Öffnende Klammern beim Teilen. Klammeröffnung: Regeln, Beispiele, Lösungen. Wir geben ähnliche Bedingungen

Ziele: die Schüler mit dem Entstehungsprozess der frühslawischen Staaten vertraut zu machen, die "drei Zweige der Slawen", ihre Umsiedlung zu identifizieren. Entwickeln Sie weiter die Fähigkeit, Wissen aus verschiedenen Quellen zu extrahieren, einschließlich der Arbeit mit historischen Karten, ästhetischer Bildung und der Bildung von Ideen über die orthodoxe Kultur.

Ausrüstung : Lehrbuch E. V. Agibalova, G.M. Donskoi. Geschichte des Mittelalters. M., 2007. Teil 2., Karten, Computer, Multimediainstallation, Bildschirm.

Während des Unterrichts

1. Überprüfung der Hausaufgaben zum Thema "Kultur von Byzanz".

Paraphrasierung des Items "Bildungsentwicklung"

Nacherzählung des Artikels "Wissenschaftliche Erkenntnisse".

Frage 1. S. 11.

Fragen 2, 3. S. 11. + Videobild. Außen- und Innenansicht der Hagia Sophia in Konstantinopel.

Absatz 5. Kulturelle Bindungen von Byzanz.

Neues Material lernen.( Anwendung . Folie Nummer 1. Unterrichtsthema).

Einführungsgespräch. Wer sind die Slawen? Besiedlung der Slawen. "Drei Zweige der Slawen"

Slawen (in der Antike Slowenen) sind die größte Gruppe sprachverwandter Völker in Osteuropa, vereint durch einen gemeinsamen Ursprung. Je nach sprachlicher und kultureller Nähe werden die Slawen in drei große Gruppen eingeteilt: Ost-, West- und Südslawen. ( Anwendung. Folie Nummer 2. Gruppen slawischer Stämme.)

Im frühen Mittelalter entstanden Staaten und zerfielen je nach Bedarf. Zum Beispiel, um die Freiheit ihres Volkes zu schützen, Militärkampagnen für Profit, die Annexion neuer reicher Länder oder um ihren Einfluss auf fremde Gebiete auszudehnen

Zu Beginn des ersten Jahrtausends unserer Ära besetzten die Slawen während der großen Völkerwanderung ein bedeutendes Gebiet in Osteuropa, ließen sich auf dem Balkan nieder und begannen, Byzanz zu überfallen. Slawische Stämme hörten allmählich auf, eine panslawische Einheit zu bilden. Frühmittelalterliche Historiker bezeugen die Existenz im VI. Jahrhundert n. Chr. mehrere slawische Verbände: Wenden, Slawen und Antes - eigentlich West-, Süd- und Ostslawen, wie aus den Orten ihrer Ansiedlung hervorgeht.

Bei der Kolonisierung neuer Länder treffen die Slawen ständig auf verschiedene Völker. Diese Zusammenstöße stärken die militärische Organisation der Slawen, tragen zur Schichtung der Gesellschaft, zur Auflösung des primitiven Gemeinschaftssystems und zur Gründung von zunächst Stammesgewerkschaften und dann von Staatsverbänden bei. Die ersten slawischen Staaten sind seit dem 7. Jahrhundert n. Chr. bekannt. Sie entstanden vor allem dort, wo die Slawen Völker zurückdrängten, die bereits über eigene Staatsgebilde verfügten: auf dem Gebiet der ehemaligen byzantinischen Provinzen, dann in Mitteleuropa.

Klassen und Lebensstil der Slawen. ( Anwendung. Folie Nummer 3.Berufe der Slawen.)

Mit dem Lehrbuch S. 12-13. Erklären Sie die Bedeutung der Begriffe:

Bulgarisches Königreich. (Geschichte des Lehrers + Notizen in Heften). ( Anwendung. Folie Nummer 4. Karte "Bulgarien im VI-IX Jahrhundert.").

Bolgars (Bulgaren) - Nomadenstämme, die Vorfahren der modernen Bulgaren. Sie lebten in Westsibirien, der Wolga-Region, und ließen sich dann auf der Balkanhalbinsel nieder. Die Bulgaren vermischten sich mit der lokalen slawischen Bevölkerung, übernahmen ihre Sprache und Lebensweise. Der Name wurde einem der frühen slawischen Staaten gegeben.

Der bulgarische Staat entstand im 7. Jahrhundert ( Anwendung. Folie Nummer 4. Karte "Bulgarien im VI-IX Jahrhundert .) Die erste Hauptstadt war die Stadt Pliske ( Anwendung. Folie Nummer 6. Überreste einer Festung in Pliska). In der Mitte des neunten Jahrhunderts Unter Zar Boris I. nahmen die Bevölkerung des bulgarischen Staates und andere benachbarte Stämme - die Serben, der Norden, die Smolen usw. - das Christentum an ( Anwendung. Folie Nummer 7. "Kathedrale in Sopakani. Serbien").

Der Sohn von Boris wurde ein herausragender Herrscher Bulgariens

Zar Simeon (893 - 927) ( Anwendung. Folie Nummer 5. Karte "Bulgarien unter Simeon"). Er kämpfte viel, versuchte, die gesamte Balkanhalbinsel, Byzanz, zu erobern, belagerte Konstantinopel, eroberte die Serben. Er fing an, sich "König aller Bulgaren und Serben" zu nennen. Nach dem Tod von Simeon wurde Bulgarien geschwächt, Serbien trennte sich. Wenig später wurde das Territorium Bulgariens von Nomaden erobert.

Zu Beginn des 11. Jahrhunderts unter dem Kaiser Basil II Bulgar-Slayer(Anhang. Folie Nr. 8. Wassili der Bulgarentöter. Das Bild auf der Münze.) Byzanz unterwarf Serbien vollständig.

Großmährischer Staat. Cyrill und Methodius.

Der großmährische Staat entstand in der ersten Hälfte des 9. Jahrhunderts. im Tal des Flusses Morava. Die erste Erwähnung der Mähren und des mährischen Fürstentums stammt aus dem Jahr 822. Einige Zeit unterstand es den Franken ( Anwendung. Folie Nummer 9. Karte "Großmährisches Land").

Im Einzugsgebiet des Flusses Morava eine große Anzahl von Siedlungen, Siedlungen, Festungen, Begräbnisstätten der Existenzzeit Großmährischer Staat. Sie finden die Überreste einer hochentwickelten mittelalterlichen Kultur. Forscher haben eine Menge Silber-, Bronze- und Goldschmuck gefunden, der in der Technik der Granulation und Filigranarbeit (Kontakt mit byzantinischen Handwerkern) hergestellt wurde, Gegenstände aus Nichteisenmetall. Viele Funde weisen auf die Entwicklung verschiedener Handwerke hin: Zimmerei, Weberei, Töpferei, Schmiedekunst usw. Quellen berichten von einer großen Anzahl von Festungen. In ihnen widerstanden die Mähren zahlreichen Belagerungen der deutschen Feudalherren. Neben steinernen Festungen, Kirchen und steinernen Zitadellen sind in Städten Holzhäuser mit Lehmböden und Lehmöfen üblich. Ländliche Siedlungen waren unbefestigt, die Wohnungen in ihnen waren meist aus Holz mit einem Stein- oder Lehmofen in der Ecke.

Fürst Rostislav strebt nach Unabhängigkeit; Da er seine eigene Kirche gründen wollte, wandte er sich mit der Bitte um Hilfe an Konstantinopel, einen Bischof nach Mähren zu schicken.

863 kam eine christliche Mission in Mähren an, angeführt von Konstantin und Methodius (Anwendung. Folien Nummer 10. Symbol. "Cyril and Methodius" Buchminiatur "Cyril and Methodius". Anwendung. Folie Nummer 11. slawisches Alphabet). Ihre Namen sind mit der Entstehung der slawischen Anbetung und der Entwicklung der slawischen Schrift verbunden. Die slawische Mission in Großmähren dauerte einundzwanzig Jahre. Nach dem Tod von Methodius (885) wollte Prinz Svyatopolk keine allzu strenge Religion unterstützen, die die Polygamie verbot, zahlreiche Fasten einhielt und strenge Bußen für Kirchensünden auferlegte. Der mährische Adel bewahrte in vielerlei Hinsicht weiterhin heidnische Traditionen, auf die die lateinische Kirche herabsah. Svyatopolk vertrieb die Schüler von Methodius aus dem Land, die meisten von ihnen gingen nach Tschechien und Bulgarien, wo sich das Zentrum der slawischen Kultur bewegte. Nach dem Tod von Swjatopolk zerfiel Großmähren.

