Das Thema ist die Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen Dezimalbruch. Gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche und Operationen mit ihnen. Welche Unterarten haben diese Art von Fraktionen?

Brüche

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Brüche in der High School sind nicht sehr nervig. Vorerst. Bis Sie auf Exponenten mit rationalen Exponenten und Logarithmen stoßen. Und da…. Sie drücken, Sie drücken den Taschenrechner, und es zeigt die gesamte Anzeigetafel einiger Zahlen. Man muss mit dem Kopf denken, wie in der dritten Klasse.

Lasst uns endlich mit Brüchen umgehen! Nun, wie sehr kann man sich in ihnen verwirren!? Außerdem ist alles einfach und logisch. So, Was sind Brüche?

Arten von Brüchen. Transformationen.

Es gibt drei Arten von Brüchen.

1. Gemeinsame Brüche , zum Beispiel:

Manchmal setzen sie anstelle einer horizontalen Linie einen Schrägstrich: 1/2, 3/4, 19/5, na ja, und so weiter. Hier werden wir oft diese Schreibweise verwenden. Die oberste Nummer wird angerufen Zähler, niedriger - Nenner. Wenn Sie diese Namen ständig verwechseln (es passiert ...), sagen Sie sich den Satz mit dem Ausdruck: " Zzzzz denken Sie daran! Zzzzz Nenner - aus zzz u!" Schau, alles wird in Erinnerung bleiben.)

Ein Strich, der horizontal ist, der schräg ist, bedeutet Aufteilung obere Zahl (Zähler) bis untere Zahl (Nenner). Und alle! Anstelle eines Bindestrichs ist es durchaus möglich, ein Teilungszeichen zu setzen - zwei Punkte.

Wenn die Teilung vollständig möglich ist, muss sie durchgeführt werden. Anstelle des Bruchs "32/8" ist es also viel angenehmer, die Zahl "4" zu schreiben. Diese. 32 wird einfach durch 8 geteilt.

32/8 = 32: 8 = 4

Ich spreche nicht von der Fraktion "4/1". Das ist auch nur "4". Und wenn es sich nicht vollständig teilt, lassen wir es als Bruch. Manchmal muss man es umgekehrt machen. Machen Sie aus einer ganzen Zahl einen Bruch. Aber dazu später mehr.

2. Dezimalstellen , zum Beispiel:

In dieser Form müssen die Antworten auf die Aufgaben "B" aufgeschrieben werden.

3. gemischte Zahlen , zum Beispiel:

Gemischte Zahlen werden in der High School praktisch nicht verwendet. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Aber man muss auf jeden Fall wissen, wie es geht! Und dann wird eine solche Nummer im Puzzle auftauchen und hängen ... Von Grund auf neu. Aber wir erinnern uns an dieses Verfahren! Etwas niedriger.

Am vielseitigsten gemeinsame Brüche. Beginnen wir mit ihnen. Übrigens, wenn in dem Bruch alle möglichen Logarithmen, Sinus und andere Buchstaben stehen, ändert das nichts. In dem Sinne, dass alles Aktionen mit Bruchausdrücken unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen!

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs.

So lass uns gehen! Zunächst werde ich Sie überraschen. Die ganze Vielfalt der Bruchtransformationen wird durch eine einzige Eigenschaft bereitgestellt! So heißt es Grundeigenschaft eines Bruchs. Denken Sie daran: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Diese:

Es ist klar, dass Sie weiter schreiben können, bis Sie blau im Gesicht sind. Lassen Sie sich nicht von Sinus und Logarithmus verwirren, wir werden uns weiter damit befassen. Die Hauptsache zu verstehen ist, dass all diese verschiedenen Ausdrücke sind der gleiche Bruchteil . 2/3.

Und wir brauchen es, all diese Transformationen? Und wie! Jetzt werden Sie es selbst sehen. Lassen Sie uns zunächst die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs für verwenden Abkürzungen für Brüche. Es scheint, dass die Sache elementar ist. Wir teilen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und fertig! Es ist unmöglich, etwas falsch zu machen! Aber... der Mensch ist ein kreatives Wesen. Fehler kann man überall machen! Vor allem, wenn Sie nicht einen Bruch wie 5/10 kürzen müssen, sondern einen Bruchausdruck mit allen möglichen Buchstaben.

Wie Sie Brüche ohne unnötige Arbeit richtig und schnell kürzen, erfahren Sie im Sonderteil 555.

Ein normaler Schüler macht sich nicht die Mühe, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (oder denselben Ausdruck) zu dividieren! Er streicht einfach alles gleich von oben und unten durch! Hier lauert ein typischer Fehler, ein Schnitzer, wenn man so will.

Zum Beispiel müssen Sie den Ausdruck vereinfachen:

Es gibt nichts zu überlegen, wir streichen den Buchstaben "a" von oben und die Zwei von unten! Wir bekommen:

Alles ist richtig. Aber du hast wirklich geteilt das Ganze Zähler u das Ganze Nenner "a". Wenn Sie es gewohnt sind, einfach durchzustreichen, dann können Sie in Eile das "a" im Ausdruck streichen

und wieder bekommen

Was kategorisch falsch wäre. Denn hier das Ganze Zähler auf "a" bereits nicht geteilt! Dieser Anteil kann nicht gekürzt werden. Übrigens ist eine solche Abkürzung, ähm ... eine ernsthafte Herausforderung für den Lehrer. Das wird nicht verziehen! Denken Sie daran? Beim Reduzieren muss geteilt werden das Ganze Zähler u das Ganze Nenner!

