Bewegung aufeinander zu Formel. Abfahrt auf die Gegenfahrbahn. Schutz personenbezogener Daten

Mathematik ist ein ziemlich schwieriges Fach, aber absolut jeder muss es im Schulkurs bestehen. Bewegungsaufgaben sind für Schüler besonders schwierig. Wie Sie das Problem ohne Probleme und viel Zeitaufwand lösen können, werden wir in diesem Artikel betrachten.

Beachten Sie, dass diese Aufgaben beim Üben keine Schwierigkeiten verursachen. Der Entscheidungsprozess kann bis zum Automatismus entwickelt werden.

Sorten

Was versteht man unter dieser Art von Aufgabe? Dies sind recht einfache und einfache Aufgaben, zu denen die folgenden Sorten gehören:

• Gegenverkehr;
• nach;
• Bewegung in die entgegengesetzte Richtung;
• Flussbewegung.

Wir schlagen vor, jede Option separat zu prüfen. Natürlich werden wir nur anhand von Beispielen analysieren. Aber bevor wir uns der Frage nach der Bewegung zuwenden, lohnt es sich, eine Formel einzuführen, die wir benötigen, um absolut alle Aufgaben dieser Art zu lösen.

Formel: S=V*t. Eine kleine Erklärung: S ist der Weg, der Buchstabe V bezeichnet die Bewegungsgeschwindigkeit und der Buchstabe t bezeichnet die Zeit. Alle Mengen können durch diese Formel ausgedrückt werden. Dementsprechend ist die Geschwindigkeit gleich der Distanz dividiert durch die Zeit und die Zeit ist die Distanz dividiert durch die Geschwindigkeit.

Bewegung hin

Dies ist die häufigste Aufgabenart. Betrachten Sie das folgende Beispiel, um das Wesentliche der Lösung zu verstehen. Bedingung: „Zwei Freunde auf Fahrrädern machen sich gleichzeitig auf den Weg zueinander, während der Weg von einem Haus zum anderen 100 km beträgt. Wie groß ist die Entfernung nach 120 Minuten, wenn bekannt ist, dass die Geschwindigkeit des einen 20 km beträgt pro Stunde, und die zweite fünfzehn.“ Kommen wir zur Frage, wie man das Problem des entgegenkommenden Radverkehrs lösen kann.

Dazu müssen wir einen weiteren Begriff einführen: „Geschwindigkeit der Konvergenz“. In unserem Beispiel beträgt sie 35 km/h (20 km/h + 15 km/h). Dies wird der erste Schritt zur Lösung des Problems sein. Als nächstes multiplizieren wir die Annäherungsgeschwindigkeit mit zwei, da sie sich zwei Stunden lang bewegt haben: 35 * 2 = 70 km. Wir haben die Entfernung gefunden, die die Radfahrer in 120 Minuten zurücklegen werden. Die letzte Aktion bleibt: 100-70=30 Kilometer. Mit dieser Berechnung haben wir den Abstand zwischen Radfahrern ermittelt. Antwort: 30 km.

Wenn Sie nicht verstehen, wie Sie das Problem des Gegenverkehrs mithilfe der Annäherungsgeschwindigkeit lösen können, verwenden Sie eine andere Option.

Zweiter Weg

Zuerst finden wir den Weg, den der erste Radfahrer zurückgelegt hat: 20*2=40 Kilometer. Nun der Weg des 2. Freundes: fünfzehn mal zwei, das sind dreißig Kilometer. Wir addieren die Strecke, die der erste und der zweite Radfahrer zurückgelegt haben: 40+30=70 Kilometer. Wir haben gelernt, welchen Weg sie gemeinsam zurückgelegt haben, also bleibt die zurückgelegte Strecke vom Gesamtweg abzuziehen: 100-70 = 30 km. Antwort: 30 km.

Wir haben die erste Art von Bewegungsproblemen betrachtet. Wie man sie löst, jetzt ist es klar, gehen wir zum nächsten Formular über.

Bewegung in die entgegengesetzte Richtung

Bedingung: „Zwei Hasen galoppierten aus demselben Loch in entgegengesetzter Richtung. Die Geschwindigkeit des ersten beträgt 40 km/h und die des zweiten 45 km/h. Wie weit werden sie in zwei Stunden voneinander entfernt sein?“

Hier gibt es, wie im vorigen Beispiel, zwei mögliche Lösungen. Beim ersten gehen wir wie gewohnt vor:

1. Weg des ersten Hasen: 40*2=80 km.
2. Weg des zweiten Hasen: 45*2=90 km.
3. Der gemeinsam zurückgelegte Weg: 80+90=170 km. Antwort: 170 km.

Aber auch eine andere Möglichkeit ist möglich.

Entfernungsgeschwindigkeit

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, taucht bei dieser Aufgabe, ähnlich wie bei der ersten, ein neuer Begriff auf. Betrachten Sie die folgende Art von Bewegungsproblem, wie Sie sie mit der Entfernungsrate lösen können.

Wir werden es zuerst finden: 40 + 45 = 85 Kilometer pro Stunde. Es bleibt herauszufinden, wie groß die Entfernung zwischen ihnen ist, da alle anderen Daten bereits bekannt sind: 85 * 2 = 170 km. Antwort: 170 km. Wir haben die Lösung von Bewegungsproblemen auf traditionelle Weise betrachtet, sowie die Geschwindigkeit des Annäherns und Entfernens.

Hinterherjagen

Schauen wir uns ein Beispiel für ein Problem an und versuchen, es gemeinsam zu lösen. Bedingung: „Zwei Schulkinder, Kirill und Anton, verließen die Schule und bewegten sich mit einer Geschwindigkeit von 50 Metern pro Minute. Kostya folgte ihnen sechs Minuten später mit einer Geschwindigkeit von 80 Metern pro Minute. Wie lange wird Kostya Kirill und Anton einholen? "

Also, wie löst man Probleme beim Umzug? Hier brauchen wir die Geschwindigkeit der Konvergenz. Nur in diesem Fall lohnt es sich, nicht zu addieren, sondern zu subtrahieren: 80-50 \u003d 30 m pro Minute. Im zweiten Schritt finden wir heraus, wie viele Meter die Schulkinder trennen, bevor Kostya geht. Dafür 50 * 6 = 300 Meter. Die letzte Aktion besteht darin, die Zeit zu finden, in der Kostya Kirill und Anton einholt. Dazu muss der Weg von 300 Metern durch die Annäherungsgeschwindigkeit von 30 Metern pro Minute geteilt werden: 300:30=10 Minuten. Antwort: in 10 Minuten.

Schlussfolgerungen

Aus dem Vorstehenden lassen sich einige Schlussfolgerungen ziehen:

• Bei der Lösung von Bewegungsproblemen ist es bequem, die Geschwindigkeit der Annäherung und Entfernung zu verwenden.
• Wenn wir über Gegenbewegungen oder Bewegungen voneinander sprechen, werden diese Größen durch Addition der Geschwindigkeiten von Objekten gefunden.
• stehen wir vor der aufgabe nachzurücken, dann verwenden wir die aktion, das gegenteil der addierung, also der subtraktion.

Wir haben einige Bewegungsprobleme betrachtet, wie man sie löst, es herausgefunden, uns mit den Begriffen "Annäherungsgeschwindigkeit" und "Entfernungsgeschwindigkeit" vertraut gemacht, es bleibt der letzte Punkt zu berücksichtigen, nämlich: wie man Probleme löst Bewegung entlang des Flusses?

Fließen

Hier können Sie sich wiedersehen:

• Aufgaben aufeinander zu bewegen;
• Verfolgungsbewegung;
• Bewegung in die entgegengesetzte Richtung.

Aber im Gegensatz zu den vorherigen Aufgaben hat der Fluss eine Fließgeschwindigkeit, die nicht ignoriert werden sollte. Hier bewegen sich die Objekte entweder entlang des Flusses - dann ist diese Geschwindigkeit zur eigenen Geschwindigkeit der Objekte zu addieren, oder gegen die Strömung - sie muss von der Geschwindigkeit des Objekts abgezogen werden.

Ein Beispiel für eine Aufgabe zum Bewegen entlang eines Flusses

Bedingung: Mit einer Geschwindigkeit von 120 km/h stromabwärts gefahren und zurückgekehrt, wobei zwei Stunden weniger Zeit verbracht wurde als gegen den Strom. Wie schnell ist ein Jetski in stillem Wasser?" Wir bekommen eine aktuelle Geschwindigkeit von einem Kilometer pro Stunde.

Kommen wir zur Lösung. Wir schlagen vor, eine Tabelle für ein gutes Beispiel zu erstellen. Nehmen wir die Geschwindigkeit eines Motorrads in ruhigem Wasser als x, dann ist die Geschwindigkeit flussabwärts x + 1 und gegen x-1. Die Hin- und Rückstrecke beträgt 120 km. Es stellt sich heraus, dass die Zeit, die für die Bewegung stromaufwärts aufgewendet wird, 120:(x-1) und die Zeit stromabwärts 120:(x+1) beträgt. Es ist bekannt, dass 120:(x-1) zwei Stunden weniger ist als 120:(x+1). Jetzt können wir mit dem Ausfüllen der Tabelle fortfahren.

Was wir haben: (120/(x-1))-2=120/(x+1) Multipliziere jeden Teil mit (x+1)(x-1);

120(x+1)-2(x+1)(x-1)-120(x-1)=0;

Wir lösen die Gleichung:

Wir stellen fest, dass es hier zwei Antworten gibt: + -11, da sowohl -11 als auch +11 quadratisch 121 ergeben, aber unsere Antwort wird positiv sein, da die Geschwindigkeit des Motorrads keinen negativen Wert haben kann, daher können wir die Antwort schreiben : 11 km pro Stunde . Damit haben wir die benötigte Größe gefunden, nämlich die Geschwindigkeit in stillem Wasser.

Wir haben alle möglichen Optionen für Bewegungsaufgaben berücksichtigt, jetzt sollten Sie beim Lösen keine Probleme und Schwierigkeiten haben. Um sie zu lösen, müssen Sie die grundlegende Formel und Konzepte wie "die Geschwindigkeit der Annäherung und Entfernung" lernen. Seien Sie geduldig, arbeiten Sie diese Aufgaben durch, und der Erfolg wird sich einstellen.

BEI Bewegungsaufgaben In der Regel werden Formeln verwendet, die das Gesetz der gleichförmigen Bewegung ausdrücken, d.h.

s = v t.

Beim Aufstellen von Gleichungen in solchen Problemen ist es zweckmäßig, eine geometrische Darstellung des Bewegungsvorgangs zu verwenden.

Wenn Sie sich entlang eines Kreises bewegen, ist es zweckmäßig, das Konzept der Winkelgeschwindigkeit zu verwenden, d.h. der Winkel, um den sich ein bewegtes Objekt pro Zeiteinheit um seinen Mittelpunkt dreht. Es kommt vor, dass, um die Aufgabe zu erschweren, ihre Bedingung in verschiedenen Maßeinheiten formuliert wird. In solchen Fällen ist es zur Formulierung von Gleichungen erforderlich, alle gegebenen Werte in derselben Maßeinheit auszudrücken.

Als Quelle für die Aufstellung von Gleichungen in Bewegungsproblemen dienen folgende Überlegungen:

1) Objekte, die gleichzeitig begonnen haben, sich aufeinander zu zu bewegen, bewegen sich bis zum Moment der Begegnung zur gleichen Zeit. Die Zeit, nach der sie sich treffen, wird durch die Formel gefunden

t = s/(v 1 + v 2) (*).

2) Wenn ein Körper einen anderen einholt, wird die Zeit, nach der der erste den zweiten einholt, durch die Formel berechnet

t \u003d s / (v 1 - v 2) (**).

