Überlegen Sie sich Beispiele für die Vektoraddition. Die Operation zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl. Was ist über den Unterschied von Vektoren bekannt?

In diesem Artikel betrachten wir Operationen, die mit Vektoren in der Ebene und im Raum durchgeführt werden können. Als nächstes listen wir die Eigenschaften von Operationen auf Vektoren auf und begründen sie mit Hilfe geometrischer Konstruktionen. Wir werden auch die Anwendung der Eigenschaften von Operationen auf Vektoren bei der Vereinfachung von Ausdrücken zeigen, die Vektoren enthalten.

Zur besseren Aufnahme des Materials empfehlen wir, das Gedächtnis der in den Artikelvektoren angegebenen Konzepte aufzufrischen - grundlegende Definitionen.

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Die Operation zum Addieren zweier Vektoren ist die Dreiecksregel.

Lassen Sie uns zeigen, wie es geht Addition zweier Vektoren.

Die Addition von Vektoren und erfolgt wie folgt: Von einem beliebigen Punkt A wird ein Vektor gleich gezeichnet, dann wird von Punkt B ein Vektor gezeichnet gleich und der Vektor ist Summe der Vektoren und. Diese Art der Addition zweier Vektoren wird aufgerufen Dreiecksregel.

Veranschaulichen wir die Addition nicht kollinearer Vektoren in der Ebene nach der Dreiecksregel.

Und die Zeichnung unten zeigt die Addition von gleichgerichteten und entgegengesetzt gerichteten Vektoren.

Die Addition mehrerer Vektoren ist die Polygonregel.

Basierend auf der betrachteten Operation des Addierens von zwei Vektoren können wir drei oder mehr Vektoren addieren. In diesem Fall werden die ersten beiden Vektoren addiert, der dritte Vektor wird zum Ergebnis addiert, der vierte wird zum Ergebnis addiert und so weiter.

Die Addition mehrerer Vektoren wird durch die folgende Konstruktion durchgeführt. Von einem beliebigen Punkt A der Ebene oder des Raums wird ein Vektor, der gleich dem ersten Term ist, verschoben, ein Vektor, der gleich dem zweiten Term ist, wird von seinem Ende verschoben, der dritte Term wird von seinem Ende verschoben, und so weiter. Punkt B sei das Ende des letzten verschobenen Vektors. Die Summe aller dieser Vektoren ist der Vektor .

Das Addieren mehrerer Vektoren in einer Ebene auf diese Weise wird aufgerufen Polygonregel. Hier ist eine Illustration der Polygonregel.

Ganz ähnlich ist die Addition mehrerer Vektoren im Raum.

Die Operation zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl.

Nun wollen wir sehen, wie es passiert Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.

Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl k entspricht einer Streckung des Vektors um den Faktor k für k > 1 oder einer Schrumpfung um den Faktor 0 für 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Wenn wir beispielsweise einen Vektor mit der Zahl 2 multiplizieren, sollten wir seine Länge verdoppeln und die Richtung beibehalten, und wenn wir einen Vektor mit minus einem Drittel multiplizieren, sollten wir seine Länge verdreifachen und die Richtung umkehren. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Illustration dieses Falls.

Eigenschaften von Operationen auf Vektoren.

Wir haben also die Operation zum Addieren von Vektoren und die Operation zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl definiert. Darüber hinaus kann man für beliebige Vektoren und beliebige reelle Zahlen unter Verwendung geometrischer Konstruktionen Folgendes begründen Eigenschaften von Operationen auf Vektoren. Einige von ihnen sind offensichtlich.

Die betrachteten Eigenschaften geben uns die Möglichkeit, Vektorausdrücke zu transformieren.

Die Kommutativ- und Assoziativitätseigenschaften der Vektoradditionsoperation machen es möglich, Vektoren in beliebiger Reihenfolge zu addieren.

Es gibt keine Vektorsubtraktionsoperation als solche, da die Differenz von Vektoren die Summe der Vektoren und ist.

Unter Berücksichtigung der betrachteten Eigenschaften von Operationen auf Vektoren können wir Transformationen in Ausdrücken durchführen, die Summen, Differenzen von Vektoren und Produkte von Vektoren durch Zahlen enthalten, genau wie in numerischen Ausdrücken.

Nehmen wir ein Beispiel.

