Vereinfachung logischer Ausdrücke. Ausdrucksvereinfachung

Zu Beginn der Lektion werden wir die grundlegenden Eigenschaften von Quadratwurzeln wiederholen und uns dann einige komplexe Beispiele für die Vereinfachung von Ausdrücken ansehen, die Quadratwurzeln enthalten.

Thema:Funktion. Eigenschaften der Quadratwurzel

Lektion:Konvertieren und Vereinfachen komplexerer Ausdrücke mit Wurzeln

1. Wiederholung der Eigenschaften von Quadratwurzeln

Lassen Sie uns kurz die Theorie wiederholen und die Haupteigenschaften von Quadratwurzeln in Erinnerung rufen.

Eigenschaften von Quadratwurzeln:

1. , also ;

3. ;

4. .

2. Beispiele zur Vereinfachung von Ausdrücken mit Wurzeln

Fahren wir mit Beispielen für die Verwendung dieser Eigenschaften fort.

Beispiel 1: Vereinfachen Sie einen Ausdruck .

Lösung. Zur Vereinfachung muss die Zahl 120 in Primfaktoren zerlegt werden:

Wir öffnen das Quadrat der Summe nach der entsprechenden Formel:

Beispiel 2: Vereinfachen Sie einen Ausdruck .

Lösung. Wir berücksichtigen, dass dieser Ausdruck nicht für alle möglichen Werte der Variablen sinnvoll ist, da dieser Ausdruck Quadratwurzeln und Brüche enthält, was zu einer „Verengung“ des Bereichs akzeptabler Werte führt. ODZ: ().

Wir bringen den Ausdruck in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben den Zähler des letzten Bruchs als Quadratdifferenz:

Antworten. bei.

Beispiel 3: Vereinfachen Sie einen Ausdruck .

Lösung. Es ist ersichtlich, dass die zweite Klammer des Zählers eine umständliche Form hat und vereinfacht werden muss. Versuchen wir, sie mit der Gruppierungsmethode zu faktorisieren.

Um den gemeinsamen Teiler herausnehmen zu können, haben wir die Wurzeln vereinfacht, indem wir sie faktorisiert haben. Ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck in den ursprünglichen Bruch:

Nachdem wir den Bruch gekürzt haben, wenden wir die Formel für die Differenz der Quadrate an.

3. Ein Beispiel für die Beseitigung von Irrationalität

Beispiel 4. Irrationalität (Wurzeln) im Nenner beseitigen: a) ; b) .

Lösung. a) Um die Irrationalität im Nenner zu beseitigen, wird die Standardmethode verwendet, bei der sowohl der Zähler als auch der Nenner eines Bruchs mit dem konjugierten Faktor zum Nenner multipliziert werden (derselbe Ausdruck, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen). Dies geschieht, um den Nenner des Bruchs mit der Differenz der Quadrate zu ergänzen, wodurch Sie die Wurzeln im Nenner loswerden können. Gehen wir in unserem Fall so vor:

b) ähnliche Aktionen ausführen:

4. Ein Beispiel für den Beweis und für die Auswahl eines vollständigen Quadrats in einem komplexen Radikal

Beispiel 5. Beweisen Sie die Gleichheit .

Nachweisen. Verwenden wir die Definition der Quadratwurzel, aus der folgt, dass das Quadrat des rechten Ausdrucks gleich dem Wurzelausdruck sein muss:

. Öffnen wir die Klammern nach der Formel des Summenquadrats:

, erhalten wir die richtige Gleichung.

Bewährt.

Beispiel 6. Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung. Dieser Ausdruck wird allgemein als komplexes Radikal (Wurzel unter der Wurzel) bezeichnet. In diesem Beispiel müssen Sie erraten, um das vollständige Quadrat aus dem Wurzelausdruck auszuwählen. Dazu stellen wir fest, dass es sich bei den beiden Termen um die Rolle eines doppelten Produkts in der Formel für das Quadrat der Differenz handelt (Differenz, da es ein Minus gibt). Schreiben wir es in Form eines solchen Produkts: , dann behauptet , einer der Terme des vollen Quadrats zu sein und 1 die Rolle des zweiten zu spielen.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck unter der Wurzel ersetzen.

