Ege-Lösung. Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik auf der Grund- und Profilstufe

, ist eine Pflichtprüfung für Absolventen der 11. Klasse. Statistisch gesehen ist es das Schwierigste.

Wir empfehlen Ihnen, sich mit den allgemeinen Informationen zur Prüfung vertraut zu machen und sofort mit der Vorbereitung zu beginnen. Die Prüfung 2019 unterscheidet sich nicht vom letzten Jahr - dies gilt sowohl für die Basis- als auch für die Profiloptionen.

Grundstufe der Prüfung

Diese Option ist für Absolventen in zwei Fällen geeignet, wenn:

1. keine Notwendigkeit für Mathematik, um eine Universität zu betreten;
2. werden ihr Studium nach dem Abschluss nicht fortsetzen.

Wenn es in Ihrem gewählten Fachgebiet eine Spalte mit dem Fach „Mathematik“ gibt, dann ist die Grundstufe nicht Ihre Option.

Bewertung der Grundprüfung

Die Formel zur Umrechnung von Primärwerten in Testwerte wird jedes Jahr aktualisiert und nach der frühen NUTZUNGSZEIT bekannt. Die Anordnung von Rosobrnadzor wurde bereits erlassen, die offiziell die Übereinstimmung der Primär- und Testergebnisse in allen Fächern für 2019 festlegte.

Um die Grundprüfung in Mathematik mindestens mit einer Drei zu bestehen, müssen Sie laut Ordnung 12 Hauptpunkte erreichen. Dies entspricht der korrekten Bearbeitung von 12 beliebigen Aufgaben. Die maximale Primärpunktzahl beträgt 20.

Grundlegende Prüfungsstruktur

Im Jahr 2019 besteht der Foundation Level Math Test aus 20 kurzen Antwortfragen, die eine ganze Zahl oder eine Dezimalstelle am Ende oder eine Ziffernfolge sind. Sie müssen entweder die Antwort berechnen oder eine der angebotenen Optionen auswählen.

Profilebene des USE

Diese NUTZUNG im Jahr 2019 unterscheidet sich nicht von der NUTZUNG des letzten Jahres.

Es ist das Profilniveau, das Absolventen erreichen müssen, um an Universitäten aufgenommen zu werden, da in den allermeisten Fachrichtungen Mathematik als Hauptfach für die Zulassung angegeben ist.

Bewertung des Profiltests

Hier gibt es nichts Konkretes: Sie sammeln wie gewohnt Primärnoten, die dann in Testnoten überführt werden. Und schon auf einem 100-Punkte-System können Sie die Note für die Prüfung ermitteln.

Damit die Prüfung einfach angerechnet werden kann, reicht es, 6 Hauptpunkte zu erreichen. Dazu müssen Sie mindestens 6 Aufgaben aus Teil 1 lösen. Die maximale Primärpunktzahl beträgt 32.

Profilteststruktur

2019 besteht der USE-Test in Mathematik auf Profilebene aus zwei Teilen mit 19 Aufgaben.

• Teil 1: 8 Aufgaben (1-8) der Basis-Schwierigkeitsstufe mit einer kurzen Antwort.
• Teil 2: 4 Aufgaben (9–12) mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad mit kurzer Antwort und 7 Aufgaben (13–19) mit erhöhtem und hohem Schwierigkeitsgrad mit ausführlicher Antwort.

Vorbereitung auf die Prüfung

• Passieren Testen Sie kostenlos online ohne Registrierung und SMS. Die vorgestellten Prüfungen sind in ihrer Komplexität und Struktur identisch mit den realen Prüfungen, die in den entsprechenden Jahren abgehalten werden.

• Download Demoversionen der Prüfung in Mathematik, mit denen Sie sich besser auf die Prüfung vorbereiten und das Bestehen erleichtern können. Alle vorgeschlagenen Tests wurden zur Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung vom Bundesinstitut für Pädagogische Messungen (FIPI) entwickelt und zugelassen. In derselben FIPI werden alle offiziellen Versionen der Prüfung entwickelt.
• Kasse Mit grundlegenden Formeln zur Vorbereitung auf die Prüfung helfen sie, Ihr Gedächtnis aufzufrischen, bevor Sie mit den Demo- und Testoptionen fortfahren.

Die Aufgaben, die Sie sehen werden, werden höchstwahrscheinlich nicht in der Prüfung zu finden sein, aber es wird Aufgaben geben, die den Demoaufgaben ähneln, zum selben Thema oder einfach mit unterschiedlichen Nummern.

Allgemeine USE-Nummern

Jahr	Mindest. Punktzahl BENUTZEN	Durchschnittsnote	Anzahl der Bewerber	Nicht bestanden, %	Menge< 100 Punkte	Dauer- Prüfungsdauer, min.
2009	21
2010	21	43,35	864 708	6,1	160	240
2011	24	47,49	738 746	4,9	205	240
2012	24	44,6	831 068	7,5	56	240
2013	24	48,7	803 741	6,2	538	240
2014	20	46,4				240
2015	27	45,4				235
2016	27					235
2017	27					235

Sekundarstufe Allgemeinbildung

Linie UMK G. K. Muravina. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse (10-11) (tief)

Linie UMK Merzljak. Algebra und die Anfänge der Analysis (10-11) (U)

Mathe

Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik (Profilebene): Aufgaben, Lösungen und Erklärungen

Wir analysieren Aufgaben und lösen Beispiele mit dem Lehrer

Die Prüfungsarbeit auf Profilebene dauert 3 Stunden 55 Minuten (235 Minuten).

