Methoden zur Lösung von Schicksalen höherer Ordnung. Allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n. Lineare homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten

Theorie der Informatik inhomogene Differentialgleichungen(DU) werden wir in dieser Veröffentlichung nicht geben, aus den vorherigen Lektionen finden Sie genügend Informationen, um die Antwort auf die Frage zu finden "Wie löst man eine inhomogene Differentialgleichung?" Der Grad des inhomogenen DE spielt hier keine große Rolle, es gibt nicht so viele Möglichkeiten, die Lösung eines solchen DE zu berechnen. Um Ihnen das Lesen der Antworten in den Beispielen zu erleichtern, liegt der Schwerpunkt nur auf der Rechentechnik und Hinweisen, die die Herleitung der endgültigen Funktion erleichtern.

Beispiel 1 Differentialgleichung lösen
Lösung: Gegeben homogene Differentialgleichung dritter Ordnung, außerdem enthält es nur die zweite und dritte Ableitung und hat keine Funktion und seine erste Ableitung. In solchen Fällen Verwenden Sie die Reduktionsmethode Differentialgleichung. Dazu wird ein Parameter eingeführt – wir bezeichnen die zweite Ableitung durch den Parameter p

dann ist die dritte Ableitung der Funktion

Das ursprüngliche homogene DE wird zur Form vereinfacht

Wir schreiben es dann in Differentialen auf eine separierte Variablengleichung reduzieren und finde die Lösung durch Integrieren

Denken Sie daran, dass der Parameter die zweite Ableitung der Funktion ist

Um die Formel der Funktion selbst zu finden, integrieren wir daher die gefundene differentielle Abhängigkeit zweimal

In der Funktion sind die alten Werte C 1 , C 2 , C 3 gleich willkürlichen Werten.
So sieht die Schaltung aus finden Sie die allgemeine Lösung einer homogenen Differentialgleichung durch Einführung eines Parameters. Schwieriger sind die folgenden Aufgaben, bei denen Sie lernen, wie man inhomogene Differentialgleichungen dritter Ordnung löst. Es gibt einen gewissen Unterschied zwischen homogenem und nicht homogenem DE in Bezug auf Berechnungen, das werden Sie jetzt sehen.

Beispiel 2 Finden
Lösung: Wir haben die dritte Bestellung. Daher sollte seine Lösung in Form der Summe von zwei gesucht werden - Lösungen der homogenen und partikulären Lösungen der inhomogenen Gleichung

Lassen Sie uns zuerst entscheiden

Wie Sie sehen können, enthält es nur die zweite und dritte Ableitung der Funktion und nicht die Funktion selbst. Diese Art diff. Gleichungen werden durch die Methode der Einführung eines Parameters gelöst, der in wiederum reduziert und vereinfacht das Auffinden der Lösung der Gleichung. In der Praxis sieht das so aus: Sei die zweite Ableitung gleich einer bestimmten Funktion, dann hat die dritte Ableitung formal die Notation

Das betrachtete homogene DE 3. Ordnung wird in die Gleichung 1. Ordnung transformiert

woraus wir durch Dividieren der Variablen das Integral finden
x*dp-p*dx=0;

Wir empfehlen, diejenigen zu nummerieren, die in solche Probleme geraten sind, da die Lösung einer Differentialgleichung 3. Ordnung 3 Konstanten hat, die vierte - 4 und weiter analog. Jetzt kehren wir zum eingeführten Parameter zurück: Da die zweite Ableitung die Form hat, haben wir nach Integration eine Abhängigkeit für die Ableitung der Funktion

und durch wiederholte Integration finden wir Gesamtansicht einer homogenen Funktion

Teillösung der Gleichung schreibe als Variable multipliziert mit dem Logarithmus. Dies folgt aus der Tatsache, dass der rechte (nicht homogene) Teil des DE gleich -1/x ist und um eine äquivalente Notation zu erhalten

die Lösung sollte in der Form gesucht werden

Finden Sie den Koeffizienten A , dazu berechnen wir die Ableitungen der ersten und zweiten Ordnung

Wir setzen die gefundenen Ausdrücke in die ursprüngliche Differentialgleichung ein und setzen die Koeffizienten bei denselben Potenzen von x gleich:

Der Stahl ist gleich -1/2 und hat die Form

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung schreibe als Summe der gefundenen

wobei C 1 , C 2 , C 3 beliebige Konstanten sind, die aus dem Cauchy-Problem verfeinert werden können.

