Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen. Mathematische Olympiaden und Olympiadenprobleme
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Probleme mit ganzzahligen Unbekannten
Pawlowskaja Nina Michailowna,
Mathematiklehrer MBOU "Sekundarschule Nr. 92
Kemerowo
Algebraische Gleichungen oder algebraische Gleichungssysteme mit ganzzahligen Koeffizienten, die mehr Unbekannte als Gleichungen haben und für die ganzzahlige oder rationale Lösungen gesucht werden Diophantische Gleichungen .
Das Problem der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen ist nur für Gleichungen mit einer Unbekannten, für Gleichungen ersten Grades und für Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten vollständig gelöst. Für Gleichungen über dem zweiten Grad mit zwei oder mehr Unbekannten ist sogar das Problem, die Existenz ganzzahliger Lösungen zu beweisen, schwierig. Darüber hinaus wurde bewiesen, dass es keinen einheitlichen Algorithmus gibt, der es erlaubt, beliebige diophantische Gleichungen in ganzen Zahlen in einer endlichen Anzahl von Schritten zu lösen.
- Die einfachsten diophantischen Gleichungen sind Gleichungen der Form
axt + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0
Wenn ein c = 0 , dann ist die Lösung offensichtlich x = 0, y = 0.
Wenn ein c ≠ 0 , und die Lösung (X 0 ; bei 0 ) , dann eine ganze Zahl
Axt 0 +durch 0 geteilt durch d = (a ; b) , deshalb Mit sollte auch durch einen gemeinsamen Teiler teilbar sein A und B .
Zum Beispiel: 3x + 6y = 5 hat keine ganzzahligen Lösungen, da (3; 6) = 3 und c = 5 nicht ohne Rest durch 3 teilbar ist.
- Wenn die Gleichung axt + by = c hat eine Lösung (X 0 ; bei 0 ) , und (a ; b) = 1 , dann sind alle Lösungen der Gleichung durch die Formeln gegeben x = x 0 + Mrd.; y = y 0 - ein, wobei n eine beliebige ganzzahlige Lösung ist.
Zum Beispiel: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1, also hat die Gleichung unendlich viele Lösungen, X 0 =1; bei 0 =2
Der große (große) Satz von Fermat besagt: die Gleichung der Form hat keine Lösungen in natürlichen Zahlen.
Dieser Satz wurde vor mehr als 300 Jahren vom italienischen Mathematiker Pierre Fermat formuliert und erst 1993 bewiesen.
Faktorisierungsmethode .
1) Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen
x + y = xy.
Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form
(x - 1)(y - 1) = 1.
Das Produkt zweier ganzer Zahlen kann nur dann gleich 1 sein, wenn beide gleich 1 sind. Das heißt, die ursprüngliche Gleichung ist äquivalent zur Menge
mit Lösungen (0,0) und (2,2).
2. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
3x² + 4xy - 7y² = 13.
Lösung: 3x² - 3xy + 7xy - 7y² \u003d 13,
3x(x - y) + 7y(x - y) = 13,
(x - y) (3x + 7y) \u003d 13.
Da 13 ganzzahlige Teiler ±1 und ±13 hat,
1. x - y \u003d 1, 7x - 7y \u003d 7, x \u003d 2,
3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; womit y = 1
2. x - y \u003d 13, 7x - 7y \u003d 91, x \u003d 9,2,
3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; woher y \u003d - 3,8.
3 . x - y \u003d -1, 7x - 7y \u003d -7, x \u003d -2,
3x + 7y \u003d -13; 3x + 7y = -13; womit y = -1.
4. x - y \u003d -13, 7x - 7y \u003d -91, x \u003d -9,2,
3x + 7y \u003d -1; 3x + 7y \u003d -1; womit y = 3,8.
Daher hat die Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen: (2;1) und (-2;-1)
3 . Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
9x² + 4x - xy + 3y \u003d 88.
Lösung: 9x² + 4x - 88 \u003d xy - 3y,
9x² + 4x - 88 \u003d y (x - 3)
da 5 ganzzahlige Teiler ± 1 und ± 5 hat, dann
Viele Wege führen vom Waldrand ins Dickicht. Sie sind gewunden, sie konvergieren, divergieren immer wieder und kreuzen sich wieder. Bei einem Spaziergang können Sie die Fülle dieser Wege nur wahrnehmen, einige von ihnen entlanggehen und ihre Richtung tief in den Wald hinein verfolgen. Für ein ernsthaftes Studium des Waldes müssen Sie den Pfaden folgen, während sie im Allgemeinen zwischen den trockenen Nadeln und Sträuchern zu unterscheiden sind.
Daher wollte ich ein Projekt schreiben, das als Beschreibung eines der möglichen Grenzgänge der modernen Mathematik betrachtet werden kann.
Die Umwelt, die Bedürfnisse der Volkswirtschaft und oft auch die alltäglichen Aufgaben stellen den Menschen vor immer neue Aufgaben, deren Lösung nicht immer offensichtlich ist. Manchmal hat diese oder jene Frage unter sich eine Menge der Varianten der Antwort, wegen dessen es die Schwierigkeiten bei der Lösung der Aufgaben gibt. Wie wählt man die richtige und optimale Option aus?
Die Lösung unbestimmter Gleichungen steht in direktem Zusammenhang mit derselben Frage. Solche Gleichungen, die zwei oder mehr Variablen enthalten, für die alle ganzzahligen oder natürlichen Lösungen gefunden werden müssen, wurden in der Antike betrachtet. Zum Beispiel der griechische Mathematiker Pythagoras (4. Jahrhundert v. Chr.). der alexandrinische Mathematiker Diophantus (II-III Jahrhundert n. Chr.) Und die besten Mathematiker der uns näher stehenden Zeit - P. Fermat (XVII Jahrhundert), L. Euler (XVIII Jahrhundert), J. L. Lagrange (XVIII Jahrhundert) und andere.
Bei der Teilnahme am Russischen Fernwettbewerb > Obninsk, dem Internationalen Wettbewerb - Spiel > und der Olympiade des Föderationskreises Ural stoße ich oft auf solche Probleme. Dies liegt daran, dass ihre Lösung kreativ ist. Die Probleme, die beim Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen auftreten, werden sowohl durch die Komplexität als auch dadurch verursacht, dass ihnen in der Schule wenig Zeit gewidmet wird.
Diophantus präsentiert eines der schwierigsten Rätsel der Wissenschaftsgeschichte. Wir kennen weder die Zeit, in der er gelebt hat, noch die Vorgänger, die auf demselben Gebiet gearbeitet haben. Seine Werke sind wie ein funkelndes Feuer inmitten undurchdringlicher Dunkelheit.
Die Zeitspanne, in der Diophantus leben konnte, beträgt ein halbes Jahrtausend! Die untere Grenze ist leicht zu bestimmen: Diophantus erwähnt in seinem Buch über Polygonzahlen immer wieder den Mathematiker Hypsicles von Alexandria, der in der Mitte des 2. Jahrhunderts v. Chr. lebte. BC e.
Andererseits gibt es in den Kommentaren von Theon von Alexandria zu > dem berühmten Astronomen Ptolemäus einen Auszug aus dem Werk von Diophantus. Theon lebte in der Mitte des 4. Jahrhunderts. n. e. Dies definiert die obere Grenze dieses Intervalls. Also 500 Jahre!
Der französische Wissenschaftshistoriker Paul Tannry, Herausgeber des umfassendsten Diophantus-Textes, hat versucht, diese Lücke zu schließen. In der Escurial-Bibliothek fand er Auszüge aus einem Brief von Michael Psellos, einem byzantinischen Gelehrten des 11. Jahrhunderts. , der besagt, dass der gelehrteste Anatoly, nachdem er die wesentlichsten Teile dieser Wissenschaft gesammelt hat, es um die Einführung der Grade des Unbekannten und um sie (Bezeichnung) geht, widmete sie seinem Freund Diophantus. Anatoly von Alexandria wirklich zusammengestellt >, von denen Auszüge in den uns überlieferten Werken von Iamblich und Yevseny gegeben sind. Aber Anatoly lebte Mitte des 111. Jahrhunderts v. Chr. In Alexandria. BC und noch genauer - bis 270, als er Bischof von Laodacia wurde. Das bedeutet, dass seine Freundschaft mit Diophantus, den alle den Alexandriner nennen, vorher stattgefunden haben muss. Wenn also der berühmte alexandrinische Mathematiker und ein Freund von Anatoly namens Diophantus eine Person sind, dann ist die Lebenszeit von Diophantus die Mitte des 111. Jahrhunderts n. Chr.
Aber der Wohnort von Diophantus ist bekannt - Alexandria, das Zentrum des wissenschaftlichen Denkens und der hellenistischen Welt.
Eines der Epigramme der Pfälzischen Anthologie ist bis in unsere Zeit erhalten geblieben:
Das Grab ruht die Asche von Diophantus: bestaunen Sie sie - und einen Stein
Das Alter des Verstorbenen wird es ihm mit weiser Kunst sagen.
Durch den Willen der Götter lebte er ein Sechstel seines Lebens als Kind
Und er traf die Hälfte des sechsten mit Flusen auf seinen Wangen.
Erst der siebte verging, er verlobte sich mit seiner Freundin.
Nachdem er fünf Jahre mit ihr verbracht hatte, wartete der Weise auf seinen Sohn.
Sein geliebter Sohn lebte nur die Hälfte des Lebens seines Vaters.
Er wurde seinem Vater durch sein frühes Grab genommen.
Zweimal zwei Jahre trauerten die Eltern dem schweren Kummer nach.
Hier sah ich die Grenze meines traurigen Lebens.
Mit modernen Methoden zum Lösen von Gleichungen können Sie berechnen, wie viele Jahre Diophantus gelebt hat.
Lass Diophantus x Jahre leben. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
Multiplizieren Sie die Gleichung mit 84, um die Brüche loszuwerden:
So lebte Diophantus 84 Jahre.
Am mysteriösesten ist das Werk von Diophantus. Von den dreizehn Büchern, die zu > zusammengefasst wurden, sind uns sechs überliefert, die sich in Stil und Inhalt stark von den klassischen antiken Werken zur Zahlentheorie und Algebra unterscheiden, deren Beispiele wir von > Euklid, seinen >, Lemmata kennen aus den Schriften von Archimedes und Apollonius. > war zweifellos das Ergebnis zahlreicher Studien, die völlig unbekannt blieben.