3) Wenn die Objekte die gleiche Distanz zurückgelegt haben, ist es zweckmäßig, den Wert dieser Distanz als gemeinsame Unbekannte des Problems zu nehmen.

4) Wenn bei der gleichzeitigen Bewegung zweier Objekte entlang eines Kreises von einem Punkt aus einer von ihnen den anderen zum ersten Mal einholt, dann ist die Differenz ihrer bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegten Entfernungen gleich dem Umfang

5) Für die Zeit eines neuen Treffens bei Bewegung in entgegengesetzte Richtungen erhalten wir die Formel (*), wenn in eine Richtung, dann die Formel (**).

6) Bei der Bewegung entlang des Flusses ist die Geschwindigkeit eines Objekts gleich der Summe der Geschwindigkeiten in stillem Wasser und der Geschwindigkeit der Strömung. Bei der Bewegung gegen den Strom ist die Bewegungsgeschwindigkeit die Differenz zwischen diesen Geschwindigkeiten.

Analytische Lösung von Bewegungsproblemen

Aufgabe 1.

Zwei Fußgänger gingen gleichzeitig aufeinander zu und trafen sich nach 3 Stunden und 20 Minuten. Wie lange hat jeder Fußgänger für die gesamte Strecke gebraucht, wenn bekannt ist, dass der erste an der Stelle angekommen ist, von der der zweite abgefahren ist, 5 Stunden später als der zweite an der Stelle angekommen ist, von der der erste abgefahren ist?

Lösung.

Es gibt keine Informationen über die bei diesem Problem zurückgelegte Strecke. Dies ist sein Hauptmerkmal. In solchen Fällen ist es zweckmäßig, die gesamte Strecke als Einheit zu nehmen, dann ist die Geschwindigkeit des ersten Fußgängers gleich
v 1 = 1/x und der zweite – v 2 = 1/y, wobei x Stunden die Reisezeit des ersten und y die Reisezeit des zweiten Fußgängers ist.

Die Bedingungen des Problems erlauben es uns, ein Gleichungssystem aufzustellen:

(3⅓ 1/x + 3⅓ 1/y = 1,
(x - y = 5.

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir, dass y = 5, x = 10.

Antwort: 10 Uhr und 5 Uhr.

Aufgabe 2.

Ein Radfahrer verließ Punkt A für Punkt B. Nach 3 Stunden fuhr ein Motorradfahrer von Punkt B auf ihn zu, mit einer Geschwindigkeit, die dreimal höher war als die Geschwindigkeit eines Fahrradfahrers. Das Treffen des Radfahrers und des Motorradfahrers findet in der Mitte zwischen den Punkten A und B statt. Wenn der Motorradfahrer 2 Stunden später als der Radfahrer abfahren würde, würde ihr Treffen 15 Kilometer näher am Punkt A stattfinden. Finden Sie die Entfernung AB.

Lösung.

Machen wir eine Illustration für das Problem (Abb. 1).

Sei AB = s km, v km/h ist die Geschwindigkeit des Fahrradfahrers, 3v km/h ist die Geschwindigkeit des Motorradfahrers.

t 1 \u003d 0,5 s / v Stunden - die Zeit vor dem Treffen des Radfahrers,

t 2 \u003d 0,5 s / 3v Stunden - die Zeit bis zum Treffen des Motorradfahrers.

Unter Bedingung t 1 - t 2 \u003d 3, dann 0,5 s / v - 0,5 s / 3v \u003d 3, von wo s \u003d 9v.

Wenn der Motorradfahrer 2 Stunden später als der Radfahrer abfuhr, würden sie sich am Punkt F treffen.

AF = 0,5 s - 15, BF = 0,5 s + 15.

Stellen wir die Gleichung auf: (0,5 s - 15) / v - (0,5 s + 15) / 3v = 2, woher s - 60 = 6v.

Wir erhalten ein Gleichungssystem:

(s=9v,
(s = 60 + 6v.

(v=20,
(s = 180.

Antwort: v = 20 km/h, s = 180 km.

Grafische Methode zur Lösung von Bewegungsproblemen

Es gibt auch eine grafische Methode zur Lösung von Problemen. Betrachten wir die Anwendung dieser Methode zur Lösung von Bewegungsproblemen. Die grafische Darstellung von Funktionen, die den Zustand des Problems beschreiben, ist oft eine sehr praktische Technik, mit der Sie die Situation des Problems visualisieren können. Sie können damit auch neue Gleichungen aufstellen oder die algebraische Lösung des Problems durch eine rein geometrische ersetzen.

Aufgabe 3.

Der Fußgänger ging von Punkt A nach Punkt B. Ein Radfahrer folgte ihm und verließ Punkt A, jedoch mit einer Verspätung von 2 Stunden. Nach weiteren 30 Minuten fuhr ein Motorradfahrer in Richtung Punkt B ab. Ein Fußgänger, ein Radfahrer und ein Motorradfahrer bewegten sich ohne anzuhalten und gleichmäßig zu Punkt B. Einige Zeit nachdem der Motorradfahrer gegangen war, stellte sich heraus, dass zu diesem Zeitpunkt alle drei den gleichen Wegabschnitt von A nach B zurückgelegt hatten. Wie viele Minuten vor dem Fußgänger kam der Radfahrer am Punkt B an, wenn der Motorradfahrer am Punkt B 1 ankam Stunde vor dem Fußgänger?

Lösung.

Eine algebraische Lösung erfordert die Einführung vieler Variablen und die Erstellung eines umständlichen Systems. Grafisch ist die im Problem beschriebene Situation in Abbildung 2 dargestellt.

Mit der Ähnlichkeit der Dreiecke AOL und KOM sowie der Dreiecke AOP und KON können Sie eine Proportion vornehmen:

x = 4/5 h = 48 Minuten.

Antwort: 48 Minuten.

Aufgabe 4.

Zwei Boten verließen gleichzeitig die beiden Städte aufeinander zu. Nach dem Treffen war einer von ihnen weitere 16 Stunden unterwegs und der zweite - 9 Stunden. Bestimmen Sie, wie lange jeder Bote gereist ist.

Lösung.

Die Zeit der Bewegung bis zum Treffen jedes Boten sei t. Je nach Zustand des Problems erstellen wir einen Graphen (Abb. 3).

Ähnlich wie bei Aufgabe 3 ist es notwendig, die Ähnlichkeit von Dreiecken zu verwenden.

Also, 12 + 16 = 28 (Stunden) - der erste war unterwegs, 12 + 9 = 21 (Stunden) - der zweite war unterwegs.

Antwort: 21 Stunden und 28 Stunden.

Deshalb haben wir die wichtigsten Methoden zur Lösung von Bewegungsproblemen analysiert. In der Prüfung sind sie sehr häufig, üben Sie also unbedingt das Lösen dieser Probleme.

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§ 1 Gegenverkehr

In dieser Lektion lernen wir die Aufgaben für den Gegenverkehr kennen.

Bei der Lösung eines Bewegungsproblems werden wir mit Begriffen wie "Geschwindigkeit", "Zeit" und "Entfernung" konfrontiert.

Die Geschwindigkeit ist die Entfernung, die ein Objekt pro Zeiteinheit zurücklegt. Die Geschwindigkeit wird in km/h, m/s usw. gemessen. Gekennzeichnet durch den lateinischen Buchstaben ʋ.

Zeit ist die Zeit, die ein Objekt benötigt, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen. Die Zeit wird in Sekunden, Minuten, Stunden usw. gemessen. Bezeichnet mit dem lateinischen Buchstaben t.

Distanz ist die Strecke, die ein Objekt in einer bestimmten Zeit zurücklegt. Die Entfernung wird in Kilometern, Metern, Dezimetern usw. gemessen. Mit dem lateinischen Buchstaben S bezeichnet.

Bei Bewegungsproblemen sind diese Konzepte miteinander verbunden. Um also die Geschwindigkeit zu ermitteln, müssen Sie die Entfernung durch die Zeit teilen: ʋ = S: t. Um die Zeit zu finden, müssen Sie die Entfernung durch die Geschwindigkeit teilen: t = S: ʋ. Und um die Entfernung zu finden, wird die Geschwindigkeit mit der Zeit multipliziert: S = ʋ · t.

Wenn es um Aufgaben für den Gegenverkehr geht, verwenden sie das Konzept der „Annäherungsgeschwindigkeit“. Die Annäherungsgeschwindigkeit ist die Entfernung, die sich Objekte pro Zeiteinheit nähern. Bezeichnet als ʋsbl..

Um die Annäherungsgeschwindigkeit im Gegenverkehr zu ermitteln, müssen Sie, wenn Sie die Geschwindigkeiten von Objekten kennen, die Summe dieser Geschwindigkeiten ermitteln: ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2. Um die Annäherungsgeschwindigkeit zu ermitteln, muss man bei bekannter Zeit und Entfernung die Entfernung durch die Zeit dividieren: ʋsbl. = S: t.

§ 2 Problemlösung

Berücksichtigen Sie die Beziehung zwischen den Begriffen "Geschwindigkeit", "Zeit" und "Entfernung", wenn Sie Probleme für den Gegenverkehr lösen.

PROBLEM 1. Von zwei Bahnhöfen, die 564 km voneinander entfernt sind, fuhren gleichzeitig zwei Züge aufeinander zu. Die Geschwindigkeit eines von ihnen beträgt 63 km/h. Wie schnell ist der zweite, wenn sich die Züge nach 4 Stunden treffen?

Lassen Sie uns die Bewegung von Zügen auf dem Diagramm darstellen:

die Geschwindigkeit des ersten Zuges wird mit dem Buchstaben ʋ1 = 63 km/h bezeichnet. Die Geschwindigkeit des zweiten Zuges wird durch den Buchstaben ʋ2 = ? km/h Die Reisezeit wird mit dem Buchstaben t = 4 Stunden bezeichnet, die von beiden Zügen zurückgelegte Strecke wird mit dem Buchstaben S = 564 km bezeichnet.

Denn um eine unbekannte Geschwindigkeit zu finden, ist es notwendig, die Zeit zu kennen, und sie ist bekannt und gleich 4 Stunden, und die Entfernung, die der zweite Zug vor dem Treffen zurückgelegt hat, was in den Bedingungen des Problems nicht angegeben ist , ist es notwendig, diese Entfernung zu finden .. Aus der Bedingung des Problems kennen wir die gesamte Entfernung S = 564 km, die Geschwindigkeit des ersten Zuges ʋ1 = 63 km/h und die Zeit t = 4 h dass der erste Zug vor dem Treffen gefahren ist, können wir auch die Entfernung ermitteln, die der zweite Zug zurückgelegt hat. S1 = ʋ1 t = 63 4 = 252 km. Also S2 = S - S1 = 564 - 252 = 312 km. Nachdem wir die Entfernung ermittelt haben, die der zweite Zug vor dem Treffen zurückgelegt hat, können wir die Geschwindigkeit des zweiten Zuges ermitteln. ʋ2 = S2: t = 312: 4 = 78 km/h. Wir haben festgestellt, dass die Geschwindigkeit des zweiten Zuges 78 km/h beträgt.

Betrachten wir die zweite Option.

