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Inverse trigonometrische Funktionen sind ihre einfachsten Eigenschaften. Inverse trigonometrische Funktionen. Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen

Aufgaben zu inversen trigonometrischen Funktionen werden häufig bei Schulabschlussprüfungen und bei Aufnahmeprüfungen an einigen Universitäten angeboten. Eine vertiefte Auseinandersetzung mit diesem Thema kann nur in außerschulischen Lehrveranstaltungen oder in Wahlpflichtveranstaltungen erreicht werden. Der vorgeschlagene Kurs soll die Fähigkeiten jedes Studenten so weit wie möglich entwickeln, um seine mathematische Ausbildung zu verbessern.

Der Kurs ist auf 10 Stunden ausgelegt:

1. Funktionen von arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 Stunden).

2. Operationen an inversen trigonometrischen Funktionen (4 Stunden).

3. Inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen (2 Stunden).

Lektion 1 (2 Stunden) Thema: Funktionen y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Zweck: vollständige Abdeckung dieses Problems.

1. Funktion y \u003d arcsin x.

a) Für die Funktion y \u003d sin x auf dem Segment gibt es eine inverse (einwertige) Funktion, die wir als Arkussinus bezeichnen und wie folgt bezeichnen: y \u003d arcsin x. Der Graph der Umkehrfunktion ist symmetrisch zum Graphen der Hauptfunktion in Bezug auf die Winkelhalbierende der I-III-Koordinatenwinkel.

Funktionseigenschaften y = arcsin x .

1) Definitionsbereich: Segment [-1; eines];

2) Änderungsbereich: Schnitt ;

3) Funktion y = arcsin x ungerade: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Die Funktion y = arcsin x ist monoton steigend;

5) Der Graph schneidet die Achsen Ox, Oy am Ursprung.

Beispiel 1. Finde a = arcsin . Im Detail lässt sich dieses Beispiel wie folgt formulieren: Finde ein solches Argument a , das im Bereich von bis liegt und dessen Sinus gleich ist.

Lösung. Es gibt unzählige Argumente, deren Sinus ist, zum Beispiel: usw. Aber wir interessieren uns nur für das Argument, das auf dem Intervall steht. Dieses Argument wird sein. So, .

Beispiel 2. Finden .Lösung. Wenn wir auf die gleiche Weise wie in Beispiel 1 argumentieren, erhalten wir .

b) mündliche Übungen. Suchen: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Beispielantwort: , Weil . Machen die Ausdrücke Sinn: ; arcsin 1,5; ?

c) Sortiere aufsteigend: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. Funktionen y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (ähnlich).

Lektion 2 (2 Stunden) Thema: Inverse trigonometrische Funktionen, ihre Graphen.

Zweck: In dieser Lektion müssen Fähigkeiten entwickelt werden, um die Werte trigonometrischer Funktionen zu bestimmen, inverse trigonometrische Funktionen mit D (y), E (y) und den erforderlichen Transformationen zu zeichnen.

Führen Sie in dieser Lektion Übungen durch, die das Ermitteln des Definitionsbereichs und des Umfangs von Funktionen des Typs: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos umfassen.

Es ist notwendig, Funktionsgraphen zu erstellen: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d Bogensinus;

d) y \u003d Bogensinus; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Beispiel. Lassen Sie uns y = arccos darstellen

Sie können die folgenden Aufgaben in Ihre Hausaufgaben einbauen: Erstellen Sie Graphen von Funktionen: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Graphen von Umkehrfunktionen

Lektion Nr. 3 (2 Stunden) Thema:
Operationen auf inversen trigonometrischen Funktionen.

Zweck: Erweiterung der mathematischen Kenntnisse (wichtig für Studienbewerber in Fachrichtungen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung) durch Einführung der grundlegenden Zusammenhänge für inverse trigonometrische Funktionen.

Unterrichtsmaterial.

Einige einfache trigonometrische Operationen an inversen trigonometrischen Funktionen: Sünde (arcsin x) \u003d x, ich xi? eines; cos (arñcos x) = x, i xi? eines; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Übungen.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Sei arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arkussin x) = ; Sünde (Arccos x) = .

