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Wie man ein quadratisches Trinom und seine Wurzeln löst. Das quadratische Trinom und seine Wurzeln. II. Mündliche Arbeit

Das quadratische Trinom wird Trinom der Form a*x 2 +b*x+c genannt, wobei a,b,c einige beliebige reelle (reelle) Zahlen sind und x eine Variable ist. Außerdem sollte die Zahl a nicht gleich Null sein.

Die Zahlen a,b,c heißen Koeffizienten. Die Zahl a wird führender Koeffizient genannt, die Zahl b ist der Koeffizient bei x und die Zahl c heißt freies Glied.

Die Wurzel eines quadratischen Trinoms a*x 2 +b*x+c ist ein beliebiger Wert der Variablen x, so dass das quadratische Trinom a*x 2 +b*x+c verschwindet.

Um die Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu finden, ist es notwendig, eine quadratische Gleichung der Form a*x 2 +b*x+c=0 zu lösen.

So finden Sie die Wurzeln eines quadratischen Trinoms

Um es zu lösen, können Sie eine der bekannten Methoden verwenden.

1 Weg.

Finden Sie die Wurzeln eines quadratischen Trinoms mit der Formel.

1. Ermitteln Sie den Wert der Diskriminante mit der Formel D \u003d b 2 -4 * a * c.

2. Berechnen Sie je nach Wert der Diskriminante die Wurzeln mit den Formeln:

Wenn D > 0, dann hat das quadratische Trinom zwei Wurzeln.

x = -b±√D / 2*a

Wenn d< 0, dann hat das quadratische Trinom eine Wurzel.

Wenn die Diskriminante negativ ist, hat das quadratische Trinom keine Wurzeln.

2-Wege.

Finden der Wurzeln eines quadratischen Trinoms durch Auswählen eines vollen Quadrats. Betrachten Sie das Beispiel des reduzierten quadratischen Trinoms. Die reduzierte quadratische Gleichung, deren Gleichung für den führenden Koeffizienten gleich eins ist.

Lassen Sie uns die Wurzeln des quadratischen Trinoms x 2 +2*x-3 finden. Dazu lösen wir die folgende quadratische Gleichung: x 2 +2*x-3=0;

Lassen Sie uns diese Gleichung umwandeln:

Auf der linken Seite der Gleichung befindet sich ein Polynom x 2 + 2 * x, um es als Quadrat der Summe darzustellen, müssen wir einen weiteren Koeffizienten gleich 1 haben. Addieren und subtrahieren Sie 1 von diesem Ausdruck, wir erhalten:

(x 2 +2*x+1) – 1 = 3

Was in Klammern als Quadrat eines Binoms dargestellt werden kann

Diese Gleichung zerfällt in zwei Fälle, entweder x+1=2 oder x+1=-2.

Im ersten Fall erhalten wir die Antwort x=1 und im zweiten x=-3.

Antwort: x=1, x=-3.

Als Ergebnis der Transformationen müssen wir das Quadrat des Binoms auf der linken Seite und eine Zahl auf der rechten Seite erhalten. Die rechte Seite darf keine Variable enthalten.

Beschreibung der Videolektion

Jeder der Ausdrücke ist drei x fünfte Potenz minus x vierte Potenz plus drei x Würfel minus sechs x plus zwei; fünf Y's der vierten Potenz minus Y's Kubik plus fünf Y's Quadrat minus drei Y's plus achtzehn; drei z der sechsten Potenz minus a z der vierten Potenz plus a z Quadrat minus a z plus zwei ist ein Polynom in einer Variablen.

Der Wert der Variablen, bei dem das Polynom verschwindet, wird Wurzel des Polynoms genannt.

Finde zum Beispiel die Wurzeln des Polynoms x Würfel minus vier x. Dazu lösen wir die Gleichung x Kubik minus vier x gleich Null. Nachdem wir die linke Seite der Gleichung in Faktoren zerlegt haben, erhalten wir ein Produkt aus drei Faktoren: x, x minus zwei und x plus zwei, gleich Null. Daher ist x first gleich Null, x second gleich zwei, x Third gleich minus zwei.

Somit sind die Zahlen null, zwei und minus zwei die Wurzeln des Polynoms x Würfel minus vier x ...

Ein Polynom zweiten Grades in einer Variablen heißt quadratisches Trinom.

