Wie man strenge und nicht strenge Ungleichungen löst. Was ist Ungleichheit? Wahre und falsche Ungleichheiten

Was müssen Sie über Ungleichheitssymbole wissen? Icon-Ungleichheiten mehr (> ), oder weniger (< ) werden genannt strikt. Mit Ikonen mehr oder gleich (≥ ), weniger oder gleich (≤ ) werden genannt nicht streng. Symbol nicht gleich (≠ ) steht alleine, aber Sie müssen auch ständig Beispiele mit einem solchen Symbol lösen. Und wir werden.)

Das Symbol selbst hat keinen großen Einfluss auf den Lösungsprozess. Aber am Ende der Lösung, bei der Auswahl der endgültigen Antwort, erscheint die Bedeutung des Symbols in voller Kraft! Wie wir unten in den Beispielen sehen werden. Es gibt einige Witze...

Ungleichheiten sind wie Gleichheiten treu und untreu. Hier ist alles einfach, ohne Tricks. Sagen wir 5 > 2 ist die richtige Ungleichung. 5 < 2 ist falsch.

Eine solche Vorbereitung funktioniert für Ungleichheiten jede Form und einfach zum Entsetzen.) Sie müssen nur zwei (nur zwei!) Elementaraktionen korrekt ausführen. Diese Aktionen sind jedem bekannt. Aber was typisch ist, die Pfosten in diesen Aktionen sind der Hauptfehler bei der Lösung von Ungleichheiten, ja ... Daher müssen diese Aktionen wiederholt werden. Diese Aktionen heißen wie folgt:

Identitätstransformationen von Ungleichheiten.

Identitätstransformationen von Ungleichungen sind Identitätstransformationen von Gleichungen sehr ähnlich. Eigentlich ist dies das Hauptproblem. Unterschiede rutschen über den Kopf und ... angekommen.) Daher werde ich diese Unterschiede besonders hervorheben. Also die erste identische Transformation von Ungleichungen:

1. Die gleiche Zahl oder der gleiche Ausdruck kann zu beiden Teilen der Ungleichung addiert (subtrahiert) werden. Irgendein. Das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht.

In der Praxis wird diese Regel als Übertragung von Termen von der linken Seite der Ungleichung auf die rechte Seite (und umgekehrt) mit Vorzeichenwechsel angewendet. Bei einem Vorzeichenwechsel des Terms keine Ungleichheit! Die Eins-zu-Eins-Regel ist die gleiche wie die Regel für Gleichungen. Aber die folgenden identischen Transformationen in Ungleichungen unterscheiden sich erheblich von denen in Gleichungen. Also markiere ich sie rot:

2. Beide Teile der Ungleichung können mit demselben multipliziert (dividiert) werdenpositivNummer. Für allepositiv Wird sich nicht ändern.

3. Beide Teile der Ungleichung können mit demselben multipliziert (dividiert) werdenNegativ Nummer. Für alleNegativNummer. Daraus ergibt sich das Ungleichheitszeichenwird sich ins gegenteil ändern.

Sie erinnern sich (hoffentlich ...), dass eine Gleichung mit allem multipliziert/dividiert werden kann. Und für jede Zahl und für einen Ausdruck mit x. Solange es nicht null ist. Er, die Gleichung, ist davon weder heiß noch kalt.) Sie ändert sich nicht. Aber Ungleichungen reagieren empfindlicher auf Multiplikation/Division.

Ein gutes Beispiel für ein langes Gedächtnis. Wir schreiben eine Ungleichung, die keine Zweifel hervorruft:

5 > 2

Multiplizieren Sie beide Seiten mit +3, wir bekommen:

15 > 6

Gibt es Einwände? Es gibt keine Einwände.) Und wenn wir beide Teile der ursprünglichen Ungleichung mit multiplizieren -3, wir bekommen:

15 > -6

Und das ist eine glatte Lüge.) Eine komplette Lüge! Die Leute täuschen! Aber sobald das Ungleichheitszeichen umgedreht wird, passt alles:

15 < -6

Über Lügen und Betrug - ich schwöre nicht nur.) "Ich habe vergessen, das Ungleichheitszeichen zu ändern..."- Das Heimat Fehler beim Lösen von Ungleichungen. Diese unbedeutende und unkomplizierte Regel hat so viele Menschen verletzt! Wer hat es vergessen ...) Also ich schwöre. Vielleicht erinnern...)

Wer besonders aufmerksam ist, wird feststellen, dass Ungleichheit nicht durch einen Ausdruck mit x multipliziert werden kann. Achtung aufmerksam!) Und warum nicht? Die Antwort ist einfach. Wir kennen das Vorzeichen dieses Ausdrucks mit x nicht. Es kann positiv, negativ sein ... Daher wissen wir nicht, welches Ungleichheitszeichen nach der Multiplikation gesetzt werden soll. Ändern oder nicht? Unbekannt. Natürlich kann diese Einschränkung (das Verbot, eine Ungleichung mit einem Ausdruck mit x zu multiplizieren/dividieren) umgangen werden. Wenn Sie es wirklich brauchen. Aber das ist ein Thema für andere Lektionen.

Das sind alles identische Transformationen von Ungleichungen. Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sie für arbeiten irgendein Ungleichheiten. Und jetzt können Sie zu bestimmten Typen übergehen.

Lineare Ungleichungen. Lösung, Beispiele.

Lineare Ungleichungen heißen Ungleichungen, bei denen x im ersten Grad ist und es keine Division durch x gibt. Typ:

x+3 > 5x-5

Wie werden diese Ungleichheiten gelöst? Sie sind sehr einfach zu lösen! Nämlich: mit der Hilfe reduzieren wir die verworrenste lineare Ungleichung direkt zur Antwort. Das ist die ganze Lösung. Ich werde die Hauptpunkte der Lösung hervorheben. Um dumme Fehler zu vermeiden.)