Hinweis: Wir nehmen das „+“-Zeichen vor der Wurzel, weil a = arcsin x erfüllt.

c) sin (1.5 + arcsin) Antwort:;

d) ctg (+ arctg 3).Antwort: ;

e) tg (- arcctg 4) Antwort: .

f) cos (0,5 + arccos) . Antworten: .

Berechnung:

a) Sünde (2 arctan 5) .

Sei arctg 5 = a, dann sin 2 a = oder sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Antwort: 0,28.

c) arctg + arctg.

Sei a = arctg , b = arctg ,

dann tan(a + b) = .

d) Sünde (arcsin + arcsin).

e) Beweisen Sie, dass für alle x I [-1; 1] wahr arcsin x + arccos x = .

Nachweisen:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (Arccos x)

Für eine eigenständige Lösung: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Für eine Heimlösung: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Lektion Nr. 4 (2 Stunden) Thema: Operationen auf inversen trigonometrischen Funktionen.

Zweck: In dieser Lektion soll die Verwendung von Verhältnissen bei der Transformation komplexerer Ausdrücke gezeigt werden.

Unterrichtsmaterial.

ORAL:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

GESCHRIEBEN:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- Arcsin 0,6) = - tg (Arcsin 0,6) =

Unabhängige Arbeit hilft, den Grad der Assimilation des Materials zu bestimmen

1) tg ( arctg 2 - arctg )

2) cos( - arctg2)

3) arcsin + arccos

1) cos (arcsin + arcsin)

2) Sünde (1,5 - arctg 3)

3) arcctg3 - arctg2

Als Hausaufgaben können Sie anbieten:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) Sünde 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) Sünde (2 arctan); 5) tg ( (Arkussin))

Lektion Nr. 5 (2h) Thema: Inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen.

Zweck: Um das Verständnis der Schüler für inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen zu schärfen, konzentrieren Sie sich darauf, die Aussagekraft der untersuchten Theorie zu erhöhen.

Beim Studium dieses Themas wird davon ausgegangen, dass die Menge an theoretischem Material, das auswendig gelernt werden muss, begrenzt ist.

Material für den Unterricht:

Sie können anfangen, neues Material zu lernen, indem Sie die Funktion y = arcsin (sin x) untersuchen und grafisch darstellen.

3. Jedes x I R ist mit y I assoziiert, d.h.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Die Funktion ist ungerade: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graph y = arcsin (sin x) auf:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin (- x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

So,

Nachdem wir y = arcsin (sin x) auf aufgebaut haben, fahren wir symmetrisch um den Ursprung auf [- fort; 0] unter Berücksichtigung der Seltsamkeit dieser Funktion. Unter Verwendung der Periodizität fahren wir mit der gesamten numerischen Achse fort.

Dann schreibe einige Verhältnisse auf: arcsin (sin a) = ein wenn<= a <= ; arccos (cos a ) = a wenn 0<= a <= ; arctg (tg a) = ein wenn< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Und machen Sie die folgenden Übungen: a) arccos (sünde 2) Antwort: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Antwort: - 0,1; c) arctg (tg 2) Antwort: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) Antwort: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Antwort: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Antwort: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Antwort: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Antwort: - 0,6; - Arktanx; e) arccos + arccos

Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, sind die zu ihnen inversen Funktionen nicht einwertig. Also, die Gleichung y = Sünde x, denn gegeben , hat unendlich viele Wurzeln. In der Tat, aufgrund der Periodizität des Sinus, wenn x eine solche Wurzel ist, dann x + 2n(wobei n eine ganze Zahl ist) ist auch die Wurzel der Gleichung. Auf diese Weise, inverse trigonometrische Funktionen sind mehrwertig. Um die Arbeit mit ihnen zu erleichtern, wird das Konzept ihrer Hauptwerte eingeführt. Betrachten Sie zum Beispiel den Sinus: y = Sünde x. Beschränken wir das Argument x auf das Intervall , dann darauf die Funktion y = Sünde x steigt monoton an. Daher hat es eine einwertige Umkehrfunktion, die Arkussinus genannt wird: x = arcsin y.

Sofern nicht anders angegeben, bedeuten inverse trigonometrische Funktionen ihre Hauptwerte, die durch die folgenden Definitionen definiert sind.

