Es gibt zwei Urnen der ersten 3 weiß. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel: Theorie und Beispiele zur Problemlösung
In Betracht ziehen abhängiges Ereignis, die nur als Ergebnis der Implementierung einer der inkompatiblen auftreten kann Hypothesen
, welches Formular volle Gruppe. Lassen Sie ihre Wahrscheinlichkeiten und die entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt sein. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses:
Diese Formel heißt Gesamtwahrscheinlichkeitsformeln. In Lehrbüchern wird es durch einen Satz formuliert, dessen Beweis elementar ist: nach Ereignisalgebra, (Ereignis passiert und oder ein Ereignis ist passiert und danach kam das Ereignis oder ein Ereignis ist passiert und danach kam das Ereignis oder …. oder ein Ereignis ist passiert und Veranstaltung gefolgt). Da die Hypothesen inkompatibel sind, und das Ereignis abhängig ist, dann gem Additionssatz für die Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse (erster Schritt) und der Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse (zweiter Schritt):
Aufgabe 1
Es gibt drei identische Urnen. Die erste Urne enthält 4 weiße und 7 schwarze Kugeln, die zweite Urne enthält nur weiße Kugeln und die dritte Urne enthält nur schwarze Kugeln. Es wird zufällig eine Urne ausgewählt und daraus zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel schwarz ist?
Lösung: Betrachten Sie das Ereignis - eine schwarze Kugel wird aus einer zufällig ausgewählten Urne gezogen. Dieses Ereignis kann als Ergebnis der Umsetzung einer der folgenden Hypothesen auftreten:
– die 1. Urne wird ausgewählt;
– die 2. Urne wird gewählt;
– die 3. Urne wird gewählt.
Da die Urne zufällig ausgewählt wird, fällt die Wahl auf eine der drei Urnen gleichermaßen möglich, Folglich: 
Beachten Sie, dass sich die obigen Hypothesen bilden komplette Veranstaltungsreihe, das heißt, je nach Bedingung kann eine schwarze Kugel nur aus diesen Urnen erscheinen und beispielsweise nicht von einem Billardtisch fliegen. Machen wir einen einfachen Zwischencheck: 
Okay, machen wir weiter:
Die erste Urne enthält je 4 weiße + 7 schwarze = 11 Kugeln klassische Definition:
ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen unter der Bedingung dass die 1. Urne selektiert wird.
Die zweite Urne enthält also nur weiße Kugeln falls gewählt das Aussehen einer schwarzen Kugel wird unmöglich: .
Und schließlich gibt es in der dritten Urne nur schwarze Kugeln, was bedeutet, dass die entsprechenden bedingte Wahrscheinlichkeit Extraktion der schwarzen Kugel wird sein (Ereignis ist sicher).
Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer zufällig ausgewählten Urne eine schwarze Kugel gezogen wird.
Antworten:
Aufgabe 2
Es gibt 5 verschiedene Gewehre im Schießstand. Die Wahrscheinlichkeiten, das Ziel für einen gegebenen Schützen zu treffen, sind jeweils gleich 
und 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, wenn der Schütze einen Schuss aus einem zufällig ausgewählten Gewehr abfeuert?
Aufgabe 3
In der Pyramide befinden sich 5 Gewehre, von denen drei mit einem optischen Visier ausgestattet sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, wenn er von einem Gewehr mit Zielfernrohr abgefeuert wird, beträgt 0,95; für ein Gewehr ohne Zielfernrohr beträgt diese Wahrscheinlichkeit 0,7. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel getroffen wird, wenn der Schütze einen Schuss aus einem zufällig gezogenen Gewehr abfeuert.
Lösung: In diesem Problem ist die Anzahl der Gewehre genau die gleiche wie im vorherigen, aber es gibt nur zwei Hypothesen:
- Der Schütze wählt ein Gewehr mit optischem Visier;
- Der Schütze wählt ein Gewehr ohne Zielfernrohr aus.
Durch Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit: 
.
Kontrolle:
Aufgabe 4
Der Motor arbeitet in drei Modi: normal, forciert und im Leerlauf. Im Leerlauf beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit 0,05, im Normalmodus 0,1 und im erzwungenen Modus 0,7. 70 % der Zeit läuft der Motor im Normalmodus und 20 % im erzwungenen Modus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines Motorausfalls während des Betriebs?
Es gibt drei identisch aussehende Urnen; die erste Urne enthält 2 weiße und 1 schwarze Kugel; in der zweiten Urne sind 3 weiße und 1 schwarze Kugel; in der dritten sind 2 weiße und 2 schwarze Kugeln.
Jemand wählt zufällig eine der Urnen aus und zieht daraus eine Kugel. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball weiß ist.
Betrachten wir drei Hypothesen:
H1-Selektion der ersten Urne
H2-Selektion der zweiten Urne
H3-Selektion der dritten Urne
eine vollständige Gruppe von inkompatiblen Ereignissen.
Das Ereignis A sei das Erscheinen einer weißen Kugel. Da Hypothesen, je nach Bedingung des Problems gleichermaßen möglich sind, dann ist Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1\3
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich: Р(А/Н1) =2\3; P(A/H2) = 3\4; P (A / H3) \u003d 1/2.
Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel
P(A)=1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36
Antwort: 23\36
P.2. Hypothese Theorem.
Eine Folge des Multiplikationssatzes und der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel ist der sogenannte Hypothesensatz oder die Formel von Bayes (Bayes).
Lassen Sie uns die folgende Aufgabe festlegen.
Es gibt eine vollständige Gruppe unvereinbarer Hypothesen H1, H2,. . Hn. die Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen vor den Experimenten sind bekannt und gleich Ð(Í1),Ð(Í2)…,Ð(Ín). Es wurde ein Experiment durchgeführt, bei dem das Auftreten eines Ereignisses A beobachtet wurde.Die Frage ist, wie sollten die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen im Zusammenhang mit dem Auftreten dieses Ereignisses geändert werden?
Hier sprechen wir im Wesentlichen davon, die bedingte Wahrscheinlichkeit P(H1/A) für jede Hypothese zu finden.
Aus dem Multiplikationssatz haben wir:
P(A*Hi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, .n) oder Verwerfen der linken Seite Nutrend enduro bcaa 120 Kapseln kaufen.
P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)
Also P (Hi/A) = P(Hi) P(A/Hi) ÷ P(A),(i=1,2,3, . . . n)
Wenn wir mit P(A) die Gesamtwahrscheinlichkeit verwenden, haben wir
P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, . . n) (2)
Formel (2) wird die Bays-Formel oder das Hypothesentheorem genannt
Beispiel 2. In einer Fabrik werden 30 % der Produkte von Maschine I produziert, 25 % der Produkte werden von Maschine II produziert, der Rest der Produkte wird von Maschine III produziert. Bei Maschine I ist 1 % ihrer Leistung defekt, bei Maschine II - 1,5 %, bei Maschine III - 2 %, eine zufällig ausgewählte Produktionseinheit stellte sich als defekt heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine I produziert wurde?
Lassen Sie uns die Notation für Ereignisse einführen.
A - das ausgewählte Produkt hat sich als defekt herausgestellt
H1-Produkt, hergestellt von Maschine I
H2 - von Maschine II produziertes Produkt
H3 - maschinell hergestelltes Produkt III
P(H1)=0,30; P(H2)=0,25; P(H3) =0,45
P (A / H1) \u003d 0,01,
P (A / H2) \u003d 0,015
P (A / H3) \u003d 0,02
P(A) \u003d 0,01 * 0,30 + 0,015 * 0,25 + 0,02 * 0,45 \u003d 0,015,
P(H1/A) = 0,01*0,30÷0,015=0,20
Antwort: 20 % aller fehlerhaften Produkte werden von Maschine I produziert.
§9. Bernoulli-Formel
Gesetz der großen Zahlen
Sei A ein zufälliges Ereignis bezüglich einer Erfahrung σ. Uns interessiert nur, ob das Ereignis A als Ergebnis des Experiments eingetreten ist oder nicht, also nehmen wir folgenden Standpunkt ein: Der Raum der elementaren Ereignisse, die mit der Erfahrung σ verbunden sind, besteht nur aus zwei Elementen - A und A. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten dieser Elemente jeweils durch p und q bezeichnen (p+q=1).
Nehmen wir nun an, dass der Versuch σ unter unveränderten Bedingungen eine bestimmte Anzahl von Malen wiederholt wird, beispielsweise 3 Mal. Vereinbaren wir, die dreifache Realisierung von σ als neues Experiment η zu betrachten. Interessiert uns nach wie vor nur das Auftreten oder Nichtauftreten von A., so sollten wir natürlich annehmen, dass der dem Experiment η entsprechende Elementarereignisraum aus allen möglichen Folgen der Länge 3 besteht: (A, A, A), (A, A, A), ( A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) , (A, A, A), die sich aus A und A zusammensetzen lässt.
Jede dieser Sequenzen bedeutet die eine oder andere Sequenz des Auftretens oder Nicht-Eintretens von Ereignissen A in drei Experimenten σ, zum Beispiel bedeutet die Sequenz (A, A, A), dass A im ersten Experiment und A im zweiten Experiment aufgetreten ist und drittens: Lassen Sie uns definieren, welche Wahrscheinlichkeiten jeder der Folgen zugeordnet werden sollen (1)
Die Bedingung, dass das Experiment σ alle drei Male unter unveränderten Bedingungen durchgeführt wird, soll folgendes bedeuten: Das Ergebnis jedes der drei Experimente hängt nicht davon ab, welche Ergebnisse in den anderen beiden Experimenten eingetreten sind. Diese. Jede Kombination der Ergebnisse von drei Experimenten ist ein Tripel unabhängiger Ereignisse. In diesem Fall liegt es nahe, einem elementaren Ereignis (A, A, A) eine Wahrscheinlichkeit gleich p*q*q zuzuordnen, einem Ereignis (A, A, A) die Wahrscheinlichkeit q*y*y , etc.
Dass. kommen wir zur folgenden Beschreibung des probabilistischen Modells für das Experiment η (dh für die dreifache Durchführung des Experiments σ). Der Raum Ω von Elementarereignissen ist eine Menge von 2 bis 3 Sequenzen. (eines). Jeder Folge wird als Wahrscheinlichkeit die Zahl p hoch k, q hoch e zugeordnet, wobei die Exponenten bestimmen, wie oft die Symbole A und A im Ausdruck für diese Folge vorkommen.
