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Nod teilerfremde Zahlen. Aufgaben zum Thema Größter gemeinsamer Teiler. Koprime-Zahlen

Gemeinsame Teiler

Beispiel 1

Finde die gemeinsamen Teiler der Zahlen $15$ und $–25$.

Lösung.

Teiler der Zahl $15: 1, 3, 5, 15 $ und ihre Gegensätze.

Teiler der Zahl $–25: $1, $5, $25 und ihre Gegensätze.

Antworten: $15$ und $–25$ haben gemeinsame Teiler von $1, 5$ und ihren Gegensätzen.

Gemäß den Teilbarkeitseigenschaften sind die Zahlen $−1$ und $1$ Teiler jeder ganzen Zahl, also sind $−1$ und $1$ immer gemeinsame Teiler für alle ganzen Zahlen.

Jede Menge von ganzen Zahlen hat immer mindestens $2$ gemeinsame Teiler: $1$ und $−1$.

Beachten Sie, dass, wenn die Ganzzahl $a$ ein gemeinsamer Teiler einiger Ganzzahlen ist, -a auch ein gemeinsamer Teiler dieser Ganzzahlen sein wird.

In der Praxis sind sie meistens nur auf positive Teiler beschränkt, aber vergessen Sie nicht, dass jede ganze Zahl, die einem positiven Teiler gegenüberliegt, auch ein Teiler dieser Zahl ist.

Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers (ggT)

Gemäß den Eigenschaften der Teilbarkeit hat jede ganze Zahl mindestens einen von Null verschiedenen Teiler, und die Anzahl solcher Teiler ist endlich. In diesem Fall sind auch die gemeinsamen Teiler der gegebenen Zahlen eine endliche Zahl. Von allen gemeinsamen Teilern gegebener Zahlen kannst du die größte Zahl auswählen.

Wenn alle diese Zahlen gleich Null sind, ist es unmöglich, den größten der gemeinsamen Teiler zu bestimmen, weil Null ist durch jede ganze Zahl teilbar, von der es unendlich viele gibt.

Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ in der Mathematik wird als $gcd(a, b)$ bezeichnet.

Beispiel 2

Finde den ggT der ganzen Zahlen 412$ und $–30$..

Lösung.

Lassen Sie uns die Teiler jeder der Zahlen finden:

$12$: Zahlen $1, 3, 4, 6, 12$ und ihre Gegenteile.

$–30$: Zahlen $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ und ihre Gegenteile.

Die gemeinsamen Teiler der Zahlen $12$ und $–30$ sind $1, 3, 6$ und ihre Gegensätze.

$ggT (12, -30)=6$.

Es ist möglich, den ggT von drei oder mehr ganzen Zahlen auf die gleiche Weise zu bestimmen wie die Definition des ggT von zwei Zahlen.

ggT von drei oder mehr ganzen Zahlen ist die größte ganze Zahl, die alle Zahlen gleichzeitig teilt.

Bezeichne den größten Teiler $n$ der Zahlen $ggT(a_1, a_2, …, a_n)= b$.

Beispiel 3

Finde den ggT von drei ganzen Zahlen $–12, 32, 56$.

Lösung.

Lassen Sie uns alle Teiler jeder der Zahlen finden:

$–12$: Zahlen $1, 2, 3, 4, 6, 12$ und ihre Gegenteile;

$32$: Zahlen $1, 2, 4, 8, 16, 32$ und ihre Gegenteile;

$56$: Zahlen $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ und ihre Gegenteile.

Die gemeinsamen Teiler der Zahlen $–12, 32, 56$ sind $1, 2, 4$ und ihre Gegensätze.

Finde die größte dieser Zahlen, indem du nur die positiven vergleichst: $1

$ggT(-12, 32, 56)=4$.

In einigen Fällen kann der ggT von ganzen Zahlen eine dieser Zahlen sein.

Koprime-Zahlen

Bestimmung 3

Ganze Zahlen $a$ und $b$ – teilerfremd, falls $ggT(a, b)=1$.

Beispiel 4

Zeigen Sie, dass die Zahlen $7$ und $13$ teilerfremd sind.

DZ-Check
Wie ist die Vorbereitung für
Versatz -02.10
und KR - 29.09.