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, aber zuerst werden wir auf eine Reihe von Transformationen eingehen, die mit beliebigen Ausdrücken, einschließlich Potenzen, durchgeführt werden können. Wir lernen, wie man Klammern öffnet, gleiche Terme angibt, mit Basis und Exponent arbeitet, die Eigenschaften von Potenzen nutzt.

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Was sind Machtausdrücke?

Im Schulunterricht verwenden die wenigsten den Ausdruck „Machtausdrücke“, aber dieser Begriff findet sich immer wieder in Sammlungen zur Vorbereitung auf die Prüfung. In den meisten Fällen bezeichnet der Ausdruck Ausdrücke, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Bestimmung 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Grade enthält.

Wir geben mehrere Beispiele für Potenzausdrücke, beginnend mit einem Grad mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einem Grad mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit natürlichem Exponenten betrachtet werden: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + ein 2 , x 3 − 1 , (ein 2) 3 . Sowie Potenzen mit Exponent null: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Und Potenzen mit negativen ganzzahligen Potenzen: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Es ist etwas schwieriger, mit einem Grad zu arbeiten, der rationale und irrationale Exponenten hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Der Indikator kann eine Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder ein Logarithmus sein x 2 l g x − 5 x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Werfen wir nun einen Blick auf ihre Transformation.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Leistungsausdruckswert 2 3 (4 2 − 12).

Lösung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall beginnen wir mit den Aktionen in Klammern: Wir ersetzen den Grad durch einen digitalen Wert und berechnen die Differenz zwischen den beiden Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Es bleibt uns, den Abschluss zu ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und das Produkt berechnen 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antworten: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Kräften 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7.

Lösung

Der uns im Zustand des Problems gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir bringen können: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1.

Antworten: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen von 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Lösung

Stellen wir die Zahl 9 als Potenz dar 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antworten: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse identischer Transformationen, die speziell auf Potenzausdrücke angewendet werden können.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 und . Es ist schwierig, mit solchen Aufzeichnungen zu arbeiten. Viel einfacher ist es, den Ausdruck in der Basis des Grads oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Die Transformationen des Grades und des Indikators erfolgen nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander. Das Wichtigste ist, dass als Ergebnis der Transformationen ein Ausdruck erhalten wird, der mit dem ursprünglichen identisch ist.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung des Problems zu erhalten. In dem Beispiel, das wir oben gegeben haben, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 können Sie beispielsweise Operationen ausführen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Wenn wir die Klammern öffnen, können wir ähnliche Begriffe in die Basis des Abschlusses einbringen (ein (ein + 1) − ein 2) 2 (x + 1) und erhalten Sie einen Machtausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Power-Eigenschaften verwenden

Die als Gleichheit geschriebenen Eigenschaften von Graden sind eines der Hauptwerkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Graden. In Anbetracht dessen stellen wir hier die wichtigsten vor a und b sind alle positiven Zahlen, und r und s- beliebige reelle Zahlen:

Bestimmung 2

• ein r ein s = ein r + s ;
• ein r: ein s = ein r - s ;
• (ein b) r = ein r b r ;
• (a: b) r = ein r: b r ;
• (ein r) s = ein r s .

In Fällen, in denen wir es mit natürlichen, ganzzahligen, positiven Exponenten zu tun haben, können die Beschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Also zum Beispiel, wenn wir die Gleichheit betrachten ein m ein n = ein m + n, wo m und n natürliche Zahlen sind, dann gilt dies für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Sie können die Eigenschaften von Graden ohne Einschränkungen in Fällen anwenden, in denen die Basen der Grade positiv sind oder Variablen enthalten, deren Bereich akzeptabler Werte so ist, dass die Basen nur positive Werte annehmen. Tatsächlich besteht die Aufgabe des Schülers im Rahmen des Schullehrplans in Mathematik darin, die geeignete Eigenschaft auszuwählen und sie richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf den Hochschulzugang kann es Aufgaben geben, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Schwierigkeiten bei der Lösung führt. In diesem Abschnitt betrachten wir nur zwei solcher Fälle. Nähere Informationen zum Thema finden Sie im Thema "Umwandlung von Ausdrücken mit Exponenteneigenschaften".