Mindestschwelle- 27 Punkte.

Die Prüfungsarbeit besteht aus zwei Teilen, die sich in Inhalt, Umfang und Anzahl der Aufgaben unterscheiden.

Das bestimmende Merkmal jedes Teils der Arbeit ist die Form der Aufgaben:

• Teil 1 enthält 8 Aufgaben (Aufgaben 1-8) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs;
• Teil 2 enthält 4 Aufgaben (Aufgaben 9-12) mit einer kurzen Antwort in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs und 7 Aufgaben (Aufgaben 13-19) mit einer ausführlichen Antwort (vollständige Niederschrift der Entscheidung mit Begründung für die durchgeführte Aktionen).

Panova Svetlana Anatolievna, Lehrer für Mathematik der höchsten Kategorie der Schule, Berufserfahrung von 20 Jahren:

„Um einen Schulabschluss zu erlangen, muss ein Absolvent zwei Pflichtprüfungen in Form der Einheitlichen Staatsprüfung bestehen, eine davon in Mathematik. In Übereinstimmung mit dem Konzept zur Entwicklung des mathematischen Unterrichts in der Russischen Föderation ist das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik in zwei Stufen unterteilt: Grundstufe und Spezialisierung. Heute werden wir Optionen für die Profilebene betrachten.

Aufgabe Nummer 1- überprüft die Fähigkeit der USE-Teilnehmer, die im Rahmen der 5. bis 9. Klasse erworbenen Fähigkeiten in Elementarmathematik in praktischen Aktivitäten anzuwenden. Der Teilnehmer muss Rechenkenntnisse haben, mit rationalen Zahlen arbeiten können, Dezimalbrüche runden können, eine Maßeinheit in eine andere umrechnen können.

Beispiel 1 In der Wohnung, in der Petr wohnt, wurde ein Kaltwasserzähler (Zähler) installiert. Am 1. Mai zeigte der Zähler einen Verbrauch von 172 Kubikmetern an. m Wasser und am ersten Juni - 177 Kubikmeter. m. Welchen Betrag sollte Peter für Mai für kaltes Wasser bezahlen, wenn der Preis von 1 cu. m kaltes Wasser sind 34 Rubel 17 Kopeken? Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an.

Lösung:

1) Ermitteln Sie die pro Monat verbrauchte Wassermenge:

177 - 172 = 5 (m³)

2) Finden Sie heraus, wie viel Geld für das verbrauchte Wasser bezahlt wird:

34,17 5 = 170,85 (reiben)

Antworten: 170,85.

Aufgabe Nummer 2- ist eine der einfachsten Aufgaben der Prüfung. Die Mehrheit der Absolventen kommt damit erfolgreich zurecht, was auf den Besitz der Definition des Funktionsbegriffs hinweist. Aufgabentyp Nr. 2 laut Anforderungsverschlüsseler ist eine Aufgabe zur Anwendung der erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten in der Praxis und im Alltag. Aufgabe Nr. 2 besteht darin, mithilfe von Funktionen verschiedene reale Beziehungen zwischen Größen zu beschreiben und ihre Graphen zu interpretieren. Aufgabe Nummer 2 testet die Fähigkeit, Informationen zu extrahieren, die in Tabellen, Diagrammen und Grafiken dargestellt sind. Die Absolventen müssen in der Lage sein, den Wert einer Funktion durch den Wert des Arguments mit verschiedenen Arten der Spezifikation der Funktion zu bestimmen und das Verhalten und die Eigenschaften der Funktion gemäß ihrem Graphen zu beschreiben. Es ist auch notwendig, den größten oder kleinsten Wert aus dem Funktionsgraphen zu finden und Graphen der untersuchten Funktionen zu erstellen. Die Fehler, die beim Lesen der Bedingungen des Problems und beim Lesen des Diagramms gemacht werden, sind zufälliger Natur.

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Beispiel 2 Die Abbildung zeigt die Veränderung des Tauschwerts einer Aktie eines Bergbauunternehmens in der ersten Aprilhälfte 2017. Am 7. April kaufte der Geschäftsmann 1.000 Aktien dieses Unternehmens. Am 10. April verkaufte er drei Viertel der gekauften Aktien und am 13. April alle restlichen. Wie viel hat der Geschäftsmann durch diese Operationen verloren?

Lösung:

2) 1000 3/4 = 750 (Aktien) - machen 3/4 aller gekauften Aktien aus.

6) 247500 + 77500 = 325000 (Rubel) - der Geschäftsmann erhielt nach dem Verkauf von 1000 Aktien.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (Rubel) - der Geschäftsmann hat infolge aller Operationen verloren.

Antworten: 15000.

Aufgabe Nummer 3- ist eine Aufgabe der Grundstufe des ersten Teils, sie prüft die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen gemäß den Inhalten der Lehrveranstaltung „Planimetrie“ auszuführen. Aufgabe 3 testet die Fähigkeit, die Fläche einer Figur auf kariertem Papier zu berechnen, Gradmaße von Winkeln zu berechnen, Umfänge zu berechnen usw.

Beispiel 3 Ermitteln Sie die Fläche eines auf kariertes Papier gezeichneten Rechtecks ​​mit einer Zellengröße von 1 cm x 1 cm (siehe Abbildung). Geben Sie Ihre Antwort in Quadratzentimetern an.

Lösung: Um die Fläche dieser Figur zu berechnen, können Sie die Peak-Formel verwenden:

Um die Fläche dieses Rechtecks ​​zu berechnen, verwenden wir die Peak-Formel:

S= B +	G
	2

wo V = 10, G = 6, also

S = 18 +	6
	2

Antworten: 20.