Beispiel 3 Finden Sie das DE-Integral dritter Ordnung
Lösung: Gesucht wird ein allgemeines Integral eines inhomogenen DE dritter Ordnung in Form der Summe der Lösung einer homogenen und partiellen inhomogenen Gleichung. Zuerst beginnen wir für jede Art von Gleichungen homogene Differentialgleichung analysieren

Sie enthält nur die zweite und dritte Ableitung der bisher unbekannten Funktion. Wir führen eine Änderung der Variablen (Parameter) ein: bezeichnen die zweite Ableitung

Dann ist die dritte Ableitung

Dieselben Transformationen wurden in der vorherigen Aufgabe durchgeführt. Dies erlaubt Reduzieren Sie eine Differentialgleichung dritter Ordnung auf eine Gleichung erster Ordnung der Form

Durch Integration finden wir

Denken Sie daran, dass dies gemäß der Änderung der Variablen nur die zweite Ableitung ist

und um eine Lösung für eine homogene Differentialgleichung dritter Ordnung zu finden, muss sie zweimal integriert werden

Basierend auf dem Typ der rechten Seite (inhomogener Teil = x+1 ), in der Form wird eine Teillösung der Gleichung gesucht

Wie Sie wissen, in welcher Form Sie nach einer Teillösung suchen müssen Sie sollten im theoretischen Teil des Kurses über Differentialgleichungen unterrichtet worden sein. Wenn nicht, können wir nur vorschlagen, welche Art von Funktion ein solcher Ausdruck gewählt wird, damit beim Einsetzen in die Gleichung der Term, der die höchste Ableitung oder jünger enthält, von derselben Ordnung (ähnlich) wie der inhomogene Teil der Gleichung ist

Ich denke, jetzt ist es Ihnen klarer, woher die Form einer bestimmten Lösung kommt. Finden Sie die Koeffizienten A, B, dazu berechnen wir die zweite und dritte Ableitung der Funktion

und in die Differentialgleichung einsetzen. Nachdem wir ähnliche Terme gruppiert haben, erhalten wir die lineare Gleichung

woraus für gleiche Potenzen der Variablen ein Gleichungssystem aufstellen

und unbekannte Stähle finden. Nach ihrer Substitution wird sie durch die Abhängigkeit ausgedrückt

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist gleich der Summe von homogen und partiell und hat die Form

wobei C 1 , C 2 , C 3 willkürliche Konstanten sind.

Beispiel 4.R Differentialgleichung essen
Lösung: Wir haben die Lösung, die wir durch die Summe finden werden. Sie kennen das Berechnungsschema, also gehen wir zur Betrachtung über homogene Differentialgleichung

Nach der Standardmethode Geben Sie den Parameter ein
Die ursprüngliche Differentialgleichung wird die Form annehmen, woraus wir durch Dividieren der Variablen finden

Denken Sie daran, dass der Parameter gleich der zweiten Ableitung ist
Durch Integrieren von DE erhalten wir die erste Ableitung der Funktion

Wiedereingliederung finden wir das allgemeine Integral der homogenen Differentialgleichung

Wir suchen eine Teillösung der Gleichung in der Form, da die rechte Seite gleich ist
Lassen Sie uns den Koeffizienten A finden - dafür ersetzen wir y* in der Differentialgleichung und setzen den Koeffizienten bei denselben Potenzen der Variablen gleich

Nach Einsetzen und Gruppieren der Terme erhalten wir die Abhängigkeit

davon ist Stahl gleich A=8/3.
So können wir schreiben Teillösung von DE

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung gleich der gefundenen Summe

wobei C 1 , C 2 , C 3 willkürliche Konstanten sind. Wenn die Cauchy-Bedingung gegeben ist, können sie sehr leicht erweitert werden.