Beispiel 4

Den Ausdruck darstellen a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 als Abschluss mit Basis a.

Lösung

Zunächst nutzen wir die Potenzierungseigenschaft und transformieren damit den zweiten Faktor (ein 2) − 3. Dann verwenden wir die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = ein 2 .

Antworten: ein 2 , 5 (ein 2) − 3: ein − 5 , 5 = ein 2 .

Die Transformation von Potenzausdrücken nach der Eigenschaft von Graden kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Lösung

Wenden wir die Gleichheit an (ein b) r = ein r b r, von rechts nach links, dann erhalten wir ein Produkt der Form 3 7 1 3 21 2 3 und dann 21 1 3 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten beim Multiplizieren von Potenzen mit denselben Basen: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, Transformationen vorzunehmen:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antworten: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Angesichts eines Machtausdrucks ein 1 , 5 − ein 0 , 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0 , 5.

Lösung

Stellen Sie sich den Abschluss vor 1, 5 wie a 0 , 5 3. Verwenden der Eigenschaft Degree in einem Degree (ein r) s = ein r s von rechts nach links und erhalte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . In dem resultierenden Ausdruck können Sie einfach eine neue Variable einführen t = a 0 , 5: erhalten t 3 − t − 6.

Antworten: t 3 − t − 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Üblicherweise haben wir es mit zwei Varianten von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck ist ein Bruch mit einem Grad oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Bruchtransformationen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie lassen sich kürzen, auf einen neuen Nenner bringen, mit Zähler und Nenner getrennt arbeiten. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfache den Potenzausdruck 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Lösung

Wir haben es mit einem Bruch zu tun, also führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setze ein Minus vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antworten: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner gebracht. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so zu wählen, dass er für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel 8

Bringen Sie die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 auf den Nenner a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 zum Nenner x + 8 y 1 2 .

Lösung

a) Wir wählen einen Faktor, der es uns erlaubt, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. ein 0 , 7 ein 0 , 3 = ein 0 , 7 + 0 , 3 = ein , daher nehmen wir als zusätzlichen Faktor eine 0 , 3. Der Bereich der zulässigen Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. In diesem Bereich ist der Abschluss eine 0 , 3 geht nicht auf null.

Multiplizieren wir Zähler und Nenner eines Bruchs mit eine 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achte auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren Sie diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6 , erhalten wir die Summe der Kuben x 1 3 und 2 · y 1 6 , d.h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Also haben wir einen zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Über den Bereich akzeptabler Werte von Variablen x und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, also können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antworten: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 j 1 2 .

Beispiel 9

Kürze den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösung

a) Verwenden Sie den größten gemeinsamen Nenner (ggT), um den sich Zähler und Nenner kürzen lassen. Für die Zahlen 30 und 45 ist dies 15 . Wir können auch reduzieren x 0 , 5 + 1 und auf x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mit der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antworten: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Die Hauptoperationen mit Brüchen umfassen das Kürzen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen. Beide Aktionen werden in Übereinstimmung mit einer Reihe von Regeln ausgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden Aktionen (Addition oder Subtraktion) mit Zählern durchgeführt. Der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis unserer Aktionen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Lösung

Beginnen wir damit, die Brüche in Klammern zu subtrahieren. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Lassen Sie uns um ein Grad reduzieren x 1 2, erhalten wir 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Zusätzlich kannst du den Potenzausdruck im Nenner mit der Formel für die Differenz von Quadraten vereinfachen: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Antworten: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfache den Potenzausdruck x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Lösung

Wir können den Bruch um kürzen (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten einen Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit der Transformation von x Potenzen x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Potenzteilungseigenschaft mit denselben Basen verwenden: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Wir gehen vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1 über.

