Главная » Дизайн квартир » Первообразная и интеграл. Что же означает знак d

Первообразная и интеграл. Что же означает знак d

Вариант 1

а) f(x) = 3x – 1; б) f(x) = x5 + cos x; в) f(x) = 15x4 + 5.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 3x2 + 2x – 1, проходящую через точку А(-1;10).
3. Вычислите интеграл:
а) 23x2dx; б) -10x2+ 4x-1dx;
в) -223x3- 2xdx; г)-π3π2sinxdx.

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 4х – х2 и осью Ох;
б) у = х2 + 2 и у = х + 4. Вариант 2
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2 - x; б) f(x) = x4 - sin x; в) f(x) = 13x5 - 7.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3 - 3x2 – 1, проходящую через точку А(2;-8).
3. Вычислите интеграл:
а) 23x3dx; б) 01x2- 2x+1dx;
в) -443x3+ 4xdx; г)-π6π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

а) у = 6х – х2 и осью Ох;
б) у = х2, у = 4 и осью Оу.
Вариант 3
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 8x – 3; б) f(x) = x6 - 2cos x; в) f(x) = 14x2 + 1.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 6x2 - 2x + 5, проходящую через точку А(-2;-20).
3. Вычислите интеграл:
а) 136x2dx; б) 022x3- x-1dx;
в) -10x2+ 2xdx; г)π6π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 1 – х2 и осью Ох;
б) у = 4 + 3x - х2 и у = х + 1. Вариант 4
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 4x + 4; б) f(x) = x5 - 1cos2x; в) f(x) = 12x6 - 8.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 5x4 - 6x2 + 1, проходящую через точку А(-1;2).
3. Вычислите интеграл:
а) 01x4dx; б) -112x2- 5x-7dx;
в) -20-x2+ 3xdx; г)π4π21sin2xdx .
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 + 3x и осью Ох;
б) у = 2х2 и у = 8.
Время выполнения 60 минут
Зачетная работа по теме «Первообразная. Интеграл»
Вариант 5
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2x – 5; б) f(x) = x7 – 2sin x; в) f(x) = 15x3 + 2.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 6x2 - 4x + 1, проходящую через точку А(1;5).
3. Вычислите интеграл:
а) 142x2d ; б) -103x2- 4x+2dx;
в) -11x3+ 2xdx; г)0π4cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = 2х – х2 и осью Ох;
б) у = - х2 + 4 и у = 2 - х. Вариант 6
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 7x - 2; б) f(x) = 1sin2x + 5x4; в) f(x) = 13x3 - 9.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 7x6 + 4x – 8, проходящую через точку А(2;4).
3. Вычислите интеграл:
а) -11x2dx; б) -20x2+ 2x+1dx;
в) 02-x2+ 2xdx; г)0π41cos2xdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 – 2x и осью Ох;
б) у = 6x - х2 и у = 5.
Вариант 7
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 2x2 + 3х; б) f(x) = x3 – 3sin x; в) f(x) = 12x3 + 4.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x - 3x2 + 1, проходящую через точку А(2;9).
3. Вычислите интеграл:
а) 12x4dx; б) -11x2- 5x-6dx;
в) 022x+x2+ 2dx; г)π2πsin xdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – 2х2 + 8 и осью Ох;
б) у = 3х2 + 1 и у = -х + 3. Вариант 8
1. Найдите первообразную следующих функций:
а) f(x) = 3x2 - 4; б) f(x) = 1cos2x + 6x; в) f(x) = 13x2 – 7x.
2. Найдите первообразную функции f(x) = 4x - x2 + 2, проходящую через точку А(1;9).
3. Вычислите интеграл:
а) 03x3dx; б) -20x2+ 5x+6dx;
в) 122x+x2+ x3dx; г)0π2cosxdx.
4. Найдите площадь изображенной фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно построив её):
а) у = – х2 + 3x и осью Ох;
б) у = 2х2 и у = 8.
Время выполнения 60 минут

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{5+3}{2}\cdot 3=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

Показать решение

Решение

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .

Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.

Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:

F (x)+C , где С — любое действительное число.

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .

Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».

f (x) dx — подынтегральное выражение,

f (x) — подынтегральная функция,

х — переменная интегрирования.

F (x) — первообразная для функции f (x) ,

С — некоторая постоянная величина.

Теперь рассмотренные примеры можно записать так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Что же означает знак d?

d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.

Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) После значка дифференциала d стоит х х , а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).

Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.

∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).

Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Проверочный тест:

1. Верно ли, что функция y= sinx + x4 -7 первообразная для функции y = cosx + 4x3 на промежутке (-?; ?)?

2. Найдите первообразную функции f(x) = x 2 , график которой проходит через точку (3; 6).

3. Найдите первообразную функции а) f(x) = x 10 ; б) f(x) = x 8 - cosx;

в) f(x) = 3sinx; г) f(x) = sin(7x+2);

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = x 2 +4, y=0, x = 2, x =4.

5. Вычислите определенный интеграл: а) б); в) .

3. a);б)F(x) =; в)F(x)=-3cosx+c; г) F(x) = -

4. 26? ;5. а)2?; б) 0; в) -1;

Улучшите свои знания

1. Понятие первообразной функции

Функция F(x)(например,5x 2) называется первообразной для функции f(x) (10x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x)= f(x)((5x 2)" =10x).

Верно ли, что функция Y(x)= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразная для функции y(x) = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?)

Решение: Проверим, будет ли функция Y= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразной для функции y = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?).

Для этого:

1. Найдем область определения функцииY: D(Y)= (-?; ?).

2. Найдем производную функции Y= 0,5sin2x + x 5 -3:(0,5sin2x + x 5 -3)" = cos2x + 5x 4 ;

3. Получили: Y"(x) =y(x) для всех x из промежутка (-?; ?), значит, функция Y(x)= 0,5sin2x + x 5 -3 первообразная для функции y(x) = cos2x + 5x 4 на промежутке (-?; ?).

2. Основное свойство первообразной

Если функция F(x) первообразна для функции f(x)на некотором промежутке, то любая другая первообразная для функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+С, где С - произвольная постоянная величина.

Найдите первообразную функции f(x) = x 2 , график которой проходит через точку (3; 6).

Общий вид первообразных функции f(x) = x 2 - это F(x) =, так как график функции F(x) = проходит через точку(3; 6), то F(3) =6, т.е. 6=9+С, откуда С=-3.

Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку (3;6) имеет вид F(x) =.

3. Основные правила нахождения первообразной

а) Первообразная степени x n равна +С

Например первообразная x 6 равна +С.

б) Первообразная суммы двух функций равна сумме первообразных этих функций

Например, первообразная функции x 2 +sinx равна сумме первообразных функций x 2 и sinx, т. е.

в) Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной

Например, первообразная 5 x 6 равна 5+С.

г) Первообразная функции f(kx+c) равна, где к?0.

Например, первообразная функции sin(5x+2) равна -cos(5x+2)+C.

4. Площадь криволинейной трапеции

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции f(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, надо:

1. Найти одну из первообразных функции f(x), например, F(x);

2. Вычислить значение первообразной F(x)в точке b ,т.е. F(b);

3. Вычислить значение первообразной F(x) в точке a, т.е. F(a);

4. Найти разность (приращение первообразной) F(b)- F(a)=S -это и будет площадь криволинейной трапеции.

Например,

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

у = x 2 +4, x = 2, x =4,у=0.

Построим фигуру, ограниченную линиями

у = x 2 +4 - парабола, x = 2, x =4 - - прямые, параллельные оси OY, у=0 - ось OX. Фигура, ограниченная этими линиями, является криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.

2. Вычислить значение первообразной F(x)в точке 4, т.е.