Wir können nur über seine Wurzeln spekulieren und über den Reichtum und die Schönheit seiner Methoden und Ergebnisse staunen.
> Diophantus ist eine Sammlung von Aufgaben (insgesamt 189), von denen jede mit einer Lösung versehen ist. Die darin enthaltenen Aufgaben sind sorgfältig ausgewählt und dienen der Veranschaulichung klar definierter, streng durchdachter Methoden. Wie in der Antike üblich, werden Methoden nicht pauschal formuliert, sondern zur Lösung gleichartiger Probleme wiederholt.
Authentisch bekannt ist eine eigentümliche Biographie des Diophantus, die der Legende nach auf seinem Grabstein eingemeißelt war und eine Rätselaufgabe darstellte:
Dieses Rätsel ist ein Beispiel für die Probleme, die Diophantus gelöst hat. Er spezialisierte sich auf das Lösen von Problemen mit ganzen Zahlen. Solche Probleme sind heute als diophantische Probleme bekannt.
Das Studium diophantischer Gleichungen ist meist mit großen Schwierigkeiten verbunden.
Im Jahr 1900 wählte einer der größten Mathematiker der Welt, David Hilbert, auf dem Weltkongress der Mathematiker in Paris 23 Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mathematik aus. Eines dieser Probleme war das Problem der Lösung diophantischer Gleichungen. Das Problem war folgendes: Ist es möglich, eine Gleichung mit einer beliebigen Anzahl von Unbekannten und ganzzahligen Koeffizienten auf eine bestimmte Weise zu lösen - unter Verwendung eines Algorithmus. Die Aufgabe lautet wie folgt: Für eine bestimmte Gleichung müssen Sie alle ganzzahligen oder natürlichen Werte der in der Gleichung enthaltenen Variablen finden, unter denen sie zu einer echten Gleichheit wird. Diophantus fand viele verschiedene Lösungen für solche Gleichungen. Angesichts der unendlichen Vielfalt diophantischer Gleichungen gibt es keinen allgemeinen Algorithmus zu ihrer Lösung, und für fast jede Gleichung muss man eine eigene Technik erfinden.
Eine diophantische Gleichung 1. Grades oder eine lineare diophantische Gleichung mit zwei Unbekannten ist eine Gleichung der Form: ax+by=c, wobei a,b,c ganze Zahlen sind, ggT(a,b)=1.
Ich werde die Formulierungen von Sätzen geben, auf deren Grundlage ein Algorithmus zum Lösen unbestimmter Gleichungen ersten Grades in zwei Variablen in ganzen Zahlen zusammengestellt werden kann.
Satz 1. Wenn in einer Gleichung, dann hat die Gleichung mindestens eine Lösung.
Nachweisen:
Wir können annehmen, dass a > 0 ist. Nachdem wir die Gleichung für x gelöst haben, erhalten wir: x = c-voa. Ich werde das beweisen, wenn wir in dieser Formel anstelle von y alle natürlichen Zahlen kleiner als a und 0 einsetzen, also die Zahlen 0; 1; 2; 3;. ;a-1, und jedes Mal, wenn Sie eine Division durchführen, werden alle a-Reste anders sein. In der Tat werde ich y durch die Zahlen m1 und m2 ersetzen, die kleiner als a sind. Als Ergebnis erhalte ich zwei Brüche: c-vm1a und c-vm2a. Nachdem ich die Division durchgeführt und die partiellen Quotienten durch q1 und q2 und die Reste durch r1 und r2 bezeichnet habe, werde ich c-vm1a = q1 + r1a, c-vm2a = q2 + r2a finden.
Ich gehe davon aus, dass die Reste von r1 und r2 gleich sind. Wenn ich dann die zweite Gleichheit von der ersten subtrahiere, erhalte ich: c-vm1a-c-vm2a= q1-q2 oder v(m1 - m2)a=q1-q2.
Da q1-q2 eine ganze Zahl ist, muss die linke Seite auch eine ganze Zahl sein. Daher muss in m1 - m2 durch a teilbar sein, d.h. die Differenz zweier natürlicher Zahlen, die jeweils kleiner als a sind, muss durch a teilbar sein, was unmöglich ist. Daher sind die Reste r1 und r2 gleich. Das heißt, alle Reste sind verschieden.
Dass. Ich erhielt a von verschiedenen Rückständen, kleiner als a. Aber verschiedene a von natürlichen Zahlen, die a nicht überschreiten, sind Zahlen, 0;1;2;3;. ;a-1. Daher wird es unter den Resten sicherlich einen und nur einen geben, der gleich Null ist. Der Wert von y, dessen Substitution im Ausdruck (c-woo)a den Rest 0 ergibt und x=(c-woo)a in eine ganze Zahl umwandelt. Q.E.D.
Satz 2. Wenn in der Gleichung und c nicht teilbar ist, dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.
Nachweisen:
Sei d=gcd(a;c), so dass a=md, b=nd, wobei m und n ganze Zahlen sind. Dann nimmt die Gleichung die Form an: mdх+ ndу=с, oder d(mх+ nу)=с.
Unter der Annahme, dass es ganze Zahlen x und y gibt, die die Gleichung erfüllen, erhalte ich, dass der Koeffizient c durch d teilbar ist. Der resultierende Widerspruch beweist den Satz.
Satz 3. Wenn in der Gleichung, und, dann ist es äquivalent zu der Gleichung, in der.
Satz 4. Wenn in der Gleichung, dann sind alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung in den Formeln enthalten:
wobei x0, y0 eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist, jede ganze Zahl ist.
Die formulierten Theoreme ermöglichen es uns, den folgenden Algorithmus zum Lösen von Gleichungen der Form in ganzen Zahlen zu erstellen.
1. Finde den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b, wenn und c nicht teilbar ist, dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen; wenn und dann
2. Teilen Sie die Gleichung Term für Term in und erhalten Sie so eine Gleichung, in der.
3. Finden Sie eine ganzzahlige Lösung (x0, y0) der Gleichung, indem Sie 1 als eine lineare Kombination von Zahlen und darstellen;
4. Erstellen Sie eine allgemeine Formel für ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung, wobei x0, y0 - eine ganzzahlige Lösung der Gleichung, - eine beliebige ganze Zahl.
2. 1 ABSTIEGSMETHODE
Viele > basieren auf Methoden zur Lösung unbestimmter Gleichungen. Trick zum Beispiel mit dem Erraten des Geburtsdatums.
Bitten Sie Ihren Freund, seinen Geburtstag anhand der Zahlensumme zu erraten, die dem Produkt aus seinem Geburtsdatum mal 12 und der Zahl des Geburtsmonats mal 31 entspricht.
Um den Geburtstag Ihres Freundes zu erraten, müssen Sie die folgende Gleichung lösen: 12x + 31y = A.
Lassen Sie sich die Zahl 380 nennen, d.h. wir haben die Gleichung 12x + 31y = 380. Um x und y zu finden, können wir wie folgt argumentieren: Die Zahl 12x + 24y ist durch 12 teilbar, also entsprechend der Teilbarkeit Eigenschaften (Satz 4.4), müssen die Zahlen 7y und 380 denselben Rest haben, wenn sie durch 12 geteilt werden. Die Zahl 380, wenn sie durch 12 geteilt wird, ergibt einen Rest von 8, also muss 7y, wenn sie durch 12 geteilt wird, auch einen Rest von 8 ergeben, und da y die Zahl des Monats ist, dann 1
Die Gleichung, die wir gelöst haben, ist eine diophantische Gleichung 1. Grades mit zwei Unbekannten. Um solche Gleichungen zu lösen, kann die sogenannte Abstiegsmethode verwendet werden. Ich werde den Algorithmus dieser Methode anhand einer bestimmten Gleichung 5x + 8y = 39 betrachten.
1. Ich wähle die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten (in unserem Fall ist dies x) und drücke sie durch eine andere Unbekannte aus:. Ich greife den ganzen Teil heraus: Offensichtlich ist x ganzzahlig, wenn der Ausdruck ganzzahlig ist, was wiederum der Fall ist, wenn die Zahl 4 - 3y ohne Rest durch 5 teilbar ist.
2. Ich werde eine zusätzliche ganzzahlige Variable z wie folgt einführen: 4 - 3y = 5z. Als Ergebnis erhalte ich eine Gleichung vom gleichen Typ wie die ursprüngliche, jedoch mit kleineren Koeffizienten. Ich werde es in Bezug auf die Variable y: lösen. Wenn ich den ganzzahligen Teil auswähle, bekomme ich:
Ähnlich argumentierend wie im vorigen führe ich eine neue Variable u ein: 3u = 1 - 2z.
3. Drücken Sie die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten aus, in diesem Fall die Variable z: =. Wenn ich fordere, dass es eine ganze Zahl ist, bekomme ich: 1 - u = 2v, woher u = 1 - 2v. Es gibt keine Schüsse mehr, der Abstieg ist vorbei.
4. Jetzt brauchen Sie >. Drücken Sie durch die Variable v zuerst z, dann y und dann x aus: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.
5. Die Formeln x = 3+8v und y = 3 - 5v, wobei v eine beliebige ganze Zahl ist, stellen die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung in ganzen Zahlen dar.
Kommentar. Daher beinhaltet die Abstiegsmethode zuerst den sequentiellen Ausdruck einer Variablen durch eine andere, bis keine Brüche mehr in der Darstellung der Variablen übrig sind, und dann sequentiell > entlang der Kette von Gleichheiten, um eine allgemeine Lösung der Gleichung zu erhalten.
2. 2 EINGABEMETHODE
Kaninchen und Fasane sitzen in einem Käfig, sie haben insgesamt 18 Beine. Finden Sie heraus, wie viele davon und andere in der Zelle sind?
Ich werde eine Gleichung mit zwei Unbekannten schreiben, in der x die Anzahl der Kaninchen und y die Anzahl der Fasane ist:
4x + 2y = 18 oder 2x + y = 9.
Antworten. 1) 1 Kaninchen und 7 Fasane; 2) 2 Kaninchen und 5 Fasane; 3) 3 Kaninchen und 3 Fasane; 4) 4 Kaninchen und 1 Fasan.
1. PRAKTISCHER TEIL
3. 1 Lösung linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten
1. Lösen Sie die Gleichung 407x - 2816y = 33 in ganzen Zahlen.
Ich werde den entwickelten Algorithmus verwenden.
1. Mit dem Euklid-Algorithmus finde ich den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 407 und 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Daher ist (407,2816) = 11, und 33 ist durch 11 teilbar.