Siehe auch: Einheitliche Staatsprüfung Physik: Schwingungsprobleme lösen

Aufgabe Nummer 4- die Aufgabenstellung der Lehrveranstaltung "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik". Getestet wird die Fähigkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in der einfachsten Situation zu berechnen.

Beispiel 4 Auf dem Kreis befinden sich 5 rote und 1 blauer Punkt. Bestimmen Sie, welche Polygone größer sind: die mit allen roten Eckpunkten oder die mit einem der blauen Eckpunkte. Geben Sie in Ihrer Antwort an, wie viele mehr von dem einen als vom anderen.

Lösung: 1) Wir verwenden die Formel für die Anzahl der Kombinationen aus n Elemente von k:

alle Ecken sind rot.

3) Ein Fünfeck mit allen roten Eckpunkten.

4) 10 + 5 + 1 = 16 Polygone mit allen roten Eckpunkten.

deren Ecken rot sind oder mit einer blauen Ecke.

deren Ecken rot sind oder mit einer blauen Ecke.

8) Ein Sechseck, dessen Eckpunkte rot sind, mit einem blauen Eckpunkt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 Polygone, die alle rote Eckpunkte oder einen blauen Eckpunkt haben.

10) 42 - 16 = 26 Polygone, die den blauen Punkt verwenden.

11) 26 - 16 = 10 Polygone - wie viele Polygone, bei denen einer der Eckpunkte ein blauer Punkt ist, sind mehr als Polygone, bei denen alle Eckpunkte nur rot sind.

Antworten: 10.

Aufgabe Nummer 5- Das Grundniveau des ersten Teils testet die Fähigkeit, die einfachsten Gleichungen (irrational, exponentiell, trigonometrisch, logarithmisch) zu lösen.

Beispiel 5 Lösen Sie Gleichung 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Lösung. Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichung durch 5 3 + X≠ 0, erhalten wir

2 3 + x	= 0,4 bzw		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

woraus folgt, dass 3 + x = 1, x = –2.

Antworten: –2.

Aufgabe Nummer 6 in der Planimetrie zum Auffinden geometrischer Größen (Längen, Winkel, Flächen), Modellieren realer Situationen in der Sprache der Geometrie. Das Studium der konstruierten Modelle unter Verwendung geometrischer Konzepte und Theoreme. Die Quelle der Schwierigkeiten ist in der Regel Unkenntnis oder falsche Anwendung der notwendigen Theoreme der Planimetrie.

Fläche eines Dreiecks ABC gleich 129. DE- Mittellinie parallel zur Seite AB. Finden Sie die Fläche des Trapezes EIN BETT.

Lösung. Dreieck CDEähnlich einem Dreieck TAXI an zwei Ecken, da die Ecke am Scheitelpunkt C Allgemein, Winkel CDE gleich dem Winkel TAXI wie die entsprechenden Winkel an DE || AB Sekante AC. Als DE ist die Mittellinie des Dreiecks durch die Bedingung, dann durch die Eigenschaft der Mittellinie | DE = (1/2)AB. Der Ähnlichkeitskoeffizient ist also 0,5. Die Flächen ähnlicher Figuren werden als Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten in Beziehung gesetzt, also

Folglich, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Aufgabe Nummer 7- überprüft die Anwendung der Ableitung auf das Studium der Funktion. Für eine erfolgreiche Umsetzung ist ein sinnvoller, nicht-formaler Besitz des Konzepts eines Derivats notwendig.

Beispiel 7 Zum Graphen der Funktion j = f(x) an der Stelle mit der Abszisse x 0 wird eine Tangente gezeichnet, die senkrecht zu der Geraden steht, die durch die Punkte (4; 3) und (3; -1) dieses Graphen geht. Finden f′( x 0).

Lösung. 1) Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie verwenden, die durch zwei gegebene Punkte geht, und die Gleichung einer geraden Linie finden, die durch die Punkte (4; 3) und (3; -1) geht.

(j – j 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(j 2 – j 1)

(j – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(j – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–j + 3 = –4x+ 16| · (-eines)

j – 3 = 4x – 16

j = 4x– 13, wo k 1 = 4.

2) Finden Sie die Steigung der Tangente k 2, die senkrecht zur Linie steht j = 4x– 13, wo k 1 = 4, nach der Formel:

3) Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion am Kontaktpunkt. Meint, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Antworten: –0,25.

Aufgabe Nummer 8- überprüft bei den Prüfungsteilnehmern die Kenntnisse der elementaren Stereometrie, die Fähigkeit, Formeln zur Bestimmung von Oberflächen und Volumen von Figuren, Flächenwinkeln anzuwenden, die Volumina ähnlicher Figuren zu vergleichen, Aktionen mit geometrischen Figuren, Koordinaten und Vektoren ausführen zu können usw .

Das Volumen eines um eine Kugel umschriebenen Würfels ist 216. Finde den Radius der Kugel.