Antworten: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

In den meisten Fällen ist es bequemer, Multiplikatoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner und umgekehrt zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Diese Aktion vereinfacht die weitere Entscheidung. Nehmen wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0 , 2 ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

In Aufgaben gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Grade mit gebrochenen Exponenten enthalten, sondern auch Wurzeln. Es ist wünschenswert, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Der Übergang zu Graden ist vorzuziehen, da sie einfacher zu handhaben sind. Ein solcher Übergang ist besonders vorteilhaft, wenn der DPV der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen erlaubt, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modulus zugreifen oder den DPV in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 x x 3 6 als Potenz aus.

Lösung

Gültiger Bereich einer Variablen x wird durch zwei Ungleichungen bestimmt x ≥ 0 und x · x 3 ≥ 0 , die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

An diesem Set haben wir das Recht, von den Wurzeln zu Kräften zu wechseln:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Unter Verwendung der Eigenschaften von Graden vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antworten: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen umrechnen mit Variablen im Exponenten

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grads richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können das Produkt des Grades ersetzen, in dessen Begriff die Summe einer Variablen und einer Zahl gefunden wird. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term auf der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Lassen Sie uns nun beide Seiten der Gleichung durch dividieren 7 2x. Dieser Ausdruck auf der ODZ der Variablen x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Lassen Sie uns die Brüche mit Potenzen kürzen, wir erhalten: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zu der Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 führt, was äquivalent zu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 ist x - 2 = 0 .

Wir führen eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 reduziert.

Umrechnen von Ausdrücken mit Potenzen und Logarithmen

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, finden sich auch in Aufgaben. Beispiele für solche Ausdrücke sind: 1 4 1 - 5 log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und den Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ ausführlich analysiert haben.

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Bei Aufgaben ist es oft erforderlich, eine vereinfachte Antwort zu geben. Obwohl sowohl die vereinfachten als auch die nicht vereinfachten Antworten richtig sind, kann Ihr Kursleiter Ihre Note herabsetzen, wenn Sie Ihre Antwort nicht vereinfachen. Darüber hinaus ist es viel einfacher, mit einem vereinfachten mathematischen Ausdruck zu arbeiten. Daher ist es sehr wichtig zu lernen, wie man Ausdrücke vereinfacht.

Schritte

Richtige Reihenfolge der mathematischen Operationen

1. Erinnere dich an die richtige Reihenfolge bei mathematischen Operationen. Beim Vereinfachen eines mathematischen Ausdrucks muss eine bestimmte Reihenfolge eingehalten werden, da einige mathematische Operationen Vorrang vor anderen haben und zuerst ausgeführt werden müssen (tatsächlich führt das Nichtbefolgen der richtigen Reihenfolge der Operationen zu einem falschen Ergebnis). Merken Sie sich die folgende Reihenfolge der mathematischen Operationen: Ausdruck in Klammern, Exponentiation, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.

   • Beachten Sie, dass die Kenntnis der richtigen Reihenfolge der Operationen es Ihnen ermöglicht, die meisten der einfachsten Ausdrücke zu vereinfachen, aber um ein Polynom (einen Ausdruck mit einer Variablen) zu vereinfachen, müssen Sie spezielle Tricks kennen (siehe nächster Abschnitt).

2. Beginnen Sie damit, den Ausdruck in Klammern zu lösen. In der Mathematik geben Klammern an, dass der eingeschlossene Ausdruck zuerst ausgewertet werden muss. Beginnen Sie daher beim Vereinfachen eines mathematischen Ausdrucks damit, den in Klammern eingeschlossenen Ausdruck zu lösen (es spielt keine Rolle, welche Operationen Sie innerhalb der Klammern ausführen müssen). Denken Sie jedoch daran, dass Sie bei der Arbeit mit einem in Klammern eingeschlossenen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen einhalten sollten, dh die Terme in Klammern werden zuerst multipliziert, dividiert, addiert, subtrahiert usw.

   • Vereinfachen wir beispielsweise den Ausdruck 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Hier beginnen wir mit den Ausdrücken in Klammern: 5 + 2 = 7 und 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Der Ausdruck im zweiten Klammerpaar vereinfacht sich zu 5, da 4/2 zuerst dividiert werden muss (entsprechend der richtigen Rechenreihenfolge). Wenn Sie diese Reihenfolge nicht einhalten, erhalten Sie die falsche Antwort: 3 + 4 = 7 und 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Wenn sich innerhalb der Klammern ein weiteres Klammerpaar befindet, beginnen Sie mit der Vereinfachung, indem Sie den Ausdruck in der inneren Klammer lösen, und fahren Sie dann mit der Lösung des Ausdrucks in der äußeren Klammer fort.