Gründung des tschechischen Staates.

Der tschechische Staat entstand aus dem zusammengebrochenen Großmähren (Anhang. Folie Nr. 12. Karte der Tschechischen Republik zu Beginn des 2. Jahrtausends) Er entstand aus einem Stammesverband, der in der Nähe der Stadt Prag lebte ( Anwendung. Folie Nummer 13. Altes Prag).

1085 nahm der böhmische Prinz Wenzel I. den Königstitel an ( Anwendung. Folie Nummer 14. Václav. Reiterstandbild, skulpturales Porträt). Mitte des 11. Jahrhunderts begann in Tschechien eine Zeit feudaler Zersplitterung, die bis zum Ende des 12. Jahrhunderts andauerte. Zu dieser Zeit wurden die böhmischen Länder von deutschen Feudalherren angegriffen, und ab der zweiten Hälfte des 12. Jahrhunderts wurde die Tschechische Republik Teil des Heiligen Römischen Reiches.

Gründung des polnischen Staates.

Der polnische Staat entstand im 10. Jahrhundert. Sein Gründer ist der Prinz

Mieszko I. (960 - 992).( Anwendung. Folie Nummer 15.Porträt von Mieszko) Es gelang ihm, die Stämme im Tal der Weichsel zu vereinen.

Die Gründung des polnischen Staates wurde während der Regierungszeit abgeschlossen ( Anwendung. Folie Nummer 16. Karte von Polen zu Beginn des II. Jahrtausends) Boleslav I. der Tapfere (992 - 1025).(Anwendung. Folien Nr. 18. Porträt von Bolesław I., № 19 Schwert von Boleslav.) Die Stadt Krakau wurde die Hauptstadt ( Anwendung. Folie Nummer 17. Altes Krakau). Boleslav kämpfte viel, machte einen Feldzug nach Prag, nach Kiew, ins Heilige Römische Reich. Kurz vor seinem Tod wurde er zum König von Polen ausgerufen ( Anwendung. Folie Nummer 20. Wappen des polnischen Staates). Im XI Jahrhundert. Polen trat in eine Zeit feudaler Zersplitterung ein.

Konsolidierung.

Teilen Sie sich in Gruppen auf. ( Anwendung. Folie Nummer 21).

1) Polen, 2) Tschechien, 3) Bulgarien, 4) Mähren.

A) Boleslav der Tapfere, b) Wenzel I., c) Meshko I., d) Simeon, e) Kirill, f) Boris, g) Methodius.

Hausaufgaben: Absatz 8., Wiederholung der Absätze 1, 2, 4., Fragen. ( Anwendung. Folie Nummer 22).

Verweise.

1. Agibalova E.V., Donskoy G.M. Geschichte des Mittelalters. M., 2007. Teil 2.
2. Geschichte des Mittelalters. 6. Klasse. // 1C. Pädagogische Sammlung. 2005.

Die Geschichte behauptet, dass die ersten slawischen Staaten in der Zeit des 5. Jahrhunderts n. Chr. Entstanden sind. Um diese Zeit wanderten die Slawen an die Ufer des Dnjepr. Hier teilten sie sich in zwei historische Zweige auf: Ost- und Balkan. Die östlichen Stämme ließen sich entlang des Dnjepr nieder, und die Balkanstämme besetzten die slawischen Staaten in der modernen Welt und besetzen ein riesiges Territorium in Europa und Asien. Die Völker, die in ihnen leben, werden sich immer weniger ähnlich, aber gemeinsame Wurzeln sind in allem sichtbar - von Traditionen und Sprache bis zu einem so modischen Begriff wie Mentalität.

Die Frage der Entstehung einer Staatlichkeit unter den Slawen beschäftigt Wissenschaftler seit vielen Jahren. Eine ganze Reihe von Theorien wurden aufgestellt, von denen jede vielleicht nicht ohne Logik ist. Aber um sich darüber eine Meinung zu bilden, müssen Sie sich zumindest mit den wichtigsten vertraut machen.

Wie Staaten unter den Slawen entstanden: Annahmen über die Waräger

Wenn wir über die Geschichte der Entstehung der Staatlichkeit unter den alten Slawen in diesen Gebieten sprechen, stützen sich Wissenschaftler normalerweise auf mehrere Theorien, die ich berücksichtigen möchte. Die heute gebräuchlichste Version der Entstehung der ersten slawischen Staaten ist die normannische oder varangianische Theorie. Es entstand Ende des 18. Jahrhunderts in Deutschland. Gründer und ideologische Impulsgeber waren zwei deutsche Wissenschaftler: Gottlieb Siegfried Bayer (1694-1738) und Gerhard Friedrich Miller (1705-1783).

Ihrer Meinung nach hat die Geschichte der slawischen Staaten nordische oder varangische Wurzeln. Eine solche Schlussfolgerung wurde von Experten gezogen, die The Tale of Bygone Years, das älteste Werk des Mönchs Nestor, gründlich studiert hatten. Es gibt wirklich einen Hinweis aus dem Jahr 862, dass die Alten (Krivichi, Slowenen und Chud) die Herrschaft der varangischen Fürsten für ihr Land forderten. Angeblich beschlossen mehrere slawische Stämme, müde von den endlosen gegenseitigen Kämpfen und feindlichen Überfällen von außen, sich unter der Führung der Normannen zu vereinen, die zu dieser Zeit als die erfahrensten und erfolgreichsten in Europa galten.

Früher hatte bei der Bildung eines jeden Staates die Erfahrung seiner Führung eine höhere Priorität als die wirtschaftliche. Und niemand zweifelte an der Macht und Erfahrung der nördlichen Barbaren. Ihre Kampfeinheiten überfielen fast den gesamten bewohnten Teil Europas. Wahrscheinlich, ausgehend von militärischen Erfolgen, entschieden sich die alten Slawen nach der normannischen Theorie, die varangianischen Fürsten in das Königreich einzuladen.

Übrigens wurde der Name Rus angeblich von den normannischen Fürsten mitgebracht. In Nestor, dem Chronisten, wird dieser Moment ganz klar in der Zeile ausgedrückt: "... und drei Brüder stiegen mit ihren Familien aus und nahmen alle von Rus mit." Das letzte Wort in diesem Zusammenhang bedeutet jedoch nach Ansicht vieler Historiker eher ein Kampfkommando, also professionelle Militärs. Es ist hier auch erwähnenswert, dass es unter den normannischen Führern in der Regel eine klare Trennung zwischen dem Zivilclan und der militärischen Stammesabteilung gab, die manchmal als „Kirch“ bezeichnet wurde. Mit anderen Worten, es ist davon auszugehen, dass die drei Fürsten nicht nur mit Kampftrupps, sondern auch mit vollwertigen Familien in die Länder der Slawen gezogen sind. Da die Familie auf keinen Fall zu einem regulären Feldzug mitgenommen wird, wird der Status dieses Ereignisses deutlich. Die warägischen Fürsten nahmen den Wunsch der Stämme ernst und gründeten die frühslawischen Staaten.

"Woher kommt das russische Land"

Eine andere merkwürdige Theorie besagt, dass das Konzept der „Waräger“ in der alten Rus genau das professionelle Militär bedeutete. Dies spricht einmal mehr dafür, dass sich die alten Slawen auf die militarisierten Führer verlassen haben. Nach der Theorie deutscher Wissenschaftler, die auf der Chronik von Nestor basiert, ließ sich ein varangianischer Prinz in der Nähe des Ladogasees nieder, der zweite am Ufer des Weißen Sees, der dritte in der Stadt Izoborsk. Nach diesen Aktionen, so der Chronist, wurden die frühen slawischen Staaten gebildet, und die Länder wurden insgesamt als russisches Land bezeichnet.

