Trigonometrie 10 gdz. Formeln zur Gradreduzierung. Grundlegende trigonometrische Formeln
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Normalerweise, wenn sie jemanden mit TERRIBLE MATH erschrecken wollen, werden alle möglichen Sinus- und Cosinuszahlen als Beispiel angeführt, als etwas sehr Komplexes und Böses. Aber in der Tat ist dies ein schöner und interessanter Abschnitt, der verstanden und gelöst werden kann.
Das Thema beginnt in der 9. Klasse und nicht immer ist beim ersten Mal alles klar, es gibt viele Feinheiten und Tricks. Ich habe versucht, etwas zum Thema zu sagen.
Einführung in die Welt der Trigonometrie:
Bevor Sie sich kopfüber in Formeln stürzen, müssen Sie anhand der Geometrie verstehen, was Sinus, Cosinus usw. sind.
Sinus eines Winkels- das Verhältnis der gegenüberliegenden (Winkel-)Seite zur Hypotenuse.
Kosinus ist das Verhältnis der angrenzenden zur Hypotenuse.
Tangente- gegenüberliegende Seite in benachbarte Seite
Kotangens- neben dem Gegenteil.
Betrachten Sie nun einen Kreis mit Einheitsradius auf der Koordinatenebene und markieren Sie darauf einen Winkel Alpha: (Bilder sind anklickbar, zumindest einige davon)
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Dünne rote Linien sind die Senkrechte vom Schnittpunkt des Kreises und der rechte Winkel auf der x- und y-Achse. Die roten x und y sind die Werte der x- und y-Koordinaten auf den Achsen (die grauen x und y sollen nur anzeigen, dass dies Koordinatenachsen und nicht nur Linien sind).
Es ist zu beachten, dass die Winkel von der positiven Richtung der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gezählt werden.
Wir finden dafür Sinus, Cosinus und so weiter.
sin a: Gegenseite ist y, Hypotenuse ist 1.
sin a = y / 1 = y
Um ganz klar zu machen, woher ich y und 1 bekomme, ordnen wir der Übersichtlichkeit halber die Buchstaben an und betrachten Dreiecke.
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AF = AE = 1 - Radius des Kreises.
Daher ist AB = 1 als Radius. AB ist die Hypotenuse.
BD = CA = y - als Wert für oh.
AD \u003d CB \u003d x - als Wert für oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Weiterer Kosinus:
cos a: benachbarte Seite - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Wir leiten auch ab Tangens und Kotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Schon plötzlich haben wir die Formel von Tangens und Kotangens hergeleitet.
Schauen wir uns an, wie es mit bestimmten Winkeln gelöst wird.
Zum Beispiel a = 45 Grad.
Wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 45 Grad. Jemandem ist sofort klar, dass dies ein Dreieck mit unterschiedlichen Seiten ist, aber ich unterschreibe es trotzdem.
Finden Sie die dritte Ecke des Dreiecks (erste 90, zweite 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind die Seiten gleich, wie es sich anhörte.
Es stellt sich also heraus, dass wir, wenn wir zwei solcher Dreiecke übereinander hinzufügen, ein Quadrat mit einer Diagonale gleich dem Radius \u003d 1 erhalten. Nach dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Diagonale eines Quadrats mit der Seite a gleich ist zu den Wurzeln von zwei.
Jetzt denken wir. Wenn 1 (die Hypotenuse, auch Diagonale genannt) gleich der Seite des Quadrats mal der Quadratwurzel von 2 ist, dann muss die Seite des Quadrats gleich 1/sqrt(2) sein, und wenn wir Zähler und Nenner dieses Bruchs multiplizieren durch die Wurzel von 2 erhalten wir sqrt(2)/2 . Und da das Dreieck gleichschenklig ist, ist AD = AC => x = y
Finden unserer trigonometrischen Funktionen:
sin 45 = quadrat(2)/2 / 1 = quadrat(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Mit den restlichen Winkeln müssen Sie auf die gleiche Weise arbeiten. Nur die Dreiecke werden nicht gleichschenklig sein, aber die Seiten sind genauso einfach mit dem Satz des Pythagoras zu finden.
Auf diese Weise erhalten wir eine Wertetabelle von trigonometrischen Funktionen aus verschiedenen Blickwinkeln:
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Darüber hinaus ist dieser Tisch betrügerisch und sehr praktisch.