Ein quadratisches Trinom ist ein Polynom der Form a x Quadrat plus be x plus ce, wobei x eine Variable ist, .. a, sein und ce sind einige Zahlen, und a ist nicht gleich Null.

Der Koeffizient a heißt Senior-Koeffizient, ce ist das freie Mitglied des quadratischen Trinoms.

Beispiele für quadratische Trinome sind die Polynome zwei x Quadrat minus x minus fünf; x Quadrat plus sieben x minus acht. Im ersten ist a gleich zwei, be gleich minus eins, ce gleich minus fünf, im zweiten a gleich eins, be gleich sieben, ce gleich minus acht. Zu den quadratischen Trinomen gehören auch solche Polynome zweiten Grades, bei denen einer der Koeffizienten be oder ce oder sogar beide gleich Null sind. Das Polynom fünf x Quadrat minus zwei x wird also als quadratisches Trinom betrachtet. Koeffizient a ist gleich fünf, be ist gleich minus zwei, ce ist gleich null.

Um die Wurzeln eines quadratischen Trinoms a x Quadrat plus be x plus ce zu finden, musst du die quadratische Gleichung a x Quadrat plus be x plus ce ist gleich Null lösen.

Beispiel eins. Finden Sie die Wurzeln des quadratischen Trinoms x quadrat minus drei x minus vier.

Dazu setzen wir diesen Ausdruck gleich Null und lösen die resultierende quadratische Gleichung. Die Diskriminante darin ist fünfundzwanzig, die erste Wurzel ist vier, die zweite Wurzel ist minus eins.

Somit hat das quadratische Trinom x quadrat minus drei x minus vier zwei Wurzeln: vier und minus eins.

Da das quadratische Trinom a x Quadrat plus ba x plus ce die gleichen Wurzeln hat wie die Gleichung a x Quadrat plus ba x plus ce gleich Null ist, kann es wie eine quadratische Gleichung zwei Wurzeln, eine Wurzel oder gar keine Wurzeln haben . Sie hängt vom Wert der Diskriminante der quadratischen Gleichung ab, die auch als Diskriminante des quadratischen Trinoms bezeichnet wird: Ist die Diskriminante größer als Null, dann hat das quadratische Trinom zwei Wurzeln; wenn die Diskriminante Null ist, dann hat das quadratische Trinom eine Wurzel; Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, hat das quadratische Trinom keine Wurzeln.

Beim Lösen von Problemen ist es manchmal praktisch, das quadratische Trinom a x Quadrat plus be x plus ce als die Summe von a multipliziert mit dem Quadrat der Differenz a und em ... und der Zahl en darzustellen, wobei em und en einige Zahlen sind . Eine solche Transformation wird als Extrahieren des Quadrats eines Binoms aus einem quadratischen Trinom bezeichnet. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie eine solche Transformation durchgeführt wird.

Zweites Beispiel. Wählen Sie aus dem Trinom zwei x Quadrat minus vier x plus sechs ... das Quadrat des Binoms.

Wir nehmen den Faktor zwei heraus, .. dann wandeln wir den Ausdruck in Klammern um, für die wir eins addieren und subtrahieren ... Als Ergebnis erhalten wir die Summe des verdoppelten Quadrats der Differenz zwischen den Zahlen x und eins .. Und die Nummer vier.

Somit ist zwei x zum Quadrat minus vier x plus sechs gleich der Summe des doppelten Quadrats der Differenz zwischen den Zahlen x und eins .. Und die Zahlen vier ...

Betrachten wir ein Problem, dessen Lösung die Auswahl des Quadrats des Binoms aus dem quadratischen Trinom verwendet.

Eine Aufgabe. Beweisen wir, dass von allen Rechtecken mit einem Umfang von 20 cm das Quadrat die größte Fläche hat.

Eine Seite des Rechtecks sei x Zentimeter lang. Dann beträgt die Länge der Sekunde zehn minus x Zentimeter, und die Fläche des Rechtecks ist gleich dem Produkt dieser Seiten.

Nachdem wir die Klammern im Ausdruck x geöffnet haben, multipliziert mit der Differenz von zehn und x, erhalten wir zehn x minus x zum Quadrat. Der Ausdruck minus x Quadrat plus zehn x ist ein quadratisches Trinom, bei dem der Koeffizient A minus eins, gleich zehn, ce gleich Null ist. Wählen wir das Quadrat des Binoms und erhalten den Ausdruck minus das Quadrat der Differenz x und fünf .. plus fünfundzwanzig.