Weiter erzählt Nestor in seiner Chronik die Legende von der Entstehung der späteren königlichen Familie von Rurikovich. Es waren die Ruriks, die Herrscher der slawischen Staaten, die die Nachkommen der gleichen legendären drei Fürsten waren. Sie sind auch der ersten „politischen Führungselite“ der altslawischen Staaten zuzurechnen. Nach dem Tod des bedingten „Gründervaters“ ging die Macht auf seinen engsten Verwandten Oleg über, der durch Intrigen und Bestechung Kiew eroberte und dann die nördliche und südliche Rus zu einem Staat vereinte. Laut Nestor geschah dies im Jahr 882. Wie aus der Chronik hervorgeht, war die Staatsbildung auf die erfolgreiche „Fremdkontrolle“ der Waräger zurückzuführen.

Russen - wer sind sie?

Wissenschaftler streiten jedoch immer noch über die wahre Nationalität der so genannten Menschen. Anhänger der normannischen Theorie glauben, dass das Wort "Rus" vom finnischen Wort "ruotsi" abstammt, das die Finnen im 9. Jahrhundert die Schweden nannten. Interessant ist auch, dass die meisten russischen Botschafter, die in Byzanz waren, skandinavische Namen trugen: Karl, Iengeld, Farlof, Veremund. Diese Namen wurden in Vereinbarungen mit Byzanz von 911-944 aufgezeichnet. Ja, und die ersten Herrscher von Rus trugen ausschließlich skandinavische Namen - Igor, Olga, Rurik.

Eines der schwerwiegendsten Argumente zugunsten der normannischen Theorie darüber, welche Staaten slawisch sind, ist die Erwähnung von Russen in den westeuropäischen Bertin-Annalen. Insbesondere wird dort vermerkt, dass der byzantinische Kaiser im Jahr 839 eine Botschaft an seinen fränkischen Kollegen Ludwig I. entsandte. Die Delegation umfasste Vertreter des „Volkes der Rosen“. Unter dem Strich entschied Ludwig der Fromme, dass die „Russen“ die Schweden seien.

Im Jahr 950 stellte der byzantinische Kaiser in seinem Buch „On the Management of the Empire“ fest, dass einige Namen der berühmten Dnjepr-Stromschnellen ausschließlich skandinavische Wurzeln haben. Und schließlich trennen viele islamische Reisende und Geographen in ihren Werken aus dem 9. bis 10. Jahrhundert die „Rus“ von den „Sakaliba“-Slawen. All diese Fakten zusammen halfen deutschen Wissenschaftlern, die sogenannte normannische Theorie über die Entstehung der slawischen Staaten zu entwickeln.

Patriotische Theorie der Staatsentstehung

Der Hauptideologe der zweiten Theorie ist der russische Wissenschaftler Michail Wassiljewitsch Lomonossow. Die slawische Theorie wird auch als "autochthone Theorie" bezeichnet. Beim Studium der normannischen Theorie sah Lomonosov einen Fehler in der Argumentation deutscher Wissenschaftler über die Unfähigkeit der Slawen, sich selbst zu organisieren, was zu einer externen Kontrolle durch Europa führte. Ein wahrer Patriot seines Vaterlandes, M.V. Lomonosov stellte die ganze Theorie in Frage und beschloss, dieses historische Mysterium selbst zu studieren. Im Laufe der Zeit wurde die sogenannte slawische Theorie der Entstehung des Staates gebildet, die auf der vollständigen Leugnung der Tatsachen des "Normannen" beruhte.

Was sind also die wichtigsten Gegenargumente der Verteidiger der Slawen? Das Hauptargument ist die Behauptung, dass der Name "Rus" weder mit dem alten Nowgorod noch mit Ladoga etymologisch verbunden ist. Es bezieht sich vielmehr auf die Ukraine (insbesondere den Mittleren Dnjepr). Als Beweis werden die alten Namen der Stauseen in diesem Gebiet angegeben - Ros, Rusa, Rostavitsa. Beim Studium der von Zachary Rhetor übersetzten syrischen „Kirchengeschichte“ fanden Anhänger der slawischen Theorie Hinweise auf ein Volk namens Hros oder „Rus“. Diese Stämme ließen sich etwas südlich von Kiew nieder. Die Handschrift wurde 555 erstellt. Mit anderen Worten, die darin beschriebenen Ereignisse fanden lange vor der Ankunft der Skandinavier statt.

Das zweite ernsthafte Gegenargument ist die fehlende Erwähnung von Rus in den alten skandinavischen Sagen. Nicht wenige von ihnen wurden komponiert, und tatsächlich basiert die gesamte Folklore-Ethnos der modernen skandinavischen Länder auf ihnen. Es ist schwierig, den Aussagen der Historiker zu widersprechen, die sagen, dass zumindest im frühen Teil der historischen Sagen nur minimal über diese Ereignisse berichtet werden sollte. Auch die skandinavischen Botschafternamen, auf die sich Anhänger der normannischen Theorie stützen, bestimmen die Nationalität ihrer Träger nicht vollständig. Historikern zufolge könnten die schwedischen Delegierten die russischen Fürsten im fernen Ausland gut vertreten.

Kritik der normannischen Theorie

Auch die Vorstellungen der Skandinavier zur Staatlichkeit sind zweifelhaft. Tatsache ist, dass in dem beschriebenen Zeitraum die skandinavischen Staaten als solche nicht existierten. Es ist diese Tatsache, die eine gewisse Skepsis hervorruft, dass die Waräger die ersten Herrscher der slawischen Staaten sind. Es ist unwahrscheinlich, dass besuchende skandinavische Führer, die den Aufbau ihrer eigenen Macht nicht verstehen, so etwas in fremden Ländern arrangieren würden.

Akademiker B. Rybakov, der über den Ursprung der normannischen Theorie sprach, äußerte sich zu der allgemein schwachen Kompetenz der damaligen Historiker, die beispielsweise glaubten, dass der Übergang mehrerer Stämme in andere Länder die Voraussetzungen für die Entwicklung der Staatlichkeit schafft , und das in nur wenigen Jahrzehnten. Tatsächlich kann der Prozess der Bildung und Bildung von Staatlichkeit Jahrhunderte dauern. Die wichtigste historische Grundlage, auf die sich deutsche Historiker stützen, ist voller ziemlich seltsamer Ungenauigkeiten.

Die slawischen Staaten entstanden laut Chronist Nestor über mehrere Jahrzehnte. Oft setzt er die Gründer und den Staat gleich und ersetzt diese Konzepte. Experten vermuten, dass solche Ungenauigkeiten auf das mythologische Denken von Nestor selbst zurückzuführen sind. Daher ist die entschiedene Interpretation seiner Chronik höchst zweifelhaft.

Vielfalt an Theorien

Eine weitere bemerkenswerte Theorie der Entstehung der Staatlichkeit in der alten Rus wird als iranisch-slawisch bezeichnet. Ihr zufolge gab es zum Zeitpunkt der Gründung des ersten Staates zwei Zweige der Slawen. Einer, der Russ-encouraged oder Rug genannt wurde, lebte in den Ländern der heutigen Ostsee. Ein anderer siedelte in der Schwarzmeerregion und stammte von den iranischen und slawischen Stämmen ab. Die Konvergenz dieser beiden "Sorten" eines Volkes ermöglichte der Theorie zufolge die Schaffung eines einzigen slawischen Staates Rus.

Eine interessante Hypothese, die später in eine Theorie umgewandelt wurde, wurde vom Akademiker der Nationalen Akademie der Wissenschaften der Ukraine V. G. Sklyarenko vorgeschlagen. Seiner Meinung nach wandten sich die Nowgoroder an die Varangianer-Balten, die Rutens oder Russ hießen. Der Begriff „Rutens“ stammt von den Völkern eines der keltischen Stämme, die an der Bildung der Volksgruppe der Slawen auf der Insel Rügen beteiligt waren. Darüber hinaus existierten laut dem Akademiker zu dieser Zeit bereits die slawischen Stämme des Schwarzen Meeres, deren Nachkommen die Zaporizhzhya-Kosaken waren. Diese Theorie hieß - keltisch-slawisch.