Wie Vektoren addiert werden, ist den Schülern nicht immer klar. Kinder wissen nicht, was hinter ihnen steckt. Sie müssen sich nur die Regeln merken und nicht über das Wesentliche nachdenken. Daher ist gerade über die Prinzipien der Addition und Subtraktion von Vektorgrößen viel Wissen erforderlich.

Die Addition von zwei oder mehr Vektoren ergibt immer einen weiteren. Darüber hinaus wird es immer gleich sein, unabhängig vom Empfang seines Standorts.

Am häufigsten wird in einem Schulgeometriekurs die Addition von zwei Vektoren in Betracht gezogen. Es kann nach der Regel eines Dreiecks oder eines Parallelogramms ausgeführt werden. Diese Zeichnungen sehen anders aus, aber das Ergebnis der Aktion ist das gleiche.

Wie wird nach der Dreiecksregel addiert?

Es wird verwendet, wenn die Vektoren nicht kollinear sind. Das heißt, sie liegen nicht auf derselben Linie oder Parallele.

In diesem Fall muss der erste Vektor von einem beliebigen Punkt verschoben werden. Von seinem Ende ist es erforderlich, parallel und gleich dem zweiten zu zeichnen. Das Ergebnis ist ein Vektor, der am Anfang des ersten beginnt und am Ende des zweiten endet. Die Zeichnung sieht aus wie ein Dreieck. Daher der Name der Regel.

Wenn die Vektoren kollinear sind, kann diese Regel auch angewendet werden. Nur die Zeichnung wird entlang einer Linie angeordnet.

Wie wird die Parallelogrammaddition durchgeführt?

Wieder mal? gilt nur für nicht kollineare Vektoren. Die Konstruktion erfolgt nach einem anderen Prinzip. Obwohl der Anfang derselbe ist. Wir müssen den ersten Vektor verschieben. Und von Anfang an - die zweite. Vervollständigen Sie auf dieser Grundlage das Parallelogramm und zeichnen Sie eine Diagonale vom Anfang beider Vektoren. Sie wird das Ergebnis sein. So werden Vektoren nach der Parallelogrammregel addiert.

Bisher waren es zwei. Aber was, wenn es 3 oder 10 davon sind? Verwenden Sie den folgenden Trick.

Wie und wann wird die Polygonregel angewendet?

Wenn Sie die Addition von Vektoren durchführen müssen, deren Anzahl mehr als zwei beträgt, sollten Sie keine Angst haben. Es reicht aus, sie alle nacheinander beiseite zu legen und den Anfang der Kette mit ihrem Ende zu verbinden. Dieser Vektor ist die gewünschte Summe.

Welche Eigenschaften gelten für Operationen auf Vektoren?

Über den Nullvektor. Was behauptet, dass, wenn es hinzugefügt wird, das Original erhalten wird.

Über den entgegengesetzten Vektor. Das heißt, ungefähr eine, die die entgegengesetzte Richtung und den gleichen Wert im absoluten Wert hat. Ihre Summe wird Null sein.

Zur Kommutativität der Addition. Etwas, das seit der Grundschule bekannt ist. Das Verändern der Stellen der Terme ändert das Ergebnis nicht. Mit anderen Worten, es spielt keine Rolle, welcher Vektor zuerst verschoben werden soll. Die Antwort wird immer noch richtig und eindeutig sein.

Zur Assoziativität der Addition. Mit diesem Gesetz können Sie beliebige Vektoren aus einem Tripel paarweise hinzufügen und ihnen einen dritten hinzufügen. Wenn wir dies mit Symbolen schreiben, erhalten wir Folgendes:

Erster + (Zweiter + Dritter) = Zweiter + (Erster + Dritter) = Dritter + (Erster + Zweiter).

Was ist über den Unterschied der Vektoren bekannt?

Es gibt keine separate Subtraktionsoperation. Dies liegt daran, dass es sich tatsächlich um eine Addition handelt. Nur dem zweiten von ihnen wird die entgegengesetzte Richtung gegeben. Und dann wird alles so gemacht, als ob die Addition von Vektoren in Betracht gezogen wurde. Daher sprechen sie praktisch nicht über ihren Unterschied.

