Untersuchen Sie die Funktion für ein Extremum und erstellen Sie einen Graphen. Definition zusätzlicher Punkte. Anwendung der Ableitung zur Lösung angewandter Probleme für das Extremum einiger Größen

Eine der wichtigsten Aufgaben der Differentialrechnung ist die Entwicklung allgemeiner Beispiele für die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen.

Wenn die Funktion y \u003d f (x) im Intervall kontinuierlich ist und ihre Ableitung im Intervall (a, b) positiv oder gleich 0 ist, erhöht sich y \u003d f (x) um (f "(x) 0). Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, nimmt y=f(x) um (f"( x)0)

Die Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, heißen Intervalle der Monotonie der Funktion. Die Natur der Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Stellen ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder bricht, werden kritische Punkte genannt.

Satz 1 (1. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion auf dem Segment stetig ist, differenzierbar auf dem Intervall (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , und seine Ableitung behält auf jedem dieser Intervalle ein konstantes Vorzeichen. Wenn dann auf x 0 - δ, x 0) und (x 0, x 0 + δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extremumspunkt, und wenn sie übereinstimmen, dann ist x 0 kein Extremumspunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 wird f "(x)> 0 durchgeführt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert von minus nach plus (rechts von x 0 wird von f"(x) ausgeführt<0, то х 0 - точка минимума.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion werden als ihre Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum).

Wenn die Funktion y=f(x) ein Extremum beim aktuellen x=x 0 hat, dann existiert entweder f'(x 0)=0 oder f'(x 0) nicht.
An den Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion ist die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zum Studium einer Funktion für ein Extremum:

1) Finde die Ableitung der Funktion.
2) Finden Sie kritische Punkte, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Nachbarschaft jedes der Punkte und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimme die Koordinaten der Extrempunkte, setze diesen Wert der kritischen Punkte in diese Funktion ein. Unter Verwendung ausreichender Extremumsbedingungen geeignete Schlussfolgerungen ziehen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x

Entscheidung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. In diesem Fall ist die Ableitung überall definiert; daher gibt es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y "=3(x-2)(x-4) ändert sich abhängig vom Intervall, wie in Abbildung 1 gezeigt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von minus nach plus.
4) Am Punkt x = 2 hat die Funktion ein Maximum y max = 20 und am Punkt x = 4 - ein Minimum y min = 16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Lassen Sie f "(x 0) und f "" (x 0) am Punkt x 0 existieren. Wenn dann f "" (x 0)> 0 ist, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf dem Segment kann die Funktion y \u003d f (x) entweder an den im Intervall (a; b) liegenden kritischen Punkten der Funktion oder an den Enden den kleinsten (mindestens) oder größten (höchstens) Wert erreichen des Segments.

Der Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment :

1) Finden Sie f "(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f "(x) = 0 oder f" (x) - nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y \u003d f (x) an den in Absatz 2) erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie den größten und den kleinsten von ihnen aus: Sie sind jeweils die größten ( für den größten) und den kleinsten (für den kleinsten) Funktionswert auf dem Intervall .

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert einer stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment .

1) Wir haben y "=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Lassen Sie uns die Punkte finden, an denen y"=0; wir bekommen:
3x2 -6x-45=0
x2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Nur der Punkt x=5 gehört zum Segment. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste die Zahl 50. Also bei max = 225, bei max = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist mit einer Wölbung nach oben gedreht, der zweite mit einer Wölbung nach unten.

Die Funktion y=f(x), die auf der Strecke stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar ist, heißt auf dieser Strecke nach oben (unten) konvex, wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) als die Tangente liegt gezeichnet an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (a;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf dem Segment nach unten konvex; wenn die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (а;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf konvex nach oben.

Satz 5. Wenn die Funktion y=f(x) eine zweite Ableitung auf dem Intervall (a;b) hat und wenn sie beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann ist es M(x 0 ;f(x 0)). ein Wendepunkt.

