So finden Sie die Quadratwurzel eines Zahlenrechners. Forschungsarbeit zum Thema: "Quadratwurzeln aus großen Zahlen ziehen ohne Taschenrechner." Optionen zur Anzeige der Funktion z=√y

Im Vorwort zu seiner ersten Ausgabe In the Realm of Ingenuity (1908) schreibt E. I. Ignatiev: Verlässlich sind die Ergebnisse nur, wenn der Einstieg in das mathematische Wissensgebiet auf einfache und angenehme Art und Weise erfolgt, an Objekten und Beispielen aus Alltags- und Alltagssituationen, ausgewählt mit gehörigem Witz und Spaß.

Im Vorwort zur Ausgabe von „The Role of Memory in Mathematics“ von 1911 schreibt E.I. Ignatiev schreibt: "... in der Mathematik sollte man sich nicht an Formeln erinnern, sondern an den Denkprozess."

Um die Quadratwurzel zu ziehen, gibt es Quadrattabellen für zweistellige Zahlen, man kann die Zahl in Primfaktoren zerlegen und aus dem Produkt die Quadratwurzel ziehen. Die Quadrattafel reicht nicht aus, das Wurzelziehen durch Faktorisieren ist eine zeitaufwändige Aufgabe, die auch nicht immer zum gewünschten Ergebnis führt. Versuchen Sie, die Quadratwurzel aus der Zahl 209764 zu ziehen? Die Zerlegung in Primfaktoren ergibt das Produkt 2 * 2 * 52441. Durch Versuch und Irrtum, Auswahl - dies kann natürlich getan werden, wenn Sie sicher sind, dass dies eine ganze Zahl ist. Der Weg, den ich vorschlagen möchte, ermöglicht es Ihnen, in jedem Fall die Quadratwurzel zu ziehen.

Einmal am Institut (Perm State Pedagogical Institute) wurden wir in diese Methode eingeführt, über die ich jetzt sprechen möchte. Ich habe nie darüber nachgedacht, ob diese Methode einen Beweis hat, also musste ich jetzt selbst einige Beweise ableiten.

Grundlage dieser Methode ist die Zusammensetzung der Zahl =.

=&, d.h. &2=596334.

1. Teilen Sie die Nummer (5963364) in Paare von rechts nach links (5`96`33`64)

2. Wir ziehen die Quadratwurzel der ersten Gruppe links ( - Nummer 2). So erhalten wir die erste Ziffer der Zahl &.

3. Finden Sie das Quadrat der ersten Ziffer (2 2 \u003d 4).

4. Finde die Differenz zwischen der ersten Gruppe und dem Quadrat der ersten Ziffer (5-4=1).

5. Wir reißen die nächsten zwei Ziffern ab (wir haben die Nummer 196).

6. Wir verdoppeln die erste gefundene Zahl, schreiben sie links hinter den Strich (2*2=4).

7. Jetzt müssen Sie die zweite Ziffer der Zahl & finden: Die doppelte erste Ziffer, die wir gefunden haben, wird zur Ziffer der Zehner der Zahl, wenn Sie mit der Anzahl der Einheiten multipliziert werden, müssen Sie eine Zahl kleiner als 196 erhalten ( das ist die Zahl 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 ist die zweite Ziffer von &.

8. Finde den Unterschied (196-176=20).

9. Wir reißen die nächste Gruppe ab (wir bekommen die Nummer 2033).

10. Verdoppeln Sie die Zahl 24, wir erhalten 48.

11,48 Zehner in einer Zahl, wenn wir sie mit der Anzahl der Einheiten multiplizieren, sollten wir eine Zahl kleiner als 2033 erhalten (484 * 4 \u003d 1936). Die von uns gefundene Einerstelle (4) ist die dritte Ziffer der Zahl &.

Der Beweis wird von mir für die Fälle geführt:

1. Ziehen der Quadratwurzel einer dreistelligen Zahl;

2. Ziehen der Quadratwurzel einer vierstelligen Zahl.

Ungefähre Methoden zum Ziehen der Quadratwurzel (ohne Verwendung eines Taschenrechners).

