So finden Sie den ungefähren Wert der Wurzel. Ungefähre Berechnung von Quadratwurzeln

Quadratwurzel ziehen "manuell"

Nehmen wir zum Beispiel die Nummer 223729. Um die Wurzel zu extrahieren, müssen wir die folgenden Operationen ausführen:

ABER) Teilen Sie die Zahl von rechts nach links in Ziffern mit zwei Ziffern pro Ziffer auf und setzen Sie Striche oben - 223729 → 22 "37" 29". Null, dh 4765983→04"76"59"83".

B) Setzen Sie ein Radikal auf die Zahl und schreiben Sie ein Gleichheitszeichen:

22"37"29"→=… .

Danach fangen wir tatsächlich an, die Wurzel zu berechnen. Dies geschieht in Schritten, und bei jedem Schritt wird eine Ziffer der ursprünglichen Nummer verarbeitet, d.h. zwei aufeinanderfolgende Ziffern von links nach rechts, und eine Ziffer des Ergebnisses wird erhalten.

Schritt 1— Ziehen einer Quadratwurzel mit einem Nachteil aus der ersten Ziffer:

\u003d 4 ... (mit einem Nachteil)

Das Ergebnis von Schritt 1 ist die erste Ziffer der gewünschten Zahl:

Schritt 2- Wir quadrieren die erste empfangene Ziffer, ordnen sie der ersten Ziffer zu und setzen ein Minuszeichen wie folgt:

Und wir machen die Berechnung, wie es bereits geschrieben ist.

Schritt 3- Wir weisen zwei Ziffern der nächsten Ziffer rechts vom Subtraktionsergebnis zu und setzen eine vertikale Linie links von der resultierenden Zahl wie folgt:

Nehmen Sie danach die Zahlen nach dem =-Zeichen als gewöhnliche Zahl wahr, multiplizieren Sie sie mit 2 und weisen Sie links von der vertikalen Linie eine Lücke zu, in die wir einen Punkt setzen und auch einen Punkt unter diesen Punkt setzen:

Ein Punkt zeigt eine Suche nach einer Ziffer an. Diese Zahl wird die zweite in der letzten Zahl sein, d.h. erscheint hinter der Zahl 4. Es wird nach folgender Regel gesucht:

Dies ist die höchste Zahlk so dass die Zahl 8k , d.h. die Zahl, die man aus 8 erhält, indem man eine Ziffer hinzufügtk multipliziert mitk , überschreitet 637 nicht.

In diesem Fall ist dies die Zahl 7, denn. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Wir haben also:

Schritt 4— zeichnen wir eine horizontale Linie und schreiben das Ergebnis der Subtraktion darunter auf:

637 - 609 \u003d 28. Wir schreiben die letzte Ziffer der ursprünglichen Stammzahl der Zahl 28 zu und erhalten die Zahl 2829. Zeichnen Sie eine vertikale Linie links davon, multiplizieren Sie jetzt 47 mit 2 und schreiben Sie die resultierende Zahl 94 zu links von der vertikalen Linie, wobei ein Platz in Form eines Punktes für die Suche nach der letzten Ziffer verbleibt. Die Zahl 3 passt genau ohne Rest, da 943 ∙ 3 \u003d 2829, was bedeutet, dass dies die letzte Ziffer der gesuchten Zahl ist, also = 473.

943 2829

Wenn sich herausstellt, dass der Rest nicht Null ist, wäre es im Prinzip möglich, ein Komma hinter die gefundenen Ziffern der Zahl zu setzen, zwei Dezimalstellen der Zahl als nächste Ziffer abzuschreiben oder zwei Nullen, falls vorhanden keine, und ziehen Sie die Quadratwurzel immer genauer. Zum Beispiel:

= 4,123…

Ungefähre Methoden zum Ziehen der Quadratwurzel

(ohne Taschenrechner).

1 Methode.

Die alten Babylonier verwendeten die folgende Methode, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel ihrer Zahl x zu ermitteln. Sie stellten die Zahl x als Summe a 2 + b dar, wobei a 2 x am nächsten kommt, dem exakten Quadrat der natürlichen Zahl a (a 2 ? x), und verwendeten die Formel . (1)

Mit Formel (1) ziehen wir beispielsweise die Quadratwurzel aus der Zahl 28:

Das Ergebnis der Wurzelbildung aus 28 mit dem Taschenrechner ist 5,2915026. Wie Sie sehen können, liefert die babylonische Methode eine gute Annäherung an den genauen Wert der Wurzel.

2 Methode.

Isaac Newton entwickelte eine Methode zum Ziehen der Quadratwurzel, die auf Heron von Alexandria (ca. 100 n. Chr.) zurückgeht. Dieses Verfahren (bekannt als Newton-Verfahren) ist wie folgt.

Lassen a 1 - die erste Näherung einer Zahl (als 1 können Sie die Werte der Quadratwurzel einer natürlichen Zahl nehmen - ein exaktes Quadrat, das nicht überschritten wird X) .

Die Frage ist nun: Wie kann man eine Zahl irrational potenzieren? Wir wollen zum Beispiel wissen, was 10 √2 ist, die Antwort ist im Prinzip ganz einfach. Nehmen wir statt √2 seine Näherung in Form einer endlichen Dezimalzahl drdbi – das ist eine rationale Zahl. Wir können bis zu einem rationalen Grad anheben; Es kommt darauf an, mit einer ganzen Zahl zu potenzieren und die Wurzel zu ziehen. Wir erhalten den ungefähren Wert der Zahl. Sie können einen längeren Dezimalbruch nehmen (dies ist wieder eine rationale Zahl). Dann müssen Sie die Wurzel eines größeren Grades extrahieren; Schließlich wird der Nenner eines rationalen Bruchs größer, aber wir erhalten eine genauere Annäherung. Wenn wir den ungefähren Wert von √2 als sehr langen Bruch annehmen, wird die Potenzierung natürlich sehr schwierig. Wie ist diese Aufgabe zu bewältigen?