Lösung. 1) v Würfel = a 3 (wo a ist die Kantenlänge des Würfels), also

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Da die Kugel in einen Würfel eingeschrieben ist, bedeutet dies, dass die Länge des Kugeldurchmessers gleich der Länge der Würfelkante ist d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Aufgabe Nummer 9- verlangt vom Absolventen, algebraische Ausdrücke zu transformieren und zu vereinfachen. Aufgabe Nr. 9 mit erhöhter Komplexität mit einer kurzen Antwort. Aufgaben aus dem Abschnitt "Berechnungen und Transformationen" in der USE sind in mehrere Typen unterteilt:

Transformationen von numerischen rationalen Ausdrücken;

Transformationen von algebraischen Ausdrücken und Brüchen;

Transformationen von irrationalen Zahlen-/Buchstabenausdrücken;

Aktionen mit Grad;

Transformation logarithmischer Ausdrücke;

1. Konvertierung numerischer/buchstabiger trigonometrischer Ausdrücke.

Beispiel 9 Berechnen Sie tgα, wenn bekannt ist, dass cos2α = 0,6 und

3π	< α < π.
4

Lösung. 1) Verwenden wir die Doppelargumentformel: cos2α = 2 cos 2 α - 1 und finden

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos2α		0,8		8		4		4		4

Daher ist tan 2 α = ± 0,5.

3) Nach Bedingung

3π	< α < π,
4

daher ist α der Winkel des zweiten Viertels und tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Antworten: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Aufgabe Nummer 10- prüft die Fähigkeit der Studierenden, die erworbenen frühen Kenntnisse und Fähigkeiten in der Praxis und im Alltag anzuwenden. Wir können sagen, dass dies Probleme in der Physik und nicht in der Mathematik sind, aber alle notwendigen Formeln und Größen sind in der Bedingung angegeben. Die Aufgaben reduzieren sich auf das Lösen einer linearen oder quadratischen Gleichung oder einer linearen oder quadratischen Ungleichung. Daher ist es notwendig, solche Gleichungen und Ungleichungen lösen und die Antwort bestimmen zu können. Die Antwort muss in Form einer ganzen Zahl oder eines letzten Dezimalbruchs erfolgen.

Zwei Massekörper m= 2 kg bei gleicher Geschwindigkeit v= 10 m/s in einem Winkel von 2α zueinander. Die bei ihrem absolut unelastischen Stoß freigesetzte Energie (in Joule) wird durch den Ausdruck bestimmt Q = mv 2 Sünde 2 α. Unter welchem ​​kleinsten Winkel 2α (in Grad) müssen sich die Körper bewegen, damit beim Aufprall mindestens 50 Joule freigesetzt werden?
Lösung. Um das Problem zu lösen, müssen wir die Ungleichung Q ≥ 50 auf dem Intervall 2α ∈ (0°; 180°) lösen.

mv 2 Sünde 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Da α ∈ (0°; 90°), werden wir nur lösen

Wir stellen die Lösung der Ungleichung grafisch dar:

Da nach Annahme α ∈ (0°; 90°) bedeutet dies, dass 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Aufgabe Nummer 11- ist typisch, stellt sich aber für Studierende als schwierig heraus. Die Hauptschwierigkeiten liegen in der Konstruktion eines mathematischen Modells (Aufstellen einer Gleichung). Aufgabe Nummer 11 testet die Fähigkeit, Textaufgaben zu lösen.

Beispiel 11. In den Frühlingsferien musste die Elfklässlerin Vasya 560 Übungsaufgaben lösen, um sich auf die Prüfung vorzubereiten. Am 18. März, am letzten Schultag, löste Vasya 5 Aufgaben. Dann löste er jeden Tag gleich viele Aufgaben mehr als am Vortag. Bestimmen Sie, wie viele Probleme Vasya am letzten Urlaubstag am 2. April gelöst hat.

Lösung: Bezeichnen a 1 = 5 - die Anzahl der Aufgaben, die Vasya am 18. März gelöst hat, d– tägliche Anzahl der von Vasya gelösten Aufgaben, n= 16 - die Anzahl der Tage vom 18. März bis einschließlich 2. April, S 16 = 560 - die Gesamtzahl der Aufgaben, a 16 - die Anzahl der Aufgaben, die Vasya am 2. April gelöst hat. Wenn Sie wissen, dass Vasya jeden Tag die gleiche Anzahl von Aufgaben mehr als am Vortag gelöst hat, können Sie die Formeln verwenden, um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Antworten: 65.

Aufgabe Nummer 12- die Fähigkeit der Schüler überprüfen, Aktionen mit Funktionen auszuführen, in der Lage sein, die Ableitung auf das Studium der Funktion anzuwenden.

Finden Sie den maximalen Punkt einer Funktion j= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Lösung: 1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: x + 9 > 0, x> –9, also x ∈ (–9; ∞).

2) Finden Sie die Ableitung der Funktion:

4) Der gefundene Punkt gehört zum Intervall (–9; ∞). Wir definieren die Vorzeichen der Ableitung der Funktion und stellen das Verhalten der Funktion in der Abbildung dar:

Der gewünschte Maximalpunkt x = –8.

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Aufgabe Nummer 13- eine erhöhte Komplexität mit einer detaillierten Antwort, die die Fähigkeit testet, Gleichungen zu lösen, die unter den Aufgaben mit einer detaillierten Antwort mit einer erhöhten Komplexität am erfolgreichsten gelöst werden.

a) Lösen Sie die Gleichung 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zu dem Segment gehören.

Lösung: a) Sei log 3 (2cos x) = t, dann 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2 cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ weil |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2 cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

dann weil x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Finden Sie die Wurzeln, die auf dem Segment liegen .

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass das gegebene Segment Wurzeln hat

11π	und	13π	.
6		6

Antworten: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Aufgabe Nummer 14- Fortgeschrittene Stufe bezieht sich auf die Aufgaben des zweiten Teils mit ausführlicher Beantwortung. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Elemente. Im ersten Absatz muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Absatz berechnet werden.