Um die Arbeit mit ihrer Subtraktion zu vereinfachen, wurde die Dreiecksregel modifiziert. Nun muss (beim Subtrahieren) der zweite Vektor vom Beginn des ersten verschoben werden. Die Antwort wird diejenige sein, die den Endpunkt des Minuends damit verbindet. Obwohl es möglich ist, wie zuvor beschrieben, einfach durch Ändern der Richtung der Sekunde zu verschieben.

Wie finde ich die Summe und Differenz von Vektoren in Koordinaten?

In der Aufgabe sind die Koordinaten der Vektoren angegeben und es ist erforderlich, ihre Werte für den endgültigen herauszufinden. In diesem Fall müssen die Konstruktionen nicht durchgeführt werden. Das heißt, Sie können einfache Formeln verwenden, die die Regel zum Hinzufügen von Vektoren beschreiben. Sie sehen so aus:

a(x, y, z) + b(k, l, m) = c(x+k, y+l, z+m);

a (x, y, z) -in (k, l, m) \u003d c (x-k, y-l, z-m).

Es ist leicht zu erkennen, dass die Koordinaten je nach Aufgabenstellung nur addiert oder subtrahiert werden müssen.

Erstes Beispiel mit Lösung

Bedingung. Gegeben sei ein Rechteck ABCD. Seine Seiten sind 6 und 8 cm lang, der Schnittpunkt der Diagonalen ist mit dem Buchstaben O markiert. Es ist erforderlich, die Differenz zwischen den Vektoren AO und VO zu berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie diese Vektoren zeichnen. Sie sind von den Eckpunkten des Rechtecks ​​zum Schnittpunkt der Diagonalen gerichtet.

Wenn Sie sich die Zeichnung genau ansehen, können Sie sehen, dass die Vektoren bereits so ausgerichtet sind, dass der zweite von ihnen das Ende des ersten berührt. Es ist nur so, dass seine Richtung falsch ist. An diesem Punkt muss es ansetzen. Dies ist, wenn die Vektoren addiert werden, und im Problem - Subtraktion. Halt. Diese Aktion bedeutet, dass Sie den entgegengesetzten Vektor hinzufügen müssen. Also muss VO durch OB ersetzt werden. Und es stellt sich heraus, dass zwei Vektoren bereits ein Seitenpaar aus der Dreiecksregel gebildet haben. Daher ist das Ergebnis ihrer Addition, dh die gewünschte Differenz, der Vektor AB.

Und es fällt mit der Seite des Rechtecks ​​zusammen. Um eine numerische Antwort aufzuzeichnen, benötigen Sie Folgendes. Zeichnen Sie ein Rechteck der Länge nach, sodass die längste Seite horizontal ist. Die Nummerierung der Scheitelpunkte beginnt unten links und geht gegen den Uhrzeigersinn. Dann beträgt die Länge des Vektors AB 8 cm.

Antworten. Der Unterschied zwischen AO und VO beträgt 8 cm.

Das zweite Beispiel und seine detaillierte Lösung

Bedingung. Die Raute ABCD hat Diagonalen von 12 und 16 cm, deren Schnittpunkt ist mit dem Buchstaben O gekennzeichnet. Berechnen Sie die Länge des Vektors, der durch die Differenz der Vektoren AO und BO gebildet wird.

Lösung. Die Bezeichnung der Ecken des Rhombus sei dieselbe wie in der vorherigen Aufgabe. Ähnlich wie bei der Lösung des ersten Beispiels stellt sich heraus, dass die gesuchte Differenz gleich dem Vektor AB ist. Und seine Länge ist unbekannt. Die Lösung des Problems wurde auf die Berechnung einer der Seiten der Raute reduziert.

Dazu müssen Sie das Dreieck ABO betrachten. Es ist rechteckig, weil sich die Diagonalen der Raute in einem Winkel von 90 Grad schneiden. Und seine Beine sind gleich der Hälfte der Diagonalen. Das heißt, 6 und 8 cm Die in der Aufgabe gesuchte Seite fällt mit der Hypotenuse in diesem Dreieck zusammen.

Um es zu finden, benötigen Sie den Satz des Pythagoras. Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Zahlen 6 2 und 8 2 . Nach dem Quadrieren werden die Werte erhalten: 36 und 64. Ihre Summe beträgt 100. Daraus folgt, dass die Hypotenuse 10 cm beträgt.

