Was ist ein volles quadrat. Ein Ausschnitt, der das Full Square charakterisiert. Verwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten
In dieser Lektion werden wir uns an alle zuvor untersuchten Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms erinnern und Beispiele für ihre Anwendung betrachten. Außerdem werden wir eine neue Methode untersuchen - die Methode der vollständigen Quadrate - und lernen, wie man sie zur Lösung verschiedener Probleme anwendet.
Thema:Polynome faktorisieren
Lektion:Faktorisierung von Polynomen. Vollquadrat-Auswahlmethode. Kombination von Methoden
Erinnern Sie sich an die Hauptmethoden zum Faktorisieren eines Polynoms, die zuvor untersucht wurden:
Die Methode, einen gemeinsamen Faktor aus Klammern herauszunehmen, dh einen Faktor, der in allen Mitgliedern des Polynoms vorhanden ist. Betrachten Sie ein Beispiel:
Denken Sie daran, dass ein Monom ein Produkt aus Potenzen und Zahlen ist. In unserem Beispiel haben beide Mitglieder einige gemeinsame, identische Elemente.
Nehmen wir also den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:
;
Denken Sie daran, dass Sie durch Multiplizieren des gerenderten Multiplikators mit der Klammer die Korrektheit des Renderings überprüfen können.
Gruppierungsmethode. Es ist nicht immer möglich, einen gemeinsamen Faktor in einem Polynom herauszunehmen. In diesem Fall müssen Sie die Mitglieder so in Gruppen einteilen, dass Sie in jeder Gruppe einen gemeinsamen Faktor herausnehmen und versuchen, ihn aufzuschlüsseln, sodass nach dem Herausnehmen der Faktoren in den Gruppen ein gemeinsamer Faktor für die erscheint gesamten Ausdruck, und die Expansion konnte fortgesetzt werden. Betrachten Sie ein Beispiel:
Gruppieren Sie den ersten Term mit dem vierten, den zweiten mit dem fünften und den dritten mit dem sechsten:
Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren in den Gruppen heraus:
Der Ausdruck hat einen gemeinsamen Faktor. Nehmen wir es heraus:
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln. Betrachten Sie ein Beispiel:
;
Schreiben wir den Ausdruck im Detail:
Offensichtlich haben wir die Formel für das Quadrat der Differenz vor uns, da es eine Summe der Quadrate zweier Ausdrücke gibt und ihr doppeltes Produkt davon subtrahiert wird. Rollen wir nach der Formel:
Heute lernen wir einen anderen Weg kennen - die vollständige Quadratauswahlmethode. Es basiert auf den Formeln des Quadrats der Summe und des Quadrats der Differenz. Erinnern Sie sich an sie:
Die Formel für das Quadrat der Summe (Differenz);
Die Besonderheit dieser Formeln besteht darin, dass sie Quadrate zweier Ausdrücke und ihr doppeltes Produkt enthalten. Betrachten Sie ein Beispiel:
Schreiben wir den Ausdruck:
Der erste Ausdruck ist also und der zweite .
Um eine Formel für das Quadrat der Summe oder Differenz aufzustellen, reicht das doppelte Produkt der Ausdrücke nicht aus. Es muss addiert und subtrahiert werden:
Kollabieren wir das volle Quadrat der Summe:
Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck umwandeln:
Wir wenden die Formel für die Differenz der Quadrate an und erinnern daran, dass die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke das Produkt und die Summen ihrer Differenz ist:
Diese Methode besteht also zunächst darin, die quadrierten Ausdrücke a und b zu identifizieren, dh zu bestimmen, welche Ausdrücke in diesem Beispiel quadriert sind. Danach müssen Sie prüfen, ob ein doppeltes Produkt vorhanden ist, und wenn es nicht vorhanden ist, addieren und subtrahieren Sie es, dies ändert nichts an der Bedeutung des Beispiels, aber das Polynom kann mit den Formeln für das Quadrat von faktorisiert werden die Summe oder Differenz und Differenz von Quadraten, wenn möglich.
Fahren wir mit dem Lösen von Beispielen fort.