Wir lösen diese Ungleichung:

x+3 > 5x-5

Wir lösen auf die gleiche Weise wie eine lineare Gleichung. Mit dem einzigen Unterschied:

Achten Sie genau auf das Ungleichheitszeichen!

Der erste Schritt ist der häufigste. Mit x - nach links, ohne x - nach rechts ... Dies ist die erste identische Transformation, einfach und problemlos.) Nur nicht vergessen, die Vorzeichen der übertragenen Stäbe zu ändern.

Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten:

x-5x > -5-3

Wir stellen ähnliche vor.

Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten:

4x > -8

Es bleibt die letzte identische Transformation anzuwenden: Beide Teile durch -4 teilen.

Teilen durch Negativ Nummer.

Das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt:

X < 2

Das ist die Antwort.

So werden alle linearen Ungleichungen gelöst.

Aufmerksamkeit! Punkt 2 ist weiß gezeichnet, d.h. unbemalt. Innen leer. Dies bedeutet, dass sie nicht in der Antwort enthalten ist! Ich habe sie absichtlich so gesund gezeichnet. Ein solcher Punkt (leer, nicht gesund!)) wird in der Mathematik genannt ausgestanzter Punkt.

Die restlichen Zahlen auf der Achse können markiert werden, müssen aber nicht. Fremde Zahlen, die nichts mit unserer Ungleichheit zu tun haben, können verwirrend sein, ja ... Sie müssen sich nur daran erinnern, dass die Zunahme der Zahlen in Pfeilrichtung geht, d.h. Zahlen 3, 4, 5 usw. sind Nach rechts Zweier und die Zahlen 1, 0, -1 usw. - Nach links.

Ungleichung x < 2 - strikt. X ist strikt kleiner als zwei. Im Zweifel ist die Prüfung einfach. Wir setzen eine zweifelhafte Zahl in die Ungleichung ein und denken: "Zwei ist kleiner als zwei? Natürlich nicht!" Genau so. Ungleichheit 2 < 2 falsch. Eine Zwei ist nicht gut für eine Antwort.

Ist eine Single gut genug? Na sicher. Weniger ... Und null ist gut und -17 und 0,34 ... Ja, alle Zahlen, die kleiner als zwei sind, sind gut! Und sogar 1,9999 .... Zumindest ein bisschen, aber weniger!

Also markieren wir alle diese Zahlen auf der Zahlenachse. Wie? Hier gibt es Optionen. Die erste Option ist das Schraffieren. Wir bewegen die Maus über das Bild (oder berühren das Bild auf dem Tablett) und sehen, dass der Bereich aller x, die der x-Bedingung entsprechen, schattiert ist < 2 . Das ist alles.

Betrachten wir die zweite Option im zweiten Beispiel:

X ≥ -0,5

Zeichnen Sie eine Achse, markieren Sie die Zahl -0,5. So:

Hast du den Unterschied bemerkt?) Nun, ja, es ist schwer, es nicht zu bemerken ... Dieser Punkt ist schwarz! Übermalt. Dies bedeutet, dass -0,5 in der Antwort enthalten. Hier übrigens überprüfen und jemanden verwirren. Wir ersetzen:

-0,5 ≥ -0,5

Wie? -0,5 ist nichts anderes als -0,5! Es gibt noch mehr Symbole ...

Macht nichts. Bei einer nicht-strikten Ungleichung ist alles geeignet, was zur Ikone passt. Und gleich passen und mehr gut. Daher ist -0,5 in der Antwort enthalten.

Also haben wir -0,5 auf der Achse markiert, es bleibt, alle Zahlen zu markieren, die größer als -0,5 sind. Diesmal markiere ich den Bereich geeigneter x-Werte Schäkel(aus dem Wort Bogen) anstatt zu schraffieren. Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild und sehen Sie diesen Bogen.

Es gibt keinen besonderen Unterschied zwischen Schraffur und Bögen. Mach es wie der Lehrer sagt. Wenn es keinen Lehrer gibt, zeichne die Arme. Bei komplexeren Aufgaben ist die Schraffur weniger auffällig. Sie können verwirrt werden.

So werden lineare Ungleichungen auf der Achse gezeichnet. Wir gehen zur nächsten Singularität von Ungleichungen über.

Schreiben Sie eine Antwort für Ungleichungen.

Es war gut in den Gleichungen.) Wir haben x gefunden und die Antwort aufgeschrieben, zum Beispiel: x \u003d 3. Bei Ungleichungen gibt es zwei Formen, Antworten zu schreiben. Eins - in Form der endgültigen Ungleichheit. Gut für einfache Fälle. Zum Beispiel:

X< 2.

Dies ist eine vollständige Antwort.

Manchmal ist es erforderlich, dasselbe zu schreiben, aber in einer anderen Form, durch numerische Lücken. Dann sieht der Eintrag sehr wissenschaftlich aus):

x ∈ (-∞; 2)

Unter dem Symbol ∈ versteckt das Wort "gehört".

Der Eintrag liest sich wie folgt: x gehört zum Intervall von minus unendlich bis zwei nicht inklusive. Ganz logisch. X kann eine beliebige Zahl aller möglichen Zahlen von minus unendlich bis zwei sein. Double X kann nicht sein, was uns das Wort sagt "nicht inklusive".

Wo steht das in der Antwort "nicht inklusive"? Diese Tatsache wird in der Antwort vermerkt. runden Klammer unmittelbar nach der Zwei. Wenn die Zwei enthalten wäre, wäre die Klammer Quadrat. Hier ist es: ]. Das folgende Beispiel verwendet eine solche Klammer.

Schreiben wir die Antwort auf: x ≥ -0,5 durch Intervalle:

x ∈ [-0,5; +∞)

Liest: x gehört zum Intervall von minus 0,5, einschließlich, bis plus unendlich.

Unendlichkeit kann sich niemals einschalten. Es ist keine Zahl, es ist ein Symbol. Daher koexistiert in solchen Einträgen immer unendlich mit einer Klammer.