Ich glaube, dass Ihnen das Material bei der Vorbereitung auf praktische Übungen, Module oder Tests nützlich sein wird. Das Cauchy-Problem wurde hier nicht analysiert, aber aus den vorherigen Lektionen wissen Sie im Allgemeinen, wie es geht.

Oft nur eine Erwähnung Differentialgleichung verunsichert die Schüler. Warum passiert das? Meistens, weil beim Studium der Grundlagen des Materials eine Wissenslücke entsteht, durch die das weitere Studium von Difurs einfach zur Folter wird. Nichts ist klar, was zu tun ist, wie man entscheidet, wo man anfangen soll?

Wir werden jedoch versuchen, Ihnen zu zeigen, dass Difurs nicht so schwierig ist, wie es scheint.

Grundbegriffe der Theorie der Differentialgleichungen

Aus der Schule kennen wir die einfachsten Gleichungen, in denen wir die Unbekannte x finden müssen. In der Tat Differentialgleichung nur geringfügig von ihnen abweichen - anstelle einer Variablen X Sie müssen eine Funktion finden y(x) , wodurch die Gleichung in eine Identität umgewandelt wird.

D Differentialgleichung sind von großer praktischer Bedeutung. Das ist keine abstrakte Mathematik, die nichts mit der Welt um uns herum zu tun hat. Mit Hilfe von Differentialgleichungen werden viele reale Naturvorgänge beschrieben. Beispielsweise Saitenschwingungen, die Bewegung eines harmonischen Oszillators, mit Hilfe von Differentialgleichungen in Problemen der Mechanik die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers finden. Ebenfalls DU sind in Biologie, Chemie, Wirtschaftswissenschaften und vielen anderen Wissenschaften weit verbreitet.

Differentialgleichung (DU) ist eine Gleichung, die die Ableitungen der Funktion y(x), die Funktion selbst, unabhängige Variablen und andere Parameter in verschiedenen Kombinationen enthält.

Es gibt viele Arten von Differentialgleichungen: gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare und nichtlineare, homogene und inhomogene, Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung, partielle Differentialgleichungen und so weiter.

Die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, die sie in eine Identität verwandelt. Es gibt allgemeine und besondere Lösungen der Fernsteuerung.

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist die allgemeine Menge von Lösungen, die die Gleichung in eine Identität verwandeln. Eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung ist eine Lösung, die anfangs spezifizierte zusätzliche Bedingungen erfüllt.

Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die höchste Ordnung der darin enthaltenen Ableitungen bestimmt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine unabhängige Variable enthalten.

Betrachten Sie die einfachste gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Es sieht aus wie:

Diese Gleichung kann durch einfache Integration ihrer rechten Seite gelöst werden.

Beispiele für solche Gleichungen:

Gleichungen für trennbare Variablen

Im Allgemeinen sieht diese Art von Gleichung so aus:

Hier ist ein Beispiel:

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie die Variablen trennen und in die Form bringen:

Danach bleibt es, beide Teile zu integrieren und eine Lösung zu finden.

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Solche Gleichungen haben die Form:

Hier sind p(x) und q(x) einige Funktionen der unabhängigen Variablen, und y=y(x) ist die erforderliche Funktion. Hier ist ein Beispiel für eine solche Gleichung:

Um eine solche Gleichung zu lösen, verwenden sie meistens die Methode der Variation einer beliebigen Konstante oder stellen die gewünschte Funktion als Produkt zweier anderer Funktionen dar y(x)=u(x)v(x).

