Wie man ein Produkt und einen Quotienten potenziert. Exponentiation: Regeln, Beispiele. Abschluss mit negativer Basis

Hauptziel

Die Schüler mit den Eigenschaften von Graden mit natürlichen Indikatoren vertraut machen und ihnen beibringen, Aktionen mit Graden auszuführen.

Thema „Grad und seine Eigenschaften“ beinhaltet drei Fragen:

• Bestimmung des Grades mit einem natürlichen Indikator.
• Multiplikation und Teilung der Potenzen.
• Potenzierung von Produkt und Grad.

Testfragen

1. Formulieren Sie die Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten größer als 1. Geben Sie ein Beispiel.
2. Formulieren Sie eine Definition des Abschlusses mit dem Indikator 1. Geben Sie ein Beispiel.
3. Wie ist die Reihenfolge der Operationen, wenn der Wert eines Ausdrucks ausgewertet wird, der Potenzen enthält?
4. Formulieren Sie die Haupteigenschaft des Grades. Gib ein Beispiel.
5. Formulieren Sie eine Regel zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Gib ein Beispiel.
6. Formulieren Sie eine Regel zur Teilung von Potenzen mit gleichen Basen. Gib ein Beispiel.
7. Formulieren Sie die Regel zur Potenzierung eines Produkts. Gib ein Beispiel. Beweisen Sie die Identität (ab) n = a n b n .
8. Formulieren Sie eine Potenzregel. Gib ein Beispiel. Beweisen Sie die Identität (a m) n = a m n .

Definition von Grad.

Grad der Zahl a mit einem natürlichen Indikator n, größer als 1, heißt das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich ist a. Grad der Zahl a mit Exponent 1 wird die Zahl selbst genannt a.

Grad mit Basis a und Indikator n wird so geschrieben: ein. Es liest " a soweit n“; „n-te Potenz einer Zahl a ”.

Per Definition des Abschlusses:

ein 4 = ein ein ein ein

. . . . . . . . . . . .

Das Finden des Wertes des Grades wird aufgerufen Potenzierung .

1. Beispiele zur Potenzierung:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Ausdruckswerte finden:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Variante 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Quadriere die Zahlen:

3. Würfeln Sie die Zahlen:

4. Ausdruckswerte finden:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Multiplikation der Kräfte.

Für jede Zahl a und beliebige Zahlen m und n gilt:

ein m ein n = ein m + n .

Nachweisen:

Regel : Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleiben die Basen gleich und die Exponenten werden addiert.

ein m ein n ein k = ein m + n ein k = ein (m + n) + k = ein m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Variante 1

1. Als Abschluss präsentieren:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) j 4 j h) 7 4 49

d) ein ein 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Gradteilung.

Für jede Zahl a0 und beliebige natürliche Zahlen m und n mit m > n gilt:

ein m: ein n = ein m - n

Nachweisen:

ein m - n ein n = ein (m - n) + n = ein m - n + n = ein m

per Definition von privat:

ein m: ein n \u003d ein m - n.

Regel: Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis gleich und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

Definition: Der Grad einer Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins:

Weil ein n: ein n = 1 für a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) eine 7: eine \u003d eine 7: eine 1 \u003d eine 7 - 1 \u003d eine 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

in)

G)

e)

Variante 1

1. Drücken Sie den Quotienten als Potenz aus:

2. Finden Sie die Werte von Ausdrücken:

Erhöhen Sie die Macht eines Produkts.

Für beliebige a und b und eine beliebige natürliche Zahl n:

(ab) n = ein n b n

Nachweisen:

Per Definition von Grad

(ab) n =

Wenn wir die Faktoren a und b getrennt gruppieren, erhalten wir:

=

Die bewiesene Eigenschaft des Produktgrades erstreckt sich auf den Produktgrad von drei oder mehr Faktoren.

Zum Beispiel:

(a b c) n = ein n b n c n ;

(ein b c d) n = ein n b n c n d n .

Regel: Wenn ein Produkt potenziert wird, wird jeder Faktor potenziert und das Ergebnis multipliziert.

