Was sind die wahren Wurzeln einer quadratischen Gleichung? Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten. Was ist eine quadratische Gleichung? Ihre Typen

Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Verwendung der Diskriminante
- Verwendung des Vieta-Theorems (wenn möglich).

Außerdem wird die Antwort genau und nicht ungefähr angezeigt.
Beispielsweise wird für die Gleichung \(81x^2-16x-1=0\) die Antwort in dieser Form angezeigt:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ statt dessen: \(x_1 = 0,247; \ Quad x_2 = -0,05 \)

Dieses Programm kann für Schüler zur Vorbereitung auf Tests und Prüfungen nützlich sein, wenn sie Kenntnisse vor dem einheitlichen Staatsexamen testen, für Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

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Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen

Jede der Gleichungen
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
hat die Form
\(ax^2+bx+c=0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen.

Definition.
quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 wird aufgerufen, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und \(a \neq 0 \).

Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als Achsenabschnitt.

In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei \(a \neq 0 \), ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.

Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch als Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die gegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische gleichung. Die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.

Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, wobei \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Betrachten Sie die Lösung von Gleichungen für jeden dieser Typen.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 nach \(c \neq 0 \) zu lösen, wird ihr freier Term auf die rechte Seite übertragen und beide Gleichungsteile durch a dividiert:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Da \(c \neq 0 \), dann \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Wenn \(-\frac(c)(a)>0 \), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn \(-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) zu lösen, faktorisiere ihre linke Seite und erhalte die Gleichung
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) hat also immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0 und hat daher eine einzige Wurzel 0.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen beide Koeffizienten der Unbekannten und der freie Term ungleich Null sind.

Wir lösen die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel der Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0

Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \)

Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das Quadrat des Binoms hervorheben:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b). )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Der Stammausdruck wird aufgerufen Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Latein – Unterscheider). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\(D = b^2-4ac\)

Nun schreiben wir unter Verwendung der Notation der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), wobei \(D= b^2-4ac \)

Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Wenn D Je nach Wert der Diskriminante kann die quadratische Gleichung also zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel , ist es ratsam, den folgenden Weg zu gehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann verwende die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.

Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Aufgaben für eine quadratische Gleichung werden sowohl im Schullehrplan als auch an Universitäten untersucht. Sie werden als Gleichungen der Form a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 verstanden, wobei x- variabel, a,b,c – Konstanten; a<>0 . Das Problem besteht darin, die Wurzeln der Gleichung zu finden.

Die geometrische Bedeutung der quadratischen Gleichung

Der Graph einer Funktion, die durch eine quadratische Gleichung dargestellt wird, ist eine Parabel. Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Daraus folgt, dass es drei mögliche Fälle gibt:
1) Die Parabel hat keine Schnittpunkte mit der x-Achse. Dies bedeutet, dass es sich in der oberen Ebene mit Ästen nach oben oder in der unteren Ebene mit Ästen nach unten befindet. In solchen Fällen hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln (sie hat zwei komplexe Wurzeln).

2) die Parabel hat einen Schnittpunkt mit der Achse Ox. Ein solcher Punkt wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, und die darin enthaltene quadratische Gleichung erhält ihren minimalen oder maximalen Wert. In diesem Fall hat die quadratische Gleichung eine reelle Wurzel (oder zwei identische Wurzeln).

3) Der letzte Fall ist in der Praxis interessanter - es gibt zwei Schnittpunkte der Parabel mit der Abszissenachse. Dies bedeutet, dass es zwei reelle Wurzeln der Gleichung gibt.

Basierend auf der Analyse der Koeffizienten bei den Potenzen der Variablen können interessante Rückschlüsse auf die Platzierung der Parabel gezogen werden.

1) Wenn der Koeffizient a größer als Null ist, dann ist die Parabel nach oben gerichtet, wenn er negativ ist, sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet.

2) Ist der Koeffizient b größer Null, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel in der linken Halbebene, nimmt er einen negativen Wert an, dann in der rechten.