Beispiel 1 - Faktorisieren:
Quadratische Ausdrücke finden:
Schreiben wir auf, was ihr Doppelprodukt sein sollte:
Addieren und subtrahieren wir das doppelte Produkt:
Lassen Sie uns das volle Quadrat der Summe zusammenbrechen und ähnliche geben:
Wir schreiben nach der Formel der Quadratdifferenz:
Beispiel 2 - lösen Sie die Gleichung:
;
Auf der linken Seite der Gleichung befindet sich ein Trinom. Du musst es ausrechnen. Wir verwenden die Formel des Differenzquadrats:
Wir haben das Quadrat des ersten Ausdrucks und das Doppelprodukt, das Quadrat des zweiten Ausdrucks fehlt, addieren und subtrahieren wir es:
Lassen Sie uns das gesamte Quadrat zusammenklappen und ähnliche Begriffe angeben:
Wenden wir die Quadratdifferenzformel an:
Wir haben also die Gleichung 
Wir wissen, dass das Produkt nur dann gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Darauf aufbauend schreiben wir Gleichungen:
Lösen wir die erste Gleichung:
Lösen wir die zweite Gleichung:
Antwort: bzw
;
Wir verfahren ähnlich wie im vorherigen Beispiel – wählen Sie das Quadrat der Differenz aus.
1156, , 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (OEIS-Sequenz A000290)
| _0 | _1 | _2 | _3 | _4 | _5 | _6 | _7 | _8 | _9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0_ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1_ | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2_ | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3_ | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4_ | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5_ | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6_ | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7_ | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8_ | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9_ | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Ansichten und Eigenschaften
Das Quadrat einer natürlichen Zahl kann als Summe der ersten dargestellt werden ungerade Zahlen:
1:
2:
...
7:
...
Eine andere Möglichkeit, das Quadrat einer natürlichen Zahl darzustellen:
Beispiel:
1:
2:
...
4:
...
Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadraten dargestellt werden (Satz von Lagrange über die Summe von vier Quadraten).
Die einzige Zahl > 1, die sowohl quadratisch als auch pyramidenförmig ist.
Die Summen von Paaren aufeinanderfolgender Dreieckszahlen sind Quadratzahlen.
In Dezimalschreibweise haben Quadratzahlen folgende Eigenschaften:
- Die letzte Ziffer eines Quadrats in Dezimalschreibweise kann 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 sein (quadratische Reste modulo 10).
- Ein Quadrat darf nicht mit einer ungeraden Anzahl von Nullen enden.
- Ein Quadrat ist entweder durch 4 teilbar oder wenn es durch 8 geteilt wird, ergibt es einen Rest von 1. Ein Quadrat ist entweder durch 9 teilbar oder wenn es durch 3 geteilt wird, ergibt es einen Rest von 1.
- Die letzten beiden Ziffern des Quadrats in Dezimalschreibweise können 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81 sein, 84, 89 oder 96 (quadratische Reste modulo 100). Die Abhängigkeit der vorletzten Ziffer des Quadrats von der letzten lässt sich in Form der folgenden Tabelle darstellen:
Geometrische Darstellung
| 1 | |
|---|---|
| 4 | |
|---|---|
| |
|
| 9 | |
|---|---|
| |
|
| 16 | |
|---|---|
| |
|
| 25 | |
|---|---|
| |
Mathematik . Sie können dem Projekt helfen, indem Sie etwas hinzufügen. |
Ein Ausschnitt, der das Full Square charakterisiert
Karataev verstummte, lächelte freudig, blickte ins Feuer und rückte die Scheite zurecht.- Der Alte sagt: Gott, sagen sie, wird dir vergeben, und wir alle, sagt er, sind Sünder vor Gott, ich leide für meine Sünden. Er brach selbst in Tränen aus. Was denkst du, Falke, - sagte Karataev und strahlte heller und strahlender mit einem begeisterten Lächeln, als ob das, was er jetzt zu erzählen hätte, den Hauptreiz und die ganze Bedeutung der Geschichte enthalte, - was denkst du, Falke, dieser Mörder zeigte sich laut seinen Vorgesetzten am meisten . Ich, sagt er, habe sechs Seelen ruiniert (es gab einen großen Bösewicht), aber dieser alte Mann tut mir nur leid. Lass ihn mich nicht anschreien. Aufgetaucht: abgeschrieben, Papier verschickt, wie es soll. Der Ort ist weit weg, während das Gericht und der Fall, während alle Papiere abgeschrieben sind, wie es laut Behörden sein sollte, das heißt. Es kam zum König. Bisher ist das königliche Dekret gekommen: den Kaufmann freizulassen, ihm Belohnungen zu geben, wie viele dort verliehen wurden. Die Zeitung kam, sie fingen an, nach dem alten Mann zu suchen. Wo hat ein so alter Mann unschuldig umsonst gelitten? Das Papier kam vom König heraus. Sie begannen zu suchen. - Karataevs Unterkiefer zitterte. „Gott hat ihm vergeben – er ist gestorben.“ Also, Falke, - beendete Karataev und sah lange, schweigend lächelnd, vor sich hin.