2. Ich teile beide Teile der ursprünglichen Gleichung durch 11, wir erhalten die Gleichung 37x - 256y = 3 und (37, 256) = 1
3. Unter Verwendung des euklidischen Algorithmus finde ich eine lineare Darstellung der Zahl 1 durch die Zahlen 37 und 256.
256 = 37 6 + 34;
Ich werde 1 von der letzten Gleichheit ausdrücken, dann nacheinander die Gleichheiten hochgehen, die ich 3 ausdrücken werde; 34 und ersetzen Sie die resultierenden Ausdrücke im Ausdruck für 1.
1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =
83 37 - 256 (- 12)
Somit ist 37 (- 83) - 256 (- 12) \u003d 1, daher ist das Zahlenpaar x0 \u003d - 83 und y0 \u003d - 12 die Lösung der Gleichung 37x - 256y \u003d 3.
4. Ich schreibe die allgemeine Formel für Lösungen der ursprünglichen Gleichung auf, wobei t eine beliebige ganze Zahl ist.
Antworten. (-83c + bt; -12c-at), t є Z.
Kommentar. Es kann bewiesen werden, dass, wenn das Paar (x1,y1) eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist, wobei alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung durch die Formeln gefunden werden: x=x1+bty=y1-at
2. Lösen Sie die Gleichung 14x - 33y=32 in ganzen Zahlen.
Lösung: x = (32 + 33y) : 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ]2J + 5J + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y+2=p; p z
Suche von 1 bis 13
Für y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Setzen Sie in die ursprüngliche Gleichung y = 2 ein
14x = 32 +33[. ]2
14x = 32 + 66x = 98: 14 = 7
Ich werde alle ganzzahligen Lösungen für den gefundenen Quotienten finden:
14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x - 7) - 33(y - 2) = 0
14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7): 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k = Z
Ersetzen Sie in der ursprünglichen Gleichung:
14(33k + 7) - 33y = 32
14. 33k + 98 - 33y = 32y = 14k + 2; x = 33k + 7, wobei k є Z. Diese Formeln definieren die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung.
Antworten. (33k + 7; 14k + 2), k = Z.
3. Lösen Sie die Gleichung x - 3y = 15 in ganzen Zahlen.
Finde ggT(1,3)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x=(15+3y):1 mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert y=0 dann x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) ist eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z bei k=0 erhalte ich eine bestimmte Lösung (15;0)
Antwort: (3k+15; k), k є Z.
4. Lösen Sie die Gleichung 7x - y = 3 in ganzen Zahlen.
Finden Sie ggT(7; -1)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (3+y):7
Unter Verwendung der Aufzählungsmethode finden wir den Wert y є y = 4, x = 1
Daher ist (1;4) eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z
Antwort: (k+1;7k+4); k = Z.
5. Lösen Sie die Gleichung 15x+11 y = 14 ganze Zahlen.
Finden Sie ggT(15; -14)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (14 - 11y):15
Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert von y є y \u003d 4, x \u003d -2
(-2;4) - besondere Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z
Antwort: (-11k-2; 15k+4); k = Z.
6. Lösen Sie die Gleichung 3x - 2y = 12 ganze Zahlen.
Finden Sie ggT(3; 2)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (12+2y):3
Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert von y є y \u003d 0, x \u003d 4
(4;0) ist eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z
Antwort: (2k+4; 3k); k = Z.
7. Löse die Gleichung xy = x + y ganzzahlig.
Ich habe xy - x - y + 1 = 1 oder (x - 1)(y - 1) = 1
Daher x - 1 = 1, y - 1 = 1, womit x = 2, y = 2 oder x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, womit x = 0, y = 0 andere Lösungen in ganzen Zahlen gegebener Gleichung nicht.
Antworten. 0;0;(2;2).
8. Lösen Sie die Gleichung 60x - 77y \u003d 1 in ganzen Zahlen.
Lassen Sie mich diese Gleichung nach x auflösen: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y + 1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.
Sei (17y + 1) / 60 = z, dann y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Wenn wir (9z - 1) / 17 mit t bezeichnen, dann ist z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Schließlich sei (- t + 1) / 9 = n, dann t = 1- 9n. Da ich nur ganzzahlige Lösungen der Gleichung finde, müssen z, t, n ganze Zahlen sein.
Also z \u003d 2 - 18n + 2 \u003d 2 - 17n und daher y \u003d 6 - 51n + 1 - 9n \u003d 7 - 60n, x \u003d 2 - 17n + 7 - 60n \u003d 9 - 77n. Wenn also x und y ganzzahlige Lösungen dieser Gleichung sind, dann gibt es eine ganze Zahl n mit x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Umgekehrt, wenn y \u003d 9 - 77n, x \u003d 7 - 60n, dann sind x, y offensichtlich ganze Zahlen. Die Überprüfung zeigt, dass sie die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
Antworten. (9 - 77n; 7 - 60n)); n = Z.
9. Lösen Sie die Gleichung 2x+11y =24 in ganzen Zahlen.
Finden Sie ggT(2; 11)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (24-11y):2
Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert von y є y \u003d 0, x \u003d 12
(12;0) ist eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z
Antwort:(-11k+12; 2k); k = Z.
10. Lösen Sie die Gleichung 19x - 7y = 100 in ganzen Zahlen.
Finden Sie ggT(19; -7)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (100+7y):19
Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert von y є y \u003d 2, x \u003d 6
(6;2) ist eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z
Antwort:(7k+6; 19k+2); Ke Z.
11. Lösen Sie die Gleichung 24x - 6y = 144 in ganzen Zahlen
Finden Sie ggT(24; 6)=3.
Die Gleichung hat keine Lösungen, weil ggT(24; 6)!=1.
Antworten. Es gibt keine Lösungen.
12. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen.
Ich werde das Verhältnis der Koeffizienten für Unbekannte transformieren.
Zunächst werde ich den ganzzahligen Teil des unechten Bruchs hervorheben;
Ersetze einen echten Bruch durch einen gleichen Bruch.
Dann hole ich es mir.
Ich werde die gleichen Transformationen mit dem im Nenner erhaltenen falschen Bruch durchführen.
Jetzt nimmt der ursprüngliche Bruch die Form an:
Wenn ich die gleiche Argumentation für den Bruch wiederhole, verstehe ich.
Wenn ich den ganzzahligen Teil des unechten Bruchs auswähle, komme ich zum Endergebnis:
Ich bekam einen Ausdruck, der als letzter fortgesetzter oder fortgesetzter Bruch bezeichnet wird. Nachdem ich das letzte Glied dieses fortgesetzten Bruchs - ein Fünftel - verworfen habe, werde ich den resultierenden neuen fortgesetzten Bruch in einen einfachen umwandeln und ihn vom ursprünglichen Bruch subtrahieren.
Ich werde den resultierenden Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen und ihn dann verwerfen
Aus einem Vergleich der resultierenden Gleichheit mit der Gleichung folgt, dass eine Lösung dieser Gleichung sein wird und alle ihre Lösungen gemäß dem Satz in enthalten sein werden.
Antworten. (9+52t; 22+127t), t є Z.
Das erhaltene Ergebnis legt nahe, dass es im allgemeinen Fall erforderlich ist, um eine Lösung der Gleichung zu finden, das Verhältnis der Koeffizienten der Unbekannten in einen fortgesetzten Bruch zu erweitern, sein letztes Glied zu verwerfen und ähnliche Berechnungen wie die durchgeführten durchzuführen oben raus.
13. Lösen Sie die Gleichung 3xy + 2x + 3y = 0 in ganzen Zahlen.
3xy + 2x + 3y = 3xy + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =
\u003d (x + 1) (3y + 2) - 2,
(x + 1)(3y + 2) = 2,
3y + 2 = 1 oder 3y + 1 = 2 oder 3y + 1 = -1 oder 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 = 1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 oder x = 0 oder x = -3 oder x = -2 y Cent z, y = 0, y = -1, y Cent z.
Antwort: (0;0);(-3;-1).
14. Lösen Sie die Gleichung y - x - xy \u003d 2 in ganzen Zahlen.
Lösung: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1) (1 - x) = 3,
3 = 1 3 = 3 1 = (-1) (-3) = (-3) (-1).
y + 1 = 1 oder y + 1 = 3 oder y + 1 = -1 oder y + 1 = -3
1 - x \u003d 3, 1 - x \u003d 1, 1 - x \u003d -3, 1 - x \u003d -1.
y = 0 oder y = 2 oder y = -2 oder y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2
Antwort: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Lösen Sie die Gleichung y + 4x + 2xy = 0 in ganzen Zahlen.
Lösung: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2x + 1= 1 oder 2x + 1= 2 oder 2x + 1= -1 oder 2x + 1= -2
2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = –2, 2 + y = –1; y = 0 oder y = -1 oder y = -4 oder y = -3 x = 0, x Cent Z, x = -1, x Cent Z.
Antwort: (-1;-4);(0;0).
16. Lösen Sie die Gleichung 5x + 10y = 21 in ganzen Zahlen.
5(x + 2y) = 21, denn 21 != 5n, dann gibt es keine Wurzeln.
Antworten. Es gibt keine Wurzeln.
17. Lösen Sie die Gleichung 3x + 9y = 51 in natürlichen Zahlen.
3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y=2, x=11; y=3, x=8; y=4, x=5; y=5, x=2; y = 6, x = -1, -1 Cent N.
Antwort:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14;1).
18. Lösen Sie die Gleichung 7x + 5y \u003d 232 in ganzen Zahlen.
Ich werde diese Gleichung in Bezug auf die der Unbekannten lösen, bei der der kleinste (Modulo-) Koeffizient gefunden wird, d. H. In diesem Fall relativ zu y: y \u003d 232-7x5.
Ich werde in diesem Ausdruck anstelle von x Zahlen einsetzen: 0; 1; 2; 3; 4. Ich bekomme: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43,6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8
Antworten. (1;45).
19. Lösen Sie die Gleichung 3x + 4y + 5xy = 6 in ganzen Zahlen.
Ich habe 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
Teiler 42: - + - (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 Ich finde, dass mit m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 die Lösungen sein werden: x = -1, - 2, 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.
Diese Gleichung hat also 4 Lösungen in ganzen Zahlen und keine in natürlichen Zahlen.
Antworten. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Lösen Sie die Gleichung 8x + 65y = 81 in natürlichen Zahlen.
81⋮GCD(8;65)=>
8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.
