Mathematische Formeln 9. Die schönsten physikalischen und mathematischen Formeln

Mir schwirrt der Kopf von den vielen mathematischen Formeln, die Sie kennen müssen. Pauken und Krippen sind für die Schwachen. Aber für diejenigen, die in Mathematik stärker werden möchten, geben wir Ihnen einige Tipps, wie Sie sich mathematische Formeln merken können, damit sie nicht vor dem Test, der Prüfung oder dem CT aus dem Kopf verschwinden.

Verstehen Sie die Formel

Wenn Sie sich nur eine Folge von Variablen merken, laufen Sie Gefahr, die gesamte Formel zu „verlieren“, wenn Sie ein Symbol oder Zeichen vergessen.

Verwenden Sie alle Arten von Speicher

Lesen Sie die Formeln laut vor, schreiben Sie mehrmals auf das Blatt, bis Sie sich erinnern. Verwenden Sie alle Arten von Gedächtnis und konzentrieren Sie sich auf das Führende. Visuelles und motorisches Gedächtnis ergeben zusammen eine größere Wirkung. Natürlich ist das Erinnerungspotential bei jedem unterschiedlich. Dabei helfen spezielle Techniken .

Hier sind einige weitere Tipps, wie Sie sich Formeln merken können

Achten Sie darauf, die Formeln sichtbar zu machen: Kreisen Sie die Formel in einem Rahmen ein, schreiben Sie sie in einer anderen Farbe. So wird es einfacher sein, es in der Zusammenfassung zu finden und sich zu merken. Schreibe die Formeln noch besser in ein separates Notizbuch und strukturiere sie nach Themen. Markieren Sie, bei welchen Aufgaben diese oder jene Formel nützlich ist, was ihre Besonderheit ist. Gewöhnen Sie sich an, die Liste der Formeln zu ergänzen. Ein solches „Formel-Beobachtungstagebuch“ hilft Ihnen, wichtige Informationen vor einem Test, einer Klausur oder einem Mathe-CT aufzufrischen.

Das machen auch viele Schüler: Wenn gestempelte Entwürfe ausgeteilt werden, nimmst du wichtige Formeln, die dir schwer fallen, und schreibst sie sofort auf. Eine halbe Stunde vor dem CT haben Sie diese Formeln visuell auswendig gelernt und dann schnell aufgeschrieben. Das spart Zeit. Dieser Lifehack ist besonders gut in Trigonometrie. Je mehr Formeln Sie kennen, desto besser.

Überprüfen Sie sich

Sie müssen ständig zum gelernten Material zurückkehren, um es nicht zu vergessen. Probieren Sie die Methode "Zwei Karten" aus, sie eignet sich zum Auswendiglernen von Reduktionsformeln, abgekürzten Multiplikationen und trigonometrischen Formeln. Nehmen Sie zwei Kartenstapel in verschiedenen Farben, schreiben Sie auf einen die linke Seite der Formel und auf den anderen die rechte Seite. Teilen Sie auf diese Weise alle Formeln, die Sie sich merken müssen, und mischen Sie dann beide Stapel. Ziehen Sie die Karte mit der linken Seite der Formel in die richtige Reihenfolge und wählen Sie ihre Fortsetzung unter den „richtigen“ und umgekehrt.

Karten sind auch gut in Geometrie

Um geometrische Formeln auswendig zu lernen, besorgen Sie sich Karten zu Themen („Flächenformeln“, „Formeln für ein Dreieck“, „Formeln für ein Quadrat“ usw.) und schreiben Sie Informationen wie folgt hinein.

Die Formeln kannst du in einem separaten Notizbuch fixieren und hast es immer griffbereit – ganz wie du möchtest

Sei positiv

Lernt man unter Druck etwas, will das Gehirn selbst die Last des Wissens loswerden. Betrachten Sie das Auswendiglernen von Formeln als eine gute Gedächtnisübung. Ja, und die Stimmung steigt, wenn man sich an die richtige Formel zur Lösung erinnert.Und natürlich so viele Tests und Aufgaben wie möglich lösen, um sich auf einen Test, eine Prüfung oder ein CT vorzubereiten!

CTs in Mathematik sind typische Aufgaben: Je mehr Tests du löst, desto höher ist die Chance, etwas Ähnliches wie CTs zu treffen. Es ist unmöglich, sich auf die DT auf eine Aufgabe vorzubereiten. Aber wenn Sie 100 Probleme gelöst haben, dann werden 101 Probleme keine Schwierigkeiten verursachen.

Dmitry Sudnik, Mathematiklehrer in

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Der Mathematiker Henri Poincaré schrieb in seinem Buch „Science and Method“: „Wenn die Natur nicht schön wäre, wäre es nicht wert, sie zu kennen, das Leben wäre es nicht wert, erlebt zu werden. Ich spreche hier natürlich nicht von der Schönheit, die ins Auge fällt ... Ich meine jene tiefere Schönheit, die sich in der Harmonie der Teile öffnet, die nur vom Verstand erfasst wird. Sie schafft den Grund, schafft den Rahmen für das Spiel der sichtbaren Farben, die unsere Gefühle streicheln, und ohne diesen Halt wäre die Schönheit flüchtiger Eindrücke unvollkommen, wie alles Unbestimmte und Vergängliche. Im Gegenteil, intellektuelle Schönheit gibt an sich Befriedigung.