Einen Kompromiss finden

Es sei darauf hingewiesen, dass es von Zeit zu Zeit Kompromisstheorien zur Bildung slawischer Staatlichkeit gibt. Dies ist die vom russischen Historiker V. Klyuchevsky vorgeschlagene Version. Seiner Meinung nach waren die slawischen Staaten damals die am stärksten befestigten Städte. In ihnen wurden die Grundlagen für Handels-, Industrie- und politische Formationen gelegt. Darüber hinaus gab es laut dem Historiker ganze „urbane Gebiete“, die kleine Staaten waren.

Die zweite Staats- und Staatsform jener Zeit waren jene sehr kriegerischen varägischen Fürstentümer, die in der normannischen Theorie erwähnt werden. Laut Klyuchevsky war es die Fusion mächtiger städtischer Konglomerate und der militärischen Formationen der Varangianer, die zur Bildung slawischer Staaten führte (die 6. Klasse der Schule nennt einen solchen Staat Kiewer Rus). Diese Theorie, auf der die ukrainischen Historiker A. Efimenko und I. Krypyakevich bestanden, wurde als slawisch-warägisch bezeichnet. Sie hat die orthodoxen Vertreter beider Richtungen etwas versöhnt.

Der Akademiker Vernadsky wiederum bezweifelte auch den normannischen Ursprung der Slawen. Seiner Meinung nach sollte die Bildung der slawischen Staaten der östlichen Stämme auf dem Territorium der "Rus" - des modernen Kuban - in Betracht gezogen werden. Der Akademiker glaubte, dass die Slawen einen solchen Namen vom alten Namen "Roksolany" oder hellen Alanen erhielten. In den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts schlug der ukrainische Archäologe D. T. Berezovets vor, die alanische Bevölkerung der Don-Region als Rus zu betrachten. Heute wird diese Hypothese auch von der Ukrainischen Akademie der Wissenschaften berücksichtigt.

Es gibt keine solche ethnische Gruppe - Slawen

Der amerikanische Professor O. Pritsak schlug eine völlig andere Version vor, welche Staaten slawisch sind und welche nicht. Es basiert auf keiner der oben genannten Hypothesen und hat seine eigene logische Grundlage. Laut Pritsak existierten die Slawen als solche überhaupt nicht nach ethnischen und staatlichen Grenzen. Das Territorium, auf dem Kiewer Rus entstand, war eine Kreuzung von Handels- und Handelswegen zwischen Ost und West. Die Menschen, die diese Orte bewohnten, waren eine Art Krieger-Händler, die für die Sicherheit der Handelskarawanen anderer Kaufleute sorgten und auch ihre Karren unterwegs ausrüsteten.

Mit anderen Worten, die Geschichte der slawischen Staaten basiert auf einer bestimmten Handels- und Militärinteressengemeinschaft von Vertretern verschiedener Völker. Es war die Synthese aus Nomaden und Seeräubern, die später die ethnische Basis des zukünftigen Staates bildete. Eine ziemlich umstrittene Theorie, zumal der Wissenschaftler, der sie aufgestellt hat, in einem Staat lebte, dessen Geschichte kaum 200 Jahre alt ist.

Viele russische und ukrainische Historiker wandten sich mit scharfer Kritik dagegen, die schon der Name „Wolga-Russisches Khaganat“ erschütterte. Laut dem Amerikaner war dies die erste Gründung der slawischen Staaten (die 6. Klasse dürfte eine so umstrittene Theorie kaum kennenlernen). Es hat jedoch das Recht zu existieren und wurde Khazar genannt.

Kurz über Kiewer Rus

Nach Prüfung aller Theorien wird klar, dass der erste ernsthafte slawische Staat die um das 9. Jahrhundert gegründete Kiewer Rus war. Die Bildung dieser Macht erfolgte in Etappen. Bis 882 gibt es eine Fusion und Vereinigung unter der einheitlichen Autorität der Lichtungen, Drevlyaner, Slowenen, Alten und Poloten. Die Vereinigung der slawischen Staaten ist durch die Fusion von Kiew und Nowgorod gekennzeichnet.

Nach der Machtergreifung in Kiew durch Oleg begann die zweite, frühe feudale Phase in der Entwicklung der Kiewer Rus. Es findet ein aktiver Beitritt bisher unbekannter Gebiete statt. So dehnte sich der Staat 981 über die ostslawischen Länder bis zum Fluss San aus. 992 wurden auch die kroatischen Länder erobert, die an beiden Hängen der Karpaten lagen. Bis 1054 hatte sich die Macht von Kiew auf fast alles ausgebreitet, und die Stadt selbst wurde in Dokumenten als „Mutter der russischen Städte“ bezeichnet.

Interessanterweise begann sich der Staat in der zweiten Hälfte des 11. Jahrhunderts in einzelne Fürstentümer aufzulösen. Diese Periode dauerte jedoch nicht lange, und angesichts der allgemeinen Gefahr angesichts der Polovtsy hörten diese Tendenzen auf. Später zerfällt die Kiewer Rus jedoch aufgrund der Stärkung der feudalen Zentren und der wachsenden Macht des Militäradels in einzelne Fürstentümer. 1132 begann eine Zeit feudaler Zersplitterung. Dieser Zustand bestand, wie wir wissen, bis zur Taufe der Allen Rus. Damals wurde die Idee eines einzigen Staates gefragt.

Symbole der slawischen Staaten

Moderne slawische Staaten sind sehr vielfältig. Sie unterscheiden sich nicht nur durch Nationalität oder Sprache, sondern auch durch die Staatspolitik, den Grad des Patriotismus und den Grad der wirtschaftlichen Entwicklung. Trotzdem ist es für die Slawen einfacher, sich zu verstehen - schließlich bilden die Wurzeln, die Jahrhunderte zurückreichen, genau die Mentalität, die alle bekannten "rationalen" Wissenschaftler leugnen, von der Soziologen und Psychologen jedoch zuversichtlich sprechen.

Selbst wenn wir die Flaggen der slawischen Staaten betrachten, kann man in der Farbpalette eine gewisse Regelmäßigkeit und Ähnlichkeit erkennen. Es gibt so etwas - panslawische Farben. Sie wurden erstmals Ende des 19. Jahrhunderts auf dem Ersten Slawenkongress in Prag diskutiert. Befürworter der Idee, alle Slawen zu vereinen, schlugen vor, eine Trikolore mit gleichen horizontalen Streifen in Blau, Weiß und Rot als Flagge anzunehmen. Gerüchten zufolge diente das Banner der russischen Handelsflotte als Vorbild. Ist das wirklich so - es ist sehr schwer zu beweisen, aber die Flaggen der slawischen Staaten unterscheiden sich oft in kleinsten Details und nicht in Farben.

Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern. Zum Beispiel, im numerischen Ausdruck \(5 3+7\) wird zuerst die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5 3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in Klammern berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer: \(-(4m+3)\).
Lösung : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) ein.
Lösung : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Lösung : Wir haben \(3\) und \(-x\) in der Klammer und fünf vor der Klammer. Dies bedeutet, dass jedes Glied der Klammer mit \ (5 \) multipliziert wird - ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer in der Mathematik wird nicht geschrieben, um die Größe von Datensätzen zu reduzieren.

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Lösung : Wie im vorherigen Beispiel werden die Klammern \(-3x\) und \(5\) mit \(-2\) multipliziert.

Beispiel. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Lösung : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.

Beim Multiplizieren von Klammern mit Klammern wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:

\((c+d)(a-b)=c(a-b)+d(a-b)=ca-cb+da-db\)

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Lösung : Wir haben ein Produkt mit Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel geöffnet werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, machen wir alles Schritt für Schritt.
Schritt 1. Entfernen Sie die erste Klammer - jedes ihrer Mitglieder wird mit der zweiten Klammer multipliziert:

Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammer wie oben beschrieben um den Faktor:
- das erste zuerst...

Dann die zweite.

Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und bringen ähnliche Terme:

Es ist nicht notwendig, alle Transformationen im Detail zu malen, Sie können sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade lernen, Klammern zu öffnen - schreiben Sie detailliert, ist die Wahrscheinlichkeit geringer, einen Fehler zu machen.

Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, sondern nur eine, diese hier: \(c(a-b)=ca-cb\) . Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Klammer in Klammer

In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\) zu vereinfachen.

Um bei diesen Aufgaben erfolgreich zu sein, müssen Sie:
- die Verschachtelung von Klammern genau verstehen - welche in welcher steht;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend zum Beispiel mit der innersten.

Es ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie den Rest des Ausdrucks nicht, schreiben Sie es einfach so um, wie es ist.
Nehmen wir die obige Aufgabe als Beispiel.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme \(7x+2(5-(3x+y))\) ein.
Lösung:

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme ein \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Lösung :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Dies ist eine dreifache Verschachtelung von Klammern. Wir beginnen mit dem innersten (grün hervorgehoben). Da vor der Klammer ein Plus steht, wird es einfach entfernt.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Jetzt müssen Sie die zweite Klammer öffnen, dazwischen. Aber vorher werden wir den Ausdruck vereinfachen, indem wir ähnliche Begriffe in dieser zweiten Klammer einblenden.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nun öffnen wir die zweite Klammer (blau markiert). Vor der Klammer steht ein Multiplikator – also wird jeder Term in der Klammer damit multipliziert.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Und öffnen Sie die letzte Klammer. Vor der Klammer Minus - also alle Vorzeichen vertauscht.

Das Öffnen von Klammern ist eine Grundfertigkeit in der Mathematik. Ohne diese Fähigkeit ist es unmöglich, in den Klassen 8 und 9 eine Note über drei zu erreichen. Daher empfehle ich ein gutes Verständnis dieses Themas.

Jetzt gehen wir einfach zum Öffnen von Klammern in Ausdrücken über, in denen der Ausdruck in Klammern mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert wird. Formulieren wir die Regel für das Öffnen von Klammern mit vorangestelltem Minuszeichen: Die Klammern zusammen mit dem Minuszeichen werden weggelassen, und die Vorzeichen aller Begriffe in Klammern werden durch entgegengesetzte ersetzt.

Eine Art der Ausdruckstransformation ist die Klammererweiterung. Numerische, wörtliche und variable Ausdrücke werden mit Klammern zusammengesetzt, die die Reihenfolge angeben können, in der Aktionen ausgeführt werden, eine negative Zahl enthalten usw. Nehmen wir an, dass es in den oben beschriebenen Ausdrücken anstelle von Zahlen und Variablen beliebige Ausdrücke geben kann.

Und beachten wir noch einen Punkt bezüglich der Besonderheiten beim Schreiben der Lösung beim Öffnen der Klammern. Im vorigen Absatz haben wir uns mit der sogenannten Klammererweiterung beschäftigt. Dazu gibt es Regeln für das Öffnen von Klammern, die wir jetzt überprüfen. Diese Regel wird durch die Tatsache bestimmt, dass es üblich ist, positive Zahlen ohne Klammern zu schreiben, Klammern sind in diesem Fall unnötig. Der Ausdruck (−3.7)−(−2)+4+(−9) kann ohne Klammern als −3.7+2+4−9 geschrieben werden.

Schließlich ist der dritte Teil der Regel einfach auf die Besonderheiten zurückzuführen, negative Zahlen links im Ausdruck zu schreiben (die wir im Abschnitt Klammern zum Schreiben negativer Zahlen erwähnt haben). Sie können auf Ausdrücke stoßen, die aus einer Zahl, Minuszeichen und mehreren Klammerpaaren bestehen. Wenn Sie die Klammern von innen nach außen erweitern, lautet die Lösung: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Wie öffne ich Klammern?

Hier ist eine Erklärung: −(−2 x) ist +2 x, und da dieser Ausdruck zuerst kommt, kann +2 x geschrieben werden als 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x und −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Der erste Teil der schriftlichen Regel zum Öffnen von Klammern folgt direkt aus der Regel zum Multiplizieren negativer Zahlen. Der zweite Teil davon ist eine Folge der Regel zum Multiplizieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Kommen wir zu Beispielen für das Erweitern von Klammern in Produkten und Quotienten zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Klammeröffnung: Regeln, Beispiele, Lösungen.

Die obige Regel berücksichtigt die gesamte Kette dieser Aktionen und beschleunigt das Öffnen von Klammern erheblich. Die gleiche Regel erlaubt es Ihnen, Klammern in Ausdrücken zu öffnen, die Produkte und private Ausdrücke mit einem Minuszeichen sind, die keine Summen und Differenzen sind.

Betrachten Sie Beispiele für die Anwendung dieser Regel. Wir geben die entsprechende Regel an. Oben sind uns bereits Ausdrücke der Form −(a) und −(−a) begegnet, die ohne Klammern als −a bzw. a geschrieben werden. Zum Beispiel −(3)=3 und. Dies sind Sonderfälle der genannten Regel. Betrachten Sie nun Beispiele für das Öffnen von Klammern, wenn Summen oder Differenzen darin eingeschlossen sind. Wir zeigen Beispiele für die Verwendung dieser Regel. Bezeichne den Ausdruck (b1+b2) als b, danach wenden wir die Regel zum Multiplizieren der Klammer mit dem Ausdruck aus dem vorherigen Absatz an, wir haben (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1b+a2b)=a1b+a2b.

Durch Induktion kann diese Aussage auf eine beliebige Anzahl von Termen in jeder Klammer erweitert werden. Es bleibt, die Klammern im resultierenden Ausdruck zu öffnen, indem wir die Regeln aus den vorherigen Absätzen anwenden, als Ergebnis erhalten wir 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Die Regel in der Mathematik ist das Öffnen von Klammern, wenn (+) und (-) vor der Klammer stehen, eine sehr notwendige Regel

Dieser Ausdruck ist das Produkt aus drei Faktoren (2+4), 3 und (5+7 8). Die Klammern müssen nacheinander geöffnet werden. Jetzt wenden wir die Regel zum Multiplizieren einer Klammer mit einer Zahl an, wir haben ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Grade, deren Basis einige in Klammern geschriebene Ausdrücke sind, mit natürlichen Indikatoren können als Produkt mehrerer Klammern betrachtet werden.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Ausdruck (a+b+c)2 umwandeln. Zuerst schreiben wir es als Produkt zweier Klammern (a + b + c) (a + b + c), jetzt multiplizieren wir die Klammer mit der Klammer, wir erhalten a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Wir sagen auch, dass es ratsam ist, die Binomialformel von Newton zu verwenden, um die Summen und Differenzen zweier Zahlen in eine natürliche Potenz zu erheben. Zum Beispiel (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Es ist nicht weniger bequem, die Division vorläufig durch Multiplikation zu ersetzen und dann die entsprechende Regel zum Öffnen von Klammern im Produkt zu verwenden.

Es bleibt, die Reihenfolge der öffnenden Klammern anhand von Beispielen herauszufinden. Nimm den Ausdruck (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Setzen Sie diese Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Es bleibt nur noch das Öffnen der Klammern zu vervollständigen, als Ergebnis haben wir −5+3 2:4+6 7. Das bedeutet, dass beim Übergang von der linken Seite der Gleichheit zur rechten Seite die Klammern geöffnet wurden.

Beachten Sie, dass wir in allen drei Beispielen einfach die Klammern entfernt haben. Addiere zuerst 445 zu 889. Diese mentale Aktion kann durchgeführt werden, aber es ist nicht sehr einfach. Lassen Sie uns die Klammern öffnen und sehen, dass die geänderte Reihenfolge der Operationen die Berechnungen erheblich vereinfacht.

Wie man Klammern in einem anderen Grad öffnet

Anschauliches Beispiel und Regel. Betrachten Sie ein Beispiel: . Sie können den Wert des Ausdrucks finden, indem Sie 2 und 5 addieren und dann die resultierende Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen nehmen. Die Regel ändert sich nicht, wenn nicht zwei, sondern drei oder mehr Begriffe in Klammern stehen. Kommentar. Vorzeichen werden nur vor den Begriffen vertauscht. Um die Klammern zu öffnen, müssen wir uns in diesem Fall an das Distributivgesetz erinnern.

Einzelne Zahlen in Klammern

Dein Fehler liegt nicht in den Vorzeichen, sondern in der falschen Arbeit mit Brüchen? In der 6. Klasse lernten wir positive und negative Zahlen kennen. Wie lösen wir Beispiele und Gleichungen?