3. Zur Macht erheben. Nachdem Sie die Ausdrücke in Klammern gelöst haben, fahren Sie mit dem Potenzieren fort (denken Sie daran, dass eine Potenz einen Exponenten und eine Basis hat). Potenzieren Sie den entsprechenden Ausdruck (oder die Zahl) und setzen Sie das Ergebnis in den Ihnen gegebenen Ausdruck ein.

   • In unserem Beispiel ist der einzige Ausdruck (Zahl) in der Potenz 3 2: 3 2 = 9. Ersetzen Sie in dem Ihnen gegebenen Ausdruck 9 anstelle von 3 2 und Sie erhalten: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Multiplizieren. Denken Sie daran, dass die Multiplikationsoperation durch die folgenden Symbole gekennzeichnet werden kann: "x", "∙" oder "*". Wenn aber zwischen einer Zahl und einer Variablen (z. B. 2x) oder zwischen einer Zahl und einer Zahl in Klammern (z. B. 4(7)) keine Symbole stehen, handelt es sich ebenfalls um eine Multiplikation.

   • In unserem Beispiel gibt es zwei Multiplikationen: 2x (zwei mal x) und 4(7) (vier mal sieben). Wir kennen den Wert von x nicht, also lassen wir den Ausdruck 2x so wie er ist. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Jetzt können Sie den Ihnen gegebenen Ausdruck wie folgt umschreiben: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Teilen. Denken Sie daran, dass die Divisionsoperation durch die folgenden Symbole gekennzeichnet werden kann: "/", "÷" oder "-" (Sie können das letzte Symbol in Brüchen sehen). Zum Beispiel ist 3/4 drei geteilt durch vier.

   • In unserem Beispiel gibt es keine Division mehr, da Sie beim Lösen des eingeklammerten Ausdrucks bereits 4 durch 2 (4/2) dividiert haben. Daher können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren. Denken Sie daran, dass die meisten Ausdrücke nicht alle mathematischen Operationen auf einmal haben (nur einige davon).

6. Zusammenfalten. Wenn Sie Terme eines Ausdrucks hinzufügen, können Sie mit dem äußersten (linken) Term beginnen, oder Sie können zuerst die Terme hinzufügen, die sich leicht addieren lassen. Zum Beispiel ist es im Ausdruck 49 + 29 + 51 +71 einfacher, zuerst 49 + 51 = 100 zu addieren, dann 29 + 71 = 100 und schließlich 100 + 100 = 200. Es ist viel schwieriger, so zu addieren : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • In unserem Beispiel 2x + 28 + 9 + 5 gibt es zwei Additionsoperationen. Beginnen wir mit dem extremsten (linken) Term: 2x + 28; Sie können 2x und 28 nicht addieren, weil Sie den Wert von x nicht kennen. Addieren Sie daher 28 + 9 = 37. Nun kann der Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden: 2x + 37 - 5.

7. Subtrahieren. Dies ist die letzte Operation in der richtigen Reihenfolge der mathematischen Operationen. In dieser Phase können Sie auch negative Zahlen hinzufügen, oder Sie können dies in der Phase des Hinzufügens von Mitgliedern tun - dies hat keinen Einfluss auf das Endergebnis.

   • In unserem Beispiel 2x + 37 - 5 gibt es nur eine Subtraktionsoperation: 37 - 5 = 32.

8. In diesem Stadium sollten Sie, nachdem Sie alle mathematischen Operationen durchgeführt haben, einen vereinfachten Ausdruck erhalten. Wenn der Ihnen gegebene Ausdruck jedoch eine oder mehrere Variablen enthält, denken Sie daran, dass das Mitglied mit der Variablen so bleibt, wie es ist. Um einen Ausdruck mit einer Variablen zu lösen (anstatt ihn zu vereinfachen), müssen Sie den Wert dieser Variablen finden. Manchmal können Ausdrücke mit einer Variablen durch spezielle Methoden vereinfacht werden (siehe nächster Abschnitt).