1. Potenzieren:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 Jahre) 3 \u003d (-5) 3 Jahre 3 \u003d -125 Jahre 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Suchen Sie den Wert des Ausdrucks:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Variante 1

1. Potenzieren:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Suchen Sie den Wert des Ausdrucks:

b) (5 7 20) 2

Potenzierung.

Für jede Zahl a und beliebige natürliche Zahlen m und n:

(am) n = am n

Nachweisen:

Per Definition von Grad

(ein m) n =

Regel: Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden multipliziert.

1. Potenzieren:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Ausdrücke vereinfachen:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

Variante 1

1. Potenzieren:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Ausdrücke vereinfachen:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (j j 9) 2

3. Finde die Bedeutung von Ausdrücken:

Anwendung

Definition von Grad.

Option 2

1. Schreiben Sie das Produkt in Form eines Abschlusses:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Quadriere die Zahlen:

3. Würfeln Sie die Zahlen:

4. Ausdruckswerte finden:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Möglichkeit 3

1. Schreiben Sie das Produkt als Abschluss:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Präsentiert in Form eines Quadrats der Zahl: 100; 0,49; .

3. Würfeln Sie die Zahlen:

4. Ausdruckswerte finden:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Möglichkeit 4

1. Schreiben Sie das Produkt als Abschluss:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-à) (-à) (-à)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Quadriere die Zahlen:

3. Würfeln Sie die Zahlen:

4. Ausdruckswerte finden:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Multiplikation der Kräfte.

Option 2

1. Als Abschluss präsentieren:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) j 5 j h) 4 3 16

d) ein ein 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Möglichkeit 3

1. Als Abschluss präsentieren:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) und 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Möglichkeit 4

1. Als Abschluss präsentieren:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) j 6 j h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Gradteilung.

Option 2

1. Drücken Sie den Quotienten als Potenz aus:

2. Finden Sie die Werte von Ausdrücken:

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer c ist n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

Zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.

Wir erinnern Sie daran, dass wir in dieser Lektion verstehen Grad Eigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und deren Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.

Ein Exponent mit einem natürlichen Exponenten hat mehrere wichtige Eigenschaften, mit denen Sie Berechnungen in Exponentenbeispielen vereinfachen können.

Eigentum Nr. 1
Produkt der Kräfte

Denken Sie daran!

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.

a m a n \u003d a m + n, wobei " a" - eine beliebige Zahl und " m", " n" - eine beliebige natürliche Zahl.

Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.

• Den Ausdruck vereinfachen.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Als Abschluss vorhanden.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Als Abschluss vorhanden.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Wichtig!

Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Potenzen mit zu multiplizieren die gleichen Gründe . Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.

Du kannst die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243

Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse

Denken Sie daran!

Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft von partiellen Graden.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Antwort: t = 3 4 = 81

Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.

• Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
  4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Wichtig!

  Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft 2 sich nur mit der Gewaltenteilung mit gleichen Grundlagen befasste.

  Du kannst die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn wir bedenken (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , und 4 1 = 4

  Seien Sie vorsichtig!

  Eigenschaft Nr. 3
  Potenzierung

  Denken Sie daran!

  Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.

  (a n) m \u003d a n m, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

  
  

  Eigenschaften 4
  Produkt Grad

  Denken Sie daran!

  Bei der Potenzierung eines Produkts wird jeder der Faktoren potenziert. Die Ergebnisse werden dann multipliziert.

  (a b) n \u003d a n b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind; "n" - jede natürliche Zahl.

  • Beispiel 1
    (6 ein 2 b 3 c) 2 = 6 2 ein 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 ein 4 b 6 s 2
    
  • Beispiel 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Wichtig!

  Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden, auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.

  (a n b n) = (a b) n

  Das heißt, um Grade mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.

  • Beispiel. Berechnung.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Beispiel. Berechnung.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division mit Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.

  Zum Beispiel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = vier

  Eigenschaften 5
  Potenz des Quotienten (Brüche)

  Denken Sie daran!

  Um einen Quotienten zu potenzieren, kannst du den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

  (a: b) n \u003d a n: b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.