1. Die alten Babylonier verwendeten die folgende Methode, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel ihrer Zahl x zu ermitteln. Sie stellten die Zahl x als Summe a 2 + b dar, wobei a 2 x am nächsten kommt, dem exakten Quadrat der natürlichen Zahl a (a 2 ? x), und verwendeten die Formel . (1)

Mit Formel (1) ziehen wir beispielsweise die Quadratwurzel aus der Zahl 28:

Das Ergebnis des Ziehens der Wurzel aus 28 mit MK 5.2915026.

Wie Sie sehen können, liefert die babylonische Methode eine gute Annäherung an den genauen Wert der Wurzel.

2. Isaac Newton entwickelte eine Quadratwurzelmethode, die auf Heron von Alexandria (ca. 100 n. Chr.) zurückgeht. Dieses Verfahren (bekannt als Newton-Verfahren) ist wie folgt.

Lassen eine 1- die erste Näherung einer Zahl (als 1 können Sie die Werte der Quadratwurzel einer natürlichen Zahl nehmen - ein exaktes Quadrat, das nicht überschritten wird X) .

Die nächste, genauere Annäherung eine 2 Zahlen durch die Formel gefunden .

Und hast du Abhängigkeit vom Taschenrechner? Oder denkst du, dass es sehr schwierig ist, außer mit einem Taschenrechner oder einer Tabelle mit Quadraten zu rechnen, zum Beispiel.

Es kommt vor, dass Schulkinder an einen Taschenrechner gebunden sind und sogar 0,7 mit 0,5 multiplizieren, indem sie die geschätzten Tasten drücken. Sie sagen, na ja, ich kann immer noch rechnen, aber jetzt spare ich Zeit ... Es wird eine Prüfung geben ... dann werde ich mich anspannen ...

Tatsache ist also, dass es bei der Prüfung sowieso viele „angespannte Momente“ geben wird ... Wie man so schön sagt, Wasser trägt einen Stein ab. Also bei der Prüfung können kleine Dinge, wenn es viele davon gibt, dich umhauen ...

Lassen Sie uns die Anzahl möglicher Probleme minimieren.

Aus einer großen Zahl die Quadratwurzel ziehen

Wir werden jetzt nur über den Fall sprechen, wenn das Ergebnis des Quadratwurzelziehens eine ganze Zahl ist.

Fall 1

Lassen Sie uns also auf jeden Fall (z. B. bei der Berechnung der Diskriminante) die Quadratwurzel von 86436 berechnen.

Wir werden die Zahl 86436 in Primfaktoren zerlegen. Wir dividieren durch 2, wir erhalten 43218; wieder teilen wir durch 2, - wir erhalten 21609. Die Zahl ist nicht mehr durch 2 teilbar. Da aber die Quersumme durch 3 teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 3 teilbar (allgemein kann man sehen, dass sie auch durch 9 teilbar ist). . Wieder teilen wir durch 3, wir bekommen 2401. 2401 ist nicht vollständig durch 3 teilbar. Nicht durch fünf teilbar (endet nicht mit 0 oder 5).

Wir vermuten Teilbarkeit durch 7. Tatsächlich ist a ,

Also, volle Bestellung!

Fall 2

Lassen Sie uns berechnen. Es ist unbequem, auf die gleiche Weise wie oben beschrieben vorzugehen. Versuch zu faktorisieren...

Die Zahl 1849 ist nicht vollständig durch 2 teilbar (sie ist nicht gerade) ...

Es ist nicht vollständig durch 3 teilbar (die Quersumme ist kein Vielfaches von 3) ...

Es ist nicht vollständig durch 5 teilbar (die letzte Ziffer ist nicht 5 oder 0) ...

Es ist nicht vollständig durch 7 teilbar, es ist nicht durch 11 teilbar, es ist nicht durch 13 teilbar ... Nun, wie lange werden wir brauchen, um alle Primzahlen so durchzugehen?

Lassen Sie uns etwas anders argumentieren.

Wir verstehen das

Wir haben die Suche eingegrenzt. Jetzt sortieren wir die Zahlen von 41 bis 49. Außerdem ist klar, dass es sich lohnt, bei den Optionen 43 oder 47 anzuhalten, da die letzte Ziffer der Zahl 9 ist - nur diese Zahlen ergeben, wenn sie quadriert werden, die letzte Ziffer 9.

Nun, hier hören wir natürlich schon bei 43 auf. In der Tat,

P.S. Wie zum Teufel multiplizieren wir 0,7 mit 0,5?

Multipliziere 5 mit 7, ignoriere die Nullen und Vorzeichen und trenne dann von rechts nach links zwei Dezimalstellen. Wir bekommen 0,35.

Wie man die Wurzel extrahiert aus der Nummer. In diesem Artikel lernen wir, wie man die Quadratwurzel von vier- und fünfstelligen Zahlen zieht.

Nehmen wir als Beispiel die Quadratwurzel von 1936.

Folglich, .

Die letzte Ziffer in 1936 ist 6. Das Quadrat von 4 und 6 endet bei 6. Daher kann 1936 das Quadrat von 44 oder 46 sein. Es bleibt durch Multiplikation zu überprüfen.

Meint,

Lassen Sie uns die Quadratwurzel aus der Zahl 15129 ziehen.

Folglich, .

Die letzte Ziffer in 15129 ist 9. Die 9 endet mit dem Quadrat von 3 und 7. Daher kann 15129 das Quadrat von 123 oder 127 sein. Überprüfen wir es mit der Multiplikation.

Meint,

Wie man rootet - Video

Und jetzt schlage ich vor, dass Sie sich das Video von Anna Denisova ansehen - "Wie man die Wurzel extrahiert ", Seitenautor " einfache Physik“, in dem sie erklärt, wie man Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Taschenrechner zieht.

Das Video diskutiert verschiedene Möglichkeiten, Wurzeln zu extrahieren:

1. Der einfachste Weg, die Quadratwurzel zu ziehen.

2. Matching mit dem Quadrat der Summe.

3. Babylonischer Weg.

4. Eine Methode zum Ziehen einer Quadratwurzel in einer Spalte.

5. Ein schneller Weg, um die Kubikwurzel zu extrahieren.

6. Die Methode zum Ziehen der Kubikwurzel in einer Spalte.

Betrachten wir diesen Algorithmus anhand eines Beispiels. Lass uns finden

1. Schritt. Wir teilen die Zahl unter der Wurzel in zwei Ziffern (von rechts nach links):

2. Schritt. Wir ziehen die Quadratwurzel aus dem ersten Gesicht, dh aus der Zahl 65 erhalten wir die Zahl 8. Unter das erste Gesicht schreiben wir das Quadrat der Zahl 8 und subtrahieren. Wir schreiben das zweite Gesicht (59) dem Rest zu:

(die Zahl 159 ist der erste Rest).

3. Schritt. Wir verdoppeln die gefundene Wurzel und schreiben das Ergebnis auf die linke Seite:

4. Schritt. Wir trennen im Rest (159) eine Ziffer rechts, links erhalten wir die Zehnerzahl (ist gleich 15). Dann teilen wir 15 durch die verdoppelte erste Ziffer der Wurzel, also durch 16, da 15 nicht durch 16 teilbar ist, dann erhalten wir im Quotienten Null, die wir als zweite Ziffer der Wurzel schreiben. Im Quotienten haben wir also die Zahl 80, die wir wieder verdoppeln und das nächste Gesicht abreißen

(die Zahl 15901 ist der zweite Rest).

5. Schritt. Wir trennen im zweiten Rest eine Ziffer von rechts und dividieren die resultierende Zahl 1590 durch 160. Das Ergebnis (Zahl 9) wird als dritte Ziffer der Wurzel geschrieben und der Zahl 160 zugeordnet. Die resultierende Zahl 1609 wird mit 9 multipliziert und wir finden den folgenden Rest (1420):

Weitere Aktionen werden in der im Algorithmus angegebenen Reihenfolge ausgeführt (die Wurzel kann mit der erforderlichen Genauigkeit gezogen werden).

Kommentar. Wenn der Wurzelausdruck ein Dezimalbruch ist, wird sein ganzzahliger Teil von rechts nach links in zwei Ziffern geteilt, der Bruchteil wird von links nach rechts in zwei Ziffern geteilt und die Wurzel wird gemäß dem angegebenen Algorithmus extrahiert.