Da zum Auffinden der unbekannten Geschwindigkeit die Geschwindigkeit des ersten Zuges bekannt sein muss, ist aus den Bedingungen des Problems bekannt ʋ1 = 63 km/h und die Annäherungsgeschwindigkeit, die nicht durch die Bedingungen vorgegeben ist des Problems ist es notwendig, die Annäherungsgeschwindigkeit unter Verwendung der Problemdaten, nämlich der Entfernung S = 564 km und der Begegnungszeit t = 4 Stunden, zu finden. Um die Konvergenzgeschwindigkeit von Zügen zu ermitteln, können Sie die Entfernung durch die Zeit teilen. ʋsbl. = S: t = 564: 4 = 141 km/h. Da wir nun die Annäherungsgeschwindigkeit kennen, können wir die Geschwindigkeit des zweiten Zuges ermitteln. ʋ2 = ʋsbl. - ʋ1 = 141 - 63 = 78 km/h. Wir haben festgestellt, dass die Geschwindigkeit des zweiten Zuges 78 km/h beträgt.

PROBLEM 2. Die Entfernung zwischen zwei Marinas beträgt 90 km. Von jedem von ihnen fuhren zwei Schiffe gleichzeitig aufeinander zu. Wie viele Stunden werden sie brauchen, um sich zu treffen, wenn die Geschwindigkeit des ersten 20 km/h und des zweiten 25 km/h beträgt?

Lassen Sie uns die Bewegung von Schiffen auf dem Diagramm darstellen.

Die Geschwindigkeit des ersten Schiffes wird mit dem Buchstaben ʋ1 = 20 km/h bezeichnet. Die Geschwindigkeit des zweiten Schiffes wird mit dem Buchstaben ʋ2 = 25 km/h bezeichnet. Der Abstand zwischen den Pfeilern wird mit dem Buchstaben S = 90 km bezeichnet. Zeit - Buchstabe t = ? Std.

Um die Frage des Problems zu beantworten, ist es notwendig, die Entfernung und die Annäherungsgeschwindigkeit zu kennen, da t = S: ʋsbl.. Da wir die Entfernung aus der Bedingung des Problems kennen, müssen wir die Annäherungsgeschwindigkeit finden. ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2 = 20 + 25 = 45 km/h. Jetzt, da wir die Annäherungsgeschwindigkeit kennen, können wir die unbekannte Zeit finden. t \u003d S: ʋsbl \u003d 90: 45 \u003d 2 Stunden Wir bekommen, dass die Schiffe 2 Stunden brauchen, um sich zu treffen.

PROBLEM 3. Zwei Busse verließen gleichzeitig das Dorf und die Stadt aufeinander zu. Ein Bus fuhr vor dem Treffen 100 km mit einer Geschwindigkeit von 25 km/h. Wie viele Kilometer ist der zweite Bus vor dem Treffen gefahren, wenn er 50 km/h schnell ist?

Lassen Sie uns die Bewegung von Bussen auf dem Diagramm zeigen.

Die Geschwindigkeit des ersten Busses wird mit dem Buchstaben ʋ1 = 25 km/h bezeichnet. Die Geschwindigkeit des zweiten Busses wird mit dem Buchstaben ʋ2 = 50 km/h bezeichnet. Die Entfernung, die der erste Bus zum Treffpunkt zurückgelegt hat, wird mit dem Buchstaben S1 = 100 km bezeichnet. Die Entfernung, die der zweite Bus vor dem Treffen zurückgelegt hat - der Buchstabe S2 = ? km und die Zeit - der Buchstabe t.

Zur Beantwortung der Aufgabenstellung ist es notwendig, die Geschwindigkeit des zweiten Busses und die Fahrzeit vor dem Treffen zu kennen, da S2 = ʋ2 · t. Da die Geschwindigkeit des zweiten Busses aus dem Zustand des Problems bekannt ist, müssen wir die Zeit finden. Wenn wir die Zeit finden, zu der der erste Bus unterwegs war, finden wir auch die Zeit, zu der der zweite Bus unterwegs war, da sie zur gleichen Zeit abfuhren, was bedeutet, dass die Busse vor dem Treffen unterwegs waren die gleiche Zeit. Um die Zeit zu finden, kannst du die vom ersten Bus zurückgelegte Strecke durch seine Geschwindigkeit teilen. t = S1: ʋ1 = 100: 25 = 4 Stunden. Jetzt, da wir die Uhrzeit kennen, können wir die Entfernung ermitteln, die der zweite Bus vor dem Treffen zurückgelegt hat. S2 = ʋ2 t = 50 4 = 200 km. Wir haben erfahren, dass der zweite Bus 200 km vor dem Treffen gefahren ist.

§ 3 Kurze Zusammenfassung des Unterrichtsthemas

Bei der Lösung von Problemen für den Gegenverkehr ist zu beachten, dass bei Problemen dieser Art folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Objekte beginnen gleichzeitig ihre Bewegung aufeinander zu, d.h. sind gleich lange auf dem Weg zum Meeting; Zeit wird mit dem lateinischen Buchstaben t = S bezeichnet: ʋsbl;

2. Distanz S ist die Summe der Distanzen zweier Objekte vor der Begegnung; S = S1 + S2 oder S = ʋbl t;

3. Objekte nähern sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit - der Annäherungsgeschwindigkeit, bezeichnet mit dem lateinischen Buchstaben ʋsbl. = S: t bzw. ʋsbl = ʋ1 + ʋ2, ʋ1 = S1: t und ʋ2 = S2: t.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Peterson LG Mathe. 4. Klasse. Teil 2 / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 96 S.: Abb.
2. Mathe. 4. Klasse. Methodische Empfehlungen zum Lehrbuch Mathematik „Lernen lernen“ für die 4. Klasse / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 280 S.: mit Abb.
3. Zak S.M. Alle Aufgaben zum Lehrbuch Mathematik für die 4. Klasse L.G. Peterson und eine Reihe unabhängiger und kontrollierter Werke. GEF. – M.: UNVES, 2014.
4. CD-ROM. Mathe. 4. Klasse. Unterrichtsszenarien für das Lehrbuch zu Teil 2 Peterson L.G. – M.: Yuventa, 2013.

Verwendete Bilder:

(Modul Adaptiver Adsense-Block am Anfang des Artikels)

AUFGABEN FÜR DEN GEGENVERKEHR

Bereits in der 4. Klasse werden die einfachsten Aufgaben für den Gegenverkehr gelöst. Die Lösung solcher Probleme erfolgt in der Regel in 2 - 3 Schritten. Bei allen Aufgaben für den Gegenverkehr kommt ein solches Konzept zum Einsatz Annäherungsgeschwindigkeit, d.h. die Gesamtgeschwindigkeit zweier Körper, mit der sie sich aufeinander zu bewegen. Die Annäherungsgeschwindigkeit ist eine Schlüsselgröße zur Problemlösung für den Gegenverkehr.

Die Hauptformel zur Lösung von Problemen für den Gegenverkehr ist dieselbe Formel, bei der die Entfernung in Geschwindigkeit und Zeit ausgedrückt wird:

S = v t

Ein Merkmal der Anwendung dieser Formel ist, dass als Geschwindigkeit die Annäherungsgeschwindigkeit zweier Körper genommen wird, d.h. die Summe ihrer Geschwindigkeiten. Dies ist die Geschwindigkeit des Gegenverkehrs, über die wir gesprochen haben. Somit kann die Formel zur Lösung von Problemen für den Gegenverkehr wie folgt geschrieben werden:

S = v (Annäherung) t

v (Annäherung) = v 1 + v 2

wobei v 1 die Geschwindigkeit des 1. Körpers ist, v 2 die Geschwindigkeit des 2. Körpers ist.

Beispiele für Aufgaben für den Gegenverkehr:

1) Von zwei Piers, die 90 km voneinander entfernt sind, fahren zwei Motorschiffe gleichzeitig aufeinander zu. Das erste Schiff bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h, das zweite mit einer Geschwindigkeit von 25 km/h. Wie viele Stunden später trafen sie sich?

2) Zwei Schwalben fliegen mit einer Geschwindigkeit von 23 m/s. In wie vielen Sekunden werden sie sich treffen, wenn der Abstand zwischen ihnen 920 m beträgt?

3) Zwei Züge verließen gleichzeitig zwei Städte und fuhren aufeinander zu. Ein Zug war mit einer Geschwindigkeit von 63 km/h unterwegs. Wie schnell war der zweite Zug, wenn die Entfernung zwischen den Städten 564 km beträgt? Die Züge trafen sich nach 4 Stunden.

4) Von zwei Liegeplätzen, die 90 km voneinander entfernt sind, fahren zwei Boote gleichzeitig aufeinander zu. Der erste fuhr mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h, der zweite mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h. Wie viele Stunden später trafen sich die Boote?

5) Ein Radfahrer und ein Motorradfahrer verließen gleichzeitig das Dorf und die Stadt aufeinander zu. Der Radfahrer war mit einer Geschwindigkeit von 16 km/h und der Motorradfahrer mit einer Geschwindigkeit von 54 km/h unterwegs. Der Radfahrer reiste 48 km vor dem Treffen. Wie weit ist der Motorradfahrer vor dem Treffen gefahren?

6) Zwei Jungen rannten gleichzeitig auf einer Sportbahn mit einer Länge von 200 m aufeinander zu und trafen sich nach 20 s. Der erste lief mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s. Wie schnell lief der zweite Junge?

7) Zwei Güterzüge verließen gleichzeitig zwei Bahnhöfe und trafen nach 5 Stunden aufeinander. Ein Zug legte 29 km pro Stunde zurück, der andere 35 km. Wie groß ist die Entfernung zwischen diesen Stationen?

8) 2 Busse verließen gleichzeitig zwei Städte und fuhren aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des ersten Busses beträgt 25 km/h, die Geschwindigkeit des zweiten 50 km/h. Der erste Bus fuhr 100 km vor dem Treffen vorbei. Wie viele Kilometer hat der zweite Bus vor dem Treffen zurückgelegt?

9) Die Entfernung zwischen den beiden Städten beträgt 81 km. Zwei Radfahrer fuhren gleichzeitig aufeinander zu. Ein Radfahrer legt pro Stunde 3 km mehr zurück als ein anderer. In welcher Entfernung von den Städten trafen sie sich, wenn das Treffen 3 Stunden nach der Abfahrt stattfand?

10) Zwei Fahrer fuhren gleichzeitig von zwei Punkten aus aufeinander zu, der Abstand zwischen ihnen beträgt 100 km. Die Fahrer trafen sich nach 4 Stunden. Finde die Geschwindigkeit des ersten Fahrers, wenn die Geschwindigkeit des zweiten 13 km/h beträgt.

11) Ein Boot und ein Boot fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu. Vor dem Treffen legte das Boot 48 km und das Boot 24 km zurück. Bootsgeschwindigkeit - 8 km / h. Finden Sie die Geschwindigkeit des Bootes.

12) Zwei Boote fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu, die sich nach 3 Stunden trafen Die Geschwindigkeit eines Bootes beträgt 15 km / h, die Geschwindigkeit des zweiten Bootes 18 km / h. Finden Sie den Abstand zwischen den Pfeilern.

13) Zwei Motorradfahrer verließen gleichzeitig zwei Städte aufeinander zu. Ein Motorradfahrer war mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs. Er reiste 320 km vor dem Treffen. Wie weit ist der zweite Motorradfahrer vor dem Treffen gefahren, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 65 km/h unterwegs war?

14) Ein Boot und ein Boot fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu und trafen sich nach 3 Stunden.Die Geschwindigkeit des Bootes beträgt 15 km / h, die Geschwindigkeit des Bootes ist 4-mal höher. Finden Sie den Abstand zwischen den Pfeilern.

15) Zwei Flugzeuge starteten gleichzeitig von zwei Flugplätzen aufeinander zu und trafen sich nach 3 Stunden Die Geschwindigkeit eines Flugzeugs beträgt 600 km / h und die des zweiten Flugzeugs 900 km / h. Finden Sie die Entfernung zwischen Flugplätzen.