Regel zum Auffinden von Wendepunkten:

1) Finden Sie Punkte, wo f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem Punkt, der im ersten Schritt gefunden wurde.
3) Ziehen Sie basierend auf Theorem 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finde Extrempunkte und Wendepunkte des Funktionsgraphen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0 für x 1 =0, x 2 =1. Die Ableitung ändert beim Durchgang durch den Punkt x = 0 das Vorzeichen von Minus auf Plus, und beim Durchgang durch den Punkt x = 1 ändert sie das Vorzeichen nicht. Dies bedeutet, dass x = 0 der Minimalpunkt ist (y min = 12), und es gibt kein Extremum am Punkt x = 1. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Stellen x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) haben wir f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) haben wir f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von Konvexität nach unten zu Konvexität nach oben) und x=1 ist ebenfalls ein Wendepunkt (Übergang von Konvexität nach oben zu Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y= ; wenn, dann x=1, y=13.

Ein Algorithmus zum Finden der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) als x → a , dann ist x=a eine vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞ ist, dann ist y=A die horizontale Asymptote.
III. Um die schiefe Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b die horizontale Asymptote; Wenn , fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn diese Grenze nicht existiert, gibt es keine Asymptote; wenn es existiert und gleich k ist, gehe zum dritten Schritt.
3) Berechnen. Wenn diese Grenze nicht existiert, gibt es keine Asymptote; wenn es existiert und gleich b ist, gehe zum vierten Schritt.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schiefen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie eine Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die schiefe Asymptotengleichung hat die Form

Das Schema der Untersuchung der Funktion und die Konstruktion ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen.
III. Asymptoten finden.
IV. Finden Sie Punkte möglicher Extrema.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfszeichnung das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie die Bereiche der Zunahme und Abnahme der Funktion, finden Sie die Richtung der Konvexität des Graphen, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm unter Berücksichtigung der in den Absätzen 1-6 durchgeführten Studie.

Beispiel 22: Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen nach obigem Schema

Entscheidung.
I. Der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0; -1).
III. Klären wir die Frage nach der Existenz von Asymptoten. Wir untersuchen das Verhalten der Funktion nahe der Unstetigkeitsstelle x=1. Da y → ∞ für x → -∞, y → +∞ für x → 1+, dann ist die Gerade x=1 eine vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Ferner von der Existenz von Grenzen

Durch Lösen der Gleichung x 2 -2x-1=0 erhalten wir zwei Punkte eines möglichen Extremums:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - plus, im zweiten - minus, im dritten - plus. Die Zeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +, -, +.
Wir erhalten, dass die Funktion auf (-∞;1-√2) zunimmt, auf (1-√2;1+√2) abnimmt und auf (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2, außerdem f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2, außerdem f(1+√2)=2+2√2. Auf (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und auf (1;+∞) - nach unten.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Graphen der Funktion

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Für eine vollständige Untersuchung der Funktion und das Zeichnen ihres Diagramms wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) finden Sie den Umfang der Funktion;

2) Finden Sie die Unstetigkeitspunkte der Funktion und vertikale Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen, finden Sie die horizontalen und schiefen Asymptoten;

4) Untersuchung der Funktion auf Gleichmäßigkeit (Oddity) und auf Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexität und Wendepunkte;

7) Finden Sie Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, wenn möglich, und einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verfeinern.

Die Untersuchung der Funktion wird gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen durchgeführt.

Beispiel 9 Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion bricht an bestimmten Stellen ab
,
;

Wir untersuchen die Funktion für das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein von schrägen und horizontalen Asymptoten.

Gerade
─ schiefe Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist sogar da
. Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen in Bezug auf die y-Achse an.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie und die Extrema der Funktion.

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;
. Wir haben drei Punkte
;

. Diese Punkte teilen die gesamte reelle Achse in vier Intervalle. Lassen Sie uns die Zeichen definieren auf jedem von ihnen.

Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ab. Beim Passieren eines Punktes
die Ableitung wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher hat die Funktion an dieser Stelle ein Maximum
.