Nicht die Geschichte selbst, sondern ihre geheimnisvolle Bedeutung, diese enthusiastische Freude, die bei dieser Geschichte in Karataevs Gesicht leuchtete, die geheimnisvolle Bedeutung dieser Freude, erfüllte jetzt vage und freudig Pierres Seele.
– A vos Orte! [Stellenweise!] – rief plötzlich eine Stimme.
Zwischen den Gefangenen und den Begleitpersonen herrschte freudige Verwirrung und die Erwartung von etwas Fröhlichem und Feierlichem. Von allen Seiten waren die Rufe des Kommandos zu hören, und von der linken Seite, um die Gefangenen herumtrabend, erschienen Kavalleristen, gut gekleidet, auf guten Pferden. Auf allen Gesichtern war der Ausdruck der Anspannung zu sehen, die Menschen in der Nähe höherer Autoritäten haben. Die Gefangenen drängten sich zusammen, sie wurden von der Straße gestoßen; Die Konvois stellten sich auf.
- L "Kaiser! L" Kaiser! Der Marschall! Le duc! [Kaiser! Kaiser! Marschall! Duke!] - und die wohlgenährten Eskorten waren gerade vorbeigefahren, als die Kutsche in einem Zug auf grauen Pferden donnerte. Pierre erhaschte einen Blick auf das ruhige, hübsche, fette und weiße Gesicht eines Mannes mit einem dreieckigen Hut. Es war einer der Marshals. Der Blick des Marschalls richtete sich auf die große, auffällige Gestalt von Pierre, und in dem Ausdruck, mit dem dieser Marschall die Stirn runzelte und sein Gesicht abwandte, schien es Pierre Mitgefühl und der Wunsch zu verbergen.
Der General, der das Depot führte, mit rotem, erschrockenem Gesicht, drängte auf seinem mageren Pferd, galoppierte hinter der Kutsche her. Mehrere Offiziere kamen zusammen, die Soldaten umringten sie. Alle hatten aufgeregte Gesichter.
- Qu "est ce qu" il a dit? Qu "est ce qu" il a dit? .. [Was hat er gesagt? Was? Was?..] – hörte Pierre.
Beim Durchgang des Marschalls drängten sich die Gefangenen zusammen, und Pierre sah Karataev, den er heute Morgen nicht gesehen hatte. Karataev saß in seinem Mantel an eine Birke gelehnt. In seinem Gesicht lag neben dem Ausdruck der freudigen Zärtlichkeit von gestern über die Geschichte des unschuldigen Leidens des Kaufmanns auch ein Ausdruck stiller Feierlichkeit.
Karataev sah Pierre mit seinen freundlichen runden Augen an, die jetzt mit Tränen bedeckt waren, und rief ihn anscheinend zu sich, wollte etwas sagen. Aber Pierre hatte zu viel Angst um sich selbst. Er tat so, als hätte er seine Augen nicht gesehen und eilte davon.
Als die Gefangenen wieder aufbrachen, blickte Pierre zurück. Karataev saß am Straßenrand neben einer Birke; und zwei Franzosen sagten etwas über ihn. Pierre blickte nicht mehr zurück. Hinkend ging er den Hügel hinauf.
Hinter der Stelle, wo Karataev saß, war ein Schuss zu hören. Pierre hörte diesen Schuss deutlich, aber im selben Moment, als er ihn hörte, erinnerte sich Pierre daran, dass er die Berechnung, die er vor der Passage des Marschalls begonnen hatte, über die Anzahl der Überfahrten nach Smolensk noch nicht beendet hatte. Und er fing an zu zählen. Zwei französische Soldaten, von denen einer einen Schuss mit rauchender Waffe in der Hand hielt, liefen an Pierre vorbei. Sie waren beide blass, und in ihrem Gesichtsausdruck - einer von ihnen sah Pierre schüchtern an - war etwas Ähnliches, was er bei einem jungen Soldaten bei einer Hinrichtung sah. Pierre sah den Soldaten an und erinnerte sich, wie dieser Soldat des dritten Tages sein Hemd verbrannte, während er auf dem Scheiterhaufen trocknete, und wie sie ihn auslachten.
Der Hund heulte von hinten, von der Stelle, wo Karataev saß. "Was für ein Dummkopf, was heult sie?" dachte Pierre.
Die Kameraden Soldaten, die neben Pierre gingen, blickten nicht wie er zurück auf die Stelle, an der ein Schuss und dann das Heulen eines Hundes zu hören waren; aber auf allen Gesichtern lag ein strenger Ausdruck.