Wahrscheinlichkeitsmodelle dieser Art werden Bernoulli-Schemata genannt. Im allgemeinen Fall wird das Bernoulli-Schema durch den Wert der Zahlen n und p bestimmt, wobei n die Anzahl der Wiederholungen des Anfangsexperiments σ ist (im vorherigen Experiment haben wir n = 3 angenommen) und p die Wahrscheinlichkeit ist des Ereignisses A in Bezug auf das Experiment σ.
Satz 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A sei gleich p, und Pmn sei die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in einer Reihe von n unabhängigen Versuchen m-mal eintritt.
Dann gilt die Bernoulli-Formel.
Pmn=Cn hoch m *P hoch m *q hoch n-m
Die Münze wird 10 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen genau dreimal vorkommt?
In diesem Fall gilt der Verlust des Wappens als Erfolg, die Wahrscheinlichkeit p dieses Ereignisses beträgt in jedem Experiment 1/2.
Also: Р10,3=С10 im 3. Grad*(1\2) im 3. Grad*(1\2) im 7. Grad=10*9*8÷1*2*3*(1÷2im 10. Grad ) =15\128
Antwort: 15\128
Bei einer großen Anzahl von Versuchen unterscheidet sich die relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses kaum von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Die mathematische Formulierung dieser qualitativen Aussage ist durch das von Tschebyscheff verfeinerte Bernoullische Gesetz der großen Zahlen gegeben.
Satz 2. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A im Versuch p sei gleich p, und es soll eine Reihe von n unabhängigen Wiederholungen dieses Versuchs durchgeführt werden.
Wir bezeichnen mit m die Anzahl der Versuche, in denen Ereignis A eingetreten ist.Dann gilt für jede positive Zahl α die folgende Ungleichung:
3(|m\n-p|> α) Die Bedeutung dieser Ungleichung ist, dass der Ausdruck m÷n gleich der relativen Häufigkeit des Ereignisses A in einer Reihe von Experimenten ist, und |m\n-p|> α bedeutet, dass die Abweichung dieses relativen vom theoretischen Wert p. Die Ungleichung |m\n-p|> α bedeutet, dass die Abweichung größer als α ist. Aber bei einem konstanten Wert von α, wenn n wächst, tendiert die rechte Seite der Ungleichung (3) gegen Null. Mit anderen Worten, die Serien, in denen die Abweichung der experimentellen Frequenz von der theoretischen groß ist, machen einen kleinen Bruchteil aller möglichen Testserien aus. Die von Bernoulli erhaltene Behauptung folgt aus dem Theorem: Unter den Bedingungen des Theorems gilt für jeden Wert von α>0
Beispiel 1. In der ersten Urne: drei rote, eine weiße Kugel. In der zweiten Urne: eine rote, drei weiße Kugeln. Eine Münze wird zufällig geworfen: wenn das Wappen aus der ersten Urne gewählt wird, sonst aus der zweiten. b) Eine rote Kugel wird ausgewählt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es aus der ersten Urne stammt, aus der zweiten Urne. Beispiel 2. In einer Schachtel sind 4 Bälle. Kann sein: nur weiß, nur schwarz oder weiß und schwarz. (Zusammensetzung unbekannt). Beispiel 3 . Eine Urne enthält 5 weiße und 4 schwarze Kugeln. 2 Bälle werden hintereinander daraus entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind. Beispiel 3a. Es gibt 2 gefälschte und 8 echte Banknoten in einer Packung. 2 Banknoten wurden hintereinander aus der Packung gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide falsch sind. Beispiel 4. Es gibt 10 Urnen. 9 Urnen enthalten 2 schwarze und 2 weiße Kugeln. Es gibt 5 Weiße und 1 Schwarze in 1 Urne. Aus einer zufällig entnommenen Urne wird eine Kugel gezogen. Beispiel 5. 20 zylindrische Rollen und 15 konische Rollen. Der Pflücker nimmt 1 Walze und dann noch eine. Beispiel 6. In einem Karton befinden sich 10 Standardteile und 5 defekte Teile. Beispiel 7 . Die 1. Urne enthält 3 weiße und 3 schwarze Kugeln und die 2. Urne enthält 3 weiße und 4 schwarze Kugeln. 2 Kugeln werden von der 1. Urne in die 2. Urne ohne zu schauen übertragen, und dann werden 2 Kugeln aus der 2. Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um unterschiedliche Farben handelt? Beispiel 7a. Aus der 1. Urne mit 5 weißen und 3 schwarzen Kugeln werden 2 Kugeln zufällig in die 2. Urne mit 2 weißen und 6 schwarzen Kugeln übertragen. Dann wird zufällig 1 Kugel aus der 2. Urne gezogen. 2) Die aus der 2. Urne gezogene Kugel war weiß, d.h. die Gesamtwahrscheinlichkeit ist P(A)=13/32. Beispiel 7b. Die erste Urne enthält 8 weiße und 3 schwarze Kugeln, die zweite Urne enthält 5 weiße und 3 schwarze. Eine Kugel wird zufällig aus der ersten und zwei Kugeln aus der zweiten ausgewählt. Danach wird aus den ausgewählten drei Bällen zufällig ein Ball gezogen. Dieser letzte Ball erwies sich als schwarz. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne eine weiße Kugel gewählt wurde. Beispiel 7c. Die erste Urne enthält 12 weiße und 16 schwarze Kugeln, die zweite Urne 8 weiße und 10 schwarze. Gleichzeitig wird aus der 1. und 2. Urne eine Kugel gezogen, gemischt und einzeln in jede Urne zurückgelegt. Dann wird aus jeder Urne eine Kugel gezogen. Es stellte sich heraus, dass sie die gleiche Farbe hatten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der 1. Urne noch so viele weiße Kugeln übrig sind wie am Anfang. Lösung. Ereignis A ist passiert. Ereignis B - Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen. Nach dem Mischen beträgt die Wahrscheinlichkeit, den Ball in die Urne eines weißen oder schwarzen Balls zurückzugeben, ½. Für die erste Urne Für die zweite Urne Es stellte sich heraus, dass die Kugeln dieselbe Farbe hatten: P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42 Beispiel 7g. Die erste Schachtel enthält 5 weiße und 4 blaue Kugeln, die zweite 3 und 1 und die dritte 4 und 5. Ein Kästchen wird zufällig ausgewählt und eine daraus gezogene Kugel erweist sich als blau. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball aus der zweiten Kiste stammt? Lösung. Beispiel 8 . Fünf Kisten mit 30 Kugeln enthalten jeweils 5 rote Kugeln (das ist die Kompositionsbox H1), sechs weitere Kisten mit 20 Kugeln enthalten jeweils 4 rote Kugeln (das ist die Kompositionsbox H2). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene rote Kugel in einem der ersten fünf Kästchen enthalten ist. Beispiel 9 . Eine Urne enthält 2 weiße, 3 schwarze und 4 rote Kugeln. Drei Kugeln werden zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kugeln die gleiche Farbe haben? b) von den drei gezogenen Kugeln sind mindestens zwei schwarz (also entweder 2 schwarze oder 3 schwarze). c) von den drei gezogenen Kugeln sind mindestens zwei rot (d.h. entweder 2 rot oder 3 rot). Beispiel 10 . Die erste Urne enthält 10 Kugeln, von denen 7 weiß sind; Die zweite Urne enthält 20 Kugeln, von denen 5 weiß sind. Aus jeder Urne wird zufällig eine Kugel gezogen, und dann wird aus diesen beiden Kugeln zufällig eine Kugel gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel genommen wird. Beispiel 11 . In einer Kiste sind n Tennisbälle. Von ihnen spielte m . Für das erste Spiel nahmen sie zufällig zwei Bälle und legten sie nach dem Spiel zurück. Für das zweite Spiel nahmen sie auch zufällig zwei Bälle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Spiel mit neuen Bällen gespielt wird? Betrachten Sie die Ereignisse des zweiten Spiels. Gesamtwahrscheinlichkeit P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2) Beispiel 12 . Das erste, zweite und dritte Kästchen enthält je 2 weiße und 3 schwarze Kugeln, das vierte und fünfte Kästchen je 1 weiße und 1 schwarze Kugel. Es wird zufällig ein Kästchen ausgewählt und daraus eine Kugel gezogen. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das vierte oder fünfte Kästchen ausgewählt wird, wenn die gezogene Kugel weiß ist? Beispiel 13 . Eine Urne enthält 7 weiße und 4 rote Kugeln. Dann wurde eine weitere weiße oder rote oder schwarze Kugel in die Urne gelegt und nach dem Mischen wurde eine Kugel herausgenommen. Er ist rot geworden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) ein roter Ball gelegt wurde? b) schwarze Kugel? Beispiel 14 . Es gibt zwei Urnen mit Kugeln. Einer hat 10 rote und 5 blaue Kugeln, der andere hat 5 rote und 7 blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne zufällig eine rote und aus der zweiten Urne eine blaue gezogen wird? Beispiel 15 . Es gibt ein Kartenspiel (36 Stück). Zwei Karten werden zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Karten rot sind? Beispiel 16 . Zwei Urnen enthalten Kugeln, die sich nur in der Farbe unterscheiden, und in der ersten Urne sind 5 weiße Kugeln, 11 schwarze und 8 rote, und in der zweiten 10, 8, 6 Kugeln. Aus beiden Urnen wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben? Beispiel 17 . Aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln wird eine nach der anderen gezogen, bis schwarz erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Kugeln aus der Urne gezogen werden? 5 Bälle? 4) Es gibt drei identisch aussehende Urnen: Die erste hat 5 weiße und 10 schwarze Kugeln; in der zweiten 9 weiße und 6 schwarze Kugeln; im dritten nur schwarze Kugeln. Aus einer Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel schwarz ist? Lösung Vorfall EIN- bekam einen schwarzen Ball. Vorfall EIN H H H Da die Urnen gleich aussehen, gilt: EIN für jede Hypothese. Aus der ersten Urne wird eine schwarze Kugel gezogen: Ähnlich: Antworten: 5) Es gibt zwei Urnen: Die erste Urne enthält 5 weiße und 10 schwarze Kugeln; Die zweite Urne enthält 9 weiße und 6 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird ohne hinzusehen von der ersten Urne in die zweite übertragen. Danach wird eine Kugel aus der zweiten Urne entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball schwarz ist. Lösung Vorfall EIN Aus der zweiten Urne wird eine schwarze Kugel gezogen. Vorfall EIN kann mit einem der inkompatiblen Ereignisse (Hypothesen) passieren: H 1 - eine weiße Kugel wurde von der ersten Urne in die zweite übertragen; H 2 - Eine schwarze Kugel wird von der ersten Urne in die zweite übertragen. Hypothese Wahrscheinlichkeiten: Finden Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses EIN. Wenn eine weiße Kugel von der ersten Urne in die zweite übertragen wird, enthält die zweite Urne 10 weiße und 6 schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel daraus zu bekommen, ist also: Ähnlich: Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel: Antworten: 6) Es gibt drei Urnen: Die erste Urne enthält 5 weiße und 10 schwarze Kugeln; in der zweiten 9 weiße und 6 schwarze Kugeln; die dritte Urne enthält 15 schwarze Kugeln (keine weißen Kugeln). Aus einer Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Dieser Ball ist schwarz. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel aus der zweiten Urne gezogen wurde. Lösung Vorfall EIN Aus einer Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Vorfall EIN kann mit einem der inkompatiblen Ereignisse (Hypothesen) passieren: H 1 - der Ball wurde aus der ersten Urne genommen; H 2 - der Ball wurde aus der zweiten Urne genommen; H 3 - Die Kugel wird aus der dritten Urne gezogen. Die a priori Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen sind: In Aufgabe 4 werden die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses gefunden EIN und seine Gesamtwahrscheinlichkeit: Unter Verwendung der Bayes-Formel finden wir die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit der Hypothese H 2 . Aus der zweiten Urne wird eine schwarze Kugel gezogen: Vergleichen und: Wenn also bekannt ist, dass eine schwarze Kugel gezogen wurde, dann sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der zweiten Urne gezogen wurde (dies entspricht der Bedingung, dass die zweite Urne die wenigsten schwarzen Kugeln hat). Antworten: . Bernoulli-Formel 7) Es gibt sechs Kinder in der Familie. Die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu bekommen, beträgt 0,49. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Kindern ein Mädchen ist. Lösung Vorfall EIN- ein Mädchen wurde geboren. P= P(EIN) = 0,49; q= 1 – p= 1 – 0,49 = 0,51. Bernoulli-Formel: Nur sechs Kinder n=6. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit finden, dass genau ein Mädchen darunter ist, das heißt m= 1. Antworten: 8) Schnitt AB dividiert durch exakt C im Verhältnis 2:1. 6 Punkte werden zufällig auf dieses Segment geworfen. Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt auf ein Segment fällt, proportional zur Länge des Segments ist und nicht von seiner Position abhängt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Punkt rechts vom Punkt liegt C. Lösung Vorfall EIN- Ein zufälliger Punkt fiel auf das Segment CB(rechts neben dem Punkt C). Als C teilt AB im Verhältnis 2:1, dann: 2CB=AC; 2CB+CB=AC+CB; 3CB=AB; Basierend auf der geometrischen Definition der Wahrscheinlichkeit erhalten wir: Bernoulli-Formel. Die logische Folge beider Hauptsätze – dem Wahrscheinlichkeitsadditionssatz und dem Wahrsc– ist die sogenannte Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Es sei erforderlich, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, das zusammen mit einem der Ereignisse auftreten kann: bilden eine vollständige Gruppe von inkompatiblen Ereignissen. Wir werden diese Ereignisse Hypothesen nennen. Lassen Sie uns das in diesem Fall beweisen diese. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als Summe der Produkte aus der Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese und der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter dieser Hypothese berechnet. Formel (3.4.1) wird als Gesamtwahrscheinlichkeitsformel bezeichnet. Nachweisen. Da die Hypothesen eine vollständige Gruppe bilden, kann das Ereignis nur in Kombination mit einer dieser Hypothesen auftreten: Da die Hypothesen widersprüchlich sind, werden die Kombinationen Wenden wir den Multiplikationssatz auf das Ereignis an, erhalten wir: Q.E.D. Beispiel 1. Es gibt drei identisch aussehende Urnen; die erste Urne enthält zwei weiße und eine schwarze Kugel; im zweiten - drei weiße und ein schwarzes; im dritten - zwei weiße und zwei schwarze Kugeln. Jemand wählt zufällig eine der Urnen aus und zieht daraus eine Kugel. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball weiß ist. Lösung. Betrachten wir drei Hypothesen: Wahl der ersten Urne, Wahl der zweiten Urne, Wahl der dritten Urne und das Ereignis ist das Erscheinen einer weißen Kugel. Denn die Hypothesen sind, je nach Problemstellung, gleich wahrscheinlich Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich: Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel Beispiel 2. Drei Einzelschüsse werden auf ein Flugzeug abgefeuert. Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Schuss zu treffen, beträgt 0,4, mit dem zweiten 0,5 und mit dem dritten 0,7. Drei Treffer reichen offensichtlich aus, um ein Flugzeug zu deaktivieren; bei einem Treffer versagt das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2, bei zwei Treffern mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug durch drei Schüsse außer Gefecht gesetzt wird. Lösung. Betrachten wir vier Hypothesen: Keine einzige Granate traf das Flugzeug, Eine Granate traf das Flugzeug Das Flugzeug wurde von zwei Granaten getroffen. Drei Granaten trafen das Flugzeug. Unter Verwendung der Additions- und Multiplikationstheoreme finden wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen: Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses (Flugzeugausfall) unter diesen Hypothesen sind: Wenden wir die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel an, erhalten wir: Beachten Sie, dass die erste Hypothese nicht berücksichtigt werden konnte, da der entsprechende Term in der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verschwindet. Dies geschieht normalerweise bei der Anwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel, wobei nicht die vollständige Gruppe inkonsistenter Hypothesen berücksichtigt wird, sondern nur diejenigen von ihnen, unter denen ein bestimmtes Ereignis möglich ist. Beispiel 3. Der Motorbetrieb wird von zwei Reglern gesteuert. Betrachtet wird ein bestimmter Zeitraum, in dem ein störungsfreier Betrieb des Motors sichergestellt werden soll. Wenn beide Regler vorhanden sind, fällt der Motor mit Wahrscheinlichkeit aus, wenn nur der erste funktioniert, mit Wahrscheinlichkeit, wenn nur der zweite funktioniert, wenn beide Regler ausfallen, mit Wahrscheinlichkeit. Der erste der Regler hat Zuverlässigkeit, der zweite -. Alle Elemente fallen unabhängig voneinander aus. Ermitteln Sie die Gesamtzuverlässigkeit (Wahrscheinlichkeit eines störungsfreien Betriebs) des Motors.
Lösung:
a) die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen
A - habe einen roten Ball
P 1 - Wappen fiel heraus, P 2 - sonst
B 1 - aus der ersten Urne, B 2 - aus der zweiten Urne
,
Lösung:
A ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel erscheint
a) Alle Weißen:
(Wahrscheinlichkeit, dass eine der drei Optionen mit Weiß gefangen wird)
(Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel erscheint, wo alle weiß sind)
b) Herausgezogen, wo alle schwarz sind
c) eine Variante herausgezogen, bei der alle weiß oder/und schwarz sind
- Mindestens einer von ihnen ist weiß
P a + P b + P c =
Lösung:
5 weiße, 4 schwarze Kugeln
P(A 1) - eine weiße Kugel gezogen
P(A 2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel ebenfalls weiß ist
P(A) – Weiße Bälle, die in einer Reihe ausgewählt werden
Lösung:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Lösung:
P(A)-? Eine weiße Kugel wird aus einer Urne mit 5 Weißen genommen
B - die Wahrscheinlichkeit, aus der Urne genommen zu werden, wobei 5 weiß ist
, - von anderen herausgenommen
C 1 - die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens einer weißen Kugel in Level 9.
C 2 - die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel erscheint, wenn es 5 davon gibt
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Lösung:
a) beide Walzen sind zylindrisch
P(C1)=; P(C2)=
C 1 - der erste Zylinder, C 2 - der zweite Zylinder
P(A)=P(C1)P(C2) =
b) Mindestens ein Zylinder
K 1 - der erste Kegel.
K 2 - der zweite Kegel.
P(B)=P(C 1)P(K 2)+P(C 2)P(K 1)+P(C 1)P(C 2)
;
c) der erste Zylinder und der zweite nicht
P(C)=P(C 1)P(K 2)
e) Kein einziger Zylinder.
P(D)=P(K1)P(K2)
e) Genau 1 Zylinder
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Drei Teile werden zufällig gezogen.
a) Einer davon ist defekt
P n (K)=C n k p k q n-k ,
P ist die Wahrscheinlichkeit fehlerhafter Produkte
q ist die Wahrscheinlichkeit von Standardteilen
n=3, drei Teile
b) zwei der drei Teile sind defekt P(2)
c) mindestens eine Norm
P(0) - kein Defekt
P=P(0)+ P(1)+ P(2) – Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Teil Standard ist
Lösung:
Beim Übertragen von Kugeln aus der ersten Urne sind folgende Möglichkeiten möglich:
a) 2 weiße Kugeln werden hintereinander gezogen
P WB 1 =
Im zweiten Schritt wird es immer einen Ball weniger geben, da im ersten Schritt bereits ein Ball herausgenommen wurde.
b) Es wird eine weiße und eine schwarze Kugel gezogen
Die Situation, als zuerst die weiße Kugel gezogen wurde und dann die schwarze
P BC =
Die Situation, als zuerst die schwarze Kugel gezogen wurde und dann die weiße
P BW =
Gesamt: P CU 1 =
c) 2 schwarze Kugeln werden in einer Reihe gezogen
P H H 1 =
Da 2 Kugeln von der ersten Urne in die zweite Urne übertragen wurden, beträgt die Gesamtzahl der Kugeln in der zweiten Urne 9 (7 + 2). Dementsprechend werden wir nach allen möglichen Optionen suchen:
a) Aus der zweiten Urne wird zuerst eine weiße und dann eine schwarze Kugel gezogen
P BC 2 P BB 1 - bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine weiße Kugel gezogen wurde, dann eine schwarze Kugel, vorausgesetzt, dass 2 weiße Kugeln aus der ersten Urne in Folge gezogen wurden. Deshalb ist die Anzahl der weißen Kugeln in diesem Fall 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine weiße Kugel gezogen wurde, dann eine schwarze Kugel, vorausgesetzt, dass weiße und schwarze Kugeln aus der ersten Urne gezogen wurden. Deshalb ist die Anzahl der weißen Kugeln in diesem Fall 4 (3+1) und die Anzahl der schwarzen Kugeln fünf (4+1).