Um solche Gleichungen zu lösen, ist eine gewisse Vorbereitung erforderlich, und es wird ziemlich schwierig sein, sie „aus einer Laune heraus“ zu nehmen.

Ein Beispiel für das Lösen eines DE mit trennbaren Variablen

Wir haben uns also die einfachsten Arten der Fernbedienung angesehen. Werfen wir nun einen Blick auf einen von ihnen. Sei es eine Gleichung mit trennbaren Variablen.

Zuerst schreiben wir die Ableitung in einer vertrauteren Form um:

Dann trennen wir die Variablen, das heißt, in einem Teil der Gleichung sammeln wir alle „Spiele“ und im anderen die „Xes“:

Nun müssen beide Teile integriert werden:

Wir integrieren und erhalten die allgemeine Lösung dieser Gleichung:

Natürlich ist das Lösen von Differentialgleichungen eine Art Kunst. Sie müssen in der Lage sein, zu verstehen, zu welchem ​​Typ eine Gleichung gehört, und auch lernen, zu sehen, welche Transformationen Sie damit vornehmen müssen, um sie in die eine oder andere Form zu bringen, ganz zu schweigen von der Fähigkeit, zu differenzieren und zu integrieren. Und es braucht Übung (wie bei allem), um DE erfolgreich zu lösen. Und wenn Sie im Moment keine Zeit haben, herauszufinden, wie Differentialgleichungen gelöst werden oder Ihnen das Cauchy-Problem wie ein Knochen im Hals gestiegen ist oder Sie es nicht wissen, wenden Sie sich an unsere Autoren. In kurzer Zeit stellen wir Ihnen eine fertige und detaillierte Lösung zur Verfügung, deren Details Sie jederzeit bequem nachvollziehen können. In der Zwischenzeit empfehlen wir Ihnen, sich ein Video zum Thema "So lösen Sie Differentialgleichungen" anzusehen:

Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung.
Lineares DE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Lösungsbeispiele.

Wir gehen zur Betrachtung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung über. Wenn Sie eine vage Vorstellung davon haben, was eine Differentialgleichung ist (oder überhaupt nicht verstehen, was es ist), dann empfehle ich, mit der Lektion zu beginnen Differentialgleichungen erster Ordnung. Lösungsbeispiele. Viele Lösungsprinzipien und Grundkonzepte von Differenzen erster Ordnung werden daher automatisch auf Differenzialgleichungen höherer Ordnung erweitert Es ist sehr wichtig, zuerst die Gleichungen erster Ordnung zu verstehen.

Viele Leser mögen ein Vorurteil haben, dass DE der 2., 3. und anderer Ordnungen etwas sehr Schwieriges und Unzugängliches zum Meistern ist. Das ist nicht so . Das Erlernen des Lösens von Diffusen höherer Ordnung ist kaum schwieriger als bei „gewöhnlichen“ DEs 1. Ordnung. Und mancherorts geht es sogar noch einfacher, da das Material des Schullehrplans aktiv in die Entscheidungen miteinbezogen wird.

Am beliebtesten Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In eine Differentialgleichung zweiter Ordnung Notwendig enthält die zweite Ableitung und nicht enthalten

Es sollte beachtet werden, dass einige der Babys (und sogar alle auf einmal) in der Gleichung fehlen können, es ist wichtig, dass der Vater zu Hause war. Die primitivste Differentialgleichung zweiter Ordnung sieht so aus:

Differenzialgleichungen dritter Ordnung sind bei praktischen Aufgaben weitaus seltener, nach meinen subjektiven Beobachtungen in der Staatsduma würden sie etwa 3-4% der Stimmen erhalten.

In eine Differentialgleichung dritter Ordnung Notwendig enthält die dritte Ableitung und nicht enthalten Ableitungen höherer Ordnung:

Die einfachste Differentialgleichung dritter Ordnung sieht so aus: - Papa ist zu Hause, alle Kinder sind spazieren.