Arkussinus ( y= arcsin x) ist die Umkehrfunktion des Sinus ( x= siny
Arkuskosinus ( y= arccos x) ist die Umkehrfunktion des Kosinus ( x= gemütlich), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.
Arkustangens ( y= arctg x) ist die Umkehrfunktion des Tangens ( x= tg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.
Arcustangens ( y= arcctg x) ist die Umkehrfunktion des Kotangens ( x= ctg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.

Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen

Graphen inverser trigonometrischer Funktionen erhält man aus Graphen trigonometrischer Funktionen durch Spiegelung an der Geraden y = x. Siehe Abschnitte Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Grundlegende Formeln

Dabei ist besonders darauf zu achten, für welche Intervalle die Formeln gelten.

arcsin(sin x) = x bei
sin(Arkussin x) = x
arccos(cosx) = x bei
cos(arcos x) = x

arctg(tg x) = x bei
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x bei
ctg(arctg x) = x

Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen

Siehe auch: Ableitung von Formeln für inverse trigonometrische Funktionen

Summen- und Differenzenformeln

bei oder

bei und

bei und

bei

bei

bei

bei

bei

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Inverse trigonometrische Funktionen(Kreisfunktionen, Bogenfunktionen) - mathematische Funktionen, die invers zu trigonometrischen Funktionen sind.

Dazu gehören in der Regel 6 Funktionen:

Arkussinus(Symbol: arcsin x; arcsin x ist der Winkel Sünde was gleich ist x),
Arkuskosinus(Symbol: arccos x; arccos x ist der Winkel, dessen Kosinus gleich ist x usw),
Bogentangente(Symbol: arctg x oder arctan x),
Bogentangente(Symbol: arcctg x oder arccot x oder arccotan x),
Bogensekant(Symbol: Bogensekunde x),
Arkuskosekan(Symbol: arccosec x oder arccsc x).

Arkussinus (y = arcsin x) ist die Umkehrfunktion zu Sünde (x = siny . Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück Sünde.

Arkuskosinus (y = arccos x) ist die Umkehrfunktion zu cos (x = cos y cos.

Arkustangens (y = arctan x) ist die Umkehrfunktion zu tg (x = tgy), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat . Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück tg.

Bogentangente (y = arcctg x) ist die Umkehrfunktion zu ctg (x = ctg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat. Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück ctg.

Bogensekunde- arcsecans, gibt den Winkel durch den Wert seiner Sekante zurück.

Arccosec- Arkuskosekans, gibt den Winkel durch den Wert seines Kosekans zurück.

Wenn die inverse trigonometrische Funktion am angegebenen Punkt nicht definiert ist, erscheint ihr Wert nicht in der resultierenden Tabelle. Funktionen Bogensekunde und Arccosec sind nicht auf dem Segment (-1,1) definiert, aber Bogensünde und arccos sind nur auf dem Intervall [-1,1] definiert.

Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „ark-“ (von lat. Bogen uns- Bogen). Dies liegt daran, dass geometrisch der Wert der inversen trigonometrischen Funktion mit der Länge des Bogens eines Einheitskreises (oder des Winkels, der diesen Bogen begrenzt) verbunden ist, der dem einen oder anderen Segment entspricht.

Manchmal verwenden sie in der ausländischen Literatur sowie in wissenschaftlichen / technischen Taschenrechnern Notationen wie Sünde −1, cos -1 für Arkussinus, Arkuskosinus und dergleichen - dies gilt als nicht ganz genau, weil wahrscheinliche Verwechslung mit der Potenzierung einer Funktion −1 (« −1 » (minus der ersten Potenz) definiert die Funktion x=f-1(y), die Umkehrung der Funktion y=f(x)).

Grundbeziehungen der inversen trigonometrischen Funktionen.

Hier ist es wichtig, auf die Intervalle zu achten, für die die Formeln gelten.

Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen.

Bezeichnen Sie einen der Werte der inversen trigonometrischen Funktionen durch Arksin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x und behalte die Notation bei: arcsin x, arcus x, arctan x, arccot x für ihre Hauptwerte, dann wird die Beziehung zwischen ihnen durch solche Beziehungen ausgedrückt.

Inverse trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die die Inverse trigonometrischer Funktionen sind.

Funktion y=arcsin(x)

Der Arkussinus der Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall [-π/2;π/2], deren Sinus gleich α ist.
Funktionsgraph
Die Funktion y \u003d sin⁡ (x) im Intervall [-π / 2; π / 2] ist streng steigend und stetig; daher hat es eine umgekehrte Funktion, die strikt ansteigend und kontinuierlich ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y= sin⁡(x), wobei x ∈[-π/2;π/2], heißt Arkussinus und wird als y=arcsin(x) bezeichnet, wobei x∈[-1;1 ].
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkussinus also das Segment [-1; 1], und die Wertemenge ist das Segment [-π/2; π/2].
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arcsin(x), wobei x ∈[-1;1]., symmetrisch zum Graph der Funktion y= sin(⁡x) ist, wobei x∈[-π/2;π]. /2], bezogen auf die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel erstes und drittes Viertel.

Der Gültigkeitsbereich der Funktion y=arcsin(x).

Beispiel Nummer 1.

arcsin(1/2) finden?

Da der Wertebereich der Funktion arcsin(x) zum Intervall [-π/2;π/2] gehört, ist nur der Wert π/6 geeignet, also arcsin(1/2) = π/6.
Antwort: π/6

Beispiel #2.
arcsin(-(√3)/2) finden?

Da der Wertebereich von arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] ist, kommt nur der Wert -π/3 in Frage, also arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Funktion y=arccos(x)

Der Arkuskosinus einer Zahl α ist eine Zahl α aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich α ist.

Funktionsgraph

Die Funktion y= cos(⁡x) auf dem Intervall ist streng fallend und stetig; Daher hat es eine umgekehrte Funktion, die streng abnehmend und kontinuierlich ist.
Die Umkehrfunktion zur Funktion y= cos⁡x, mit x ∈, wird aufgerufen Arkuskosinus und bezeichnet y=arccos(x), wobei x ∈[-1;1].
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkuskosinus also das Segment [-1; 1], und die Wertemenge ist das Segment.
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arccos(x), mit x ∈[-1;1], symmetrisch zum Graphen der Funktion y= cos(⁡x), mit x ∈, in Bezug auf die Winkelhalbierende von ist Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arccos(x).

Beispiel #3.

arccos(1/2) finden?

Da der Wertebereich von arccos(x) gleich x∈ ist, ist nur der Wert π/3 geeignet, also arccos(1/2) =π/3.
Beispiel Nummer 4.
arccos(-(√2)/2) finden?

Da der Wertebereich der Funktion arccos(x) zum Intervall gehört, ist nur der Wert 3π/4 geeignet, also arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Antwort: 3π/4

Funktion y=arctg(x)

Der Arkustangens einer Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall [-π/2;π/2], deren Tangens gleich α ist.

Funktionsgraph

Die Tangensfunktion ist stetig und streng steigend auf dem Intervall (-π/2; π/2); daher hat es eine Umkehrfunktion, die kontinuierlich und strikt ansteigend ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y= tg⁡(x), wobei x∈(-π/2;π/2); wird Arkustangens genannt und mit y=arctg(x) bezeichnet, wobei x∈R.
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkustangens also das Intervall (-∞;+∞), und die Wertemenge ist das Intervall
(-π/2;π/2).
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arctg(x), wobei x∈R, symmetrisch zum Graphen der Funktion y=tg⁡x ist, wobei x ∈ (-π/2;π/2), in Bezug auf die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arctg(x).

Beispiel #5?

Finde arctg((√3)/3).

Da der Wertebereich von arctan(x) x ∈(-π/2;π/2) ist nur der Wert π/6 geeignet, also arctg((√3)/3) =π/6.
Beispiel Nummer 6.
arctg(-1) finden?

Da der Wertebereich von arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) ist, ist nur der Wert -π/4 geeignet, also arctg(-1) = - π/4.

Funktion y=arctg(x)

Der Arkustangens einer Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall (0; π), deren Kotangens gleich α ist.

Funktionsgraph

Auf dem Intervall (0;π) nimmt die Kotangensfunktion strikt ab; außerdem ist es an jedem Punkt dieses Intervalls kontinuierlich; daher hat diese Funktion auf dem Intervall (0;π) eine Umkehrfunktion, die streng abnehmend und kontinuierlich ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y=ctg(x) mit x ∈(0;π) heißt Bogenkotangens und wird mit y=arcctg(x) bezeichnet, wobei x∈R.
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkustangens also R, und die Wertemenge ist das Intervall (0; π). ;π) in Bezug auf die Winkelhalbierende von die Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arcctg(x).