Der Umfangsdurchmesser der Basis des Zylinders beträgt 20, die Mantellinie des Zylinders 28. Die Ebene schneidet seine Basis entlang Sehnen der Länge 12 und 16. Der Abstand zwischen den Sehnen beträgt 2√197.

a) Beweisen Sie, dass die Mittelpunkte der Grundflächen des Zylinders auf derselben Seite dieser Ebene liegen.

b) Finden Sie den Winkel zwischen dieser Ebene und der Ebene der Basis des Zylinders.

Lösung: a) Eine Sehne der Länge 12 hat einen Abstand = 8 vom Mittelpunkt des Grundkreises, und eine Sehne der Länge 16 hat ebenfalls einen Abstand von 6. Daher ist der Abstand ihrer Projektionen auf eine Ebene parallel zum Basen der Zylinder ist entweder 8 + 6 = 14 oder 8 − 6 = 2.

Dann ist der Abstand zwischen den Akkorden entweder

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Bedingungsgemäß wurde der zweite Fall verwirklicht, bei dem die Vorsprünge der Sehnen auf einer Seite der Zylinderachse liegen. Das bedeutet, dass die Achse diese Ebene innerhalb des Zylinders nicht schneidet, dh die Basen liegen auf einer Seite davon. Was bewiesen werden musste.

b) Bezeichnen wir die Mittelpunkte der Basen mit O 1 und O 2. Ziehen wir von der Mitte der Basis mit einer Sehne der Länge 12 die Mittelsenkrechte zu dieser Sehne (sie hat, wie bereits erwähnt, eine Länge von 8) und von der Mitte der anderen Basis zu einer anderen Sehne. Sie liegen in derselben Ebene β senkrecht zu diesen Sehnen. Nennen wir den Mittelpunkt der kleineren Sehne B, größer als A, und die Projektion von A auf die zweite Basis H (H ∈ β). Dann stehen AB,AH ∈ β und damit AB,AH senkrecht auf der Sehne, also der Schnittgerade der Basis mit der gegebenen Ebene.

Der erforderliche Winkel ist also

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Aufgabe Nummer 15- ein erhöhter Komplexitätsgrad mit einer detaillierten Antwort, überprüft die Fähigkeit, Ungleichheiten zu lösen, die am erfolgreichsten gelösten Aufgaben mit einer detaillierten Antwort eines erhöhten Komplexitätsgrades.

Beispiel 15 Lösen Sie die Ungleichung | x 2 – 3x| Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Lösung: Der Definitionsbereich dieser Ungleichung ist das Intervall (–1; +∞). Betrachten Sie drei Fälle getrennt:

1) Lass x 2 – 3x= 0, d.h. X= 0 bzw X= 3. In diesem Fall wird diese Ungleichung wahr, daher werden diese Werte in die Lösung aufgenommen.

2) Lassen Sie jetzt x 2 – 3x> 0, d.h. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). In diesem Fall kann diese Ungleichung in die Form umgeschrieben werden ( x 2 – 3x) Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 und dividiere durch einen positiven Ausdruck x 2 – 3x. Wir erhalten Protokoll 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 bzw x≤ -0,5. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs haben wir x ∈ (–1; –0,5].

3) Überlegen Sie abschließend x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). In diesem Fall wird die ursprüngliche Ungleichung in die Form (3 x – x 2) Protokoll 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Nach Division durch einen positiven Ausdruck 3 x – x 2 erhalten wir log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Unter Berücksichtigung der Fläche haben wir x ∈ (0; 1].

Durch Kombinieren der erhaltenen Lösungen erhalten wir x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Antworten: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Aufgabe Nummer 16- Fortgeschrittene Stufe bezieht sich auf die Aufgaben des zweiten Teils mit ausführlicher Beantwortung. Die Aufgabe testet die Fähigkeit, Aktionen mit geometrischen Formen, Koordinaten und Vektoren auszuführen. Die Aufgabe enthält zwei Elemente. Im ersten Absatz muss die Aufgabe nachgewiesen und im zweiten Absatz berechnet werden.

In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit einem Winkel von 120° an der Spitze A wird eine Winkelhalbierende BD eingezeichnet. Das Rechteck DEFH ist in das Dreieck ABC einbeschrieben, so dass die Seite FH auf der Strecke BC und die Spitze E auf der Strecke AB liegt. a) Beweisen Sie, dass FH = 2DH ist. b) Finden Sie die Fläche des Rechtecks ​​DEFH, wenn AB = 4.

Lösung: a)

1) ΔBEF - rechteckig, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, dann EF = BE aufgrund der Eigenschaft des Schenkels gegenüber dem Winkel von 30°.

2) Sei EF = DH = x, dann ist BE = 2 x, Bf = x√3 nach dem Satz des Pythagoras.

3) Da ΔABC gleichschenklig ist, ist ∠B = ∠C = 30˚.

BD ist die Winkelhalbierende von ∠B, also ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Betrachten Sie ΔDBH - rechteckig, weil DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = EDEF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Antworten: 24 – 12√3.

Aufgabe Nummer 17- eine Aufgabe mit einer detaillierten Antwort, diese Aufgabe testet die Anwendung von Wissen und Fähigkeiten in praktischen Tätigkeiten und im Alltag, die Fähigkeit, mathematische Modelle zu erstellen und zu erforschen. Diese Aufgabe ist eine Textaufgabe mit wirtschaftlichem Inhalt.

