Производная функции arctg. Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a. Вывод производной арксинуса

«МОДЕЛИРОВАНИЕ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ»

ТЕСТ для учащихся 9 составлен по учебнику Н.В.Макаровой
1. Предмет, процесс или явление, имеющее уникальное имя и представляющее собой единое целое, называют:

а) моделью; г) величиной;

б) объектом ; д) идентификатором.

в) алгоритмом;

2. Моделирование - это:

а) процесс замены реального объекта (процесса, явления) моделью, отражающей его существенные признаки с точки зре­ния достижения конкретной цели;

б) процесс конструирования моделей одежды в салоне мод;

в) процесс неформальной постановки конкретной задачи;

г) процесс замены реального объекта (процесса, явления) другим материальным или идеальным объектом;

д) процесс выявления существенных признаков рассматри­ваемого объекта.
3. Представление существенных свойств и признаков объ­екта в выбранной форме называется:

а) моделированием; г) формализацией;

б) систематизацией; д) презентацией.

в) кодированием;

4. Модель - это:

а) фантастический образ реальной действительности;

б) описание объекта и его существенных свойств;

в) материальный или абстрактный заменитель объекта, от­ражающий его пространственно-временные характеристики;

г) уменьшенная копия объекта;

д) материальный или абстрактный заменитель объекта, от­ражающий его существенные с точки зрения целей моделирова­ния характеристики.
5. Модель по сравнению с моделируемым объектом содержит:

а) столько же информации; г) другую информацию;

б) больше информации; д) никакой информации.

в) меньше информации;
6. При изучении любого объекта реальной действительности можно создать:

а) единственную модель;

б) несколько различных видов моделей, каждая из которых отражает те или иные существенные признаки объекта;

в) точную копию объекта во всех проявлениях его свойств и поведения;

г) одну модель, отражающую совокупность признаков объ­екта;

д) не для всякого объекта можно построить модель.

7. Пары объектов, которые находятся в отношении «объект - модель»:

а) компьютер - данные; в) компьютер - программа;

б) компьютер - его функциональная схема ; г) компьютер - алгоритм;

д) космический аппарат - законы Ньютона и всемирного тя­готения.

8. Процесс построения модели, как правило, предполагает:

а) выделение наиболее существенных с точки зрения решае­мой задачи свойств объекта;

б) описание всех свойств исследуемого объекта;

в) выделение свойств объекта безотносительно к целям ре­шаемой задачи;

г) описание всех пространственно-временных характеристик изучаемого объекта;

д) выделение не более трех существенных признаков объекта.
9. Пары объектов, которые не находятся в отношении «объект - модель»:

а) компьютер - его фотография; г) компьютер - его техническое описание;

б) компьютер - его функциональная схема; д) компьютер - его рисунок.

в) компьютер - его процессор;
10. Динамической (описывающей изменение состояния объ­екта) моделью является:

а) формула химического соединения; г) закон всемирного тяготения;

б) формула закона Ома; д) глобус.

в) формула химической реакции ;
11. Информационной моделью, которая имеет табличную структуру, является:

а) файловая система компьютера; г) функциональная схема компьютера;

б) расписание авиарейсов ; д) модель компьютерной сети Интернет.

в) генеалогическое древо семьи;

12. Информационной моделью, которая имеет сетевую структуру, является:

а) файловая система компьютера; в) генеалогическое древо семьи;

б) таблица Менделеева; г) модель компьютерной сети Интернет

д) расписание движения поездов.

13. Натурное моделирование - это:

а) создание таблицы, содержащей информацию об объекте-оригинале;

б) создание математических формул, описывающих форму или поведение объекта-оригинала;

в) моделирование, при котором в модели узнается какой-либо отдельный признак объекта-оригинала;

г) совокупность данных, содержащих текстовую информа­цию об объекте-оригинале;

д) моделирование, при котором модель имеет визуальную схожесть с объектом-оригиналом.
14. Информационной моделью объекта нельзя считать:

а) описание объекта-оригинала с помощью математических формул;

б) описание объекта-оригинала на естественном или фор­мальном языке;

в) совокупность данных, содержащих информацию о качест­венных и количественных характеристиках объекта-оригинала в виде таблицы;

г) другой объект, не отражающий существенных признаков и свойств объекта-оригинала;

д) совокупность записанных на языке математики формул, описывающих поведение объекта-оригинала.