P.A.M. Dirac schrieb: "Die theoretische Physik hat einen anderen sicheren Weg der Entwicklung. Die Natur hat dieses grundlegende Merkmal, dass die grundlegendsten physikalischen Gesetze durch eine mathematische Theorie beschrieben werden, deren Apparat von außergewöhnlicher Kraft und Schönheit ist. Um diese Theorie zu verstehen, muss man sie haben eine ungewöhnlich hohe mathematische Qualifikation Sie mögen fragen: „Warum ist die Natur so angeordnet?“ Darauf kann es nur eine Antwort geben: Nach unserem heutigen Wissen ist die Natur so angeordnet und nicht anders.

Vor sieben Jahren fragte die ukrainische Physikerin (und Künstlerin) Natalia Kondratyeva einige der weltweit führenden Mathematiker: „Welche drei mathematischen Formeln sind Ihrer Meinung nach die schönsten?“
Sir Michael Atiyah und David Elvarsi aus Großbritannien, Yakov Sinai und Alexander Kirillov aus den USA, Friedrich Herzebruch und Yuri Manin aus Deutschland, David Ruel aus Frankreich, Anatoly Vershik und Robert Minlos aus Russland und andere Mathematiker aus verschiedenen Ländern. Unter den Ukrainern nahmen an der Diskussion die Akademiker der Nationalen Akademie der Wissenschaften Volodymyr Korolyuk und Anatoliy Skorokhod teil. Ein Teil der so gewonnenen Materialien bildete die Grundlage der von Natalya Kondratieva herausgegebenen wissenschaftlichen Arbeit „Die drei schönsten mathematischen Formeln“.
- Was war Ihr Ziel, als Sie Mathematiker nach schönen Formeln gefragt haben?
— Jedes neue Jahrhundert bringt eine Aktualisierung des wissenschaftlichen Paradigmas mit sich. Ganz am Anfang des Jahrhunderts, mit dem Gefühl, dass wir an der Schwelle einer neuen Wissenschaft, ihrer neuen Rolle im Leben der menschlichen Gesellschaft standen, wandte ich mich an Mathematiker mit einer Frage über die Schönheit der Ideen hinter mathematischen Symbolen, d.h. über die Schönheit mathematischer Formeln.
Einige Merkmale der neuen Wissenschaft lassen sich bereits feststellen. Wenn die „Freundschaft“ der Mathematik mit der Physik eine sehr wichtige Rolle in der Wissenschaft des zwanzigsten Jahrhunderts spielte, kooperiert die Mathematik jetzt effektiv mit Biologie, Genetik, Soziologie, Ökonomie ... Folglich wird die Wissenschaft Korrespondenzen untersuchen. Mathematische Strukturen werden die Korrespondenzen zwischen den Wechselwirkungen der Elemente verschiedener Bereiche und Pläne untersuchen. Und vieles, was wir bisher als philosophische Aussagen für selbstverständlich hielten, wird von der Wissenschaft als konkretes Wissen bestätigt.
Dieser Prozess begann bereits im 20. Jahrhundert. Kolmogorov hat also mathematisch gezeigt, dass es keine Zufälligkeit gibt, aber eine sehr große Komplexität. Die fraktale Geometrie bestätigte das Prinzip der Einheit in der Vielfalt und so weiter.
- Welche Formeln wurden als die schönsten bezeichnet?
- Ich muss gleich sagen, dass es kein Ziel war, einen Wettbewerb für Formeln zu veranstalten. In meinem Brief an die Mathematiker schrieb ich: „Menschen, die verstehen wollen, welche Gesetze die Welt regieren, gehen den Weg, die Harmonie der Welt zu finden. Dieser Weg geht ins Unendliche (denn die Bewegung ist ewig), aber die Menschen folgen ihm trotzdem, weil. Es ist eine besondere Freude, eine andere Idee oder Idee zu treffen. Aus den Antworten auf die Frage nach schönen Formeln lässt sich vielleicht eine neue Facette der Schönheit der Welt synthetisieren. Darüber hinaus kann diese Arbeit für zukünftige Wissenschaftler als eine Vorstellung von der großen Harmonie der Welt und der Mathematik als Weg, diese Schönheit zu finden, nützlich sein.
Dennoch gab es unter den Formeln klare Favoriten: die Pythagoräische Formel und die Euler-Formel.
Ihnen folgten eher physikalische als mathematische Formeln, die im 20. Jahrhundert unser Weltbild veränderten – Maxwell, Schrödinger, Einstein.
Zu den schönsten gehören auch Formeln, die noch diskutiert werden, wie zum Beispiel die Gleichungen des physikalischen Vakuums. Andere schöne mathematische Formeln wurden ebenfalls erwähnt.
- Warum, glauben Sie, wurde die pythagoreische Formel um die Wende vom zweiten zum dritten Jahrtausend als eine der schönsten bezeichnet?
- Zur Zeit des Pythagoras wurde diese Formel als Ausdruck des Prinzips der kosmischen Evolution wahrgenommen: Zwei entgegengesetzte Prinzipien (zwei sich orthogonal berührende Quadrate) ergeben ein drittes, das ihrer Summe entspricht. Es sind geometrisch sehr schöne Interpretationen möglich.
Vielleicht gibt es eine Art unbewusste, genetische Erinnerung an jene Zeiten, als der Begriff „Mathematik“ „Wissenschaft“ bedeutete und Arithmetik, Malerei, Musik und Philosophie in Synthese studiert wurden.
Raphael Khasminsky schrieb in seinem Brief, dass er in der Schule von der Schönheit der pythagoreischen Formel beeindruckt war, die sein Schicksal als Mathematiker weitgehend bestimmte.
Was können Sie über Eulers Formel sagen?
- Einige Mathematiker achteten darauf, dass sich darin „alle versammelten“, d.h. all die wunderbarsten mathematischen Zahlen, und die Einheit ist voller Unendlichkeit! Das hat eine tiefe philosophische Bedeutung.
Kein Wunder, dass Euler diese Formel entdeckte. Der große Mathematiker hat viel getan, um Schönheit in die Wissenschaft einzuführen, er führte sogar das Konzept des „Schönheitsgrades“ in die Mathematik ein. Vielmehr führte er dieses Konzept in die Musiktheorie ein, die er als Teil der Mathematik betrachtete.
Euler glaubte, dass der ästhetische Sinn entwickelt werden kann und dass dieser Sinn für den Wissenschaftler notwendig ist.
Ich verweise auf die Autoritäten ... Grothendieck: "Das Verständnis für dieses oder jenes Ding in der Mathematik ist so perfekt, wie es möglich ist, seine Schönheit zu fühlen."
Poincaré: „In der Mathematik steckt ein Gefühl.“ Er verglich das ästhetische Gefühl in der Mathematik mit einem Filter, der aus einer Vielzahl von Lösungen die harmonischste Lösung auswählt, die in der Regel die richtige ist. Schönheit und Harmonie sind Synonyme, und die höchste Manifestation von Harmonie ist das Weltgesetz des Gleichgewichts. Die Mathematik erforscht dieses Gesetz auf verschiedenen Ebenen des Seins und in verschiedenen Aspekten. Kein Wunder, dass jede mathematische Formel ein Gleichheitszeichen enthält.
Ich denke, dass die höchste menschliche Harmonie die Harmonie von Denken und Fühlen ist. Vielleicht sagte Einstein deshalb, der Schriftsteller Dostojewski habe ihm mehr gegeben als der Mathematiker Gauß.
Ich habe Dostojewskis Formel „Schönheit wird die Welt retten“ als Epigraph zu der Arbeit über die Schönheit in der Mathematik genommen. Und es wurde auch von Mathematikern diskutiert.
Und sie stimmten dieser Aussage zu?
— Mathematiker haben diese Behauptung weder bestätigt noch widerlegt. Sie stellten es klar: "Das Bewusstsein für Schönheit wird die Welt retten." Dies erinnerte sofort an die Arbeit von Eugene Wigner über die Rolle des Bewusstseins bei Quantenmessungen, die er vor fast fünfzig Jahren geschrieben hatte. Wigner zeigte in dieser Arbeit, dass das menschliche Bewusstsein die Umwelt beeinflusst, d.h. dass wir nicht nur Informationen von außen erhalten, sondern auch unsere Gedanken und Gefühle als Antwort senden. Diese Arbeit ist immer noch relevant und hat sowohl ihre Befürworter als auch ihre Gegner. Ich hoffe sehr, dass die Wissenschaft im 21. Jahrhundert beweisen wird, dass das Bewusstsein für Schönheit zur Harmonisierung unserer Welt beiträgt.