Das Kürzen von Brüchen macht das Leben viel einfacher. Sie werden irgendwo einen Bruch bekommen, zum Beispiel 375/1000. Und wie kann man jetzt mit ihr arbeiten? Ohne Taschenrechner? Multiplizieren, sagen, addieren, quadrieren!? Und wenn Sie nicht zu faul sind, reduzieren Sie vorsichtig um fünf und sogar um fünf und sogar ... während es reduziert wird, kurz. Wir bekommen 3/8! Viel schöner, oder?

Die Grundeigenschaft eines Bruchs ermöglicht es Ihnen, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt ohne Taschenrechner! Das ist wichtig für die Prüfung, oder?

Wie man Brüche von einer Form in eine andere umwandelt.

Mit Dezimalzahlen ist es einfach. Wie es gehört, so steht es geschrieben! Sagen wir 0,25. Es ist null Komma, fünfundzwanzig Hundertstel. Also schreiben wir: 25/100. Wir reduzieren (Teilen Sie Zähler und Nenner durch 25), wir erhalten den üblichen Bruch: 1/4. Alles. Es passiert, und nichts wird reduziert. Wie 0,3. Das sind drei Zehntel, d.h. 3/10.

Was ist, wenn ganze Zahlen ungleich Null sind? Macht nichts. Schreibe den ganzen Bruch auf ohne Kommas im Zähler und im Nenner - was gehört wird. Beispiel: 3.17. Das sind ganze drei, siebzehn Hundertstel. Wir schreiben 317 in den Zähler und 100 in den Nenner und erhalten 317/100. Nichts wird reduziert, das heißt alles. Das ist die Antwort. Elementar Watson! Aus all dem oben Gesagten eine nützliche Schlussfolgerung: Jeder Dezimalbruch kann in einen gewöhnlichen Bruch umgewandelt werden .

Aber die umgekehrte Umwandlung, gewöhnlich in dezimal, einige können nicht ohne Taschenrechner auskommen. Aber du musst! Wie werden Sie die Antwort auf die Prüfung aufschreiben!? Wir lesen und beherrschen diesen Prozess sorgfältig.

Was ist ein Dezimalbruch? Sie hat im Nenner stets ist 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 wert und so weiter. Wenn dein üblicher Bruch einen solchen Nenner hat, gibt es kein Problem. Beispiel: 4/10 = 0,4. Oder 7/100 = 0,07. Oder 12/10 = 1,2. Und wenn sich in der Antwort auf die Aufgabe von Abschnitt "B" 1/2 herausstellte? Was werden wir als Antwort schreiben? Dezimalstellen sind erforderlich...

Wir erinnern Grundeigenschaft eines Bruchs ! Die Mathematik ermöglicht es Ihnen, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Übrigens für jeden! Außer Null natürlich. Nutzen wir diese Funktion zu unserem Vorteil! Womit kann der Nenner multipliziert werden, d.h. 2, sodass daraus 10 oder 100 oder 1000 werden (kleiner ist natürlich besser...)? 5, offensichtlich. Fühlen Sie sich frei, den Nenner zu multiplizieren (dies ist uns notwendig) mit 5. Dann muss aber auch der Zähler mit 5 multipliziert werden. Das ist schon Mathe Forderungen! Wir erhalten 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Das ist alles.

Es kommen jedoch alle möglichen Nenner vor. Zum Beispiel wird der Bruch 3/16 fallen. Probieren Sie es aus, finden Sie heraus, womit Sie 16 multiplizieren müssen, um 100 oder 1000 zu erhalten ... Funktioniert nicht? Dann können Sie einfach 3 durch 16 teilen. Wenn Sie keinen Taschenrechner haben, müssen Sie in einer Ecke auf einem Blatt Papier dividieren, wie es in Grundschulklassen gelehrt wurde. Wir erhalten 0,1875.

Und es gibt einige sehr schlechte Nenner. Zum Beispiel kann der Bruch 1/3 nicht in eine gute Dezimalzahl umgewandelt werden. Sowohl auf einem Taschenrechner als auch auf einem Blatt Papier erhalten wir 0,3333333 ... Dies bedeutet, dass 1/3 in einen genauen Dezimalbruch umgewandelt wird übersetzt nicht. Genau wie 1/7, 5/6 und so weiter. Viele von ihnen sind nicht übersetzbar. Daher eine weitere nützliche Schlussfolgerung. Nicht jeder gewöhnliche Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln. !

Übrigens eine nützliche Information zur Selbstprüfung. In Abschnitt "B" als Antwort müssen Sie einen Dezimalbruch aufschreiben. Und Sie haben zum Beispiel 4/3. Dieser Bruch wird nicht in Dezimalzahlen umgewandelt. Das bedeutet, dass Sie irgendwo auf dem Weg einen Fehler gemacht haben! Komm zurück, überprüfe die Lösung.

Also mit aussortierten gewöhnlichen und dezimalen Brüchen. Es bleibt, sich mit gemischten Zahlen zu befassen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen sie alle in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Wie kann man das machen? Du kannst einen Sechstklässler erwischen und ihn fragen. Aber nicht immer wird ein Sechstklässler zur Hand sein ... Wir werden es selbst tun müssen. Das ist nicht schwierig. Multiplizieren Sie den Nenner des Bruchteils mit dem ganzzahligen Teil und addieren Sie den Zähler des Bruchteils. Dies ist der Zähler eines gemeinsamen Bruchs. Was ist mit dem Nenner? Der Nenner bleibt gleich. Klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Sehen wir uns ein Beispiel an.