Da der Ausdruck minus dem Quadrat der Differenz von x und fünf für jedes x ungleich fünf negativ ist, nimmt der gesamte Ausdruck minus dem Quadrat der Differenz von x und fünf ... plus fünfundzwanzig den größten Wert für x an gleich fünf.

Das bedeutet, dass die Fläche am größten ist, wenn eine der Seiten des Rechtecks 5 cm lang ist. In diesem Fall ist die andere Seite ebenfalls 5 cm lang. Das bedeutet, dass dieses Rechteck ein Quadrat ist.

Das Thema "Quadrattrinom und seine Wurzeln" wird im Algebrakurs der 9. Klasse behandelt. Wie jede andere Mathe-Stunde erfordert eine Lektion zu diesem Thema spezielle Werkzeuge und Lehrmethoden. Sichtbarkeit ist gefragt. Dazu gehört auch diese Videolektion, die speziell darauf ausgelegt ist, die Arbeit des Lehrers zu erleichtern.

Diese Lektion dauert 6:36 Minuten. In dieser Zeit gelingt es dem Autor, das Thema vollständig offenzulegen. Der Lehrer muss nur Aufgaben zum Thema auswählen, um den Stoff zu festigen.

Die Lektion beginnt mit der Darstellung von Beispielen für Polynome in einer Variablen. Dann erscheint die Definition der Wurzel des Polynoms auf dem Bildschirm. Diese Definition wird durch ein Beispiel gestützt, wo es notwendig ist, die Nullstellen eines Polynoms zu finden. Nach dem Lösen der Gleichung erhält der Autor die Wurzeln des Polynoms.

Daran schließt sich die Bemerkung an, dass zu quadratischen Trinomen auch solche Polynome zweiten Grades gehören, bei denen der zweite, dritte oder beide Koeffizienten bis auf den höchsten gleich Null sind. Diese Information wird durch ein Beispiel gestützt, bei dem der freie Faktor Null ist.

Der Autor erklärt dann, wie man die Wurzeln eines quadratischen Trinoms findet. Dazu müssen Sie eine quadratische Gleichung lösen. Und der Autor schlägt vor, dies anhand eines Beispiels zu überprüfen, bei dem ein quadratisches Trinom gegeben ist. Wir müssen seine Wurzeln finden. Die Lösung wird auf der Grundlage der Lösung der quadratischen Gleichung gebildet, die aus dem gegebenen quadratischen Trinom erhalten wird. Die Lösung wird detailliert, klar und verständlich auf den Bildschirm geschrieben. Beim Lösen dieses Beispiels erinnert sich der Autor daran, wie eine quadratische Gleichung gelöst wird, schreibt die Formeln auf und erhält das Ergebnis. Die Antwort wird auf den Bildschirm geschrieben.

Der Autor erklärte anhand eines Beispiels, wie man die Wurzeln eines quadratischen Trinoms findet. Wenn die Schüler die Essenz verstanden haben, können Sie zu allgemeineren Punkten übergehen, was der Autor tut. Daher fasst er alle oben genannten Punkte weiter zusammen. Allgemein ausgedrückt, in mathematischer Sprache, schreibt der Autor die Regel zum Finden der Wurzeln eines quadratischen Trinoms auf.

Es folgt die Bemerkung, dass es bei manchen Problemen bequemer ist, das quadratische Trinom etwas anders zu schreiben. Dieser Eintrag wird auf dem Bildschirm angezeigt. Das heißt, es stellt sich heraus, dass das Quadrat des Binoms vom quadratischen Trinom unterschieden werden kann. Es wird vorgeschlagen, eine solche Transformation an einem Beispiel zu betrachten. Die Lösung dieses Beispiels wird auf dem Bildschirm angezeigt. Wie im vorherigen Beispiel wird die Lösung detailliert mit allen notwendigen Erklärungen erstellt. Dann betrachtet der Autor das Problem, wo die gerade gegebenen Informationen verwendet werden. Dies ist ein geometrisches Beweisproblem. Die Lösung enthält eine Illustration in Form einer Zeichnung. Die Lösung des Problems ist detailliert und klar.

Damit ist die Lektion abgeschlossen. Aber der Lehrer kann entsprechend den Fähigkeiten der Schüler Aufgaben auswählen, die diesem Thema entsprechen.