6. Finden wir Konvexitätsintervalle, Wendepunkte.

Lassen Sie uns die Punkte finden, wo 0 ist oder nicht existiert.

hat keine wirklichen Wurzeln.
,
,

Punkte
und
Teilen Sie die reelle Achse in drei Intervalle. Lassen Sie uns das Zeichen definieren in jedem Intervall.

Somit ist die Kurve auf den Intervallen
und
konvex nach unten, auf dem Intervall (-1;1) konvex nach oben; es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an den Punkten
und
nicht spezifiziert.

7. Finde die Schnittpunkte mit den Achsen.

mit Achse
der Graph der Funktion schneidet sich am Punkt (0; -1) und mit der Achse
der Graph schneidet sich nicht, weil der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Graph der Funktion

Anwendung des Begriffs des Derivats in der Volkswirtschaftslehre. Funktionselastizität

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Funktionselastizität verwendet.

Definition. Funktionselastizität
heißt die Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion auf das relative Inkrement der Variablen bei
, . (VII)

Die Elastizität einer Funktion zeigt ungefähr, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert
beim Ändern der unabhängigen Variablen um 1%.

Die Elastizität einer Funktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Elastizität der Nachfrage (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral falls
─ unelastisch in Bezug auf Preis (oder Einkommen).

Beispiel 10 Berechnen Sie die Elastizität einer Funktion
und finden Sie den Wert des Elastizitätsindex für = 3.

Lösung: nach Formel (VII) die Elastizität der Funktion:

Sei dann x=3
Das bedeutet, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, steigt der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %.

Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren bezüglich des preises hat die Form
, wo ─ konstanter Koeffizient. Ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit der Formel (VII)

Vorausgesetzt
Geldeinheiten, bekommen wir
. Das heißt, zum Preis
Geldeinheit eine Preiserhöhung von 1 % führt zu einem Rückgang der Nachfrage um 6 %, d.h. Die Nachfrage ist elastisch.

In diesem Artikel betrachten wir ein Schema zum Untersuchen einer Funktion und geben auch Beispiele zum Untersuchen von Extrema, Monotonie und Asymptoten einer gegebenen Funktion.

Planen

1. Der Existenzbereich (ODZ) einer Funktion.
2. Funktionsschnittpunkt (falls vorhanden) mit Koordinatenachsen, Funktionszeichen, Parität, Periodizität.
3. Haltepunkte (ihre Art). Kontinuität. Asymptoten sind vertikal.
4. Monotonie und Extrempunkte.
5. Wendepunkte. Konvex.
6. Untersuchung einer Funktion im Unendlichen, für Asymptoten: horizontal und schief.
7. Erstellen eines Diagramms.

Studie für Monotonie

Satz. Wenn die Funktion g durchgehend an , differenziert durch (ein; b) und g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(а; b), dann g steigend (fallend) .

Beispiel:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: хєR

y' = x 2 + 6x + 5.

Finden Sie Intervalle mit konstanten Vorzeichen du. Weil der du eine Elementarfunktion ist, dann kann sie nur dort das Vorzeichen wechseln, wo sie Null wird oder nicht existiert. Ihr ODZ: хєR.

Lassen Sie uns die Punkte finden, an denen die Ableitung gleich 0 (Null) ist:

y' = 0;

x = -1; -fünf.

So, j wächst weiter (-∞; -5] und weiter [-1; +∞), ja absteigend auf .

Forschung für Extreme

T. x0 wird der maximale Punkt (max) auf der Menge genannt UND Funktionen g wenn der Maximalwert an dieser Stelle von der Funktion genommen wird g(x 0) ≥ g(x), xєA.

T. x0 wird als Minimumpunkt (min) der Funktion bezeichnet g am Set UND wenn der kleinste Wert an dieser Stelle von der Funktion angenommen wird g(x 0) ≤ g(x), xєÀ.

Am Set UND die maximalen (max) und minimalen (min) Punkte werden als Extrempunkte bezeichnet g. Solche Extrema werden auch als absolute Extrema am Set bezeichnet .