Antworten. Der Unterschied zwischen den Vektoren AO und VO beträgt 10 cm.

Drittes Beispiel mit ausführlicher Lösung

Bedingung. Berechnen Sie die Differenz und die Summe zweier Vektoren. Ihre Koordinaten sind bekannt: der erste hat 1 und 2, der zweite hat 4 und 8.

Lösung. Um die Summe zu finden, müssen Sie die erste und zweite Koordinate paarweise addieren. Das Ergebnis sind die Zahlen 5 und 10. Die Antwort ist ein Vektor mit den Koordinaten (5; 10).

Für die Differenz müssen Sie die Koordinaten subtrahieren. Nachdem Sie diese Aktion ausgeführt haben, werden die Nummern -3 und -6 erhalten. Sie sind die Koordinaten des gewünschten Vektors.

Antworten. Die Summe der Vektoren ist (5; 10), ihre Differenz ist (-3; -6).

Viertes Beispiel

Bedingung. Die Länge des Vektors AB beträgt 6 cm, BC - 8 cm Der zweite ist in einem Winkel von 90 Grad vom Ende des ersten entfernt. Berechnen Sie: a) die Differenz zwischen den Modulen der Vektoren BA und BC und den Modul der Differenz zwischen BA und BC; b) die Summe der gleichen Module und der Modul der Summe.

Lösung: a) Die Längen der Vektoren sind bereits in der Aufgabe angegeben. Daher ist es nicht schwierig, ihre Differenz zu berechnen. 6 - 8 = -2. Etwas komplizierter ist die Situation beim Differenzmodul. Zuerst müssen Sie herausfinden, welcher Vektor das Ergebnis der Subtraktion sein wird. Dazu ist der Vektor BA beiseite zu legen, der in entgegengesetzter Richtung zu AB gerichtet ist. Zeichnen Sie dann den Vektor BC von seinem Ende und richten Sie ihn in die entgegengesetzte Richtung zum Original. Das Ergebnis der Subtraktion ist der CA-Vektor. Sein Modul kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Einfache Berechnungen führen zu einem Wert von 10 cm.

b) Die Summe der Module der Vektoren beträgt 14 cm Um die zweite Antwort zu finden, ist eine Transformation erforderlich. Der Vektor BA ist dem angegebenen - AB entgegengesetzt. Beide Vektoren sind vom selben Punkt aus gerichtet. In dieser Situation können Sie die Parallelogrammregel anwenden. Das Ergebnis der Addition ist eine Diagonale und nicht nur ein Parallelogramm, sondern ein Rechteck. Seine Diagonalen sind gleich, was bedeutet, dass der Modul der Summe derselbe ist wie im vorherigen Absatz.

Antwort: a) -2 und 10 cm; b) 14 und 10 cm.

Definition

Die Addition der Vektoren und erfolgt gem Dreiecksregel.

Summe zwei Vektoren und ein solcher dritter Vektor wird aufgerufen, dessen Anfang mit dem Anfang und dessen Ende mit dem Ende zusammenfällt, vorausgesetzt, dass das Ende des Vektors und der Anfang des Vektors zusammenfallen (Abb. 1).

Zur Ergänzung Vektoren Es gilt auch die Parallelogrammregel.

Definition

Parallelogrammregel- Wenn zwei nicht kollineare Vektoren u zu einem gemeinsamen Ursprung führen, fällt der Vektor mit der Diagonale des Parallelogramms zusammen, das auf den Vektoren u aufgebaut ist (Abb. 2). Außerdem stimmt der Beginn des Vektors mit dem Beginn der gegebenen Vektoren überein.

Definition

Der Vektor wird aufgerufen entgegengesetzter Vektor zum Vektor, wenn es kollinear Vektor , gleich lang, aber in die entgegengesetzte Richtung zum Vektor gerichtet.

Die Vektoradditionsoperation hat die folgenden Eigenschaften:

Definition

Unterschied Vektoren und ein Vektor wird so aufgerufen, dass die Bedingung erfüllt ist: (Abb. 3).

Multipliziere einen Vektor mit einer Zahl

Definition

Arbeit Vektor pro Zahl heißt ein Vektor, der die Bedingungen erfüllt:

Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl:

Hier sind u beliebige Vektoren und beliebige Zahlen.