Das Depot, die Gefangenen und der Konvoi des Marschalls hielten im Dorf Shamshev an. Alles drängte sich um die Feuer. Pierre ging zum Feuer, aß gebratenes Pferdefleisch, legte sich mit dem Rücken zum Feuer und schlief sofort ein. Er schlief wieder im selben Traum wie er nach Borodino in Mozhaisk schlief.
Wieder wurden die Ereignisse der Realität mit Träumen kombiniert, und wieder sprach jemand, sei es er selbst oder jemand anderes, Gedanken zu ihm, und sogar die gleichen Gedanken, die ihm in Mozhaisk gesagt wurden.
„Das Leben ist alles. Das Leben ist Gott. Alles bewegt und bewegt sich, und diese Bewegung ist Gott. Und solange es Leben gibt, gibt es die Freude am Selbstbewusstsein der Gottheit. Liebe das Leben, liebe Gott. Es ist am schwierigsten und am segensreichsten, dieses Leben im Leiden zu lieben, in der Unschuld des Leidens.
"Karataev" - Pierre erinnerte sich.
Und plötzlich stellte sich Pierre als lebender, längst vergessener, sanftmütiger alter Mann vor, der Pierre in der Schweiz Erdkunde beibrachte. „Warte“, sagte der alte Mann. Und er zeigte Pierre den Globus. Dieser Globus war eine lebendige, oszillierende Kugel ohne Dimensionen. Die gesamte Oberfläche der Kugel bestand aus eng zusammengepressten Tropfen. Und diese Tropfen bewegten sich alle, bewegten sich und verschmolzen dann von mehreren zu einem, dann wurden sie von einem in viele geteilt. Jeder Tropfen strebte danach, herauszufließen, den größten Raum zu erobern, aber andere, die dasselbe anstrebten, drückten ihn zusammen, zerstörten ihn manchmal, verschmolzen manchmal mit ihm.
„So ist das Leben“, sagte der alte Lehrer.
„Wie einfach und klar das ist“, dachte Pierre. Wie konnte ich das vorher nicht wissen?
- In der Mitte ist Gott, und jeder Tropfen neigt dazu, sich auszudehnen, um ihn in der größten Größe widerzuspiegeln. Und es wächst, verschmilzt und schrumpft und wird an der Oberfläche zerstört, geht in die Tiefe und taucht wieder auf. Hier ist er, Karataev, hier ist er verschüttet und verschwunden. - Vous avez compris, mon enfant, [Du verstehst.] - sagte der Lehrer.
- Vous avez compris, sacre nom, [Sie verstehen, verdammt noch mal.] - schrie eine Stimme, und Pierre wachte auf.
Er stand auf und setzte sich. Am Feuer saß auf seinen Hüften hockend ein Franzose, der gerade einen russischen Soldaten weggestoßen hatte, und briet das auf den Ladestock gelegte Fleisch. Drahtige, hochgesteckte, mit Haaren überwucherte, rote Hände mit kurzen Fingern drehten geschickt den Ladestock. Im Schein der Kohlen war deutlich ein braunes, düsteres Gesicht mit gerunzelten Brauen zu erkennen.
Online-Rechner.
Auswahl des Quadrats des Binoms und Faktorisierung des quadratischen Trinoms.
Dieses Matheprogramm extrahiert das Quadrat des Binoms aus dem quadratischen Trinom, d.h. macht eine Transformation der Form: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) und faktorisiert das quadratische Trinom: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Jene. die Probleme reduzieren sich darauf, die Zahlen \(p, q \) und \(n, m \) zu finden
Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess.
Dieses Programm kann für Schüler zur Vorbereitung auf Tests und Prüfungen nützlich sein, wenn sie Kenntnisse vor dem einheitlichen Staatsexamen testen, für Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.
Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Trinoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms
Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.
Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Ausführliches Lösungsbeispiel
Auswahl des Quadrats des Binoms.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Antworten:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisierung.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\links(x^2+x-2 \rechts) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Antworten:$$2x^2+2x-4 = 2 \links(x -1 \rechts) \links(x +2 \rechts) $$
Es wurde festgestellt, dass einige Skripte, die zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich sind, nicht geladen wurden und das Programm möglicherweise nicht funktioniert.
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Ein bisschen Theorie.
Extraktion eines quadratischen Binoms aus einem quadratischen Trinom
Wenn das quadratische Trinom ax 2 + bx + c als a (x + p) 2 + q dargestellt wird, wobei p und q reelle Zahlen sind, dann sagt man das aus quadratisches Trinom, das Quadrat des Binoms ist hervorgehoben.