Fragen für Offset Nummer 1. (2. Oktober 2017)
zum Thema "Teilbarkeit von Zahlen" M.6, §1.pp.5-34, Mini-Abstracts auf S. 33-34 zum Thema:
"Pythagoras", "Sieb des Eratosthenes"
Welche natürliche Zahl heißt Teiler einer natürlichen Zahl a?
Beweisen Sie, dass 4 ein Teiler von 24 ist.
Beweisen Sie, dass 3 kein Teiler von 25 ist.
Nenne alle natürlichen Teiler von 12.
Was ist der Teiler einer natürlichen Zahl?
Welche natürliche Zahl heißt ein Vielfaches einer natürlichen Zahl a?
Wie viele Vielfache hat eine natürliche Zahl?
Was ist das kleinste Vielfache einer natürlichen Zahl?
Welche Zahlen sind durch 10 teilbar und welche nicht durch 10 teilbar? Nenne Beispiele.
Welche Zahlen sind ohne Rest durch 5 teilbar und welche nicht ohne Rest? Nenne Beispiele.
Welche Zahlen nennt man gerade und welche ungerade?
Beweisen Sie, dass 8 gerade und 15 ungerade ist.
Nennen Sie gerade Zahlen.
Nennen Sie die ungeraden Zahlen.
Mit welcher Ziffer soll die Zahl enden, damit sie gerade ist (ohne Rest durch 2 geteilt), und mit welcher Ziffer soll die Zahl enden, damit sie
war seltsam? Nenne Beispiele.
Welche Zahl ist durch 9 teilbar und welche nicht durch 9 teilbar?
Welche Zahl ist durch 3 teilbar und welche nicht durch 3 teilbar?
Welche natürliche Zahl heißt Primzahl?
Welche natürliche Zahl heißt zusammengesetzt?
Welche Zahl ist weder prim noch zusammengesetzt?
Wie viele und in welche Faktoren kann eine zusammengesetzte Zahl zerlegt werden?
Nennen Sie die ersten 10 Primzahlen.
Schreibe die Faktorisierung der Zahl 210 auf.
Kann jede zusammengesetzte Zahl in Primfaktoren zerlegt werden?
Ist die folgende Schreibweise eine Primfaktorzerlegung: 2 3 4 5?
Welche natürliche Zahl heißt der größte gemeinsame Teiler der natürlichen Zahlen a und b?
Welche zwei Zahlen heißen teilerfremd? Nenne Beispiele.
Um den größten gemeinsamen Teiler mehrerer natürlicher Zahlen zu finden, braucht man ....
Finde GCD(16;42)
Welche natürliche Zahl heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der natürlichen Zahlen a und b?
Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen zu finden, müssen Sie ....
Finde LCM(6;15)
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass a b \u003d GCD (a; c) LCM (a; c)
Test Nr. 1 - 29. September

Mustertext des CG
Variante 1.
Option 2.
1. Zerlege die Zahl 5544 in Primfaktoren.
1. Zerlege die Zahl 6552 in Primfaktoren.

2. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler und
Kleinstes gemeinsames Vielfaches von 504 und 756.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches von 1512 und 1008.
3. Beweisen Sie, dass die Zahlen:
3. Beweisen Sie, dass die Zahlen sind:
a) 255 und 238 sind nicht teilerfremd;
a) 266 und 285 sind nicht teilerfremd;
b) 392 und 675 sind teilerfremd.
b) 301 und 585 sind teilerfremd.
4. Folgen Sie den Schritten: 268,8: 0,56 + 6,44 12.
4. Folgen Sie den Schritten: 355,1: 0,67 + 0,83 15.
5. Kann die Differenz zweier Primzahlen sein
5. Kann die Summe zweier Primzahlen sein

Primzahl? (Gib ein Beispiel).

Buchseite 28,
№
164(1)
DZ-Check

Seite 27. Nr. 164(1).
ABER
AOW 180
M
3x
X
DZ-Check
IN AOB AOM BEWEGUNG
Ö
x+3x=180
4x=180
x=180:4
x=45
Zapfwelle 45, AOM 3 45 135
Antwort: 135°, 45°

DZ-Check
Buchseite 28,
b)
№
169(b).
a=2 2 2 3 5 7, c=3 11 13
ggT(a,b)=3

10.

Buchseite 28, 170(c,d)
DZ-Check
c) ggT(60,80,48)=2 2=4
60
30
15
5
1
2
2
3
5
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3

11.

DZ-Check
Buchseite 28, 170(c,d)
d) GCD(195,156,260)=
195 3
65 5
13 13
1
156
78
39
13
1
2
2
3
13
13
260
130
65
13
1
2
2
5
13

12.

DZ-Check
Buchseite 28, 171
gcd(861,875)=1
864
432
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
2
2
3
3
3
875
175
35
7
1
5
5
5
7
Die Zahlen 861 und 875 sind teilerfremd

13.

Buchseite 28,
№
Dreher -
3 Menschen
Schlosser
2x
174
DZ-Check
Personen
-x Pers.
3x+2x+x=840
6x=840
x=840:6
x=140
Fräsmaschinen
Müller-140,
Schlosser-280,
Turners -420.
Antwort: 420 Personen.
Was könnte sein
nicht finden?

14. Werten Sie die PD aus: - alle Antworten sind richtig und die Lösung ist ausführlich geschrieben "5" - alle Antworten sind richtig und die Lösung ist ausführlich geschrieben, aber erlaubt

Rechenfehler
"vier"
- Die Antworten sind richtig, aber die Lösung ist beides
unvollständig oder nicht vorhanden
"3"
- keine Hausaufgaben - "2"

15. 25.09.2017 Klassenarbeit Größter gemeinsamer Teiler. Koprime-Zahlen.

16. Unterrichtsziele:

- Wissen über die Größten zusammenfassen
gemeinsamer Teiler und teilerfremd
Zahlen.
- Entwicklung der Arbeitsfähigkeit
auf sich allein.
- Zuhören lernen
Andere.
- Formen Sie weiter
Kultur des Sprechens und Schreibens
mathematische Rede.

17.

Individuell arbeiten. Sich ausruhen
mündlich und in einem Notizbuch
Einzelarbeit an
Karten

18.

Verbale Zählung
1. Kann in einfache zerlegt werden
Multiplikatoren von 14652
einen Multiplikator enthalten
3?
Wieso den?
2. Nenne alle ungeraden Zahlen,
Befriedigung der Ungleichheit
234<х<243

19.

Verbale Zählung
3.
Nennen Sie 3 Vielfache von:
a) 5; b) 15; c) Zahl
a
4. Nennen Sie 2 Zahlen, gegenseitig
prim mit Zahl:
a) 3,
b) 7,
um 10 Uhr,
d) 24

20.