Euklidischer Raum(Auch Euklidischer Raum) - im ursprünglichen Sinne der Raum, dessen Eigenschaften beschrieben werden Axiome Euklidische Geometrie. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass der Platz vorhanden ist Abmessungen gleich 3.

Im modernen Sinne kann es allgemeiner eines der ähnlichen und eng verwandten Objekte bezeichnen: endlichdimensional real Vektorraum mit positivem Definit Skalarprodukt, oder metrischer Raum entsprechend einem solchen Vektorraum. In diesem Artikel wird die erste Definition als erste verwendet.

Oft wird auch der dimensionale euklidische Raum verwendet (wenn aus dem Zusammenhang hervorgeht, dass der Raum eine euklidische Struktur hat).

Um den euklidischen Raum zu definieren, ist es am einfachsten, ihn als Hauptkonzept zu nehmen Skalarprodukt. Der euklidische Vektorraum ist definiert als endlichdimensional Vektorraum Oben aufstellen reale Nummern, auf deren Vektoren reellwertige Funktion mit den folgenden drei Eigenschaften:

affiner Raum, der einem solchen Vektorraum entspricht, wird der euklidische affine Raum oder einfach der euklidische Raum genannt .

Ein Beispiel für einen euklidischen Raum ist ein Koordinatenraum, der aus allen möglichen besteht n-ok reelle Zahlen Skalarprodukt, in dem durch die Formel bestimmt wird

Basis- und Vektorkoordinaten

Basis (andere Griechenβασις, Basis) - die Menge solcher Vektoren in Vektorraum dass jeder Vektor dieses Raums eindeutig als dargestellt werden kann lineare Kombination Vektoren aus diesem Satz - Basisvektoren.

Für den Fall, dass die Basis unendlich ist, muss das Konzept der „linearen Kombination“ geklärt werden. Dies führt zu zwei Haupttypen von Definitionen:

Hamelner Basis, deren Definition nur endliche Linearkombinationen berücksichtigt. Die Hamel-Basis wird hauptsächlich in der abstrakten Algebra (insbesondere in der linearen Algebra) verwendet.

Schauder-Basis, dessen Definition auch unendliche Linearkombinationen berücksichtigt, nämlich Entwicklung in Reihen. Diese Definition wird hauptsächlich in der Funktionsanalyse verwendet, insbesondere z Hilbert-Raum,

In endlichdimensionalen Räumen fallen beide Basisarten zusammen.

Vektorkoordinaten sind die Koeffizienten der einzig möglichen lineare Kombination Basic Vektoren im ausgewählten Koordinatensystem gleich dem gegebenen Vektor.

wo sind die koordinaten des vektors.

Skalarprodukt.

Betrieb auf zwei Vektoren, dessen Ergebnis ist Nummer[bei Vektoren werden oft Zahlen genannt Skalare], die nicht vom Koordinatensystem abhängt und die Längen der Faktorvektoren und charakterisiert Ecke zwischen ihnen. Diese Operation entspricht der Multiplikation Länge Vektor x auf der Projektion Vektor j pro Vektor x. Diese Operation wird normalerweise als betrachtet kommutativ und linear für jeden Faktor.

Skalarprodukt zwei Vektoren ist gleich der Summe der Produkte ihrer jeweiligen Koordinaten:

Vektorprodukt

Das Pseudovektor, aufrecht Ebene konstruiert aus zwei Faktoren, die das Ergebnis von ist binärer Betrieb"Vektormultiplikation" vorbei Vektoren in 3D euklidischer Raum. Vektorprodukt hat keine Eigenschaften Kommutativität und Assoziativität(ist antikommutativ) und im Gegensatz zu Skalarprodukt von Vektoren, ist ein Vektor. Weit verbreitet in vielen technischen und physikalischen Anwendungen. Zum Beispiel, Drehimpuls und Lorentzkraft mathematisch als Vektorprodukt geschrieben. Das Kreuzprodukt ist nützlich, um die Rechtwinkligkeit von Vektoren zu "messen" - der Modul des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Module, wenn sie senkrecht sind, und nimmt auf Null ab, wenn die Vektoren parallel oder antiparallel sind.