Die Berechnung von Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und anderen Wurzeln niedrigen Grades ist ein uns leicht zugänglicher arithmetischer Vorgang; Beim Rechnen schreiben wir sequentiell nacheinander Dezimalzahlen. Aber um auf eine irrationale Potenz zu erheben oder einen Logarithmus zu nehmen (um das inverse Problem zu lösen), ist eine solche Arbeit erforderlich, dass es nicht mehr einfach ist, das bisherige Verfahren anzuwenden. Tabellen kommen zur Rettung. Sie werden Logarithmentafeln oder Potenztafeln genannt, je nachdem, wofür sie bestimmt sind. Sie sparen Zeit: Um eine Zahl ins Irrationale zu potenzieren, rechnen wir nicht, sondern blättern nur um.

Die Berechnung der in Tabellen gesammelten Werte ist zwar ein rein technischer Vorgang, aber dennoch eine interessante Angelegenheit und hat eine lange Geschichte. Mal sehen, wie es gemacht wird. Wir werden nicht nur x \u003d 10 √2 berechnen, sondern auch ein anderes Problem lösen: 10 x \u003d 2 oder x \u003d log 10 2. Bei der Lösung dieser Probleme werden wir keine neuen Zahlen entdecken; das sind nur Rechenprobleme. Die Lösung werden irrationale Zahlen sein, unendliche Dezimalbrüche, und es ist irgendwie unbequem, sie zu einer neuen Art von Zahlen zu erklären.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, wie wir unsere Gleichungen lösen können. Die allgemeine Idee ist sehr einfach. Wenn wir 10 1 und 10 1/10 und 10 1/100 und 10 1/1000 usw. berechnen und dann die Ergebnisse multiplizieren, erhalten wir 10 1,414 ... oder l0 √ 2 Auf diese Weise werden wir lösen jedes Problem dieser Art. Anstelle von 10 1/10 usw. berechnen wir jedoch 10 1/2 und 10 1/4 usw. Bevor wir beginnen, wollen wir erklären, warum wir uns häufiger auf die Zahl 10 beziehen als auf andere Zahlen. Wir wissen, dass die Bedeutung von Logarithmentafeln weit über das mathematische Problem der Berechnung von Wurzeln hinausgeht, weil

Dies ist jedem bekannt, der die Logarithmustabelle verwendet hat, um Zahlen zu multiplizieren. Auf welcher Grundlage b logarithmieren? Es spielt keine Rolle; denn solche Berechnungen basieren nur auf dem Prinzip, der allgemeinen Eigenschaft der logarithmischen Funktion. Nachdem Sie die Logarithmen einmal für eine beliebige Basis berechnet haben, können Sie durch Multiplikation zu den Logarithmen für eine andere Basis gelangen. Wenn Sie Gleichung (22.3) mit 61 multiplizieren, bleibt sie wahr. Wenn Sie also alle Zahlen in der Logarithmentabelle zur Basis b mit 61 multiplizieren, kann eine solche Tabelle auch verwendet werden. Angenommen, wir kennen die Logarithmen aller Zahlen zur Basis b. Mit anderen Worten, wir können die Gleichung b a = c für jedes c lösen; dafür gibt es eine tabelle. Das Problem ist, wie man den Logarithmus der gleichen Zahl c in einer anderen Basis, wie z. B. x, findet. Wir müssen die Gleichung x a' = c lösen. Das ist einfach, weil x immer als x = b t dargestellt werden kann. t zu finden, wenn x und b gegeben sind, ist einfach: t = log b x. Setzen wir nun x = b t in die Gleichung x a’ = c ein; es geht in diese Gleichung ein: (b t) a’ = b ta’ = c. Mit anderen Worten, das Produkt ta' ist der Logarithmus von c zur Basis b. Also a' = a/t. Somit sind die Logarithmen zur Basis x gleich den Produkten der Logarithmen zur Basis b und der konstanten Zahl l/t. Daher sind alle Logarithmentafeln bis auf die Multiplikation mit der Zahl l/log b x äquivalent. Dies erlaubt uns, jede Basis für die Tabellierung zu wählen, aber wir haben entschieden, dass es am bequemsten ist, die Zahl 10 als Basis zu verwenden (Die Frage kann sich stellen: Gibt es noch eine natürliche Basis, die alles irgendwie einfacher aussehen lässt? Wir werden es versuchen um diese Frage später zu beantworten, während alle Logarithmen zur Basis 10 berechnet werden.)

Sehen wir uns nun an, wie die Tabelle der Logarithmen erstellt wird. Die Arbeit beginnt mit sukzessivem Ziehen der Quadratwurzel aus 10. Das Ergebnis ist in Tabelle zu sehen. 22.1. Die Exponenten stehen in der ersten Spalte und die Zahlen 10 in der dritten. Es ist klar, dass 10 1 \u003d 10 ist. Es ist einfach, 10 auf eine halbe Potenz zu erhöhen - dies ist die Quadratwurzel von 10, und jeder weiß, wie man die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl zieht. (Die Quadratwurzel wird am besten nicht so gezogen, wie es normalerweise in der Schule gelehrt wird, sondern etwas anders. Um die Quadratwurzel aus der Zahl N zu ziehen, wählen wir die Zahl a, die nahe genug an der Antwort liegt, berechnen N / a und die Durchschnitt a' = 1/2, das ist der Durchschnitt eine neue Zahl a, eine neue Annäherung an die Wurzel von N. Dieser Vorgang führt sehr schnell zum Ziel: Die Anzahl der signifikanten Stellen verdoppelt sich nach jedem Schritt.) Also haben wir fand die erste Quadratwurzel; es ist gleich 3,16228. Was gibt es? Gibt was. Wir können bereits sagen, was 10 0,5 ist, und wir kennen mindestens einen Logarithmus.

Der Logarithmus von 3,16228 liegt sehr nahe bei 0,50000. Allerdings müssen wir uns noch ein wenig anstrengen: Wir brauchen eine detailliertere Tabelle. Lassen Sie uns eine weitere Quadratwurzel ziehen und 10 1/4 ermitteln, was 1,77828 entspricht. Jetzt kennen wir einen anderen Logarithmus: 1,250 ist der Logarithmus von 17,78; Außerdem können wir sagen, was 10 0,75 ist: Immerhin ist das 10 (0,5 + 0,25), also das Produkt aus der zweiten und dritten Zahl aus der dritten Spalte der Tabelle. 22.1. Wenn Sie die erste Spalte der Tabelle lang genug machen, enthält die Tabelle fast alle Zahlen; Wenn wir die Zahlen aus der dritten Spalte multiplizieren, erhalten wir 10 mit fast jeder Potenz. Das ist die Grundidee von Tabellen. Unsere Tabelle enthält zehn aufeinanderfolgende Wurzeln von 10; die Hauptarbeit beim Erstellen der Tabelle wird in die Berechnung dieser Wurzeln investiert.

Warum verbessern wir die Genauigkeit der Tabellen nicht weiter? Da ist uns schon was aufgefallen. Indem wir 10 zu einer sehr kleinen Potenz erheben, erhalten wir eine Einheit mit einer kleinen Addition. Dies geschieht natürlich, denn wenn wir zum Beispiel 10 1/1000 auf die 1000-te Potenz erhöhen, erhalten wir wieder 10; Es ist klar, dass 10 1/1000 keine große Zahl sein kann: Sie kommt sehr nahe an Eins heran. Darüber hinaus verhalten sich kleine Additionen zur Einheit so, als ob sie jedes Mal durch 2 geteilt würden; Schauen Sie sich die Tabelle genauer an: 1815 geht zu 903, dann zu 450, 225 usw. Wenn wir also noch eine elfte Quadratwurzel berechnen, wird es mit großer Genauigkeit gleich 1,00112 sein, und wir haben dieses Ergebnis sogar erraten vor der Berechnung. Können Sie sagen, was die Addition von Eins ist, wenn Sie 10 mit ∆/1024 potenzieren, wenn ∆ gegen Null tendiert? Dürfen. Die Addition wird ungefähr gleich 0,0022511∆ sein. Natürlich nicht exakt 0,0022511∆; Um diese Addition genauer zu berechnen, machen sie folgenden Trick: Ziehen Sie eins von 10 s ab und dividieren Sie die Differenz durch den Exponenten s. Die Abweichungen des so erhaltenen Quotienten von seinem exakten Wert sind für jede Potenz von s gleich. Es ist ersichtlich, dass diese Verhältnisse (Tabelle 22.1) ungefähr gleich sind. Anfangs unterscheiden sie sich stark, aber dann nähern sie sich einander an und streben eindeutig nach einer Anzahl. Was ist das für eine Nummer? Mal sehen, wie sich die Zahlen der vierten Spalte ändern, wenn wir die Spalte nach unten gehen. Zuerst beträgt die Differenz zwischen zwei benachbarten Zahlen 0,0211, dann 0,0104, dann 0,0053 und schließlich 0,0026. Die Differenz verringert sich jedes Mal um die Hälfte. In einem weiteren Schritt bringen wir es auf 0,0013, dann auf 0,0007, 0,0003, 0,0002 und schließlich auf etwa 0,0001; wir müssen 26 nacheinander durch 2 dividieren. Wir werden also weitere 26 Einheiten nach unten gehen und die Grenze 2,3025 finden. (Später werden wir sehen, dass 2,3026 richtiger wäre, aber nehmen wir, was wir haben.) Mit dieser Tabelle können Sie 10 beliebig potenzieren, wenn ihr Exponent in irgendeiner Weise durch I / I024 ausgedrückt wird.

Jetzt ist es einfach, eine Logarithmentabelle zu erstellen, weil wir bereits alles Notwendige dafür zusammengespart haben. Die Vorgehensweise dazu ist in Tabelle dargestellt. 22.2, und die erforderlichen Zahlen werden aus der zweiten und dritten Spalte der Tabelle entnommen. 22.1.

Angenommen, wir möchten den Logarithmus von 2 wissen. Das bedeutet, dass wir wissen möchten, mit welcher Potenz 10 potenziert werden muss, um 2 zu erhalten. Vielleicht 10 mit 1/2 potenzieren? Nein, es ist zu groß. Wenn wir uns Tabelle 22.1 ansehen, können wir sagen, dass die Zahl, die wir brauchen, zwischen 1/4 und 1/2 liegt. Beginnen wir mit der Suche danach mit 1/4; dividiere 2 durch 1,778…, wir erhalten 1,124…; Beim Teilen haben wir 0,250000 vom Logarithmus von zwei abgezogen, und jetzt interessiert uns der Logarithmus von 1,124 .... Nachdem wir es gefunden haben, addieren wir 1/4 = 256/1024 zum Ergebnis. Suchen wir in Tabelle 22.1 die Zahl, die, wenn man sich entlang der dritten Spalte von oben nach unten bewegt, unmittelbar hinter 1,124 stehen würde .... Dies ist 1,074607. Das Verhältnis von 1,124… zu 1,074607 ist 1,046598. Am Ende werden wir 2 als Produkt der Zahlen aus Tabelle darstellen. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Für den letzten Faktor (1,000573) war in unserer Tabelle kein Platz; Um ihren Logarithmus zu finden, muss diese Zahl als 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024 dargestellt werden. Von hier aus ist leicht zu finden, dass ∆ = 0,254. Somit kann unser Produkt als Zehn hoch 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254) dargestellt werden. Durch Addieren und Dividieren erhalten wir den gewünschten Logarithmus: log 10 2 = 0,30103; dieses Ergebnis ist bis auf die fünfte Dezimalstelle korrekt!