16) Von zwei Städten, die 840 km voneinander entfernt sind, fuhren gleichzeitig 2 Züge aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des ersten Zuges beträgt 100 km/h, die zweite - 10 km/h mehr. In wie vielen Stunden treffen sich die Züge?

17) Ein Boot und ein Boot fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu. Sie trafen sich nach 5 Stunden. Die Geschwindigkeit des Bootes beträgt 12 km/h und die Geschwindigkeit des Bootes ist 5-mal höher. Finden Sie den Abstand zwischen den Pfeilern.

18) Ein Dampfschiff fuhr von einem Pier um 11 Uhr morgens mit 15 km / h und von einem anderen Pier darauf um 3 Uhr am nächsten Morgen ein anderes Dampfschiff ab, das mit 17 km / h vorbeifuhr. In wie vielen Stunden nach der Abfahrt des zweiten Dampfers treffen sie sich, wenn zwischen den Piers 380 km liegen?

19) Zwei Touristen, deren Abstand 140 km beträgt, fuhren nach 3 Stunden nacheinander los. Wie viele Stunden nach der Abfahrt des ersten treffen sie sich, wenn der erste 10 km/h und der zweite 12 km/h gefahren ist?

20) Ein Motorschiff und ein Boot verließen gleichzeitig die beiden Piers aufeinander zu. Das Schiff bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 33 km / h und das Boot mit 25 km / h. Nach 3 Stunden trafen sie sich. Wie groß ist der Abstand zwischen den Pfeilern?

21) Aus zwei Dörfern kam gleichzeitig ein Mädchen aufeinander zu, das sich mit einer Geschwindigkeit von 3 km / h bewegte, und ein Junge, der sich 2-mal schneller bewegte als das Mädchen. Das Treffen fand 4 Stunden später statt. Wie groß ist die Entfernung zwischen den Dörfern?

22) Zwei Züge fahren von zwei Bahnhöfen aus aufeinander zu, die Entfernung zwischen ihnen beträgt 385 km. Der erste ist 2 Stunden früher losgefahren und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 53 km/h. 3 Stunden nachdem der zweite Zug abgefahren war, trafen sie sich. Wie schnell ist der zweite Zug?

23) Von zwei Städten, die 484 km voneinander entfernt sind, fuhren gleichzeitig zwei Züge aufeinander zu. Die Geschwindigkeit eines Zuges beträgt 45 km/h. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des anderen Zuges, wenn sich die Züge nach 4 Stunden treffen.

24) Personen- und Güterzüge fahren gleichzeitig von zwei Städten aufeinander zu. Sie trafen sich 12 Stunden später. Wie groß ist die Entfernung zwischen Städten, wenn bekannt ist, dass die Geschwindigkeit eines Personenzugs 75 km/h und die eines Güterzugs 35 km/h beträgt?

25) Zwei Züge verließen gleichzeitig zwei Städte und fuhren aufeinander zu. Einer ging mit einer Geschwindigkeit von 42 km / h und der andere mit 52 km / h. Nach 6 Stunden trafen sich die Züge. Finden Sie die Entfernung zwischen den Städten.

26) Die Entfernung entlang des Flusses zwischen den beiden Städten beträgt 275 km. Ein Dampfschiff und ein Lastkahn verließen diese Städte zur gleichen Zeit aufeinander zu. Das Schiff bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 28 km/h. Finden Sie die Geschwindigkeit des Lastkahns heraus, wenn bekannt ist, dass er den Dampfer 5 Stunden nach dem Verlassen getroffen hat.

27) Von zwei Städten mit einer Entfernung von 1380 km fuhren zwei Züge gleichzeitig aufeinander zu und trafen sich nach 10 Stunden. Die Geschwindigkeit eines von ihnen beträgt 75 km/h. Finde die Geschwindigkeit des anderen Zuges.

28) Die Entfernung zwischen den Dörfern beträgt 48 km. Nach wie vielen Stunden treffen sich zwei Fußgänger, die gleichzeitig ausgegangen sind, aufeinander zu, wenn der eine 3 km/h und der andere 5 km/h schnell ist?

29) Vom Dorf in die Stadt 340 km. Ein Motorradfahrer fuhr mit einer Geschwindigkeit von 42 km/h von einem Dorf in eine Stadt. Nach 2 Stunden fuhr ihm ein Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von 22 km/h entgegen. In wie vielen Stunden werden sie sich treffen?

30) Zwei Motorradfahrer verließen gleichzeitig zwei Städte und trafen sich nach 10 Minuten. Die Geschwindigkeit der einen beträgt 920 m/min, die der anderen 970 m/min. Finden Sie die Entfernung zwischen den Städten.

31) Zwei Züge fuhren gleichzeitig von einer Stadt in die andere und trafen sich nach 9 Stunden. Die Geschwindigkeit eines Zuges beträgt 48 km/h und die Geschwindigkeit des anderen 5 km/h mehr als die des anderen. Finden Sie die Entfernung zwischen den Städten.

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Unterrichtsinhalt

Entfernungs-/Geschwindigkeits-/Zeitproblem

Aufgabe 1. Das Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Wie viele Kilometer legt er in 3 Stunden zurück?

Lösung

Wenn ein Auto in einer Stunde 80 Kilometer fährt, dann fährt es in 3 Stunden dreimal so viel. Um die Entfernung zu ermitteln, müssen Sie die Geschwindigkeit des Autos (80 km / h) mit der Bewegungszeit (3 Stunden) multiplizieren.

80 × 3 = 240 km

Antworten: Ein Auto legt in 3 Stunden 240 Kilometer zurück.

Aufgabe 2. Ein Auto fährt mit der gleichen Geschwindigkeit in 3 Stunden 180 km. Welche Geschwindigkeit hat das Auto?

Lösung

Die Geschwindigkeit ist die Strecke, die ein Körper pro Zeiteinheit zurücklegt. Eine Einheit bedeutet 1 Stunde, 1 Minute oder 1 Sekunde.

Wenn das Auto in 3 Stunden 180 Kilometer mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgelegt hat, dann teilen wir 180 km durch 3 Stunden, um die Entfernung zu bestimmen, die das Auto in einer Stunde zurückgelegt hat. Und das ist die Bewegungsgeschwindigkeit. Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, müssen Sie die zurückgelegte Strecke durch die Bewegungszeit teilen:

180:3 = 60 km/h

Antworten: Autogeschwindigkeit beträgt 60 km/h

Aufgabe 3. Ein Auto legte in 2 Stunden 96 km und ein Fahrradfahrer 72 km in 6 Stunden zurück. Wie oft war das Auto schneller als der Radfahrer?

Lösung

Lassen Sie uns die Geschwindigkeit des Autos bestimmen. Dazu teilen wir die von ihm zurückgelegte Strecke (96 km) durch die Zeit seiner Bewegung (2 Stunden)

96:2 = 48 km/h

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers. Dazu teilen wir die von ihm zurückgelegte Strecke (72 km) durch die Zeit seiner Bewegung (6 Stunden)

72: 6 = 12 km/h

Finden Sie heraus, wie oft das Auto schneller war als der Radfahrer. Dazu finden wir das Verhältnis 48 zu 12

Antworten: Das Auto bewegte sich viermal schneller als der Radfahrer.

Aufgabe 4. Der Helikopter legte eine Strecke von 600 km mit einer Geschwindigkeit von 120 km/h zurück. Wie lange war er im Flug?

Lösung

Wenn der Hubschrauber in 1 Stunde 120 Kilometer zurückgelegt hat, werden wir, nachdem wir gelernt haben, wie viele solcher 120 Kilometer in 600 Kilometern sind, bestimmen, wie lange er im Flug war. Um die Zeit zu finden, müssen Sie die zurückgelegte Strecke durch die Bewegungsgeschwindigkeit teilen.

600: 120 = 5 Stunden

Antworten: Der Hubschrauber war 5 Stunden unterwegs.

Aufgabe 5. Der Hubschrauber flog 6 Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 160 km/h. Wie weit ist er in dieser Zeit gereist?

Lösung

Wenn der Hubschrauber in 1 Stunde 160 km zurückgelegt hat, hat er in 6 Stunden das Sechsfache zurückgelegt. Um die Entfernung zu bestimmen, müssen Sie die Bewegungsgeschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren

160 × 6 = 960 Kilometer

Antworten: In 6 Stunden legte der Hubschrauber 960 km zurück.

Aufgabe 6. Die Strecke von Perm nach Kasan, die 723 km entspricht, hat das Auto in 13 Stunden zurückgelegt. Die ersten 9 Stunden fuhr er mit einer Geschwindigkeit von 55 km/h. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Autos in der verbleibenden Zeit.

Lösung

Bestimmen Sie, wie viele Kilometer das Auto in den ersten 9 Stunden zurückgelegt hat. Multiplizieren Sie dazu die Geschwindigkeit, mit der er die ersten neun Stunden gefahren ist (55 km/h), mit 9

55 × 9 = 495 Kilometer

Lassen Sie uns herausfinden, wie weit wir gehen müssen. Ziehen Sie dazu von der Gesamtstrecke (723 km) die in den ersten 9 Stunden der Bewegung zurückgelegte Strecke ab

723 − 495 = 228 Kilometer

Diese 228 Kilometer fuhr das Auto in den restlichen 4 Stunden. Um die Geschwindigkeit des Autos in der verbleibenden Zeit zu bestimmen, müssen Sie 228 Kilometer durch 4 Stunden teilen:

228: 4 = 57 km/h

Antworten: Die Fahrzeuggeschwindigkeit für die verbleibende Zeit betrug 57 km/h

Annäherungsgeschwindigkeit

Die Annäherungsgeschwindigkeit ist die Entfernung, die zwei Objekte pro Zeiteinheit zueinander zurücklegen.

Wenn beispielsweise zwei Fußgänger von zwei Punkten aus aufeinander zulaufen und die Geschwindigkeit des ersten 100 m/m und die des zweiten 105 m/m beträgt, beträgt die Annäherungsgeschwindigkeit 100+105, also 205 m /m. Das bedeutet, dass sich der Abstand zwischen Fußgängern jede Minute um 205 Meter verringert.

Um die Annäherungsgeschwindigkeit zu finden, müssen Sie die Geschwindigkeiten der Objekte addieren.

Angenommen, die Fußgänger treffen sich drei Minuten nach Beginn der Bewegung. Da wir wissen, dass sie sich in drei Minuten getroffen haben, können wir die Entfernung zwischen den beiden Punkten ermitteln.

Fußgänger legten jede Minute eine Strecke von zweihundertfünf Metern zurück. Nach 3 Minuten trafen sie sich. Wenn wir also die Annäherungsgeschwindigkeit mit der Bewegungszeit multiplizieren, können wir die Entfernung zwischen zwei Punkten bestimmen:

205 × 3 = 615 Meter

Sie können den Abstand zwischen Punkten auch auf andere Weise definieren. Ermitteln Sie dazu die Distanz, die jeder Fußgänger vor dem Treffen zurückgelegt hat.