Diese Form der Aufzeichnung eignet sich für komplexe Antworten, die aus mehreren Lücken bestehen. Aber - nur für die endgültigen Antworten. Bei Zwischenergebnissen, bei denen eine weitere Lösung erwartet wird, ist es besser, die übliche Form in Form einer einfachen Ungleichung zu verwenden. Darauf gehen wir in den entsprechenden Themen ein.

Beliebte Aufgaben mit Ungleichheiten.

Die linearen Ungleichungen selbst sind einfach. Daher werden die Aufgaben oft schwieriger. Also, zu denken, dass es notwendig war. Dies ist, wenn auch aus Gewohnheit, nicht sehr angenehm.) Aber es ist nützlich. Ich werde Beispiele für solche Aufgaben zeigen. Nicht für Sie, sie zu lernen, es ist überflüssig. Und um keine Angst zu haben, wenn man auf ähnliche Beispiele trifft. Ein kleiner Gedanke - und alles ist einfach!)

1. Finden Sie zwei beliebige Lösungen für die 3x - 3-Ungleichung< 0

Wenn es nicht ganz klar ist, was zu tun ist, denken Sie an die Hauptregel der Mathematik:

Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können!

X < 1

Na und? Nichts Besonderes. Was werden wir gefragt? Wir werden gebeten, zwei bestimmte Zahlen zu finden, die die Lösung einer Ungleichung sind. Diese. die Antwort passen. Zwei irgendein Zahlen. Eigentlich ist das peinlich.) Ein paar 0 und 0,5 sind geeignet. Ein paar -3 und -8. Ja, es gibt unendlich viele dieser Paare! Was ist die korrekte Antwort?!

Ich antworte: alles! Jedes Zahlenpaar, von denen jede kleiner als eins ist, wäre die richtige Antwort. Schreiben Sie, was Sie wollen. Gehen wir weiter.

2. Lösen Sie die Ungleichung:

4x - 3 ≠ 0

Jobs wie dieser sind selten. Aber als Hilfsungleichungen, zum Beispiel beim Auffinden der ODZ oder beim Auffinden des Definitionsbereichs einer Funktion, trifft man sie ständig an. Eine solche lineare Ungleichung kann als gewöhnliche lineare Gleichung gelöst werden. Nur überall, außer dem "=" Zeichen ( gleich) setze das Zeichen " ≠ " (nicht gleich). Sie kommen also zur Antwort mit einem Ungleichheitszeichen:

X ≠ 0,75

Bei komplexeren Beispielen ist es besser, die Dinge anders zu machen. Ungleichheit gleich machen. So:

4x - 3 = 0

Lösen Sie es ruhig wie gelehrt und erhalten Sie die Antwort:

x = 0,75

Die Hauptsache ganz am Ende, wenn Sie die endgültige Antwort aufschreiben, ist, nicht zu vergessen, dass wir x gefunden haben, was ergibt Gleichberechtigung. Und wir brauchen - Ungleichheit. Daher brauchen wir dieses X einfach nicht.) Und wir müssen es mit dem richtigen Symbol aufschreiben:

X ≠ 0,75

Dieser Ansatz führt zu weniger Fehlern. Diejenigen, die Gleichungen an der Maschine lösen. Und für diejenigen, die Gleichungen nicht lösen, sind Ungleichungen tatsächlich nutzlos ...) Ein weiteres Beispiel für eine beliebte Aufgabe:

3. Finde die kleinste ganzzahlige Lösung der Ungleichung:

3(x - 1) < 5x + 9

Zuerst lösen wir einfach die Ungleichung. Wir öffnen die Klammern, übertragen, geben ähnliche ... Wir bekommen:

X > - 6

Ist es nicht passiert!? Bist du den Schildern gefolgt? Und hinter den Zeichen der Mitglieder und hinter dem Zeichen der Ungleichheit ...

Stellen wir uns das noch einmal vor. Wir müssen eine bestimmte Zahl finden, die sowohl der Antwort als auch der Bedingung entspricht "kleinste ganze Zahl". Wenn es dir nicht sofort auffällt, kannst du einfach eine beliebige Zahl nehmen und es herausfinden. Zwei ist größer als minus sechs? Na sicher! Gibt es eine passende kleinere Nummer? Na sicher. Null ist beispielsweise größer als -6. Und noch weniger? Wir brauchen das kleinstmögliche! Minus drei ist mehr als minus sechs! Sie können das Muster bereits erkennen und aufhören, die Zahlen dumm zu sortieren, oder?)

Wir nehmen eine Zahl näher an -6. Zum Beispiel -5. Antwort ausgeführt, -5 > - 6. Können Sie eine andere Zahl finden, die kleiner als -5, aber größer als -6 ist? Sie können zum Beispiel -5,5 ... Stop! Uns wurde gesagt ganz Lösung! Rollt nicht -5,5! Was ist mit minus sechs? Eee! Die Ungleichung ist streng, minus 6 ist nicht weniger als minus 6!

Die richtige Antwort ist also -5.

Ich hoffe, dass mit der Auswahl des Werts aus der allgemeinen Lösung alles klar ist. Ein anderes Beispiel:

4. Lösen Sie die Ungleichung:

7 < 3x+1 < 13

Wie! Ein solcher Ausdruck heißt Dreifache Ungleichheit. Genau genommen ist dies eine verkürzte Schreibweise des Systems der Ungleichungen. Aber solche dreifachen Ungleichungen muss man bei manchen Aufgaben trotzdem lösen ... Es wird ohne irgendwelche Systeme gelöst. Durch dieselben identischen Transformationen.

Es ist notwendig, diese Ungleichung zu vereinfachen und auf ein reines X zu bringen. Aber... Was soll wohin transferiert werden!? Hier ist die Zeit, sich daran zu erinnern, dass das Verschieben von links nach rechts ist Kurzform die erste identische Transformation.