   • In unserem Beispiel lautet die endgültige Antwort 2x + 32. Sie können keine zwei Terme addieren, bis Sie den Wert von x kennen. Sobald Sie den Wert der Variablen kennen, können Sie dieses Binomial leicht vereinfachen.

   Komplexe Ausdrücke vereinfachen

   1. Ergänzung ähnlicher Begriffe. Denken Sie daran, dass Sie nur ähnliche Terme subtrahieren und addieren können, also Terme mit derselben Variablen und demselben Exponenten. Du kannst zum Beispiel 7x und 5x addieren, aber nicht 7x und 5x 2 (weil die Exponenten hier unterschiedlich sind).

      • Diese Regel gilt auch für Elemente mit mehreren Variablen. Sie können beispielsweise 2xy 2 und -3xy 2 hinzufügen, aber nicht 2xy 2 und -3x 2 y oder 2xy 2 und -3y 2 .
      • Betrachten Sie ein Beispiel: x 2 + 3x + 6 - 8x. Hier sind die gleichen Terme 3x und 8x, also können sie addiert werden. Der vereinfachte Ausdruck sieht so aus: x 2 - 5x + 6.

   2. Vereinfache die Zahl. In einem solchen Bruch enthalten sowohl der Zähler als auch der Nenner Zahlen (ohne Variable). Ein numerischer Bruch wird auf verschiedene Weise vereinfacht. Teilen Sie zunächst einfach den Nenner durch den Zähler. Zweitens, faktorisiere Zähler und Nenner und kürze dieselben Faktoren (denn wenn du eine Zahl durch sich selbst dividierst, erhältst du 1). Mit anderen Worten, wenn Zähler und Nenner denselben Faktor haben, kannst du ihn verwerfen und erhältst einen vereinfachten Bruch.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruch 36/60. Teile mit einem Taschenrechner 36 durch 60 und erhalte 0,6. Aber du kannst diesen Bruch auf andere Weise vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Seit 6/6 \u003d 1, dann der vereinfachte Bruch: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Dieser Bruch kann aber auch vereinfacht werden: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Wenn der Bruch eine Variable enthält, können Sie dieselben Faktoren mit der Variablen reduzieren. Faktorisieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner und löschen Sie dieselben Faktoren, selbst wenn sie eine Variable enthalten (denken Sie daran, dass dieselben Faktoren hier eine Variable enthalten können oder nicht).

      • Betrachten Sie ein Beispiel: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Dieser Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben (faktorisiert) werden: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Da der Term 3x sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, kann er auf einen vereinfachten Ausdruck reduziert werden: (x + 1)/(5 - x). Betrachten Sie ein weiteres Beispiel: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Bitte beachten Sie, dass Sie keine Terme kürzen können - nur die gleichen Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorhanden sind, werden gestrichen. Zum Beispiel ist im Ausdruck (x(x + 2))/x die Variable (Multiplikator) „x“ sowohl im Zähler als auch im Nenner, sodass „x“ reduziert werden kann und man einen vereinfachten Ausdruck erhält: (x + 2) / 1 = x + 2. Allerdings kann im Ausdruck (x + 2)/x die Variable „x“ nicht reduziert werden (weil im Zähler „x“ kein Faktor ist).

   4. Klammer öffnen. Multiplizieren Sie dazu den Term außerhalb der Klammer mit jedem Term in der Klammer. Manchmal hilft es, einen komplexen Ausdruck zu vereinfachen. Dies gilt sowohl für Mitglieder, die Primzahlen sind, als auch für Mitglieder, die eine Variable enthalten.