Der erste Fußgänger ging also mit einer Geschwindigkeit von 100 Metern pro Minute. Das Treffen fand in drei Minuten statt, was bedeutet, dass er in 3 Minuten 100 × 3 Meter gelaufen ist

100 × 3 = 300 Meter

Und der zweite Fußgänger ging mit einer Geschwindigkeit von 105 Metern pro Minute. In drei Minuten ging er 105 × 3 Meter

105 × 3 = 315 Meter

Jetzt können Sie die Ergebnisse addieren und so den Abstand zwischen den beiden Punkten bestimmen:

300 m + 315 m = 615 m

Aufgabe 1. Zwei Radfahrer verließen gleichzeitig zwei Siedlungen aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des ersten Radfahrers beträgt 10 km/h und die Geschwindigkeit des zweiten 12 km/h. Nach 2 Stunden trafen sie sich. Bestimmen Sie die Entfernung zwischen den Siedlungen

Lösung

Finden Sie die Konvergenzgeschwindigkeit von Radfahrern

10 km/h + 12 km/h = 22 km/h

Bestimmen Sie die Entfernung zwischen den Siedlungen. Multiplizieren Sie dazu die Annäherungsgeschwindigkeit mit der Bewegungszeit

22 × 2 = 44 km

Lassen Sie uns dieses Problem auf die zweite Art lösen. Dazu ermitteln wir die von Radfahrern zurückgelegten Strecken und addieren die Ergebnisse.

Ermitteln Sie die vom ersten Radfahrer zurückgelegte Strecke:

10 × 2 = 20 km

Ermitteln Sie die vom zweiten Radfahrer zurückgelegte Strecke:

12 × 2 = 24 km

Fassen wir die erhaltenen Entfernungen zusammen:

20 Kilometer + 24 Kilometer = 44 Kilometer

Antworten: Die Entfernung zwischen den Siedlungen beträgt 44 km.

Aufgabe 2. Von zwei Siedlungen, die 60 km voneinander entfernt sind, fuhren zwei Radfahrer gleichzeitig aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des ersten Radfahrers beträgt 14 km/h und die Geschwindigkeit des zweiten 16 km/h. Wie viele Stunden später trafen sie sich?

Lösung

Finden Sie die Konvergenzgeschwindigkeit von Radfahrern:

14 km/h + 16 km/h = 30 km/h

In einer Stunde verringert sich der Abstand zwischen Radfahrern um 30 Kilometer. Um zu bestimmen, wie viele Stunden sie sich treffen, müssen Sie die Entfernung zwischen den Siedlungen durch die Konvergenzgeschwindigkeit teilen:

60:30 = 2 Stunden

So trafen sich die Radfahrer in zwei Stunden

Antworten: Radfahrer trafen sich nach 2 Stunden.

Aufgabe 3. Von zwei Siedlungen, deren Abstand 56 km beträgt, fuhren zwei Radfahrer gleichzeitig aufeinander zu. Sie trafen sich zwei Stunden später. Der erste Radfahrer war mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h unterwegs. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des zweiten Radfahrers.

Lösung

Bestimmen Sie die Strecke, die der erste Radfahrer zurückgelegt hat. Wie der zweite Radfahrer war er 2 Stunden unterwegs. Wenn wir die Geschwindigkeit des ersten Radfahrers mit 2 Stunden multiplizieren, können wir herausfinden, wie viele Kilometer er vor dem Treffen zurückgelegt hat

12 × 2 = 24 km

In zwei Stunden legte der erste Radfahrer 24 km zurück. In einer Stunde ging er 24:2, also 12 km. Lassen Sie es uns grafisch darstellen

Ziehen Sie von der Gesamtstrecke (56 km) die vom ersten Radfahrer zurückgelegte Strecke (24 km) ab. Wir ermitteln also, wie viele Kilometer der zweite Radfahrer gefahren ist:

56 km − 24 km = 32 km

Der zweite Radfahrer verbrachte wie der erste 2 Stunden auf der Straße. Wenn wir die Strecke, die er zurückgelegt hat, durch 2 Stunden teilen, finden wir heraus, wie schnell er sich bewegt hat:

32: 2 = 16 km/h

Die Geschwindigkeit des zweiten Radfahrers beträgt also 16 km/h.

Antworten: die Geschwindigkeit des zweiten Radfahrers beträgt 16 km/h.

Entfernungsgeschwindigkeit

Die Entfernungsgeschwindigkeit ist der Abstand, der sich pro Zeiteinheit zwischen zwei Objekten vergrößert, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen.

Wenn beispielsweise zwei Fußgänger vom selben Punkt in entgegengesetzte Richtungen starten, wobei die Geschwindigkeit des ersten 4 km/h und die Geschwindigkeit des zweiten 6 km/h beträgt, beträgt die Entfernungsgeschwindigkeit 4+6, also 10 km /h. Jede Stunde vergrößert sich der Abstand zwischen zwei Fußgängern um 10 Kilometer.

Um die Entfernungsgeschwindigkeit zu ermitteln, müssen Sie die Geschwindigkeiten der Objekte addieren.

In der ersten Stunde beträgt der Abstand zwischen Fußgängern also 10 Kilometer. Wie dies geschieht, zeigt die folgende Abbildung.

Es ist ersichtlich, dass der erste Fußgänger in der ersten Stunde seine 4 Kilometer gelaufen ist. Auch der zweite Fußgänger ging in der ersten Stunde seine 6 Kilometer zu Fuß. Insgesamt betrug die Entfernung zwischen ihnen in der ersten Stunde 4 + 6, dh 10 Kilometer.

Nach zwei Stunden beträgt der Abstand zwischen den Fußgängern 10 × 2, also 20 Kilometer. Die folgende Abbildung zeigt, wie dies geschieht:

Aufgabe 1. Von einem Bahnhof aus fahren gleichzeitig ein Güterzug und ein Personenexpress in entgegengesetzte Richtungen. Die Geschwindigkeit eines Güterzuges betrug 40 km/h, die Geschwindigkeit eines Schnellzuges 180 km/h. Wie groß ist der Abstand zwischen diesen Zügen nach 2 Stunden?

Lösung

Lassen Sie uns die Geschwindigkeit der Zugentfernung bestimmen. Addieren Sie dazu ihre Geschwindigkeiten:

40 + 180 = 220 km/h

Wir haben die Zugentfernungsgeschwindigkeit gleich 220 km/h erreicht. Diese Geschwindigkeit zeigt, dass sich der Abstand zwischen den Zügen in einer Stunde um 220 Kilometer vergrößert. Um herauszufinden, wie weit die Züge in zwei Stunden entfernt sind, müssen Sie 220 mit 2 multiplizieren

220 × 2 = 440 km

Antworten: Nach 2 Stunden beträgt die Entfernung zwischen den Zügen 440 Kilometer.

Aufgabe 2. Ein Radfahrer und ein Motorradfahrer verließen den Punkt gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung. Die Geschwindigkeit eines Fahrradfahrers beträgt 16 km/h und die eines Motorradfahrers 40 km/h. Wie groß ist der Abstand zwischen Radfahrer und Motorradfahrer nach 2 Stunden?

Lösung

16 km/h + 40 km/h = 56 km/h

Bestimmen Sie den Abstand, der nach 2 Stunden zwischen dem Radfahrer und dem Motorradfahrer sein wird. Dazu multiplizieren wir die Abtragsgeschwindigkeit (56 km/h) mit 2 Stunden

56 × 2 = 112 km

Antworten: Nach 2 Stunden beträgt die Entfernung zwischen Radfahrer und Motorradfahrer 112 km.

Aufgabe 3. Ein Radfahrer und ein Motorradfahrer verließen den Punkt gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung. Die Geschwindigkeit eines Fahrradfahrers beträgt 10 km/h und die eines Motorradfahrers 30 km/h. In wie vielen Stunden beträgt die Entfernung zwischen ihnen 80 km?

Lösung

Lassen Sie uns die Entfernungsgeschwindigkeit des Fahrradfahrers und des Motorradfahrers bestimmen. Addieren Sie dazu ihre Geschwindigkeiten:

10 km/h + 30 km/h = 40 km/h

In einer Stunde vergrößert sich der Abstand zwischen einem Radfahrer und einem Motorradfahrer um 40 Kilometer. Um herauszufinden, nach wie vielen Stunden die Entfernung zwischen ihnen 80 km beträgt, müssen Sie bestimmen, wie oft 80 km jeweils 40 km enthalten

80: 40 = 2

Antworten: 2 Stunden nach Beginn der Bewegung liegen 80 Kilometer zwischen dem Radfahrer und dem Motorradfahrer.

Aufgabe 4. Ein Radfahrer und ein Motorradfahrer verließen den Punkt gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung. Nach 2 Stunden betrug die Entfernung zwischen ihnen 90 km. Die Geschwindigkeit des Radfahrers betrug 15 km/h. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers

Lösung

Bestimmen Sie die Strecke, die der Radfahrer in 2 Stunden zurücklegt. Multiplizieren Sie dazu seine Geschwindigkeit (15 km / h) mit 2 Stunden

15 × 2 = 30 km

Die Abbildung zeigt, dass der Radfahrer in jeder Stunde 15 Kilometer zurückgelegt hat. Insgesamt lief er 30 Kilometer in zwei Stunden.

Ziehen Sie von der Gesamtstrecke (90 km) die vom Radfahrer zurückgelegte Strecke (30 km) ab. Wir werden also feststellen, wie viele Kilometer der Motorradfahrer zurückgelegt hat:

90 km − 30 km = 60 km

Ein Motorradfahrer legte in zwei Stunden 60 Kilometer zurück. Wenn wir die Strecke, die er zurückgelegt hat, durch 2 Stunden teilen, finden wir heraus, wie schnell er sich bewegt hat:

60: 2 = 30 km/h

Die Geschwindigkeit des Motorradfahrers betrug also 30 km/h.

Antworten: Die Geschwindigkeit des Motorradfahrers betrug 30 km/h.

Die Aufgabe, Objekte in eine Richtung zu bewegen

Im vorherigen Thema haben wir Probleme betrachtet, bei denen sich Objekte (Menschen, Autos, Boote) entweder aufeinander zu oder in entgegengesetzte Richtungen bewegten. Gleichzeitig fanden wir unterschiedliche Entfernungen, die sich im Laufe der Zeit zwischen den Objekten veränderten. Diese Entfernungen waren entweder Annäherungsgeschwindigkeiten oder Entfernungsraten.

Im ersten Fall fanden wir Annäherungsgeschwindigkeit- in einer Situation, in der sich zwei Objekte aufeinander zu bewegen. Für eine Zeiteinheit hat sich der Abstand zwischen Objekten um eine bestimmte Distanz verringert

Im zweiten Fall fanden wir die Entfernungsgeschwindigkeit – in einer Situation, in der sich zwei Objekte in entgegengesetzte Richtungen bewegten. Für eine Zeiteinheit vergrößert sich der Abstand zwischen Objekten um einen bestimmten Abstand

Objekte können sich aber auch in die gleiche Richtung und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Beispielsweise können ein Radfahrer und ein Motorradfahrer denselben Punkt zur gleichen Zeit verlassen, und die Geschwindigkeit des Radfahrers kann 20 Kilometer pro Stunde betragen, und die Geschwindigkeit des Motorradfahrers beträgt 40 Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung zeigt, dass der Motorradfahrer dem Radfahrer zwanzig Kilometer voraus ist. Das liegt daran, dass er in einer Stunde 20 Kilometer mehr überwindet als ein Radfahrer. Daher wird die Entfernung zwischen einem Fahrradfahrer und einem Motorradfahrer jede Stunde um zwanzig Kilometer größer.

20 km/h ist in diesem Fall die Geschwindigkeit, mit der sich der Motorradfahrer vom Radfahrer entfernt.

Nach zwei Stunden beträgt die vom Radfahrer zurückgelegte Strecke 40 km. Der Motorradfahrer wird 80 km zurücklegen und sich weitere zwanzig Kilometer vom Radfahrer entfernen - die Gesamtentfernung zwischen ihnen beträgt 40 Kilometer

Um die Entfernungsgeschwindigkeit beim Bewegen in eine Richtung zu ermitteln, müssen Sie die niedrigere Geschwindigkeit von der höheren Geschwindigkeit subtrahieren.