Beispiel Nummer 7.
arcctg((√3)/3) finden?

Da der Wertebereich von arcctg(x) x ∈(0;π) ist, ist nur der Wert π/3 geeignet, also arccos((√3)/3) =π/3.

Beispiel Nummer 8.
arcctg(-(√3)/3) finden?

Da der Wertebereich von arcctg(x) x∈(0;π) ist, ist nur der Wert 2π/3 geeignet, also arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Herausgeber: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Lektionen 32-33. Inverse trigonometrische Funktionen

09.07.2015 8936 0

Ziel: Betrachten Sie inverse trigonometrische Funktionen, ihre Verwendung zum Schreiben von Lösungen für trigonometrische Gleichungen.

I. Vermittlung von Thema und Zielen des Unterrichts

II. Neues Material lernen

1. Inverse trigonometrische Funktionen

Beginnen wir dieses Thema mit dem folgenden Beispiel.

Beispiel 1

Lösen wir die Gleichung: a) sin x = 1/2; b) Sünde x \u003d a.

a) Legen Sie auf der Ordinatenachse den Wert 1/2 beiseite und tragen Sie die Winkel ein x 1 und x2, wofür Sünde x = 1/2. In diesem Fall ist x1 + x2 = π, also x2 = π – x 1 . Gemäß der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen finden wir dann den Wert x1 = π/6Wir berücksichtigen die Periodizität der Sinusfunktion und schreiben die Lösungen dieser Gleichung auf:wobei k ∈ Z .

b) Es ist offensichtlich, dass der Algorithmus zum Lösen der Gleichung Sünde x = a ist dasselbe wie im vorigen Absatz. Natürlich ist jetzt der Wert von a entlang der y-Achse aufgetragen. Es besteht die Notwendigkeit, den Winkel x1 irgendwie zu bezeichnen. Wir haben uns darauf geeinigt, einen solchen Winkel mit dem Symbol zu kennzeichnen Bogensünde a. Dann können die Lösungen dieser Gleichung geschrieben werden alsDiese beiden Formeln können zu einer kombiniert werden: dabei

Andere inverse trigonometrische Funktionen werden ähnlich eingeführt.

Sehr oft ist es notwendig, den Wert eines Winkels aus dem bekannten Wert seiner trigonometrischen Funktion zu bestimmen. Ein solches Problem ist mehrwertig - es gibt unendlich viele Winkel, deren trigonometrische Funktionen denselben Wert haben. Daher werden basierend auf der Monotonie trigonometrischer Funktionen die folgenden inversen trigonometrischen Funktionen eingeführt, um die Winkel eindeutig zu bestimmen.

Der Arkussinus von a (Arkussin , dessen Sinus gleich a ist, also

Arkuskosinus einer Zahl ein (Arccos a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich a ist, d.h.

Arkustangens einer Zahl ein (Arktg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervalldessen Tangens a ist, d.h.tg a = a.

Arkustangens einer Zahl ein (Arktg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervall (0; π), dessen Kotangens gleich a ist, d.h. ctg a = a.

Beispiel 2

Lass uns finden:

Angesichts der Definitionen von inversen trigonometrischen Funktionen erhalten wir:

Beispiel 3

Berechnen

Sei Winkel a = arcsin 3/5, dann per Definition sin a = 3/5 und . Deshalb müssen wir finden cos a. Unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität erhalten wir:Es wird berücksichtigt, dass cos a ≥ 0 ist. Also

Funktionseigenschaften	Funktion
Funktionseigenschaften	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
Domain	x ∈ [-1; eines]	x ∈ [-1; eines]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Wertebereich	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Parität	seltsam	Weder gerade noch ungerade	seltsam	Weder gerade noch ungerade
Funktionsnullstellen (y = 0)	Wenn x = 0	Für x = 1	Wenn x = 0	y ≠ 0
Konstanzintervalle	y > 0 für x ∈ (0; 1], bei< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 für x ∈ [-1; eines)	y > 0 für x ∈ (0; +∞), bei< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 für x ∈ (-∞; +∞)
Monoton	Zunehmend	Sinkt	Zunehmend	Sinkt
Zusammenhang mit der trigonometrischen Funktion	Sünde y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Zeitlicher Ablauf

Lassen Sie uns einige typische Beispiele geben, die sich auf die Definitionen und grundlegenden Eigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen beziehen.