Und das vollständige Formular sieht so aus: Sie können eine beliebige Zahl oder einen beliebigen Ausdruck zu beiden Teilen der Gleichung addieren / subtrahieren (Ungleichheit).

Hier gibt es drei Teile. Wir werden also identische Transformationen auf alle drei Teile anwenden!

Lassen Sie uns also die im mittleren Teil der Ungleichung loswerden. Ziehe eins vom gesamten Mittelteil ab. Damit sich die Ungleichung nicht ändert, subtrahieren wir eins von den verbleibenden zwei Teilen. So:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Schon besser, oder?) Es bleibt, alle drei Teile in drei zu unterteilen:

2 < X < 4

Das ist alles. Das ist die Antwort. X kann eine beliebige Zahl von zwei (ohne) bis vier (ohne) sein. Diese Antwort wird auch in Intervallen geschrieben, solche Einträge werden in quadratischen Ungleichungen sein. Dort sind sie am häufigsten.

Am Ende der Lektion wiederhole ich das Wichtigste. Der Erfolg beim Lösen linearer Ungleichungen hängt von der Fähigkeit ab, lineare Gleichungen zu transformieren und zu vereinfachen. Wenn gleichzeitig Folgen Sie dem Ungleichheitszeichen, es wird keine probleme geben. Was ich dir wünsche. Kein Problem.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Die andere Seite der Gleichheit ist Ungleichheit. In diesem Artikel stellen wir den Begriff der Ungleichheit vor und geben erste Hinweise dazu im Kontext der Mathematik.

Zuerst werden wir analysieren, was Ungleichheit ist, und die Konzepte ungleich, mehr, weniger einführen. Als nächstes sprechen wir über das Schreiben von Ungleichungen mit den Zeichen ungleich, kleiner als, größer als, kleiner oder gleich, größer als oder gleich. Danach werden wir die wichtigsten Arten von Ungleichungen ansprechen und Definitionen von strengen und nicht strengen, wahren und falschen Ungleichungen geben. Als nächstes listen wir kurz die wichtigsten Eigenschaften von Ungleichungen auf. Schauen wir uns zum Schluss Doubles, Triples usw. an. Ungleichheiten und analysieren, welche Bedeutung sie in sich tragen.

Seitennavigation.

Was ist Ungleichheit?

Das Konzept der Ungleichheit, sowie , beziehen sich auf den Vergleich zweier Objekte. Und wenn Gleichheit durch das Wort "gleich" gekennzeichnet ist, dann spricht Ungleichheit im Gegenteil von der Differenz zwischen den verglichenen Objekten. Zum Beispiel sind Objekte und gleich, wir können über sie sagen, dass sie gleich sind. Aber die beiden Objekte sind verschieden, das heißt sie nicht gleich oder ungleich.

Die Ungleichheit verglichener Objekte ist bekannt zusammen mit der Bedeutung von Wörtern wie höher, niedriger (Ungleichheit in der Höhe), dicker, dünner (Ungleichheit in der Dicke), weiter, näher (Ungleichheit in der Entfernung von etwas), länger, kürzer (Ungleichheit in Länge), schwerer, leichter (Gewichtsunterschied), heller, dunkler (Helligkeitsunterschied), wärmer, kälter usw.

Wie wir bereits beim Kennenlernen von Gleichheiten bemerkt haben, kann man sowohl von der Gleichheit zweier Objekte im Allgemeinen als auch von der Gleichheit einiger ihrer Eigenschaften sprechen. Gleiches gilt für Ungleichheiten. Nehmen wir als Beispiel zwei Objekte und . Offensichtlich sind sie nicht gleich, dh im Allgemeinen sind sie ungleich. Sie haben weder die gleiche Größe noch die gleiche Farbe, aber wir können über die Gleichheit ihrer Formen sprechen - sie sind beide Kreise.

In der Mathematik bleibt die allgemeine Bedeutung der Ungleichheit erhalten. Aber in ihrem Kontext wir redenüber die Ungleichheit mathematischer Objekte: Zahlen, Werte von Ausdrücken, Werte beliebiger Größen (Längen, Gewichte, Flächen, Temperaturen usw.), Zahlen, Vektoren usw.

Ungleich, mehr, weniger

Manchmal ist die bloße Tatsache der Ungleichheit zweier Objekte von Wert. Und wenn die Werte beliebiger Größen verglichen werden, gehen sie, nachdem sie ihre Ungleichheit herausgefunden haben, normalerweise weiter und finden heraus, welcher Wert mehr, und welches weniger.

Die Bedeutung der Worte „mehr“ und „weniger“ lernen wir fast schon in den ersten Tagen unseres Lebens. Auf einer intuitiven Ebene nehmen wir das Konzept von mehr und weniger in Bezug auf Größe, Menge usw. wahr. Und dann beginnen wir allmählich zu erkennen, dass wir in diesem Fall tatsächlich sprechen Zahlen vergleichen, entsprechend der Anzahl einiger Objekte oder den Werten einiger Mengen. Das heißt, in diesen Fällen finden wir heraus, welche der Zahlen größer und welche kleiner ist.

Nehmen wir ein Beispiel. Betrachten Sie zwei Segmente AB und CD und vergleichen Sie ihre Längen . Offensichtlich sind sie nicht gleich, es ist auch offensichtlich, dass das Segment AB länger ist als das Segment CD. Somit ist gemäß der Bedeutung des Wortes "länger" die Länge des Segments AB größer als die Länge des Segments CD, und gleichzeitig ist die Länge des Segments CD kleiner als die Länge des Segments AB.

Ein anderes Beispiel. Die Lufttemperatur betrug morgens 11 Grad Celsius und nachmittags 24 Grad. Laut ist 11 kleiner als 24, daher war der Temperaturwert am Morgen niedriger als sein Wert am Nachmittag (die Temperatur zur Mittagszeit wurde höher als die Temperatur am Morgen).