Sei 1-y8=t, t ´ Z. x=2+65t>0y=1-8t>0
65t>-2-8t>-1 t>-265t t=0.
Bei t=0 x=2y=1
Antworten. (2;1).
21. Finde ganzzahlige nicht negative Lösungen der Gleichung 3x+7y=250.
250⋮gcd(3;7) => die Gleichung kann ganzzahlig gelöst werden.
x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.
Sei 1-y3=t, t ´ Z.
x=81+7t>=0y=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
x=81+7ty=1-3t t=-11 x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1
Antworten. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Lösen Sie die Gleichung xy+x+y3=1988 in ganzen Zahlen.
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 3. Wir erhalten:
3x+3xy+y=5964
3x+3xy+y+1=5965
(3x+1)+(3yx+y)=5965
(3x+1) + y(3x+1)=5965
(3x+1)(y+1)=5965
5965=1∙5965 oder 5965=5965∙1 oder 5965=-1∙(-5965) oder 5965=-5965∙(-1) oder 5965=5∙1193 oder 5965=1193∙1 oder 5965=-5∙( -1193) oder 5965=-1193∙(-5)
1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0
3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 Lösungen in ganzen Zahlen nein Lösungen in ganzen Zahlen nein
5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 Lösungen in ganzen Zahlen nein Lösungen in ganzen Zahlen nein
7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6
Antworten. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3.2 PROBLEMLÖSUNG
Es gibt verschiedene Arten von Problemen, meistens handelt es sich um Probleme mit olympischem Charakter, die auf die Lösung diophantischer Gleichungen reduziert werden. Zum Beispiel: a) Aufgaben zum Wechseln eines Geldbetrags einer bestimmten Stückelung.
b) Aufgaben zur Transfusion, zum Teilen von Gegenständen.
1. Kaufte 390 Buntstifte in Schachteln mit 7 und 12 Stiften. Wie viele dieser Kisten hast du gekauft?
Ich bezeichne: x Schachteln mit 7 Stiften, y Schachteln mit 12 Stiften.
Ich mache die Gleichung: 7x + 12y = 390
Finden Sie ggT(7; 12)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (390 - 12y):7
Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert von y є y \u003d 1, x \u003d 54
(54;1) ist eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z
Ich habe viele Lösungen für die Gleichung gefunden. Angesichts der Bedingungen des Problems werde ich die mögliche Anzahl dieser und anderer Boxen bestimmen.
Antworten. Sie können kaufen: 54 Schachteln mit 7 Stiften und 1 Schachtel mit 12 Stiften oder 42 Schachteln mit 7 Stiften und 8 Schachteln mit 12 Stiften oder 30 Schachteln mit 7 Stiften und 15 Schachteln mit 12 Stiften oder 28 Schachteln mit 7 Stiften und 22 Schachteln mit 12 Stiften oder 6 Schachteln mit 7 Stiften und 29 Schachteln mit 12 Stiften.
2. Ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks ist 7 cm länger als das andere und der Umfang des Dreiecks beträgt 30 cm. Finden Sie alle Seiten des Dreiecks.
Ich bezeichne: x cm - ein Bein, (x + 7) cm - das andere Bein, y cm - Hypotenuse
Stelle die diophantische Gleichung auf und löse sie: x+(x+7)+y=30
Finden Sie ggT(2; 1)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (23 - y):2
Mit der Iterationsmethode finde ich den Wert y =1 y = 1, x = 11
(11;1) ist eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen der Gleichung werden durch die Formeln gefunden: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k
Wenn man bedenkt, dass jede Seite eines Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten, schließen wir daraus, dass es drei Dreiecke mit den Seiten 7, 9 und 14 gibt; 6, 11 und 13; 5, 13 und 12. Durch die Bedingung des Problems ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Dies ist ein Dreieck mit den Seiten 5, 13 und 12 (Satz des Pythagoras gilt).
Antwort: Ein Bein ist 5 cm lang, das andere 12 cm, die Hypotenuse ist 13 cm lang.
3. Mehrere Kinder pflückten Äpfel. Jeder Junge sammelte 21 kg und das Mädchen 15 kg. Insgesamt sammelten sie 174 kg. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen haben Äpfel gepflückt?
Die Jungen seien x und die Mädchen y, wobei x und y natürliche Zahlen sind. Ich stelle eine Gleichung auf:
Ich löse nach der Auswahlmethode: x
6 Nur wenn x = 4 ist, erhält die zweite Unbekannte einen positiven ganzzahligen Wert (y = 6). Für jeden anderen Wert von x ist die Zahl y entweder gebrochen oder negativ. Daher hat das Problem eine eindeutige Lösung.
Antworten. 4 Jungen und 6 Mädchen.
4. Ist es möglich, einen Satz Bleistifte im Wert von 3 Rubel und Kugelschreiber im Wert von 6 Rubel im Wert von 20 Rubel zu bilden?
Die Anzahl der Stifte im Satz sei x und die Anzahl der Stifte y.
Ich stelle eine Gleichung auf:
Für alle ganzen Zahlen x und y muss die linke Seite der Gleichung durch 3 teilbar sein; die rechte Seite ist nicht durch 3 teilbar. Das bedeutet, dass es keine solchen ganzen Zahlen x und y gibt, die unsere Gleichung erfüllen würden. Diese Gleichung ist in ganzen Zahlen unlösbar. Es ist unmöglich, eine solche Menge zu bilden.
Antworten. Es gibt keine Lösungen.
5. Finden Sie eine natürliche Zahl, die, wenn sie durch 3 geteilt wird, einen Rest von 2 ergibt, und wenn sie durch 5 geteilt wird, einen Rest von 3 ergibt.
Ich bezeichne die gewünschte Zahl mit x. Wenn ich den Quotienten der Division von x durch 3 durch y und den Quotienten der Division durch 5 durch z bezeichne, dann erhalte ich: x=3y+2x=5z+3
Dem Sinn der Aufgabe entsprechend müssen x, y und z natürliche Zahlen sein. Sie müssen also ein unbestimmtes Gleichungssystem in ganzen Zahlen lösen.
Für alle ganzen Zahlen y und z ist x auch eine ganze Zahl. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten Gleichung und erhalte:
5z - 3y + 1 = 0.
Nachdem ich alle positiven ganzen Zahlen y und z gefunden habe, bekomme ich sofort alle positiven ganzzahligen Werte von x.
Aus dieser Gleichung finde ich:
Eine Lösung liegt auf der Hand: Für z = 1 erhalten wir y = 2, und x und y sind ganze Zahlen. Sie entsprechen der Lösung x = 8.
Ich werde andere Lösungen finden. Dazu führe ich eine Hilfsunbekannte u ein und setze z = 1 + u. Ich werde erhalten:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, also 5u = 3y - 6 oder 5u = 3(y - 2).
Die rechte Seite der letzten Gleichung für jede ganze Zahl y ist durch 3 teilbar. Daher muss die linke Seite auch durch 3 teilbar sein. Aber die Zahl 5 ist teilerfremd mit der Zahl 3; also muss u durch 3 teilbar sein, d.h. es muss die Form 3n haben, wobei n eine ganze Zahl ist. In diesem Fall ist y gleich
15n/3 + 2 = 5n + 2, also auch ganzzahlig. Also z = 1 + u = 1 + 3n, also x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Es stellte sich nicht einer heraus, sondern ein unendlicher Satz von Werten für x: x = 8 + 15n, wobei n eine ganze Zahl (positiv oder null) ist:
Antworten. x=8+15n; n = 0;1;2;.
6. Die Untertanen brachten dem Schah 300 Edelsteine als Geschenk mit: in kleinen Schatullen zu je 15 Stück und in großen zu je 40 Stück. Wie viele dieser und anderer Schatullen gab es, wenn bekannt ist, dass es weniger kleine als große gab?
Ich bezeichne mit x die Anzahl der kleinen Kästchen und mit y die Anzahl der großen.
15x + 40y = 300. Ich kürze es um 5.
3x+8y=60x=60-8y3 x=60-6y-2y3
X=20-2y-2y3
Damit der Wert des Bruchs eine ganze Zahl ist, muss 2y ein Vielfaches von 3 sein, d.h. 2y \u003d 3s.
Drücken Sie die Variable y aus und extrahieren Sie den ganzzahligen Teil:
Z muss ein Vielfaches von 2 sein, also z=2u.
Drücken Sie die Variablen x und y durch u aus:
X=20-2y-2y3
Х=20-2∙3u-2∙3u3
Schreiben und lösen Sie ein Ungleichungssystem:
Ich werde die ganzen Lösungen aufschreiben: 1; 2. Finden Sie nun die Werte von x und y für u=1; 2.
1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3
2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6
Antworten. 4 kleine Kästen; 6 große Kisten.
7. Zwei Autos Ural 5557 wurden gegeben, die Autos wurden auf einen Flug Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk geschickt. Insgesamt wurden 4 Tonnen Dieselkraftstoff und 2 Fahrer benötigt, um diesen Flug zu absolvieren. Es ist notwendig, die Transportkosten zu ermitteln, nämlich die Kosten für 1 Tonne Dieselkraftstoff und die Löhne der Fahrer, die diesen Flug durchführen, wenn bekannt ist, dass insgesamt 76.000 Rubel ausgegeben wurden.
Seien x Rubel die Kosten für 1 Tonne Dieselkraftstoff und y Rubel die Löhne der Fahrer. Dann (4x + 2y) Rubel - für den Flug ausgegeben. Und je nach Zustand des Problems wurden 76.000 Rubel ausgegeben.
Ich bekomme die Gleichung:
Um diese Gleichung zu lösen, ist die Aufzählungsmethode ein mühsamer Prozess. Also verwende ich das >.
Ich werde die Variable y bis x ausdrücken: , wähle den ganzzahligen Teil aus, ich bekomme: (1).
Damit der Wert des Bruchs eine ganze Zahl ist, muss 2x ein Vielfaches von 4 sein. Das heißt, 2x \u003d 4z, wobei z eine ganze Zahl ist. Von hier:
Ich werde den x-Wert im Ausdruck (1) ersetzen:
Da x, y 0, dann 19000 z 0, also z ganzzahlige Werte von 0 bis 19000 geben, erhalte ich die folgenden x- und y-Werte: z
Aus den vorliegenden Daten zu den Transportkosten ist bekannt, dass 1 Tonne Dieselkraftstoff (x) 18.000 Rubel kostet. , und die Vergütung der Fahrer, die den Flug (y) durchführen, beträgt 10.000 Rubel. (Angaben sind ungefähre Angaben). Gemäß der Tabelle finden wir, dass der x-Wert gleich 18000 und der y-Wert gleich 10000 dem z-Wert gleich 9000 entspricht, tatsächlich:;.