So machen Sie es ohne großen Aufwand selbst: Sie zeichnen eine solche Tabelle und schreiben die Zahlen 1 2 3 in die Zellen.
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Aus diesen 1 2 3 ziehst du nun die Wurzel und teilst durch 2. Es stellt sich so heraus:
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Jetzt streichen wir den Sinus und schreiben den Kosinus. Seine Werte sind der gespiegelte Sinus:
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Es ist genauso einfach, den Tangens abzuleiten - Sie müssen den Wert der Sinuslinie durch den Wert der Kosinuslinie teilen:
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Der Wert des Kotangens ist der umgekehrte Wert des Tangens. Als Ergebnis erhalten wir so etwas:
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beachten Sie dass die Tangente zum Beispiel in P/2 nicht existiert. Denke warum. (Sie können nicht durch Null teilen.)
Woran Sie sich hier erinnern sollten: Sinus ist der y-Wert, Kosinus ist der x-Wert. Der Tangens ist das Verhältnis von y zu x, und der Kotangens ist umgekehrt. Um also die Werte von Sinus / Cosinus zu bestimmen, reicht es aus, eine Platte, die ich oben beschrieben habe, und einen Kreis mit Koordinatenachsen zu zeichnen (es ist bequem, die Werte von Bat zu betrachten Winkel 0, 90, 180, 360).
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Nun, ich hoffe, Sie können es sagen Viertel:
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Das Vorzeichen von Sinus, Cosinus usw. hängt davon ab, in welchem Viertel der Winkel liegt. Absolut primitives logisches Denken wird Sie jedoch zur richtigen Antwort führen, wenn Sie berücksichtigen, dass x im zweiten und dritten Viertel negativ ist und y im dritten und vierten Viertel negativ ist. Nichts Schlimmes oder Beängstigendes.
Ich denke, es wäre nicht überflüssig zu erwähnen Reduktionsformeln ala Gespenster, wie jeder hört, der ein Körnchen Wahrheit enthält. Es gibt keine Formeln als solche für Nutzlosigkeit. Die eigentliche Bedeutung all dieser Aktionen: Wir finden leicht die Werte der Winkel nur für das erste Viertel (30 Grad, 45, 60). Trigonometrische Funktionen sind periodisch, daher können wir jeden großen Winkel in den ersten Quadranten ziehen. Dann werden wir sofort seine Bedeutung finden. Aber nur Ziehen reicht nicht aus - Sie müssen sich an das Schild erinnern. Dafür sind Gießformeln da.
Wir haben also einen großen Winkel oder eher mehr als 90 Grad: a \u003d 120. Und Sie müssen seinen Sinus und Kosinus finden. Dazu zerlegen wir 120 in solche Winkel, mit denen wir arbeiten können:
Sünde a = Sünde 120 = Sünde (90 + 30)
Wir sehen, dass dieser Winkel im zweiten Viertel liegt, der Sinus ist dort positiv, also bleibt das +-Zeichen vor dem Sinus erhalten.
Um 90 Grad loszuwerden, ändern wir den Sinus in Cosinus. Nun, hier ist eine Regel, die Sie sich merken sollten:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Und man kann es sich auch anders vorstellen:
Sünde 120 = Sünde (180 - 60)
Um 180 Grad loszuwerden, ändern wir die Funktion nicht.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Wir haben den gleichen Wert, also ist alles korrekt. Jetzt Kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Der Kosinus im zweiten Viertel ist negativ, also setzen wir ein Minuszeichen. Und wir ändern die Funktion in das Gegenteil, da wir 90 Grad entfernen müssen.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Oder:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2
Was Sie wissen, können und tun müssen, um Eckbälle im ersten Viertel zu übersetzen:
- den Winkel in verdauliche Begriffe zerlegen;
- Berücksichtigen Sie, in welchem Viertel der Winkel liegt, und setzen Sie das entsprechende Vorzeichen, wenn die Funktion in diesem Viertel negativ oder positiv ist;
- Überflüssiges loswerden
* Wenn Sie 90, 270, 450 und den Rest 90 + 180n loswerden müssen, wobei n eine beliebige Ganzzahl ist, wird die Funktion umgekehrt (Sinus zu Kosinus, Tangens zu Kotangens und umgekehrt);
* Wenn Sie 180 und die restlichen 180 + 180n loswerden müssen, wobei n eine beliebige Ganzzahl ist, ändert sich die Funktion nicht. (Hier gibt es ein Feature, aber es ist schwierig, es in Worten zu erklären, na ja, okay).