Wie viel steht in Klammern? Was kann man zu diesen Ausdrücken sagen? Natürlich ist das Ergebnis des ersten und zweiten Beispiels dasselbe, also können Sie ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Was haben wir also mit den Klammern gemacht?

Demonstration von Folie 6 mit den Regeln zum Öffnen von Klammern. Daher helfen uns die Regeln zum Öffnen von Klammern, Beispiele zu lösen und Ausdrücke zu vereinfachen. Als nächstes werden die Schüler aufgefordert, in Paaren zu arbeiten: Es ist notwendig, den Ausdruck mit Klammern mit dem entsprechenden Ausdruck ohne Klammern mit Pfeilen zu verbinden.

Folie 11 In der Sunny City angekommen, stritten sich Znayka und Dunno darüber, wer von ihnen die Gleichung richtig gelöst hatte. Als nächstes lösen die Schüler die Gleichung selbstständig und wenden die Regeln zum Öffnen von Klammern an. Gleichungen lösen „Unterrichtsziele: pädagogisch (ZUNs zum Thema fixieren:“ Klammern öffnen.

Unterrichtsthema: „Klammern öffnen. In diesem Fall müssen Sie jeden Term aus der ersten Klammer mit jedem Term aus der zweiten Klammer multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren. Zuerst werden die ersten beiden Faktoren genommen, in eine weitere Klammer eingeschlossen, und innerhalb dieser Klammern werden die Klammern nach einer der bereits bekannten Regeln geöffnet.

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Klammeröffnung: Regeln und Beispiele (Klasse 7)

Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern numerische Ausdrücke . Zum Beispiel, im numerischen Ausdruck \(5 3+7\) wird zuerst die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5 3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in Klammern berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Wenn wir es jedoch zu tun haben Algebraischer Ausdruck enthält Variable- zum Beispiel so: \ (2 (x-3) \) - dann ist es unmöglich, den Wert in der Klammer zu berechnen, die Variable stört. Daher werden in diesem Fall die Klammern „geöffnet“, wobei die entsprechenden Regeln dafür verwendet werden.

Klammererweiterungsregeln

Wenn vor der Klammer ein Pluszeichen steht, wird die Klammer einfach entfernt, der Ausdruck darin bleibt unverändert. Mit anderen Worten:

Hier muss klargestellt werden, dass es in der Mathematik zur Reduzierung von Einträgen üblich ist, das Pluszeichen nicht zu schreiben, wenn es das erste im Ausdruck ist. Wenn wir zum Beispiel zwei positive Zahlen addieren, zum Beispiel sieben und drei, dann schreiben wir nicht \(+7+3\), sondern einfach \(7+3\), obwohl sieben auch eine positive Zahl ist . Ebenso, wenn Sie zum Beispiel den Ausdruck \((5+x)\) sehen - wissen Sie das Vor der Klammer steht ein Plus, das nicht geschrieben wird.

Beispiel . Öffnen Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme ein: \((x-11)+(2+3x)\).
Lösung : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht, dann ändert jedes Element des darin enthaltenen Ausdrucks das Vorzeichen in das Gegenteil, wenn die Klammer entfernt wird:

Hier muss klargestellt werden, dass a, obwohl es in Klammern stand, ein Pluszeichen hatte (sie haben es einfach nicht geschrieben) und sich dieses Plus nach dem Entfernen der Klammer in ein Minus geändert hat.

Beispiel : Vereinfachen Sie den Ausdruck \(2x-(-7+x)\).
Lösung : Es gibt zwei Begriffe innerhalb der Klammer: \(-7\) und \(x\), und es gibt ein Minus vor der Klammer. Das bedeutet, dass sich die Vorzeichen ändern - und die Sieben wird jetzt mit einem Plus und das x mit einem Minus sein. Öffnen Sie die Halterung und ähnliche Begriffe bringen .

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) ein.
Lösung : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Steht vor der Klammer ein Faktor, so wird jedes Glied der Klammer damit multipliziert, d.h.:

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Lösung : Wir haben \(3\) und \(-x\) in der Klammer und eine Fünf vor der Klammer. Dies bedeutet, dass jedes Glied der Klammer mit \ (5 \) multipliziert wird - ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer in der Mathematik wird nicht geschrieben, um die Größe von Datensätzen zu reduzieren.

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Lösung : Wie im vorherigen Beispiel werden die Klammern \(-3x\) und \(5\) mit \(-2\) multipliziert.

Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.

Beim Multiplizieren von Klammern mit Klammern wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Lösung : Wir haben ein Produkt mit Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel geöffnet werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, machen wir alles Schritt für Schritt.
Schritt 1. Wir entfernen die erste Klammer - jedes ihrer Mitglieder wird mit der zweiten Klammer multipliziert:

Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammer wie oben beschrieben um den Faktor:
- das erste zuerst...

Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und bringen ähnliche Terme:

Es ist nicht notwendig, alle Transformationen im Detail zu malen, Sie können sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade lernen, Klammern zu öffnen - schreiben Sie detailliert, ist die Wahrscheinlichkeit geringer, einen Fehler zu machen.

Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, sondern nur eine, diese hier: \(c(a-b)=ca-cb\) . Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Klammer in Klammer

In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\) zu vereinfachen.

Um bei diesen Aufgaben erfolgreich zu sein, müssen Sie:
- die Verschachtelung von Klammern genau verstehen - welche in welcher steht;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend zum Beispiel mit der innersten.

Es ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie den Rest des Ausdrucks nicht, schreiben Sie es einfach so um, wie es ist.
Nehmen wir die obige Aufgabe als Beispiel.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme \(7x+2(5-(3x+y))\) ein.
Lösung:

Beginnen wir die Aufgabe, indem wir die innere Klammer (die innere) öffnen. Wenn wir es öffnen, haben wir es nur damit zu tun, dass es direkt damit zusammenhängt - dies ist die Klammer selbst und das Minus davor (grün hervorgehoben). Alles andere (nicht ausgewählt) wird neu geschrieben, wie es war.

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Ein bisschen Theorie.

Das Produkt aus einem Monom und einem Polynom. Das Konzept eines Polynoms

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:

Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Pro Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Ein Binom hat also einen dritten Grad und ein Trinom einen zweiten.

Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind und, d. h. das Quadrat der Summe, das Quadrat der Differenz und die Differenz der Quadrate. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also zum Beispiel - das ist natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von a und b. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so verbreitet, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet:

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

- Das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und dem Doppelten des Produkts.

- Das Quadrat der Differenz ist gleich der Summe der Quadrate ohne das doppelte Produkt.

- Die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt der Differenz durch die Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

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Klammererweiterung

Wir studieren weiterhin die Grundlagen der Algebra. In dieser Lektion lernen wir, wie man Klammern in Ausdrücken öffnet. Klammern zu erweitern bedeutet, den Ausdruck von diesen Klammern zu befreien.

Um Klammern zu öffnen, müssen Sie nur zwei Regeln auswendig lernen. Mit regelmäßiger Übung können Sie die Klammern mit geschlossenen Augen öffnen, und die Regeln, die auswendig gelernt werden mussten, können getrost vergessen werden.

Die erste Regel der Klammererweiterung

Betrachten Sie den folgenden Ausdruck:

Der Wert dieses Ausdrucks ist 2 . Lassen Sie uns die Klammern in diesem Ausdruck öffnen. Klammern zu erweitern bedeutet, sie loszuwerden, ohne die Bedeutung des Ausdrucks zu beeinflussen. Das heißt, nachdem die Klammern entfernt wurden, der Wert des Ausdrucks 8+(−9+3) sollte immer noch gleich zwei sein.

Die erste Klammererweiterungsregel sieht folgendermaßen aus:

Wenn beim Öffnen von Klammern ein Plus vor den Klammern steht, wird dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen.

Das sehen wir also im Ausdruck 8+(−9+3) Vor den Klammern steht ein Plus. Dieses Plus muss zusammen mit den Klammern weggelassen werden. Mit anderen Worten, die Klammern verschwinden zusammen mit dem Plus, das davor stand. Und was in Klammern stand, wird unverändert geschrieben:

8−9+3 . Dieser Ausdruck ist gleich 2 , wie der vorherige Ausdruck in Klammern gleich war 2 .