Lassen Sie uns das Quadrat des Binoms aus dem Trinom 2x 2 +12x+14 extrahieren.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Dazu stellen wir 6x als Produkt von 2 * 3 * x dar und addieren und subtrahieren dann 3 2 . Wir bekommen:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Dass. wir das Quadrat des Binoms aus dem quadratischen Trinom ausgewählt, und zeigte, dass:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Faktorisierung eines quadratischen Trinoms
Wenn das quadratische Trinom ax 2 + bx + c als a(x+n)(x+m) dargestellt wird, wobei n und m reelle Zahlen sind, wird die Operation als ausgeführt bezeichnet Faktorisierungen eines quadratischen Trinoms.
Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie diese Transformation durchgeführt wird.
Lassen Sie uns das quadratische Trinom 2x 2 +4x-6 faktorisieren.
Nehmen wir den Koeffizienten a aus der Klammer, d.h. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern umwandeln.
Dazu stellen wir 2x als die Differenz 3x-1x und -3 als -1*3 dar. Wir bekommen:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Dass. wir Zerlege das quadratische Trinom, und zeigte, dass:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Beachten Sie, dass die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms nur möglich ist, wenn die quadratische Gleichung, die diesem Trinom entspricht, Wurzeln hat.
Jene. in unserem Fall ist die Faktorisierung des Trinoms 2x 2 +4x-6 möglich, wenn die quadratische Gleichung 2x 2 +4x-6 =0 Wurzeln hat. Beim Faktorisieren haben wir festgestellt, dass die Gleichung 2x 2 +4x-6 =0 zwei Wurzeln hat, 1 und -3, weil mit diesen Werten wird die Gleichung 2(x-1)(x+3)=0 zu einer wahren Gleichheit.
Wie ich bereits bemerkte, gibt es in der Integralrechnung keine praktische Formel zum Integrieren eines Bruchs. Und deshalb gibt es einen traurigen Trend: Je „schicker“ der Bruch ist, desto schwieriger ist es, das Integral daraus zu finden. Hier muss man zu diversen Tricks greifen, auf die ich nun eingehen werde. Vorbereitete Leser können sofort verwenden Inhaltsverzeichnis:
- Die Methode des Subsumierens unter das Vorzeichen des Differentials für einfache Brüche
Zähler Künstliche Transformationsmethode
Beispiel 1
Übrigens kann das betrachtete Integral auch mit der Methode des Variablenwechsels gelöst werden, was bedeutet, aber die Lösung wird viel länger dauern.
Beispiel 2
Finden Sie das unbestimmte Integral. Führen Sie eine Überprüfung durch.
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Zu beachten ist, dass hier die Variablenersetzungsmethode nicht mehr funktioniert.
Achtung wichtig! Beispiele Nr. 1, 2 sind typisch und üblich. Insbesondere entstehen solche Integrale oft beim Lösen anderer Integrale, insbesondere beim Integrieren irrationaler Funktionen (Wurzeln).
Die obige Methode funktioniert auch in dem Fall wenn die höchste Potenz des Zählers größer ist als die höchste Potenz des Nenners.
Beispiel 3
Finden Sie das unbestimmte Integral. Führen Sie eine Überprüfung durch.
Beginnen wir mit dem Zähler.
Der Zählerauswahlalgorithmus sieht ungefähr so aus:
1) Im Zähler muss ich organisieren , aber da . Was zu tun ist? Ich schließe in Klammern ein und multipliziere mit: .
2) Jetzt versuche ich diese Klammern zu öffnen, was passiert? . Hmm ... schon besser, aber es steht keine Zwei mit am Anfang im Zähler. Was zu tun ist? Du musst multiplizieren mit:
3) Klammern wieder öffnen: . Und hier ist der erste Erfolg! Benötigt stellte sich heraus! Aber das Problem ist, dass ein zusätzlicher Begriff aufgetaucht ist. Was zu tun ist? Damit sich der Ausdruck nicht ändert, muss ich das gleiche zu meiner Konstruktion hinzufügen: 
. Das Leben ist einfacher geworden. Ist es möglich, im Zähler neu zu organisieren?