Geben Sie in dem Problem, das Sie mit Entsetzen gesehen haben, die Nummer ein:

Ruhig, ohne Panik verstehen wir. Der ganze Teil ist 1. Eins. Der Bruchteil ist 3/7. Daher ist der Nenner des Bruchteils 7. Dieser Nenner ist der Nenner des gewöhnlichen Bruchs. Wir zählen den Zähler. Wir multiplizieren 7 mit 1 (dem ganzzahligen Teil) und addieren 3 (den Zähler des Bruchteils). Wir erhalten 10. Dies ist der Zähler eines gewöhnlichen Bruchs. Das ist alles. Noch einfacher sieht es in mathematischer Notation aus:

Deutlich? Dann sichern Sie sich Ihren Erfolg! Wandle in gewöhnliche Brüche um. Sie sollten 10/7, 7/2, 23/10 und 21/4 erhalten.

Die umgekehrte Operation - Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl - wird in der High School selten benötigt. Nun, wenn... Und wenn Sie - nicht in der High School - können Sie in die Sonderabteilung 555 schauen. An der gleichen Stelle lernen Sie übrigens auch etwas über unechte Brüche.

Naja, fast alles. Sie haben sich an die Arten von Brüchen erinnert und verstanden wie Konvertieren Sie sie von einem Typ in einen anderen. Bleibt die Frage: warum Tu es? Wo und wann kann man dieses tiefe Wissen anwenden?

Ich antworte. Jedes Beispiel selbst schlägt die notwendigen Maßnahmen vor. Wenn im Beispiel gewöhnliche Brüche, Dezimalzahlen und sogar gemischte Zahlen zu einem Haufen gemischt werden, übersetzen wir alles in gewöhnliche Brüche. Es kann immer getan werden. Nun, wenn so etwas wie 0,8 + 0,3 geschrieben wird, dann denken wir das, ohne Übersetzung. Warum brauchen wir zusätzliche Arbeit? Wir wählen die Lösung, die bequem ist uns !

Wenn die Aufgabe voller Dezimalbrüche ist, aber ähm ... irgendwelche bösen, gehen Sie zu gewöhnlichen, versuchen Sie es! Schau, alles wird gut. Zum Beispiel musst du die Zahl 0,125 quadrieren. Gar nicht so einfach, wenn man sich den Taschenrechner nicht abgewöhnt hat! Sie müssen nicht nur die Zahlen in einer Spalte multiplizieren, sondern auch überlegen, wo Sie das Komma einfügen! Das geht in meinen Augen definitiv nicht! Und wenn Sie zu einem gewöhnlichen Bruch gehen?

0,125 = 125/1000. Wir reduzieren um 5 (das ist für den Anfang). Wir bekommen 25/200. Noch einmal am 5. Wir bekommen 5/40. Oh, es schrumpft! Zurück zu 5! Wir bekommen 1/8. Einfach quadrieren (in Gedanken!) und 1/64 erhalten. Alles!

Fassen wir diese Lektion zusammen.

1. Es gibt drei Arten von Brüchen. Gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen.

2. Dezimalzahlen und gemischte Zahlen stets können in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Rückübersetzung nicht immer verfügbar.

3. Die Wahl des Bruchtyps für die Bearbeitung der Aufgabe hängt von dieser Aufgabe ab. Wenn es in einer Aufgabe verschiedene Arten von Brüchen gibt, ist es am zuverlässigsten, auf gewöhnliche Brüche umzusteigen.

Jetzt können Sie üben. Wandeln Sie zuerst diese Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Sie sollten Antworten wie diese erhalten (in einem Durcheinander!):

Damit werden wir fertig. In dieser Lektion haben wir die wichtigsten Punkte zu Brüchen aufgefrischt. Es kommt jedoch vor, dass es nichts Besonderes zum Auffrischen gibt ...) Wenn jemand es ganz vergessen hat oder es noch nicht beherrscht ... Diese können zu einem speziellen Abschnitt 555 gehen. Dort sind alle Grundlagen ausführlich beschrieben. Viele plötzlich alles verstehen beginnen. Und sie lösen Brüche im Handumdrehen).

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Wenn wir 497 durch 4 teilen müssen, werden wir beim Teilen sehen, dass 497 nicht durch 4 teilbar ist, d.h. bleibt der Rest der Teilung. In solchen Fällen heißt es Division mit Rest, und die Lösung wird wie folgt geschrieben:
497: 4 = 124 (1 Rest).

Die Divisionskomponenten auf der linken Seite der Gleichheit heißen wie bei der Division ohne Rest: 497 - Dividende, 4 - Teiler. Das Ergebnis der Division bei der Division mit Rest wird aufgerufen unvollständig privat. In unserem Fall ist diese Zahl 124. Und schließlich ist die letzte Komponente, die nicht in der üblichen Aufteilung ist Rest. Wenn es keinen Rest gibt, sagt man, dass eine Zahl durch eine andere geteilt wird. spurlos oder komplett. Es wird angenommen, dass bei einer solchen Division der Rest Null ist. In unserem Fall ist der Rest 1.

Der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Sie können beim Teilen durch Multiplizieren überprüfen. Wenn zum Beispiel eine Gleichheit 64: 32 = 2 besteht, dann kann die Überprüfung so erfolgen: 64 = 32 * 2.

Oft ist es in Fällen, in denen eine Division mit einem Rest durchgeführt wird, bequem, die Gleichheit zu verwenden
a \u003d b * n + r,
wobei a der Dividend ist, b der Divisor ist, n der partielle Quotient ist, r der Rest ist.