Im obigen Beispiel beträgt die Abtragsgeschwindigkeit 20 km/h. Sie kann ermittelt werden, indem die Geschwindigkeit des Radfahrers von der Geschwindigkeit des Motorradfahrers abgezogen wird. Die Geschwindigkeit des Radfahrers betrug 20 km/h und die Geschwindigkeit des Motorradfahrers 40 km/h. Die Geschwindigkeit des Motorradfahrers ist größer, also ziehe 20 von 40 ab

40 km/h − 20 km/h = 20 km/h

Aufgabe 1. Ein Auto und ein Bus verließen die Stadt in derselben Richtung. Die Geschwindigkeit eines Autos beträgt 120 km/h und die Geschwindigkeit eines Busses 80 km/h. Wie weit werden sie nach 1 Stunde voneinander entfernt sein? 2 Stunden?

Lösung

Finden wir die Entfernungsrate. Subtrahieren Sie dazu die kleinere Geschwindigkeit von der größeren Geschwindigkeit

120 km/h − 80 km/h = 40 km/h

Jede Stunde entfernt sich ein Pkw 40 Kilometer vom Bus. In einer Stunde beträgt die Entfernung zwischen Auto und Bus 40 km. Für 2 Stunden doppelt so viel:

40 × 2 = 80 km

Antworten: Nach einer Stunde beträgt die Entfernung zwischen dem Auto und dem Bus 40 km, nach zwei Stunden - 80 km.

Stellen Sie sich eine Situation vor, in der die Objekte ihre Bewegung von verschiedenen Punkten aus begonnen haben, aber in die gleiche Richtung.

Lass es ein Haus, eine Schule und eine Attraktion sein. Von zu Hause bis zur Schule 700 Meter

Zwei Fußgänger gingen gleichzeitig zur Attraktion. Und der erste Fußgänger ging zur Attraktion aus dem Haus mit einer Geschwindigkeit von 100 Metern pro Minute, und der zweite Fußgänger ging zur Attraktion von der Schule mit einer Geschwindigkeit von 80 Metern pro Minute. Wie groß ist der Abstand zwischen Fußgängern nach 2 Minuten? In wie vielen Minuten nach Beginn der Bewegung holt der erste Fußgänger den zweiten ein?

Lassen Sie uns die erste Frage des Problems beantworten - wie groß ist der Abstand zwischen Fußgängern nach 2 Minuten?

Bestimmen Sie die Strecke, die der erste Fußgänger in 2 Minuten zurücklegt. Er bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 100 Metern pro Minute. In zwei Minuten fährt er doppelt so viel, also 200 Meter.

100 × 2 = 200 Meter

Bestimmen Sie die Strecke, die der zweite Fußgänger in 2 Minuten zurücklegt. Er bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 80 Metern pro Minute. In zwei Minuten wird er doppelt so weit gehen, also 160 Meter

80 × 2 = 160 Meter

Jetzt müssen wir den Abstand zwischen den Fußgängern finden

Um die Entfernung zwischen Fußgängern zu ermitteln, können Sie die vom zweiten Fußgänger zurückgelegte Entfernung (160 m) zur Entfernung von der Wohnung zur Schule (700 m) addieren und die vom ersten Fußgänger zurückgelegte Entfernung (200 m) von dem erhaltenen Ergebnis subtrahieren.

700 m + 160 m = 860 m

860 m − 200 m = 660 m

Oder subtrahieren Sie von der Entfernung von der Wohnung zur Schule (700 m) die Entfernung, die der erste Fußgänger zurückgelegt hat (200 m), und addieren Sie die Entfernung, die der zweite Fußgänger zurückgelegt hat (160 m), zum Ergebnis

700 m − 200 m = 500 m

500 m + 160 m = 660 m

Somit beträgt der Abstand zwischen Fußgängern nach zwei Minuten 660 Meter.

Versuchen wir, die folgende Frage des Problems zu beantworten: In wie vielen Minuten nach dem Beginn der Bewegung wird der erste Fußgänger den zweiten einholen?

Mal sehen, wie die Situation ganz am Anfang der Reise war – als die Fußgänger ihre Bewegung noch nicht begonnen hatten

Wie aus der Abbildung ersichtlich, betrug der Abstand zwischen den Fußgängern zu Beginn der Fahrt 700 Meter. Aber bereits eine Minute nach Beginn der Bewegung beträgt der Abstand zwischen ihnen 680 Meter, da sich der erste Fußgänger 20 Meter schneller bewegt als der zweite:

100 m × 1 = 100 m

80 m × 1 = 80 m

700 m + 80 m − 100 m = 780 m − 100 m = 680 m

Zwei Minuten nach Beginn der Bewegung verringert sich die Distanz um weitere 20 Meter und beträgt 660 Meter. Das war unsere Antwort auf die erste Frage des Problems:

100 m × 2 = 200 m

80 m × 2 = 160 m

700 m + 160 m − 200 m = 860 m − 200 m = 660 m

Nach drei Minuten verringert sich der Abstand um weitere 20 Meter und beträgt bereits 640 Meter:

100 m × 3 = 300 m

80 m × 3 = 240 m

700 m + 240 m − 300 m = 940 m − 300 m = 640 m

Wir sehen, dass sich mit jeder Minute der erste Fußgänger dem zweiten um 20 Meter nähert und ihn schließlich einholt. Wir können sagen, dass die Geschwindigkeit von zwanzig Metern pro Minute die Konvergenzgeschwindigkeit von Fußgängern ist. Die Regeln zum Ermitteln der Annäherungs- und Entfernungsgeschwindigkeit bei Bewegung in die gleiche Richtung sind identisch.

Um die Annäherungsgeschwindigkeit beim Bewegen in eine Richtung zu finden, müssen Sie die kleinere von der größeren Geschwindigkeit subtrahieren.

Und da die ursprünglichen 700 Meter jede Minute um die gleichen 20 Meter abnehmen, können wir herausfinden, wie oft 700 Meter 20 Meter enthalten, und so bestimmen, wie viele Minuten der erste Fußgänger den zweiten einholt

700: 20 = 35

35 Minuten nach Beginn der Bewegung holt also der erste Fußgänger den zweiten ein. Interessanterweise finden wir heraus, wie viele Meter jeder Fußgänger zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt hat. Der erste bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 100 Metern pro Minute. In 35 Minuten ging er 35 Mal mehr

100 × 35 = 3500 m

Der zweite ging mit einer Geschwindigkeit von 80 Metern pro Minute. In 35 Minuten ging er 35 Mal mehr

80 × 35 = 2800 m

Der erste ging 3500 Meter und der zweite 2800 Meter. Der erste ging 700 Meter weiter, als er vom Haus ging. Wenn wir diese 700 Meter von 3500 abziehen, erhalten wir 2800 Meter

Betrachten wir eine Situation, in der sich Objekte in eine Richtung bewegen, aber eines der Objekte seine Bewegung vor dem anderen begonnen hat.

Lass es ein Haus und eine Schule geben. Der erste Fußgänger fuhr mit einer Geschwindigkeit von 80 Metern pro Minute zur Schule. Nach 5 Minuten folgte ihm ein zweiter Fußgänger mit einer Geschwindigkeit von 100 Metern pro Minute zur Schule. In wie vielen Minuten überholt der zweite Fußgänger den ersten?

Der zweite Fußgänger begann seine Bewegung in 5 Minuten. Zu diesem Zeitpunkt hatte sich der erste Fußgänger bereits in einiger Entfernung von ihm entfernt. Lassen Sie uns diese Entfernung finden. Multiplizieren Sie dazu seine Geschwindigkeit (80 m/m) mit 5 Minuten

80 × 5 = 400 Meter

Der erste Fußgänger entfernte sich um 400 Meter vom zweiten. Daher werden in dem Moment, in dem der zweite Fußgänger seine Bewegung beginnt, dieselben 400 Meter zwischen ihnen liegen.

Aber der zweite Fußgänger bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 100 Metern pro Minute. Das heißt, er bewegt sich 20 Meter schneller als der erste Fußgänger, was bedeutet, dass sich der Abstand zwischen ihnen mit jeder Minute um 20 Meter verringert. Unsere Aufgabe ist es herauszufinden, in wie vielen Minuten dies geschehen wird.

Beispielsweise beträgt der Abstand zwischen Fußgängern in einer Minute 380 Meter. Der erste Fußgänger geht weitere 80 Meter zu seinen 400 Metern, der zweite 100 Meter

Das Prinzip ist hier das gleiche wie beim vorherigen Problem. Der Abstand zwischen Fußgängern zum Zeitpunkt der Bewegung des zweiten Fußgängers muss durch die Konvergenzgeschwindigkeit der Fußgänger dividiert werden. Die Annäherungsgeschwindigkeit beträgt in diesem Fall zwanzig Meter. Um zu bestimmen, in wie vielen Minuten der zweite Fußgänger den ersten einholt, müssen Sie also 400 Meter durch 20 teilen

400: 20 = 20

In 20 Minuten holt also der zweite Fußgänger den ersten ein.

Aufgabe 2. Von zwei Dörfern, die 40 km voneinander entfernt sind, fuhren ein Bus und ein Radfahrer gleichzeitig in die gleiche Richtung. Die Geschwindigkeit eines Fahrradfahrers beträgt 15 km/h und die Geschwindigkeit eines Busses 35 km/h. In wie vielen Stunden überholt der Bus den Radfahrer?

Lösung

Finden wir die Annäherungsgeschwindigkeit

35 km/h − 15 km/h = 20 km/h

Bestimmen Sie in Stunden, in denen der Bus den Radfahrer einholt

40: 20 = 2

Antworten: Der Bus holt den Radfahrer in 2 Stunden ein.

Die Aufgabe, sich entlang des Flusses zu bewegen

Schiffe bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten entlang des Flusses. Gleichzeitig können sie sich sowohl mit als auch gegen die Strömung bewegen. Je nachdem, wie sie sich bewegen (stromaufwärts oder stromabwärts), ändert sich die Geschwindigkeit.

Angenommen, die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 3 km/h. Wenn Sie ein Boot in einen Fluss hinablassen, trägt der Fluss das Boot mit einer Geschwindigkeit von 3 km/h davon.

Wenn Sie das Boot in stehendes Wasser ablassen, in dem es keine Strömung gibt, dann wird das Boot auch stehen. Die Geschwindigkeit des Bootes ist in diesem Fall gleich Null.

Wenn ein Boot auf stehendem Wasser schwimmt, in dem es keine Strömung gibt, dann sagt man, dass das Boot mitsegelt eigene Geschwindigkeit.

Wenn zum Beispiel ein Motorboot mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h durch stilles Wasser fährt, dann sagen wir das eigene Geschwindigkeit des Bootes beträgt 40 km/h.

Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Schiffes?

Wenn das Schiff der Strömung des Flusses folgt, muss die Geschwindigkeit des Flusses zur eigenen Geschwindigkeit des Schiffes addiert werden.

mit der Strömung Flüsse, und die Geschwindigkeit des Flusses 2 km/h beträgt, dann muss die Geschwindigkeit des Flusses (2 km/h) zur eigenen Geschwindigkeit des Motorboots (30 km/h) addiert werden.

30 km/h + 2 km/h = 32 km/h

Man kann sagen, dass die Strömung des Flusses dem Motorboot mit einer zusätzlichen Geschwindigkeit von zwei Stundenkilometern hilft.

Fährt das Schiff gegen die Strömung des Flusses, so muss die Geschwindigkeit der Strömung des Flusses von der Eigengeschwindigkeit des Schiffes abgezogen werden.