Ungleichungen mit Zeichen schreiben

Der Brief hat mehrere Zeichen für die Erfassung von Ungleichheiten übernommen. Der erste ist Vorzeichen nicht gleich, es stellt ein durchgestrichenes Gleichheitszeichen dar: ≠. Das Ungleichzeichen steht zwischen ungleichen Objekten. Zum Beispiel der Eintrag |AB|≠|CD| bedeutet, dass die Länge des Segments AB ungleich der Länge des Segments CD ist. Ebenso ist 3≠5 - drei nicht gleich fünf.

Das Größer-als-Zeichen > und das Kleiner-als-Zeichen ≤ werden ähnlich verwendet. Das Größer-als-Zeichen wird zwischen das größere und das kleinere Objekt geschrieben, und das Kleiner-als-Zeichen wird zwischen das kleinere und das größere geschrieben. Wir geben Beispiele für die Verwendung dieser Zeichen. Die Notation 7>1 wird als sieben größer als eins gelesen, und es ist möglich zu schreiben, dass die Fläche des Dreiecks ABC kleiner als die Fläche des Dreiecks DEF ist, indem das Zeichen ≤ als SABC≤SDEF verwendet wird.

Ebenfalls häufig verwendet wird ein Größer-als- oder Gleichheitszeichen der Form ≥ sowie ein Kleiner-als- oder Gleichheitszeichen ≤. Wir werden im nächsten Absatz mehr über ihre Bedeutung und ihren Zweck sprechen.

Wir weisen auch darauf hin, dass algebraische Notationen mit Vorzeichen ungleich, kleiner als, größer als, kleiner oder gleich, größer oder gleich, ähnlich den oben diskutierten, als Ungleichungen bezeichnet werden. Außerdem gibt es eine Definition von Ungleichungen im Sinne ihrer Schreibweise:

Definition.

Ungleichheiten sind sinnvolle algebraische Ausdrücke, die mit den Zeichen ≠ zusammengesetzt sind,<, >, ≤, ≥.

Strikte und nicht-strikte Ungleichungen

Definition.

Zeichen weniger genannt Anzeichen strenger Ungleichheiten, und die mit ihrer Hilfe geschriebenen Ungleichungen sind strenge Ungleichheiten.

Wiederum

Definition.

Die Zeichen kleiner gleich ≤ und größer gleich ≥ heißen Anzeichen nicht-strikter Ungleichungen, und die damit kompilierten Ungleichungen sind nicht strenge Ungleichungen.

Die Tragweite der strengen Ungleichungen wird aus den obigen Informationen deutlich. Warum sind nicht-strikte Ungleichungen notwendig? In der Praxis ist es mit ihrer Hilfe bequem, Situationen zu modellieren, die mit den Sätzen „nicht mehr“ und „nicht weniger“ beschrieben werden können. Der Ausdruck „nicht mehr“ bedeutet im Wesentlichen kleiner oder gleich, er entspricht einem Zeichen kleiner oder gleich der Form ≤. Ebenso bedeutet „nicht weniger als“ gleich oder mehr, es entspricht dem Zeichen größer oder gleich ≥.

Daraus wird deutlich, warum die Zeichen< и >erhielt den Namen der Zeichen strenger Ungleichheiten und ≤ und ≥ - nicht streng. Erstere schließen die Möglichkeit der Gleichheit von Objekten aus, während letztere sie zulassen.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts zeigen wir einige Beispiele für die Verwendung nichtstrikter Ungleichungen. Wenn Sie beispielsweise ein Größer-als- oder Gleichheitszeichen verwenden, können Sie die Tatsache, dass a eine nicht negative Zahl ist, als |a|≥0 schreiben. Ein weiteres Beispiel: Es ist bekannt, dass das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen a und b kleiner oder gleich ihrem arithmetischen Mittel ist, d. h. .

Wahre und falsche Ungleichheiten

Ungleichungen können wahr oder falsch sein.

Definition.

Ungleichheit ist treu wenn es der Bedeutung der oben eingeführten Ungleichung entspricht, sonst ist es untreu.

Lassen Sie uns Beispiele für wahre und falsche Ungleichungen geben. Beispielsweise ist 3≠3 eine ungültige Ungleichung, da die Zahlen 3 und 3 gleich sind. Ein weiteres Beispiel: Sei S die Fläche einer Figur, dann S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB| . Aber die Ungleichungen −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает Dreiecksungleichung, und der dritte stimmt mit der Definition des Moduls einer Zahl überein.

Beachten Sie, dass zusammen mit dem Ausdruck „wahre Ungleichheit“ die folgenden Ausdrücke verwendet werden: „faire Ungleichheit“, „es gibt eine Ungleichheit“ usw., was dasselbe bedeutet.

Eigenschaften von Ungleichungen

Entsprechend der Art und Weise, wie wir das Konzept der Ungleichheit eingeführt haben, können wir das Wesentliche beschreiben Eigenschaften von Ungleichungen. Es ist klar, dass ein Objekt nicht sich selbst gleich sein kann. Dies ist die erste Eigenschaft von Ungleichungen. Die zweite Eigenschaft ist nicht weniger offensichtlich: Wenn das erste Objekt nicht gleich dem zweiten ist, dann ist das zweite nicht gleich dem ersten.

Die auf einer bestimmten Menge eingeführten Begriffe „kleiner“ und „größer“ definieren die sogenannten Relationen „kleiner“ und „größer“ auf der ursprünglichen Menge. Gleiches gilt für die Relationen „kleiner gleich“ und „größer gleich“. Sie haben auch charakteristische Eigenschaften.

Beginnen wir mit den Eigenschaften der Relationen, denen die Zeichen entsprechen< и >. Wir listen sie auf und geben anschließend die notwendigen Kommentare zur Klarstellung:

• Antireflexivität;
• Antisymmetrie;
• Transitivität.