Der Quotient der Division natürlicher Zahlen kann als Bruch geschrieben werden.

Der Zähler eines Bruches ist der Dividende und der Nenner der Divisor.

Da der Zähler eines Bruches der Dividende und der Nenner der Divisor ist, glauben, dass die Linie eines Bruchs die Aktion der Teilung bedeutet. Manchmal ist es praktisch, die Division als Bruch zu schreiben, ohne das ":"-Zeichen zu verwenden.

Der Quotient der Division der natürlichen Zahlen m und n kann als Bruch \(\frac(m)(n) \) geschrieben werden, wobei der Zähler m der Dividende und der Nenner n der Divisor ist:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Folgende Regeln sind richtig:

Um einen Bruch \(\frac(m)(n) \) zu erhalten, musst du die Einheit in n gleiche Teile (Anteile) teilen und m solche Teile nehmen.

Um den Bruch \(\frac(m)(n) \) zu erhalten, musst du die Zahl m durch die Zahl n teilen.

Um einen Teil eines Ganzen zu finden, müssen Sie die dem Ganzen entsprechende Zahl durch den Nenner dividieren und das Ergebnis mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Um ein Ganzes durch seinen Teil zu finden, müssen Sie die diesem Teil entsprechende Zahl durch den Zähler dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl (außer Null) multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (außer Null) dividiert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a:m)(b:m)\)
Diese Eigenschaft wird aufgerufen Grundeigenschaft eines Bruchs.

Die letzten beiden Transformationen werden aufgerufen Fraktionsreduktion.

Sollen Brüche als Brüche mit gleichem Nenner dargestellt werden, so wird eine solche Aktion aufgerufen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Echte und unechte Brüche. gemischte Zahlen

Sie wissen bereits, dass ein Bruch erhalten werden kann, indem man ein Ganzes in gleiche Teile teilt und mehrere solcher Teile nimmt. Zum Beispiel bedeutet der Bruch \(\frac(3)(4) \) drei Viertel von eins. Bei vielen Aufgaben im vorigen Abschnitt wurden Brüche verwendet, um einen Teil eines Ganzen zu bezeichnen. Der gesunde Menschenverstand schreibt vor, dass der Teil immer kleiner als das Ganze sein sollte, aber was ist mit Brüchen wie \(\frac(5)(5) \) oder \(\frac(8)(5) \)? Es ist klar, dass dies nicht mehr Teil der Einheit ist. Deshalb nennt man wohl solche Brüche, bei denen der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist unechte Brüche. Die verbleibenden Brüche, also Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist, werden aufgerufen richtige Brüche.

Wie Sie wissen, kann jeder gewöhnliche Bruch, sowohl echter als auch unechter, als das Ergebnis der Division des Zählers durch den Nenner betrachtet werden. Daher bedeutet in der Mathematik, anders als in der gewöhnlichen Sprache, der Begriff „unechter Bruch“ nicht, dass wir etwas falsch gemacht haben, sondern nur, dass dieser Bruch einen Zähler hat, der größer oder gleich seinem Nenner ist.

Besteht eine Zahl aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruch, so ist z Brüche heißen gemischt.

Zum Beispiel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ist der ganzzahlige Teil und \(\frac(2)(3) \) ist der Bruchteil.

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b) \) durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, dann muss, um diesen Bruch durch n zu teilen, sein Zähler durch diese Zahl geteilt werden:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b) \) nicht durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, müssen Sie, um diesen Bruch durch n zu teilen, seinen Nenner mit dieser Zahl multiplizieren:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Beachten Sie, dass die zweite Regel auch gilt, wenn der Zähler durch n teilbar ist. Daher können wir es verwenden, wenn es auf den ersten Blick schwierig ist festzustellen, ob der Zähler eines Bruchs durch n teilbar ist oder nicht.

Aktionen mit Brüchen. Addition von Brüchen.

Mit Bruchzahlen kannst du, wie auch mit natürlichen Zahlen, Rechenoperationen durchführen. Schauen wir uns zuerst das Addieren von Brüchen an. Es ist einfach, Brüche mit demselben Nenner zu addieren. Finden Sie zum Beispiel die Summe von \(\frac(2)(7) \) und \(\frac(3)(7) \). Man sieht leicht, dass \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, musst du ihre Zähler addieren und den Nenner gleich lassen.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Addieren von Brüchen mit demselben Nenner wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Will man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Zum Beispiel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Sowohl für Brüche als auch für natürliche Zahlen gelten die kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition.

Addition von gemischten Fraktionen

Aufnahmen wie \(2\frac(2)(3) \) werden aufgerufen gemischte Fraktionen. Die Nummer 2 wird gerufen ganzer Teil gemischter Bruch, und die Zahl \(\frac(2)(3) \) ist seine Bruchteil. Der Eintrag \(2\frac(2)(3) \) wird so gelesen: "zwei und zwei Drittel".

Das Teilen der Zahl 8 durch die Zahl 3 ergibt zwei Antworten: \(\frac(8)(3) \) und \(2\frac(2)(3) \). Sie drücken dieselbe Bruchzahl aus, also \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Somit wird der unechte Bruch \(\frac(8)(3) \) als gemischter Bruch \(2\frac(2)(3) \) dargestellt. In solchen Fällen sagen sie das von einem unechten Bruch das Ganze herausgegriffen.