Ebenso können Differentialgleichungen 4., 5. und höherer Ordnung definiert werden. Bei praktischen Problemen rutscht ein solches DE äußerst selten, ich werde jedoch versuchen, entsprechende Beispiele zu geben.

Differentialgleichungen höherer Ordnung, die in praktischen Problemen vorgeschlagen werden, können in zwei Hauptgruppen unterteilt werden.

1) Die erste Gruppe - die sogenannte Gleichungen niedrigerer Ordnung. Einfliegen!

2) Die zweite Gruppe - lineare Gleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Worüber wir gleich nachdenken werden.

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten

In Theorie und Praxis werden zwei Arten solcher Gleichungen unterschieden - homogene Gleichung und inhomogene gleichung.

Homogenes DE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat folgende Form:
, wobei und Konstanten (Zahlen) sind, und auf der rechten Seite - streng Null.

Wie Sie sehen, gibt es bei homogenen Gleichungen keine besonderen Schwierigkeiten, Hauptsache Lösen Sie die quadratische Gleichung richtig.

Manchmal gibt es nicht standardmäßige homogene Gleichungen, zum Beispiel eine Gleichung in der Form , wobei es bei der zweiten Ableitung eine Konstante gibt, die von Eins verschieden ist (und natürlich von Null verschieden ist). Der Lösungsalgorithmus ändert sich überhaupt nicht, man sollte in Ruhe die charakteristische Gleichung aufstellen und ihre Wurzeln finden. Wenn die charakteristische Gleichung wird zwei verschiedene reelle Wurzeln haben, zum Beispiel: , dann kann die allgemeine Lösung wie üblich geschrieben werden: .

In einigen Fällen können sich aufgrund eines Tippfehlers in der Bedingung „schlechte“ Wurzeln herausstellen, so etwas wie . Was zu tun ist, muss die Antwort so geschrieben werden:

Mit "schlecht" konjugieren komplexe Wurzeln wie auch kein Problem, allgemeine Lösung:

Also, eine allgemeine Lösung existiert in jedem Fall. Weil jede quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat.

Im letzten Absatz werden wir, wie versprochen, kurz Folgendes betrachten:

Lineare homogene Gleichungen höherer Ordnung

Alles ist sehr, sehr ähnlich.

Die lineare homogene Gleichung dritter Ordnung hat folgende Form:
, wo sind Konstanten.
Für diese Gleichung müssen Sie auch eine charakteristische Gleichung aufstellen und ihre Wurzeln finden. Die charakteristische Gleichung sieht, wie viele vermutet haben, folgendermaßen aus:
, und es auf jeden Fall Es hat genau drei Wurzel.

Lassen Sie zum Beispiel alle Wurzeln real und verschieden sein: , dann kann die allgemeine Lösung wie folgt geschrieben werden:

Wenn eine Wurzel reell und die anderen beiden konjugiert komplex sind, schreiben wir die allgemeine Lösung wie folgt:

Ein Sonderfall ist, wenn alle drei Wurzeln Vielfache (gleich) sind. Betrachten wir das einfachste homogene DE 3. Ordnung mit einsamem Vater: . Die charakteristische Gleichung hat drei zusammenfallende Nullwurzeln. Wir schreiben die allgemeine Lösung wie folgt:

Wenn die charakteristische Gleichung beispielsweise drei Mehrfachwurzeln hat, dann lautet die jeweilige allgemeine Lösung:

Beispiel 9

Lösen Sie eine homogene Differentialgleichung dritter Ordnung

Lösung: Wir stellen die charakteristische Gleichung auf und lösen sie:

, - eine reelle Wurzel und zwei konjugierte komplexe Wurzeln werden erhalten.