Zum Beispiel, wenn ein Motorboot mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h unterwegs ist gegen den Strom Flüsse, und die Geschwindigkeit des Flusses 2 km/h beträgt, dann muss die Geschwindigkeit des Flusses (2 km/h) von der Eigengeschwindigkeit des Motorboots (30 km/h) abgezogen werden.

30 km/h − 2 km/h = 28 km/h

Die Strömung des Flusses hindert das Motorboot in diesem Fall daran, sich frei vorwärts zu bewegen, und verringert seine Geschwindigkeit um zwei Kilometer pro Stunde.

Aufgabe 1. Die Geschwindigkeit des Bootes beträgt 40 km/h und die Flussgeschwindigkeit 3 ​​km/h. Wie schnell bewegt sich das Boot den Fluss hinunter? Gegen die Strömung des Flusses?

Antworten:

Wenn sich das Boot entlang der Strömung des Flusses bewegt, beträgt seine Geschwindigkeit 40 + 3, dh 43 km / h.

Wenn sich das Boot gegen die Strömung des Flusses bewegt, beträgt seine Geschwindigkeit 40 - 3, dh 37 km / h.

Aufgabe 2. Die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser beträgt 23 km/h. Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 3 km/h. Wie weit fährt das Schiff in 3 Stunden den Fluss entlang? Gegen den Strom?

Lösung

Die Eigengeschwindigkeit des Schiffes beträgt 23 km/h. Wenn sich das Schiff entlang des Flusses bewegt, beträgt seine Geschwindigkeit 23 + 3, dh 26 km / h. In drei Stunden fährt er dreimal so viel

26 × 3 = 78 km

Wenn sich das Schiff gegen die Strömung des Flusses bewegt, beträgt seine Geschwindigkeit 23 - 3, dh 20 km / h. In drei Stunden fährt er dreimal so viel

20 × 3 = 60 km

Aufgabe 3. Das Boot legte die Entfernung von Punkt A nach Punkt B in 3 Stunden 20 Minuten und die Entfernung von Punkt B nach A in 2 Stunden 50 Minuten zurück. In welche Richtung fließt der Fluss: von A nach B oder von B nach A, wenn bekannt ist, dass sich die Geschwindigkeit der Yacht nicht geändert hat?

Lösung

Die Geschwindigkeit der Yacht änderte sich nicht. Wir finden heraus, auf welchem ​​Weg sie mehr Zeit verbracht hat: auf dem Weg von A nach B oder auf dem Weg von B nach A. Der Weg, auf dem sie mehr Zeit verbracht hat, wird der Weg sein, dessen Fluss gegen die Yacht geflossen ist

3 Stunden 20 Minuten sind länger als 2 Stunden 50 Minuten. Das bedeutet, dass die Strömung des Flusses die Geschwindigkeit der Yacht verringerte, was sich in der Fahrzeit niederschlug. 3 Stunden 20 Minuten ist die Zeit, die man braucht, um von A nach B zu gelangen. Der Fluss fließt also von Punkt B nach Punkt A

Aufgabe 4. Wie lange dauert es, sich gegen die Strömung eines Flusses zu bewegen?
Das Schiff wird 204 km zurücklegen, wenn es seine eigene Geschwindigkeit ist
15 km / h, und die aktuelle Geschwindigkeit ist 5-mal niedriger als die eigene
Schiffsgeschwindigkeit?

Lösung

Es muss die Zeit ermittelt werden, in der das Schiff 204 Kilometer gegen die Strömung fährt. Die Eigengeschwindigkeit des Schiffes beträgt 15 km/h. Es bewegt sich gegen die Strömung des Flusses, daher müssen Sie bei einer solchen Bewegung seine Geschwindigkeit bestimmen.

Um die Geschwindigkeit gegen die Strömung des Flusses zu bestimmen, müssen Sie die Geschwindigkeit des Flusses von der eigenen Geschwindigkeit des Schiffes (15 km / h) abziehen. Die Bedingung besagt, dass die Geschwindigkeit des Flusses 5-mal geringer ist als die eigene Geschwindigkeit des Schiffes, also bestimmen wir zuerst die Geschwindigkeit des Flusses. Dazu reduzieren wir fünfmal 15 km/h

15:5 = 3 km/h

Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 3 km/h. Subtrahieren Sie diese Geschwindigkeit von der Geschwindigkeit des Schiffes

15 km/h − 3 km/h = 12 km/h

Jetzt bestimmen wir die Zeit, für die das Schiff 204 km mit einer Geschwindigkeit von 12 km / h zurücklegen wird. Das Schiff fährt 12 Kilometer pro Stunde. Um herauszufinden, wie viele Stunden er für 204 Kilometer benötigt, müssen Sie bestimmen, wie oft 204 Kilometer jeweils 12 Kilometer enthalten.

204: 12 = 17 Uhr

Antworten: Das Schiff legt 204 Kilometer in 17 Stunden zurück

Aufgabe 5. Bewegen Sie sich entlang des Flusses, in 6 Stunden das Boot
102 km gelaufen. Bestimmen Sie Ihre eigene Geschwindigkeit des Bootes,

Lösung

Finden Sie heraus, wie schnell sich das Boot entlang des Flusses bewegte. Dazu wird die zurückgelegte Strecke (102 km) durch die Bewegungszeit (6 Stunden) geteilt

102:6 = 17 km/h

Lassen Sie uns die eigene Geschwindigkeit des Bootes bestimmen. Dazu subtrahieren wir von der Geschwindigkeit, mit der sie sich entlang des Flusses bewegte (17 km / h), die Geschwindigkeit des Flusses (4 km / h).

17 − 4 = 13 km/h

Aufgabe 6. Gegen die Strömung des Flusses bewegt sich das Boot in 5 Stunden
110 km gelaufen. Bestimmen Sie Ihre eigene Geschwindigkeit des Bootes,
wenn die aktuelle Geschwindigkeit 4 km/h beträgt.

Lösung

Finden Sie heraus, wie schnell sich das Boot entlang des Flusses bewegte. Dazu wird die zurückgelegte Strecke (110 km) durch die Bewegungszeit (5 Stunden) geteilt

110:5 = 22 km/h

Lassen Sie uns die eigene Geschwindigkeit des Bootes bestimmen. Die Bedingung besagt, dass sie sich gegen die Strömung des Flusses bewegte. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses betrug 4 km/h. Das bedeutet, dass die Eigengeschwindigkeit des Bootes um 4 reduziert wurde. Unsere Aufgabe ist es, diese 4 km/h zu addieren und die Eigengeschwindigkeit des Bootes herauszufinden

22 + 4 = 26 km/h

Antworten: Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt 26 km/h

Aufgabe 7. Wie lange dauert es, bis ein Boot stromaufwärts fährt?
fahre 56 km, wenn die aktuelle Geschwindigkeit 2 km/h beträgt und seine
Eigengeschwindigkeit 8 km/h höher als die Stromgeschwindigkeit?

Lösung

Finden Sie die eigene Geschwindigkeit des Bootes. Die Bedingung besagt, dass es 8 km/h mehr als die aktuelle Geschwindigkeit sind. Um die eigene Geschwindigkeit des Bootes zu ermitteln, addieren wir daher zur aktuellen Geschwindigkeit (2 km/h) weitere 8 km/h hinzu.

2 km/h + 8 km/h = 10 km/h

Das Boot bewegt sich gegen die Strömung des Flusses, also ziehen wir von der eigenen Geschwindigkeit des Bootes (10 km / h) die Geschwindigkeit des Flusses (2 km / h) ab.

10 km/h − 2 km/h = 8 km/h

Finden Sie heraus, wie lange das Boot 56 km zurücklegt. Dazu dividieren wir die Distanz (56 km) durch die Geschwindigkeit des Bootes:

56:8 = 7h

Antworten: Wenn Sie sich gegen die Strömung des Flusses bewegen, legt das Boot 56 km in 7 Stunden zurück

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

Aufgabe 1. Wie lange braucht ein Fußgänger, um 20 km zu laufen, wenn seine Geschwindigkeit 5 km/h beträgt?

Lösung

In einer Stunde legt ein Fußgänger 5 Kilometer zurück. Um zu bestimmen, wie lange er für 20 km braucht, müssen Sie herausfinden, wie oft 20 Kilometer jeweils 5 km enthalten. Oder verwenden Sie die Regel der Zeitfindung: Teilen Sie die zurückgelegte Strecke durch die Bewegungsgeschwindigkeit

20:5 = 4 Stunden

Aufgabe 2. Von Punkt ABER zum Absatz BEI Ein Radfahrer fuhr 5 Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 16 km/h und fuhr auf demselben Weg mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h zurück. Wie lange brauchte der Radfahrer für den Rückweg?

Lösung

Bestimmen Sie die Entfernung vom Punkt ABER darauf hinweisen BEI. Dazu multiplizieren wir die Geschwindigkeit, mit der der Radfahrer von dem Punkt aus gefahren ist ABER zum Absatz BEI(16km/h) für Fahrzeit (5h)

16 × 5 = 80 km

Lassen Sie uns bestimmen, wie viel Zeit der Radfahrer auf dem Rückweg verbracht hat. Dazu wird die Distanz (80 km) durch die Geschwindigkeit (10 km/h) geteilt

Aufgabe 3. Ein Radfahrer fuhr 6 Stunden lang mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Nachdem er weitere 11 km mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgelegt hatte, wurde sein Weg gleich 83 km. Wie schnell war der Radfahrer unterwegs?

Lösung

Bestimmen Sie die Strecke, die der Radfahrer in 6 Stunden zurücklegt. Dazu ziehen wir von 83 km den Weg ab, den er nach sechs Stunden Bewegung (11 km) zurückgelegt hat.

83 − 11 = 72 Kilometer

Bestimmen Sie, wie schnell der Radfahrer in den ersten 6 Stunden gefahren ist. Dazu teilen wir 72 km durch 6 Stunden

72: 6 = 12 km/h

Da der Zustand des Problems besagt, dass der Radfahrer die restlichen 11 km mit der gleichen Geschwindigkeit wie in den ersten 6 Stunden der Bewegung zurückgelegt hat, ist die Geschwindigkeit von 12 km / h die Antwort auf das Problem.

Antworten: Ein Radfahrer ist mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h unterwegs.

Aufgabe 4. Das Schiff bewegt sich gegen die Strömung des Flusses und legt in 4 Stunden eine Strecke von 72 km zurück, und das Floß fährt die gleiche Strecke in 36 Stunden.

Lösung

Finden Sie die Geschwindigkeit des Flusses. Die Bedingung besagt, dass das Floß in 36 Stunden 72 Kilometer weit fahren kann. Das Floß kann sich nicht gegen die Strömung des Flusses bewegen. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Floßes, mit der es diese 72 Kilometer überwindet, der Geschwindigkeit des Flusses entspricht. Um diese Geschwindigkeit zu finden, müssen Sie 72 Kilometer durch 36 Stunden teilen.

72:36 = 2km/h

Finden Sie die eigene Geschwindigkeit des Schiffes. Zuerst finden wir die Geschwindigkeit seiner Bewegung gegen die Strömung des Flusses. Dazu teilen wir 72 Kilometer durch 4 Stunden

72: 4 = 18 km/h

Wenn die Geschwindigkeit des Schiffes gegen die Strömung 18 km/h beträgt, dann beträgt seine eigene Geschwindigkeit 18 + 2, also 20 km/h. Und entlang des Flusses beträgt seine Geschwindigkeit 20 + 2, dh 22 km / h

Indem Sie 110 Kilometer durch die Geschwindigkeit des Schiffes teilen, das sich auf dem Fluss bewegt (22 km / h), können Sie herausfinden, wie viele Stunden das Schiff diese 110 Kilometer segeln wird

Antworten: Das Schiff fährt 5 Stunden lang 110 Kilometer entlang des Flusses.