Subtraktion von Brüchen (Bruchzahlen)

Die Subtraktion von Bruchzahlen sowie natürlichen Zahlen wird auf der Grundlage der Additionsaktion bestimmt: Eine andere von einer Zahl zu subtrahieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie zur zweiten addiert wird, die erste ergibt. Zum Beispiel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) da \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Die Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner ähnelt der Regel zum Addieren solcher Brüche:
Um die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner zu finden, subtrahieren Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lassen Sie den Nenner gleich.

Unter Verwendung von Buchstaben wird diese Regel wie folgt geschrieben:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplikation von Brüchen

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner multiplizieren und das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner schreiben.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Multiplizieren von Brüchen wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Mit der formulierten Regel ist es möglich, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, mit einem gemischten Bruch und auch gemischte Brüche zu multiplizieren. Dazu musst du eine natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben, einen gemischten Bruch als unechten Bruch.

Das Ergebnis der Multiplikation sollte (wenn möglich) vereinfacht werden, indem der Bruch gekürzt und der ganzzahlige Teil des unechten Bruchs hervorgehoben wird.

Sowohl für Brüche als auch für natürliche Zahlen gelten die kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Multiplikation sowie die distributiven Eigenschaften der Multiplikation in Bezug auf die Addition.

Division von Brüchen

Nimm den Bruch \(\frac(2)(3) \) und „drehe“ ihn um, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Wir erhalten den Bruch \(\frac(3)(2) \). Dieser Bruchteil heißt umkehren Brüche \(\frac(2)(3) \).

„Umkehren“ wir nun den Bruch \(\frac(3)(2) \), dann erhalten wir den ursprünglichen Bruch \(\frac(2)(3) \). Daher werden Brüche wie \(\frac(2)(3) \) und \(\frac(3)(2) \) genannt gegenseitig invers.

Zum Beispiel die Brüche \(\frac(6)(5) \) und \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) und \(\frac (18 )(7) \).

Unter Verwendung von Buchstaben können umgekehrte Brüche wie folgt geschrieben werden: \(\frac(a)(b) \) und \(\frac(b)(a) \)

Es ist klar, dass das Produkt der reziproken Brüche ist 1. Zum Beispiel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Mit reziproken Brüchen lässt sich die Division von Brüchen auf die Multiplikation zurückführen.

Die Regel zum Teilen eines Bruchs durch einen Bruch:
Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, musst du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Teilen von Brüchen wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Wenn der Dividende oder Divisor eine natürliche Zahl oder ein gemischter Bruch ist, muss er, um die Regel zum Teilen von Brüchen anwenden zu können, zuerst als unechter Bruch dargestellt werden.

Hier scheint die Übersetzung eines Dezimalbruchs in einen gemeinsamen Bruch ein elementares Thema zu sein, aber viele Schüler verstehen es nicht! Deshalb werden wir uns heute mehrere Algorithmen auf einmal genauer ansehen, mit deren Hilfe Sie in nur einer Sekunde mit beliebigen Brüchen umgehen können.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es mindestens zwei Arten gibt, denselben Bruch zu schreiben: gewöhnlich und dezimal. Dezimalbrüche sind alle Arten von Konstruktionen wie 0,75; 1,33; und sogar -7,41. Und hier sind Beispiele für gewöhnliche Brüche, die dieselben Zahlen ausdrücken:

Lassen Sie uns es jetzt herausfinden: Wie wechselt man von Dezimal zu Normal? Und vor allem: Wie geht das am schnellsten?

Grundalgorithmus

Tatsächlich gibt es mindestens zwei Algorithmen. Und wir werden uns jetzt beide ansehen. Beginnen wir mit dem ersten - dem einfachsten und verständlichsten.

Um eine Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln, müssen Sie drei Schritte ausführen:

Ein wichtiger Hinweis zu negativen Zahlen. Wenn im ursprünglichen Beispiel ein Minuszeichen vor dem Dezimalbruch steht, dann sollte bei der Ausgabe auch ein Minuszeichen vor dem gewöhnlichen Bruch stehen. Hier sind einige weitere Beispiele:

Beispiele für den Übergang von der Dezimalschreibweise zu gewöhnlichen Brüchen

Auf das letzte Beispiel möchte ich besonders aufmerksam machen. Wie Sie sehen können, gibt es im Bruch 0,0025 viele Nullen nach dem Komma. Aus diesem Grund müssen Sie Zähler und Nenner bis zu viermal mit 10 multiplizieren.Ist es möglich, den Algorithmus in diesem Fall irgendwie zu vereinfachen?

Ja, das darfst du sicherlich. Und jetzt betrachten wir einen alternativen Algorithmus - er ist etwas schwieriger zu verstehen, aber nach ein wenig Übung funktioniert er viel schneller als der Standardalgorithmus.

Schneller Weg

Dieser Algorithmus hat auch 3 Schritte. Um einen gewöhnlichen Bruch aus einer Dezimalzahl zu erhalten, müssen Sie Folgendes tun:

1. Berechnen Sie, wie viele Stellen nach dem Komma stehen. Zum Beispiel hat der Bruch 1,75 zwei solcher Ziffern und 0,0025 hat vier. Lassen Sie uns diese Menge mit dem Buchstaben $n$ bezeichnen.
2. Schreiben Sie die ursprüngliche Zahl in einen Bruch der Form $\frac(a)(((10)^(n)))$ um, wobei $a$ alle Ziffern des ursprünglichen Bruchs sind (ohne „beginnende“ Nullen auf der linken Seite , falls vorhanden), und $n$ ist die gleiche Anzahl von Nachkommastellen, die wir im ersten Schritt gezählt haben. Mit anderen Worten, es ist notwendig, die Ziffern des ursprünglichen Bruchs mit $n$ Nullen durch Eins zu dividieren.
3. Wenn möglich, reduzieren Sie den resultierenden Bruch.