Arbeiten in einem Notizbuch:
Finden Sie die größte Gemeinsamkeit
Teiler des Zählers und
Nenner von Brüchen:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
gcd(20,30)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

21.

Arbeiten in einem Notizbuch:
Finden Sie die größte Gemeinsamkeit
Teiler des Zählers und
Nenner von Brüchen:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
ggT(20,30)=10
gcd(8,24)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

22.

Arbeiten in einem Notizbuch:
Finden Sie die größte Gemeinsamkeit
Teiler des Zählers und
Nenner von Brüchen:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
ggT(20,30)=10
ggT(8,24)=8
gcd(15,35)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

23.

Arbeiten in einem Notizbuch:
Finden Sie die größte Gemeinsamkeit
Teiler des Zählers und
Nenner von Brüchen:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
ggT(20,30)=10
ggT(8,24)=8
ggT(15,35)=5
gcd(13,26)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

24.

Arbeiten in einem Notizbuch:
Finden Sie die größte Gemeinsamkeit
Teiler des Zählers und
Nenner von Brüchen:
20
8
30 , 24 ,
15
35 ,
ggT(20,30)=10
ggT(8,24)=8
ggT(15,35)=5
ggT(13,26)=13
gcd(8,9)=
8
24
13
26 , 9 , 60 .

25.

26.

27.

Sportunterricht Minute

28.

Wir lösen das Problem
Buchseite 26, Nr. 153
Lies die Aufgabe.
Worum geht es in der Aufgabe?
Worum geht es in der Aufgabe?

29.

Wir lösen das Problem
Buchseite 26, Nr. 153
Können wir sofort antworten
1 Frage:
Wie viele Busse waren es?

30.

Wir lösen das Problem
Buchseite 26, Nr. 153
So finden Sie heraus, wie viel
Fahrgäste in jedem Bus?

Wettbewerb für junge Lehrer

Oblast Brjansk

"Pädagogisches Debüt - 2014"

Studienjahr 2014-2015

Mathe-Konsolidierungsstunde in der 6

zum Thema „NOD. Teilerfremde Zahlen"

Arbeitsplatz:MBOU "Glinishchevskaya Secondary School" des Gebiets Brjansk

Ziele:

Lehrreich:

Konsolidierung und Systematisierung des studierten Materials;
Entwicklung der Fähigkeit, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen und den ggT zu finden;
Überprüfen Sie das Wissen der Schüler und identifizieren Sie Lücken;

Entwicklung:

Tragen Sie zur Entwicklung des logischen Denkens, der Sprache und der Fähigkeiten der Schüler bei mentalen Operationen bei;
Um zur Bildung der Fähigkeit beizutragen, Muster zu erkennen;
Beitrag zur Anhebung des Niveaus der mathematischen Kultur;

Lehrreich:

Förderung der Interessesbildung für Mathematik; die Fähigkeit, seine Gedanken auszudrücken, anderen zuzuhören, seinen Standpunkt zu verteidigen;
Erziehung zur Selbständigkeit, Konzentration, Konzentration der Aufmerksamkeit;
um die Fähigkeiten der Genauigkeit beim Führen eines Notizbuchs zu vermitteln.

Unterrichtstyp: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens.

Lehrmethoden : erklärende und illustrative, eigenständige Arbeit.

Ausrüstung: Computer, Bildschirm, Präsentation, Handout.

Während des Unterrichts:

Zeit organisieren.

„Die Glocke läutete und verstummte - der Unterricht beginnt.

Sie haben sich ruhig an Ihre Schreibtische gesetzt, alle haben mich angeschaut.

Wünschen Sie sich gegenseitig Erfolg mit Ihren Augen.

Und vorwärts für neues Wissen.

Freunde, auf den Tischen seht ihr den „Bewertungsbogen“, d.h. Zusätzlich zu meiner Bewertung bewerten Sie sich selbst, indem Sie jede Aufgabe erledigen.

Bewertungspapier

Leute, welches Thema hast du für mehrere Stunden studiert? (Wir haben gelernt, den größten gemeinsamen Teiler zu finden).

Was denkst du, werden wir heute tun? Geben Sie das Thema unserer Lektion an. (Heute arbeiten wir weiter mit dem größten gemeinsamen Teiler. Das Thema unserer Lektion ist „Der größte gemeinsame Teiler“. In dieser Lektion werden wir den größten gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen finden und Probleme lösen, indem wir wissen, wie man den größten Teiler findet gemeinsamer Teiler.).

Öffnen Sie Hefte, schreiben Sie die Zahl, die Klassenarbeit und das Unterrichtsthema auf: „Größter gemeinsamer Teiler. Koprime-Zahlen.

Wissensaktualisierung

Mehrere theoretische Fragen

Stimmen die Aussagen? "Ja" - __; "Nein" - /\. Folie 3-4

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler; (Rechts)
1 ist eine Primzahl; (nicht wahr)
Die kleinste zweistellige Primzahl ist 11; (Rechts)
Die größte zweistellige zusammengesetzte Zahl ist 99; (Rechts)
Die Zahlen 8 und 10 sind teilerfremd (nicht wahr)
Einige zusammengesetzte Zahlen können nicht in Primfaktoren zerlegt werden; (nicht wahr).

Taste: _ /\ _ _/\ /\.

bewerteten ihre mündliche Arbeit im Bewertungsbogen.