Die Eigenschaft der Antireflexivität kann wie folgt mit Buchstaben geschrieben werden: Für jedes Objekt a gelten die Ungleichungen a>a und a b, dann b a. Schließlich ist die Eigenschaft der Transitivität die von a b und b>c folgt a>c . Diese Eigenschaft wird auch ganz natürlich wahrgenommen: Wenn das erste Objekt kleiner (größer) als das zweite ist und das zweite kleiner (größer) als das dritte, dann ist klar, dass das erste Objekt viel kleiner (größer) als das dritte ist .

Die Relationen „kleiner gleich“ und „größer gleich“ haben wiederum folgende Eigenschaften:

• Reflexivität: es gelten die Ungleichungen a≤a und a≥a (weil sie den Fall a=a beinhalten);
• Antisymmetrie: wenn a≤b , dann b≥a , und wenn a≥b , dann b≤a ;
• Transitivität: aus a≤b und b≤c folgt a≤c , und aus a≥b und b≥c folgt a≥c .

Doppelte, dreifache Ungleichungen usw.

Die Eigenschaft der Transitivität, die wir im vorigen Absatz angesprochen haben, erlaubt es uns, sogenannte Doppel-, Tripel- usw. Ungleichheiten, die Ketten von Ungleichheiten sind. Als Beispiel präsentieren wir die doppelte Ungleichung a

Jetzt werden wir analysieren, wie solche Aufzeichnungen zu verstehen sind. Sie sind entsprechend der Bedeutung der darin enthaltenen Zeichen auszulegen. Zum Beispiel die doppelte Ungleichung a

Abschließend stellen wir fest, dass es manchmal zweckmäßig ist, Datensätze in Form von Ketten zu verwenden, die sowohl Gleichheits- als auch Ungleichheitszeichen sowie Zeichen strenger und nicht strenger Ungleichungen enthalten. Zum Beispiel x=2

Referenzliste.

• Moro MI. Mathe. Proz. für 1cl. frühzeitig Schule Um 14 S. Teil 1. (Erstes Halbjahr) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. Aufl. - M.: Aufklärung, 2006. - 112 S.: Abb. + App. (2 separate l. Abb.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Mathe: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.

Heute werden wir lernen, wie man die Intervallmethode verwendet, um nicht-strikte Ungleichungen zu lösen. In vielen Lehrbüchern werden nicht strenge Ungleichungen wie folgt definiert:

Eine nicht strenge Ungleichung ist eine Ungleichung der Form f (x) ≥ 0 oder f (x) ≤ 0, was der Kombination einer strengen Ungleichung und der Gleichung entspricht:

Ins Russische übersetzt bedeutet dies, dass die nicht strenge Ungleichung f (x) ≥ 0 die Vereinigung der klassischen Gleichung f (x) \u003d 0 und der strengen Ungleichung f (x) > 0 ist. Mit anderen Worten, jetzt sind wir es interessiert sich nicht nur für positive und negative Bereiche auf einer Geraden, sondern auch für Punkte wobei die Funktion Null ist.

Segmente und Intervalle: Was ist der Unterschied?

Bevor wir nicht-strikte Ungleichungen lösen, erinnern wir uns daran, wie sich ein Intervall von einem Segment unterscheidet:

• Ein Intervall ist ein Teil einer geraden Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird. Aber diese Punkte gehören nicht zum Intervall. Das Intervall wird durch Klammern angegeben: (1; 5), (–7; 3), (11; 25) usw.;
• Ein Segment ist auch ein Teil einer geraden Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird. Diese Punkte sind jedoch auch Teil des Segments. Segmente werden durch eckige Klammern gekennzeichnet: , [−7; 3] usw.

Um Intervalle nicht mit Segmenten zu verwechseln, wurde für sie eine spezielle Notation entwickelt: Ein Intervall wird immer durch ausgestanzte Punkte gekennzeichnet, ein Segment durch gefüllte. Zum Beispiel:

In dieser Figur sind Segment und Intervall (9; 11) markiert. Bitte beachten Sie: Die Enden des Segments sind mit gefüllten Punkten markiert, und das Segment selbst ist mit eckigen Klammern gekennzeichnet. Bei einem Intervall ist alles anders: Die Enden sind ausgehöhlt und die Klammern sind rund.

Intervallmethode für nicht strenge Ungleichungen

Wozu all diese Texte über Segmente und Intervalle? Es ist ganz einfach: Um nicht-strikte Ungleichungen zu lösen, werden alle Intervalle durch Segmente ersetzt - und Sie erhalten die Antwort. Im Wesentlichen addieren wir einfach die Grenzen dieser gleichen Intervalle zu der durch die Intervallmethode erhaltenen Antwort. Vergleiche zwei Ungleichungen:

Eine Aufgabe. Lösen Sie die strikte Ungleichung:

(x − 5)(x + 3) > 0

Wir lösen nach der Intervallmethode. Gleichsetzen Sie die linke Seite der Ungleichung mit Null:

(x − 5)(x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Rechts ist ein Pluszeichen. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man eine Milliarde in die Funktion einsetzt:

f (x) = (x − 5)(x + 3)

Es bleibt die Antwort zu schreiben. Da wir an positiven Intervallen interessiert sind, haben wir:

x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞)

Eine Aufgabe. Lösen Sie eine nicht strenge Ungleichung:

(x − 5)(x + 3) ≥ 0

Der Anfang ist derselbe wie bei strikten Ungleichungen: Die Intervallmethode funktioniert. Gleichsetzen Sie die linke Seite der Ungleichung mit Null:

(x − 5)(x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Wir markieren die erhaltenen Nullstellen auf der Koordinatenachse:

In der vorherigen Aufgabe haben wir bereits herausgefunden, dass rechts ein Pluszeichen steht. Ich möchte Sie daran erinnern, dass dies leicht zu überprüfen ist, indem Sie eine Milliarde in die Funktion einsetzen:

f (x) = (x − 5)(x + 3)

Es bleibt, die Antwort aufzuschreiben. Da die Ungleichung nicht streng ist und wir an positiven Werten interessiert sind, haben wir:

x ∈ (−∞; −3] ∪ ∪ ∪ , und (−∞; −3] ∪

Eine Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

x (12 − ​​​​2x )(3x + 9) ≥ 0

x (12 − ​​2x )(3x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2x = 0 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6;
3x + 9 = 0 ⇒ 3x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f (x ) = x (12 − ​​​​2x )(3x + 9) → (+) (−) (+) = (−)< 0;
x ∈ (−∞ −3] ∪ .