Das ist alles. Ich halte es nicht für notwendig, die Formeln selbst auswendig zu lernen, wenn Sie sich an ein paar Regeln erinnern und sie leicht anwenden können. Diese Formeln sind übrigens sehr einfach zu beweisen:
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Und sie bilden sperrige Tische, dann wissen wir:
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Grundlegende trigonometrische Gleichungen: sie müssen sehr, sehr gut auswendig bekannt sein.
Grundlegende trigonometrische Identität(Gleichberechtigung):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Wenn Sie mir nicht glauben, probieren Sie es selbst aus und überzeugen Sie sich selbst. Ersetzen Sie die Werte der verschiedenen Winkel.
Diese Formel ist sehr, sehr nützlich, denken Sie immer daran. damit können Sie den Sinus durch den Kosinus und umgekehrt ausdrücken, was manchmal sehr nützlich ist. Aber wie bei jeder anderen Formel müssen Sie in der Lage sein, damit umzugehen. Denken Sie immer daran, dass das Vorzeichen der trigonometrischen Funktion von dem Viertel abhängt, in dem sich der Winkel befindet. Deshalb Wenn Sie die Wurzel extrahieren, müssen Sie ein Viertel kennen.
Tangens und Kotangens: diese Formeln haben wir schon ganz am Anfang hergeleitet.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
Produkt aus Tangens und Kotangens:
tg a * ctg a = 1
Weil:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - Brüche kürzen sich.
Wie Sie sehen können, sind alle Formeln ein Spiel und eine Kombination.
Hier sind zwei weitere, die durch Division durch das Kosinusquadrat und das Sinusquadrat der ersten Formel erhalten werden:
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Bitte beachten Sie, dass die letzten beiden Formeln mit einer Einschränkung auf den Wert des Winkels a verwendet werden können, da Sie nicht durch Null teilen können.
Additionsformeln: werden mit Vektoralgebra bewiesen.
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Sie werden selten, aber treffend verwendet. Auf dem Scan befinden sich Formeln, die jedoch möglicherweise unleserlich sind oder die digitale Form leichter zu erkennen ist:
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Doppelwinkelformeln:
Sie werden auf der Grundlage von Additionsformeln erhalten, zum Beispiel: Der Kosinus eines Doppelwinkels ist cos 2a = cos (a + a) - erinnert Sie das an etwas? Sie haben einfach Beta durch Alpha ersetzt.
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Die beiden folgenden Formeln ergeben sich aus der ersten Substitution sin^2(a) = 1 - cos^2(a) und cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Mit dem Sinus eines Doppelwinkels ist es einfacher und wird viel häufiger verwendet:
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Und spezielle Perverse können den Tangens und den Kotangens eines Doppelwinkels ableiten, da tg a \u003d sin a / cos a und so weiter.
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Für die oben genannten Personen Dreifachwinkelformeln: sie ergeben sich durch Addition der Winkel 2a und a, da wir die Formeln für den Doppelwinkel bereits kennen.
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Halbwinkelformeln:
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Ich weiß nicht, wie sie abgeleitet werden, oder besser gesagt, wie ich es erklären soll ... Wenn Sie diese Formeln schreiben und die grundlegende trigonometrische Identität durch a / 2 ersetzen, wird die Antwort konvergieren.
Formeln zum Addieren und Subtrahieren trigonometrischer Funktionen:
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Sie werden aus Additionsformeln gewonnen, aber niemand kümmert sich darum. Treffen Sie sich nicht oft.
Wie Sie verstehen, gibt es immer noch eine Menge Formeln, deren Auflistung einfach sinnlos ist, weil ich nicht in der Lage sein werde, etwas Angemessenes darüber zu schreiben, und Trockenformeln sind überall zu finden, und sie sind ein Spiel mit den zuvor vorhandenen Formeln . Alles ist schrecklich logisch und genau. Ich erzähle es dir nur zuletzt zum Hilfswinkelverfahren:
Die Umwandlung des Ausdrucks a cosx + b sinx in die Form Acos(x+) oder Asin(x+) wird als Methode der Einführung eines Hilfswinkels (oder zusätzlichen Arguments) bezeichnet. Die Methode wird zum Lösen trigonometrischer Gleichungen, zum Schätzen der Werte von Funktionen, bei Extremumproblemen verwendet, und was wichtig zu beachten ist, einige Probleme können nicht gelöst werden, ohne einen Hilfswinkel einzuführen.