1. Euler-Formel. Viele sahen in dieser Formel ein Symbol für die Einheit aller Mathematik, denn darin steht "-1 für Arithmetik, i - Algebra, π - Geometrie und e - Analysis".

2. Diese einfache Gleichung zeigt, dass der Wert von 0,999 (und so weiter bis ins Unendliche) äquivalent zu Eins ist. Viele Menschen glauben nicht, dass dies wahr sein kann, obwohl es mehrere Beweise gibt, die auf der Theorie der Grenzen basieren. Gleichheit zeigt jedoch das Prinzip der Unendlichkeit.


3. Diese Gleichung wurde 1915 von Einstein als Teil der bahnbrechenden Allgemeinen Relativitätstheorie formuliert. Die rechte Seite dieser Gleichung beschreibt die in unserem Universum enthaltene Energie (einschließlich „dunkler Energie“). Die linke Seite beschreibt die Raum-Zeit-Geometrie. Die Gleichheit spiegelt die Tatsache wider, dass in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie Masse und Energie die Geometrie bestimmen und gleichzeitig die Krümmung, die eine Manifestation der Schwerkraft ist. Einstein sagte, dass die linke Seite der Gravitationsgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie, die das Gravitationsfeld enthält, schön und wie aus Marmor gemeißelt ist, während die rechte Seite der Gleichungen, die die Materie beschreibt, immer noch hässlich ist, als wäre sie aus Marmor ein gewöhnliches Stück Holz.