"Numerische Ungleichungen" - Wenn a>b und m<0, то amb, dann a hoch n > b hoch n, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. Die Kenntnis der Eigenschaften numerischer Ungleichungen wird auch für das Studium von Funktionen nützlich sein. Wenn a>b und c>d, dann a+c>b+d. Eigenschaft 5. Eigenschaft 1.

"Exponentielle Ungleichungen lösen" - Aufbau der Lektion. Wann hat eine exponentielle Ungleichung keine Lösungen? Albert Einstein. 1 Funktionsumfang. 3. Intervalle zum Vergleichen von Funktionswerten mit Eins. Abnahmen über den gesamten Definitionsbereich, 8. Für alle reellen Werte von x und y; a > 0, a? 1; b>0, b?1. Vorlesungsplan. Wie werden Ungleichungen, die auf Quadrate reduziert werden, gelöst?

"Lösung fraktionaler rationaler Ungleichungen" - Lösen Sie die Ungleichung. Nenner. Lösung. Gelochte und nicht gelochte Punkte. Nennen Sie die Zahlen. Zähler und Nenner. Nennen Sie die punktierten und nicht punktierten Punkte. Punkte. Nullstellen finden. Strahl. Multipliziere mit dem Nenner, der die Unbekannte enthält. Lösung fraktionaler rationaler Ungleichungen. Zeichen definieren. Sich entscheiden. Ausdruck.

"Die Lösung von Ungleichheitssystemen" - Konsolidierung. Schreiben Sie Ungleichungen auf, deren Lösungsmengen Intervalle sind. Lösung von Ungleichungssystemen. Wiederholung. Segmente. Halbe Intervalle. Um ein System linearer Ungleichungen zu lösen, reicht es aus, jede der darin enthaltenen Ungleichungen zu lösen und den Schnittpunkt der Mengen ihrer Lösungen zu finden. Intervalle. Mathematisches Diktat.

"Exponentielle Ungleichungen" - Was ist bei der Lösung exponentieller Ungleichungen zu beachten? Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen. Was ist bei der Lösung einfachster exponentieller Ungleichungen zu beachten? Lösung der Ungleichung. Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen. Löse die Ungleichung. Ungleichheitszeichen. Eine Ungleichung, die eine Unbekannte im Exponenten enthält, heißt exponentielle Ungleichung.

"Zahlenungleichheiten und Zahlenlücken" - Eigenständige Arbeit. Zahlenstrahl. Ungleichheit. Untersuchung. Nummer Lücken. Das Konzept eines numerischen Intervalls. Numerische Linie. Die Menge der reellen Zahlen. Halbe Pause. Zeichnen Sie Lücken auf der Koordinatenlinie. Numerische Lücke. offener Strahl. Nennen Sie die Lücken. Die Menge aller Zahlen. Nummer.

Es gibt insgesamt 38 Präsentationen in dem Thema

Ungleichheit ist die andere Seite der Gleichheit. Das Material dieses Artikels gibt eine Definition von Ungleichheit und erste Informationen dazu im Kontext der Mathematik.

Der Begriff der Ungleichheit ist wie der Begriff der Gleichheit mit dem Moment des Vergleichs zweier Objekte verbunden. Während Gleichheit „das Gleiche“ bedeutet, bezeichnet Ungleichheit im Gegenteil die Unterschiede in den verglichenen Objekten. Zum Beispiel sind und dieselben Objekte oder gleich. und - Objekte, die voneinander verschieden oder ungleich sind.

Die Ungleichheit von Objekten wird durch die semantische Belastung in Worten wie oben - unten (Ungleichheit auf der Grundlage der Höhe) bestimmt; dicker - dünner (Ungleichheit aufgrund der Dicke); länger - kürzer (Ungleichheit auf der Grundlage der Länge) und so weiter.

Es ist möglich, sowohl über die Gleichheit-Ungleichheit von Objekten als Ganzes als auch über den Vergleich ihrer individuellen Eigenschaften zu sprechen. Angenommen, zwei Objekte sind gegeben: und . Ohne Zweifel sind diese Objekte nicht gleich, d.h. im Allgemeinen sind sie nicht gleich: auf der Grundlage von Größe und Farbe. Aber gleichzeitig können wir argumentieren, dass ihre Formen gleich sind - beide Objekte sind Kreise.

Im Kontext der Mathematik bleibt die semantische Last der Ungleichheit erhalten. In diesem Fall sprechen wir jedoch über die Ungleichheit mathematischer Objekte: Zahlen, Werte von Ausdrücken, Werte von Mengen (Länge, Fläche usw.), Vektoren, Zahlen usw.

Ungleich, mehr, weniger

Je nach Aufgabenstellung kann die bloße Klärung der Ungleichheit von Gegenständen wertvoll sein, meist wird aber nach Feststellung der Ungleichheit geklärt, welcher Wert höher und welcher geringer ist.

Die Bedeutung der Wörter „mehr“ und „weniger“ ist uns von Beginn unseres Lebens an intuitiv vertraut. Offensichtlich ist die Fähigkeit, die Überlegenheit eines Objekts in Bezug auf Größe, Menge usw. Aber am Ende führt uns jeder Vergleich zu einem Vergleich von Zahlen, die einige Eigenschaften der verglichenen Objekte definieren. Im Wesentlichen finden wir heraus, welche Zahl größer und welche kleiner ist.