Systematisierung von Wissen

Heute wird es in unserem Unterricht ein wenig zaubern.

Wo ist die Magie zu finden? (in einem Märchen)

Raten Sie anhand des Bildes, in was für ein Märchen wir fallen werden. ( Folie 5 ) Märchengänse-Schwäne. Absolut richtig. Gut erledigt. Und jetzt versuchen wir alle zusammen, uns an den Inhalt dieser Geschichte zu erinnern. Die Kette ist sehr kurz.

Es lebten ein Mann und eine Frau. Sie hatten eine Tochter und einen kleinen Sohn. Vater und Mutter gingen zur Arbeit und baten ihre Tochter, sich um ihren Bruder zu kümmern.

Sie legte ihren Bruder ins Gras unter dem Fenster und rannte auf die Straße, spielte, ging spazieren. Als das Mädchen zurückkam, war ihr Bruder verschwunden. Sie fing an, nach ihm zu suchen, sie schrie, rief ihn, aber niemand antwortete. Sie rannte hinaus auf ein offenes Feld und sah nur: Schwanengänse stürmten in der Ferne und verschwanden hinter einem dunklen Wald. Dann erkannte das Mädchen, dass sie ihren Bruder mitgenommen hatten. Sie wusste schon lange, dass Schwanengänse kleine Kinder entführten.

Sie eilte ihnen nach. Unterwegs begegnete sie einem Herd, einem Apfelbaum, einem Fluss. Aber unser Fluss ist in den Quallenbänken nicht milchig, sondern ein gewöhnlicher, in dem es sehr, sehr viele Fische gibt. Keine von ihnen schlug vor, wohin die Gänse flogen, weil sie selbst ihre Bitten nicht erfüllte.

Lange lief das Mädchen durch die Felder, durch die Wälder. Der Tag neigt sich schon dem Ende zu, plötzlich sieht sie - da steht eine Hütte auf einer Hühnerkeule, mit einem Fenster dreht sie sich um. In der Hütte spinnt die alte Baba Yaga ein Schlepptau. Und ihr Bruder sitzt auf einer Bank am Fenster. Das Mädchen sagte nicht, dass sie wegen ihres Bruders gekommen sei, sondern log und sagte, dass sie sich verlaufen habe. Wenn es nicht die kleine Maus gäbe, die sie mit Brei fütterte, dann hätte Baba Yaga sie im Ofen gebraten und gegessen. Das Mädchen packte schnell ihren Bruder und rannte nach Hause. Gänse - Schwäne bemerkten sie und flogen ihnen nach. Und ob sie sicher nach Hause kommen – alles hängt jetzt von uns Jungs ab. Lassen Sie uns die Geschichte fortsetzen.

Sie rennen und rennen und rennen zum Fluss. Sie baten den Fluss um Hilfe.

Aber der Fluss hilft ihnen nur, sich zu verstecken, wenn ihr alle Fische „fangt“.

Jetzt arbeitet ihr zu zweit. Ich gebe jedem Paar einen Umschlag – ein Netz, in dem sich drei Fische verfangen. Ihre Aufgabe ist es, alle Fische zu bekommen, Nummer 1 aufzuschreiben und zu lösen

Fischaufgaben. Beweisen Sie, dass die Zahlen teilerfremd sind

1) 40 und 15 2) 45 und 49 3) 16 und 21

Gegenseitige Überprüfung. Achten Sie auf die Bewertungskriterien. Folie 6-7

Verallgemeinerung: Wie beweist man, dass Zahlen teilerfremd sind?

Bewertet.

Gut erledigt. Hat einem Mädchen und einem Jungen geholfen. Der Fluss bedeckte sie unter seinem Ufer. Gänseschwäne flogen vorbei.

Als Zeichen der Dankbarkeit verbringt der Junge eine physische Minute für Sie (Video) Folie 9

In welchem Fall wird der Apfelbaum sie verstecken?

Wenn ein Mädchen ihren Waldapfel probiert.

Recht. Lasst uns alle gemeinsam Waldäpfel „essen“. Und die Äpfel darauf sind nicht einfach, mit ungewöhnlichen Aufgaben, genannt LOTTO. Wir „essen“ große Äpfel, einen pro Gruppe, d.h. Wir arbeiten in Gruppen. Finden Sie den GCD in jeder Zelle auf den kleinen Antwortkarten. Wenn alle Zellen geschlossen sind, drehen Sie die Karten um und Sie sollten ein Bild erhalten.

Aufgaben zu Waldäpfeln

GCD finden:

1 Gruppe		2 Gruppe
gcd(48,84)=	ggT (60.48)=	gcd(60,80)=	ggT (80.64)=
ggT (12,15)=	gcd(15,20)=	ggT (50,30)=	ggT (12,16)=
3 Gruppe		4 Gruppe
ggT (123,72)=	gcd(120,96)=	gcd(90,72)=	GCD(15;100)=
gcd(45,30)=	ggT (15.9)=	gcd(14,42)=	ggT (34.51)=

Check: Ich gehe die Reihen durch, checke das Bild

Verallgemeinerung: Was muss getan werden, um den GCD zu finden?

Gut erledigt. Der Apfelbaum bedeckte sie mit Zweigen, bedeckte sie mit Blättern. Gänse - Schwäne verloren sie und flogen weiter. Und weiter?

Sie rannten wieder. Es war nicht mehr weit, da sahen sie die Gänse, begannen mit den Flügeln zu schlagen, sie wollen ihnen den Bruder aus den Händen reißen. Sie rannten zum Ofen. Der Ofen wird sie verstecken, wenn das Mädchen den Roggenkuchen probiert.

Helfen wir dem Mädchen.Zuordnung nach Optionen, Test

PRÜFUNG

Thema

Variante 1

Welche Zahlen sind gemeinsame Teiler von 24 und 16?

1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;

3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.

Ist 9 der größte gemeinsame Teiler von 27 und 36?

Ja; 2) nein.

Gegeben seien die Zahlen 128, 64 und 32. Welche ist der größte Teiler aller drei Zahlen?

1) 128; 2) 64; 3) 32.

Sind die Zahlen 7 und 418 teilerfremd?

1) ja; 2) nein.

1) 5 und 25;

2) 64 und 2;

3) 12 und 10;

4) 100 und 9.

PRÜFUNG

Thema : NICKEN. Koprime-Zahlen.

Variante 1

Welche Zahlen sind gemeinsame Teiler von 18 und 12?

1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;

3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.

Ist 4 der größte gemeinsame Teiler von 16 und 32?

Ja; 2) nein.

Gegeben seien die Zahlen 300, 150 und 600. Welche ist der größte Teiler aller drei Zahlen?

1) 600; 2) 150; 3) 300.

Sind die Zahlen 31 und 44 teilerfremd?

1) ja; 2) nein.

Welche der Zahlen sind teilerfremd?

1) 9 und 18;

2) 105 und 65;

3) 44 und 45;

4) 6 und 16.

Untersuchung. Selbstkontrolle von einer Folie. Evaluationskriterien. Folie 10-11

Gut erledigt. Sie aßen Kuchen. Das Mädchen und ihr Bruder saßen im Stoma und versteckten sich. Gänseschwäne flogen, flogen, schrien und flogen mit nichts nach Baba Yaga.

Das Mädchen bedankte sich beim Ofen und rannte nach Hause.

Bald kamen Vater und Mutter von der Arbeit nach Hause.

Zusammenfassung der Lektion. Welche Themen haben wir wiederholt, als wir einem Mädchen mit einem Jungen geholfen haben? (Ermitteln des ggT zweier Zahlen, teilerfremder Zahlen.)

Wie findet man den ggT mehrerer natürlicher Zahlen?

Wie beweist man, dass Zahlen teilerfremd sind?

Während des Unterrichts habe ich Ihnen für jede Aufgabe Noten gegeben und Sie haben sich selbst bewertet. Durch den Vergleich wird die durchschnittliche Punktzahl für die Unterrichtsstunde ermittelt.

Betrachtung.

Liebe Freunde! Um die Lektion zusammenzufassen, würde ich gerne Ihre Meinung über die Lektion hören.

Was war interessant und lehrreich im Unterricht?
Kann ich sicher sein, dass Sie diese Art von Aufgabe bewältigen können?
Welche der Aufgaben stellte sich als die schwierigste heraus?
Welche Wissenslücken traten im Unterricht auf?
Zu welchen Problemen hat diese Lektion geführt?
Wie schätzen Sie die Rolle des Lehrers ein? Hat es Ihnen geholfen, die Fähigkeiten und das Wissen zu erwerben, um diese Art von Problemen zu lösen?

Kleben Sie die Äpfel an den Baum. Wer hat alle Aufgaben bewältigt, und alles war klar - kleben Sie einen roten Apfel. Wer eine Frage hatte - grün, wer nicht verstand - gelb. Folie 12

Stimmt die Aussage? Die kleinste zweistellige Primzahl ist 11

Stimmt die Aussage? Die größte zweistellige zusammengesetzte Zahl ist 99

Stimmt die Aussage? Die Zahlen 8 und 10 sind teilerfremd

Stimmt die Aussage? Einige zusammengesetzte Zahlen können nicht in Primfaktoren zerlegt werden

Legende zum Diktat: _ /\ _ _ /\ /\ Bewertungskriterien Keine Fehler - "5" 1-2 Fehler - "4" 3 Fehler - "3" Mehr als drei - "2"

Beweisen Sie, dass die Zahlen 16 und 21 teilerfremd sind 3 Beweisen Sie, dass die Zahlen 40 und 15 teilerfremd sind Beweisen Sie, dass die Zahlen 45 und 49 teilerfremd sind 2 1 40=2 2 2 5 15=3 5 ggT(40; 15) = 5, Nicht-Primzahlen 45=3 3 5 49=7 7 ggT(45; 49)=, teilerfremde Zahlen 16=2 2 2 2 21=3 7 ggT(45; 49) =1, teilerfremde Zahlen

Bewertungskriterien Kein Fehler – „5“ 1 Fehler – „4“ 2 Fehler – „3“ Mehr als zwei – „2“

Gruppe 1 GCD(48,84)= GCD(60,48)= GCD(12,15)= GCD(15,20)= Gruppe 3 GCD(123,72)= GCD(120,96)= GCD(45, 30)= GCD(15,9)= Gruppe 2 GCD( 60,80)= ggT(80,64)= ggT(50,30)= ggT(12,16)= Gruppe 4 ggT(90,72)= ggT (15,100)= ggT (14,42)= ggT(34,51)=

Aufgaben vom Herd B1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 B2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3

Bewertungskriterien Keine Fehler - "5" 1-2 Fehler - "4" 3 Fehler - "3" Mehr als drei - "2"

Reflexion Ich habe alles verstanden, ich habe alle Aufgaben gemeistert, es gab kleinere Schwierigkeiten, aber ich habe sie gemeistert, es waren noch ein paar Fragen offen

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, was teilerfremde Zahlen sind. Im ersten Absatz formulieren wir Definitionen für zwei, drei oder mehr teilerfremde Zahlen, geben einige Beispiele und zeigen, in welchen Fällen zwei Zahlen zueinander als Primzahlen betrachtet werden können. Danach wenden wir uns der Formulierung der Haupteigenschaften und deren Beweisen zu. Im letzten Abschnitt sprechen wir über ein verwandtes Konzept, paarweise Primzahlen.