Wir haben Logarithmen genau so berechnet, wie es Mr. Briggs aus Halifax 1620 tat. Als er fertig war, sagte er: „Ich habe nacheinander 54 Quadratwurzeln aus 10 berechnet.“ Tatsächlich hat er nur die ersten 27 Wurzeln berechnet und dann einen Trick mit ∆ gemacht. Das 27-fache der Quadratwurzel aus 10 zu berechnen ist tatsächlich etwas schwieriger als
10 Mal so wie wir. Herr Briggs hat jedoch viel mehr getan: Er hat die Wurzeln bis zur sechzehnten Dezimalstelle berechnet, und als er seine Tabellen veröffentlichte, beließ er sie nur mit 14 Dezimalstellen, um Fehler zu runden. Es ist sehr schwierig, mit dieser Methode Logarithmentabellen bis zur vierzehnten Dezimalstelle zu erstellen. Aber noch 300 Jahre später beschäftigten sich die Ersteller von Logarithmentabellen damit, dass sie die Tabellen von Mr. Briggs reduzierten und jedes Mal eine andere Anzahl von Dezimalstellen aus ihnen herausschlugen. Erst in neuerer Zeit ist es mit Hilfe elektronischer Rechner möglich geworden, unabhängig von Herrn Briggs Logarithmentafeln zu erstellen. In diesem Fall wurde eine effizientere Berechnungsmethode verwendet, die auf der Erweiterung des Logarithmus zu einer Reihe basiert.

Beim Zusammenstellen der Tabellen sind wir auf eine interessante Tatsache gestoßen; ist der Exponent ε sehr klein, so lässt sich 10 ε sehr einfach berechnen; es ist nur 1+2,3025ε. Das bedeutet, dass 10 n/2,3025 = 1 + n für sehr kleine n. Außerdem haben wir von Anfang an gesagt, dass wir Logarithmen zur Basis 10 nur berechnen, weil wir 10 Finger an unseren Händen haben und es für uns bequemer ist, in Zehnern zu zählen. Logarithmen zu jeder anderen Basis erhält man aus Logarithmen zur Basis 10 durch einfache Multiplikation. Jetzt ist es an der Zeit herauszufinden, ob es eine mathematisch ausgezeichnete Basis von Logarithmen gibt, die aus Gründen unterschieden werden, die nichts mit der Anzahl der Finger an der Hand zu tun haben. In dieser natürlichen Skala sollten Formeln mit Logarithmen einfacher aussehen. Lassen Sie uns eine neue Logarithmentabelle erstellen, indem wir alle Logarithmen zur Basis 10 mit 2,3025 multiplizieren…. Dies entspricht dem Übergang zu einer neuen Basis - natürlich oder Basis e. Beachten Sie, dass log e (l + n) ≈ n oder e n ≈ 1 + n, wenn n → 0.

Es ist leicht, die Zahl e selbst zu finden; es ist gleich 101/ 2,3025 oder 10 0,4342294 ... Das ist 10 hoch irrational. Um e zu berechnen, können Sie die Wurzeltabelle von 10 verwenden. Stellen wir 0,434294 ... zuerst als 444,73 / 1024 und den Zähler dieses Bruchs als Summe 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + dar 0,73 . Die Zahl e ist also gleich dem Produkt der Zahlen
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Die Zahl 0,73 steht nicht in unserer Tabelle, aber das entsprechende Ergebnis lässt sich als 1 + 2,3025∆/1024 darstellen und mit ∆ = 0,73 berechnen.) Multipliziert man alle 7 Faktoren, erhält man 2,7184 (durch sollte eigentlich 2,7183 sein, aber dieses Ergebnis ist gut). Mit solchen Tabellen kannst du eine Zahl irrational potenzieren und die Logarithmen irrationaler Zahlen berechnen. So geht man mit Irrationalität um!

Unterrichtstyp: kombiniert.

Dokumentinhalt anzeigen
"Ungefähre Berechnungen der Quadratwurzel."

8. Klasse

Das Datum:

Lektion Nummer 9.

Thema: Näherungsweise Berechnungen der Quadratwurzel.

Ziele: 1. Den Schülern beibringen, ungefähre Quadratwurzeln zu finden.

2. Entwickeln Sie die Beobachtung, die Fähigkeit zu analysieren, zu vergleichen und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Kultivieren Sie eine positive Einstellung zum Lernen

Unterrichtstyp: kombiniert.

Unterrichtsformen: individuell, kollektiv

Ausstattung: Projekttafel, Stimmungskarten, Mikrorechner

Drei Wege führen zum Wissen: der Weg der Reflexion

Das ist der edelste Weg

der Weg der Nachahmung ist der einfachste Weg

und der Weg der Erfahrung ist der bitterste Weg.

Konfuzius

Während des Unterrichts.

Zeit organisieren

Schritt Hausaufgabenkontrolle

Nr. 60 - 1 Schüler führt an der Tafel auf, ein anderer Schüler überprüft vor Ort die Richtigkeit der Aufgabenstellung

Mündliche Arbeit: auf die Tafel projiziert

a) Finde den Wert der Wurzel:

b) Macht der Ausdruck Sinn:

c) Finden Sie eine Zahl, deren arithmetische Quadratwurzel 0 ist; eines; 3; zehn; 0,6

Die Phase des Erklärens von neuem Material

Um den ungefähren Wert der Quadratwurzel zu berechnen, müssen Sie einen Mikrorechner verwenden. Geben Sie dazu den Wurzelausdruck in den Taschenrechner ein und drücken Sie die Taste mit dem Wurzelzeichen. Aber nicht immer ist ein Taschenrechner zur Hand, daher können Sie den ungefähren Wert der Quadratwurzel wie folgt ermitteln:

Lassen Sie uns den Wert finden.

Seit damals . Nun, unter den Zahlen, die sich auf dem Intervall von 1 bis 2 befinden, nehmen wir die benachbarten Zahlen 1,4 und 1,5, wir erhalten: , dann nehmen wir die Zahlen 1,41 und 1,42, diese Zahlen erfüllen die Ungleichung . Wenn wir diesen Vorgang des Quadrierens benachbarter Zahlen fortsetzen, erhalten wir das folgende Ungleichungssystem:

Auf die Tafel projiziert.

Aus diesem System erhalten wir beim Vergleich der Zahlen nach dem Komma:

Annäherungswerte von Quadratwurzeln können in Bezug auf Überschuss und Mangel genommen werden, d.h. durch Mangel mit einer Genauigkeit von 0,0001 und durch Überschuss.

Konsolidierung des studierten Materials.

Stufe "A"

0,2664 0,2 - durch Mangel

№93 (Taschenrechner verwendet)

5. Valeologische Pause: Übungen für die Augen.

Stufe "B"

6. Historischer Hintergrund zur Notwendigkeit, den Wert von Quadratwurzeln zu finden

(Der bereitwillige Student wird vorab eingeladen, eine Nachricht zu diesem Thema über das Internet vorzubereiten.)

Es wird eine Formel vorgeschlagen, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel einer irrationalen Zahl zu finden:

Stufe "C" Nr. 105

7. Reflexion.

Zusammenfassung der Lektion.

Hausaufgabe: Nr. 102,

Bei der Lösung von Berechnungsproblemen werden numerische Ergebnisse erhalten, die oft nicht genau sind, weil. Fehler treten bei der Formulierung des Problems und im Verlauf von Berechnungen auf.

Fehlerquellen sind:

1) Fehler in den Ausgangsdaten;

2) Rundungsfehler von Zwischen- und Endergebnissen;

3) Fehler der ungefähren Methode zur Lösung des Problems.

Wenn Sie Operationen mit ungefähren Zahlen ausführen, müssen Sie:

1) in Kenntnis der Genauigkeit der Ausgangsdaten die Genauigkeit des Ergebnisses beurteilen können;

2) Nehmen Sie die Anfangsdaten mit einer solchen Genauigkeit auf, um die angegebene Genauigkeit des Ergebnisses sicherzustellen.

2.1 Fehler in ungefähren Zahlen

Die Zahl x sei der exakte Wert und die Zahl a der ungefähre Wert einer Größe.

Definition. Die Differenz zwischen der Zahl x und ihrem Näherungswert a heißt Fehler der Näherungszahl a: Δ = |x-a |.

Sei x = 10,5, a = 10, dann Δ = 10,5 – 10 = 0,5.

Sei x = 9,5, a = 10, dann Δ = 9,5 – 10 = –0,5.

Definition. Der Betrag der Differenz zwischen der Zahl x und ihrem Näherungswert a wird als absoluter Fehler der Näherungszahl a bezeichnet: Δа = |х-а|

Sei x=10,5, a=10, dann Δa=|10,5-10|=0,5.

Sei x=9,5, a=10, dann Δa=|9,5-10|=0,5.

Oft ist die genaue Zahl x nicht bekannt. Dann ist es unmöglich, Δа = |х-а| zu finden, deshalb wird die Abschätzung des absoluten Fehlers verwendet - der absolute Grenzfehler Δа ≥ Δа =x-а|. In diesem Fall wird die Zahl x in die Grenzen eingeschlossen:

a - Δ a  x  a + Δ a oder kurz: x = a ± Δ a.

Sie lauten: x ist gleich a mit einer Genauigkeit von Δ a.

Um die Qualität der durchgeführten Berechnungen zu bestimmen, muss ermittelt werden, welchen Anteil der absolute Fehler des Messwerts hat. Verwenden Sie dazu den relativen Fehler.

Definition. Der relative Fehler δа der Näherungszahl a ist das Verhältnis des absoluten Fehlers Δа zum Betrag der Zahl x:

oder
.

Die Abschätzung des relativen Fehlers ba ist der limitierende relative Fehler:

Beispiel. Gegeben sei die Zahl x=0,4287 und ihr ungefährer Wert a=0,4264. Finde die absoluten und relativen Fehler der Zahl a.

Lösung. Berechnen wir den absoluten Fehler der Zahl a:

Δa = |0,4287-0,4264| = 0,0023.

Berechnen wir den relativen Fehler der Zahl a:

oder 5,4 %.

Bemerkungen. 1. Bei der Aufzeichnung eines Fehlers ist es üblich, 1-2 signifikante Ziffern zu hinterlassen. Fehler werden immer aufgerundet. In diesem Fall erweitern sich die Grenzen der genauen Zahl x.

2. Wenn die Zahl x unbekannt ist, wird die Zahl a verwendet, um den relativen Fehler zu finden.

3. Der relative Fehler wird oft als Prozentsatz ausgedrückt, indem er mit 100 % multipliziert wird.

2.2. Signifikante und wahre Ziffern einer ungefähren Zahl

Um die Genauigkeit einer ungefähren Zahl a zu beurteilen, ist es üblich, sie als Dezimalbruch zu schreiben. Die Genauigkeit der Berechnungen wird nicht durch die Anzahl der Dezimalstellen (Nachkommastellen), sondern durch die Anzahl der gültigen signifikanten Stellen des Ergebnisses bestimmt.

Definition. Die signifikanten Ziffern der Zahl a sind alle ihre Ziffern, mit Ausnahme der Nullen vor der ersten Nicht-Null-Ziffer und der Nullen am Ende des Eintrags, wenn sie dazu dienen, die Ziffer oder Genauigkeit der Zahl zu erhalten.

Beispiel. Finden Sie die signifikanten Ziffern von a.

a = 0,02701 => signifikante Zahlen: 2.7.0.1.

a = 0,0270 => Signifikante Zahlen: 2,7,0.

a = 2700 => signifikante Zahlen: 2.7.0.0.

Definition. Die Ziffer α i einer ungefähren Zahl a wird im weitesten Sinne (im strengen Sinne) als echte signifikante Zahl bezeichnet, wenn der begrenzende absolute Fehler der Zahl a ein (halbes) der Ziffer nicht überschreitet, in der die Ziffer α steht i wird geschrieben: Δ a 10 i (Δ a  0,5∙10 i).

Beispiel. Bestimmen Sie die richtigen Zahlen der ungefähren Zahl a = 0,7264, wenn der absolute Fehler Δ a = 0,0023 beträgt.

Lösung. Absoluter Fehler Δ a \u003d 0,0023  0,005 \u003d 0,5 ∙ 10 -2. Daher sind die Zahlen 7 und 2 streng genommen richtig, die Zahlen 6 und 4 sind falsch (zweifelhaft). Da Δ a  = 0,0023< 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.

Bemerkungen. 1. In mathematischen Tabellen sind alle signifikanten Zahlen im strengen Sinne korrekt.

2. Im Endergebnis ist es üblich, nur die richtigen Zahlen zu hinterlassen. Dann wird der begrenzende absolute Fehler der Zahl a durch die Einheit der niederwertigsten Ziffer bestimmt. Sei beispielsweise a = 127,38, dann ist Δ a = 0,01, wenn alle Zahlen im strengen Sinne richtig sind, und Δ a = 0,5 ∙ 0,01 = 0,005, wenn alle Zahlen im weitesten Sinne richtig sind.

Beispiel. Bestimmen Sie, welche Gleichheit genauer ist 13/19=0,684 oder
=7,21?

Lösung. Lassen Sie uns a = 0,684, b = 7,21 bezeichnen. Finden wir die absoluten Fehler dieser Zahlen. Nehmen Sie dazu 13/19 und
mit vielen Nachkommastellen: 13/39=0,68421...,
=7,2111...

Dann ist Δa = |0,68421...-0,684|< 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.

Lassen Sie uns die relativen Fehler finden:

oder 0,033 %.

oder 0,017 %.

Die zweite Gleichung ist genauer, da
.

2.3. Zahlen runden

Bei ungefähren Berechnungen ist es oft notwendig, sowohl ungefähre als auch genaue Zahlen zu runden, dh eine oder mehrere der letzten Ziffern zu verwerfen. Beim Runden einer Zahl ersetzen wir sie durch eine ungefähre Zahl mit weniger signifikanten Stellen, was zu einem Rundungsfehler führt. Damit dieser Fehler minimal ist, müssen einige Rundungsregeln befolgt werden.

Regel ich. Wenn die erste linke der verworfenen Ziffern größer als 5 ist, dann wird die letzte der zurückbehaltenen Ziffern verstärkt, d. h. erhöht sich um eins. Eine Verstärkung wird auch durchgeführt, wenn die erste linke der verworfenen Ziffern 5 ist, gefolgt von Ziffern ungleich Null.

Beispiel. Wenn wir die Zahl 73,473 auf Zehntel runden, erhalten wir 73,5. Die letzte verbleibende Ziffer wird verstärkt, weil 7 > 5.

Regel II. Wenn die erste der verworfenen Ziffern kleiner als 5 ist, dann wird die letzte der verbleibenden Ziffern nicht verbessert, d. h. bleibt unverändert.

Beispiel. Wenn wir die Zahl 73,473 auf Hundertstel aufrunden, erhalten wir 73,47.

RegelIII. Wenn die erste links der verworfenen Ziffern 5 ist und keine Ziffern ungleich Null folgen, wird die letzte verbleibende Ziffer erhöht, wenn sie ungerade ist, und unverändert gelassen, wenn sie gerade ist (Regel für gerade Ziffern).

Beispiel. Wenn wir die Zahl 5,785 auf Hundertstel runden, erhalten wir 5,78. Wir nehmen keine Verstärkungen vor, da die letzte gespeicherte Ziffer 8 gerade ist. Wenn wir die Zahl 5,775 auf die zweite Dezimalstelle runden, haben wir 5,78. Die letzte gespeicherte Ziffer 7 wird um eins erhöht, da sie ungerade ist.

Wenn wir Regel III auf das Runden einer einzelnen Zahl anwenden, erhöhen wir nicht wirklich die Genauigkeit der Berechnungen, aber bei zahlreichen Rundungen treten Überzahlen ungefähr so ​​oft auf wie Unterzahlen. Es erfolgt eine gegenseitige Fehlerkompensation, das Ergebnis wird genauer.

Bei Anwendung der obigen Rundungsregeln überschreitet der absolute Rundungsfehler also nicht die halbe Einheit der Ziffer, die durch die letzte verbleibende signifikante Ziffer bestimmt wird.

Wenn die genaue Zahl x auf n signifikante Stellen gerundet wird, dann hat die resultierende Näherungszahl a einen absoluten Fehler, der dem Rundungsfehler entspricht. In diesem Fall hat die ungefähre Zahl a n richtige signifikante Stellen im engeren Sinne.

Beispiel. Runden wir die Zahl x=26,837 auf drei signifikante Stellen, erhalten wir a =26,8, womit Δ a = |x-a | = | 26,837-26,8 | = 0,037< 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.

Wenn wir die Näherungszahl a runden, erhalten wir eine neue Näherungszahl a 1 .

Definition. Die Zahl Δ a1 \u003d Δ a + Δ env wird als Rundungsfehler bezeichnet.

Der absolute Fehler der Zahl a 1 ist die Summe des absoluten Fehlers der ursprünglichen Zahl Δ a und des Rundungsfehlers Δ env, d. h.

Δ a1 = Δ a + Δ env.

Beispiel. Runden Sie die zweifelhaften Stellen der Zahl x = 34,124 ± 0,021. Bestimmen Sie den absoluten Fehler des Ergebnisses.

Lösung. Die ungefähre Zahl a=34,124 hat drei richtige Zahlen im engeren Sinne: 3, 4, 1, da Δ a = 0,021< 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.

Damit sind alle signifikanten Stellen der Zahl a 2 korrekt (im engeren Sinne).

Also x = 34,1 ± 0,045.

Wenn man jedoch eine Näherungszahl a, die n richtige signifikante Stellen (im engeren Sinne) hat, auf n signifikante Stellen rundet, kann sich herausstellen, dass die gerundete Zahl a 1 n richtige signifikante Stellen im weiten Sinne hat.

Beispiel. Die ungefähre Zahl a = 15,3654 (± 0,0018) hat vier korrekte signifikante Stellen im engeren Sinne (1, 5, 3, 6), da Δ a = 0,0018< 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.

Offensichtlich 0,005< 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) hat im weitesten Sinne vier richtige Ziffern.

Also x = 15,37 ± 0,0064.

Beispiel. Runden Sie die zweifelhaften Ziffern der Zahl a = 26,7245 (± 0,0026) unter Belassung der richtigen Vorzeichen im engeren Sinne. Bestimmen Sie den absoluten Fehler des Ergebnisses.

Lösung. Durch die Bedingung Δ a = 0,0026< 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:

Der resultierende Fehler ist größer als 0,005 (0,005< 0,0071), поэтому уменьшим чис­ло цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. Wir finden Δ a2 = = Δ a + Δ env = 0,0026 + |26,7245-26,7 | = 0,0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.

Also x = 26,7 ± 0,0271 => x = 26,7 ± 0,03, wobei der Fehler auf zwei Dezimalstellen gerundet wird.

Beispiel. Runden Sie die zweifelhaften Ziffern der Zahl a = 22,7314, wobei Sie die richtigen Vorzeichen im engeren Sinne belassen. Bestimmen Sie den absoluten Fehler der Zahl, wenn δ a = 0,2 %.

Lösung. Wir schreiben δ a in Form eines Dezimalbruchs: δа=0,002 und bestimmen Sie den absoluten Fehler . Da Δ a \u003d \u003d 0,0455< 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Dann ist Δ a1 = = Δ a + Δ env = 0,0455 + | 22,7314-22,73 | = 0,0769 > 0,05, daher reduzieren wir die Anzahl der Ziffern in der ungefähren Zahl auf zwei: a 2 = 23. Wir finden Δ a2 = = Δ a + Δ env = 0,0455 + |22,7314-23 | = 0,3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.

Also x=23±0.3141 => x=23±0.32.

2.3. Regeln für Operationen mit ungefähren Zahlen

Regel 1 Der absolute Fehler der algebraischen Summe mehrerer Näherungszahlen ist gleich der Summe der absoluten Fehler dieser Zahlen:

Δa ± b = Δa + Δb

Regel 2 Der relative Fehler des Produkts mehrerer Näherungszahlen ist gleich der Summe der relativen Fehler dieser Zahlen:

δ av \u003d δ a + δ c.

Regel 3 Der relative Fehler partieller Näherungszahlen ist gleich der Summe dieser relativen Zahlen: δ a / b \u003d δ a + δ c.

Regel 4 Der relative Fehler des Grades der Näherungszahl a ist: δa n = nδ a.

Regel 5 Der relative Fehler der Wurzel der Näherungszahl a ist:
.

Regel 6 Wenn bei der Berechnung keine strenge Fehlerberechnung durchgeführt wird, wird empfohlen, die Regeln zum Zählen von Zahlen zu verwenden. Diese Regeln geben an, wie die Ergebnisse gerundet werden sollen, um sicherzustellen, dass das Ergebnis so genau wie möglich ist, ohne Berechnungen mit überstelligen Zahlen.

Die Regeln gehen davon aus, dass die Zahlen, mit denen operiert wird, nur gültige Ziffern enthalten und die Anzahl der Operationen gering ist.

I. Beim Addieren und Subtrahieren von ungefähren Zahlen sollte das Ergebnis so viele Dezimalstellen enthalten, wie es in der Zahl mit der geringsten Anzahl von Dezimalstellen gibt.

II. Beim Multiplizieren und Dividieren sollte das Ergebnis so viele signifikante Stellen enthalten, wie es in der Zahl mit der geringsten Anzahl signifikanter Stellen gibt.

III. Wenn eine ungefähre Zahl potenziert wird, sollte das Ergebnis sein, so viele signifikante Ziffern zu behalten, wie es in der Basis der Potenz gibt.

IV. Wenn Sie eine Wurzel aus einer ungefähren Zahl ziehen, sollten Sie so viele signifikante Ziffern behalten, wie es in der Wurzelzahl gibt.

V. Bei Zwischenergebnissen sollten Sie 1-2 Ziffern mehr als in den Regeln I-IV empfohlen behalten. Im Endergebnis werden „Ersatzziffern“ mit Rundung der Zahl verworfen.

VI. Wenn einige Quelldaten mehr Dezimalstellen (für Addition und Subtraktion) oder signifikantere Zahlen (für andere Operationen) als andere haben, sollten sie zuerst aufgerundet werden, wobei nur eine "sichere Zahl" beibehalten wird.

VII. Um ein Ergebnis mit N richtigen Ziffern zu erhalten, sollten die Quelldaten mit einer solchen Anzahl von Ziffern genommen werden, die nach den bisherigen Regeln N + 1 Ziffern im Ergebnis liefern.

Beispiel. Lassen Sie uns s = 2,35 + 11,8 finden, ohne Fehler zu berücksichtigen. Wenden wir Regel I an, erhalten wir s=14,15. Das Ergebnis wird auf die Zahl 11,8 mit den wenigsten Nachkommastellen gerundet. Wir bekommen: s \u003d 14.2.