Das ist alles! Auf den ersten Blick ist dieses Schema komplizierter als das vorherige. Aber tatsächlich ist es sowohl einfacher als auch schneller. Urteile selbst:

Wie Sie sehen können, gibt es im Bruch 0,64 zwei Nachkommastellen – 6 und 4. Daher ist $n=2$. Wenn wir das Komma und die Nullen links entfernen (in diesem Fall nur eine Null), dann erhalten wir die Zahl 64. Gehen Sie zum zweiten Schritt: $((10)^(n))=((10)^( 2))=100$, also ist der Nenner genau hundert. Nun, dann bleibt nur noch Zähler und Nenner zu kürzen. :) :)

Noch ein Beispiel:

Hier ist alles etwas komplizierter. Erstens gibt es bereits 3 Nachkommastellen, d.h. $n=3$, also musst du durch $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$ teilen. Zweitens, wenn wir das Komma aus der Dezimalschreibweise entfernen, erhalten wir Folgendes: 0,004 → 0004. Denken Sie daran, dass die Nullen auf der linken Seite entfernt werden müssen, also haben wir tatsächlich die Zahl 4. Dann ist alles einfach: Dividieren, Reduzieren und erhalten Sie die Antwort.

Abschließend das letzte Beispiel:

Die Besonderheit dieses Bruchs ist das Vorhandensein eines ganzzahligen Teils. Daher erhalten wir am Ausgang einen unechten Bruch 47/25. Du kannst natürlich versuchen, 47 durch 25 mit Rest zu teilen und so den ganzen Teil wieder zu isolieren. Aber warum sollte man sich das Leben verkomplizieren, wenn es sogar im Stadium der Transformation möglich ist? Nun, lass es uns herausfinden.

Was tun mit dem ganzen Teil

Eigentlich ist alles sehr einfach: Wenn wir den richtigen Bruch erhalten wollen, müssen wir für die Zeit der Transformation den ganzzahligen Teil daraus entfernen und ihn dann, wenn wir das Ergebnis erhalten, wieder rechts vorne hinzufügen des Bruchstrichs.

Betrachten Sie zum Beispiel dieselbe Zahl: 1,88. Lassen Sie uns mit eins (ganzer Teil) punkten und uns den Bruch 0,88 ansehen. Es ist einfach umzurechnen:

Dann erinnern wir uns an die „verlorene“ Einheit und fügen sie voran:

\[\frac(22)(25)\bis 1\frac(22)(25)\]

Das ist alles! Die Antwort war die gleiche wie nach der Auswahl des ganzen Teils beim letzten Mal. Noch ein paar Beispiele:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\bis 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\bis 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

Das ist das Schöne an der Mathematik: Egal welchen Weg Sie gehen, wenn alle Berechnungen richtig gemacht werden, wird die Antwort immer dieselbe sein. :)

Abschließend möchte ich eine andere Technik betrachten, die vielen hilft.

Transformationen nach Gehör

Denken wir darüber nach, was eine Dezimalzahl ist. Genauer gesagt, wie wir es lesen. Zum Beispiel die Zahl 0,64 – wir lesen sie als „null ganze Zahl, 64 Hundertstel“, richtig? Nun, oder einfach nur "64 Hundertstel". Das Schlüsselwort ist hier "Hundertstel", also Nummer 100.

Was ist mit 0,004? Dies ist „Nullpunkt, 4 Tausendstel“ oder einfach „vier Tausendstel“. Das Schlüsselwort ist so oder so "Tausendstel", d.h. 1000.

Nun, was ist daran falsch? Und die Tatsache, dass es diese Zahlen sind, die schließlich in der zweiten Stufe des Algorithmus in den Nennern „auftauchen“. Diese. 0,004 ist "vier Tausendstel" oder "4 geteilt durch 1000":

Versuchen Sie, sich selbst zu trainieren - es ist sehr einfach. Die Hauptsache ist, den ursprünglichen Bruch richtig zu lesen. Zum Beispiel ist 2,5 "2 ganze Zahlen, 5 Zehntel", also

Und etwa 1,125 ist "1 ganze, 125 Tausendstel", also

Im letzten Beispiel wird natürlich jemand einwenden, dass es nicht für jeden Schüler offensichtlich ist, dass 1000 durch 125 teilbar ist. Aber hier müssen Sie sich daran erinnern, dass 1000 \u003d 10 3 und 10 \u003d 2 ∙ 5 daher

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Somit wird jede Zehnerpotenz nur in die Faktoren 2 und 5 zerlegt – diese Faktoren müssen im Zähler gesucht werden, damit am Ende alles reduziert wird.

Diese Lektion ist vorbei. Kommen wir zu einer komplexeren inversen Operation - siehe "

Sie werden sehr häufig und in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit verwendet, sei es bei wissenschaftlichen und angewandten Berechnungen, der Entwicklung und dem Betrieb verschiedener Geräte, bei wirtschaftlichen Berechnungen und so weiter. Aus verschiedenen Gründen ist es oft notwendig, sie durchzuführen Dezimalumkehrung, sowie den dazu inversen Prozess. Es sei darauf hingewiesen, dass z Transformationen werden relativ einfach und nach bestimmten Regeln und Methoden erstellt, die in der Mathematik seit vielen hundert Jahren existieren.