15. Математическая модель объекта - это:

а) совокупность записанных на языке математики формул, отражающих те или иные свойства объекта-оригинала или его поведение;

б) описание в виде схемы внутренней структуры изучаемого объекта;

в) совокупность данных, содержащих информацию о коли­чественных характеристиках объекта и его поведении в виде таблицы;

г) созданная из какого-либо материала модель, точно отра­жающая внешние признаки объекта-оригинала;

д) последовательность электрических сигналов.
16. В отношениях «объект-модель» находятся:

а) страна - ее столица; г) космический аппарат - закон всемирного тяготения;

б) болт - чертеж болта ; д) все перечисленное выше.

в) курица - цыплята;

17. К числу документов, представляющих собой информаци­онную модель управления государством, можно отнести:

а) Конституцию РФ ; г) схему Кремля;

б) географическую карту России; д) список депутатов Государственной думы.

в) Российский словарь политических терминов;
18. К информационным моделям, описывающим организа­цию учебного процесса в школе, можно отнести:

а) классный журнал; г) перечень школьных учебников;

б) перечень наглядных учебных пособий; д) расписание уроков.

в) список учащихся школы;

19. Табличная информационная модель представляет собой:

а) набор графиков, рисунков, чертежей, схем, диаграмм;

б) описание иерархической структуры строения моделируе­мого объекта;

в) систему математических формул;

г) описание объектов (или их свойств) в виде совокупности значений, размещаемых в таблице;

д) последовательность предложений на естественном языке.

20. Отметить истинное высказывание:

а) непосредственное наблюдение - это хранение инфор­мации;

б) прослушивание радиопередачи - это обработка инфор­мации;

в) запрос к информационным системам - это защита инфор­мации;

г) построение графической модели явления - это передача информации;

д) чтение справочной литературы - это поиск информации.
21. Рисунки, карты, чертежи, диаграммы, схемы, графики представляют собой:

а) табличные информационные модели; г) графические информационные модели;

б) математические модели; д) иерархические информационные модели

в) натурные модели;

22. Описание глобальной компьютерной сети Интернет в виде системы взаимосвязанных компьютеров следует рас­сматривать как:

а) натурную модель; г) математическую модель;

б) табличную модель; д) графическую модель.

в) сетевую модель;
23. Файловая система персонального компьютера наиболее адекватно может быть описана в виде:

а) табличной модели; г) натурной модели;

б) графической модели; д) математической модели.

в) иерархической модели;
24. В биологии классификация представителей животного мира представляет собой:

а) иерархическую модель; г) математическую модель;

б) табличную модель; д) натурную модель.

в) графическую модель;
25. Расписание движения поездов может рассматриваться как пример:

а) натурной модели; г) компьютерной модели;

б) математической модели; д) табличной модели .

в) графической модели;

26. Географическую карту следует рассматривать, скорее всего, как:

а) математическую информационную модель;

б) вербальную информационную модель;

в) табличную информационную модель;

г) графическую информационную модель ;

д) натурную модель.

27. К числу самых первых графических информационных мо­делей следует отнести:

а) наскальные росписи; г) строительные чертежи и планы;

б) карты поверхности Земли; д)иконы.

в) книги с иллюстрациями;
28. В качестве примера модели поведения можно назвать:

а) список учащихся школы; г) план эвакуации при пожаре;

б) план классных комнат; д) чертежи школьного здания.

в) правила техники безопасности в компьютерном классе;
29. Компьютерное имитационное моделирование ядерного взрыва позволяет:

а) экспериментально проверить влияние высокой температу­ры и облучения на природные объекты;

б) уменьшить стоимость исследований и обеспечить безо­пасность людей;

в) провести натурное исследование процессов, протекающих в природе в процессе взрыва и после взрыва;

г) получить достоверные данные о влиянии взрыва на здоро­вье людей;

д) получить достоверную информацию о влиянии ядерного взрыва на растения и животных в зоне облучения.

30. С помощью компьютерного имитационного моделирова­ния можно изучать (отметить ложное высказывание):

а) демографические процессы, протекающие в социальных системах;

б) тепловые процессы, протекающие в технических систе­мах;

в) инфляционные процессы в промышленно-экономических системах;

г) траектории движения планет и космических кораблей в безвоздушном пространстве;

д) процессы психологического взаимодействия учеников в классе.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам: