Monotone und streng monotone Sequenzen. Der Satz von Weierstraß über den Grenzwert einer monotonen Folge

Definition 1. Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend (nicht steigend ) wenn überhaupt
die Ungleichheit
.

Definition 2. Konsistenz
genannt zunehmend (nicht abnehmend ) wenn überhaupt
die Ungleichheit
.

Definition 3. Abnehmende, nicht ansteigende, ansteigende und nicht abfallende Sequenzen werden aufgerufen eintönig Sequenzen, abnehmende und zunehmende Sequenzen werden auch genannt streng monoton Sequenzen.

Offensichtlich wird eine nicht-fallende Folge von unten begrenzt, eine nicht-wachsende Folge wird von oben begrenzt. Daher ist jede monotone Folge offensichtlich auf einer Seite beschränkt.

Beispiel 1. Konsistenz
zunehmen, nicht abnehmen
sinkt
nimmt nicht zu
ist eine nichtmonotone Folge.

Für monotone Folgen spielt Folgendes eine wichtige Rolle.

Satz 1. Wenn eine nicht fallende (nicht ansteigende) Folge von oben (von unten) begrenzt wird, dann konvergiert sie.

Nachweisen. Lassen Sie die Sequenz
nimmt nicht ab und ist nach oben begrenzt, d.h.
und viele
von oben begrenzt. Nach Satz 1 von § 2 existiert
. Lassen Sie uns das beweisen
.

Lass uns nehmen
willkürlich. Weil die a die genaue Obergrenze ist, gibt es eine Zahl N so dass
. Da die Folge nicht abnehmend ist, für alle
wir haben, d.h.
, deshalb
für alle
, und das bedeutet das
.

Für eine nicht wachsende Folge, die von unten begrenzt ist, ist der Beweis ähnlich wie ( Die Schüler können diese Aussage zu Hause selbst beweisen). Der Satz ist bewiesen.

Kommentar. Satz 1 kann anders formuliert werden.

Satz 2. Damit eine monotone Folge konvergiert, ist es notwendig und ausreichend, dass sie beschränkt ist.

Hinlänglichkeit wird in Theorem 1 festgestellt, Notwendigkeit - in Theorem 2 von § 5.

Die Monotoniebedingung ist nicht notwendig, damit die Folge konvergiert, da eine konvergente Folge nicht monoton sein muss. Zum Beispiel die Reihenfolge
ist nicht monoton, sondern konvergiert gegen Null.

Folge. Wenn die Reihenfolge
steigt (sinkt) und wird dann von oben (von unten) begrenzt
(
).

Tatsächlich gilt nach Satz 1
(
).

Definition 4. Wenn und
bei
, dann wird die Sequenz aufgerufen Vertragssystem von verschachtelten Segmenten .

Satz 3 (Prinzip der verschachtelten Segmente). Jedes Kontraktionssystem aus verschachtelten Segmenten hat einen einzigen Punkt Mit, die zu allen Segmenten dieses Systems gehört.

Nachweisen. Lassen Sie uns das beweisen Mit existiert. Weil die
, dann
und damit die Reihenfolge
nimmt nicht ab, sondern die Folge
nimmt nicht zu. Dabei
und
begrenzt weil. Dann existieren nach Satz 1
und
, aber seit
, dann
=
. Punkt gefunden Mit gehört zu allen Segmenten des Systems, da nach der Folgerung von Theorem 1
,
, d.h.
für alle Werte n.

Lassen Sie uns nun zeigen, dass der Punkt Mit- der Einzige. Angenommen, es gibt zwei solcher Punkte: Mit und d und lassen Sie für die Bestimmtheit
. Dann der Abschnitt
gehört allen Segmenten an
, d.h.
für alle n, was unmöglich ist, weil
und daher ab einer Zahl
. Der Satz ist bewiesen.

Beachten Sie, dass hier unbedingt geschlossene Intervalle berücksichtigt werden müssen, d. h. Segmente. Betrachten wir ein System von Kontraktionsintervallen, dann ist das Prinzip im Allgemeinen falsch. Zum Beispiel Intervalle
offensichtlich bis zu einem gewissen Punkt zusammenziehen
, aber der Punkt
gehört keinem Intervall dieses Systems an.

Betrachten Sie nun Beispiele konvergenter monotoner Folgen.

1) Zahl e.

Betrachten Sie nun die Reihenfolge
. Wie verhält sie sich? Base

Grad
, deshalb
? Andererseits,
, a
, deshalb
? Oder gibt es keine Begrenzung?

Betrachten Sie zur Beantwortung dieser Fragen die Hilfsfolge
. Beweisen wir, dass sie abnehmend und von unten begrenzt ist. Gleichzeitig werden wir brauchen

Lemma. Wenn ein
, dann für alle natürlichen Werte n wir haben

(Bernoullische Ungleichung).

Nachweisen. Wenden wir die Methode der mathematischen Induktion an.

Wenn ein
, dann
, d.h. die Ungleichung ist wahr.

Nehmen wir an, es stimmt für
und beweisen Sie ihre Gültigkeit für
+1.

Recht
. Lassen Sie uns diese Ungleichung mit multiplizieren
:

Auf diese Weise, . Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion gilt die Bernoulli-Ungleichung also für alle natürlichen Werte n. Das Lemma ist bewiesen.

Zeigen wir, dass die Folge
sinkt. Wir haben

‌‌‌׀Bernoullische Ungleichung׀
, was bedeutet, dass die Sequenz
sinkt.

Die Beschränktheit von unten folgt aus der Ungleichung
‌‌‌׀Bernoullische Ungleichung׀
für alle natürlichen Werte n.

Nach Satz 1 existiert
, was mit dem Buchstaben bezeichnet wird e. Deshalb
.

Nummer e irrational und transzendent, e= 2,718281828… . Es ist bekannt, dass es die Basis natürlicher Logarithmen ist.

Bemerkungen. 1) Die Ungleichung von Bernoulli kann verwendet werden, um dies zu beweisen
bei
. In der Tat, wenn
, dann
. Dann ist nach der Bernoulli-Ungleichung z
. Ab hier bei
wir haben
, also
bei
.

2) Im obigen Beispiel die Basis des Abschlusses gegen 1 tendiert, und der Exponent n- zu , das heißt, es gibt eine Unklarheit der Form . Eine solche Unsicherheit zeigt sich, wie wir gezeigt haben, in der bemerkenswerten Grenze
.

2)
(*)

Beweisen wir, dass diese Folge konvergiert. Dazu zeigen wir, dass sie nach unten beschränkt ist und nicht zunimmt. Dabei verwenden wir die Ungleichung
für alle
, was eine Folge der Ungleichheit ist
.

Wir haben
Siehe Ungleichheit oben
, d.h. die Folge wird von unten durch die Zahl begrenzt
.

Des Weiteren,
weil

, d.h. die Folge ist nicht aufsteigend.

Nach Satz 1 existiert
, die wir bezeichnen X. Übergabe in Gleichheit (*) bis zur Grenze bei
, wir bekommen

, d.h.
, wo
(Wir nehmen das Pluszeichen, da alle Glieder der Folge positiv sind).

Bei der Berechnung wird die Sequenz (*) verwendet
etwa. Pro nimm irgendeine positive Zahl. Lassen Sie uns zum Beispiel finden
. Lassen
. Dann
,. Auf diese Weise,
.

3)
.

Wir haben
. Weil die
bei
, es gibt eine Nummer N, so dass für alle
die Ungleichheit
. Also die Reihenfolge
, ausgehend von einer Zahl N, nimmt ab und wird von unten begrenzt, da
für alle Werte n. Also existiert nach Satz 1
. Weil die
, wir haben
.

So,
.

4)
, rechts - n Wurzeln.

Zeigen wir das mit der Methode der mathematischen Induktion
für alle Werte n. Wir haben
. Lassen
. Dann erhalten wir von hier aus die Aussage durch das Prinzip der mathematischen Induktion. Unter Verwendung dieser Tatsache finden wir, d.h. Folge
zunimmt und von oben begrenzt wird. Daher existiert es, weil
.

Auf diese Weise,
.

Ein Beweis des Satzes von Weierstraß über den Grenzwert einer monotonen Folge wird gegeben. Es werden die Fälle beschränkter und unbeschränkter Folgen betrachtet. Es wird ein Beispiel betrachtet, in dem es notwendig ist, unter Verwendung des Satzes von Weierstraß die Konvergenz einer Folge zu beweisen und ihren Grenzwert zu finden.