      • Beispiel: 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 und 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Bitte beachten Sie, dass bei Bruchausdrücken keine Klammern geöffnet werden müssen, wenn Zähler und Nenner den gleichen Faktor enthalten. Beispielsweise müssen Sie im Ausdruck (3(x 2 + 8)) / 3x die Klammern nicht erweitern, da Sie hier den Faktor 3 reduzieren können und einen vereinfachten Ausdruck (x 2 + 8) / x erhalten. Mit diesem Ausdruck ist es einfacher zu arbeiten; Wenn Sie die Klammern erweitern, erhalten Sie den folgenden komplexen Ausdruck: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorisiere die Polynome. Mit dieser Methode können Sie einige Ausdrücke und Polynome vereinfachen. Factoring ist das Gegenteil von Klammerexpansion, d. h. ein Ausdruck wird als Produkt zweier Ausdrücke geschrieben, die jeweils in Klammern eingeschlossen sind. In einigen Fällen können Sie durch Faktorisieren denselben Ausdruck kürzen. In besonderen Fällen (normalerweise bei quadratischen Gleichungen) können Sie die Gleichung durch Faktorisieren lösen.

      • Betrachten Sie den Ausdruck x 2 - 5x + 6. Er wird in Faktoren zerlegt: (x - 3) (x - 2). Wenn also beispielsweise ein Ausdruck gegeben ist (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), dann können Sie ihn umschreiben als (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), reduzieren Sie den Ausdruck (x - 2) und erhalten Sie einen vereinfachten Ausdruck (x - 3) / 2.
      • Das Faktorisieren von Polynomen wird verwendet, um Gleichungen zu lösen (Wurzeln zu finden) (eine Gleichung ist ein Polynom gleich 0). Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Wenn Sie sie herausrechnen, erhalten Sie (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Da jeder mit 0 multiplizierte Ausdruck 0 ist, können wir ihn so schreiben dies: x - 3 = 0 und x - 2 = 0. Somit sind x = 3 und x = 2, das heißt, Sie haben zwei Wurzeln der Ihnen gegebenen Gleichung gefunden.

Mit Hilfe einer beliebigen Sprache können Sie dieselben Informationen in verschiedenen Wörtern und Sätzen ausdrücken. Mathematische Sprache ist keine Ausnahme. Aber derselbe Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise äquivalent geschrieben werden. Und in manchen Situationen ist einer der Einträge einfacher. Wir werden in dieser Lektion über das Vereinfachen von Ausdrücken sprechen.

Menschen kommunizieren in verschiedenen Sprachen. Ein für uns wichtiger Vergleich ist das Paar „Russische Sprache – mathematische Sprache“. Dieselben Informationen können in verschiedenen Sprachen gemeldet werden. Aber abgesehen davon kann es in einer Sprache unterschiedlich ausgesprochen werden.

Zum Beispiel: „Peter ist mit Wasja befreundet“, „Wasja ist mit Petja befreundet“, „Peter und Wasja sind befreundet“. Anders gesagt, aber ein und dasselbe. Mit jedem dieser Sätze würden wir verstehen, was auf dem Spiel steht.

Schauen wir uns diesen Satz an: "Der Junge Petya und der Junge Vasya sind Freunde." Wir verstehen, worum es geht. Wir mögen jedoch nicht, wie dieser Satz klingt. Können wir es nicht vereinfachen, sagen wir dasselbe, aber einfacher? "Junge und Junge" - Sie können einmal sagen: "Jungen Petya und Vasya sind Freunde."

"Boys" ... Ist es nicht aus ihren Namen ersichtlich, dass sie keine Mädchen sind? Wir entfernen die "Jungs": "Petya und Vasya sind Freunde." Und das Wort "Freunde" kann durch "Freunde" ersetzt werden: "Petya und Vasya sind Freunde." Infolgedessen wurde der erste, lange, hässliche Satz durch eine äquivalente Aussage ersetzt, die einfacher zu sagen und leichter zu verstehen ist. Wir haben diesen Satz vereinfacht. Vereinfachen bedeutet, es einfacher zu sagen, aber nicht zu verlieren, die Bedeutung nicht zu verzerren.

Dasselbe passiert in der mathematischen Sprache. Dasselbe kann man auch anders sagen. Was bedeutet es, einen Ausdruck zu vereinfachen? Das bedeutet, dass es für den ursprünglichen Ausdruck viele äquivalente Ausdrücke gibt, also solche, die dasselbe bedeuten. Und aus all dieser Menge müssen wir die unserer Meinung nach einfachste oder für unsere weiteren Zwecke geeignetste auswählen.