Antworten: gemeinsame Entscheidung

In ähnlicher Weise können wir eine lineare homogene Gleichung vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten betrachten: , wobei Konstanten sind.

Eine Gleichung der Form: heißt lineare Differentialgleichung höherer Ordnung, wobei a 0, a 1, ... und n Funktionen einer Variablen x oder einer Konstanten sind und a 0, a 1, ... und n und f (x) werden als stetig betrachtet.

Wenn eine 0 = 1 (wenn
dann kann es geteilt werden)
Die Gleichung nimmt die Form an:

Wenn ein
Die Gleichung ist inhomogen.

Die Gleichung ist homogen.

Lineare homogene Differentialgleichungen der Ordnung n

Eine Gleichung der Form: heißen lineare homogene Differentialgleichungen der Ordnung n.

Für diese Gleichungen gelten die folgenden Sätze:

Satz 1: Wenn ein
- Lösung , dann die Summe
- auch eine Lösung

Beweis: Setze die Summe in ein

Da die Ableitung jeder Ordnung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, können Sie durch Öffnen der Klammern umgruppieren:

weil y 1 und y 2 die Lösung sind.

0=0(richtig)
Auch die Höhe ist eine Entscheidung.

der Satz ist bewiesen.

Satz 2: Wenn y 0 -Lösung , dann
- auch eine Lösung .

Beweis: Ersatz
in die Gleichung

da C aus dem Vorzeichen der Ableitung genommen wird, dann

Weil Lösung, 0=0(richtig)
Cy 0 ist auch eine Lösung.

der Satz ist bewiesen.

Folge aus T1 und T2: wenn
- Lösungen (*)
auch eine Linearkombination ist eine Lösung (*).

Linear unabhängige und linear abhängige Funktionensysteme. Wronskys Determinante und ihre Eigenschaften

Definition: Funktionssystem
- heißt linear unabhängig, wenn die Linearkombination der Koeffizienten
.

Definition: Funktionssystem
- heißt linear abhängig, falls und es Koeffizienten gibt
.

Nehmen Sie ein System aus zwei linear abhängigen Funktionen
Weil
oder
- Bedingung der linearen Unabhängigkeit zweier Funktionen.

1)
linear unabhängig

2)
linear abhängig

3) linear abhängig

Definition: Gegeben ein System von Funktionen
- Funktionen der Variablen x.

Bestimmend
-Vronsky-Determinante für ein System von Funktionen
.

Für ein System aus zwei Funktionen sieht die Wronsky-Determinante so aus:

Eigenschaften der Wronski-Determinante:

Satz:Über die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung.

Wenn y 1 und y 2 linear unabhängige Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung sind, dann

die allgemeine lösung sieht so aus:

Nachweisen:
- Entscheidung über die Folge aus T1 und T2.

Wenn dann die Anfangsbedingungen gegeben sind und müssen eindeutig angeordnet sein.

- Anfangsbedingungen.

Lassen Sie uns ein System zum Finden machen und . Dazu setzen wir die Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung ein.

die Determinante dieses Systems:
- Vronskys Determinante, berechnet am Punkt x 0

Weil und linear unabhängig
(um 2 0)

da die Determinante des Systems ungleich 0 ist, hat das System eine eindeutige Lösung und und sind eindeutig aus dem System.

Allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n

Man kann zeigen, dass die Gleichung n linear unabhängige Lösungen hat

Definition: n linear unabhängige Lösungen
lineare homogene Differentialgleichung der Ordnung n heißt fundamentales Lösungssystem.

Die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n , also (*), ist eine Linearkombination des fundamentalen Lösungssystems:

Wo
- grundlegendes Lösungssystem.

Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Dies sind Gleichungen der Form:
, wobei p und g Zahlen sind(*)

Definition: Die gleichung
- genannt charakteristische Gleichung Differentialgleichung (*) ist eine gewöhnliche quadratische Gleichung, deren Lösung von D abhängt, folgende Fälle sind möglich:

1)D>0
sind zwei wirklich unterschiedliche Lösungen.