8. Auf wie viele Arten können Sie den Betrag von 27 Rubel sammeln. , mit vielen Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen?
Bezeichne: x Zwei-Rubel-Münzen und y Fünf-Rubel-Münzen
Ich werde eine Gleichung aufstellen, die die Bedingung des Problems 2x + 5y = 27 berücksichtigt.
Finden Sie ggT(2;5)=1
Ich werde eine bestimmte Lösung definieren: x = (27-5y):2
Mit der Aufzählungsmethode finde ich den Wert von y є y \u003d 1, x \u003d 11
(11;1) ist eine spezielle Lösung.
Alle anderen Lösungen werden durch die Formeln gefunden: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z
Diese Gleichung hat viele Lösungen. Lassen Sie uns alle Möglichkeiten finden, wie Sie mit den angebotenen Münzen den Betrag von 27 Rubel sammeln können. k
Antworten. Es gibt drei Möglichkeiten, wie Sie diesen Betrag sammeln können, wenn Sie viele Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen haben.
9. Nehmen wir an, Tintenfische und Seesterne leben in einem Aquarium. Oktopusse haben 8 Beine und Seesterne 5. Insgesamt sind es 39. Wie viele Tiere sind im Aquarium?
Sei x die Anzahl der Seesterne und y die Anzahl der Tintenfische. Dann haben alle Oktopusse 8 Beine und alle Sterne 5 Beine.
Ich mache eine Gleichung: 5x + 8y = 39.
Ich stelle fest, dass die Anzahl der Tiere nicht als nicht ganzzahlige oder negative Zahlen ausgedrückt werden kann. Wenn also x eine nicht negative ganze Zahl ist, muss y \u003d (39 - 5x) / 8 auch ganzzahlig und nicht negativ sein, was bedeutet, dass der Ausdruck 39 - 5x ohne Rest durch 8 geteilt werden muss Aufzählung der Optionen zeigt, dass dies nur möglich ist, wenn x = 3, dann y = 3.
Antwort: (3; 3).
10. Eine Möbelfabrik stellt Hocker mit drei und vier Beinen her. Der Meister machte 18 Beine. Wie viele Hocker können so hergestellt werden, dass alle Beine verwendet werden?
Sei x die Anzahl der dreibeinigen Hocker und y die Anzahl der vierbeinigen. Dann ist 3x + 4y = 18.
Ich habe, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.
Ich bekomme: x = 2; y=3 oder x=6; y=0.
Da x gleich 6 ist, gibt es keine anderen Lösungen.
Antworten. 2;3;(6;0).
11. Ist es möglich, 718 Personen in 4- und 8-Bett-Kabinen unterzubringen, so dass es keine leeren Sitze in den Kabinen gibt?
Seien 4-Bett-Kabinen x und 8-Bett-Kabinen - y, dann:
2(x + 2y) = 309
Antworten. Es ist verboten.
12. Beweisen Sie, dass es auf der Linie 124x + 216y = 515 keine Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gibt.
GCD(124;216) = 4, 515 != 4n, also gibt es keine ganzzahligen Lösungen.
Antworten. Es gibt keine Lösungen.
13. Die Warenkosten betragen 23 Rubel, der Käufer hat nur 2 Rubel und der Kassierer 5 Rubel. Kann ich einen Kauf tätigen, ohne vorher Geld umzutauschen?
Sei x die Anzahl der 2-Rubel-Münzen, y die Anzahl der 5-Rubel-Münzen, dann 2x - 5y = 23, wobei x,y = N.
Ich bekomme: 2x = 23 + 5y, womit x = 23 + 5y2 = 11 + 2y + (1 + y)2 x eine ganze Zahl ist, wenn 1 + y2 eine ganze Zahl ist.
1 + y2 = t, wobei t Euro Z, dann y = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
Zu. x = 5t + 9, a y = 2t - 1, wobei t є z.
Das Problem hat viele ganzzahlige Lösungen. Die einfachste davon ist für t = 1, x = 14, y = 1, d.h. der Käufer gibt vierzehn 2-Rubel-Münzen und erhält eine 5-Rubel-Münze als Wechselgeld.
Antworten. Dürfen.
14. Bei der Prüfung der Handelsbücher des Geschäfts stellte sich heraus, dass einer der Einträge mit Tinte gefüllt war und so aussah:
> Es war unmöglich, die Anzahl der verkauften Meter zu bestimmen, aber es war sicher, dass es sich nicht um einen Bruchteil handelte; im Erlös war es möglich, nur die letzten drei Ziffern zu unterscheiden und auch festzustellen, dass drei weitere Ziffern davor standen. Ist es möglich, den Datensatz aus diesen Daten wiederherzustellen?
Die Anzahl der Meter sei x, dann betragen die Warenkosten in Kopeken 4936x. Wir bezeichnen die drei gefüllten Ziffern in der Summe als y, dies ist die Anzahl von Tausend Kopeken, und der gesamte Betrag in Kopeken wird wie folgt ausgedrückt (1000y + 728).
Ich bekomme die Gleichung 4936x \u003d 1000y + 728, ich teile sie durch 8.
617x - 125y = 91, wobei x,y = z, x,y
125y \u003d 617x - 91y \u003d 5x - 1 +34 - 8x125 \u003d 5x - 1 + 2 17 - 4x125 \u003d
5x - 1 + 2t, wobei t = 17 - 4x125, t Euro Z.
Aus der Gleichung t \u003d (17 - 4x) / 125 erhalte ich x \u003d 4 - 31t + 1 - t4 \u003d
4 - 31t + t1, wobei t1 = 1 - t4, also t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.
Durch die Bedingung weiß ich, dass 100
100 = 234/617 und t1
Dies bedeutet, dass 98 Meter in Höhe von 4837,28 Rubel freigegeben wurden. Der Datensatz wurde wiederhergestellt.
Antworten. 98 Meter freigegeben.
15. Für einen Rubel müssen 40 Briefmarken gekauft werden - Kopeken, 4 Kopeken und 12 Kopeken. Wie viele Briefmarken jeder Stückelung können Sie kaufen?
Zwei Gleichungen können aufgestellt werden: x + 4y + 12z = 100 und x + y + z = 40, wobei x die Anzahl der Pennymarks, y 4 Pennymarks, z 12 Pennymarks ist. Ich subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten Gleichung und erhalte:
3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11 z3.
Sei z3 = t, z = 3t, wobei t Euro Z. Dann bekomme ich wenn x + y + z = 40 und z = 3t, und y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.
Da x >= 0, y >= 0, z >= 0, dann 0
Dann bekomme ich jeweils: t \u003d 0, x \u003d 20, y \u003d 20, z \u003d 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.
Der Kauf von Briefmarken kann also nur auf zwei Arten erfolgen, und wenn Sie die Bedingung festlegen, dass mindestens eine Briefmarke jeder Stückelung gekauft werden soll, nur auf eine Weise.
Antworten. 28 Briefmarken für 1 Kopeke, 9 Briefmarken für 4 Kopeken und 3 Briefmarken für 12 Kopeken.
16. Dem Schüler wurden 20 Aufgaben gestellt. Für jede richtig gelöste erhält er 8 Punkte, für jede nicht gelöste werden ihm 5 Punkte abgezogen. Für eine Aufgabe, für die er sich nicht verpflichtet hat - 0 Punkte. Der Student erzielte insgesamt 13 Punkte. Wie viele Aufgaben hat er übernommen?
Lassen Sie richtig gelöste Probleme - x, und falsch gelöste - y, nicht berücksichtigt - z.
Dann ist x + y + z = 20 und 8x - 5y = 13.
y \u003d 8x - 135 \u003d x - 2 + 3 (x - 1) 5 \u003d x - 2 + 3t, wobei t \u003d x - 15 und x \u003d 5t + 1.
Durch Bedingung x + y
Antwort: Der Student hat sich verpflichtet, 13 Probleme zu lösen, 6 gelöst, 7 nicht bewältigt.
17. Ivanushka the Fool kämpft mit der Schlange Gorynych, die einen Kopf von 2001 hat. Iwan schwenkt sein Schwert nach links und schneidet 10 Köpfe ab, dafür wachsen 16. Schwingt er sein Schwert nach rechts, schneidet er 15 ab, und 6 wachsen nach. Wenn alle Köpfe gefällt werden, wachsen keine neuen mehr. Sie können in beliebiger Reihenfolge winken, aber wenn es weniger als 15 Köpfe gibt, dann nur nach links, und wenn weniger als 10, dann können Sie überhaupt nicht. Kann Iwanuschka der Narr Zmey Gorynych besiegen?
Lassen Sie mich das Problem umformulieren: Ist es möglich, 1986 Köpfe zu fällen? Dann schneidet Ivan die restlichen 15 mit einem Schlag nach rechts ab und es wachsen keine neuen nach.
Sei x die Anzahl der Striche nach rechts und y die Anzahl der Striche nach links, dann ist 1986 - 9x + 6y = 0.
Teilen Sie die ganze Gleichung durch 6 und Sie erhalten
3x - 2y = 662.
y \u003d 3x - 6622 \u003d x - 331 + x2.
Sei x2 = t, dann x = 2t und y = 3t - 331.
Da x >= 0, y >= 0, dann t >= 111, also t = 111, x = 222, y = 2.
Ich verstehe: Wenn ich 220 Mal nach rechts schlage, schneidet Ivan 1980 Köpfe ab und die Schlange hat noch 21 Köpfe übrig; dann 2 Schläge nach links und die Schlange wächst 12 Köpfe, insgesamt 33; die nächsten 2 Schläge nach rechts entziehen der Schlange 18 Köpfe und die verbleibenden 15 Ivan schneidet mit dem letzten Schlag nach rechts ab und es wachsen keine neuen Köpfe.
Antwort: 220 Schläge nach rechts, 2 Schläge nach links und 3 weitere Schläge nach rechts.
18. Die Seiten der Spielwürfel sind nummeriert - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aus 5 solcher Würfel bauten sie einen Turm und zählten die Summe der Punkte auf allen sichtbaren Seiten, nachdem sie den obersten Würfel entfernt hatten Summe um 19 verringert, welche Zahl stellte sich als die Oberseite des obersten Würfels heraus?