Aufgabe 5. Zwei Radfahrer verließen denselben Punkt gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung. Einer von ihnen fuhr mit einer Geschwindigkeit von 11 km/h, der andere mit einer Geschwindigkeit von 13 km/h. Wie weit werden sie nach 4 Stunden voneinander entfernt sein?

21 × 6 = 126 km

Bestimmen Sie die Entfernung, die das zweite Schiff zurückgelegt hat. Dazu multiplizieren wir seine Geschwindigkeit (24 km / h) mit der Zeit, die zum Treffen benötigt wird (6 Stunden).

24 × 6 = 144 km

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Pfeilern. Dazu addieren Sie die vom ersten und zweiten Schiff zurückgelegten Entfernungen

126 km + 144 km = 270 km

Antworten: Das erste Schiff legte 126 km zurück, das zweite 144 km. Die Entfernung zwischen den Marinas beträgt 270 km.

Aufgabe 7. Zwei Züge verließen gleichzeitig Moskau und Ufa. Nach 16 Stunden trafen sie sich. Der Moskauer Zug fuhr mit einer Geschwindigkeit von 51 km/h. Wie schnell verließ der Zug Ufa, wenn die Entfernung zwischen Moskau und Ufa 1520 km beträgt? Wie groß war der Abstand zwischen den Zügen 5 Stunden nachdem sie sich trafen?

Lösung

Lassen Sie uns bestimmen, wie viele Kilometer der Zug, der Moskau verließ, vor dem Treffen zurückgelegt hat. Multiplizieren Sie dazu seine Geschwindigkeit (51 km / h) mit 16 Stunden

51 × 16 = 816 Kilometer

Wir werden herausfinden, wie viele Kilometer der Zug vor dem Treffen von Ufa zurückgelegt hat. Dazu subtrahieren wir von der Entfernung zwischen Moskau und Ufa (1520 km) die Entfernung, die der Zug zurückgelegt hat, der Moskau verlassen hat

1520 − 816 = 704 Kilometer

Lassen Sie uns die Geschwindigkeit bestimmen, mit der der Zug Ufa verließ. Dazu muss die von ihm vor dem Meeting zurückgelegte Strecke durch 16 Stunden geteilt werden

704: 16 = 44 km/h

Lassen Sie uns die Entfernung zwischen den Zügen 5 Stunden nach ihrem Treffen bestimmen. Dazu ermitteln wir die Zugentferngeschwindigkeit und multiplizieren diese Geschwindigkeit mit 5

51 km/h + 44 km/h = 95 km/h

95 × 5 = 475 km.

Antworten: Ein Zug, der Ufa verließ, bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 44 km/h. In 5 Stunden nach ihrem Zusammentreffen der Züge wird die Entfernung zwischen ihnen 475 km betragen.

Aufgabe 8. Zwei Busse fahren von einem Punkt gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen ab. Die Geschwindigkeit eines Busses beträgt 48 km/h, der andere ist 6 km/h schneller. In wie vielen Stunden beträgt die Entfernung zwischen den Bussen 510 km?

Lösung

Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Busses. Das sind 6 km/h mehr als die Geschwindigkeit des ersten Busses

48 km/h + 6 km/h = 54 km/h

Lassen Sie uns die Geschwindigkeit der Entfernung von Bussen finden. Addieren Sie dazu ihre Geschwindigkeiten:

48 km/h + 54 km/h = 102 km/h

In einer Stunde vergrößert sich der Abstand zwischen den Bussen um 102 Kilometer. Um herauszufinden, nach wie vielen Stunden die Entfernung zwischen ihnen 510 km beträgt, müssen Sie herausfinden, wie oft 510 km 102 km / h enthalten

Antworten: 510 km zwischen den Bussen werden in 5 Stunden sein.

Aufgabe 9. Die Entfernung von Rostow am Don nach Moskau beträgt 1230 km. Zwei Züge verließen Moskau und Rostow aufeinander zu. Der Zug aus Moskau fährt mit einer Geschwindigkeit von 63 km/h, und die Geschwindigkeit des Rostow-Zuges entspricht der Geschwindigkeit des Moskauer Zuges. In welcher Entfernung von Rostow treffen sich die Züge?

Lösung

Finden Sie die Geschwindigkeit des Rostow-Zugs. Es ist die Geschwindigkeit des Moskauer Zuges. Um die Geschwindigkeit des Rostow-Zuges zu bestimmen, müssen Sie daher 63 km finden

63: 21 × 20 = 3 × 20 = 60 km/h

Finden Sie die Konvergenzgeschwindigkeit von Zügen

63 km/h + 60 km/h = 123 km/h

Bestimmen Sie, wie viele Stunden sich die Züge treffen werden

1230: 123 = 10 Std

Wir werden herausfinden, in welcher Entfernung von Rostow sich die Züge treffen werden. Dazu reicht es aus, die vom Rostower Zug zurückgelegte Strecke vor dem Treffen zu ermitteln

60 × 10 = 600 km.

Antworten: Die Züge werden sich in einer Entfernung von 600 km von Rostov treffen.

Aufgabe 10. Von zwei Piers, die 75 km voneinander entfernt sind, fuhren gleichzeitig zwei Motorboote aufeinander zu. Eines bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 16 km / h und die Geschwindigkeit des anderen betrug 75% der Geschwindigkeit des ersten Bootes. Wie weit sind die Boote nach 2 Stunden voneinander entfernt?

Lösung

Finde die Geschwindigkeit des zweiten Bootes. Sie beträgt 75 % der Geschwindigkeit des ersten Bootes. Um die Geschwindigkeit des zweiten Bootes zu ermitteln, benötigen Sie daher 75 % von 16 km

16 × 0,75 = 12 km/h

Finden Sie die Annäherungsgeschwindigkeit der Boote

16 km/h + 12 km/h = 28 km/h

Jede Stunde verringert sich der Abstand zwischen den Booten um 28 km. Nach 2 Stunden verringert es sich um 28 × 2, dh um 56 km. Um herauszufinden, wie groß die Entfernung zwischen den Booten in diesem Moment sein wird, müssen Sie 56 km von 75 km abziehen

75 km − 56 km = 19 km

Antworten: in 2 Stunden werden 19 km zwischen den Booten liegen.

Aufgabe 11. Ein Auto mit einer Geschwindigkeit von 62 km/h überholt einen Lastwagen mit einer Geschwindigkeit von 47 km/h. Nach wie viel Zeit und in welcher Entfernung vom Beginn der Bewegung wird der Personenwagen den Güterwagen einholen, wenn der anfängliche Abstand zwischen ihnen 60 km betrug?

Lösung

Finden wir die Annäherungsgeschwindigkeit

62 km/h − 47 km/h = 15 km/h

Wenn der Abstand zwischen den Autos anfangs 60 Kilometer betrug, verringert sich dieser Abstand jede Stunde um 15 km, und am Ende überholt der Pkw den Lkw. Um herauszufinden, nach wie vielen Stunden dies der Fall sein wird, müssen Sie bestimmen, wie oft 60 km 15 km enthalten

Finden Sie heraus, in welcher Entfernung vom Beginn der Bewegung der Pkw den Lkw eingeholt hat. Dazu multiplizieren wir die Geschwindigkeit des Pkw (62 km / h) mit der Zeit seiner Bewegung bis zum Treffen (4 Stunden)

62 × 4 = 248 km

Antworten: der Pkw holt den Lkw in 4 Stunden ein. Zum Zeitpunkt des Treffens befindet sich der Personenwagen in einer Entfernung von 248 km vom Beginn der Bewegung.

Aufgabe 12. Zwei Motorradfahrer verließen gleichzeitig denselben Punkt in dieselbe Richtung. Die Geschwindigkeit des einen betrug 35 km/h, die Geschwindigkeit des anderen 80 % der Geschwindigkeit des ersten Motorradfahrers. Wie weit werden sie nach 5 Stunden voneinander entfernt sein?

Lösung

Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Motorradfahrers. Sie beträgt 80 % der Geschwindigkeit des ersten Motorradfahrers. Um die Geschwindigkeit des zweiten Motorradfahrers zu ermitteln, müssen Sie daher 80 % von 35 km/h ermitteln

35 × 0,80 = 28 km/h

Der erste Fahrer bewegt sich 35-28 km/h schneller

35 km/h − 28 km/h = 7 km/h

In einer Stunde überwindet der erste Motorradfahrer weitere 7 Kilometer. Mit jeder Stunde wird sie sich für diese 7 Kilometer dem zweiten Motorradfahrer nähern.

Nach 5 Stunden legt der erste Motorradfahrer 35×5, also 175 km, und der zweite Motorradfahrer 28×5, also 140 km zurück. Lassen Sie uns den Abstand zwischen ihnen bestimmen. Ziehen Sie dazu 140 km von 175 km ab

175 − 140 = 35 Kilometer

Antworten: nach 5 Stunden beträgt der Abstand zwischen den Motorradfahrern 35 km.

Aufgabe 13. Ein Motorradfahrer mit einer Geschwindigkeit von 43 km/h überholt einen Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von 13 km/h. In wie vielen Stunden überholt der Motorradfahrer den Radfahrer, wenn der anfängliche Abstand zwischen ihnen 120 km beträgt?

Lösung

Finden wir die Annäherungsgeschwindigkeit:

43 km/h − 13 km/h = 30 km/h

Wenn der Abstand zwischen dem Motorradfahrer und dem Radfahrer anfangs 120 Kilometer betrug, verringert sich dieser Abstand jede Stunde um 30 km, und am Ende holt der Motorradfahrer den Radfahrer ein. Um herauszufinden, nach wie vielen Stunden dies der Fall sein wird, müssen Sie bestimmen, wie oft 120 km 30 km enthalten

Nach 4 Stunden holt der Motorradfahrer also den Radfahrer ein

Die Abbildung zeigt die Bewegung eines Motorradfahrers und eines Fahrradfahrers. Es ist ersichtlich, dass sie sich 4 Stunden nach Beginn der Bewegung eingependelt haben.

Antworten: Der Motorradfahrer überholt den Radfahrer in 4 Stunden.

Aufgabe 14. Ein Radfahrer, dessen Geschwindigkeit 12 km/h beträgt, überholt einen Radfahrer, dessen Geschwindigkeit 75 % seiner Geschwindigkeit beträgt. Nach 6 Stunden holte der zweite Radfahrer den zuerst fahrenden Radfahrer ein. Wie groß war der anfängliche Abstand zwischen den Radfahrern?

Lösung

Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Vorderradfahrers. Dazu finden wir 75% der Geschwindigkeit des hinterher fahrenden Radfahrers:

12 × 0,75 \u003d 9 km / h - die Geschwindigkeit der vorausfahrenden Person

Finden Sie heraus, wie viele Kilometer jeder Radfahrer zurückgelegt hat, bevor der zweite den ersten eingeholt hat:

12 × 6 \u003d 72 km - der Fahrer dahinter fuhr
9 × 6 \u003d 54 km - der Vordere fuhr

Finden Sie heraus, wie groß der anfängliche Abstand zwischen den Radfahrern war. Dazu subtrahieren wir von der zurückgelegten Strecke des zweiten (aufholenden) Radfahrers die zurückgelegte Strecke des ersten (aufholenden) Radfahrers

Es ist ersichtlich, dass das Auto dem Bus 12 km voraus ist.

Um herauszufinden, in wie vielen Stunden das Auto dem Bus 48 Kilometer voraus ist, müssen Sie bestimmen, wie oft 48 km jeweils 12 km enthalten

Antworten: 4 Stunden nach der Abfahrt wird das Auto dem Bus 48 Kilometer voraus sein.

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