Jede monotone beschränkte Folge ( x n ) hat eine endliche Grenze, die gleich der genauen Obergrenze ist, sup ( x n ) für nicht fallende und exakte untere Schranke, inf ( x n ) für eine nicht aufsteigende Folge.
Jede monotone unbegrenzte Folge hat eine unendliche Grenze gleich plus unendlich für eine nicht abnehmende Folge und minus unendlich für eine nicht ansteigende Folge.

Nachweisen

1) nicht fallende beschränkte Folge.

(1.1) .

Da die Folge beschränkt ist, hat sie eine exakte obere Schranke
.
Das bedeutet:

• für alle n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Auch hier haben wir (1.3) verwendet. Zusammen mit (1.2) finden wir:
bei .
Seit damals
,
oder
bei .
Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.

2) Lassen Sie nun die Reihenfolge sein nichtwachsende beschränkte Folge:
(2.1) für alle n.

Da die Folge beschränkt ist, hat sie eine exakte untere Schranke
.
Dies bedeutet Folgendes:

• für alle n gelten die folgenden Ungleichungen:
  (2.2) ;
• für jede positive Zahl gibt es eine von ε abhängige Zahl für die
  (2.3) .

.
Auch hier haben wir (2.3) verwendet. Unter Berücksichtigung von (2.2) finden wir:
bei .
Seit damals
,
oder
bei .
Das bedeutet, dass die Zahl die Grenze der Folge ist.
Der zweite Teil des Satzes ist bewiesen.

Betrachten Sie nun unbeschränkte Folgen.
3) Lassen Sie die Reihenfolge sein unbegrenzte nicht abnehmende Sequenz.

Da die Folge nicht fallend ist, gelten für alle n folgende Ungleichungen:
(3.1) .

Da die Folge nicht fallend und unbeschränkt ist, ist sie auf der rechten Seite unbeschränkt. Dann gibt es für jede Zahl M eine von M abhängige Zahl für die
(3.2) .

Da die Folge nicht fallend ist, gilt für:
.
Auch hier haben wir (3.2) verwendet.

.
Das bedeutet, dass der Grenzwert der Folge plus unendlich ist:
.
Der dritte Teil des Satzes ist bewiesen.

4) Betrachten Sie schließlich den Fall, wann unbegrenzte nicht ansteigende Folge.

Wie oben, da die Folge nicht ansteigend ist
(4.1) für alle n.

Da die Folge nicht wachsend und unbeschränkt ist, ist sie auf der linken Seite unbeschränkt. Dann gibt es für jede Zahl M eine von M abhängige Zahl für die
(4.2) .

Da die Folge nicht wachsend ist, gilt für:
.

Also gibt es für jede Zahl M eine natürliche Zahl, die von M abhängt, sodass die Ungleichungen für alle Zahlen gelten:
.
Das bedeutet, dass der Grenzwert der Folge minus unendlich ist:
.
Der Satz ist bewiesen.

Beispiel Problemlösung

Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von Weierstraß die Konvergenz der Folge:
, , . . . , , . . .
Dann finden Sie seine Grenze.

Stellen wir die Folge in Form wiederkehrender Formeln dar:
,
.

Beweisen wir, dass die gegebene Folge von oben durch den Wert beschränkt ist
(P1) .
Der Beweis wird nach der Methode der mathematischen Induktion geführt.
.
Lassen . Dann
.
Ungleichung (A1) ist bewiesen.

Beweisen wir, dass die Folge monoton wachsend ist.
;
(P2) .
Seit , dann sind der Nenner des Bruchs und der erste Faktor im Zähler positiv. Da die Terme der Folge durch Ungleichung (P1) begrenzt sind, ist auch der zweite Faktor positiv. Deshalb
.
Das heißt, die Sequenz ist strikt aufsteigend.

Da die Folge aufsteigend und von oben begrenzt ist, handelt es sich um eine beschränkte Folge. Daher hat es nach dem Satz von Weierstraß einen Grenzwert.

Lassen Sie uns diese Grenze finden. Bezeichnen wir es mit a:
.
Lass uns was verwenden
.
Wir wenden dies auf (P2) an, indem wir die arithmetischen Eigenschaften der Grenzwerte konvergenter Folgen verwenden:
.
Die Wurzel erfüllt die Bedingung.