Die Summe der Punkte eines Würfels ist 21.
Sei x die Anzahl der Punkte auf der Unterseite des obersten Würfels und y die Anzahl der Punkte auf der Oberseite des nächsten Würfels. Beim Entfernen des oberen Würfels verschwinden die Punkte von 5 Flächen des oberen Würfels, deren Summe der Punkte (21 - x) ist, und es erscheint eine Fläche, auf der die Punkte haben, was bedeutet, dass die Summe der Punkte hat verringert um (21 - x) - y, und durch die Bedingung ist es 19, daher:
(21 - x) - y \u003d 19, x + y \u003d 2.
Daher y \u003d 2 - x und nach Bedingung 1
19. Jemand hat 30 Vögel für 30 Münzen des gleichen Wertes gekauft. Für jeweils 3 Spatzen wird eine Münze bezahlt, für 2 Dompfaffen - 1 Münze, für 1 Taube - 2 Münzen. Wie viele Vögel jeder Art gab es?
Lass es Spatzen - x, Dompfaffen - y und Tauben - z geben. Dann ist gemäß der Bedingung x + y + z = 30 und 13x + 12y + 2z = 30.
Ich bekomme x + y + z = 30 und 2x + 3y + 12z = 180 oder y + 10z = 120, y = 120 - 10z, wobei x
Daher die folgenden Optionen (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).
Antwort: Spatzen - 0, Dompfaffen - 20, Tauben - 10; Spatzen - 9, Dompfaffen - 10, Tauben - 11; Spatzen - 18, Dompfaffen - 0, Tauben - 12.
20. Finden Sie alle zweistelligen Zahlen, von denen jede, wenn sie um 2 reduziert wird, gleich dem fünffachen Produkt ihrer Ziffern ist.
Seien xy die erforderlichen zweistelligen Zahlen.
Für die Gleichung xy - 2 \u003d 5xy oder (10x + y) - 5xy \u003d 2 S \u003d 0 und ich werde alle natürlichen Lösungen aus der Menge (x; 2) finden.
Da x die erste Ziffer zweistelliger Zahlen ist, kann es nur 9 Werte annehmen.
Dass. , die gewünschten Zahlen sind: 12, 22, 32,. , 92.
Antworten. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Ein 102 cm langes Stück Draht muss in 15 cm und 12 cm lange Stücke geschnitten werden, damit der gesamte Draht verwendet wird. Wie kann man das machen?
Sei x die Anzahl der Drahtstücke mit einer Länge von 15 cm, y die Anzahl der Drahtstücke mit einer Länge von 12 cm. Ich werde die Gleichung aufstellen:
15x+12y=102 /:3
4x+3y=34x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.
Sei 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.
Wenn t=0, dann x=6y=1
Wenn t=-1, dann x=2y=6
Antworten. Das Problem hat zwei Lösungen:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Petya war 1987 so alt wie die Summe der Ziffern seines Geburtsjahres. In welchem Jahr wurde er geboren?
Lassen Sie Petya im 19. Jahr geboren werden. Dann war er 1987 1987-19xy oder (1+9+x+y) Jahre alt. Wir haben eine Gleichung:
87-(10x+y)=10+x+y
77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.
Wenn man bedenkt, dass x und y Ziffern des dezimalen Zahlensystems sind, dann finden wir durch Auswahl: x=3, y=1.
Antworten. Petja wurde 1970 geboren.
23. Jemand kauft eine Sache in einem Geschäft im Wert von 19 Rubel. Er hat nur 15 Drei-Rubel-Scheine, während der Kassierer nur 20 Fünf-Rubel-Scheine hat. Kann ich bezahlen und wie?
Das Problem reduziert sich auf die Lösung der diophantischen Gleichung in positiven ganzen Zahlen: 3x - 5y = 19, wobei x
Angesichts der Tatsache, dass x > 0 und y > 0 und unter Berücksichtigung der Bedingungen des Problems, ist es einfach, 0 festzulegen
Dies impliziert 2 mögliche Werte: x
Antworten. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Ist es möglich, 28 g einer bestimmten Substanz auf einer Schalenwaage zu wiegen, wenn man nur 4 Gewichte von 3 g und 7 Gewichte von 5 g hat?
Dazu müssen Sie die Gleichung lösen:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Also x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass y1 nicht mit negativen Werten belegt werden kann. Als nächstes sollte y1 sein
Antworten. 1 Gewicht in 3 g und 5 Gewichte in 5 g.
25. Der Käufer kaufte im Geschäft für 21 p. Waren. Aber er hat Banknoten nur 5 - Rubel Stückelung, und der Kassierer - 3 - Rubel. Es muss bekannt sein, ob es möglich ist, die Kasse zu bezahlen, wenn Geld vorhanden ist, und wie genau?
Sei x die Zahl 5 - Rubel, y - 3 - Rubel.
Durch die Bedingung x > 0, y > 0, also.
Außerdem ist t gerade, sonst wären weder x noch y ganze Zahlen.
Für t = 4, 6, 8,. wir haben T
Antworten. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. Es gibt 110 Blatt Papier. Es wird von ihnen verlangt, Hefte mit jeweils 8 Blättern und 10 Blättern zu nähen. Wie viel braucht man, um beides zu nähen?
Sei x die Anzahl der 8-Blatt-Notizbücher, y die Anzahl der 10-Blatt-Notizbücher.
Also t = 0 oder t = - 1
Antworten. 5;7;(10;3).
27. Viele alte Methoden, Zahlen und Geburtsdaten zu erraten, basieren auf der Lösung diophantischer Gleichungen. Um beispielsweise das Geburtsdatum (Monat und Tag) des Gesprächspartners zu erraten, reicht es aus, von ihm den Betrag zu erfahren, den er durch die Addition von zwei Produkten erhalten hat: die Zahl des Datums (x) bis 12 und die Zahl des Monats (y) durch 31.
Die Summe der fraglichen Werke sei 330. Finden Sie das Geburtsdatum heraus.
Löse die unbestimmte Gleichung: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3
Geburtsdatum also: 12. Tag des 6. Monats.
28. Ist es möglich, mit Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen 51 Rubel zu verdienen? Wenn ja, wie viele Möglichkeiten gibt es?
Seien x - Zwei-Rubel-Münzen und Fünf-Rubel-Münzen - y-Münzen.
Sei also 1+y2=z
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Antwort: 5 Wege.
29. Ist es möglich, zweihundert Eier in Kartons mit 10 und 12 Stück zu arrangieren? Wenn möglich, finden Sie alle diese Wege.
Es gebe x Kisten mit 10 Stück und y Kisten mit 12 Stück. Ich mache eine Gleichung: z = 1, 2, 3
Antwort: 14;5;8;10;(2;15)
30. Stellen Sie die Zahl 257 als Summe zweier natürlicher Terme dar: a) von denen einer ein Vielfaches von 3 und der andere - 4 ist; b) von denen einer ein Vielfaches von 5 und der andere ein Vielfaches von 8 ist.
Antwort: 1) 249 und 8; 2) 225 und 32.
Bei Problemen mit unbestimmten Gleichungen bin ich auf die unterschiedlichsten Fälle gestoßen: Ein Problem kann völlig unlösbar sein (Problem 4), es kann unendlich viele Lösungen haben (Problem 2), es kann mehrere bestimmte Lösungen haben; insbesondere kann es eine einzige Lösung haben (Problem 1).
FAZIT
Das Ziel, das ich mir gesetzt habe, ist erreicht. Die Arbeit an dem Projekt hat mein Interesse geweckt und mich fasziniert. Diese Arbeit verlangte von mir nicht nur ein gewisses mathematisches Wissen und Durchhaltevermögen, sondern gab mir auch Gelegenheit, die große Freude am selbstständigen Entdecken zu spüren.
Diophantische Gleichungen finden sich in olympischen Aufgaben, so dass sie das logische Denken entwickeln, das Niveau der mathematischen Kultur erhöhen und die Fähigkeiten zur unabhängigen Forschungsarbeit in Mathematik vermitteln.
Beim Lösen von Gleichungen und Problemen, die sich auf diophantische Gleichungen reduzieren, werden die Eigenschaften von Primzahlen, die Methode der Faktorisierung eines Polynoms, die Aufzählungsmethode, die Abstiegsmethode und der euklidische Algorithmus verwendet. Meiner Meinung nach ist die Abstiegsmethode die schwierigste. Und die Aufzählungsmethode stellte sich für mich als hübscher heraus.
In der Arbeit habe ich 54 Aufgaben gelöst.
Diese Arbeit trug zu einem tieferen Verständnis des Schullehrplans bei und erweiterte meinen Horizont.
Dieses Material wird für Schüler, die sich für Mathematik interessieren, nützlich sein. Es kann in einigen Unterrichtsstunden und bei außerschulischen Aktivitäten verwendet werden.
Gleichungen in ganzen Zahlen sind algebraische Gleichungen mit zwei oder mehr unbekannten Variablen und ganzzahligen Koeffizienten. Die Lösungen einer solchen Gleichung sind alle ganzzahlige (manchmal natürliche oder rationale) Mengen von Werten unbekannter Variablen, die diese Gleichung erfüllen. Solche Gleichungen werden auch genannt Diophantin, zu Ehren des antiken griechischen Mathematikers, der einige Arten solcher Gleichungen vor unserer Zeitrechnung erforschte.
Dem französischen Mathematiker verdanken wir die moderne Formulierung diophantischer Probleme. Er war es, der europäischen Mathematikern die Frage stellte, unbestimmte Gleichungen nur in ganzen Zahlen zu lösen. Die bekannteste Gleichung in ganzen Zahlen ist Fermats letzter Satz: die Gleichung
hat keine rationalen Lösungen ungleich Null für alle natürlichen Zahlen n > 2.
Das theoretische Interesse an Gleichungen in ganzen Zahlen ist ziemlich groß, da diese Gleichungen eng mit vielen Problemen der Zahlentheorie verbunden sind.
1970 bewies der Leningrader Mathematiker Yuri Vladimirovich Matiyasevich, dass es keine allgemeine Methode gibt und geben kann, mit der beliebige diophantische Gleichungen in ganzen Zahlen in einer endlichen Anzahl von Schritten gelöst werden können. Daher ist es notwendig, eigene Lösungsmethoden für verschiedene Arten von Gleichungen zu wählen.