2)D=0
- eine reelle Wurzel der Multiplizität 2.

3)D<0
sind zwei komplexe konjugierte Wurzeln.

Für jeden dieser Fälle geben wir das grundlegende Lösungssystem an, das aus 2 Funktionen besteht und .

Wir werden das zeigen:

1) und -LNZ

2) und - Lösung (*)

Betrachten Sie 1 Fall D>0
- 2 echte unterschiedliche Wurzeln.

X
charakteristische Gleichung:

Nehmen wir als FSR:

a) LNZ zeigen

b) Zeigen Sie das - Lösung (*), Ersatz

+S
+g
=0

wahre Gleichberechtigung

Lösung (*)

ähnlich für y 2 gezeigt.

Fazit:
- FSR (*)
gemeinsame Entscheidung

Betrachten Sie 2 Fall: D=0
- 1 reelle Wurzel der Multiplizität 2.

Nehmen wir als FSR:

LNZ:
LNZ ist.

-Lösung der Gleichung (siehe Fall 1). Lassen Sie uns das zeigen
- Lösung.

Ersatz in DU

-Lösung.

Fazit: FSR

Beispiel:

3 Fall: D<0
- 2 komplexe konjugierte Wurzeln.

Ersatz
im Charakter Die gleichung

Eine komplexe Zahl ist 0, wenn sowohl der Real- als auch der Imaginärteil 0 sind.

- wir werden verwenden.

Lassen Sie uns das zeigen
- bilden den FSR.

A) LNZ:

B)
- Fernbedienungslösung

wahre Gleichberechtigung
- die Entscheidung des DU.

Ebenso wird das gezeigt auch eine Lösung.

Fazit: FSR:

Gemeinsame Entscheidung:

Wenn n.o.s.

-dann zuerst eine allgemeine Lösung finden
, seine Ableitung:
, und dann wird das n.u. in dieses System eingesetzt und sie finden und .

Brunnen:

Bei manchen Problemen der Physik kann kein direkter Zusammenhang zwischen den den Vorgang beschreibenden Größen hergestellt werden. Es besteht jedoch die Möglichkeit, eine Gleichung zu erhalten, die die Ableitungen der untersuchten Funktionen enthält. So entstehen Differentialgleichungen und die Notwendigkeit, sie zu lösen, um eine unbekannte Funktion zu finden.

Dieser Artikel richtet sich an diejenigen, die mit dem Problem konfrontiert sind, eine Differentialgleichung zu lösen, in der die unbekannte Funktion eine Funktion einer Variablen ist. Die Theorie ist so aufgebaut, dass Sie Ihre Arbeit mit einem Null-Verständnis von Differentialgleichungen erledigen können.

Jeder Art von Differentialgleichungen ist ein Lösungsverfahren mit ausführlichen Erläuterungen und Lösungen typischer Beispiele und Probleme zugeordnet. Sie müssen nur die Art der Differentialgleichung für Ihr Problem bestimmen, ein ähnlich analysiertes Beispiel finden und ähnliche Aktionen ausführen.

Um Differentialgleichungen erfolgreich lösen zu können, müssen Sie außerdem in der Lage sein, Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) verschiedener Funktionen zu finden. Bei Bedarf empfehlen wir Ihnen, den Abschnitt zu lesen.

Zuerst betrachten wir die Arten von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung, die bezüglich der Ableitung gelöst werden können, dann gehen wir zu ODEs zweiter Ordnung über, dann verweilen wir bei Gleichungen höherer Ordnung und schließen mit Systemen von Differentialgleichungen ab.

Erinnern Sie sich daran, dass wenn y eine Funktion des Arguments x ist.

Differentialgleichungen erster Ordnung.

Die einfachsten Differentialgleichungen erster Ordnung der Form .

Lassen Sie uns einige Beispiele für solche DE aufschreiben .