Vektorprodukt zwei Vektoren können mit berechnet werden bestimmend Matrizen

Mischprodukt

Gemischtes Produkt Vektoren -Skalarprodukt Vektor auf der Vektorprodukt Vektoren und:

Manchmal heißt es dreifaches Skalarprodukt Vektoren, offenbar aufgrund der Tatsache, dass das Ergebnis ist Skalar(etwas präziser - pseudoskalar).

Geometrischer Sinn: Der Modul des Mischprodukts ist numerisch gleich dem Volumen parallelepiped gebildet Vektoren .Mischprodukt drei Vektoren können durch die Determinante gefunden werden

Flugzeug im Weltraum

Ebene - algebraische Oberfläche erste Bestellung: ein Kartesisches Koordinatensystem Ebene eingestellt werden Gleichung erster Abschluss.

Einige charakteristische Eigenschaften eines Flugzeugs

Ebene - auftauchen, die jeweils vollständig enthalten Direkte, Anschluss beliebig Punkte;

Zwei Ebenen sind entweder parallel oder schneiden sich in einer geraden Linie.

Die Gerade ist entweder parallel zur Ebene oder schneidet sie an einem Punkt oder liegt auf der Ebene.

Zwei Linien, die senkrecht auf derselben Ebene stehen, sind parallel zueinander.

Zwei Ebenen, die senkrecht auf derselben Linie stehen, sind parallel zueinander.

Ähnlich Segment und Intervall, kann eine Ebene, die keine Extrempunkte enthält, als Intervallebene oder offene Ebene bezeichnet werden.

Allgemeine Gleichung (vollständig) der Ebene

wobei und Konstanten sind und gleichzeitig ungleich Null sind; in Vektor bilden:

wo ist der Radiusvektor des Punktes, der Vektor senkrecht zur Ebene (Normalenvektor). FührerKosinus Vektor:

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch Größe und Richtung (z. B. Beschleunigung, Verschiebung) gekennzeichnet ist, was sich von richtungslosen Skalaren (z. B. Entfernung, Energie) unterscheidet. Skalare können addiert werden, indem ihre Werte addiert werden (z. B. 5 kJ Arbeit plus 6 kJ Arbeit entsprechen 11 kJ Arbeit), aber das Addieren und Subtrahieren von Vektoren ist nicht so einfach.

Schritte

Addition und Subtraktion von Vektoren mit bekannten Komponenten

Da Vektoren Größe und Richtung haben, können sie basierend auf x-, y- und/oder z-Dimensionen in Komponenten zerlegt werden. Sie werden normalerweise wie Punkte in einem Koordinatensystem bezeichnet (z. B.<х,у,z>). Wenn die Komponenten bekannt sind, ist das Addieren/Subtrahieren von Vektoren so einfach wie das Addieren/Subtrahieren von x-, y-, z-Koordinaten.

• Beachten Sie, dass Vektoren eindimensional, zweidimensional oder dreidimensional sein können. Somit können Vektoren eine "x"-Komponente, "x"- und "y"-Komponenten oder "x"-, "y"-, "z"-Komponenten haben. 3D-Vektoren werden unten besprochen, aber der Prozess ist für 1D- und 2D-Vektoren ähnlich.
• Angenommen, Sie erhalten zwei dreidimensionale Vektoren - Vektor A und Vektor B. Schreiben Sie diese Vektoren in Vektorform: A = und B= , wobei a1 und a2 die "x"-Komponenten sind, b1 und b2 die "y"-Komponenten sind, c1 und c2 die "z"-Komponenten sind.

1. Um zwei Vektoren zu addieren, addieren Sie ihre jeweiligen Komponenten. Mit anderen Worten, addieren Sie die „x“-Komponente des ersten Vektors zur „x“-Komponente des zweiten Vektors (und so weiter). Als Ergebnis erhalten Sie die x-, y- und z-Komponenten des resultierenden Vektors.

   • A+B = .
   • Addiere die Vektoren A und B. A =<5, 9, -10>und B=<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, oder <22, 6, -12> .

2. Um einen Vektor von einem anderen zu subtrahieren, müssen Sie die entsprechenden Komponenten subtrahieren. Wie unten gezeigt wird, kann die Subtraktion durch die Addition eines Vektors und den Kehrwert eines anderen ersetzt werden. Wenn die Komponenten zweier Vektoren bekannt sind, subtrahieren Sie die entsprechenden Komponenten des einen Vektors von den Komponenten des anderen.