Ableitung einer Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Übertragen wir die Konstante aus der quadratischen Gleichung

für das Gleichheitszeichen erhalten wir den Ausdruck

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4a

Um ein volles Quadrat auf der linken Seite zu erhalten, fügen Sie in beiden Teilen b ^ 2 hinzu und führen Sie die Transformation durch

Ab hier finden wir

Formel der Diskriminante und Wurzeln der quadratischen Gleichung

Die Diskriminante stellt den Wert des Wurzelausdrucks dar. Wenn sie positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln, die von der Formel berechnet werden Wenn die Diskriminante Null ist, hat die quadratische Gleichung eine Lösung (zwei übereinstimmende Wurzeln), die leicht aus der obigen Formel für D = 0 zu erhalten sind.Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine echten Wurzeln der Gleichung. Um jedoch die Lösungen der quadratischen Gleichung in der komplexen Ebene zu untersuchen, wird ihr Wert durch die Formel berechnet

Satz von Vieta

Betrachten Sie zwei Wurzeln einer quadratischen Gleichung und konstruieren Sie auf ihrer Basis eine quadratische Gleichung.Aus der Notation folgt leicht das Vieta-Theorem selbst: wenn wir eine quadratische Gleichung der Form haben dann ist die Summe ihrer Wurzeln gleich dem Koeffizienten p, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist gleich dem freien Term q. Die obige Formel sieht folgendermaßen aus: Wenn die Konstante a in der klassischen Gleichung nicht Null ist, müssen Sie die gesamte Gleichung durch sie dividieren und dann das Vieta-Theorem anwenden.

Zeitplan der quadratischen Gleichung auf Faktoren

Die Aufgabe sei gestellt: die quadratische Gleichung in Faktoren zu zerlegen. Um es auszuführen, lösen wir zuerst die Gleichung (finden Sie die Wurzeln). Als nächstes setzen wir die gefundenen Wurzeln in die Formel zum Erweitern der quadratischen Gleichung ein.Dieses Problem wird gelöst.

Aufgaben zu einer quadratischen Gleichung

Aufgabe 1. Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

x^2-26x+120=0 .

Lösung: Schreibe die Koeffizienten auf und setze sie in die Diskriminanzformel ein

Die Wurzel dieses Werts ist 14, es ist leicht, sie mit einem Taschenrechner zu finden oder sich bei häufiger Verwendung daran zu erinnern. Der Einfachheit halber gebe ich Ihnen jedoch am Ende des Artikels eine Liste von Zahlenquadraten, die häufig vorkommen können finden sich in solchen Aufgaben.
Der gefundene Wert wird in die Wurzelformel eingesetzt

und wir bekommen

Aufgabe 2. löse die Gleichung

2x2+x-3=0.

Lösung: Wir haben eine vollständige quadratische Gleichung, schreiben die Koeffizienten aus und finden die Diskriminante


Unter Verwendung bekannter Formeln finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Aufgabe 3. löse die Gleichung

9x2 -12x+4=0.

Lösung: Wir haben eine vollständige quadratische Gleichung. Bestimmen Sie die Diskriminante

Wir haben den Fall, wenn die Wurzeln zusammenfallen. Wir finden die Werte der Wurzeln durch die Formel

Aufgabe 4. löse die Gleichung

x^2+x-6=0 .

Lösung: Bei kleinen Koeffizienten für x empfiehlt sich die Anwendung des Vieta-Theorems. Durch seine Bedingung erhalten wir zwei Gleichungen

Aus der zweiten Bedingung erhalten wir, dass das Produkt gleich -6 sein muss. Dies bedeutet, dass eine der Wurzeln negativ ist. Wir haben das folgende mögliche Lösungspaar (-3;2), (3;-2) . Unter Berücksichtigung der ersten Bedingung verwerfen wir das zweite Lösungspaar.
Die Wurzeln der Gleichung sind

Aufgabe 5. Finden Sie die Seitenlängen eines Rechtecks, wenn sein Umfang 18 cm und seine Fläche 77 cm 2 beträgt.