4) Sie können. Wir versuchen: 
. Erweitern Sie die Klammern des zweiten Terms: 
. Entschuldigung, aber ich hatte eigentlich im vorherigen Schritt und nicht . Was zu tun ist? Wir müssen den zweiten Term multiplizieren mit: 
5) Auch hier öffne ich zur Kontrolle die Klammern im zweiten Term: 
. Jetzt ist es normal: Ab der endgültigen Konstruktion von Absatz 3 erhalten! Aber wieder gibt es ein kleines „aber“, ein zusätzlicher Begriff ist aufgetaucht, was bedeutet, dass ich meinen Ausdruck ergänzen muss: 
Wenn alles richtig gemacht ist, sollten wir beim Öffnen aller Klammern den ursprünglichen Zähler des Integranden erhalten. Wir überprüfen:
Gut.
Auf diese Weise: 
Bereit. Im letzten Semester habe ich die Methode angewendet, die Funktion unter das Differential zu bringen.
Wenn wir die Ableitung der Antwort finden und den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann erhalten wir genau den ursprünglichen Integranden. Die betrachtete Methode der Erweiterung in eine Summe ist nichts anderes als die umgekehrte Aktion, um den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Der Zählerauswahlalgorithmus in solchen Beispielen wird am besten an einem Entwurf durchgeführt. Mit etwas Geschick klappt es auch mental. Ich erinnere mich an eine Rekordzeit, als ich eine Auswahl für die 11. Potenz machte und die Erweiterung des Zählers fast zwei Zeilen Werd dauerte.
Beispiel 4
Finden Sie das unbestimmte Integral. Führen Sie eine Überprüfung durch.
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.
Die Methode des Subsumierens unter das Vorzeichen des Differentials für einfache Brüche
Kommen wir zur nächsten Art von Brüchen.
, , , (die Koeffizienten und sind ungleich Null).
Tatsächlich sind bereits einige Fälle mit Arkussinus und Arkustangens in die Lektion gerutscht Variable Änderungsmethode im unbestimmten Integral. Solche Beispiele löst man, indem man die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials bringt und dann über die Tabelle integriert. Hier sind einige weitere typische Beispiele mit einem langen und hohen Logarithmus:
Beispiel 5
Beispiel 6
Hier ist es ratsam, eine Integraltabelle zur Hand zu nehmen und den Formeln und Formeln zu folgen Wie Verwandlung findet statt. Beachten Sie, wie und warum Quadrate sind in diesen Beispielen hervorgehoben. Insbesondere in Beispiel 6 müssen wir zuerst den Nenner als darstellen 
, dann unter das Vorzeichen des Differentials bringen. Und Sie müssen all dies tun, um die Standard-Tabellenformel zu verwenden 
.
Aber worauf Sie achten sollten, versuchen Sie, die Beispiele Nr. 7,8 selbst zu lösen, zumal sie ziemlich kurz sind:
Beispiel 7
Beispiel 8
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Wenn Sie diese Beispiele auch überprüfen können, dann ist Ihr Differenzierungsgeschick am besten.
Vollquadrat-Auswahlmethode
Integrale der Form , 
(Koeffizienten und ungleich Null) gelöst werden Full-Square-Auswahlmethode, die bereits in der Lektion aufgetaucht ist Geometrische Diagrammtransformationen.
Tatsächlich reduzieren sich solche Integrale auf eines der vier Tabellenintegrale, die wir gerade betrachtet haben. Und dies geschieht mit den bekannten abgekürzten Multiplikationsformeln:
Formeln werden in diese Richtung angewendet, das heißt, die Idee der Methode besteht darin, die Ausdrücke künstlich entweder im Nenner zu organisieren und sie dann jeweils in oder umzuwandeln.
Beispiel 9
Finden Sie das unbestimmte Integral
Dies ist das einfachste Beispiel, wo mit dem Begriff - Einheitskoeffizient(und nicht irgendeine Zahl oder Minus).
Wir schauen auf den Nenner, hier wird das Ganze ganz klar auf den Fall reduziert. Beginnen wir mit der Umrechnung des Nenners:
Offensichtlich müssen Sie 4 hinzufügen. Und damit sich der Ausdruck nicht ändert - die gleichen vier und subtrahieren:
Jetzt können Sie die Formel anwenden:
Nachdem die Konvertierung abgeschlossen ist STETS Es ist wünschenswert, eine Rückwärtsbewegung durchzuführen: Alles ist in Ordnung, es gibt keine Fehler.
Das saubere Design des betreffenden Beispiels sollte ungefähr so aussehen: 
Bereit. Eine "freie" komplexe Funktion unter das Differentialzeichen zu bringen, könnte im Prinzip vernachlässigt werden
Beispiel 10
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Dies ist ein Beispiel zum Selbstlösen, die Lösung steht am Ende der Lektion.