Beispiel 17. Das Depot in Höhe von 20 Millionen Rubel soll für vier Jahre eröffnet werden. Am Ende eines jeden Jahres erhöht die Bank die Einlage um 10 % im Vergleich zu ihrer Höhe zu Beginn des Jahres. Darüber hinaus füllt der Einzahler zu Beginn des dritten und vierten Jahres die Einzahlung jährlich auf X Millionen Rubel, wo X - ganz Nummer. Finden Sie den höchsten Wert X, bei dem die Bank in vier Jahren weniger als 17 Millionen Rubel zur Einzahlung hinzufügen wird.

Lösung: Am Ende des ersten Jahres beträgt der Beitrag 20 + 20 · 0,1 = 22 Millionen Rubel und am Ende des zweiten - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 Millionen Rubel. Zu Beginn des dritten Jahres beträgt der Beitrag (in Millionen Rubel) (24,2 + X) und am Ende - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Zu Beginn des vierten Jahres beträgt der Beitrag (26.62 + 2.1 X), und am Ende - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Als Bedingung müssen Sie die größte ganze Zahl x finden, für die die Ungleichung gilt

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Die größte ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 24.

Antworten: 24.

Aufgabe Nummer 18- eine Aufgabe von erhöhter Komplexität mit einer detaillierten Antwort. Diese Aufgabe ist für die kompetitive Auswahl an Hochschulen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung von Bewerbern vorgesehen. Eine Aufgabe mit hoher Komplexität ist keine Aufgabe für die Anwendung eines Lösungsverfahrens, sondern für eine Kombination verschiedener Verfahren. Für die erfolgreiche Bearbeitung der Aufgabe 18 ist neben soliden mathematischen Kenntnissen auch ein hohes Maß an mathematischer Kultur erforderlich.

Bei was a System der Ungleichheiten

	x 2 + j 2 ≤ 2ja – a 2 + 1
	j + a ≤ |x| – a

genau zwei Lösungen hat?

Lösung: Dieses System kann umgeschrieben werden als

	x 2 + (j– a) 2 ≤ 1
	j ≤ |x| – a

Wenn wir die Menge der Lösungen der ersten Ungleichung in die Ebene zeichnen, erhalten wir das Innere eines Kreises (mit Rand) mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Punkt (0, a). Die Menge der Lösungen der zweiten Ungleichung ist der Teil der Ebene, der unter dem Graphen der Funktion liegt j = | x| – a, und letzteres ist der Graph der Funktion
j = | x| , nach unten verschoben um a. Die Lösung dieses Systems ist der Schnittpunkt der Lösungsmengen jeder der Ungleichungen.

Folglich wird dieses System nur in dem in Abb. eines.

Die Berührungspunkte zwischen dem Kreis und den Linien sind die beiden Lösungen des Systems. Jede der Geraden ist in einem Winkel von 45° zu den Achsen geneigt. Also das Dreieck PQR- rechteckig gleichschenklig. Punkt Q hat Koordinaten (0, a) und der Punkt R– Koordinaten (0, – a). Außerdem Schnitte PR und PQ gleich dem Kreisradius gleich 1 sind. Also

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Antworten: a =	√2	.
	2

Aufgabe Nummer 19- eine Aufgabe von erhöhter Komplexität mit einer detaillierten Antwort. Diese Aufgabe ist für die kompetitive Auswahl an Hochschulen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung von Bewerbern vorgesehen. Eine Aufgabe mit hoher Komplexität ist keine Aufgabe für die Anwendung eines Lösungsverfahrens, sondern für eine Kombination verschiedener Verfahren. Für die erfolgreiche Durchführung von Aufgabe 19 ist es notwendig, nach einer Lösung suchen zu können, verschiedene Ansätze aus den bekannten auszuwählen und die untersuchten Methoden zu modifizieren.

Lassen schn Summe P Glieder einer arithmetischen Folge ( ein p). Es ist bekannt, dass Sn + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Geben Sie die Formel an P Mitglied dieser Progression.

b) Finden Sie die kleinste Modulosumme Sn.

c) Finden Sie den kleinsten P, bei welchem Sn wird das Quadrat einer ganzen Zahl sein.

Lösung: a) Offensichtlich ein = Sn – Sn- eines . Mit dieser Formel erhalten wir:

Sn = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

Sn – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

meint, ein = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

b) weil Sn = 2n 2 – 25n, dann betrachte die Funktion S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ihr Diagramm ist in der Abbildung zu sehen.

Es ist offensichtlich, dass der kleinste Wert an den ganzzahligen Punkten erreicht wird, die den Nullstellen der Funktion am nächsten liegen. Das sind natürlich Punkte. X= 1, X= 12 und X= 13. Da, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, dann ist der kleinste Wert 12.

c) Aus dem vorigen Absatz folgt, dass schn seither positiv n= 13. Seit Sn = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), dann wird der offensichtliche Fall realisiert, dass dieser Ausdruck ein perfektes Quadrat ist, wenn n = 2n- 25, das heißt mit P= 25.

Es bleibt, die Werte von 13 bis 25 zu überprüfen:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Es stellt sich heraus, dass für kleinere Werte P volles Quadrat wird nicht erreicht.

Antworten: a) ein = 4n- 27; b) 12; c) 25.