Beim Lösen von Gleichungen in ganzen und natürlichen Zahlen können die folgenden Methoden herkömmlicherweise unterschieden werden:
Möglichkeit, Optionen aufzuzählen;
Anwendung des Euklid-Algorithmus;
Darstellung von Zahlen in Form von fortlaufenden (kontinuierlichen) Brüchen;
Faktorisierungen;
Lösen von Gleichungen in ganzen Zahlen als Quadrat (oder anders) in Bezug auf eine Variable;
Restmethode;
Methode des unendlichen Abstiegs.
Probleme mit Lösungen
1. Lösen Sie die Gleichung x 2 - xy - 2y 2 \u003d 7 in ganzen Zahlen.
Schreiben wir die Gleichung in der Form (x - 2y)(x + y) = 7.
Da x, y ganze Zahlen sind, finden wir Lösungen der ursprünglichen Gleichung als Lösungen der folgenden vier Systeme:
1) x - 2y = 7, x + y = 1;
2) x - 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x - 2y = -1, x + y = -7.
Nachdem wir diese Systeme gelöst haben, erhalten wir Lösungen für die Gleichung: (3; -2), (5; 2), (-3; 2) und (-5; -2).
Antwort: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2).
a) 20x + 12y = 2013;
b) 5x + 7y = 19;
c) 201x - 1999y = 12.
a) Da für alle ganzzahligen Werte von x und y die linke Seite der Gleichung durch zwei teilbar und die rechte Seite eine ungerade Zahl ist, hat die Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Antwort: Es gibt keine Lösungen.
b) Wir wählen zunächst eine bestimmte Lösung. In diesem Fall ist es nur bspw.
x 0 = 1, y 0 = 2.
5x0 + 7y0 = 19,
5(x - x 0) + 7(y - y 0) = 0,
5 (x - x 0) \u003d -7 (y - y 0).
Da die Zahlen 5 und 7 also teilerfremd sind
x - x 0 \u003d 7k, y - y 0 \u003d -5k.
Die allgemeine Lösung lautet also:
x = 1 + 7k, y = 2 - 5k,
wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
Antwort: (1+7k; 2–5k), wobei k eine ganze Zahl ist.
c) Es ist ziemlich schwierig, in diesem Fall eine spezifische Lösung durch Auswahl zu finden. Verwenden wir den Euklid-Algorithmus für die Zahlen 1999 und 201:
ggT(1999, 201) = ggT(201, 190) = ggT(190, 11) = ggT(11, 3) = ggT(3 , 2) = ggT(2, 1) = 1.
Schreiben wir diesen Prozess in umgekehrter Reihenfolge:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =
121 11 - 7 190 = 121(201 - 190) - 7 190 = 121 201 - 128 190 =
121 201 - 128 (1999 - 9 201) = 1273 201 - 128 1999.
Daher ist das Paar (1273, 128) eine Lösung der Gleichung 201x - 1999y = 1. Dann das Zahlenpaar
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
ist eine Lösung der Gleichung 201x - 1999y = 12.
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung kann geschrieben werden als
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, wobei k eine ganze Zahl ist,
oder nach Umbenennung (wir verwenden das 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, wobei n eine ganze Zahl ist.
Antwort: (1283+1999n, 129+201n), wobei n eine ganze Zahl ist.
3. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
a) x 3 + y 3 = 3333333;
b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).
a) Da x 3 und y 3 nur die Reste 0, 1 und 8 ergeben können, wenn sie durch 9 dividiert werden (siehe Tabelle im Abschnitt), können x 3 + y 3 nur die Reste 0, 1, 2, 7 und 8 ergeben Zahl 3333333, wenn sie durch 9 geteilt wird, ergibt einen Rest von 3. Daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.
b) Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung um als (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Da die Würfel ganzer Zahlen, wenn sie durch 7 geteilt werden, die Reste 0, 1 und 6 ergeben, aber nicht 4, die Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen.
Antwort: Es gibt keine ganzzahligen Lösungen.
a) in Primzahlen die Gleichung x 2 - 7x - 144 \u003d y 2 - 25y;
b) in ganzen Zahlen die Gleichung x + y \u003d x 2 - xy + y 2.
a) Wir lösen diese Gleichung quadratisch nach der Variablen y. Erhalten
y \u003d x + 9 oder y \u003d 16 - x.
Da für ungerades x die Zahl x + 9 gerade ist, ist das einzige Paar von Primzahlen, das die erste Gleichheit erfüllt, (2; 11).
Da x, y einfach sind, haben wir aus der Gleichheit y \u003d 16 - x
2 x 16.2 bei 16.
Unter Verwendung der Aufzählung der Optionen finden wir die verbleibenden Lösungen: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Antwort: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
b) Betrachten Sie diese Gleichung als quadratische Gleichung für x:
x 2 - (y + 1) x + y 2 - y \u003d 0.
Die Diskriminante dieser Gleichung ist -3y 2 + 6y + 1. Sie ist nur für die folgenden Werte von y positiv: 0, 1, 2. Für jeden dieser Werte erhalten wir aus der ursprünglichen Gleichung eine quadratische Gleichung für x , was leicht zu lösen ist.
Antwort: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Gibt es unendlich viele Tripel von ganzen Zahlen x, y, z, so dass x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?
Versuchen wir, solche Tripel auszuwählen, bei denen y = –z ist. Dann heben sich y 3 und z 3 immer gegenseitig auf und unsere Gleichung sieht so aus
x2 + 2y2 = x3
oder andernfalls,
x 2 (x–1) = 2y 2 .
Damit ein Paar ganzer Zahlen (x; y) diese Bedingung erfüllt, reicht es aus, dass die Zahl x–1 das Doppelte des Quadrats der ganzen Zahl ist. Es gibt unendlich viele solcher Zahlen, nämlich alle Zahlen der Form 2n 2 +1. Setzt man eine solche Zahl in x 2 (x–1) = 2y 2 ein, erhält man nach einfachen Umformungen:
y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.
Alle so erhaltenen Tripel haben die Form (2n 2 +1; 2n 3 + n; -2n 3 - n).
Antwort: existiert.
6. Finden Sie ganze Zahlen x, y, z, u, so dass x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Die Zahl x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ist gerade, also gibt es unter den Zahlen x, y, z, u eine gerade Anzahl ungerader Zahlen.
Wenn alle vier Zahlen x, y, z, u ungerade sind, dann ist x 2 + y 2 + z 2 + u 2 durch 4 teilbar, aber 2xyzu ist nicht durch 4 teilbar - eine Diskrepanz.
Wenn genau zwei der Zahlen x, y, z, u ungerade sind, dann ist x 2 + y 2 + z 2 + u 2 nicht durch 4 teilbar, aber 2xyzu ist durch 4 teilbar - wieder eine Diskrepanz.
Daher sind alle Zahlen x, y, z, u gerade. Dann kann man das schreiben
x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,
und die ursprüngliche Gleichung nimmt die Form an
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .
Beachten Sie nun, dass (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1, wenn es durch 8 geteilt wird, einen Rest von 1 ergibt. Wenn also alle Zahlen x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ungerade sind, dann ist x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ist nicht durch 8 teilbar. Und wenn genau zwei dieser Zahlen ungerade sind, dann ist x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nicht einmal durch teilbar 4. Also,
x 1 \u003d 2x 2, y 1 \u003d 2y 2, z 1 \u003d 2z 2, u 1 \u003d 2u 2,
und wir erhalten die Gleichung
x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .
Wenn wir dieselbe Argumentation noch einmal wiederholen, erhalten wir, dass x, y, z, u für alle natürlichen n durch 2 n teilbar sind, was nur möglich ist, wenn x = y = z = u = 0.
Antwort: (0; 0; 0; 0).
7. Beweisen Sie, dass die Gleichung
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 30
hat keine Lösungen in ganzen Zahlen.
Lassen Sie uns die folgende Identität verwenden:
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 3 (x - y) (y - z) (z - x).
Dann kann die ursprüngliche Gleichung geschrieben werden als
(x - y) (y - z) (z - x) = 10.
Bezeichne a = x – y, b = y – z, c = z – x und schreibe die resultierende Gleichheit als
Außerdem ist offensichtlich, dass a + b + c = 0. Es ist leicht zu sehen, dass bis auf eine Permutation aus der Gleichheit abc = 10 folgt, dass die Zahlen |a|, |b|, |c| sind entweder 1, 2, 5 oder 1, 1, 10. Aber in all diesen Fällen ist für jede Wahl der Zeichen a, b, c die Summe a + b + c ungleich Null. Somit hat die ursprüngliche Gleichung keine Lösungen in ganzen Zahlen.
8. Löse Gleichung 1 in ganzen Zahlen! +2! + . . . +x! = y2 .
Es ist klar, dass
wenn x = 1, dann y 2 = 1,
wenn x = 3, dann y 2 = 9.
Diese Fälle entsprechen den folgenden Zahlenpaaren:
x 1 = 1, y 1 = 1;
x 2 \u003d 1, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d 3, y 3 \u003d 3;
x 4 \u003d 3, y 4 \u003d -3.
Beachten Sie, dass wir für x = 2 1 haben! +2! = 3, für x = 4 haben wir 1! +2! + 3! +4! = 33 und weder 3 noch 33 sind ganzzahlige Quadrate. Wenn x > 5, dann seit
5! +6! + . . . +x! = 10n,
das können wir schreiben
eines! +2! + 3! +4! +5! + . . . +x! = 33 + 10n.
Da 33 + 10n eine Zahl ist, die auf 3 endet, ist sie kein Quadrat einer ganzen Zahl.
Antwort: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3).
9. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem in natürlichen Zahlen:
a 3 - b 3 - c 3 \u003d 3abc, a 2 \u003d 2 (b + c).
3abc > 0, dann a 3 > b 3 + c 3 ;
also haben wir
Wenn wir diese Ungleichungen hinzufügen, erhalten wir das
Unter Berücksichtigung der letzten Ungleichung erhalten wir das aus der zweiten Gleichung des Systems
Aber die zweite Gleichung des Systems zeigt auch, dass a eine gerade Zahl ist. Also a = 2, b = c = 1.
Antwort: (2; 1; 1)
10. Finden Sie alle Paare ganzer Zahlen x und y, die die Gleichung x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y erfüllen.
Wenn wir beide Teile dieser Gleichung faktorisieren, erhalten wir:
x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),
x(x + 1) = (y2 + y)(y2 + 1)
Eine solche Gleichheit ist möglich, wenn der linke und der rechte Teil gleich Null sind oder das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen sind. Wenn wir also bestimmte Faktoren mit Null gleichsetzen, erhalten wir 4 Paare von gewünschten Variablenwerten:
x 1 = 0, y 1 = 0;
x 2 \u003d 0, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d -1, y 3 \u003d 0;
x 4 \u003d -1, y 4 \u003d -1.