Beispiel 11
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Was tun, wenn ein Minus davor steht? In diesem Fall müssen Sie das Minus aus Klammern entfernen und die Begriffe in der von uns benötigten Reihenfolge anordnen:. Konstante("doppelt" in dieser Fall) Nicht Tasten!
Jetzt fügen wir eins in Klammern hinzu. Wenn wir den Ausdruck analysieren, kommen wir zu dem Schluss, dass wir einen hinter der Klammer brauchen - fügen Sie hinzu:
Hier ist die Formel, gelten:
STETS Wir prüfen den Entwurf:
, was zu überprüfen war.
Das cleane Design des Beispiels sieht ungefähr so aus: 
Wir erschweren die Aufgabe
Beispiel 12
Finden Sie das unbestimmte Integral: 
Hier handelt es sich bei dem Begriff nicht mehr um einen einzelnen Koeffizienten, sondern um eine „Fünf“.
(1) Wenn bei eine Konstante gefunden wird, entfernen wir sie sofort aus der Klammer.
(2) Generell ist es immer besser, diese Konstante aus dem Integral herauszunehmen, damit sie nicht stört.
(3) Es ist offensichtlich, dass alles auf die Formel gebracht wird. Es ist notwendig, den Begriff zu verstehen, nämlich eine "zwei" zu bekommen
(4) Ja, . Also addieren wir den Ausdruck und subtrahieren denselben Bruch.
(5) Wählen Sie nun ein ganzes Quadrat aus. Im allgemeinen Fall muss auch berechnet werden, aber hier haben wir eine lange Logarithmusformel 
, und die Aktion macht keinen Sinn, warum - es wird ein wenig tiefer klar werden.
(6) Tatsächlich können wir die Formel anwenden 
, nur statt "x" haben wir, was die Gültigkeit des Tabellenintegrals nicht negiert. Genau genommen fehlt ein Schritt - vor der Integration hätte die Funktion unter das Differentialzeichen gebracht werden müssen: 
, aber wie ich wiederholt bemerkt habe, wird dies oft vernachlässigt.
(7) In der Antwort unter der Wurzel ist es wünschenswert, alle Klammern wieder zu öffnen:
Schwer? Dies ist nicht das Schwierigste in der Integralrechnung. Obwohl die betrachteten Beispiele nicht so sehr kompliziert sind, erfordern sie vielmehr eine gute Berechnungstechnik.
Beispiel 13
Finden Sie das unbestimmte Integral:
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Antworten Sie am Ende der Lektion.
Es gibt Integrale mit Wurzeln im Nenner, die mit Hilfe einer Ersetzung auf Integrale des betrachteten Typs reduziert werden, Sie können darüber im Artikel lesen Komplexe Integrale, aber es ist für gut vorbereitete Schüler konzipiert.
Den Zähler unter das Vorzeichen des Differentials bringen
Dies ist der letzte Teil der Lektion, aber Integrale dieser Art sind ziemlich üblich! Wenn sich die Müdigkeit angesammelt hat, ist es vielleicht besser, morgen zu lesen? ;)
Die Integrale, die wir betrachten werden, ähneln den Integralen des vorherigen Absatzes, sie haben die Form: oder 
(die Koeffizienten , und sind ungleich Null).
Das heißt, wir haben eine lineare Funktion im Zähler. Wie löst man solche Integrale?
x Name-
1.2.3. Verwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten
Beispiel. Faktor x 4 16.
x 4 16 x 2 2 42 x 2 4 x 2 4 x 2 x 2 x 2 4 .
1.2.4. Faktorisieren eines Polynoms mit seinen Wurzeln
Satz. Das Polynom P x habe eine Wurzel x 1 . Dann kann dieses Polynom wie folgt faktorisiert werden: P x x x 1 S x , wobei S x ein Polynom ist, dessen Grad eins kleiner ist als
Werte abwechselnd in den Ausdruck für P x. Das bekommen wir für x 2 du-
der Ausdruck wird zu 0, d. h. P 2 0, was bedeutet, dass x 2 die Wurzel des Multi-
Mitglied. Teilen Sie das Polynom P x durch x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10x | x2 x12 |
12x2412x24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x 3 x 4
1.3. Vollständige quadratische Auswahl
Die Methode der vollständigen Quadratauswahl basiert auf den folgenden Formeln: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Die Auswahl des vollen Quadrats ist eine solche identische Transformation, bei der das gegebene Trinom als a b 2 die Summe oder Differenz des Quadrats des Binoms und eines numerischen oder wörtlichen Ausdrucks dargestellt wird.
