Изобрази движение ежика по координатному лучу. Урок математики " движение по координатному лучу"

На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также покажет два способа для вычитания суммы из числа.

В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.

В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Рис. 1. Иллюстрация сложения

Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).

Рис. 2. Вычитание

Ясно, что добавить и отнять - это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание - это взаимопротивоположные действия.

Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.

Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.

А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.

И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.

Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: . Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 - это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).

Как из 15 вычесть 7?

Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.

Становится понятно, что вычитание - это нахождение неизвестного числа разложения.

Еще раз рассмотрим пример. Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .

Если из числа нужно вычесть число :

Значит, что число нужно представить в виде двух слагаемых и .

Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.

Или еще вот такое рассуждение: вычесть - значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.

Но пока договоренность следующая: из числа вычитаем число , только если не меньше, чем . Результатом будет новое число .

Рис. 3. Названия компонентов при вычитании

Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 - это и есть разница между ними.

Таким образом, с одной стороны разность - это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны - это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.

Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?

Из 36 вычитаем 2.

Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа и .

В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков - неизвестное количество.

Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого - это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.

В классе 11 мальчиков.

Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.

Синим цветом выделены известные и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого - это и есть вычитание.

Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?

Сестра старше брата на 3 года.

Это третий тип задач - задачи на сравнение.

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение

Петя взял 4, Маша - 3, всего они взяли яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

Если записать в одну строчку:

Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось . Маша взяла еще 3, осталось .

Или, в одну строчку, .

В вазе осталось 10 яблок.

Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму - это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.

Урок на тему: Урок на тему: "Правила вычитания натуральных чисел. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 5 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по математике" для 5-6 классов
Мультимедийное учебное пособие для 5-6 классов "Понятная математика"

Какие числа называются натуральными?

- это числа, которые возникли естественным образом для счета предметов, к ним относятся числа:
Эти числа мы используем в повседневной жизни для счета и указания порядкового номера предмета в каком-либо числовом ряду.

Запомните!
Число 0 и отрицательные числа -1, -2, -3, ... не являются натуральными числами.
Наименьшим натуральным числом является число 1. Каждое следующее число в ряду натуральных чисел больше предыдущего на единицу. Наибольшего натурального числа нет, поэтому говорят, что ряд натуральных чисел бесконечен.

Вычитание - это действие, обратное сложению. С помощью операции вычитания определяется одно из двух слагаемых, если известна их сумма.
С помощью этого арифметического действия можно определить, насколько одно число больше или меньше другого.

Рассмотрим пример: 5 - 4 = 1.
В этом примере:
5 - это уменьшаемое число;
4 - это вычитаемое число;
1 - это разность двух чисел.

Что такое вычитание можно пояснить, используя координатный луч.

Связь арифметических действий "сложение" и "вычитание"

Операции сложения и вычитания взаимосвязаны.
Если операцию сложения можно представить следующим образом: A + B = C.
То операцию вычитания можно представить так: С - А = В.
Из этого следует, что результаты операции вычитание легко можно проверить с помощью сложения и наоборот.

Например, необходимо найти разность двух чисел: 78 - 18 = ?
78 - 18 = 60.
Результат решения примера проверяем операцией сложения: 60 + 18 = 78.

Правила вычитания натуральных чисел

1. Если из натурального числа вычесть число ноль, то в результате получится то же самое число.
2. Если из натурального числа вычесть это же число, то в результате получится число ноль.
3. Если из числа необходимо вычесть сумму чисел, то сначала можно из этого числа вычесть первое слагаемое, а за тем из полученной разности вычесть второе слагаемое.

Поясним третье правило на примере: 48 - (14 + 12) = 48 - 14 - 12 = 22.

4. Если из суммы чисел необходимо вычесть число, то сначала можно из первого слагаемого вычесть число, а затем к полученной разности прибавить второе слагаемое.

Поясним это правило на примере: (37 + 43) - 17 = 37 - 17 + 43 = 63.

Итак, в общем случае вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством . Запишем это утверждение с помощью букв. Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a . Например, 45−21≠21−45 .

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Следующее свойство связано с вычитанием из натурального числа суммы двух чисел. Давайте рассмотрим пример, который даст нам понимание этого свойства.

Представим, что у нас в руках находится 7 монет. Мы сначала решаем сохранить 2 монеты, но, подумав, что этого будет мало, решаем сохранить еще одну монету. На основании смысла сложения натуральных чисел можно утверждать, что в этом случае мы приняли решение сохранить количество монет, которое определяется суммой 2+1 . Итак, берем две монеты, добавляем к ним еще одну монету и помещаем их в копилку. При этом количество монет, оставшихся у нас в руках, определяется разностью 7−(2+1) .

А теперь представим, что у нас есть 7 монет, и мы помещаем в копилку 2 монеты, а после этого - еще одну монету. Математически этот процесс описывается следующим числовым выражением: (7−2)−1 .

Если пересчитать монеты, которые остаются в руках, то и в первом и во втором случаях мы имеем 4 монеты. То есть, 7−(2+1)=4 и (7−2)−1=4 , следовательно, 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое .

Напомним, что мы придали смысл вычитанию натуральных чисел лишь для случая, когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое, или равно ему. Поэтому мы можем вычесть из данного натурального числа данную сумму лишь тогда, когда эта сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число. Заметим, что при выполнении этого условия, каждое из слагаемых не превосходит натурального числа, из которого вычитается сумма.

С помощью букв свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа записывается в виде равенства a−(b+c)=(a−b)−c , где a , b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a>b+c или a=b+c .

Рассмотренное свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел , позволяют выполнять вычитание суммы трех и большего количества чисел из данного натурального числа .

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Переходим к следующему свойству, которое связано с вычитанием данного натурального числа из данной суммы двух натуральных чисел. Рассмотрим примеры, которые помогут нам «увидеть» это свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Пусть у нас в первом кармане находятся 3 конфеты, а во втором – 5 конфет, и пусть нам нужно отдать 2 конфеты. Мы это можем сделать разными способами. Разберем их по очереди.

Во-первых, мы можем сложить все конфеты в один карман, после чего оттуда достать 2 конфеты и отдать их. Опишем эти действия математически. После того, как мы сложим конфеты в один карман, их количество будет определяться суммой 3+5 . Теперь из общего количества конфет мы отдадим 2 конфеты, при этом оставшееся у нас количество конфет будет определяться следующей разностью (3+5)−2 .

Во-вторых, мы можем отдать 2 конфеты, достав их из первого кармана. В этом случае разность 3−2 определяет оставшееся количество конфет в первом кармане, а общее количество оставшихся у нас конфет будет определяться суммой (3−2)+5 .

В-третьих, мы можем отдать 2 конфеты из второго кармана. Тогда разность 5−2 будет соответствовать количеству оставшихся конфет во втором кармане, а общее оставшееся количество конфет определит сумма 3+(5−2) .

Ясно, что во всех случаях у нас останется одинаковое количество конфет. Следовательно, справедливы равенства (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) .

Если бы нам пришлось отдать не 2 , а 4 конфеты, то мы могли бы это сделать двумя способами. Во-первых, отдать 4 конфеты, предварительно сложив их все в один карман. В этом случае оставшееся количество конфет определяется выражением вида (3+5)−4 . Во-вторых, мы могли отдать 4 конфеты из второго кармана. В этом случае общее количество конфет дает следующая сумма 3+(5−4) . Понятно, что и в первом и во втором случае у нас останется одинаковое количество конфет, следовательно, справедливо равенство (3+5)−4=3+(5−4) .

Проанализировав результаты, полученные при решении предыдущих примеров, мы можем сформулировать свойство вычитания данного натурального числа из данной суммы двух чисел. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое . Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.

Запишем свойство вычитания натурального числа из суммы с помощью букв. Пусть a , b и c – некоторые натуральные числа. Тогда при условии, что a больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=(a−c)+b , а при выполнении условия, что b больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=a+(b−c) . Если и a и b больше или равно c , то справедливы оба последних равенства, и их можно записать следующим образом: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

По аналогии можно сформулировать свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел. В этом случае данное натуральное число можно вычесть из любого слагаемого (конечно, если оно больше или равно вычитаемому числу), и к полученной разности прибавить оставшиеся слагаемые.

Чтобы наглядно представить озвученное свойство, можно представить, что у нас много карманов, и в них находятся конфеты. Пусть нам нужно отдать 1 конфету. Понятно, что мы можем отдать 1 конфету из любого кармана. При этом не важно, из какого именно кармана мы ее отдадим, так как это не влияет на то количество конфет, которое у нас останется.

Приведем пример. Пусть a , b , c и d – некоторые натуральные числа. Если a>d или a=d , то разность (a+b+c)−d равна сумме (a−d)+b+c . Если b>d или b=d , то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Если же c>d или c=d , то справедливо равенство (a+b+c)−d=a+b+(c−d) .

Следует отметить, что свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел не является новым свойством, так как оно следует из свойств сложения натуральных чисел и свойства вычитания числа из суммы двух чисел.

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.