Wie Sie habe ich nicht versucht, diese Methode zu erklären, es ist nichts daraus geworden, also müssen Sie es selbst tun:
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Es ist beängstigend, aber nützlich. Wenn Sie Probleme lösen, sollte es funktionieren.
Von hier zum Beispiel: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Als nächstes folgen Graphen trigonometrischer Funktionen. Aber eine Lektion ist genug. Wenn man bedenkt, dass dies sechs Monate lang in der Schule unterrichtet wird.
Schreiben Sie Ihre Fragen, lösen Sie Probleme, fragen Sie nach Scans einiger Aufgaben, finden Sie es heraus, probieren Sie es aus.
Immer mit freundlichen Grüßen, Dan Faraday.
Unterricht und Präsentation zum Thema: "Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen"
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Was werden wir studieren:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?
3. Zwei Hauptmethoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.
Was sind trigonometrische Gleichungen?
Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Betrachten wir nun allgemeine trigonometrische Gleichungen.
Trigonometrische Gleichungen - Gleichungen, in denen die Variable unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion enthalten ist.
Wir wiederholen die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:
1) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x) = a eine Lösung:
3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk
5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk
Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl
Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: Т(kx+m)=a, T- eine beliebige trigonometrische Funktion.
Beispiel.Gleichungen lösen: a) sin(3x)= √3/2
Lösung:
A) Lassen Sie uns 3x=t bezeichnen, dann werden wir unsere Gleichung in der Form umschreiben:
Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.
Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Kommen wir zurück zu unserer Variablen: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n - minus eins hoch n.
Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.
Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Lösung:
A) Dieses Mal gehen wir direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung über:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann x/5= πk => x=5πk
Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.
B) Wir schreiben in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Das wissen wir: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.
Gleichungen lösen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment .
Lösung:
Lösen wir unsere Gleichung in allgemeiner Form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ±π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Mal sehen, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Für k Für k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment .
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen sie wieder.
Für k=2 ist x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir auch für große k nicht treffen werden.
Antwort: x= π/16, x= 9π/16
Zwei Hauptlösungsmethoden.
Wir haben die einfachsten trigonometrischen Gleichungen betrachtet, aber es gibt komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.Lösen wir die Gleichung:
Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen, bezeichnet als: t=tg(x).
Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0
Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3
Dann tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir haben die einfachste trigonometrische Gleichung, lasst uns ihre Wurzeln finden.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung
Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Lösung:
Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Unsere Gleichung lautet: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Führen wir die Ersetzung t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0
Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2
Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.
Da Cosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.
Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Antwort: x= ±2π/3 + 2πk
Homogene trigonometrische Gleichungen.
Definition: Eine Gleichung der Form a sin(x)+b cos(x) heißen homogene trigonometrische Gleichungen ersten Grades.Gleichungen der Form
homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.
Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, teilen wir sie durch cos(x): 
Es ist unmöglich, durch Kosinus zu dividieren, wenn es gleich Null ist, stellen wir sicher, dass dies nicht so ist:
Sei cos(x)=0, dann asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir haben einen Widerspruch, also können wir sicher dividieren um null.
Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Lösung:
Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:
cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 für x= π/2 + πk;
Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0 Dividieren Sie unsere Gleichung durch cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk
Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, haltet euch immer an diese Regeln!
1. Sehen Sie, was der Koeffizient a ist, wenn a \u003d 0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) an, ein Beispiel für die Lösung davon ist oben gleiten
2. Wenn a≠0, müssen Sie beide Teile der Gleichung durch den quadrierten Kosinus dividieren, wir erhalten:
Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:
Lösen Sie Beispiel #:3
Löse die Gleichung:Lösung:
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat: 
Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1
Dann: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk
Lösen Sie Beispiel #:4
Löse die Gleichung:Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:
Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk
Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk
Lösen Sie Beispiel #:5
Löse die Gleichung:Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:
Wir führen die Ersetzung tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein
Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2
Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Aufgaben zur selbstständigen Lösung.
1) Lösen Sie die GleichungA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7
2) Gleichungen lösen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].
3) Lösen Sie die Gleichung: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Befolgen Sie bei der Durchführung trigonometrischer Transformationen die folgenden Tipps:
- Versuchen Sie nicht, sich sofort ein Schema auszudenken, um ein Beispiel von Anfang bis Ende zu lösen.
- Versuchen Sie nicht, das gesamte Beispiel auf einmal zu konvertieren. Gehen Sie in kleinen Schritten voran.