P BC 2 P BC 1 - bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine weiße Kugel entnommen wurde, dann eine schwarze Kugel, vorausgesetzt, dass beide schwarzen Kugeln in Folge aus der ersten Urne entnommen wurden. Deshalb ist die Anzahl der schwarzen Kugeln in diesem Fall 6 (4+2).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogenen 2 Kugeln unterschiedliche Farben haben, ist gleich:
Antwort: P = 0,54
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die aus Urne 2 gezogene Kugel weiß ist?
2) Die aus der 2. Urne gezogene Kugel war weiß. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass verschiedenfarbige Kugeln von Urne 1 nach Urne 2 transferiert wurden.
Lösung.
1) Ereignis A – die aus der 2. Urne gezogene Kugel erwies sich als weiß. Berücksichtigen Sie die folgenden Optionen für das Auftreten dieses Ereignisses.
a) Zwei weiße Kugeln werden von der ersten Urne in die zweite gelegt: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
In der zweiten Urne befinden sich 4 weiße Kugeln. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen, P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Weiße und schwarze Kugeln werden von der ersten Urne in die zweite gelegt: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
In der zweiten Urne befinden sich 3 weiße Kugeln. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen, P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Zwei schwarze Kugeln werden von der ersten Urne in die zweite gelegt: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
In der zweiten Urne befinden sich 2 weiße Kugeln. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen, P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die aus der 2. Urne gezogene Kugel weiß war, gleich:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
Die Wahrscheinlichkeit, dass verschiedenfarbige Kugeln (schwarz und weiß) in die zweite Urne und weiß übertragen wurden, wurde gewählt: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Lösung.
Betrachten wir alle Varianten des Ereignisses A – von drei Bällen stellte sich heraus, dass der gezogene Ball schwarz war. Wie konnte es passieren, dass unter den drei Kugeln schwarz war?
a) Aus der ersten Urne werden eine schwarze Kugel und aus der zweiten Urne zwei weiße Kugeln gezogen.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Aus der ersten Urne wird eine schwarze Kugel gezogen, aus der zweiten Urne werden zwei schwarze Kugeln gezogen.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Aus der ersten Urne wird eine schwarze Kugel gezogen, aus der zweiten Urne werden eine weiße und eine schwarze Kugel gezogen.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Aus der ersten Urne wird eine weiße Kugel gezogen, aus der zweiten Urne zwei schwarze Kugeln.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Aus der ersten Urne wurde eine weiße Kugel und aus der zweiten Urne eine weiße und eine schwarze Kugel entnommen.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus einer weißen Urne gewählt wurde, beträgt:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus der ersten Urne gewählt wurde, vorausgesetzt, dass eine schwarze aus drei Kugeln gewählt wurde, gleich:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57
Ereignis A - Gleichzeitig wird eine Kugel aus der 1. und 2. Urne gezogen.
Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der ersten Urne zu ziehen: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus der ersten Urne zu ziehen: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen: P2(B) = 8/18 = 4/9
Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen: P2(H) = 10/18 = 5/9
Betrachten Sie die Varianten von Ereignis B - sie haben dieselbe Farbe.
1) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße gezogen, sofern zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
1) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass vorher eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße gezogen, sofern zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
ein weißer
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) schwarz
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
A - blaues Ballon-Extraktionsereignis. Berücksichtigen Sie alle Optionen für den Ausgang eines solchen Ereignisses.
H1 - gezogener Ball aus der ersten Box,
H2 - gezogener Ball aus der zweiten Box,
H3 - der gezogene Ball aus dem dritten Feld.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Je nach Bedingung des Problems sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball aus der zweiten Box stammt, ist:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Lösung: Die Aufgabe, die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel anzuwenden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Der genommene Ball befindet sich in einem der ersten fünf Kästchen:
P(H1) = 5/11
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Der genommene Ball ist in einer von sechs Boxen enthalten:
P(H2) = 6/11
Das Ereignis ist passiert - ein roter Ball wurde gezogen. Daher könnte dies in zwei Fällen passieren:
a) aus den ersten fünf Kartons gezogen.
P 5 = 5 rote Bälle * 5 Kästchen / (30 Bälle * 5 Kästchen) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) aus sechs anderen Kartons gezogen.
P 6 = 4 rote Bälle * 6 Kästchen / (20 Bälle * 6 Kästchen) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Gesamt: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene rote Kugel in einem der ersten fünf Kästchen enthalten ist:
P k.sch. (H1) = P(P5/H1)/(P(P5/H1) + P(P6/H2)) = 5/66/61/330 = 25/61
Lösung. Es gibt drei mögliche Ergebnisse von Ereignissen:
a) von den drei gezogenen Kugeln sind mindestens zwei weiß.