Betrachten Sie beispielsweise einen numerischen Ausdruck. Es wird äquivalent sein.

Es wird auch den ersten beiden entsprechen: .

Es stellt sich heraus, dass wir unsere Ausdrücke vereinfacht und den kürzesten äquivalenten Ausdruck gefunden haben.

Bei numerischen Ausdrücken müssen Sie immer die ganze Arbeit erledigen und den äquivalenten Ausdruck als einzelne Zahl erhalten.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck . Offensichtlich wird es einfacher sein.

Beim Vereinfachen von wörtlichen Ausdrücken müssen Sie alle möglichen Aktionen ausführen.

Muss man einen Ausdruck immer vereinfachen? Nein, manchmal ist eine äquivalente, aber längere Notation für uns bequemer.

Beispiel: Subtrahieren Sie die Zahl von der Zahl.

Es ist möglich zu rechnen, aber wenn die erste Zahl durch ihre äquivalente Notation dargestellt würde: , dann würden die Berechnungen sofort erfolgen: .

Das heißt, ein vereinfachter Ausdruck ist für uns nicht immer von Vorteil für weitere Berechnungen.

Nichtsdestotrotz stehen wir sehr oft vor einer Aufgabe, die sich nur nach „Ausdruck vereinfachen“ anhört.

Den Ausdruck vereinfachen: .

Lösung

1) Aktionen in der ersten und zweiten Klammer ausführen: .

2) Berechnen Sie die Produkte: .

Offensichtlich hat der letzte Ausdruck eine einfachere Form als der erste. Wir haben es vereinfacht.

Um den Ausdruck zu vereinfachen, muss er durch ein Äquivalent (equal) ersetzt werden.

Um den äquivalenten Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie:

1) alle möglichen Aktionen ausführen,

2) Verwenden Sie die Eigenschaften der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, um Berechnungen zu vereinfachen.

Eigenschaften von Addition und Subtraktion:

1. Kommutativgesetz der Addition: Die Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht.

2. Assoziativgesetz der Addition: Um zur Summe zweier Zahlen eine dritte Zahl zu addieren, addiert man zur ersten Zahl die Summe der zweiten und dritten Zahl.

3. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um die Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie jeden Term einzeln subtrahieren.

Eigenschaften der Multiplikation und Division

1. Das Kommutativgesetz der Multiplikation: Das Produkt ändert sich nicht durch eine Permutation von Faktoren.

2. Assoziativgesetz: Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie sie zuerst mit dem ersten Faktor multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten Faktor multiplizieren.

3. Das Distributivgesetz der Multiplikation: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, müssen Sie sie mit jedem Term separat multiplizieren.

Mal sehen, wie wir tatsächlich mentale Berechnungen durchführen.

Berechnung:

Lösung

1) Stellen Sie sich vor, wie

2) Stellen wir den ersten Multiplikator als Summe von Bittermen dar und führen die Multiplikation durch:

3) Sie können sich vorstellen, wie und multiplizieren:

4) Ersetzen Sie den ersten Faktor durch eine äquivalente Summe:

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Richtung verwendet werden: .

Folge diesen Schritten:

1) 2)

Lösung

1) Der Einfachheit halber können Sie das Verteilungsgesetz verwenden, verwenden Sie es einfach in die entgegengesetzte Richtung - nehmen Sie den gemeinsamen Faktor aus den Klammern.

2) Nehmen wir den gemeinsamen Teiler aus Klammern heraus

In der Küche und im Flur muss Linoleum gekauft werden. Küchenbereich - Flur -. Es gibt drei Arten von Linoleum: für und Rubel für. Wie viel kostet jede der drei Linoleumarten? (Abb. 1)

Reis. 1. Illustration für den Zustand des Problems

Lösung

Methode 1. Sie können separat herausfinden, wie viel Geld für den Kauf von Linoleum in der Küche benötigt wird, und es dann dem Flur hinzufügen und die resultierenden Arbeiten addieren.

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Pro Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.

Normalerweise werden die Mitglieder von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und quadratische Differenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so verbreitet, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.