Umwandlung einer Dezimalzahl in einen einfachen Bruch

Dezimalumwandlung in Bruch "gewöhnlich" ist ganz einfach und einfach gemacht. Dazu wird folgende Technik verwendet: Die Zahl, die rechts vom Dezimalpunkt der ursprünglichen Zahl steht, wird als Zähler des neuen Bruchs genommen, die Zahl zehn wird als Nenner verwendet, bis zu einem Grad, der gleich dem ist Anzahl der Ziffern des Zählers. Der verbleibende ganze Teil bleibt unverändert. Wenn der ganzzahlige Teil gleich Null ist, wird er nach der Transformation einfach weggelassen.

BEISPIEL 1

Fünfzig Komma fünfundzwanzig Hundertstel sind gleich fünfzig Komma und fünfundzwanzig geteilt durch hundert gleich fünfzig Komma ein Viertel.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, ist in der Tat das Gegenteil Umwandlung einer Dezimalzahl in eine einfache. Auch die Implementierung bereitet keine Schwierigkeiten und ist eigentlich eine ziemlich einfache arithmetische Operation. Damit einfachen Bruch in Dezimalzahl umwandeln Sie müssen den Zähler nach bestimmten Regeln durch seinen Nenner dividieren.

BEISPIEL 1

Muss umgesetzt werden Bruchumwandlung fünf Achtel Dezimal.

Division von fünf durch acht ergibt Dezimal null Komma sechshundertfünfundzwanzig Tausendstel.

=

0.625

Runden des Ergebnisses der Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl

Es sollte beachtet werden, dass im Gegensatz zu einem solchen Prozess, wie z Dezimalumwandlung, kann dieser Vorgang oft unbegrenzt dauern. In solchen Fällen heißt es, das Ergebnis des Verfahrens einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln möglicherweise nicht genau. Die Praxis zeigt jedoch, dass es in den allermeisten Fällen nicht erforderlich ist, ein absolut genaues Ergebnis zu erhalten. In der Regel endet der Divisionsprozess, wenn die Werte der im Einzelfall praktisch interessanten Dezimalteile in seinem Verlauf bereits ermittelt wurden.

BEISPIEL 1

Es ist erforderlich, ein Stück Butter mit einem Gewicht von einem Kilogramm in neun Teile derselben Masse zu schneiden. Bei der Durchführung dieses Verfahrens stellt sich heraus, dass die Masse von jedem von ihnen 1/9 Kilogramm beträgt. Wenn nach allen Regeln durchzuführen Transformation Dies gewöhnlicher Bruchteil in Dezimalbruch, stellt sich heraus, dass die Masse jedes der resultierenden Teile gleich null ganze Zahlen und eins in der Periode eines Kilogramms ist.

Die Rundung erfolgt nach den in der Arithmetik vorgesehenen Standardregeln: Wenn die erste der "verworfenen" Ziffern einen Wert von 5 oder mehr hat, wird die letzte der signifikanten Ziffern um eins erhöht. Ansonsten bleibt es unverändert.

BEISPIEL 2

Gemeinsamen Bruch umrechnen ein Achtel zu einer Dezimalstelle.

Wenn Sie eins durch acht teilen, erhalten Sie null Komma einhundertfünfundzwanzig Tausendstel oder aufgerundet - null Komma dreizehn Hundertstel.

Drücken Sie dann die Tasten, und die Aufgabe ist erledigt. Als Ergebnis erhalten Sie entweder eine Ganzzahl oder einen Dezimalbruch. Ein Dezimalbruch kann einen langen Rest nach haben. In diesem Fall muss der Bruch auf eine bestimmte Ziffer gerundet werden, die Sie mit Rundung benötigen (Zahlen bis 5 werden abgerundet, ab 5 einschließlich und mehr - aufwärts).

Wenn der Taschenrechner nicht zur Hand ist, müssen Sie aber. Schreiben Sie den Zähler eines Bruchs mit einem Nenner, dazwischen eine kleine Ecke, was bedeutet. Wandle zum Beispiel den Bruch 10/6 in eine Zahl um. Teilen Sie zunächst 10 durch 6. Es ergibt sich 1. Schreiben Sie das Ergebnis in eine Ecke. Multipliziere 1 mit 6, du erhältst 6. Subtrahiere 6 von 10. Du erhältst einen Rest von 4. Der Rest muss wieder durch 6 dividiert werden. Addiere 0 zu 4 und dividiere 40 durch 6. Du erhältst 6. Schreibe 6 in das Ergebnis , nach dem Komma. Multiplizieren Sie 6 mit 6. Sie erhalten 36. Subtrahieren Sie 36 von 40. Sie erhalten den Rest wieder 4. Dann können Sie nicht weitermachen, weil es offensichtlich ist, dass das Ergebnis die Zahl 1,66 (6) sein wird. Runden Sie den angegebenen Bruch auf die gewünschte Ziffer. Zum Beispiel 1,67. Dies ist das Endergebnis.

Verwandter Artikel

Quellen:

• Brüche in ganze Zahlen umwandeln

Brüche werden benötigt, um Zahlen zu bezeichnen, die aus einem oder mehreren Teilen der Einheit bestehen. Der Begriff „Bruch“ kommt vom lateinischen fractura, was „zerdrücken, brechen“ bedeutet. Es gibt gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche. Gleichzeitig kann eine Einheit in gewöhnlichen Brüchen in eine beliebige Anzahl von Teilen unterteilt werden, und in Dezimalbrüchen muss diese Zahl ein Vielfaches von 10 sein. Jeder Bruch kann sowohl gewöhnlich als auch dezimal sein.

Du wirst brauchen

• Um das Ergebnis zu berechnen, benötigen Sie einen Taschenrechner oder ein Blatt Papier und einen Stift.

Anweisung

Nehmen Sie also für den Anfang einen gewöhnlichen Bruch und teilen Sie ihn in Teile. Zum Beispiel 2 1/8, wobei 2 ein ganzzahliger Teil und 1/8 ein Bruch ist. Daraus können Sie sehen, dass die Zahl durch 8 geteilt wurde, aber nur eine genommen wurde. Der genommene Teil ist der Zähler, und die Anzahl der Teile, in die er geteilt wird, ist der Nenner.

beachten Sie

Oft gibt es Brüche, die nicht vollständig in Dezimalzahlen umgerechnet werden können. Hier kommt das Runden ins Spiel. Wenn du auf Tausendstel runden willst, dann schau dir die vierte Zahl nach dem Komma an. Wenn es kleiner als 5 ist, dann notieren Sie als Antwort die ersten drei Stellen nach dem Komma ohne Änderung, sonst muss eins zur letzten Stelle der drei addiert werden. Beispielsweise kann 0,89643123 als 0,896 geschrieben werden, aber 0,89663123 kann als 0,897 geschrieben werden.

Nützlicher Rat

Wenn Sie das Ergebnis manuell berechnen, ist es vor dem Teilen des Bruchs besser, ihn so weit wie möglich zu reduzieren und auch ganze Teile daraus auszuwählen.

Quellen:

• wie man Brüche umwandelt

Fraktion ist eines der Elemente von Formeln, für deren Eingabe in der Textverarbeitung Word ein Microsoft Equation-Tool vorhanden ist. Damit können Sie beliebige komplexe mathematische oder physikalische Formeln, Gleichungen und andere Elemente eingeben, die Sonderzeichen enthalten.

Anweisung

Um das Microsoft Equation-Tool zu starten, müssen Sie zur Adresse gehen: "Einfügen" -> "Objekt", im sich öffnenden Dialogfeld auf der ersten Registerkarte aus der Liste Microsoft Equation auswählen und auf "OK" klicken oder Doppel- klicken Sie auf das ausgewählte Element. Nach dem Start des Editors öffnet sich vor Ihnen eine Symbolleiste und ein Eingabefeld wird angezeigt: ein Rechteck in einem gepunkteten. Die Symbolleiste ist in Abschnitte unterteilt, von denen jeder eine Reihe von Aktionszeichen oder Ausdrücken enthält. Wenn Sie auf einen der Abschnitte klicken, wird eine Liste der darin enthaltenen Tools erweitert. Wählen Sie aus der sich öffnenden Liste das gewünschte Symbol aus und klicken Sie darauf. Nach der Auswahl erscheint das angegebene Zeichen in einem ausgewählten Rechteck im Dokument.

Der Abschnitt, der Elemente zum Schreiben von Brüchen enthält, befindet sich in der zweiten Zeile der Symbolleiste. Wenn Sie Ihren Mauszeiger darüber bewegen, sehen Sie den Tooltip "Bruch- und Radikalmuster". Klicken Sie einmal auf einen Abschnitt und erweitern Sie die Liste. Das Dropdown-Menü enthält Vorlagen für horizontale und schräge Brüche. Unter den angezeigten Optionen können Sie diejenige auswählen, die Ihrer Aufgabe entspricht. Klicken Sie auf die gewünschte Option. Nach dem Anklicken erscheinen in dem sich öffnenden Eingabefeld im Dokument ein Bruchsymbol und Stellen für die Eingabe von Zähler und Nenner, umrahmt von einer gepunkteten Linie. Der Standard-Cursor wird automatisch in das Feld zur Eingabe des Zählers gesetzt. Geben Sie den Zähler ein. Neben Zahlen können Sie auch Symbole, Buchstaben oder Aktionszeichen eingeben. Sie können sowohl über die Tastatur als auch über die entsprechenden Abschnitte der Microsoft Equation-Symbolleiste eingegeben werden. Drücken Sie nach dem Wasser im Zähler die TAB-TASTE, um zum Nenner zu gelangen. Sie können auch mit der Maus in das Feld zur Nennereingabe gehen. Nach dem Schreiben mit dem Mauszeiger irgendwo in das Dokument klicken, die Symbolleiste schließt sich, die Brucheingabe ist abgeschlossen. Zum Bearbeiten doppelklicken Sie mit der linken Maustaste darauf.

Wenn Sie beim Öffnen des Menüs "Einfügen" -> "Objekt" das Microsoft Equation-Tool nicht in der Liste gefunden haben, müssen Sie es installieren. Führen Sie die Installations-CD, das CD-Image oder die Word-Distributionsdatei aus. Wählen Sie im angezeigten Installationsfenster „Komponenten hinzufügen oder entfernen“. Einzelne Komponenten hinzufügen oder entfernen“ und klicken Sie auf „Weiter“. Aktivieren Sie im nächsten Fenster den Punkt "Erweiterte Anwendungseinstellungen". Weiter klicken. Suchen Sie im nächsten Fenster den Listeneintrag „Office Tools“ und klicken Sie links auf das Pluszeichen. In der erweiterten Liste interessiert uns der Punkt „Formel-Editor“. Klicken Sie auf das Symbol neben „Formel-Editor“ und im sich öffnenden Menü auf „Vom Computer ausführen“. Klicken Sie danach auf „Aktualisieren“ und warten Sie, bis die erforderliche Komponente installiert ist.