Was sind teilerfremde zahlen

Sowohl zwei ganze Zahlen als auch mehr davon können teilerfremd sein. Zunächst führen wir eine Definition für zwei Zahlen ein, für die wir den Begriff ihres größten gemeinsamen Teilers benötigen. Wiederholen Sie bei Bedarf das ihm gewidmete Material.

Bestimmung 1

Zwei solcher Zahlen a und b sind wechselseitig Primzahlen, deren größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist, d.h. ggT (a , b) = 1 .

Aus dieser Definition können wir schließen, dass der einzige positive gemeinsame Teiler zweier teilerfremder Zahlen gleich 1 sein wird. Nur zwei solcher Zahlen haben zwei gemeinsame Teiler - eins und minus eins.

Was sind einige Beispiele für relativ Primzahlen? Ein solches Paar wäre zum Beispiel 5 und 11 . Sie haben nur einen gemeinsamen positiven Teiler, gleich 1, was ihre gegenseitige Einfachheit bestätigt.

Wenn wir zwei Primzahlen nehmen, dann sind sie in jedem Fall relativ teilerfremd, aber solche gegenseitigen Beziehungen werden auch zwischen zusammengesetzten Zahlen gebildet. Es gibt Fälle, in denen eine Zahl in einem Paar teilerfremder Zahlen zusammengesetzt ist und die zweite eine Primzahl ist oder beide Zahlen zusammengesetzt sind.

Diese Aussage wird durch folgendes Beispiel verdeutlicht: Die zusammengesetzten Zahlen - 9 und 8 bilden ein teilerfremdes Paar. Lass es uns beweisen, indem wir ihren größten gemeinsamen Teiler berechnen. Dazu schreiben wir alle ihre Teiler auf (wir empfehlen, den Artikel über das Finden der Teiler einer Zahl noch einmal zu lesen). Für 8 sind dies die Zahlen ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 und für 9 - ± 1, ± 3, ± 9. Wir wählen aus allen Teilern den gemeinsamen und größten aus - das ist einer. Wenn also ggT (8, - 9) = 1, dann sind 8 und - 9 in Bezug aufeinander teilerfremd.

500 und 45 sind keine Primzahlen, da sie einen weiteren gemeinsamen Teiler haben – 5 (siehe den Artikel über Zeichen der Teilbarkeit durch 5). Fünf ist größer als eins und eine positive Zahl. Ein anderes ähnliches Paar könnte - 201 und 3 sein, da beide durch 3 geteilt werden können, wie durch das entsprechende Teilbarkeitszeichen angezeigt wird.

In der Praxis ist es durchaus üblich, die gegenseitige Primzahl zweier ganzer Zahlen zu bestimmen. Dies herauszufinden, kann darauf reduziert werden, den größten gemeinsamen Teiler zu finden und ihn mit Eins zu vergleichen. Es ist auch praktisch, eine Tabelle mit Primzahlen zu verwenden, um keine unnötigen Berechnungen durchzuführen: Wenn eine der angegebenen Zahlen in dieser Tabelle enthalten ist, ist sie nur durch eins und durch sich selbst teilbar. Werfen wir einen Blick auf eine Lösung für dieses Problem.

Beispiel 1

Bedingung: Finden Sie heraus, ob die Zahlen 275 und 84 teilerfremd sind.

Lösung

Beide Zahlen haben eindeutig mehr als einen Teiler, daher können wir sie nicht sofort teilerfremd nennen.

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler mit dem Euklid-Algorithmus: 275 = 84 3 + 23 , 84 = 23 3 + 15 , 23 = 15 1 + 8 , 15 = 8 1 + 7 , 8 = 7 1 + 1 , 7 = 7 1 .

Antworten: da ggT (84, 275) = 1, dann sind diese Zahlen teilerfremd.

Wie wir bereits gesagt haben, kann die Definition solcher Zahlen auf Fälle erweitert werden, in denen wir nicht zwei Zahlen haben, sondern mehr.

Bestimmung 2

Teilerfremde ganze Zahlen a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 werden sein, wenn sie den größten gemeinsamen Teiler gleich 1 haben.

Mit anderen Worten, wenn wir eine Reihe von Zahlen haben, deren größter positiver Teiler größer als 1 ist, dann sind alle diese Zahlen nicht zueinander invers.

Nehmen wir ein paar Beispiele. Die ganzen Zahlen - 99 , 17 und - 27 sind also teilerfremd. Eine beliebige Anzahl von Primzahlen ist in Bezug auf alle Mitglieder der Population teilerfremd, wie beispielsweise in der Folge 2, 3, 11, 19, 151, 293 und 667. Aber die Zahlen 12 , − 9 , 900 und − 72 Teilerfremde werden nicht sein, weil sie zusätzlich zur Einheit einen weiteren positiven Teiler gleich 3 haben werden. Gleiches gilt für die Zahlen 17, 85 und 187: Bis auf eine sind sie alle durch 17 teilbar.

