bedingung f (-x) = f (x) für jeden Wert der Variablen x (aus dem Wertebereich) erfüllt. Beispiele sind:

• Modul x (der Graph sieht aus wie eine Dohle, die Winkelhalbierende des ersten und zweiten Viertels des Graphen);
• x zum Quadrat (Parabel);
• Kosinus x (Kosinuswelle).

Beachten Sie, dass alle diese Diagramme symmetrisch sind, wenn sie in Bezug auf die y-Achse betrachtet werden.

Was heißt dann eine ungerade Funktion? Dies sind die Funktionen, die die Bedingung erfüllen: f (-x) \u003d - f (x) für jeden Wert der Variablen x. Beispiele:

• Hyperbel;
• kubische Parabel;
• sinusförmig;
• Tangente und so weiter.

Bitte beachten Sie, dass diese Funktionen symmetrisch zum Punkt (0:0), also dem Ursprung sind. Basierend auf dem, was in diesem Abschnitt des Artikels gesagt wurde, müssen eine gerade und eine ungerade Funktion die Eigenschaft haben: x gehört zum Definitionssatz und -x auch.

Untersuchen wir die Funktion auf Parität. Wir können sehen, dass sie auf keine der Beschreibungen passt. Daher ist unsere Funktion weder gerade noch ungerade.

Asymptoten

Beginnen wir mit einer Definition. Eine Asymptote ist eine Kurve, die möglichst nahe am Graphen liegt, das heißt, der Abstand von einem Punkt geht gegen Null. Es gibt drei Arten von Asymptoten:

• vertikal, dh parallel zur y-Achse;
• horizontal, d. h. parallel zur x-Achse;
• schräg.

Wie beim ersten Typ sollten diese Zeilen an einigen Stellen gesucht werden:

• Lücke;
• Enden der Domäne.

In unserem Fall ist die Funktion stetig und der Definitionsbereich ist R. Daher gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Der Graph einer Funktion hat eine horizontale Asymptote, die folgende Bedingung erfüllt: wenn x gegen unendlich oder minus unendlich strebt und der Grenzwert gleich einer bestimmten Zahl ist (z. B. a). In diesem Fall ist y=a die horizontale Asymptote. In der Funktion, die wir untersuchen, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Eine schiefe Asymptote liegt nur vor, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Dann kann es durch die Formel gefunden werden: y=kx+b. Auch in unserem Fall gibt es keine schiefen Asymptoten.

Funktion Nullen

Der nächste Schritt besteht darin, den Graphen der Funktion auf Nullstellen zu untersuchen. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass die Aufgabe, die mit dem Finden der Nullstellen einer Funktion verbunden ist, nicht nur beim Studium und Aufbau eines Funktionsgraphen auftritt, sondern auch als unabhängige Aufgabe und als Möglichkeit, Ungleichungen zu lösen. Möglicherweise müssen Sie die Nullstellen einer Funktion in einem Diagramm finden oder die mathematische Notation verwenden.

Wenn Sie diese Werte finden, können Sie die Funktion genauer zeichnen. Einfach ausgedrückt ist die Nullstelle der Funktion der Wert der Variablen x, bei der y \u003d 0 ist. Sucht man die Nullstellen einer Funktion auf einem Graphen, dann sollte man auf die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse achten.

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die folgende Gleichung lösen: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nachdem wir die notwendigen Berechnungen durchgeführt haben, erhalten wir die folgende Antwort:

Konstanz unterzeichnen

Der nächste Schritt bei der Untersuchung und Konstruktion einer Funktion (Graphik) besteht darin, Intervalle mit Vorzeichenkonstanz zu finden. Das bedeutet, dass wir bestimmen müssen, in welchen Intervallen die Funktion einen positiven Wert annimmt und in welchen Intervallen sie einen negativen Wert annimmt. Dabei helfen uns die Nullstellen der im vorigen Abschnitt gefundenen Funktionen. Wir müssen also eine gerade Linie (getrennt vom Graphen) bauen und die Nullstellen der Funktion entlang dieser in der richtigen Reihenfolge von der kleinsten zur größten verteilen. Nun müssen Sie bestimmen, welches der resultierenden Intervalle ein „+“-Zeichen und welches ein „-“-Zeichen hat.