  • Beispiel. Drücken Sie den Ausdruck als Teilpotenzen aus.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs gehen wir daher auf der nächsten Seite näher ein.

Bitte beachten Sie, dass sich dieser Abschnitt mit dem Konzept befasst Grad nur mit einem natürlichen Indikator und null.

Das Konzept und die Eigenschaften von Graden mit rationalen Exponenten (mit negativen und gebrochenen Exponenten) werden im Unterricht für die 8. Klasse besprochen.

Lassen Sie uns also herausfinden, was ein Grad einer Zahl ist. Um das Produkt einer Zahl allein zu schreiben, wird mehrfach die abgekürzte Schreibweise verwendet.

Anstatt sechs identische Faktoren 4 4 4 4 4 4 zu multiplizieren, schreiben sie 4 6 und sagen „vier hoch sechs“.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Der Ausdruck 4 6 wird Potenz einer Zahl genannt, wobei gilt:

• 4 — Basis des Abschlusses;
• 6 — Exponent.

Im Allgemeinen schreibt man den Grad mit der Basis „a“ und dem Exponenten „n“ mit dem Ausdruck:

Denken Sie daran!

Der Grad der Zahl "a" mit einem natürlichen Exponenten" n", größer als 1, ist das Produkt" n»Identische Faktoren, von denen jeder gleich der Zahl "a" ist.

Der Datensatz „ a n“ lautet wie folgt: „und hoch n“ oder „n-te Potenz der Zahl a“.

Ausnahmen sind die Einträge:

• a 2 - es kann als „ein Quadrat“ ausgesprochen werden;
• a 3 - es kann als "a in a cube" ausgesprochen werden.

• a 2 - "und bis zum zweiten Grad";
• a 3 - "a bis zum dritten Grad."

Sonderfälle treten auf, wenn der Exponent gleich Eins oder Null ist (n = 1; n = 0).

Denken Sie daran!

Der Grad der Zahl "a" mit dem Exponenten n \u003d 1 ist diese Zahl selbst:
ein 1 = ein

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.
eine 0 = 1

Null für jede natürliche Kraft ist gleich Null.
0 n = 0

Eins hoch beliebig ist gleich 1.
1n=1

Ausdruck 0 0 ( null zu null leistung) wird als bedeutungslos angesehen.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Beim Lösen von Beispielen müssen Sie daran denken, dass das Potenzieren als Finden eines numerischen oder wörtlichen Werts bezeichnet wird, nachdem Sie ihn potenziert haben.

Beispiel. Zur Macht erheben.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Exponentiation einer negativen Zahl

Die Basis der Potenz (die Zahl, die potenziert wird) kann eine beliebige Zahl sein – positiv, negativ oder null.

Denken Sie daran!

Das Potenzieren einer positiven Zahl ergibt eine positive Zahl.

Das Erhöhen von Null auf eine natürliche Potenz ergibt Null.

Beim Potenzieren einer negativen Zahl kann das Ergebnis entweder eine positive oder eine negative Zahl sein. Es hängt davon ab, ob der Exponent eine gerade oder eine ungerade Zahl war.

Betrachten Sie Beispiele für die Potenzierung negativer Zahlen.

Aus den betrachteten Beispielen ist ersichtlich, dass, wenn eine negative Zahl mit einer ungeraden Potenz potenziert wird, eine negative Zahl erhalten wird. Da das Produkt einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ ist.

Potenziert man eine negative Zahl mit einer geraden Potenz, so erhält man eine positive Zahl. Denn das Produkt einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist positiv.

Denken Sie daran!

Eine gerade Potenz einer negativen Zahl ist eine positive Zahl.

Eine negative Zahl, die mit einer ungeraden Potenz potenziert wird, ist eine negative Zahl.

Das Quadrat einer beliebigen Zahl ist eine positive Zahl oder Null, das heißt:

a 2 ≥ 0 für jedes a .

• 2 (−3) 2 = 2 (−3) (−3) = 2 9 = 18
• −5 (−2) 3 = −5 (−8) = 40

Beachten Sie!