8+(−9+3) und 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Beispiel 2 Klammern in einem Ausdruck erweitern 3 + (−1 − 4)

Da vor den Klammern ein Plus steht, entfällt dieses Plus zusammen mit den Klammern. Was in Klammern stand, bleibt unverändert:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Beispiel 3 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2 + (−1)

In diesem Beispiel ist die Erweiterung von Klammern zu einer Art Umkehroperation geworden, bei der Subtraktion durch Addition ersetzt wird. Was bedeutet das?

Im Ausdruck 2−1 Subtraktion tritt auf, kann aber durch Addition ersetzt werden. Dann bekommst du den Ausdruck 2+(−1) . Aber wenn im Ausdruck 2+(−1) Öffne die Klammern, du bekommst das Original 2−1 .

Daher kann die erste Klammererweiterungsregel verwendet werden, um Ausdrücke nach einigen Transformationen zu vereinfachen. Das heißt, befreien Sie es von Klammern und machen Sie es einfacher.

Vereinfachen wir beispielsweise den Ausdruck 2a+a−5b+b .

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Terme hinzufügen. Denken Sie daran, dass Sie zum Reduzieren gleicher Terme die Koeffizienten gleicher Terme addieren und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multiplizieren müssen:

Habe einen Ausdruck 3a+(−4b). Öffnen Sie in diesem Ausdruck die Klammern. Da vor den Klammern ein Plus steht, verwenden wir die erste Regel zum Öffnen von Klammern, d. h. wir lassen die Klammern zusammen mit dem Plus vor diesen Klammern weg:

Also der Ausdruck 2a+a−5b+b vereinfacht zu 3a–4b .

Nachdem eine Klammer geöffnet wurde, können sich andere auf dem Weg treffen. Wir wenden auf sie die gleichen Regeln an wie auf die erste. Lassen Sie uns beispielsweise die Klammern im folgenden Ausdruck erweitern:

Es gibt zwei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. In diesem Fall gilt die erste Regel zum Erweitern von Klammern, nämlich das Weglassen der Klammern zusammen mit dem Plus, das vor diesen Klammern steht:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Beispiel 3 Klammern in einem Ausdruck erweitern 6+(−3)+(−2)

An beiden Stellen, an denen Klammern stehen, wird ihnen ein Pluszeichen vorangestellt. Auch hier gilt wieder die erste Klammerausdehnungsregel:

Manchmal wird der erste Begriff in Klammern ohne Vorzeichen geschrieben. Zum Beispiel im Ausdruck 1+(2+3−4) erster Begriff in Klammern 2 ohne Vorzeichen geschrieben. Es stellt sich die Frage, welches Zeichen vor der Zwei steht, nachdem die Klammern und das Plus vor der Klammer weggelassen wurden? Die Antwort liegt auf der Hand - vor der Zwei steht ein Plus.

Tatsächlich steht sogar in Klammern ein Plus vor der Zwei, aber wir sehen es nicht, weil es nicht aufgeschrieben ist. Wir haben bereits gesagt, dass die vollständige Schreibweise positiver Zahlen aussieht +1, +2, +3. Aber die Pluspunkte werden traditionell nicht aufgeschrieben, weshalb wir die uns vertrauten positiven Zahlen sehen. 1, 2, 3 .

Daher zum Öffnen von Klammern in einem Ausdruck 1+(2+3−4) , müssen Sie die Klammern wie üblich zusammen mit dem Plus vor diesen Klammern weglassen, schreiben Sie aber den ersten Begriff, der in Klammern stand, mit einem Pluszeichen:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Beispiel 4 Klammern in einem Ausdruck erweitern −5 + (2 − 3)

Da vor den Klammern ein Plus steht, wenden wir die erste Regel zum Öffnen von Klammern an, nämlich wir lassen die Klammern zusammen mit dem Plus vor diesen Klammern weg. Aber der erste Begriff, der in Klammern mit einem Pluszeichen geschrieben wird:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Beispiel 5 Klammern in einem Ausdruck erweitern (−5)

Vor der Klammer steht ein Plus, das jedoch nicht geschrieben wird, da davor keine anderen Zahlen oder Ausdrücke standen. Unsere Aufgabe ist es, die Klammern zu entfernen, indem wir die erste Regel zum Erweitern von Klammern anwenden, nämlich die Klammern zusammen mit diesem Plus wegzulassen (auch wenn es unsichtbar ist).

Beispiel 6 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2a + (−6a + b)

Da vor den Klammern ein Plus steht, entfällt dieses Plus zusammen mit den Klammern. Was in Klammern stand, wird unverändert geschrieben:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Beispiel 7 Klammern in einem Ausdruck erweitern 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

In diesem Ausdruck gibt es zwei Stellen, an denen Sie die Klammern öffnen müssen. In beiden Abschnitten steht ein Plus vor den Klammern, was bedeutet, dass dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen wird. Was in Klammern stand, wird unverändert geschrieben:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Die zweite Regel zum Öffnen von Klammern

Schauen wir uns nun die zweite Erweiterungsregel für Klammern an. Es wird verwendet, wenn vor den Klammern ein Minuszeichen steht.

Wenn vor den Klammern ein Minus steht, wird dieses Minus mit den Klammern weggelassen, aber die Begriffe, die in den Klammern standen, ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil.

Erweitern wir beispielsweise die Klammern im folgenden Ausdruck

Wir sehen, dass vor den Klammern ein Minus steht. Sie müssen also die zweite Erweiterungsregel anwenden, nämlich die Klammern zusammen mit dem Minus vor diesen Klammern weglassen. In diesem Fall ändern die Begriffe, die in Klammern standen, ihr Vorzeichen in das Gegenteil:

Wir haben einen Ausdruck ohne Klammern 5+2+3 . Dieser Ausdruck ist gleich 10, genau wie der vorherige Ausdruck mit Klammern gleich 10 war.

Also zwischen Ausdrücken 5−(−2−3) und 5+2+3 Sie können ein Gleichheitszeichen setzen, da sie dem gleichen Wert entsprechen:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Beispiel 2 Klammern in einem Ausdruck erweitern 6 − (−2 − 5)

Da vor den Klammern ein Minus steht, wenden wir die zweite Regel zum Öffnen von Klammern an, nämlich dass wir die Klammern zusammen mit dem Minus vor diesen Klammern weglassen. In diesem Fall werden die Begriffe, die in Klammern standen, mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Beispiel 3 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2 − (7 + 3)

Da vor den Klammern ein Minus steht, wenden wir die zweite Regel zum Öffnen von Klammern an:

Beispiel 4 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(−3 + 4)

Beispiel 5 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Es gibt zwei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. Im ersten Fall müssen Sie die zweite Regel zum Öffnen von Klammern anwenden und wenn der Ausdruck an der Reihe ist +(−9−2) Sie müssen die erste Regel anwenden:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Beispiel 6 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(−a−1)

Beispiel 7 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(4a + 3)

Beispiel 8 Klammern in einem Ausdruck erweitern a −(4b + 3) + 15

Beispiel 9 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Es gibt zwei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. Im ersten Fall müssen Sie die erste Regel zum Erweitern von Klammern anwenden und wenn der Ausdruck an der Reihe ist −(3c+5) Sie müssen die zweite Regel anwenden:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Beispiel 10 Klammern in einem Ausdruck erweitern -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Es gibt drei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. Zuerst müssen Sie die zweite Regel zum Erweitern von Klammern anwenden, dann die erste und dann wieder die zweite:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Erweiterungsmechanismus für Klammern

Die jetzt betrachteten Regeln zum Öffnen von Klammern basieren auf dem Distributivgesetz der Multiplikation:

Tatsächlich öffnende Klammern Rufen Sie die Prozedur auf, wenn der gemeinsame Faktor mit jedem Term in Klammern multipliziert wird. Als Ergebnis einer solchen Multiplikation verschwinden die Klammern. Erweitern wir beispielsweise die Klammern im Ausdruck 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Wenn Sie also eine Zahl mit einem Ausdruck in Klammern multiplizieren müssen (oder einen Ausdruck in Klammern mit einer Zahl multiplizieren), müssen Sie sagen öffne die Klammern.