   • AB =
   • Subtrahiere die Vektoren A und B. A =<18, 5, 3>und B=<-10, 9, -10>. AB=<18--10, 5-9, 3--10>, oder <28, -4, 13> .

   Grafische Addition und Subtraktion

   1. Da Vektoren Betrag und Richtung haben, haben sie einen Anfang und ein Ende (einen Startpunkt und einen Endpunkt, deren Abstand gleich dem Wert des Vektors ist). Wenn ein Vektor grafisch dargestellt wird, wird er als Pfeil gezeichnet, bei dem die Spitze das Ende des Vektors und der gegenüberliegende Punkt der Anfang des Vektors ist.

      • Bauen Sie beim Plotten von Vektoren alle Winkel sehr genau auf; sonst bekommst du die falsche antwort.

   2. Um Vektoren hinzuzufügen, zeichne sie so, dass das Ende jedes vorherigen Vektors mit dem Anfang des nächsten Vektors verbunden ist. Wenn Sie nur zwei Vektoren addieren, ist das alles, was Sie tun müssen, bevor Sie den resultierenden Vektor finden.

      • Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der die Vektoren verbunden werden, nicht wichtig ist, d.h. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Vektor A.

   3. Um einen Vektor zu subtrahieren, addieren Sie einfach den inversen Vektor, ändern Sie also die Richtung des subtrahierten Vektors und verbinden Sie dann seinen Anfang mit dem Ende eines anderen Vektors. Mit anderen Worten, um einen Vektor zu subtrahieren, drehen Sie ihn um 180o (um den Ursprung) und addieren Sie ihn zu einem anderen Vektor.

      Wenn Sie wie viele (mehr als zwei) Vektoren addieren oder subtrahieren, verbinden Sie deren Enden und Anfänge nacheinander. Die Reihenfolge, in der Sie die Vektoren verbinden, spielt keine Rolle. Dieses Verfahren kann für eine beliebige Anzahl von Vektoren verwendet werden.

   4. Zeichnen Sie einen neuen Vektor, der am Anfang des ersten Vektors beginnt und am Ende des letzten Vektors endet (egal wie viele Vektoren Sie hinzufügen). Sie erhalten einen resultierenden Vektor, der der Summe aller hinzugefügten Vektoren entspricht. Beachten Sie, dass dieser Vektor derselbe ist wie der Vektor, der durch Addieren der x-, y- und z-Komponenten aller Vektoren erhalten wird.

      • Wenn Sie die Längen der Vektoren und die Winkel zwischen ihnen sehr genau gezeichnet haben, können Sie den Wert des resultierenden Vektors ermitteln, indem Sie einfach seine Länge messen. Außerdem können Sie den Winkel (zwischen dem Ergebnisvektor und einem anderen angegebenen Vektor oder horizontalen/vertikalen Linien) messen, um die Richtung des Ergebnisvektors zu ermitteln.
      • Wenn Sie die Längen der Vektoren und die Winkel zwischen ihnen sehr genau gezeichnet haben, dann können Sie den Wert des resultierenden Vektors mit Hilfe der Trigonometrie ermitteln, nämlich mit dem Sinussatz oder dem Kosinussatz. Wenn Sie mehrere Vektoren hinzufügen (mehr als zwei), fügen Sie zuerst zwei Vektoren hinzu, fügen Sie dann den resultierenden Vektor und den dritten Vektor hinzu und so weiter. Weitere Informationen finden Sie im nächsten Abschnitt.

   5. Stellen Sie den resultierenden Vektor dar und geben Sie seinen Wert und seine Richtung an. Wie oben erwähnt, wenn Sie die Längen der zu addierenden Vektoren und die Winkel zwischen ihnen sehr genau zeichnen, dann ist der Wert des resultierenden Vektors gleich seiner Länge, und die Richtung ist der Winkel zwischen ihm und der vertikalen oder horizontalen Linie . Vergessen Sie nicht, dem Wert des Vektors die Maßeinheiten zuzuweisen, in denen die addierten/subtrahierten Vektoren angegeben sind.