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*Seit Mai 2017 gehört die gemeinsame Verlagsgruppe DROFA-VENTANA zur Russian Textbook Corporation. Zum Konzern gehörten auch der Astrel-Verlag und die digitale Bildungsplattform LECTA. Alexander Brychkin, Absolvent der Finanzakademie der Regierung der Russischen Föderation, Kandidat der Wirtschaftswissenschaften, Leiter innovativer Projekte des DROFA-Verlags im Bereich der digitalen Bildung (elektronische Formen von Lehrbüchern, Russian Electronic School, LECTA Digital Education). Plattform) wurde zum Generaldirektor ernannt. Vor seinem Eintritt in den DROFA-Verlag bekleidete er die Position des Vizepräsidenten für Strategische Entwicklung und Investitionen der Verlagsholding EKSMO-AST. Heute hat die Russian Textbook Publishing Corporation das größte Portfolio an Lehrbüchern, die in der föderalen Liste enthalten sind – 485 Titel (ca. 40 %, ohne Lehrbücher für Besserungsschulen). Die Verlage des Konzerns besitzen die von den russischen Schulen am meisten nachgefragten Lehrbücher in Physik, Zeichnen, Biologie, Chemie, Technik, Erdkunde und Astronomie - Wissensgebiete, die zur Entwicklung des Produktionspotentials des Landes benötigt werden. Das Portfolio des Unternehmens umfasst Lehrbücher und Lehrmittel für Grundschulen, die mit dem Bildungspreis des Präsidenten ausgezeichnet wurden. Dies sind Lehrbücher und Handbücher zu Fachgebieten, die für die Entwicklung des wissenschaftlichen, technischen und industriellen Potenzials Russlands erforderlich sind.

An der USE Mathematik auf Profilebene gibt es 2019 keine Veränderungen – das Prüfungsprogramm setzt sich wie in den Vorjahren aus Materialien der mathematischen Hauptfächer zusammen. Die Tickets umfassen mathematische, geometrische und algebraische Probleme.

Auf Profilebene gibt es in KIM USE 2019 in Mathematik keine Änderungen.

Merkmale von USE-Aufgaben in Mathematik-2019

• Achten Sie bei der Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik (Profil) auf die Grundvoraussetzungen des Prüfungsprogramms. Es soll das Wissen des fortgeschrittenen Programms testen: Vektor- und mathematische Modelle, Funktionen und Logarithmen, algebraische Gleichungen und Ungleichungen.
• Üben Sie separat das Lösen von Aufgaben für.
• Es ist wichtig, nicht standardmäßiges Denken zu zeigen.

Prüfungsstruktur

Aufgaben der Einheitlichen Staatsprüfung Profilmathematik in zwei Blöcke aufgeteilt.

1. Teil - kurze Antworten, umfasst 8 Aufgaben, die die mathematische Grundausbildung und die Fähigkeit, mathematisches Wissen im Alltag anzuwenden, testen.
2. Teil - kurz u ausführliche Antworten. Es besteht aus 11 Aufgaben, von denen 4 eine kurze Antwort erfordern und 7 - eine ausführliche mit einer Begründung der durchgeführten Aktionen.

• Erhöhte Komplexität- Aufgaben 9-17 des zweiten Teils von KIM.
• Hoher Schwierigkeitsgrad- Aufgaben 18-19 –. Dieser Teil der Prüfungsaufgaben überprüft nicht nur das Niveau der mathematischen Kenntnisse, sondern auch das Vorhandensein oder Fehlen eines kreativen Ansatzes zur Lösung trockener "Zahlen" -Aufgaben sowie die Wirksamkeit der Fähigkeit, Wissen und Fähigkeiten als professionelles Werkzeug einzusetzen .

Wichtig! Unterstützen Sie daher bei der Vorbereitung auf die Prüfung die Theorie in Mathematik immer durch das Lösen praktischer Probleme.

Wie werden Punkte verteilt?

Die Aufgaben des ersten Teils der KIMs in Mathematik ähneln den USE-Tests der Grundstufe, sodass es unmöglich ist, eine hohe Punktzahl zu erzielen.

Die Punkte für jede Aufgabe in Mathematik auf Profilebene wurden wie folgt verteilt:

• für richtige Antworten auf die Aufgaben Nr. 1-12 - jeweils 1 Punkt;
• Nr. 13-15 - je 2;
• Nr. 16-17 - je 3;
• Nr. 18-19 - jeweils 4.

Die Dauer der Prüfung und die Verhaltensregeln für die Prüfung

Um die Prüfung abzuschließen -2019 der Schüler wird zugeordnet 3 Stunden 55 Minuten(235 Minuten).

Während dieser Zeit sollte der Schüler nicht:

• laut sein;
• Gadgets und andere technische Mittel verwenden;
• abschreiben;
• Versuchen Sie anderen zu helfen oder bitten Sie selbst um Hilfe.

Für solche Handlungen kann der Prüfer aus der Zuhörerschaft ausgeschlossen werden.

Für das Staatsexamen in Mathematik mitbringen dürfen nur ein Lineal dabei, die restlichen Materialien werden Ihnen unmittelbar vor der Prüfung ausgehändigt. vor Ort ausgegeben.

Effektive Vorbereitung ist die Lösung der Online-Mathetests 2019. Wählen Sie und erhalten Sie die höchste Punktzahl!

Viele Bewerber machen sich Gedanken darüber, wie sie sich selbstständig die notwendigen Kenntnisse aneignen können, um die Prüfungen vor der Zulassung erfolgreich zu bestehen. 2017 wenden sie sich häufig an das Internet, um eine Lösung zu finden. Lösungen gibt es viele, die wirklich lohnenden sind es wert, sehr lange gesucht zu werden. Glücklicherweise gibt es bekannte und bewährte Systeme. Eine davon ist die Einheitliche Staatsprüfung von Dmitry Gushchin zu lösen.