- Denken Sie daran, dass Sie zusätzlich zu trigonometrischen Formeln in der Trigonometrie immer noch alle fairen algebraischen Transformationen anwenden können (Klammern, Brüche kürzen, abgekürzte Multiplikationsformeln und so weiter).
- Glaube daran, dass alles gut wird.
Grundlegende trigonometrische Formeln
Die meisten Formeln in der Trigonometrie werden oft sowohl von rechts nach links als auch von links nach rechts angewendet, daher müssen Sie diese Formeln so gut lernen, dass Sie einige Formeln leicht in beide Richtungen anwenden können. Zunächst schreiben wir die Definitionen trigonometrischer Funktionen auf. Sei ein rechtwinkliges Dreieck:
Dann ist die Definition von Sinus:
Definition von Kosinus:
Definition der Tangente:
Definition des Kotangens:
Grundlegende trigonometrische Identität:
Die einfachsten Folgerungen aus der trigonometrischen Grundidentität:
Doppelwinkelformeln. Sinus eines Doppelwinkels:
Kosinus eines Doppelwinkels:
Doppelte Winkeltangente:
Doppelwinkelkotangens:
Zusätzliche trigonometrische Formeln
Trigonometrische Additionsformeln. Sinus der Summe:
Sinus der Differenz:
Kosinus der Summe:
Kosinus der Differenz:
Tangens der Summe:
Differenz Tangente:
Kotangens der Summe:
Differenzkotangens:
Trigonometrische Formeln zur Umrechnung einer Summe in ein Produkt. Die Summe der Sinus:
Sinusdifferenz:
Kosinussumme:
Kosinusdifferenz:
Summe der Tangenten:
Tangentendifferenz:
Summe der Kotangenten:
Kotangensdifferenz:
Trigonometrische Formeln zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe. Das Produkt der Sinus:
Das Produkt aus Sinus und Cosinus:
Kosinusprodukt:
Formeln zur Gradreduzierung.
Halbwinkelformeln.
Trigonometrische Reduktionsformeln
Die Kosinusfunktion wird aufgerufen Kofunktion Sinusfunktion und umgekehrt. Ebenso sind die Funktionen Tangens und Kotangens Kofunktionen. Die Reduktionsformeln lassen sich wie folgt formulieren:
- Wenn in der Reduktionsformel der Winkel von 90 Grad oder 270 Grad subtrahiert (addiert) wird, dann ändert sich die reduzierbare Funktion in eine Kofunktion;
- Wenn in der Reduktionsformel der Winkel von 180 Grad oder 360 Grad subtrahiert (addiert) wird, bleibt der Name der reduzierten Funktion erhalten;
- In diesem Fall wird der reduzierten Funktion das Vorzeichen vorangestellt, das die reduzierte (also ursprüngliche) Funktion im entsprechenden Viertel hat, wenn wir den subtrahierten (addierten) Winkel als spitz betrachten.
Gießen Sie Formeln werden in Form einer Tabelle angegeben:
Durch trigonometrischer Kreis Es ist einfach, tabellarische Werte trigonometrischer Funktionen zu bestimmen:
Trigonometrische Gleichungen
Um eine bestimmte trigonometrische Gleichung zu lösen, muss sie auf eine der einfachsten trigonometrischen Gleichungen reduziert werden, die weiter unten besprochen wird. Dafür:
- Sie können die obigen trigonometrischen Formeln anwenden. In diesem Fall müssen Sie nicht versuchen, das gesamte Beispiel auf einmal zu konvertieren, sondern müssen in kleinen Schritten vorgehen.
- Wir dürfen die Möglichkeit nicht vergessen, einen Ausdruck mit Hilfe algebraischer Methoden umzuwandeln, d.h. zum Beispiel etwas aus Klammern setzen oder umgekehrt Klammern öffnen, einen Bruch kürzen, die abgekürzte Multiplikationsformel anwenden, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und so weiter.
- Beim Lösen trigonometrischer Gleichungen können Sie sich bewerben Gruppierungsmethode. Es muss daran erinnert werden, dass es ausreicht, dass jeder von ihnen gleich Null ist, damit das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist, und der Rest existierte.
- Bewirbt sich Variablenersetzungsverfahren, wie üblich, sollte die Gleichung nach der Einführung der Ersetzung einfacher werden und die ursprüngliche Variable nicht enthalten. Sie müssen auch daran denken, die umgekehrte Substitution durchzuführen.