Einfaches Beispiel:

Beispiel 1

Am Morgen betrug die Lufttemperatur 10 Grad Celsius; um zwei Uhr nachmittags waren es 15 Grad. Aufgrund des Vergleichs der natürlichen Zahlen können wir feststellen, dass der Temperaturwert am Morgen niedriger war als der Wert um zwei Uhr nachmittags (oder um zwei Uhr nachmittags stieg die Temperatur, wurde höher als die Temperatur am Morgen).

Ungleichungen mit Zeichen schreiben

Es gibt allgemein akzeptierte Notationen zum Schreiben von Ungleichungen:

Bestimmung 1

• das „ungleich“-Zeichen, das ein durchgestrichenes „gleich“-Zeichen ist: ≠. Dieses Zeichen befindet sich zwischen ungleichen Objekten. Zum Beispiel: 5 ≠ 10 fünf ist nicht gleich zehn;
• größer als Zeichen: > und kleiner als Zeichen:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| CD | sagt, dass Segment A B größer ist als Segment C D ;
• größer-gleich-Zeichen: ≥ und kleiner-gleich-Zeichen: ≤ .

Wir werden ihre Bedeutung im Folgenden genauer analysieren. Geben wir eine Definition der Ungleichungen durch die Form ihrer Notation.

Bestimmung 2

Ungleichheiten- sinnvolle algebraische Ausdrücke, die mit den Zeichen ≠ , > , geschrieben werden< , ≤ , ≥ .

Strikte und nicht-strikte Ungleichungen

Bestimmung 3

Zeichen strenger Ungleichheiten sind die Zeichen größer als und kleiner als: > und< Неравенства, составленные с их помощью – strenge Ungleichheiten.

Zeichen nicht-strikter Ungleichungen- dies sind die Zeichen „größer gleich“ und „kleiner gleich“: ≥ und ≤. Die mit ihrer Hilfe aufgestellten Ungleichungen sind − nicht strenge Ungleichungen.

Wir haben oben diskutiert, wie strenge Ungleichungen gelten. Warum werden nicht-strikte Ungleichungen verwendet? In der Praxis können solche Ungleichungen verwendet werden, um Fälle zu definieren, die mit den Worten „nicht mehr“ und „nicht weniger“ beschrieben werden. Der Ausdruck „nicht mehr“ bedeutet weniger oder gleich – diese Vergleichsebene entspricht dem Zeichen „kleiner oder gleich“ ≤ . „Nicht weniger“ bedeutet wiederum gleich oder mehr, und dies ist das Zeichen „größer als oder gleich“ ≥. Nicht strenge Ungleichungen ermöglichen also im Gegensatz zu strengen die Gleichheit von Objekten.

Wahre und falsche Ungleichheiten

Bestimmung 4

Wahre Ungleichheit- die Ungleichheit, die der obigen Bedeutung von Ungleichheit entspricht. Ansonsten ist es so untreu.

Hier einige einfache Beispiele zur Veranschaulichung:

Beispiel 2

Die Ungleichung 5 ≠ 5 ist falsch, weil die Zahlen 5 und 5 tatsächlich gleich sind.

Oder dieser Vergleich:

Beispiel 3

Angenommen, S ist die Fläche einer bestimmten Figur, in diesem Fall S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Eine ähnliche Bedeutung wie der Begriff „wahre Ungleichheit“ haben die Ausdrücke „faire Ungleichheit“, „es gibt eine Ungleichheit“ usw.

Eigenschaften von Ungleichungen

Beschreiben wir die Eigenschaften der Ungleichungen. Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass ein Objekt unmöglich sich selbst ungleich sein kann, und dies ist die erste Eigenschaft der Ungleichheit. Die zweite Eigenschaft klingt so: Wenn das erste Objekt ungleich dem zweiten ist, dann ist das zweite ungleich dem ersten.

Lassen Sie uns die Eigenschaften beschreiben, die den Zeichen „Größer als“ oder „Kleiner als“ entsprechen:

Bestimmung 5

• Antireflexion. Diese Eigenschaft kann wie folgt ausgedrückt werden: Für jedes Objekt k gelten die Ungleichungen k > k und k< k неверны;
• Antisymmetrie. Diese Eigenschaft besagt, dass wenn das erste Objekt größer oder kleiner als das zweite ist, das zweite Objekt entsprechend kleiner oder größer als das erste ist. Wir schreiben: wenn m > n, dann n< m . Или: если m < n , то n >m
• Transitivität. In wörtlicher Notation sieht die angegebene Eigenschaft so aus: Wenn angegeben ist, dass a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b und b > c, was bedeutet a > c . Diese Eigenschaft ist intuitiv und natürlich: Wenn das erste Objekt größer ist als das zweite und das zweite größer als das dritte, dann wird deutlich, dass das erste Objekt noch größer ist als das dritte.

Die Zeichen nicht-strikter Ungleichungen haben auch einige Eigenschaften:

Bestimmung 6

• Reflexivität: a ≥ a und a ≤ a (dazu gehört auch der Fall a = a);
• Antisymmetrie: wenn a ≤ b , dann b ≥ a . Wenn a ≥ b , dann b ≤ a ;
• Transitivität: wenn a ≤ b und b ≤ c , dann offensichtlich a ≤ c . Und außerdem: wenn a ≥ b und b ≥ c, dann a ≥ c.

Doppelt, dreifach usw. Ungleichheiten

Die Eigenschaft der Transitivität ermöglicht es, doppelte, dreifache usw. Ungleichungen zu schreiben, die im Wesentlichen Ketten von Ungleichungen sind. Zum Beispiel: doppelte Ungleichung - e > f > g oder dreifache Ungleichung k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

Beachten Sie, dass es praktisch ist, Ungleichungen als Ketten zu schreiben, die verschiedene Zeichen enthalten: gleich, ungleich und Zeichen strenger und nicht strenger Ungleichungen. Zum Beispiel x = 2< y ≤ z < 15 .

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Typ