Das Produkt (y 2 + y) (y 2 + 1) kann nur dann als Produkt zweier aufeinanderfolgender Ganzzahlen ungleich Null betrachtet werden, wenn y \u003d 2. Daher x (x + 1) \u003d 30, woher x 5 \ u003d 5, x 6 = -6. Dies bedeutet, dass es zwei weitere Paare von ganzen Zahlen gibt, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
x 5 = 5, y 5 = 2;
x 6 \u003d -6, y 6 \u003d 2.
Antwort: (0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1), (5; 2), (-6; 2.)
Probleme ohne Lösungen
1. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
a) xy = x + y + 3;
b) x 2 + y 2 \u003d x + y + 2.
2. Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen:
a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;
b) 15x 2 - 7y 2 \u003d 9.
3. Löse die Gleichung in natürlichen Zahlen:
a) 2 x + 1 \u003d y 2;
b) 3 2 x + 1 \u003d y 2.
4. Beweisen Sie, dass die Gleichung x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz in rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung hat
5. Beweisen Sie, dass die Gleichung x 2 + 5 = y 3 in ganzen Zahlen keine Lösungen hat.
Aufgabe 62:
Lösen Sie die Gleichung 3x + 5y = 7 in ganzen Zahlen. Lösung:
Lassen Sie uns zuerst eine konkrete Lösung finden (diese Idee hilft übrigens oft auch bei der Lösung anderer Probleme). Da 3 2 + 5 (- 1) = 1, dann ist 3 14 + 5 (- 7) = 7 und daher ist x 0 = 14, y 0 = - 7 eine Lösung unserer Gleichung (eine von vielen, nicht mehr !). So,
Subtrahieren Sie eine Gleichung von der anderen, bezeichnen Sie x - x 0 und y - y 0 mit a und b, und wir erhalten 3a + 5b = 0. Daraus sehen wir, dass b durch 3 teilbar ist und a durch 5 teilbar ist a = 5k, dann b = - 3k - hier kann k offensichtlich jede ganze Zahl sein. Wir erhalten also eine Reihe von Lösungen:
Wobei k jede ganze Zahl sein kann. Andere Lösungen gibt es natürlich nicht. Aufgabe 63:
Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung 3x - 12y = 7. Lösung:
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen. Die linke Seite ist durch 3 teilbar, während die rechte Seite nicht durch 3 teilbar ist.
Aufgabe 64:Lösen Sie die Gleichung 1990x - 173y = 11. Lösung:
Die an der Formulierung beteiligten Zahlen sind so groß, dass eine spezifische Lösung hier nicht durch Auswahl gefunden werden kann. Es wird uns jedoch helfen, dass die Zahlen 1990 und 173 teilerfremd sind (überprüfen Sie es).
Lemma. Ihr ggT von 1 kann als 1990m - 173n dargestellt werden, wobei m und n einige ganze Zahlen sind.
Der Beweis dieses Lemmas folgt aus der Tatsache, dass alle Zahlen, die im Prozess des Euklidischen Algorithmus erhalten werden, in der angegebenen Form darstellbar sind.
Insbesondere in diesem Fall können Sie mit dem Euklid-Algorithmus m = 2, n = 23 erhalten. Wenn wir also eine so mächtige Waffe wie den Euklid-Algorithmus verwenden, erhalten wir eine spezifische Lösung für die Hilfsgleichung 1990m - 173n = 1: die Paar (2, 23) . Daher ist x 0 \u003d 22, y 0 \u003d 253 die Lösung der Gleichung 1990x - 173y \u003d 11. Außerdem erhalten wir das
K - jede ganze Zahl. Aufgabe 65:
Finde alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung 21x + 48y = 6. Lösung:
x = 16.000 - 2, y = - 7.000 + 1; k - jede ganze Zahl.
Aufgabe 66:Lösen Sie die Gleichung 2x + 3y + 5z = 11 in ganzen Zahlen. Lösung:
x = 5p + 3q - 11, y = 11 - 5p - 2q, z = p; p, q - beliebige ganze Zahlen.
Aufgabe 67:Der Chip steht auf einem der Felder eines karierten Papierstreifens, der in beide Richtungen endlos ist. Es kann m Felder nach rechts oder n Felder nach links verschoben werden. Für wie viel m und n kann sie in die rechts daneben liegende Zelle ziehen? Was ist die geringste Anzahl von Zügen, in denen sie es tun kann? Lösung:
Für gegenseitig prime m und n.
Aufgabe 68:(2x + y)(5x + 3y) = 7. Lösung:
(- 4,9), (14, - 21), (4, - 9), (- 14,21).
Aufgabe 69:xy = x + y + 3. Lösung:
Da xy - x - y = 3, dann ist (x - 1)(y - 1) = 4. Es bleibt nur, die möglichen Erweiterungen der Zahl 4 in das Produkt zweier ganzzahliger Faktoren aufzuzählen. Antwort: (x = 5,y = 2), (2,5), (0, - 3), (- 3,0), (3,3), (- 1, - 1).
Aufgabe 70:x² = 14 + y². Lösung:
Es gibt keine ganzzahligen Lösungen.
Aufgabe 71:x² + y² = x + y + 2. Lösung:
(2,0), (2,1), (- 1,0), (- 1,1), (0,2), (1,2), (0, - 1), (1, - 1).
So wird Aufgabe 69 gelöst: Da xy - x - y = 3 ist, ist (x - 1)(y - 1) = 4. Es bleibt nur, die möglichen Erweiterungen der Zahl 4 in das Produkt zweier ganzzahliger Faktoren aufzuzählen . Antwort: (x = 5,y = 2), (2,5), (0, - 3), (- 3,0), (3,3), (- 1, - 1).
Aufgabe 72:x² + y² = 4z - 1.
Mal sehen, welche Reste exakte Quadrate modulo 4 ergeben können (die Wahl von modulo 4 wurde uns durch die Form der rechten Seite der Gleichung veranlasst). Eine kurze Aufzählung zeigt, dass dies die Reste 0 und 1 sind. Da die Summe zweier Reste dieser Art keinen Rest - 1 ergeben kann, stellen wir fest, dass diese Gleichung keine Lösungen hat.
Aufgabe 73:x² - 7y = 10. Lösung:
Es gibt keine ganzzahligen Lösungen (Modul 7).
Aufgabe 74:x³ + 21y² + 5 = 0. Lösung:
Da x³ nur modulo 7 mit 0, 1 und - 1 kongruent sein kann, ist der Ausdruck x³ + 21y² + 5 kongruent (mod %)%7 mit 5, 6 oder 4 und kann daher nicht gleich Null sein.
Aufgabe 75:15x² - 7y² = 9. Lösung:
Es gibt keine ganzzahligen Lösungen (Modul 5).
Aufgabe 76:x² + y² + z² = 8t - 1. Lösung:
Es gibt keine ganzzahligen Lösungen (Modul 8).
Aufgabe 77:3m + 7 = 2n. Lösung:
Modulo 3, die linke Seite ist kongruent zu 1, und daraus schließen wir, dass n gerade ist, d.h. n = 2k. Die Gleichung wird in die Form 3 m + 7 = 4 k umgewandelt. Jetzt kommt Modul 4 ins Spiel: 4 k - 7 = 1 (mod %)%4, und wir sehen, dass m gerade ist, also m = 2p. Wir haben also die Gleichung 3 2p + 7 = 2 2k . Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln: 7 = 2 2k - 3 2p = (2 k - 3 p )(2 k + 3 p ). Also 2 k + 3 p = 7, 2 k - 3 p = 1, und wir erhalten die eindeutige Lösung k = 2, p = 1, d.h. m = 2, n = 4.
Aufgabe 78:3 2 m + 1 = n². Lösung:
Es ist sofort klar, dass n nicht durch 3 teilbar ist und daher n = 3k + 1 oder n = 3k + 2. Betrachten wir beide Fälle.
a) n = 3k + 2, 3 2 m + 1 = 9k² + 12k + 4. Durch Reduktion erhalten wir 2 m = 3k² + 4k + 1 = (3k + 1)(k + 1). Daher sind sowohl k + 1 als auch 3k + 1 Zweierpotenzen. Es ist ersichtlich, dass sowohl k = 0 als auch k = 1 geeignet sind, und wir erhalten Lösungen n = 2, m = 1 und n = 5, m = 3. Aber für k ≥ 2 ist 4(k + 1) > 3k + 1 > 2 (k + 1) und daher können k + 1 und 3k + 1 nicht gleichzeitig Zweierpotenzen sein.
b) n = 3k + 1. Wenn wir diesen Fall auf ähnliche Weise analysieren, erhalten wir eine weitere Lösung n = 7, m = 4.
Aufgabe 79:1/a + 1/b + 1/c = 1. Lösung:
a = b = c = 3; a,b,c = 1,2,3 oder 2,4,4; eine der Zahlen ist 1 und die Summe der anderen beiden ist 0, zum Beispiel a = 1, b = - c = 13.
Aufgabe 80:x² - y² = 1988. Lösung:
x = ± 498, y = ± 496 oder x = ± 78, y = ± 64, wobei die Vorzeichen unabhängig gewählt werden.
Aufgabe 81:Beweisen Sie, dass die Gleichung 1/x - 1/y = 1/n genau dann eine eindeutige natürliche Zahlenlösung hat, wenn n eine Primzahl ist. Lösung:
Wenn n = pq (p, q > 1), dann 1/n = 1/(n - 1) - 1/n(n - 1) und 1/n = 1/p(q - 1) - 1/pq (q-1). Wenn n eine Primzahl ist, dann ist n(y - x) = xy, was bedeutet, dass xy durch n teilbar ist, d.h. x oder y ist durch n teilbar. Es ist klar, dass y durch n teilbar ist: y = kn. Dann ist x = kn/(n + 1), womit k = n - 1, d.h. es gibt genau eine Darstellung 1/n = 1/(n - 1) - 1/n(n - 1).
Aufgabe 82:Löse die Gleichung in ganzen Zahlen: x³ + 3 = 4y(y + 1).
Aufgabe 83:Löse die Gleichung in ganzen Zahlen: x² + y² = z².
Aufgabe 84:Löse die Gleichung in ganzen Zahlen: x² - 5y² = 1.