Lassen Sie uns das Problem unter Berücksichtigung der Fehler lösen. Bei der Zahl s=14,15 sollten nur die richtigen Zahlen übrig bleiben. Dazu finden wir den begrenzenden absoluten Fehler der Summe s mit Regel 1. Da alle Zahlen in den Zahlen 2,35 und 11,8 richtig sind, erhalten wir: Δ 14,15 = Δ 2,35 + Δ 11,8 = 0,01 + 0,1 = 0,11< 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.

Probleme werden ähnlich gelöst, wenn andere Operationen mit Näherungszahlen durchgeführt werden.

Staatliche Einrichtung "Sekundarschule Nr. 5 benannt nach. Bauyrzhan Momyshuly"

Bildungsministerium der Akimat von Kostanay

UNTERRICHTSPLAN

Vollständiger Name (vollständig) Plastun Sergey Vladimirovich

Thema Algebra

Klasse 8A-8b-1

Datum 23.09.17

Quellen Almaty "Mektep-2016"

Basisanleitung

weiterführende Literatur

Finden Näherungswerte der Quadratwurzel.

1. Der Zweck der Lektion: den Schülern das Konzept von "AnnäherungQuadratwurzel" und lehren, wie man dieses Konzept in der Praxis anwendet.

Aufgaben:

Lehrreich:

- zu lehren, die ungefähren Werte der Quadratwurzel zu finden;

- Entwicklung von Fähigkeiten zur Vernunft, klare Regeln formulieren, Beispiele geben, ihr Wissen und ihre Fähigkeiten in der Praxis anwenden.

wurzeln, werfen und die Werte der arithmetischen Quadratwurzel finden.

Entwicklung:

- die Fähigkeiten der Schüler zur Lösung von Aufgaben zu diesem Thema zu entwickeln;

- die geistige Aktivität der Schüler zu entwickeln.

Lehrreich:

- Aufmerksamkeit, Aktivität, Verantwortung erziehen.

2. Art des Unterrichts:kombiniert.

3. Formen der Arbeit mit Studierenden: frontal, individuell.

4. Notwendige technische Ausstattung.

5. Sehhilfen, didaktische Materialien, die im Unterricht verwendet werden.

6. Aufbau und Ablauf des Unterrichts.

STRUKTUR UND ABLAUF DES UNTERRICHTS

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Überprüfung der Unterrichtsbereitschaft der Klasse. Grüße.

2. Überprüfung der Hausaufgaben.

3. Wiederholung von zuvor gelerntem Stoff.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Mündliche Arbeit

Erinnern wir uns, was eine Quadratwurzel ist ( Quadratwurzel aus einer nicht negativen Zahl a heißt eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist).

(Arithmetische Quadratwurzel) Eine arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl b, deren Quadrat gleich a ist.

Die arithmetische Quadratwurzel der Zahl a wird wie folgt bezeichnet:. Schild wird das Zeichen der arithmetischen Quadratwurzel oder Radikal genannt und wird der Radikalausdruck genannt. Der Ausdruck lautet wie folgt: "Die arithmetische Quadratwurzel der Zahl a."

Durch die Definition einer arithmetischen Wurzel, Gleichheit
erfolgt unter der Bedingung, dass
.

4. Neues Material lernen.

1. Berechne: 25, 16, 9, 81,

Finden Sie den Wert des Ausdrucks √2

- Was mussten Sie tun?

Was hast du bekommen? (Schüler zeigen ihre Optionen auf)

Was war die Schwierigkeit?

Wird √2 vollständig extrahiert?

Wie werden wir finden?

Welche Möglichkeiten gibt es, Wurzeln zu finden?

Leute, sehen Sie, wir haben es nicht immer mit Zahlen zu tun, die sich leicht als Quadrat einer Zahl darstellen lassen, die vollständig aus der Wurzel gezogen werden

1 METHODE berechne √2 bis auf zwei Nachkommastellen Wir werden wie folgt argumentieren.

Die Zahl √2 ist größer als 1, weil 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то.

1< √2 < 2.

Versuchen wir nun, die Anzahl der Zehntel zu finden.

Dazu quadrieren wir Brüche von eins bis zwei, bis wir eine Zahl größer als zwei erhalten.

Nehmen wir einen Teilungsschritt von 0,1, da wir nach der Anzahl der Zehntel suchen.

Mit anderen Worten, wir quadrieren die Zahlen: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Wir haben eine Zahl größer als zwei, die restlichen Zahlen müssen nicht mehr quadriert werden. Die Zahl 1,4 2 ist kleiner als 2 und 1,5 2 bereits größer als zwei, dann muss die Zahl √2 zum Intervall von 1,4 bis 1,5 gehören. Daher muss die Dezimalschreibweise der Zahl √2 an der zehnten Stelle 4 enthalten. √2=1,4….

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Bereits bei 1,42 erhalten wir, dass ihr Quadrat größer als zwei ist, eine weitere Quadrierung von Zahlen macht keinen Sinn.

Daraus erhalten wir, dass die Zahl √2 zum Intervall von 1,41 bis 1,42 gehören wird (1,41< √2<1,42)

Da wir √2 mit einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen schreiben müssen, können wir die Berechnung bereits abbrechen und nicht fortsetzen.

√2 ≈ 1,41. Dies wird die Antwort sein. Wenn es notwendig wäre, einen noch genaueren Wert zu berechnen, müsste man die Berechnungen fortsetzen und die Argumentationskette immer wieder wiederholen.

Übung

Auf zwei Dezimalstellen rechnen

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Fazit Mit dieser Technik können Sie die Wurzel mit jeder vorgegebenen Genauigkeit extrahieren.

2 METHODE Um den ganzzahligen Teil der Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln, können Sie die Anzahl der durchgeführten Aktionen zählen, indem Sie alle ungeraden Zahlen der Reihe nach subtrahieren, bis der Rest kleiner als die nächste subtrahierte Zahl oder gleich Null ist.

Lassen Sie uns zum Beispiel √16 wie folgt finden:

4 Schritte abgeschlossen, also √16 = 4

Übung. Berechnung

√1 √6