Beispiel 4

Finde den Definitionsbereich der Funktion

Damit die Funktion y definiert werden kann, ist es notwendig, dass die Ungleichungwas dem Ungleichungssystem entsprichtDie Lösung der ersten Ungleichung ist das Intervall x∈ (-∞; +∞), die zweite - Diese Lücke und ist eine Lösung für das System der Ungleichungen und damit der Bereich der Funktion

Beispiel 5

Finden Sie den Änderungsbereich der Funktion

Betrachten Sie das Verhalten der Funktion z \u003d 2x - x2 (siehe Abbildung).

Man sieht, dass z ∈ (-∞; 1). Da das Argument z Die Funktion des umgekehrten Tangens variiert innerhalb der angegebenen Grenzen, aus den Daten in der Tabelle erhalten wir diesAlso der Bereich der Veränderung

Beispiel 6

Beweisen wir, dass die Funktion y = arctg x ungerade. LassenDann tg a \u003d -x oder x \u003d - tg a \u003d tg (- a) und Daher - a \u003d arctg x oder a \u003d - arctg X. So sehen wir dasd.h. y(x) ist eine ungerade Funktion.

Beispiel 7

Wir drücken in Bezug auf alle inversen trigonometrischen Funktionen aus

Lassen Es ist klar, dass Dann seit

Lassen Sie uns einen Winkel einführen Als dann

Also ähnlich und

So,

Beispiel 8

Lassen Sie uns ein Diagramm der Funktion y \u003d erstellen cos (Arkussin x).

Bezeichnen Sie dann a \u003d arcsin x Wir berücksichtigen, dass x \u003d sin a und y \u003d cos a, d.h. x 2 + y2 = 1, und Beschränkungen auf x (x∈ [-eines; 1]) und y (y ≥ 0). Dann der Graph der Funktion y = cos (Arkussin x) ist ein Halbkreis.

Beispiel 9

Lassen Sie uns ein Diagramm der Funktion y \u003d erstellen arccos(cosx).

Da die Funktion cos x ändert sich auf dem Segment [-1; 1], dann ist die Funktion y auf der gesamten reellen Achse definiert und ändert sich im Intervall . Wir werden uns merken, dass y = arccos(cosx) \u003d x auf dem Segment; die Funktion y ist gerade und periodisch mit einer Periode von 2π. In Anbetracht dessen, dass die Funktion diese Eigenschaften hat cos x , Jetzt ist es einfach zu plotten.

Wir stellen einige nützliche Gleichungen fest:

Beispiel 10

Finden Sie den kleinsten und größten Wert der Funktion Bezeichnen dann Holen Sie sich eine Funktion Diese Funktion hat an der Stelle ein Minimum z = π/4, und es ist gleich Der Maximalwert der Funktion wird an der Stelle erreicht z = -π/2, und es ist gleich So und

Beispiel 11

Lösen wir die Gleichung

Das berücksichtigen wir Dann sieht die Gleichung so aus:oder wo Durch Definition des Arcustangens erhalten wir:

2. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Ähnlich wie in Beispiel 1 erhalten Sie Lösungen für die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Die gleichung	Lösung


tgx = a
ctgx = a

Beispiel 12

Lösen wir die Gleichung

Da die Sinusfunktion ungerade ist, schreiben wir die Gleichung in der FormLösungen dieser Gleichung:wo finden wir

Beispiel 13

Lösen wir die Gleichung

Nach obiger Formel schreiben wir die Lösungen der Gleichung:und finde

Beachten Sie, dass in bestimmten Fällen (a = 0; ±1) beim Lösen der Gleichungen sin x = a und cos x \u003d Es ist jedoch einfacher und bequemer, keine allgemeinen Formeln zu verwenden, sondern Lösungen auf der Grundlage eines Einheitskreises zu schreiben:

für die Gleichung sin x = 1 Lösung

für die Gleichung sin x \u003d 0 Lösungen x \u003d π k;

für die Gleichung sin x = -1 Lösung