4. Eine andere dominante Theorie der Physik – das Standardmodell – beschreibt die elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung aller Elementarteilchen. Einige Physiker glauben, dass es alle Prozesse widerspiegelt, die im Universum stattfinden, mit Ausnahme von dunkler Materie und dunkler Energie, und schließt die Schwerkraft nicht ein. Das bis letztes Jahr schwer fassbare Higgs-Boson passt ebenfalls in das Standardmodell, obwohl sich nicht alle Experten seiner Existenz sicher sind.


5. Der Satz des Pythagoras ist einer der grundlegenden Sätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks festlegt. Wir erinnern uns an sie aus der Schule und glauben, dass der Autor des Theorems Pythagoras ist. Tatsächlich wurde diese Formel im alten Ägypten beim Bau der Pyramiden verwendet.


6. Satz von Euler. Dieser Satz legte den Grundstein für einen neuen Zweig der Mathematik - die Topologie. Die Gleichung stellt eine Beziehung zwischen der Anzahl von Scheitelpunkten, Kanten und Flächen für Polyeder her, die topologisch äquivalent zu einer Kugel sind.


7. Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt Bewegung, die Gesetze der Mechanik und Raum-Zeit-Beziehungen bei beliebigen Bewegungsgeschwindigkeiten, die kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, einschließlich solcher nahe der Lichtgeschwindigkeit. Einstein hat eine Formel entwickelt, die beschreibt, dass Zeit und Raum keine absoluten Konzepte sind, sondern abhängig von der Geschwindigkeit des Beobachters relativ sind. Die Gleichung zeigt, wie sich die Zeit ausdehnt oder verlangsamt, je nachdem, wie und wohin sich eine Person bewegt.


8. Die Gleichung wurde in den 1750er Jahren von Euler und Lagrange bei der Lösung des Isochronenproblems erhalten. Dies ist das Problem, die Kurve zu bestimmen, die ein schweres Teilchen zu einem festen Punkt in einer festen Zeit nimmt, unabhängig vom Startpunkt. Wenn Ihr System Symmetrie hat, gibt es im Allgemeinen ein entsprechendes Symmetrieerhaltungsgesetz.


9. Die Callan-Symanzika-Gleichung. Es handelt sich um eine Differentialgleichung, die die Entwicklung der n-Korrelationsfunktion bei einer Änderung der Energieskala beschreibt, auf der die Theorie definiert ist, und die Beta-Funktionen der Theorie und anomale Dimensionen enthält. Diese Gleichung half, die Quantenphysik besser zu verstehen.


10. Gleichung der minimalen Oberfläche. Diese Gleichheit erklärt die Bildung von Seifenblasen.


11. Eulersche Gerade. Der Satz von Euler wurde 1765 bewiesen. Er entdeckte, dass die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks und die Basen seiner Höhen auf demselben Kreis liegen.


12. 1928 P.A.M. Dirac schlug seine eigene Version der Schrödinger-Gleichung vor - die der Theorie von A. Einstein entsprach. Die wissenschaftliche Welt war schockiert – Dirac entdeckte seine Gleichung für das Elektron durch rein mathematische Manipulationen mit höheren mathematischen Objekten, die als Spinoren bekannt sind. Und es war eine Sensation – bisher mussten alle großen Entdeckungen der Physik auf einer soliden Basis experimenteller Daten stehen. Aber Dirac glaubte, dass reine Mathematik, wenn schön genug, ein zuverlässiges Kriterium für die Richtigkeit von Schlussfolgerungen ist. „Die Schönheit der Gleichungen ist wichtiger als ihre Übereinstimmung mit experimentellen Daten. … Es scheint, dass Sie, wenn Sie danach streben, Schönheit in die Gleichungen zu bringen, und eine gesunde Intuition haben, dann sind Sie auf dem richtigen Weg.“ Dank seiner Berechnungen wurde das Positron - das Antielektron - entdeckt, und er sagte das Vorhandensein eines "Spins" im Elektron voraus - die Rotation eines Elementarteilchens.


13. J. Maxwell erhielt erstaunliche Gleichungen, die alle Phänomene der Elektrizität, des Magnetismus und der Optik kombinierten. Der bemerkenswerte deutsche Physiker, einer der Begründer der statistischen Physik, Ludwig Boltzmann, sagte über Maxwells Gleichungen: "Hat Gott diese Buchstaben nicht gezeichnet?"


14. Schrödinger-Gleichung: Eine Gleichung, die die räumliche und zeitliche Änderung eines durch die Wellenfunktion gegebenen reinen Zustands in Hamiltonschen Quantensystemen beschreibt. Sie spielt in der Quantenmechanik die gleiche wichtige Rolle wie die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes in der klassischen Mechanik.

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Additionstabelle von 1 bis 10. Additionstabelle bis 20. Additionstabelle innerhalb von 10.

Subtraktionstabelle von 1 bis 10. Subtraktionstabelle bis 20. Subtraktionstabelle bis zehn.