Ein quadratisches Trinom in Bezug auf eine Variable ist ein Ausdruck der Form
ax 2 bx c , wobei a , b und c Zahlen sind, und a 0 . | |||||||||||||
Wir transformieren das quadratische Trinom ax 2 bx c wie folgt. | x2 : |
||||||||||||
Koeffizient | |||||||||||||
Dann stellen wir den Ausdruck b x als 2b x (Doppelprodukt
x): ein x | ||||||||||||||||
Addieren und subtrahieren Sie zum Ausdruck in Klammern die Zahl
was das Quadrat einer Zahl ist | Als Ergebnis erhalten wir: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Das merkt man jetzt | Bekommen | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Beispiel. Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 4x5 2x2 2x5 | 2x2 2x1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 ein 2,
1.4. Polynome in mehreren Variablen
Polynome in mehreren Variablen können wie Polynome in einer Variablen addiert, multipliziert und in eine natürliche Potenz erhoben werden.
Eine wichtige Identitätstransformation eines Polynoms in mehreren Variablen ist die Faktorisierung. Faktorisierungstechniken wie das Einklammern des gemeinsamen Faktors, das Gruppieren, das Verwenden abgekürzter Multiplikationsidentitäten, das Hervorheben des vollen Quadrats, das Einführen von Hilfsvariablen werden hier verwendet.
1. Faktorisiere das Polynom P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2 Jahre 32 x 2 x 364 Jahre 32 x 2 x 4 Jahre x 24 Jahre x 16 Jahre 2.
2. Faktorisiere P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Wenden Sie die Gruppierungsmethode an
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4x3y5xz.
3. Faktorisiere P x ,y x 4 4y 4 . Wählen wir ein ganzes Quadrat aus:
x 4j 4x 44 x 2j 24 j 24 x 2j 2x 22 j 2 2 4 x 2j 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Gradeigenschaften mit einem beliebigen rationalen Exponenten
Ein Grad mit einem beliebigen rationalen Exponenten hat die folgenden Eigenschaften:
1. ein r 1 ein r 2 ein r 1r 2,
ein r 1 ein r 2 ein r 1r 2, |
||||||
3. ein r 1r 2 ein r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
ein r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
||||||
wobei a 0;b 0;r 1 ;r 2 beliebige rationale Zahlen sind.
1. Multipliziere 8 | x3 12x7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24x23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Faktorisieren | a2x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Übungen zur Selbstverwirklichung
1. Führen Sie Aktionen mit abgekürzten Multiplikationsformeln durch. einer) a 52 ;
2) 3 a 72;
3) ein nb n2 .
4) 1 x 3;
3 und 3 ; | |||||
7) 8a 2 8a 2 ;
8) ein nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) ein 3a 2 3a 9 ;
11) ein 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Berechnen Sie mit den abgekürzten Multiplikationsidentitäten:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Beweisen Sie die Identitäten:
einer). x 2 13 3 x 2 x 12 6 x x 1 11 x 3 32 2;
2) ein 2b 2 2 2 ab 2 ein 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Faktorisieren Sie die folgenden Polynome:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63m 4n 327m 3n 445m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24x38bx12a19b;
7) 25 ein 21 b 2q 2;
8) 9 5 ein 4b 2 64a 2 ;
9) 121n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20 tn 25 n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 S. 3 q 8 72 S. 4 q 7 81 S. 5 q 6 ;
13) 6x3 36x 2 72x 48;
14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;
15) 9 ein 3 n 1 4,5 ein 2 n 1;
16) 5 p 2 n q n 15 p 5 n q 2 n ;
17) 4 ein 7b 232 ein 4b 5;
18) 7 x 24 Jahre 2 2 3 x 28 Jahre 2 2;
19) 1000 t 3 27 t 6 .
5. Am einfachsten rechnen:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Finden Sie den Quotienten und den Rest der Division eines Polynoms P x durch Polynom Q x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .
7. Beweisen Sie, dass das Polynom x 2 2x 2 hat keine wirklichen Wurzeln.
8. Finden Sie die Wurzeln eines Polynoms:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3 x 2 5 x 15.
9. Faktorisieren:
1) 6 ein 2 ein 5 5 ein 3;
2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2 ;
3) x 3 6 x 2 11 x 6.
10. Lösen Sie Gleichungen, indem Sie ein volles Quadrat auswählen:
1) x 2 2 x 3 0;
2) x 2 13 x 30 0 .
11. Ausdruckswerte finden:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Berechnen:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
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