Aber wie hängt das Distributivgesetz der Multiplikation mit den Regeln für das Öffnen von Klammern zusammen, die wir zuvor betrachtet haben?

Tatsache ist, dass vor allen Klammern ein gemeinsamer Faktor steht. Im Beispiel 3×(4+5) Gemeinsamkeit ist 3 . Und im Beispiel a(b+c) gemeinsamer Faktor ist eine Variable a.

Wenn vor den Klammern keine Zahlen oder Variablen stehen, dann ist der gemeinsame Teiler 1 oder −1 , je nachdem welches Zeichen vor den Klammern steht. Wenn vor den Klammern ein Plus steht, dann ist der gemeinsame Teiler 1 . Wenn vor den Klammern ein Minus steht, dann ist der gemeinsame Teiler −1 .

Erweitern wir beispielsweise die Klammern im Ausdruck −(3b−1). Da vor den Klammern ein Minus steht, müssen Sie die zweite Regel zum Öffnen von Klammern anwenden, dh die Klammern zusammen mit dem Minus vor den Klammern weglassen. Und der Ausdruck, der in Klammern stand, schreibe mit entgegengesetzten Vorzeichen:

Wir haben die Klammern mit der Klammererweiterungsregel erweitert. Aber dieselben Klammern können mit dem Verteilungsgesetz der Multiplikation geöffnet werden. Dazu schreiben wir zunächst den gemeinsamen Faktor 1 vor die Klammern, der nicht notiert wurde:

Das Minus, das früher vor den Klammern stand, bezog sich auf diese Einheit. Jetzt können Sie die Klammern öffnen, indem Sie das Distributivgesetz der Multiplikation anwenden. Dafür der gemeinsame Faktor −1 Sie müssen mit jedem Term in Klammern multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

Der Einfachheit halber ersetzen wir die Differenz in Klammern durch die Summe:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Wie beim letzten Mal haben wir den Ausdruck bekommen −3b+1. Jeder wird zustimmen, dass diesmal mehr Zeit für die Lösung eines so einfachen Beispiels aufgewendet wurde. Daher ist es sinnvoller, die vorgefertigten Regeln zum Öffnen von Klammern zu verwenden, die wir in dieser Lektion betrachtet haben:

Aber es schadet nicht zu wissen, wie diese Regeln funktionieren.

In dieser Lektion haben wir eine weitere identische Transformation gelernt. Zusammen mit dem Öffnen der Klammern, dem Herausnehmen des Allgemeinen aus den Klammern und dem Einbringen gleicher Begriffe ist es möglich, das Spektrum der zu lösenden Aufgaben leicht zu erweitern. Zum Beispiel:

Hier müssen Sie zwei Aktionen ausführen: Öffnen Sie zuerst die Klammern und bringen Sie dann ähnliche Begriffe. Also der Reihe nach:

1) Erweitern Sie die Klammern:

2) Wir geben ähnliche Begriffe an:

Im resultierenden Ausdruck −10b+(−1) Sie können die Klammern öffnen:

Beispiel 2Öffnen Sie Klammern und fügen Sie ähnliche Begriffe in den folgenden Ausdruck ein:

1) Erweitern Sie die Klammern:

2) Wir präsentieren ähnliche Begriffe. Um Zeit und Platz zu sparen, schreiben wir dieses Mal nicht auf, wie die Koeffizienten mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multipliziert werden

Beispiel 3 Ausdruck vereinfachen 8m+3m und finden Sie seinen Wert bei m=−4

1) Vereinfachen wir zuerst den Ausdruck. Um den Ausdruck zu vereinfachen 8m+3m, können Sie den gemeinsamen Faktor darin herausnehmen m für Klammern:

2) Finden Sie den Wert des Ausdrucks m(8+3) bei m=−4. Dazu im Ausdruck m(8+3) statt einer Variablen m ersetzen Sie die Nummer −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Klammern werden verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen in numerischen und alphabetischen Ausdrücken sowie in Ausdrücken mit Variablen ausgeführt werden. Es ist praktisch, von einem Ausdruck mit Klammern zu einem identisch gleichen Ausdruck ohne Klammern überzugehen. Diese Technik wird Klammeröffnung genannt.

Klammern zu erweitern bedeutet, den Ausdruck von diesen Klammern zu befreien.

Besondere Aufmerksamkeit verdient ein weiterer Punkt, der die Besonderheiten von Schreiblösungen beim Öffnen von Klammern betrifft. Wir können den Anfangsausdruck mit Klammern schreiben und das Ergebnis nach dem Öffnen der Klammern als Gleichheit. Beispielsweise nach dem Öffnen der Klammern anstelle des Ausdrucks
3−(5−7) erhalten wir den Ausdruck 3−5+7. Wir können diese beiden Ausdrücke als die Gleichheit 3−(5−7)=3−5+7 schreiben.

Und noch ein wichtiger Punkt. In der Mathematik ist es zur Reduzierung von Einträgen üblich, kein Pluszeichen zu schreiben, wenn es das erste in einem Ausdruck oder in Klammern ist. Wenn wir zum Beispiel zwei positive Zahlen addieren, zum Beispiel sieben und drei, dann schreiben wir nicht +7 + 3, sondern einfach 7 + 3, obwohl sieben auch eine positive Zahl ist. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck (5 + x) sehen, wissen Sie, dass vor der nicht geschriebenen Klammer ein Plus und vor dem ein Plus + (+5 + x) steht fünf.

Klammererweiterungsregel für die Addition

Wenn beim Öffnen von Klammern ein Plus vor den Klammern steht, wird dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck 2 + (7 + 3) Vor den Klammern plus, dann ändern sich die Zeichen vor den Zahlen in den Klammern nicht.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Die Regel zum Erweitern von Klammern beim Subtrahieren

Wenn vor den Klammern ein Minus steht, wird dieses Minus mit den Klammern weggelassen, aber die Begriffe, die in den Klammern standen, ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil. Das Fehlen eines Zeichens vor dem ersten Begriff in Klammern impliziert ein +-Zeichen.

Beispiel. Öffnende Klammern in Ausdruck 2 − (7 + 3)

Vor den Klammern steht ein Minus, daher müssen Sie die Zeichen vor den Zahlen aus den Klammern ändern. Vor der Zahl 7 steht kein Zeichen in Klammern, was bedeutet, dass die Sieben positiv ist, es wird davon ausgegangen, dass das +-Zeichen davor steht.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Beim Öffnen der Klammern entfernen wir das Minus aus dem Beispiel, das vor den Klammern stand, und die Klammern selbst 2 − (+ 7 + 3) und ändern die Zeichen in den Klammern in die entgegengesetzten.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Erweiternde Klammern beim Multiplizieren

Wenn vor den Klammern ein Multiplikationszeichen steht, wird jede Zahl innerhalb der Klammern mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Gleichzeitig ergibt die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ein Plus, und die Multiplikation eines Minus mit einem Plus, wie die Multiplikation eines Plus mit einem Minus, ergibt ein Minus.

Daher werden Klammern in Produkten gemäß dem Verteilungsgesetz der Multiplikation erweitert.

Beispiel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Beim Multiplizieren von Klammer mit Klammer wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Tatsächlich ist es nicht nötig, sich alle Regeln zu merken, es reicht aus, sich nur eine zu merken, diese hier: c(a−b)=ca−cb. Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel (a−b)=a−b. Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel −(a−b)=−a+b. Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Erweitern Sie Klammern beim Teilen

Wenn nach den Klammern ein Divisionszeichen steht, dann ist jede Zahl innerhalb der Klammern durch den Divisor nach der Klammer teilbar und umgekehrt.

Beispiel. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

So erweitern Sie verschachtelte Klammern

Wenn der Ausdruck verschachtelte Klammern enthält, werden sie der Reihe nach erweitert, beginnend mit extern oder intern.

Gleichzeitig ist es beim Öffnen einer der Klammern wichtig, die anderen Klammern nicht zu berühren, sondern sie einfach so umzuschreiben, wie sie sind.

Beispiel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b