Längeneinheiten (Maße) cm-dm-m, Flächeneinheiten cm 2 -dm 2. Ungefähr 3. Klasse (8-9 Jahre alt).

Aktien und Bruchteile. Rechenoperationen mit Brüchen. Fraktionsreduktion. Multiplikation und Division eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl. Multiplikation und Division von Brüchen. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Das Verhältnis zwischen Mengen: Geschwindigkeit-Zeit-Entfernung, Preis-Menge-Kosten, Arbeit-Produktivität-Zeit. Längenmaße. Bereich Maßnahmen. Volumenmaße. Massenmaßnahmen. Ungefähr 5. Klasse (9-10 Jahre alt)

Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner kürzen. Ungefähr 6. Klasse (11-12 Jahre alt)

Multiplikation von Brüchen und gemischten Zahlen. Division von Brüchen und gemischten Zahlen. Ungefähr 6. Klasse (11-12 Jahre alt)

Grundlegende Brüche und Prozentsätze. Bruch / Dezimal / Prozent. Gut zu merken. Ungefähr 6. Klasse (11-12 Jahre alt)

Nummer Lücken. Lücken auf der Zahlen- (Koordinaten-) Linie. Geometrisches Bild. Bezeichnung. Schreiben mit Ungleichungen. Ungefähr 6. Klasse (11-12 Jahre alt).

Gesetze der Addition und Multiplikation. Kommutative, assoziative und distributive Gesetze. Sie sind: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze. Ungefähr 5. Klasse (10-11 Jahre alt)

Natürliches N, ganze Zahl Z, rationales Q, reelles R, irrationales I. Arithmetische Operationen mit Brüchen (Addition, Reduktion, Subtraktion, Multiplikation). Der absolute Wert einer Zahl. Moduleigenschaften.

Die Menge der natürlichen Zahlen - N, die Menge der ganzen Zahlen Z, die Menge der rationalen Zahlen Q, die Menge der irrationalen Zahlen, die Menge der reellen = reellen Zahlen R. Konzepte und Notation, Russisch und Englisch = internationale Ansätze. Notation

Arten und Arten von Ecken. Spitzer, stumpfer, entwickelter Winkel. vertikale Ecken. angrenzende Ecken. Ungefähr 5-9 Klasse (10-14 Jahre alt)

Transformationen formen. Parallele Übertragung. Drehen. Symmetrietransformationen in Bezug auf einen Punkt und eine Linie. Homothetie. Ähnlichkeit. Ungefähr 5-9 Klasse (10-14 Jahre alt)

Teilbarkeit von Zahlen. Mehrere. Teiler. NOK. GCD. Einfache Zahlen. Zusammengesetzte Zahlen. Koprime-Zahlen. Teilbarkeitszeichen.

Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ohne Rest. + Zeichen der Teilbarkeit durch 11,13,25,36.

Zahlenfolgen, Glieder, Einstellungsmöglichkeiten. Arithmetische und geometrische Progressionen. Formeln für Differenz und Nenner, Formeln für den n-ten Term. Formeln für die Summe der ersten n Terme. Charakteristische Eigenschaften.

Der absolute Wert einer Zahl. Proportionen. Moduleigenschaften. Anteil Eigenschaften. Ungefähr 7. Klasse (13 Jahre alt)

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) und des größten gemeinsamen Teilers (ggT) natürlicher Zahlen. Ungefähr 6. Klasse (11-12 Jahre alt)

Geometrische Orte von Punkten. Das Konzept des Ortes der Punkte. Beispiele für Ebenen: Kreis, Mittelsenkrechte, Geraden, Winkelhalbierende, Bögen. Ungefähr 5-9 Klasse (10-14 Jahre alt)

Gerade Linien und Ecken. Linieneigenschaften. Gegenseitige Anordnung von Geraden in einer Ebene. Axiom der Parallelität und Eigenschaften paralleler Linien. Senkrecht und schräg. Winkelarten, Winkeleigenschaften, Zeichen der Parallelität von Geraden, Satz von Thales.

Kreiseigenschaften. Linien, Segmente und Winkel, die einem Kreis zugeordnet sind. Gegenseitige Anordnung eines Kreises und einer Geraden, eines Kreises und eines Punktes, zweier Kreise. Eigenschaften von Winkeln, die einem Kreis zugeordnet sind. Metrische Verhältnisse in einem Kreis

Eingeschriebene und umschriebene Kreise. Beschrieben und eingeschrieben in einem Dreieck, einem Viereck, einer Raute, einem Rechteck, einem Quadrat, einem Trapez und einem regelmäßigen Polygon eines Kreises.

Das Konzept einer Funktion. Grundlegende Eigenschaften von Funktionen. Definitionsbereich und Bedeutung. Geraden und ungeraden. Periodizität, Funktionsnullstellen, Intervalle mit konstantem Vorzeichen, Monotonie (Anstieg, Abfall), Extrema (Maxima, Minima), Asymptoten

Potenzfunktionen y=x n und y=x 1/n , n∈Z. Eigenschaften, Grafiken. Quadratische Funktion. Grad Eigenschaften. Eigenschaften arithmetischer Wurzeln. Abgekürzte Multiplikationsformeln. Beispiele für die Bedeutung von Potenzfunktionen.