Diese Videolektion kann als Erklärung für neues Material im Algebra-Unterricht verwendet werden. Es ist perfekt für die Selbstvorbereitung der Schüler auf den Unterricht.

Finden der Wurzeln eines quadratischen Trinoms

Ziele: Einführung in das Konzept eines quadratischen Trinoms und seiner Wurzeln; um die Fähigkeit zu bilden, die Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu finden.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

II. Mündliche Arbeit.

Welche der Zahlen: -2; -eines; eines; 2 - sind die Wurzeln der Gleichungen?

a) 8 X+ 16 = 0; in) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Erklärung des neuen Materials.

Die Erklärung des neuen Materials sollte nach folgendem Schema erfolgen:

1) Führen Sie das Konzept einer Polynomwurzel ein.

2) Führen Sie das Konzept eines quadratischen Trinoms und seine Wurzeln ein.

3) Analysieren Sie die Frage nach der möglichen Anzahl von Wurzeln eines quadratischen Trinoms.

Die Frage, wie man das Quadrat eines Binoms aus einem quadratischen Trinom extrahiert, sollte besser in der nächsten Lektion behandelt werden.

In jeder Phase des Erklärens von neuem Material ist es notwendig, den Schülern eine mündliche Aufgabe anzubieten, um die Assimilation der Hauptpunkte der Theorie zu testen.

Aufgabe 1. Welche der Zahlen: -1; eines; ; 0 - sind die Wurzeln des Polynoms X 4 + 2X 2 – 3?

Aufgabe 2. Welche der folgenden Polynome sind quadratische Trinome?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Welches der quadratischen Trinome hat die Wurzel 0?

Aufgabe 3. Kann ein quadratisches Trinom drei Nullstellen haben? Wieso den? Wie viele Wurzeln hat ein quadratisches Trinom X 2 + X – 5?

IV. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Übungen:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nr. 59 (a, c, e), Nr. 60 (a, c).

Bei dieser Aufgabe brauchst du nicht nach den Wurzeln von Quadrattrinomen zu suchen. Es genügt, ihre Diskriminante zu finden und die gestellte Frage zu beantworten.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, also hat dieses quadratische Trinom zwei Wurzeln.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, also hat das quadratische Trinom eine Wurzel.

um 7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Wenn du Zeit hast, kannst du Nummer 63 machen.

Lösung

Lassen Axt 2 + bx + c ist ein gegebenes quadratisches Trinom. Weil die a+ b +
+c= 0, dann ist eine der Wurzeln dieses Trinoms gleich 1. Nach dem Satz von Vieta ist die zweite Wurzel gleich . Je nach Zustand Mit = 4a, also ist die zweite Wurzel dieses quadratischen Trinoms
.

Antworten: 1 und 4.

V. Die Ergebnisse des Unterrichts.

Fragen

Was ist eine Polynomwurzel?

Welches Polynom wird Quadrattrinom genannt?

Wie finde ich die Wurzeln eines quadratischen Trinoms?

Was ist die Diskriminante eines quadratischen Trinoms?

Wie viele Wurzeln kann ein quadratisches Trinom haben? Wovon hängt es ab?

Hausaufgaben: Nr. 57, Nr. 59 (b, d, f), Nr. 60 (b, d), Nr. 62.

Lehrer der höchsten Kategorie: Minaichenko N.S., Gymnasium Nr. 24, Sewastopol

Unterricht in der 8. Klasse: "Das quadratische Trinom und seine Wurzeln"

Unterrichtsart : Lektion neuen Wissens.

Das Ziel des Unterrichts:

die Aktivitäten der Schüler organisieren, um das Wissen über die Zerlegung eines quadratischen Trinoms in lineare Faktoren, das Kürzen von Brüchen zu festigen und zu entwickeln;

Fähigkeiten in der Anwendung von Kenntnissen aller Methoden der Faktorisierung entwickeln: Klammern, Verwenden von abgekürzten Multiplikationsformeln und der Gruppierungsmethode, um sich auf das erfolgreiche Bestehen einer Algebra-Prüfung vorzubereiten;

schaffen Bedingungen für die Entwicklung des kognitiven Interesses an dem Thema, die Bildung von logischem Denken und Selbstbeherrschung bei der Verwendung von Faktorisierung.

Ausrüstung: Multimedia-Beamer, Leinwand, Präsentation: "Wurzeln eines quadratischen Trinoms", Kreuzworträtsel, Test, Handout.