Das Trainingssystem von Dmitry Gushchin mit dem Titel "Ich werde die Prüfung lösen" impliziert eine umfassende Vorbereitung auf die bevorstehende Prüfung. Dmitry Gushchin schuf und versuchte, das notwendige Wissen kostenlos zu vermitteln, damit die zukünftige Generation die Prüfungen erfolgreich bestehen konnte. Das System ist für das selbstständige Studium von Fächern konzipiert. Ich löse das Einheitliche Staatsexamen auf der Grundlage der einheitlichen Informationsdarstellung, die Thema für Thema konsequent in das Gehirn der Studierenden passt.

USE-2017 in Mathematik, Grundstufe

Dmitry Gushchin verpflichtet sich, bei Prüfungen wie dem OGE und dem Einheitlichen Staatsexamen mit einer sehr verbreiteten Technik zu helfen. Sie liegt darin, dass alle neuen Erkenntnisse thematisch dargestellt und systematisiert werden. Der Schüler kann leicht auswählen, was er zur abschließenden Festigung des Stoffes wiederholen muss.

Aufgaben sind auf Basis- und Profilebene verfügbar. Mathematik ist ein Paradebeispiel für solche Aufgaben. Die Hauptstufe (Grundstufe) umfasst den schulweiten Wissensschatz. Es erfordert das Wissen, das jeder Schüler in 11 Jahren erhält. Die Profilstufe richtet sich an Absolventinnen und Absolventen von Fachschulen mit Schwerpunkt auf einem bestimmten Fachgebiet.

Ein interessantes Merkmal des Systems ist seine Ähnlichkeit mit der echten Prüfung. Bei der Endkontrollaufgabe werden sie im USE-Format eingereicht. Der Student kann auch seine Endnote erfahren, nachdem er den Test bestanden hat. Dies hilft, eine Person zu motivieren, neue Ziele zu erreichen und neues Material zu lernen. Wenn Sie Ihre tatsächlichen Chancen bei der Prüfung erkennen, können Sie Ihre Gedanken sammeln und verstehen, was genau Sie lernen müssen.

Die beliebtesten Themen in "Ich werde die Prüfung lösen" werden zusammen mit anderen bereitgestellt. Die russische Sprache von Dmitry Gushchin umfasst die Regeln der Grammatik, Zeichensetzung und Syntax sowie den Wortschatz. Chemie enthält Beispiele zur Lösung spezifischer Probleme, spezielle Formeln. Der Chemieteil enthält auch verschiedene Verbindungen und Konzepte über Chemikalien. Der Abschnitt Biologie deckt die Lebenstätigkeit aller Reiche lebender Organismen ab. Es enthält eine wichtige Theorie, die Ihnen letztendlich zum Erfolg in der Prüfung verhelfen wird.

Die nächste Funktion ist, dass Ihr Fortschritt aufgezeichnet wird und Sie Ihren Fortschritt verfolgen können. Dieser Ansatz wird Ihnen helfen, sich zu motivieren, auch wenn Sie keine Lust mehr auf Lernen haben. Ihr eigenes Ergebnis bringt Sie immer dazu, mehr zu tun.

Das System verfügt auch über Kriterien zur Bewertung von Werken. Sie werden die Vorbereitung auf die Prüfung geplant und durchdacht gestalten. Ein zukünftiger Student wird sie immer lesen können und verstehen, worauf der Prüfer achten wird. Dies ist wichtig, um bestimmte wichtige Aspekte der Arbeit zu berücksichtigen. Im Allgemeinen ist sich der Student der Bedeutung seiner Wahl voll bewusst und erinnert sich an die Bewertungskriterien.

Auswertung

zwei Teile, einschließlich 19 Aufgaben. Teil 1 Teil 2

3 Stunden 55 Minuten(235 Minuten).

Antworten

Doch kannst du kompass machen Rechner auf der Prüfung nicht benutzt.

der Pass), passieren und Kapillare oder! Mitnehmen erlaubt mit sich Wasser(in einer transparenten Flasche) und Lebensmittel

Die Prüfungsarbeit besteht aus zwei Teile, einschließlich 19 Aufgaben. Teil 1 enthält 8 Aufgaben einer einfachen Schwierigkeitsstufe mit einer kurzen Antwort. Teil 2 enthält 4 Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad mit kurzer Antwort und 7 Aufgaben mit hohem Schwierigkeitsgrad mit ausführlicher Antwort.

Zur Absolvierung der Prüfungsleistung wird eine Mathematikleistung erbracht 3 Stunden 55 Minuten(235 Minuten).

Antworten zu den Aufgaben 1–12 aufgezeichnet werden als Ganzzahl oder Enddezimalzahl. Schreiben Sie die Zahlen in die Antwortfelder im Text der Arbeit und übertragen Sie diese dann auf den während der Prüfung ausgegebenen Antwortbogen Nr. 1!

Bei der Arbeit können Sie die mit der Arbeit ausgegebenen verwenden. Sie können nur ein Lineal verwenden, doch kannst du kompass machen mit seinen eigenen Händen. Es ist verboten, Werkzeuge mit aufgedruckten Referenzmaterialien zu verwenden. Rechner auf der Prüfung nicht benutzt.

Für die Prüfung müssen Sie einen Ausweis mit sich führen. der Pass), passieren und Kapillare bzw Gelschreiber mit schwarzer Tinte! Mitnehmen erlaubt mit sich Wasser(in einer transparenten Flasche) und Lebensmittel(Obst, Schokolade, Brötchen, Sandwiches), kann aber gebeten werden, auf dem Flur abzustellen.