P b (2) = P 2b
Die Gesamtzahl der möglichen elementaren Ergebnisse für diese Versuche ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, wie 3 Bälle aus 9 gezogen werden können:
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass 2 der 3 Kugeln weiß sind.
Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 2 weißen Kugeln:
Anzahl der Auswahlmöglichkeiten aus 7 weiteren Bällen dritter Ball:
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass 2 der 3 Kugeln schwarz sind.
Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 3 schwarzen Kugeln:
Anzahl der Optionen zur Auswahl von 6 anderen Bällen eines Balls:
P2h = 0,214
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle ausgewählten Kugeln schwarz sind.
Ph (2) = 0,214 + 0,0119 = 0,2259
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass unter den ausgewählten 3 Kugeln 2 rot sind.
Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 4 schwarzen Kugeln:
Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 5 weißen Kugeln, die 1 weiße verbleiben:
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle ausgewählten Kugeln rot sind.
P zu (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kugeln dieselbe Farbe haben: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne eine weiße Kugel gezogen wurde, ist P(b)1 = 7/10. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, P(h)1 = 3/10.
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der zweiten Urne eine weiße Kugel gezogen wurde, ist P(b)2 = 5/20 = 1/4. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Ereignis A - ein weißer Ball wird von zwei Bällen genommen
Betrachten Sie das Ergebnis von Ereignis A.
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich also aus der Summe der obigen Wahrscheinlichkeiten.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Lösung. Betrachten Sie Ereignis A – das Spiel wurde zum zweiten Mal mit neuen Bällen gespielt. Mal sehen, welche Ereignisse dazu führen können.
Bezeichne mit g = n-m die Anzahl neuer Bälle vor dem Herausziehen.
a) Für das erste Spiel werden zwei neue Bälle gezogen.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) für das erste Spiel holten sie einen neuen und einen bereits gespielten Ball heraus.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) für das erste Spiel wurden zwei gespielte Bälle herausgezogen.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
a) Zwei neue Bälle wurden gezogen, vorausgesetzt P1: da bereits für das erste Spiel neue Bälle gezogen wurden, verringerte sich ihre Anzahl für das zweite Spiel um 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Zwei neue Bälle wurden gezogen, vorbehaltlich P2: Da für das erste Spiel bereits ein neuer Ball gezogen wurde, verringerte sich ihre Anzahl für das zweite Spiel um 1, g-1.
P(A/P2) = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Sie zogen zwei neue Bälle heraus, vorausgesetzt P3: Da für das erste Spiel keine neuen Bälle verwendet wurden, änderte sich ihre Anzahl für das zweite Spiel nicht. g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Antwort: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Lösung.
Die Wahrscheinlichkeit, jedes Kästchen auszuwählen, ist P(H) = 1/5.
Betrachten Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A - Zeichnen einer weißen Kugel.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Gesamtwahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das vierte Kästchen ausgewählt ist
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das fünfte Kästchen ausgewählt ist
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das vierte oder fünfte Kästchen gewählt wird, ist also
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Lösung.
a) rote Kugel
Ereignis A – eine rote Kugel wird gezogen. Ereignis H - Setzen Sie eine rote Kugel. Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel in die Urne gelegt wurde P(H=K) = 1 / 3
Dann ist P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) schwarze Kugel
Ereignis A – eine rote Kugel wird gezogen. Event H - setze einen schwarzen Ball.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel in die Urne gelegt wurde, ist P(H=H) = 1/3
Dann ist P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111
Lösung. Lassen Sie das Ereignis A1 - eine rote Kugel wird aus der ersten Urne gezogen; A2 - aus der zweiten Urne wird eine blaue Kugel gezogen:
,
Die Ereignisse A1 und A2 sind unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A1 und A2 ist gleich
Lösung. Das Ereignis A 1 sei die erste gezogene Karte der roten Farbe. Ereignis A 2 - die zweite gezogene Karte der roten Farbe. B - beide gezogenen Karten der roten Farbe. Da sowohl das Ereignis A 1 als auch das Ereignis A 2 eintreten müssen, ist B = A 1 · A 2 . Die Ereignisse A 1 und A 2 sind abhängig, also P(B) :
,
Von hier
Lösung. Index 1 sei weiß, Index 2 schwarz; 3 - rote Farbe. Lassen Sie das Ereignis A i - eine Kugel der i-ten Farbe wird aus der ersten Urne gezogen; Ereignis B j - eine Kugel der j-ten Farbe wurde aus der zweiten Urne genommen; Ereignis A - beide Bälle haben die gleiche Farbe.
EIN \u003d EIN 1 B 1 + EIN 2 B 2 + EIN 3 B 3. Die Ereignisse A i und B j sind unabhängig, während A i · B i und A j · B j für i ≠ j inkompatibel sind. Folglich,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Lösung.
1) die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Kugeln aus der Urne gezogen werden (d.h. die dritte Kugel ist schwarz und die ersten beiden sind weiß).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Kugeln aus der Urne gezogen werden
eine solche Situation ist nicht möglich, weil Nur 3 weiße Kugeln.
P=0
, (3.4.1)
auch inkompatibel; Wenden wir den Additionssatz auf sie an, erhalten wir:
,
.
.