In unserem Fall nimmt die Funktion einen positiven Wert für die Intervalle an:

• von 1 bis 4;
• von 9 bis unendlich.

Negative Bedeutung:

• von minus unendlich bis 1;
• von 4 bis 9.

Dies ist ziemlich einfach zu bestimmen. Setzen Sie eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die Funktion ein und sehen Sie, welches Zeichen die Antwort ist (Minus oder Plus).

Funktion Aufsteigend und Absteigend

Um eine Funktion zu untersuchen und zu erstellen, müssen wir wissen, wo der Graph ansteigt (bei Oy nach oben geht) und wo er abfällt (entlang der y-Achse nach unten kriecht).

Die Funktion wächst nur, wenn der größere Wert der Variablen x dem größeren Wert von y entspricht. Das heißt, x2 ist größer als x1 und f(x2) ist größer als f(x1). Und wir beobachten ein völlig entgegengesetztes Phänomen bei einer abnehmenden Funktion (je mehr x, desto weniger y). Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme zu bestimmen, müssen Sie Folgendes finden:

• Geltungsbereich (wir haben ihn bereits);
• Ableitung (in unserem Fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• löse die Gleichung 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nach Berechnungen erhalten wir das Ergebnis:

Wir erhalten: Die Funktion nimmt in den Intervallen von minus unendlich bis 7/3 und von 7 bis unendlich zu und nimmt im Intervall von 7/3 bis 7 ab.

Extreme

Die untersuchte Funktion y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ist stetig und existiert für beliebige Werte der Variablen x. Der Extrempunkt zeigt das Maximum und Minimum dieser Funktion. In unserem Fall gibt es keine, was die Konstruktionsaufgabe erheblich vereinfacht. Ansonsten werden sie auch mit der Ableitungsfunktion gefunden. Vergessen Sie nach dem Finden nicht, sie auf der Karte zu markieren.

Konvexität und Konkavität

Wir untersuchen weiterhin die Funktion y(x). Jetzt müssen wir es auf Konvexität und Konkavität überprüfen. Die Definitionen dieser Konzepte sind ziemlich schwer zu verstehen, es ist besser, alles anhand von Beispielen zu analysieren. Zum Test: Eine Funktion ist konvex, wenn sie eine nichtfallende Funktion ist. Stimmen Sie zu, das ist unverständlich!

Wir müssen die Ableitung der Funktion zweiter Ordnung finden. Wir erhalten: y=1/3(6x-28). Jetzt setzen wir die rechte Seite mit Null gleich und lösen die Gleichung. Antwort: x=14/3. Wir haben den Wendepunkt gefunden, also die Stelle, an der der Graph von konvex zu konkav oder umgekehrt wechselt. Auf dem Intervall von minus unendlich bis 14/3 ist die Funktion konvex und von 14/3 bis plus unendlich ist sie konkav. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass der Wendepunkt auf dem Diagramm glatt und weich sein sollte, es sollte keine scharfen Ecken geben.

Definition zusätzlicher Punkte

Unsere Aufgabe ist es, den Funktionsgraphen zu untersuchen und zu zeichnen. Wir haben die Studie abgeschlossen, es wird jetzt nicht schwierig sein, die Funktion zu zeichnen. Für eine genauere und detailliertere Wiedergabe einer Kurve oder einer Geraden auf der Koordinatenebene finden Sie mehrere Hilfspunkte. Es ist ziemlich einfach, sie zu berechnen. Zum Beispiel nehmen wir x=3, lösen die resultierende Gleichung und finden y=4. Oder x=5 und y=-5 und so weiter. Sie können so viele zusätzliche Punkte nehmen, wie Sie zum Bauen benötigen. Mindestens 3-5 von ihnen werden gefunden.

Plotten

Wir mussten die Funktion (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y untersuchen. Alle notwendigen Markierungen im Laufe der Berechnungen wurden in der Koordinatenebene vorgenommen. Es bleibt nur noch, einen Graphen zu erstellen, also alle Punkte miteinander zu verbinden. Das Verbinden der Punkte ist reibungslos und genau, dies ist eine Frage des Könnens - ein wenig Übung und Ihr Zeitplan wird perfekt sein.