Graphen der einfachsten Funktionen - linear, Parabeln, Hyperbeln, Exponenten, Exponential, Exponential, Logarithmus, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens, die in der Schule studiert wurden Referenztabelle. Ungefähr 7-9 Klasse (13-15 Jahre alt)

Quadratische Funktion. Definitionsbereich / Werte. Der obere Teil des Graphen der Funktion. Nullen. Grad Eigenschaften. Heilige Insel der arithmetischen Wurzeln. Abgekürzte Multiplikationsformeln.

Ungleichungen, Konzepte, streng, nicht streng, Lösung. Eigenschaften von Ungleichungen. Lösung linearer Ungleichungen. Lösung quadratischer Ungleichungen. Die Intervallmethode zum Lösen von Ungleichungen.

Quadratische Gleichungen und Ungleichungen. Algorithmen zum Lösen quadratischer Gleichungen und Ungleichungen. Formeln der Diskriminante und Wurzeln der quadratischen Gleichung. Satz von Vieta. Ungefähr 7. Klasse (13 Jahre alt)

Eigenschaften von Vierecken. Arten von Vierecken. Eigenschaften beliebiger Vierecke. Parallelogrammeigenschaften. Rhombus-Eigenschaften. Rechteckeigenschaften. Quadratische Eigenschaften. trapezförmige Eigenschaften. Ungefähr 7-9 Klasse (13-15 Jahre alt)

Oberfläche und Volumen geometrischer Körper. gerade Prismen. Richtige Pyramiden. kreisförmige Zylinder. kreisförmige Kegel. Ball und seine Teile. Ungefähr 8. Klasse (14 Jahre alt)

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Differenz von Quadraten, Summe von Kubikzahlen und Differenz von Kubikzahlen und Differenz von vierten Potenzen. Das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz und die dritte Potenz der Summe und die dritte Potenz der Differenz.

Lösung von Exponentialgleichungen. Lösung logarithmischer Gleichungen. Beispiele für Werte von Logarithmus- und Exponentialfunktionen.

Lösung exponentieller Ungleichungen. Lösung logarithmischer Ungleichungen. Lösung irrationaler Ungleichungen. Lösung von Ungleichungen mit Modul. Häufig verwendete Ungleichungen.

Trigonometrische Funktionen Tangens und Kotangens tg und ctg. Eigenschaften. Grundformeln, Formeln für mehrfache und halbe Argumente, Addition, Umrechnung einer Summe in ein Produkt, Umrechnung eines Produkts in eine Summe

Inverse trigonometrische Funktionen arcsix, arccos, arctg, arcctg. Eigenschaften. Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Beispiele für Werte inverser trigonometrischer Funktionen

trigonometrische Formeln. Eigenschaften von Funktionen, Grundidentitäten, Winkelsummen. Funktionssummen, Reduktionsformeln, Sonderfälle, Grade, halbe, doppelte und dreifache Winkel. Umkehrfunktionen.

Ableitung der Funktion. Das Konzept eines Derivats. Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Abgrenzungsregeln. Ableitung einer komplexen Funktion. Eine hinreichende Bedingung für die Monotonie einer Funktion. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum.

Integration von Funktionen. Das Konzept und die Haupteigenschaft der Stammfunktion. Unbestimmtes Integral. Integrationsregeln. Bestimmtes Integral. Newton-Leibniz-Formel. Eigenschaften geometrische und physikalische Bedeutung des bestimmten Integrals

Bildung ist das, was bleibt, nachdem alles, was in der Schule gelehrt wurde, vergessen ist.

Igor Khmelinsky, ein Wissenschaftler aus Nowosibirsk, der jetzt in Portugal arbeitet, beweist, dass die Entwicklung des abstrakten Gedächtnisses bei Kindern ohne direktes Auswendiglernen von Texten und Formeln schwierig ist. Hier sind Auszüge aus seinem ArtikelLehren aus Bildungsreformen in Europa und den Ländern der ehemaligen UdSSR"