Beim Lösen von Potenzierungsbeispielen werden oft Fehler gemacht und vergessen, dass die Einträge (−5) 4 und −5 4 unterschiedliche Ausdrücke sind. Die Ergebnisse der Potenzierung dieser Ausdrücke werden unterschiedlich sein.

Berechne (−5) 4 bedeutet, den Wert der vierten Potenz einer negativen Zahl zu finden.

(−5) 4 = (−5) (−5) (−5) (−5) = 625

Während das Finden von "-5 4" bedeutet, dass das Beispiel in zwei Schritten gelöst werden muss:

1. Erhebe die positive Zahl 5 in die vierte Potenz.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Setzen Sie ein Minuszeichen vor das erhaltene Ergebnis (dh führen Sie eine Subtraktionsaktion durch).
   −5 4 = −625

Beispiel. Berechnen Sie: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) (−1) (−1) (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Verfahren für Beispiele mit Abschlüssen

Die Berechnung eines Werts wird Potenzierungsvorgang genannt. Dies ist die Aktion der dritten Stufe.

Denken Sie daran!

In Ausdrücken mit Graden, die keine Klammern enthalten, führen Sie zuerst aus Potenzierung, dann Multiplikation und Division, und am Ende Addition und Subtraktion.

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, werden zuerst in der oben angegebenen Reihenfolge die Aktionen in den Klammern ausgeführt und dann die restlichen Aktionen in der gleichen Reihenfolge von links nach rechts.

Beispiel. Berechnung:

Um das Lösen von Beispielen zu erleichtern, ist es hilfreich, die Gradtabelle zu kennen und anzuwenden, die Sie kostenlos auf unserer Website herunterladen können.

Um Ihre Ergebnisse zu überprüfen, können Sie den Rechner auf unserer Website verwenden "

Unterrichtsthema: Potenzierung von Produkt, Quotient und Grad

Unterrichtstyp: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens

Gebildete Ergebnisse:

Thema. Festigung der Fähigkeiten zur Anwendung der Eigenschaften eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator

Persönlich. Die Fähigkeit zu bilden, ihre Handlungen in Übereinstimmung mit der Trainingsaufgabe zu planen

Metasubjekt. Sich entwickeln Verständnis der Essenz algebraischer Vorschriften und der Fähigkeit, in Übereinstimmung mit dem vorgeschlagenen Algorithmus zu handeln

Erwartete Ergebnisse: Die Schüler lernen, wie man die Eigenschaften eines Grades mit einem natürlichen Exponenten verwendet, um den Wert von Ausdrücken zu berechnen und Ausdrücke, die Grade enthalten, umzuwandeln.

Ausrüstung: Karten, Multimedia-Projektor, Signalkarten für Reflexion.

Organisationsstruktur des Unterrichts:

1 . Zeit organisieren.

Hallo liebe Jungs! Ich bin sehr froh, Sie zu sehen. Beginnen wir mit der Mathestunde

Was waren die Schwierigkeiten bei der Durchführung der d / s?

Betrachtung.

Vor jedem Schüler sind Kreise in drei Farben: rot, grün, blau.

Erzählen Sie mir von Ihrer Stimmung mit farbigen Kreisen (rot– fröhlich, ich bin mir sicher, dass ich im Unterricht viel Neues lernen werde, ich bin zuversichtlich in mein Wissen.

Grün -Ruhe; Ich vertraue auf mein Wissen.

Blau- Ängstlich; Ich bin mir nicht sicher).

Ich muntere Sie ein wenig mit Poissons Worten auf: "Das Leben schmückt sich mit zwei Dingen: Mathematik zu tun und sie zu lehren."

Lasst uns unser Leben schmücken!

2. Vermittlung von Thema und Zweck des Unterrichts.

Heute werden wir unser Studium des Themas fortsetzen: „Das Produkt eines Quotienten und eines Grads zu einer Potenz erheben“,

konsolidieren alle studierten Aktionen mit Abschlüssen,

Wir lernen zu argumentieren, logisch zu denken und unseren Standpunkt zu beweisen.

3. Blitzumfrage nach den Regeln des Themas.

Wie multipliziert man Exponenten mit gleicher Basis? Nenne Beispiele.