Lösung: Der halbe Umfang eines Rechtecks ​​ist gleich der Summe der angrenzenden Seiten. Lassen Sie uns x bezeichnen - die größere Seite, dann ist 18-x ihre kleinere Seite. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt dieser Längen:
x(18x)=77;
oder
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Finde die Diskriminante der Gleichung

Wir berechnen die Wurzeln der Gleichung

Wenn ein x=11, dann 18x=7 , umgekehrt gilt auch (wenn x=7, dann 21-x=9).

Aufgabe 6. Faktorisiere die quadratische 10x 2 -11x+3=0 Gleichung.

Lösung: Berechnen Sie die Wurzeln der Gleichung, dazu finden wir die Diskriminante

Wir setzen den gefundenen Wert in die Formel der Wurzeln ein und berechnen

Wir wenden die Formel zum Erweitern der quadratischen Gleichung nach Wurzeln an

Wenn wir die Klammern erweitern, erhalten wir die Identität.

Quadratische Gleichung mit Parameter

Beispiel 1. Für welche Werte des Parameters a , hat die Gleichung (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 eine Wurzel?

Lösung: Durch direkte Substitution des Wertes a=3 sehen wir, dass es keine Lösung gibt. Außerdem werden wir die Tatsache verwenden, dass die Gleichung mit einer Null-Diskriminante eine Wurzel der Multiplizität 2 hat. Lassen Sie uns die Diskriminante ausschreiben

vereinfache es und gleich Null

Wir haben eine quadratische Gleichung bezüglich des Parameters a erhalten, deren Lösung leicht unter Verwendung des Vieta-Theorems zu erhalten ist. Die Summe der Wurzeln ist 7 und ihr Produkt ist 12. Durch einfaches Aufzählen stellen wir fest, dass die Zahlen 3,4 die Wurzeln der Gleichung sind. Da wir die Lösung a=3 bereits zu Beginn der Berechnungen verworfen haben, wird die einzig richtige sein - a=4. Somit hat die Gleichung für a = 4 eine Wurzel.

Beispiel 2. Für welche Werte des Parameters a , Die gleichung a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 hat mehr als eine Wurzel?

Lösung: Betrachten Sie zuerst die singulären Punkte, das sind die Werte a=0 und a=-3. Wenn a=0, wird die Gleichung zu der Form 6x-9=0 vereinfacht; x=3/2 und es wird eine Wurzel geben. Für a= -3 erhalten wir die Identität 0=0 .
Berechne die Diskriminante

und finden Sie die Werte von a, für die es positiv ist

Aus der ersten Bedingung erhalten wir a>3. Für die zweite finden wir die Diskriminante und die Wurzeln der Gleichung


Lassen Sie uns die Intervalle definieren, in denen die Funktion positive Werte annimmt. Durch Einsetzen des Punktes a=0 erhalten wir 3>0 . Außerhalb des Intervalls (-3; 1/3) ist die Funktion also negativ. Punkt nicht vergessen a=0 was ausgeschlossen werden sollte, da die ursprüngliche Gleichung eine Wurzel darin hat.
Als Ergebnis erhalten wir zwei Intervalle, die die Bedingung des Problems erfüllen

In der Praxis wird es viele ähnliche Aufgaben geben, versuchen Sie die Aufgaben selbst zu bewältigen und vergessen Sie nicht, die Bedingungen zu berücksichtigen, die sich gegenseitig ausschließen. Studieren Sie gut die Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen, sie werden häufig in Berechnungen in verschiedenen Problemen und Wissenschaften benötigt.

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, also gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a , b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:

1. Keine Wurzeln haben;
2. Sie haben genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei unterschiedliche Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie bestimmt man, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es eine wunderbare Sache - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .

Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Am Vorzeichen der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn d< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Nullstellen.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und keineswegs ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Eine Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Als letzte Gleichung bleibt:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist gleich Null - die Wurzel wird eins sein.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten für jede Gleichung ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam - aber Sie werden die Quoten nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie Ihre Hand „füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten ausschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen irgendwo nach 50-70 gelösten Gleichungen damit an - im Allgemeinen nicht so viele.

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mit den Formeln gefunden werden:

Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0 ist, können Sie jede dieser Formeln verwenden - Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort sein wird. Schließlich, wenn D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lass sie uns finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Schließlich die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Jede Formel kann verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft wieder die oben beschriebene Technik: Formel buchstäblich anschauen, Schritt für Schritt malen – und Fehler ganz schnell wieder ausmerzen.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept einführen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.

Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Transformieren wir sie leicht:

Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl besteht, macht die letzte Gleichheit nur Sinn, wenn (−c / a ) ≥ 0. Fazit:

1. Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c / a )< 0, корней нет.

Wie Sie sehen können, war die Diskriminante nicht erforderlich - es gibt überhaupt keine komplexen Berechnungen in unvollständigen quadratischen Gleichungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Betrachten wir nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es genügt, das Polynom zu faktorisieren:

Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus der Klammer

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hier kommen die Wurzeln her. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:

Eine Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Es werden die Fälle von reellen, multiplen und komplexen Wurzeln betrachtet. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms. Geometrische Deutung. Beispiele für Wurzelfindung und Faktorisierung.

Grundlegende Formeln

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung bekannt, so lässt sich das Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren darstellen (faktorisiert):
.

Weiterhin nehmen wir an, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
In Betracht ziehen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit, ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn wir die Funktion grafisch darstellen
,
was eine Parabel ist, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Wenn , schneidet der Graph die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
wo
; .

Wir haben also die Formel für das Polynom zweiten Grades in der Form:
.
Daraus ist ersichtlich, dass die Gleichung

durchgeführt bei
und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

Lösung

.
Im Vergleich zu unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Daraus erhalten wir die Zerlegung des quadratischen Trinoms in Faktoren:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse an zwei Punkten.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die x-Achse (Achse) an zwei Punkten:
und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antworten

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Lösung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse an einem Punkt.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) an einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann heißt eine solche Wurzel ein Vielfaches. Das heißt, sie gehen davon aus, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antworten

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Lösung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;
.

Dann


.

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine wirklichen Wurzeln.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die Abszisse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Antworten

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.

Einige Probleme in der Mathematik erfordern die Fähigkeit, den Wert der Quadratwurzel zu berechnen. Zu diesen Problemen gehört das Lösen von Gleichungen zweiter Ordnung. In diesem Artikel stellen wir eine effektive Methode zum Berechnen von Quadratwurzeln vor und verwenden sie beim Arbeiten mit Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Was ist eine Quadratwurzel?

In der Mathematik entspricht dieser Begriff dem Symbol √. Historische Daten besagen, dass es erstmals um die erste Hälfte des 16. Jahrhunderts in Deutschland verwendet wurde (das erste deutsche Werk über Algebra von Christoph Rudolf). Wissenschaftler glauben, dass dieses Symbol ein umgewandelter lateinischer Buchstabe r ist (Radix bedeutet auf Lateinisch „Wurzel“).

Die Wurzel einer beliebigen Zahl ist gleich einem solchen Wert, dessen Quadrat dem Wurzelausdruck entspricht. In der Sprache der Mathematik sieht diese Definition so aus: √x = y wenn y 2 = x.

Die Wurzel einer positiven Zahl (x > 0) ist auch eine positive Zahl (y > 0), aber wenn Sie die Wurzel einer negativen Zahl (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Hier sind zwei einfache Beispiele:

√9 = 3, weil 3 2 = 9; √(-9) = 3i, da i 2 = -1.