Wenn x0- Extrempunkt der Funktion g in irgendeinem Bezirk, dann x0 wird der Punkt des lokalen oder lokalen Extremums (max oder min) der Funktion genannt g.

Satz (notwendige Bedingung). Wenn x0- Extrempunkt der (lokalen) Funktion g, dann existiert die Ableitung an dieser Stelle nicht oder ist gleich 0 (Null).

Definition. Punkte mit einer nicht vorhandenen oder gleich 0 (null) Ableitung werden als kritisch bezeichnet. Es sind diese Punkte, die für ein Extremum verdächtig sind.

Satz (hinreichende Bedingung Nr. 1). Wenn die Funktion g ist in einigen Bezirken kontinuierlich. x0 und das Vorzeichen durch diesen Punkt wechselt, wenn die Ableitung passiert, dann ist dieser Punkt der Extremumpunkt g.

Theorem (hinreichende Bedingung Nr. 2). Die Funktion sei in einer Umgebung des Punktes und zweimal differenzierbar g' = 0 und g'' > 0 (g''< 0) , dann dieser Punkt ist der Punkt des Maximums (max) oder Minimums (min) der Funktion.

Konvexitätstest

Die Funktion heißt nach unten konvex (oder konkav) auf dem Intervall (a,b) wenn der Graph der Funktion nicht höher als die Sekante des Intervalls für jedes x mit liegt (a,b) die durch diese Punkte geht .

Die Funktion wird strikt nach unten konvex sein (a,b), wenn - der Graph auf dem Intervall unter der Sekante liegt.

Die Funktion heißt nach oben konvex (konvex) auf dem Intervall (a,b), wenn überhaupt t Punkte Mit (a,b) der Graph der Funktion auf dem Intervall liegt nicht tiefer als die Sekante, die an diesen Punkten durch die Abszissen geht .

Die Funktion wird streng konvex nach oben weiter sein (a, b), wenn - der Graph auf dem Intervall über der Sekante liegt.

Wenn die Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes liegt kontinuierlich und durch T. x 0 Während des Übergangs ändert die Funktion ihre Konvexität, dann wird dieser Punkt als Wendepunkt der Funktion bezeichnet.

Studieren Sie für Asymptoten

Definition. Die Gerade heißt Asymptote g(x), wenn sich in unendlicher Entfernung vom Ursprung der Punkt des Funktionsgraphen ihm nähert: d(M,l).

Asymptoten können vertikal, horizontal oder schräg sein.

Vertikale Linie mit Gleichung x = x 0 wird die Asymptote des vertikalen Graphen der Funktion g sein , wenn der Punkt x 0 eine unendliche Lücke hat, dann gibt es an diesem Punkt mindestens eine linke oder rechte Grenze - unendlich.

Untersuchung einer Funktion auf einem Segment auf den Wert des kleinsten und größten

Wenn die Funktion dauerhaft eingeschaltet ist , dann gibt es nach dem Satz von Weierstraß den größten Wert und den kleinsten Wert auf diesem Segment, das heißt, es gibt t Brille die dazugehört so dass g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Aus Sätzen über Monotonie und Extrema erhalten wir das folgende Schema zur Untersuchung einer Funktion auf einem Segment für die kleinsten und größten Werte.

Planen

1. Derivat finden g'(x).
2. Schlagen Sie den Wert einer Funktion nach g an diesen Punkten und an den Enden des Segments.
3. Vergleichen Sie die gefundenen Werte und wählen Sie den kleinsten und den größten aus.

Kommentar. Wenn Sie eine Funktion in einem endlichen Intervall untersuchen müssen (a,b), oder auf unendlich (-∞; b); (-∞; +∞) Auf den Max- und Min-Werten suchen sie dann im Plan anstelle der Werte der Funktion an den Enden des Intervalls nach den entsprechenden einseitigen Grenzen: statt Fa) Auf der Suche nach f(a+) = limf(x), anstatt f(b) Auf der Suche nach f(-b). So findet man die ODZ-Funktion auf dem Intervall, denn absolute Extrema gibt es in diesem Fall nicht unbedingt.