Auswendiglernen und Langzeitgedächtnis

Die Unkenntnis des Einmaleins hat schwerwiegendere Folgen als die Unfähigkeit, Fehler in Berechnungen auf einem Taschenrechner zu erkennen. Unser Langzeitgedächtnis funktioniert nach dem Prinzip einer assoziativen Datenbank, das heißt, einige Informationselemente werden, wenn sie gespeichert werden, mit anderen verknüpft, basierend auf den Assoziationen, die zum Zeitpunkt der Bekanntschaft mit ihnen hergestellt wurden. Um eine Wissensbasis in einem beliebigen Fachgebiet zu bilden, beispielsweise in Arithmetik, müssen Sie daher zunächst mindestens etwas auswendig lernen. Außerdem gelangen neu eintreffende Informationen vom Kurzzeitgedächtnis ins Langzeitgedächtnis, wenn wir ihnen innerhalb kurzer Zeit (mehrere Tage) viele Male und vorzugsweise unter verschiedenen Umständen begegnen (was zur Bildung nützlicher Assoziationen beiträgt ). Mangels arithmetischem Wissen im bleibenden Gedächtnis werden neu hinzukommende Informationselemente jedoch mit Elementen assoziiert, die nichts mit Rechnen zu tun haben – zum Beispiel die Persönlichkeit des Lehrers, das Wetter auf der Straße usw. Offensichtlich wird ein solches Auswendiglernen dem Schüler keinen wirklichen Nutzen bringen - da Assoziationen von diesem Fachgebiet wegführen, wird sich der Schüler kein Wissen in Bezug auf Arithmetik merken können, außer an vage Vorstellungen, dass er einmal etwas darüber zu haben scheint . hätte hören sollen. Die Rolle fehlender Assoziationen spielen bei solchen Schülern meist verschiedene Arten von Hinweisen – von einem Kollegen kopieren, Leitfragen in der Steuerung selbst verwenden, Formeln aus der Liste der Formeln, die verwendet werden dürfen, etc. Im wirklichen Leben erweist sich eine solche Person ohne Aufforderung als völlig hilflos und unfähig, das Wissen, das sie in ihrem Kopf hat, anzuwenden.

Die Bildung eines mathematischen Apparats, in dem Formeln nicht auswendig gelernt werden, ist langsamer als sonst. Wieso den? Erstens verwenden neue Eigenschaften, Theoreme und Beziehungen zwischen mathematischen Objekten fast immer einige Merkmale zuvor untersuchter Formeln und Konzepte. Es wird schwieriger, die Aufmerksamkeit des Schülers auf neues Material zu lenken, wenn diese Merkmale nicht in kurzer Zeit aus dem Gedächtnis abgerufen werden können. Zweitens behindert die Unkenntnis der Formeln auswendig die Suche nach Lösungen für sinnvolle Probleme mit einer Vielzahl kleiner Operationen, bei denen es nicht nur erforderlich ist, bestimmte Transformationen durchzuführen, sondern auch die Reihenfolge dieser Schritte zu identifizieren und die Anwendung zu analysieren von mehreren Formeln zwei oder drei Schritte voraus.

Die Praxis zeigt, dass die intellektuelle und mathematische Entwicklung des Kindes, die Bildung seiner Wissensbasis und seiner Fähigkeiten viel schneller abläuft, wenn die meisten verwendeten Informationen (Eigenschaften und Formeln) im Kopf sind. Und je stärker und länger es dort gehalten wird, desto besser.

Diese Seite enthält alle Formeln, die für das Bestehen der Kontrolle und der unabhängigen Arbeit, Prüfungen in Algebra, Geometrie, Trigonometrie, Stereometrie und anderen Bereichen der Mathematik erforderlich sind.

Hier können Sie alle grundlegenden trigonometrischen Formeln, die Kreisflächenformel, abgekürzte Multiplikationsformeln, die Umfangsformel, Reduktionsformeln und viele andere herunterladen oder online ansehen.

Sie können auch die erforderlichen Sammlungen mathematischer Formeln ausdrucken.

Erfolg im Studium!

Arithmetische Formeln:

Algebraformeln:

Geometrische Formeln:

Arithmetische Formeln:

Gesetze der Zahlenoperationen

Kommutatives Additionsgesetz: a + b = b + a.

Assoziatives Additionsgesetz: (a + b) + c = a + (b + c).

Kommutativgesetz der Multiplikation: ab=ba.

Assoziatives Gesetz der Multiplikation: (ab)c = a(bc).

Das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: (a + b)c = ac + bc.

Das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: (a - b) c \u003d ac - bc.

Einige mathematische Notationen und Abkürzungen:

Zeichen der Teilbarkeit

Zeichen der Teilbarkeit durch "2"

Eine Zahl, die ohne Rest durch 2 teilbar ist, wird genannt eben, nicht teilbar - seltsam. Eine Zahl ist ohne Rest durch „2“ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade (2, 4, 6, 8) oder null ist

Zeichen der Teilbarkeit durch "4"

Eine Zahl ist ohne Rest durch „4“ teilbar, wenn die letzten beiden ihrer Ziffern Nullen sind oder in der Summe eine durch „4“ ohne Rest teilbare Zahl bilden

Zeichen der Teilbarkeit durch "8"

Eine Zahl ist ohne Rest durch "8" teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern Null sind oder in der Summe eine Zahl bilden, die ohne Rest durch "8" teilbar ist. (Beispiel: 1000 - die letzten drei Ziffern sind "00", und die Division von 1000 durch 8 ergibt 125; 104 - die letzten beiden Ziffern von "12" werden durch 4 geteilt, und wenn 112 durch 4 geteilt wird, erhält man 28; usw.)