Iterative Formel von Heron zum Finden der Werte der Quadratwurzeln

Die obigen Beispiele sind sehr einfach und die Berechnung der Wurzeln in ihnen ist nicht schwierig. Schwierigkeiten treten bereits auf, wenn die Wurzelwerte für jeden Wert gefunden werden, der nicht als Quadrat einer natürlichen Zahl dargestellt werden kann, zum Beispiel √10, √11, √12, √13, ganz zu schweigen von der Tatsache, dass es in der Praxis so ist ist notwendig, um Wurzeln für nicht ganzzahlige Zahlen zu finden: zum Beispiel √(12,15), √(8,5) und so weiter.

In allen oben genannten Fällen sollte eine spezielle Methode zur Berechnung der Quadratwurzel verwendet werden. Gegenwärtig sind mehrere solcher Verfahren bekannt: zum Beispiel Entwicklung in einer Taylor-Reihe, Division durch eine Spalte und einige andere. Von allen bekannten Methoden ist die vielleicht einfachste und effektivste die Verwendung von Herons iterativer Formel, die auch als babylonische Methode zur Bestimmung von Quadratwurzeln bekannt ist (es gibt Hinweise darauf, dass die alten Babylonier sie in ihren praktischen Berechnungen verwendeten).

Es sei notwendig, den Wert von √x zu bestimmen. Die Formel zum Finden der Quadratwurzel lautet wie folgt:

a n+1 = 1/2(a n + x/a n), wobei lim n->∞ (a n) => x.

Lassen Sie uns diese mathematische Notation entschlüsseln. Um √x zu berechnen, sollten Sie eine Zahl a 0 nehmen (es kann willkürlich sein, aber um schnell das Ergebnis zu erhalten, sollten Sie sie so wählen, dass (a 0) 2 so nah wie möglich an x ​​liegt. Dann ersetzen Sie sie in die angegebene Formel zur Berechnung der Quadratwurzel und erhalten Sie eine neue Zahl a 1, die bereits näher am gewünschten Wert liegt. Danach ist es notwendig, eine 1 in den Ausdruck einzufügen und eine 2 zu erhalten. Dieser Vorgang sollte bis wiederholt werden die erforderliche Genauigkeit erreicht wird.

Ein Beispiel für die Anwendung der iterativen Formel von Heron

Für viele mag der Algorithmus zum Ziehen der Quadratwurzel einer bestimmten Zahl ziemlich kompliziert und verwirrend klingen, aber in Wirklichkeit stellt sich alles als viel einfacher heraus, da diese Formel sehr schnell konvergiert (besonders wenn eine gute Zahl eine 0 gewählt wird).

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel geben: Es muss √11 berechnet werden. Wir wählen 0 \u003d 3, da 3 2 \u003d 9, was näher an 11 liegt als 4 2 \u003d 16. Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Es macht keinen Sinn, die Berechnungen fortzusetzen, da wir festgestellt haben, dass sich eine 2 und eine 3 erst ab der 5. Dezimalstelle zu unterscheiden beginnen. Somit reichte es aus, die Formel nur 2 Mal anzuwenden, um √11 mit einer Genauigkeit von 0,0001 zu berechnen.

Derzeit werden Taschenrechner und Computer häufig verwendet, um die Wurzeln zu berechnen, es ist jedoch nützlich, sich die markierte Formel zu merken, um ihren genauen Wert manuell berechnen zu können.

Gleichungen zweiter Ordnung

Das Verständnis, was eine Quadratwurzel ist, und die Fähigkeit, sie zu berechnen, wird beim Lösen quadratischer Gleichungen verwendet. Diese Gleichungen sind Gleichungen mit einer Unbekannten, deren allgemeine Form in der folgenden Abbildung dargestellt ist.

Hier sind c, b und a einige Zahlen, und a darf nicht gleich Null sein, und die Werte von c und b können völlig beliebig sein, einschließlich gleich Null.