Anwendung der Ableitung zur Lösung angewandter Probleme für das Extremum einiger Größen

1. Drücken Sie diesen Wert durch andere Größen aus der Bedingung des Problems aus, sodass er eine Funktion von nur einer Variablen ist (wenn möglich).
2. Das Änderungsintervall dieser Variablen wird bestimmt.
3. Führen Sie eine Untersuchung der Funktion im Intervall für maximale und minimale Werte durch.

Eine Aufgabe. Es ist notwendig, eine rechteckige Plattform mit einem Rastermaß in der Nähe der Mauer zu bauen, so dass sie auf einer Seite an die Mauer angrenzt und auf den anderen drei mit einem Gitter eingezäunt ist. Bei welchem ​​Seitenverhältnis ist die Fläche einer solchen Site am größten?

S=xy ist eine Funktion von 2 Variablen.

S = x(a - 2x)- Funktion der 1. Variablen ; x є .

S = Axt - 2x2; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a:4) = a2:8- der höchste Wert;

S(0)=0.

Finden Sie die andere Seite des Rechtecks: bei = ein: 2.

Seitenverhältnis: y:x=2.

Antworten. Die größte Fläche wird sein ein 2/8 wenn die zur Wand parallele Seite doppelt so groß ist wie die andere Seite.

Funktionsforschung. Beispiele

Beispiel 1

Erhältlich y=x 3: (1-x) 2 . Recherchieren.

1. ODZ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Eine allgemeine Funktion (weder gerade noch ungerade) ist bezüglich des Punktes 0 (Null) nicht symmetrisch.
3. Funktionszeichen. Die Funktion ist elementar, sie kann also nur dort das Vorzeichen wechseln, wo sie gleich 0 (Null) ist oder nicht existiert.
4. Die Funktion ist elementar, also durchgehend auf der ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Lücke: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Diskontinuität 2. Art (unendlich), also senkrechte Asymptote im Punkt 1;

x = 1- die Gleichung der vertikalen Asymptote.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1 ist ein kritischer Punkt.

y' = 0;

0; 3 sind kritische Punkte.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

Kritische T.: 1, 0;

x= 0 - Wendepunkt, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- Es gibt keine horizontale Asymptote, aber sie kann schräg sein.

k = 1- Anzahl;

b = 2- Anzahl.

Daher gibt es eine schiefe Asymptote y=x+2 bis + ∞ und bis - ∞.

Beispiel 2

Gegeben y = (x 2 + 1) : (x - 1). Produzieren und Ermittlung. Erstellen Sie ein Diagramm.

1. Der Existenzbereich ist der gesamte Zahlenstrahl, mit Ausnahme des sog. x=1.

2. j Kreuze OY (wenn möglich) inkl. (0;g(0)). Wir finden y(0) = -1 - Schnittpunkt OY .

Schnittpunkte des Graphen mit OCHSE Finden Sie durch Lösen der Gleichung y=0. Die Gleichung hat keine echten Wurzeln, also schneidet sich diese Funktion nicht OCHSE.

3. Die Funktion ist nicht periodisch. Betrachten Sie den Ausdruck

g(-x) ≠ g(x) und g(-x) ≠ -g(x). Dies bedeutet, dass es sich um eine generische Funktion handelt (weder gerade noch ungerade).

4. T. x=1 die Diskontinuität ist von der zweiten Art. An allen anderen Stellen ist die Funktion stetig.

5. Untersuchung der Funktion für ein Extremum:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

und löst die Gleichung y" = 0.

So, 1 - √2, 1 + √2, 1 - kritische Punkte oder Punkte möglicher Extrema. Diese Punkte teilen den Zahlenstrahl in vier Intervalle .