Wie dividiert man Grad mit gleicher Basis?

Welche Potenz hat eine Zahl a ungleich Null mit Exponent Null?

Wie kann man ein Produkt potenzieren?

Wie kann man einen Abschluss zu einem Abschluss machen?

4. Mündlicher Bericht.

Wem gehören diese Worte?

„Unter allen Wissenschaften, die dem Menschen den Weg zur Erkenntnis der Naturgesetze eröffnen, ist die Mathematik die mächtigste und größte Wissenschaft.“

/Sofja Wassiljewna Kowalewskaja/

Die erste Frau ist Mathematikerin.

Sie lernen, indem Sie die Aufgaben des mündlichen Zählens erledigen.

K - Welche Seite hat das Quadrat, wenn seine Fläche 49 cm beträgt? 2. (7 cm)

O - Das Quadrat welcher Zahl ist gleich? ()

B - x 3 x 4 (x 7)

A - x 6 : x 2 (x 4)

L - (x 3) 3 (x 9)

E-
(m 3 )

BEI -
(m 8 )

AUS -
(m 10 )

K - (- 2) 3 (-8)

A - - 2 2 (-4)

Ich - 2 0 (1)

5. Konsolidierung des Gelernten.

Wir wiederholten die Regeln, um ein Produkt zu potenzieren und eine Potenz zu potenzieren.

Lassen Sie es uns jetzt an praktischen Aufgaben festmachen.

Mehrere Leute werdenForschung. (Gleiten)

Partnerarbeit.

1) Beweisen Sie, dass die Quadrate von entgegengesetzten Zahlen gleich sind.

2) Beweisen Sie, dass die Würfel von entgegengesetzten Zahlen entgegengesetzt sind.

3) Wie ändert sich die Fläche eines Quadrats, wenn seine Seite verdoppelt wird? dreimal; 10 mal; n mal?

4) Wie ändert sich das Volumen des Würfels, wenn seine Kante verdoppelt wird; dreimal; 10 mal; n mal?

6. Reflexion: Zeig mir deine Stimmung.

7. Fizminutka: „Ich stimme zu – ich stimme nicht zu“

Nicken Sie mit dem Kopf, ob Sie mir zustimmen oder nicht.

1) (y 2) 3 \u003d y 5 (nein)

2) (-3) 3 = -27 (ja)

3) (-x) 2 \u003d -x 2 (nein)

4) Der Graph der Funktion y \u003d 1,3x geht durch den Ursprung. (Ja)

8.

3 · () 2 – 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; in 1 ; d) 1

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck:

a) m 10 ; b)m4; c) m2; d) m 8 .

3) Berechnen:

A) 3; b) 9; CD)

4) Welcher Ausdruck sollte anstelle von (*) ersetzt werden, um die Identität zu erhalten:

X8 : (*) = x 4

A) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12

Überprüfen des Slide-Tests:

9. Spielen wir "Finde den Fehler!"

1) eine 15 : eine 3 = eine 5

2) -z · z5 · z 0 =-z 6 - Rechts

3)
=

4) (y 4 y) 2 \u003d y 10 - wahr

Schreibe die falschen Aufgaben auf und löse sie richtig.

10. Das Ergebnis der Lektion.

Was hast du im Unterricht gelernt?

11. D / s

Nr. 458, 457 (Folie)

Berichte über S.V. Kowalewskaja.

12. Reflexion.

Zeigen Sie, wie Sie sich fühlen, wenn Sie die Klasse verlassen.

Folie: Viel Glück!

FI:

Selbstständige Arbeit. (Prüfung)

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

3 () 2 – 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; in 1 ; d) 1

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck:

a) m 10 ; b)m4; c) m2; d) m 8 .

3) Berechnen:

a) 3; b) 9; CD)

4) Welcher Ausdruck sollte anstelle von (*) ersetzt werden, um die Identität zu erhalten:

x 8 : (*) = x 4

a) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12

Klasse:

Selbstständige Arbeit. (Prüfung)

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

3 () 2 – 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; in 1 ; d) 1

2) Vereinfachen Sie den Ausdruck: