Вычисление интеграла по формуле ньютона лейбница. Определенный интеграл онлайн. Замена переменных в определённом интеграле

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок . Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(x k) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), где \(\Delta x_k \) - длина отрезка ; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади S n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} \)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х 0 , b = x n ; \(\Delta x_0 \) - длина отрезка , \(\Delta x_1 \) - длина отрезка , и т.д; при этом, как мы условились выше, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_{n-1} \)

Итак, \(S \approx S_n \), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S n):
$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t k . Итак, мы считаем, что v = v(t k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени , это приближенное значение обозначим s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
\(s \approx S_n \) где
\(S_n = s_0 + \dots + s_{n-1} = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_{n-1}) \Delta t_{n-1} \)
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S n):
$$ s = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ \lim_{n \to \infty} S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
здесь S - площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:

Формула Ньютона - Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости - обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
где s(t) - первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
где F(x) - первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона - Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646- 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ее называют иногда двойной подстановкой ) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона - Лейбница в таком виде:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона - Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
\(S = S_{ABCD} = S_{aDCb} - S_{aABb} = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \), вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Формула Ньютона - Лейбница

Основная теорема анализа или формула Ньютона - Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной

Формулировка

Рассмотрим интеграл от функции y = f (x ) в пределах от постоянного числа a до числа x , которое будем считать переменным. Запишем интеграл в следующем виде:

Данный вид интеграла называется интегралом с переменным верхним пределом. Используя теорему о среднем в определённом интеграле , легко показать что данная функция непрерывная и дифференцируемая. А также производная от данной функции в точке x равна самой интегрируемой функции. От сюда следует, что любая непрерывная функция имеет первообразную в виде квадратуры: . А так как класс первообразных функций функции f отличается на константу, легко показать, что: определенный интеграл от функции f на равен разности значений первообразных в точках b и а

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Формула Полной Вероятности
• Формула Релея - Джинса

Смотреть что такое "Формула Ньютона - Лейбница" в других словарях:

Формула Ньютона-Лейбница - Основная теорема анализа или формула Ньютона Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной Формулировка Рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до… … Википедия

Формула конечных приращений - У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и … Википедия

Формула Стокса - Теорема Стокса одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. Содержание 1 Общая формулировка 2… … Википедия

НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА - формула, выражающая значение определенного интеграла от заданной функции f по отрезку в виде разности значений на концах отрезка любой первообразной Fэтой функции Названа именами И. Ньютона (I. Newton) и Г. Лейбница (G. Leibniz), т. к. правило,… … Математическая энциклопедия

НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА - основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определенным интегралом от функции f(x) и какой либо ее первообразной F(x) … Большой Энциклопедический словарь

Формула Лейбница - У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница. У этого термина существуют и другие значения, см. Формула Лейбница (значения). Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило… … Википедия

Ньютона-Лейбница формула - Ньютона Лейбница формула, основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определённым интегралом от функции f(х) и какой либо её первообразной F(х). . * * * НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА, основная формула… … Энциклопедический словарь

Формула прямоугольников

Формула трапеций - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

Теорема Ньютона - Формула Ньютона Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет … Википедия

Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1

Когда функция y = y (x) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F (x) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

Когда функция y = f (x) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f (t) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) .

Зафиксируем, что приращении функции Φ (x) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) · x + ∆ x - x = f (c) · ∆ x

где значение c ∈ x ; x + ∆ x .

Зафиксируем равенство в виде Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ " (x) = f (x) . Получаем, что Φ (x) является одной из первообразных для функции вида y = f (x) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , где значение C является постоянной.

Произведем вычисление F (a) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F (a) . Результат применим при вычислении F (b) и получим:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , иначе говоря, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Приращение функции принимаем как F x a b = F (b) - F (a) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F (x) подынтегральной функции y = f (x) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 1

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F (x) = x 3 3 .

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Пример 2

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение

Заданная функция непрерывна из отрезка [ - 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала, тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ - 1 ; 2 .

Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Ответ: ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Пример 3

Произвести вычисление интегралов ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Решение

Отрезок - 4 ; - 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Необходимо взять первообразную F (x) = 2 x 2 - 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Производим переход к вычислению второго интеграла.

Из отрезка [ - 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F (x) = 2 x 2 - 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] .

Ответ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ - 1 ; 1 ] .

Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Когда функция y = f (x) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g (z) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g (α) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f (x) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.

Пример 4

Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 - 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 - 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z получаем, что

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x - 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 - 9 3 - a r c t g 2 · 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Результаты совпали.

Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u (x) и v (x) , тогда их производные первого порядка v " (x) · u (x) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u " (x) · v (x) равенство ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x справедливо.

Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f (x) d x , причем ∫ f (x) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

Пример 5

Произвести вычисление определенного интеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Решение

Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке - π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.

Пусть u (x) = х, тогда d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d (u (x)) = u " (x) d x = d x , а v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x получим, что

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Решение примера можно выполнить другим образом.

Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть

Рассмотрим функцию . Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.
Теорема 2.1. Если f(x) интегрируемая на функция, то Ф(x) непрерывна на .
Доказательство . По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем , откуда, при , получаем требуемое.
Теорема 2.2. Если f(x) непрерывная на функция, то Ф’(x) = f(x) на .
Доказательство . По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем где с – некоторая точка отрезка . В силу непрерывности функции f получаем
Таким образом, Ф(x) - одна из первообразных функции f(x) следовательно, Ф(x) = F(x) + C, где F(x) - другая первообразная f(x). Далее, так как Ф(a) = 0, то 0 = F(a) + C, следовательно, C = -F(a) и поэтому Ф(x) = F(x) – F(a). Полагая x=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница

Примеры
1.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

В определенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям. В этом случае она приобретает вид

Пример.

Замена переменных в определённом интеграле

Один из вариантов результатов о замене переменных в определённом интеграле следующий.
Теорема 2.3. Пусть f(x)- непрерывна на отрезке и удовлетворяет условиям:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = b
3) производная φ’(t) определена всюду на отрезке [α, β]
4) для всех t из [α, β]
Тогда
Доказательство. Если F(x) первообразная для f(x)dx то F(φ(t)) первообразная для Поэтому F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)). Теорема доказана.
Замечание. При отказе от непрерывности функции f(x) в условиях теоремы 2.3 приходится требовать монотонности функции φ(t).

Пример. Вычислить интеграл Положим Тогда dx = 2tdt и поэтому