Differentialgleichung kann nach der Ableitung aufgelöst werden, indem beide Seiten der Gleichheit durch f(x) dividiert werden. In diesem Fall erhalten wir die Gleichung , die der ursprünglichen für f(x) ≠ 0 entspricht. Beispiele für solche ODEs sind .

Wenn es Werte des Arguments x gibt, für die die Funktionen f(x) und g(x) gleichzeitig verschwinden, dann erscheinen zusätzliche Lösungen. Zusätzliche Lösungen der Gleichung gegeben x sind beliebige Funktionen, die für diese Argumentwerte definiert sind. Beispiele für solche Differentialgleichungen sind .

Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

LODE mit konstanten Koeffizienten ist eine sehr verbreitete Art von Differentialgleichungen. Ihre Lösung ist nicht besonders schwierig. Zuerst werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung gefunden . Für verschiedene p und q sind drei Fälle möglich: Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung können reell und verschieden, reell und zusammenfallend sein oder komplex konjugiert. Abhängig von den Werten der Wurzeln der charakteristischen Gleichung wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung geschrieben als , oder , bzw.

Betrachten Sie beispielsweise eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Wurzeln seiner charakteristischen Gleichung sind k 1 = -3 und k 2 = 0. Die Wurzeln sind reell und unterschiedlich, daher ist die allgemeine Lösung für die LDE mit konstanten Koeffizienten


Lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Lösung der LIDE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y wird als Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden LODE gesucht und eine bestimmte Lösung der ursprünglichen inhomogenen Gleichung, das heißt . Der vorherige Absatz ist der Suche nach einer allgemeinen Lösung für eine homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gewidmet. Und eine bestimmte Lösung wird entweder durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten für eine bestimmte Form der Funktion f (x) bestimmt, die auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung steht, oder durch die Methode der Variation beliebiger Konstanten.

Als Beispiele für LIDEs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten stellen wir vor


Zum Verständnis der Theorie und zum Kennenlernen der Detaillösungen von Beispielen bieten wir Ihnen auf der Seite Lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten an.

Lineare homogene Differentialgleichungen (LODEs) und lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung (LNDEs).

Ein Spezialfall derartiger Differentialgleichungen sind LODE und LODE mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Lösung des LODE auf einem bestimmten Intervall wird durch eine Linearkombination von zwei linear unabhängigen Einzellösungen y 1 und y 2 dieser Gleichung dargestellt, d. h. .

Die Hauptschwierigkeit liegt gerade darin, linear unabhängige Teillösungen dieser Art von Differentialgleichungen zu finden. Normalerweise werden bestimmte Lösungen aus den folgenden Systemen linear unabhängiger Funktionen ausgewählt:


Allerdings werden bestimmte Lösungen nicht immer in dieser Form dargestellt.

Ein Beispiel für ein LODU ist .

Die allgemeine Lösung der LIDE wird in der Form gesucht, wobei die allgemeine Lösung der entsprechenden LODE und eine spezielle Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist. Wir haben gerade über das Finden gesprochen, aber es kann mit der Methode der Variation beliebiger Konstanten bestimmt werden.

Ein Beispiel für ein LNDE ist .

Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Differentialgleichungen, die Ordnungsreduktion zulassen.

Ordnung der Differentialgleichung , die die gewünschte Funktion und ihre Ableitungen bis zur k-1-Ordnung nicht enthält, kann durch Ersetzen von n-k auf n-k reduziert werden.

In diesem Fall reduziert sich die ursprüngliche Differentialgleichung auf . Nachdem seine Lösung p(x) gefunden wurde, bleibt es, zur Ersetzung zurückzukehren und die unbekannte Funktion y zu bestimmen.

Zum Beispiel die Differentialgleichung nachdem die Ersetzung zu einer trennbaren Gleichung wird und ihre Ordnung von der dritten auf die erste reduziert wird.