      • Wenn Sie beispielsweise in m/s gemessene Geschwindigkeitsvektoren addieren, dann fügen Sie „m/s“ zum Wert des resultierenden Vektors hinzu und geben Sie auch den Winkel des resultierenden Vektors im Format „o zur horizontalen Linie“ an.

   Vektoren addieren und subtrahieren, indem die Werte ihrer Komponenten ermittelt werden

   1. Um die Werte der Vektorkomponenten zu finden, müssen Sie die Werte der Vektoren selbst und ihre Richtung (den Winkel relativ zur horizontalen oder vertikalen Linie) kennen. Betrachten Sie einen zweidimensionalen Vektor. Machen Sie es zur Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dann sind die Beine (parallel zu den X- und Y-Achsen) dieses Dreiecks die Komponenten des Vektors. Diese Komponenten können als zwei verbundene Vektoren betrachtet werden, die, wenn sie zusammenaddiert werden, den ursprünglichen Vektor ergeben.

      • Die Längen (Werte) der beiden Komponenten (Komponenten „x“ und „y“) des ursprünglichen Vektors können trigonometrisch berechnet werden. Wenn "x" der Wert (Modulus) des Originalvektors ist, dann ist die Vektorkomponente neben der Ecke des Originalvektors xcosθ, und die Vektorkomponente gegenüber der Ecke des Originalvektors ist xsinθ.
      • Es ist wichtig, die Richtung der Komponenten zu beachten. Wenn die Komponente entgegen der Richtung einer der Achsen gerichtet ist, dann ist ihr Wert beispielsweise negativ, wenn die Komponente auf der zweidimensionalen Koordinatenebene nach links oder unten gerichtet ist.
      • Zum Beispiel ein Vektor mit einem Modul (Wert) von 3 und einer Richtung von 135 o (in Bezug auf die Horizontale). Dann ist die x-Komponente 3cos 135 = -2,12 und die y-Komponente 3sin135 = 2,12.

   2. Wenn Sie die Komponenten aller Vektoren gefunden haben, die Sie hinzufügen, addieren Sie einfach ihre Werte und Sie finden die Komponentenwerte des resultierenden Vektors. Addieren Sie zunächst die Werte aller horizontalen Komponenten (also Komponenten parallel zur x-Achse). Addieren Sie dann die Werte aller vertikalen Komponenten (also Komponenten parallel zur y-Achse). Wenn der Wert einer Komponente negativ ist, wird er subtrahiert, nicht addiert.

      • Lassen Sie uns zum Beispiel den Vektor hinzufügen<-2,12, 2,12>und Vektor<5,78, -9>. Der resultierende Vektor sieht so aus<-2,12 + 5,78, 2,12-9>oder<3,66, -6,88>.

   3. Berechnen Sie die Länge (Wert) des resultierenden Vektors mit dem Satz des Pythagoras: c 2 \u003d a 2 + b 2 (da das aus dem ursprünglichen Vektor und seinen Komponenten gebildete Dreieck rechteckig ist). In diesem Fall sind die Beine die „x“- und „y“-Komponenten des resultierenden Vektors, und die Hypotenuse ist der resultierende Vektor selbst.

      • Wenn Sie beispielsweise in unserem Beispiel die in Newton gemessene Kraft addieren, dann schreiben Sie das Ergebnis wie folgt auf: 7,79 N bei einem Winkel von -61,99 o (zur horizontalen Achse).
   • Verwechseln Sie Vektoren nicht mit ihren Modulen (Werten).
   • Vektoren, die die gleiche Richtung haben, können addiert oder subtrahiert werden, indem einfach ihre Werte addiert oder subtrahiert werden. Wenn zwei entgegengesetzt gerichtete Vektoren addiert werden, werden ihre Werte subtrahiert und nicht addiert.
   • Vektoren, die als x dargestellt werden ich+j j+z k können addiert oder subtrahiert werden, indem einfach die entsprechenden Koeffizienten addiert oder subtrahiert werden. Schreiben Sie Ihre Antwort auch als i,j,k.
   • Der Wert eines Vektors im dreidimensionalen Raum kann mit der Formel gefunden werden a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, wo a- Vektorwert, b, c, und d sind die Komponenten des Vektors.
   • Spaltenvektoren können addiert/subtrahiert werden, indem die entsprechenden Werte in jeder Zeile addiert/subtrahiert werden.