- Denken Sie daran, dass homogene Gleichungen oft auch in der Trigonometrie vorkommen.
- Beim Öffnen von Modulen oder beim Lösen irrationaler Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen muss man sich an alle Feinheiten beim Lösen der entsprechenden Gleichungen mit gewöhnlichen Funktionen erinnern und diese berücksichtigen.
- Erinnern Sie sich an die ODZ (in trigonometrischen Gleichungen laufen die Einschränkungen der ODZ im Grunde darauf hinaus, dass Sie nicht durch Null teilen können, aber vergessen Sie nicht andere Einschränkungen, insbesondere die Positivität von Ausdrücken in rationalen Potenzen und unter Wurzeln von geraden Graden ). Denken Sie auch daran, dass Sinus- und Kosinuswerte nur zwischen minus eins und plus eins liegen können, einschließlich.
Die Hauptsache ist, wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie zumindest etwas, während die Hauptsache darin besteht, trigonometrische Formeln richtig zu verwenden. Wenn das, was Sie bekommen, immer besser wird, fahren Sie mit der Lösung fort, und wenn es schlechter wird, gehen Sie zurück zum Anfang und versuchen Sie, andere Formeln anzuwenden, tun Sie dies, bis Sie auf die richtige Lösung stoßen.
Formeln zum Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Für den Sinus gibt es zwei äquivalente Lösungsschreibweisen:
Für andere trigonometrische Funktionen ist die Notation eindeutig. Für Kosinus:
Für Tangente:
Für Kotangens:
Lösung trigonometrischer Gleichungen in einigen Spezialfällen:
Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsbewusste Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, ein hervorragendes Ergebnis auf dem CT zu zeigen, das Maximum dessen, was Sie können.
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Dieses Tutorium entspricht dem Kapitel V "Trigonometrische Ausdrücke und ihre Transformationen" aus dem Lehrbuch "Algebra, 9" derselben Autoren aus früheren Erscheinungsjahren.
DEFINITION VON SINUS, COSINUS, TANGENT UND KOTANGENT.
Wir markieren den Punkt A auf der x-Achse rechts vom Koordinatenursprung und ziehen einen Kreis durch ihn mit dem Mittelpunkt im Punkt O (Abb. 1). Der Radius OA wird als Anfangsradius bezeichnet.
Drehen Sie den Anfangsradius in der Nähe von Punkt O um 70° gegen den Uhrzeigersinn. In diesem Fall bewegt es sich in den Radius von OB. Der Drehwinkel soll 70° betragen. Wenn Sie den Anfangsradius in der Nähe des Punktes O um 70 ° im Uhrzeigersinn drehen, geht er in den Radius des OS über. Der Drehwinkel soll in diesem Fall -70° betragen. Drehwinkel von 70° und -70° sind in Abbildung 64 durch Pfeile dargestellt.
Im Allgemeinen gilt der Drehwinkel beim Drehen gegen den Uhrzeigersinn als positiv und beim Drehen im Uhrzeigersinn als negativ.
Aus dem Kurs der Geometrie ist bekannt, dass das Maß eines Winkels in Grad durch eine Zahl von 0 bis 180 ausgedrückt wird. Was den Rotationswinkel betrifft, kann er in Grad durch jede reelle Zahl von -∞ bis +∞ ausgedrückt werden. Wenn also der Anfangsradius um 180° gegen den Uhrzeigersinn und dann um weitere 30° gedreht wird, beträgt der Drehwinkel 210°. Wenn der Anfangsradius eine volle Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn macht, beträgt der Drehwinkel 360°; macht er anderthalb Umdrehungen in die gleiche Richtung, beträgt der Drehwinkel 540° usw. In Fig. 2 zeigen die Pfeile die Drehwinkel bei 405° und –200° an.
§eines. Trigonometrische Funktionen eines beliebigen Winkels
1. Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens
2. Eigenschaften von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens
3. Bogenmaß eines Winkels. Berechnung der Werte trigonometrischer Funktionen mit einem Mikrorechner
§2. Grundlegende trigonometrische Formeln
4. Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen des gleichen Winkels
5. Anwendung grundlegender trigonometrischer Formeln auf die Transformation von Ausdrücken
6. Reduktionsformeln
§3. Additionsformeln und ihre Folgen
7. Additionsformeln
8. Doppelwinkelformeln
9. Formeln für Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen
Zusätzliche Übungen
Antworten.