Normalerweise ist die gegenseitige Einfachheit von Zahlen nicht auf den ersten Blick offensichtlich, diese Tatsache muss bewiesen werden. Um herauszufinden, ob einige Zahlen Teilerfremde sind, müssen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler finden und auf der Grundlage seines Vergleichs mit Eins eine Schlussfolgerung ziehen.

Beispiel 2

Bedingung: Bestimmen Sie, ob die Zahlen 331 , 463 und 733 teilerfremd sind.

Lösung

Lassen Sie uns die Tabelle der Primzahlen überprüfen und feststellen, dass alle drei dieser Zahlen darin enthalten sind. Dann kann ihr gemeinsamer Teiler nur eins sein.

Antworten: alle diese Zahlen sind zueinander teilerfremd.

Beispiel 3

Bedingung: beweisen, dass die Zahlen − 14 , 105 , − 2 107 und − 91 nicht teilerfremd sind.

Lösung

Beginnen wir damit, ihren größten gemeinsamen Teiler zu finden, und stellen dann sicher, dass er nicht gleich 1 ist. Da negative Zahlen dieselben Teiler haben wie die entsprechenden positiven, ist ggT (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = ggT (14 , 105 , 2 107 , 91) . Gemäß den Regeln, die wir im Artikel zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers angegeben haben, ist der ggT in diesem Fall gleich sieben.

Antworten: sieben ist größer als eins, was bedeutet, dass diese Zahlen nicht teilerfremd sind.

Grundlegende Eigenschaften von teilerfremden Zahlen

Solche Zahlen haben einige praktisch wichtige Eigenschaften. Wir listen sie der Reihe nach auf und beweisen sie.

Bestimmung 3

Wenn wir die ganzen Zahlen a und b durch die Zahl dividieren, die ihrem größten gemeinsamen Teiler entspricht, erhalten wir relativ Primzahlen. Mit anderen Worten, a: ggT(a, b) und b: ggT(a, b) sind teilerfremd.

Diese Eigenschaft haben wir bereits bewiesen. Den Beweis finden Sie im Artikel über die Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers. Dank ihm können wir Paare von teilerfremden Zahlen definieren: Nimm einfach zwei beliebige ganze Zahlen und dividiere durch ggT. Als Ergebnis sollten wir teilerfremde Zahlen erhalten.

Bestimmung 4

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die gegenseitige Einfachheit der Zahlen a und b ist die Existenz solcher ganzen Zahlen du 0 und v0, für die die Gleichheit a u 0 + b v 0 = 1 wird wahr sein.

Beweis 1

Wir beginnen mit dem Beweis der Notwendigkeit dieser Bedingung. Nehmen wir an, wir haben zwei relativ Primzahlen mit den Bezeichnungen a und b . Dann ist nach Definition dieses Konzepts ihr größter gemeinsamer Teiler gleich eins. Aus den Eigenschaften von ggT wissen wir, dass es für die ganzen Zahlen a und b eine Bezout-Beziehung gibt a u 0 + b v 0 = ggT (a, b). Daraus bekommen wir das a u 0 + b v 0 = 1. Danach müssen wir die Hinlänglichkeit der Bedingung beweisen. Gleichheit lassen a u 0 + b v 0 = 1 wird wahr sein, wenn ggT (a , b) teilt und a , und b , dann wird dividiert und summiert a u 0 + b v 0 bzw. Einheit (dies kann basierend auf den Eigenschaften der Teilbarkeit argumentiert werden). Und das ist nur möglich, wenn ggT(a, b) = 1, was die gegenseitige Einfachheit von a und b beweist.

Wenn a und b Teilerfremde sind, ist die Gleichheit gemäß der vorherigen Eigenschaft wahr a u 0 + b v 0 = 1. Wir multiplizieren beide Teile mit c und erhalten das ein c u 0 + b c v 0 = c. Wir können den ersten Term dividieren a c u 0 + b c v 0 durch b, weil es für a c möglich ist, und der zweite Term ist auch durch b teilbar, weil einer der Faktoren, die wir haben, b ist. Daraus schließen wir, dass die Gesamtsumme durch b geteilt werden kann, und da diese Summe gleich c ist, kann c durch b geteilt werden.

Bestimmung 5

Wenn zwei ganze Zahlen a und b Teilerfremde sind, dann ist ggT(a c, b) = ggT(c, b) .

Beweis 2

Lassen Sie uns beweisen, dass ggT (a c , b) ggT (c , b) teilt, und danach - dass ggT (c , b) ggT (a c , b) teilt, was die Richtigkeit der Gleichheit ggT (a · c, b) = ggT (c, b) .

Da ggT (a c , b) sowohl a c als auch b teilt und ggT (a c , b) b teilt, wird es auch b c teilen. Daher teilt ggT (a c, b) sowohl a c als auch b c, daher teilt es aufgrund der Eigenschaften von ggT auch ggT (a c, b c), was gleich c ggT (a, b ) = c ist. Daher teilt ggT(a c, b) sowohl b als auch c, also teilt auch ggT(c, b).

Sie können auch sagen, da ggT (c, b) sowohl c als auch b teilt, dann wird es sowohl c als auch a c teilen. Das bedeutet, dass ggT (c , b) sowohl a c als auch b teilt, also teilt auch ggT (a c , b).