Grundlegendes Konzept . Faktorisierung eines quadratischen Trinoms.

Eigenständige Tätigkeit der Studierenden. Anwendung des Faktorisierungssatzes für ein quadratisches Trinom bei der Lösung von Problemen.

Unterrichtsplan

Probleme lösen.

Antworten auf die Fragen der Schüler

IV. Primärer Test der Beherrschung des Wissens. Betrachtung

Botschaft des Lehrers.

Studentische Nachricht

V. Hausaufgaben

Whiteboard schreiben

Methodischer Kommentar:

Dieses Thema ist grundlegend im Abschnitt "Identitätstransformationen algebraischer Ausdrücke". Daher ist es wichtig, dass Schüler Faktorisierungsformeln automatisch nicht nur in Beispielen sehen, sondern auch bei anderen Aufgaben anwenden können: etwa beim Lösen von Gleichungen, Umwandeln von Ausdrücken, Beweisen von Identitäten.

Dieses Thema konzentriert sich auf die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

Axt+ bx + c = a(x – x)(x – x),

wo x und x sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax + bx + c = 0.

Auf diese Weise können Sie das Sichtfeld des Schülers erweitern und ihm beibringen, in einer nicht standardmäßigen Situation zu denken, während Sie das zu untersuchende Material verwenden, d. H. mit der Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms:

die Fähigkeit, algebraische Brüche zu reduzieren;

die Fähigkeit, algebraische Ausdrücke zu vereinfachen;

Fähigkeit, Gleichungen zu lösen;

Fähigkeit, Identitäten nachzuweisen.

Die Hauptinhalte des Unterrichts:

a) 3x + 5x - 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x - 12x + 24;

d) -5x + 6x - 1.

№2. Kürze den Bruch:

№3. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

№4. Lösen Sie die Gleichung:

Während des Unterrichts:

I. Stufe der Wissensaktualisierung.

Motivation der pädagogischen Tätigkeit.

a) aus der Geschichte:

b) Kreuzworträtsel:

Aufwärmtraining des Geistes - Kreuzworträtsel:

Waagerecht:

1) Die Wurzel zweiten Grades heißt .... (Quadrat)

2) Variablenwerte, bei denen die Gleichung zu einer wahren Gleichheit wird (Wurzeln)

3) Eine Gleichheit, die eine Unbekannte enthält, heißt ... (Gleichung)

4) Indischer Wissenschaftlerder die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen aufgestellt hat (Brahmagupta)

5) Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind ... (Zahlen)

6) Ein antiker griechischer Wissenschaftler, der eine geometrische Methode zum Lösen von Gleichungen erfand (Euklid)

7) Satz, der die Koeffizienten und Wurzeln einer quadratischen Gleichung verbindet (Vieta)

8) „Unterscheiden“, das Definieren der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist ... (Diskriminante)

Zusätzlich:

Wenn D > 0, wie viele Wurzeln? (zwei)

Wenn D = 0, wie viele Wurzeln? (eines)

Wenn d<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Horizontal und vertikal das Thema der Lektion: "Quadrattrinom"

b) Motivation:

Dieses Thema ist grundlegend im Abschnitt "Identitätstransformationen algebraischer Ausdrücke". Deshalb ist es wichtig, dass Sie Faktorisierungsformeln automatisch nicht nur in Beispielen sehen, sondern auch bei anderen Aufgaben anwenden können: etwa Brüche kürzen, Gleichungen lösen, Ausdrücke umwandeln, Identitäten beweisen.

Heute konzentrieren wir uns auf die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

II. Neues Material lernen.

Thema: Quadratisches Trinom und seine Wurzeln.

Die allgemeine Theorie der Polynome in vielen Variablen geht weit über den Rahmen eines Schulkurses hinaus. Wir beschränken uns daher auf die Untersuchung von Polynomen einer reellen Variablen, und das sogar in den einfachsten Fällen. Betrachten Sie Polynome einer Variablen, die auf die Standardform reduziert sind.

Die Wurzel des Polynoms ist der Wert der Variablen, bei dem der Wert des Polynoms gleich Null ist. Das heißt, um die Wurzeln eines Polynoms zu finden, muss man es mit Null gleichsetzen, d.h. löse die Gleichung.

Polynomwurzel ersten Grades
einfach zu finden
. Untersuchung:
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