Zeichen der Teilbarkeit durch "3" und "9"

Ohne Rest sind nur solche Zahlen durch „3“ teilbar, bei denen die Quersumme ohne Rest durch „3“ teilbar ist; durch "9" - nur solche, bei denen die Quersumme ohne Rest durch "9" teilbar ist

Zeichen der Teilbarkeit durch "5"

Zahlen werden ohne Rest durch „5“ geteilt, deren letzte Ziffer „0“ oder „5“ ist

Zeichen der Teilbarkeit durch "25"

Ohne Rest werden Zahlen durch „25“ geteilt, deren letzte beiden Stellen Nullen sind oder in der Summe eine Zahl bilden, die ohne Rest durch „25“ teilbar ist (also Zahlen, die auf „00“, „25“, "50", "75 »

Zeichen der Teilbarkeit durch „10“, „100“ und „1.000“

Ohne Rest sind nur die Zahlen, deren letzte Ziffer Null ist, durch „10“ teilbar, nur die Zahlen, deren letzte zwei Ziffern Nullen sind, werden durch „100“ geteilt, nur die Zahlen, deren letzte drei Ziffern Nullen sind, werden durch „1000“ geteilt

Zeichen der Teilbarkeit durch "11"

Ohne Rest sind nur solche Zahlen durch „11“ teilbar, bei denen die Summe der Ziffern an den ungeraden Stellen entweder gleich der Summe der Ziffern an den geraden Stellen ist oder sich von dieser um eine durch „11“ teilbare Zahl unterscheidet.

Absolutwert - Formeln (Modul)

|a| ? 0, und |a| = 0 nur wenn a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, was ist mit b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Formeln Aktionen mit Brüchen

Die Formel zur Umwandlung eines endlichen Dezimalbruchs in einen rationalen Bruch:

Proportionen

Es bilden sich zwei gleiche Verhältnisse Anteil:

Grundeigenschaft der Proportionen

Finden Sie die Bedingungen des Anteils

Proportionen, Äquivalent Proportionen : Derivat Anteil- eine Folge davon Proportionen als

Durchschnittliche Werte

Arithmetische Mittel

Zwei Größen: n Werte:

Geometrisches Mittel (proportionales Mittel)

Zwei Größen: n Werte:

Effektivwert

Zwei Größen: n Werte:

harmonische Mittel

Zwei Größen: n Werte:

Einige endliche Zahlenreihen

Eigenschaften numerischer Ungleichungen

1) Wenn a< b , dann für alle c: a+c< b + с .

2) Wenn a< b und c > 0, dann wie< bс .

3) Wenn a< b und c< 0 , dann ac > bc.

4) Wenn a< b , a und b dann ein zeichen 1/a > 1/b.

5) Wenn a< b und c< d , dann a+c< b + d , Anzeige< b — c .

6) Wenn a< b , c< d , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, dann ac< bd .

7) Wenn a< b , a > 0, b > 0, dann

8) Wenn, dann

• Progressionsformeln:

• 

• Derivat

• Logarithmen:
• Koordinaten und Vektoren

  1. Der Abstand zwischen den Punkten A1(x1;y1) und A2(x2;y2) wird durch die Formel ermittelt:

  2. Die Koordinaten (x;y) der Mitte des Segments mit den Enden A1(x1;y1) und A2(x2;y2) werden durch die Formeln gefunden:

  

  3. Die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung und einer anfänglichen Ordinate hat die Form:

  Der Winkelkoeffizient k ist der Wert der Tangente des Winkels, der durch die gerade Linie mit der positiven Richtung der Ox-Achse gebildet wird, und die anfängliche Ordinate q ist der Wert der Ordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Oy-Achse .

  4. Die allgemeine Geradengleichung hat die Form: ax + by + c = 0.

  5. Gleichungen von Geraden parallel zu den Achsen Oy bzw. Ox haben die Form:

  Ax + by + c = 0.

  6. Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit der Linien y1=kx1+q1 bzw. y2=kx2+q2 haben die Form:

  

  7. Kreisgleichungen mit Radius R bzw. mit Mittelpunkt in den Punkten O(0;0) und C(xo;yo) haben die Form:

  8. Gleichung:

  ist die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt an einem Punkt, dessen Abszisse

• Rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem im Raum

  1. Der Abstand zwischen den Punkten A1(x1;y1;z1) und A2(x2;y2;z2) wird durch die Formel ermittelt:

  2. Die Koordinaten (x;y;z) der Mitte des Segments mit den Enden A1(x1;y1;z1) und A2(x2;y2;z2) werden durch die Formeln gefunden:

  3. Der Betrag eines Vektors, der durch seine Koordinaten gegeben ist, wird durch die Formel gefunden:

  

  4. Wenn Vektoren addiert werden, werden ihre entsprechenden Koordinaten addiert, und wenn ein Vektor mit einer Zahl multipliziert wird, werden alle seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert, d.h. Formeln gelten:

  5. Der mit dem Vektor gleichgerichtete Einheitsvektor wird durch die Formel gefunden:

  6. Das Skalarprodukt von Vektoren ist eine Zahl:

  

  wo ist der Winkel zwischen den Vektoren.

  7. Skalarprodukt von Vektoren

  

  8. Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren und wird durch die Formel gefunden:

  9. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren und hat die Form:

  10. Die allgemeine Gleichung der Ebene senkrecht zum Vektor hat die Form:

  Ax + by + cz + d = 0.

  11. Die Gleichung der Ebene, die senkrecht zum Vektor steht und durch den Punkt (xo; yo; zo) geht, hat die Form:

  A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

  12. Die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt O(0;0;0) wird geschrieben als