Somit teilen sich ggT (a c, b) und ggT (c, b) gegenseitig, was bedeutet, dass sie gleich sind.

Bestimmung 6

Wenn die Zahlen in der Sequenz a 1 , a 2 , … , ein k in Bezug auf die Zahlen der Folge teilerfremd sein b 1 , b 2 , … , b m(für natürliche Werte von k und m), dann ihre Produkte ein 1 ein 2 … ein k und b 1 b 2 … b m sind auch teilerfremd, insbesondere ein 1 = ein 2 = … = ein k = ein und b 1 = b 2 = ... = b m = b, dann ein k und b m sind teilerfremd.

Beweis 3

Gemäß der vorherigen Eigenschaft können wir Gleichungen der folgenden Form schreiben: ggT (a 1 a 2 … a k , b m) = ggT (a 2 a k , b m) = … = ggT (a k , b m) = 1 . Die Möglichkeit des letzten Übergangs wird dadurch sichergestellt, dass a k und b m nach Annahme teilerfremd sind. Daher gilt ggT (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Bezeichne a 1 a 2 … a k = A und erhalte ggT (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = ggT (b 1 b 2 … b m , A) = ggT (b 2 · … · b · b m , A) = … = ggT (b m , A) = 1 . Dies gilt aufgrund der letzten Gleichheit aus der oben konstruierten Kette. Damit haben wir die Gleichheit ggT (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = 1 erhalten, mit der sich die gegenseitige Einfachheit der Produkte beweisen lässt ein 1 ein 2 … ein k und b 1 b 2 … b m

Das sind alles Eigenschaften von teilerfremden Zahlen, die wir Ihnen gerne näher bringen möchten.

Das Konzept der paarweisen Primzahlen

Wenn wir wissen, was teilerfremde Zahlen sind, können wir die Definition paarweiser Primzahlen formulieren.

Bestimmung 7

Paarweise Primzahlen ist eine Folge von ganzen Zahlen a 1 , a 2 , … , a k , wobei jede Zahl in Bezug auf die anderen teilerfremd ist.

Ein Beispiel für eine Folge paarweiser Primzahlen wäre 14 , 9 , 17 und − 25 . Hier sind alle Paare (14 und 9 , 14 und 17 , 14 und − 25 , 9 und 17 , 9 und − 25 , 17 und − 25) teilerfremd. Beachten Sie, dass die teilerfremde Bedingung für paarweise Primzahlen obligatorisch ist, aber teilerfremde Zahlen nicht in allen Fällen paarweise Primzahlen sind. Zum Beispiel sind die Zahlen in der Folge 8 , 16 , 5 und 15 nicht so, weil 8 und 16 nicht teilerfremd sind.

Wir sollten uns auch mit dem Konzept einer Menge einer bestimmten Anzahl von Primzahlen befassen. Sie werden immer sowohl gegenseitig als auch paarweise einfach sein. Ein Beispiel wäre die Sequenz 71 , 443 , 857 , 991 . Bei Primzahlen fallen die Konzepte der gegenseitigen und der paarweisen Einfachheit zusammen.

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Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Bestimmung 1 . Der gemeinsame Teiler mehrerer natürlicher Zahlen ist die Zahl, die ein Teiler jeder dieser Zahlen ist.

Bestimmung 2 . Der größte gemeinsame Teiler heißt größter gemeinsamer Teiler (ggT).

Beispiel 1 . Die gemeinsamen Teiler der Zahlen 30, 45 und 60 sind die Zahlen 3, 5, 15. Der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen wird sein

ggT(30, 45, 10) = 15.

Bestimmung 3 . Wenn der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen 1 ist, dann nennt man diese Zahlen teilerfremd.

Beispiel 2 . Die Zahlen 40 und 3 sind teilerfremd, aber die Zahlen 56 und 21 sind nicht teilerfremd, da die Zahlen 56 und 21 einen gemeinsamen Teiler 7 haben, der größer als 1 ist.

Anmerkung . Wenn der Zähler eines Bruchs und der Nenner eines Bruchs relative Primzahlen sind, dann ist ein solcher Bruch irreduzibel.

Algorithmus zum Finden des größten gemeinsamen Teilers

In Betracht ziehen Algorithmus zum Finden des größten gemeinsamen Teilers mehrere Zahlen im folgenden Beispiel.

Beispiel 3 . Finde den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 100, 750 und 800 .

Lösung . Zerlegen wir diese Zahlen in Primfaktoren:

Der Primfaktor 2 geht in die erste Faktorisierung hoch 2, in die zweite Faktorisierung hoch 1 und in die dritte Faktorisierung hoch 5 ein. Bezeichnen am wenigsten dieser Abschlüsse mit dem Buchstaben a. Es ist klar, dass a = 1 .

Der Primfaktor 3 geht in die erste Faktorisierung mit der Potenz 0 ein (mit anderen Worten, der Faktor 3 geht in die erste Faktorisierung überhaupt nicht ein), die zweite Faktorisierung mit der Potenz 1 und die dritte Faktorisierung mit der Potenz 0. Bezeichnen am wenigsten dieser Abschlüsse mit dem Buchstaben b. Es ist klar, dass b = 0 .

Der Primfaktor 5 geht in die erste Faktorisierung hoch 2 ein, in die zweite Faktorisierung hoch 3 und in die dritte Faktorisierung hoch 2. Bezeichnen am wenigsten dieser Abschlüsse mit dem Buchstaben c. Es ist klar, dass c = 2 .

Typ