Auf jedem Intervall hat die Ableitung ein bestimmtes Vorzeichen, das durch die Methode der Intervalle oder durch Berechnung der Werte der Ableitung an einzelnen Punkten eingestellt werden kann. In Intervallen (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , eine positive Ableitung, was bedeutet, dass die Funktion wächst; wenn xє(1 - √2 ; 1) u(1; 1 + √2 ) , dann fällt die Funktion, weil die Ableitung in diesen Intervallen negativ ist. Durch t. x 1 beim Übergang (Bewegung folgt von links nach rechts) ändert die Ableitung das Vorzeichen von "+" auf "-", daher gibt es an dieser Stelle ein lokales Maximum, finden wir

j maximal = 2 - 2 √2 .

Beim Durchfahren x2ändert das Vorzeichen der Ableitung von "-" nach "+", daher gibt es an dieser Stelle ein lokales Minimum, und

ymix = 2 + 2√2.

T. x=1 nicht so extrem.

6.4: (x - 1) 3 = y"".

Auf (-∞; 1 ) 0 > y"" , folglich ist die Kurve auf diesem Intervall konvex; wenn xє (1 ; ∞) - Die Kurve ist konkav. In t Punkt 1 Es ist keine Funktion definiert, daher ist dieser Punkt kein Wendepunkt.

7. Aus den Ergebnissen von Absatz 4 folgt, dass x=1 ist die vertikale Asymptote der Kurve.

Es gibt keine horizontalen Asymptoten.

x + 1 = j ist die Asymptote der Steigung dieser Kurve. Es gibt keine anderen Asymptoten.

8. Unter Berücksichtigung der durchgeführten Studien erstellen wir ein Diagramm (siehe Abbildung oben).

Seit einiger Zeit funktioniert in TheBat (unklar aus welchem ​​Grund) die eingebaute Zertifikatsdatenbank für SSL nicht mehr richtig.

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Entscheidung

In diesem Fall müssen Sie den S/MIME- und TLS-Implementierungsstandard durch Microsoft CryptoAPI in TheBat ersetzen!

Da ich alle Dateien zu einer zusammenführen musste, konvertierte ich zuerst alle doc-Dateien in eine einzige PDF-Datei (mit dem Acrobat-Programm) und übertrug sie dann über einen Online-Konverter auf fb2. Sie können Dateien auch einzeln konvertieren. Formate können absolut beliebig sein (Quelle) und doc und jpg und sogar ein Zip-Archiv!

Der Name der Seite entspricht dem Wesen :) Online Photoshop.

Aktualisierung Mai 2015

Ich habe noch eine tolle Seite gefunden! Noch bequemer und funktionaler zum Erstellen einer völlig beliebigen Collage! Diese Seite ist http://www.fotor.com/ru/collage/ . Verwendung für die Gesundheit. Und ich werde es selbst verwenden.

Konfrontiert im Leben mit der Reparatur von Elektroherden. Ich habe schon viel gemacht, viel gelernt, aber irgendwie hatte ich wenig mit Fliesen zu tun. Es war notwendig, die Kontakte an den Reglern und Brennern auszutauschen. Es stellte sich die Frage: Wie bestimmt man den Durchmesser des Brenners am Elektroherd?

Die Antwort erwies sich als einfach. Sie müssen nichts messen, Sie können in Ruhe mit dem Auge bestimmen, welche Größe Sie benötigen.

Der kleinste Brenner beträgt 145 Millimeter (14,5 Zentimeter)

Mittlerer Brenner beträgt 180 Millimeter (18 Zentimeter).

Und schließlich die meisten großer Brenner beträgt 225 Millimeter (22,5 Zentimeter).

Es reicht aus, die Größe mit dem Auge zu bestimmen und zu verstehen, welchen Durchmesser Sie für einen Brenner benötigen. Als ich das nicht wusste, stieg ich mit diesen Größen in die Höhe, ich wusste nicht, wie man misst, an welcher Kante man navigiert, etc. Jetzt bin ich weise :) Ich hoffe, es hat dir auch geholfen!

In meinem Leben stand ich vor einem solchen Problem. Ich denke, ich bin nicht der Einzige.