LEHRMATERIAL

1. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Zahl: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Es gibt mehrere Methoden, um die Quadratwurzel ohne Taschenrechner zu berechnen.

So finden Sie die Wurzel einer Zahl - 1 Weg

• Eine der Methoden besteht darin, die Zahl zu faktorisieren, die unter der Wurzel steht. Diese Komponenten bilden als Ergebnis der Multiplikation einen Wurzelwert. Die Genauigkeit des erhaltenen Ergebnisses hängt von der Zahl unter der Wurzel ab.
• Wenn Sie beispielsweise die Zahl 1.600 nehmen und beginnen, sie zu faktorisieren, dann wird die Argumentation wie folgt konstruiert: Diese Zahl ist ein Vielfaches von 100, was bedeutet, dass sie durch 25 geteilt werden kann; da aus der Zahl 25 die Wurzel gezogen wird, ist die Zahl quadratisch und für weitere Berechnungen geeignet; Beim Teilen erhalten wir eine andere Zahl - 64. Diese Zahl ist auch quadratisch, sodass die Wurzel gut gezogen wird. Nach diesen Berechnungen können Sie unter der Wurzel die Zahl 1600 als Produkt von 25 und 64 schreiben.

• Eine der Regeln zum Wurzelziehen besagt, dass die Wurzel des Produkts von Faktoren gleich der Zahl ist, die sich aus der Multiplikation der Wurzeln jedes Faktors ergibt. Das bedeutet: √(25*64) = √25 * √64. Wenn wir die Wurzeln aus 25 und 64 ziehen, erhalten wir den folgenden Ausdruck: 5 * 8 = 40. Das heißt, die Quadratwurzel der Zahl 1600 ist 40.
• Aber es kommt vor, dass die Zahl unter der Wurzel nicht in zwei Faktoren zerfällt, aus denen die ganze Wurzel gezogen wird. Normalerweise ist dies nur für einen der Multiplikatoren möglich. Daher ist es meistens unmöglich, in einer solchen Gleichung eine absolut genaue Antwort zu finden.
• In diesem Fall kann nur ein ungefährer Wert berechnet werden. Daher müssen Sie die Wurzel aus dem Faktor ziehen, der eine Quadratzahl ist. Dieser Wert wird dann mit der Wurzel der zweiten Zahl multipliziert, die nicht das Quadrat der Gleichung ist.
• Es sieht zum Beispiel so aus, nehmen Sie die Zahl 320. Sie kann in 64 und 5 zerlegt werden. Sie können die ganze Wurzel aus 64 ziehen, aber nicht aus 5. Daher sieht der Ausdruck so aus: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Bei Bedarf können Sie durch Berechnung einen ungefähren Wert dieses Ergebnisses finden
  √5 ≈ 2,236, also √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Außerdem kann die Zahl unter der Wurzel in mehrere Primfaktoren zerlegt werden, und dieselben können darunter herausgenommen werden. Beispiel: √75 = √(5*5*3) ​​​​= 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

So finden Sie die Wurzel einer Zahl - 2 Wege

• Eine andere Möglichkeit besteht darin, in eine Spalte zu unterteilen. Die Division ist ähnlich, aber Sie müssen nur nach Quadratzahlen suchen, aus denen Sie dann die Wurzel ziehen.
• In diesem Fall schreiben wir die Quadratzahl oben und subtrahieren sie auf der linken Seite und die gezogene Wurzel unten.
• Nun muss der zweite Wert verdoppelt und von rechts unten geschrieben werden in der Form: Zahl_x_=. Die Lücken müssen mit einer Zahl ausgefüllt werden, die kleiner oder gleich dem erforderlichen Wert auf der linken Seite ist - genau wie bei der normalen Division.
• Bei Bedarf wird dieses Ergebnis noch einmal von links subtrahiert. Solche Berechnungen werden fortgesetzt, bis das Ergebnis erreicht ist. Es können auch Nullen hinzugefügt werden, bis Sie die gewünschte Anzahl von Dezimalstellen erhalten.