Alle Werte von x, die die in der Abbildung angegebene Gleichheit erfüllen, werden als Wurzeln bezeichnet (dieses Konzept sollte nicht mit der Quadratwurzel √ verwechselt werden). Da die betrachtete Gleichung die 2. Ordnung (x 2) hat, kann es für sie nicht mehr Wurzeln als zwei Zahlen geben. Wir werden später in diesem Artikel betrachten, wie man diese Wurzeln findet.

Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung (Formel)

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Art von Gleichheiten wird auch universell oder die Methode durch die Diskriminante genannt. Es kann auf beliebige quadratische Gleichungen angewendet werden. Die Formel für die Diskriminante und Wurzeln der quadratischen Gleichung lautet wie folgt:

Daraus ist ersichtlich, dass die Wurzeln vom Wert jedes der drei Koeffizienten der Gleichung abhängen. Außerdem unterscheidet sich die Berechnung von x 1 von der Berechnung von x 2 nur durch das Vorzeichen vor der Quadratwurzel. Der Wurzelausdruck, der gleich b 2 - 4ac ist, ist nichts anderes als die Diskriminante der betrachteten Gleichheit. Die Diskriminante in der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung spielt eine wichtige Rolle, weil sie die Anzahl und Art der Lösungen bestimmt. Wenn es also Null ist, dann gibt es nur eine Lösung, wenn es positiv ist, dann hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln, und schließlich führt eine negative Diskriminante zu zwei komplexen Wurzeln x 1 und x 2.

Satz von Vieta oder einige Eigenschaften der Wurzeln von Gleichungen zweiter Ordnung

Ende des 16. Jahrhunderts konnte einer der Begründer der modernen Algebra, ein Franzose, der Gleichungen zweiter Ordnung studierte, die Eigenschaften ihrer Wurzeln ermitteln. Mathematisch lassen sie sich so schreiben:

x 1 + x 2 = -b / a und x 1 * x 2 = c / a.

Beide Gleichungen sind für jedermann leicht zu erreichen, dazu müssen nur die entsprechenden mathematischen Operationen mit den durch eine Formel mit Diskriminante erhaltenen Wurzeln durchgeführt werden.

Die Kombination dieser beiden Ausdrücke kann zu Recht als zweite Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bezeichnet werden, die es ermöglicht, ihre Lösungen ohne Verwendung der Diskriminante zu erraten. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass, obwohl beide Ausdrücke immer gültig sind, es praktisch ist, sie nur dann zum Lösen einer Gleichung zu verwenden, wenn sie faktorisiert werden kann.

Die Aufgabe, das erworbene Wissen zu festigen

Wir lösen ein mathematisches Problem, bei dem wir alle im Artikel besprochenen Techniken demonstrieren. Die Bedingungen des Problems sind wie folgt: Sie müssen zwei Zahlen finden, deren Produkt -13 ist und deren Summe 4 ist.

Diese Bedingung erinnert sofort an den Satz von Vieta, mit den Formeln für die Summe der Quadratwurzeln und deren Produkt schreiben wir:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Angenommen a = 1, dann b = -4 und c = -13. Mit diesen Koeffizienten können wir eine Gleichung zweiter Ordnung aufstellen:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Wenden wir die Formel mit der Diskriminante an, erhalten wir folgende Wurzeln:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Das heißt, die Aufgabe wurde darauf reduziert, die Zahl √68 zu finden. Beachten Sie, dass 68 = 4 * 17 ist, dann erhalten wir unter Verwendung der Quadratwurzeleigenschaft: √68 = 2√17.

Jetzt verwenden wir die betrachtete Quadratwurzelformel: a 0 \u003d 4, dann:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Eine 3 muss nicht berechnet werden, da sich die gefundenen Werte nur um 0,02 unterscheiden. Somit ist √68 = 8,246. Setzen wir es in die Formel für x 1,2 ein, erhalten wir:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 und x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

Wie Sie sehen können, ist die Summe der gefundenen Zahlen wirklich gleich 4, aber wenn Sie ihr Produkt finden, dann ist es gleich -12,999, was die Bedingung des Problems mit einer Genauigkeit von 0,001 erfüllt.