Этапы решения задачи на построение. Смешанные задачи на параллелограммы и трапеции. Основные задачи на построение

Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой.

Решение задач на построение состоит не только в том, чтобы проделать соответствующие построения, но и описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.

Этапы решения задачи на построение

Анализ

На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.

Построение

1. перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;

2. непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.

Доказательство

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи.

Основные задачи на построение

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с.

Построение:

1) Проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку А.

2) Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром А и радиусом а. Пусть В — точка ее пересечения с прямой.

3) Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.

Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Задача 2. Построить угол, равный данному.

Построение:

1) Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла.

2) Проведем луч с началом в точке О.

3) Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим М.

4) Опишем окружность с центром М и радиусом ВС. Точка К пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла.

∠ВАС=∠КОМ т.к. Δ ABC = Δ ОКМ (третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла А.

Построение:
1) Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла.
2) Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А.
3) Проведем луч AD. Луч AD делит угол А пополам.

∠ВАD=∠DAC т.к. Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).

Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.

Построение:
1) Из точки А проводим окружность, радиус которой больше половины отрезка АВ.
2) Из точки В проводим окружность того же радиуса, что и из точки А.
3) Окружности пересекутся между собой в точках С и D. Прямая CD - искомый перпендикуляр.

CD перпендикулярна АВ и АО=ОВ, т.к. из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В, а следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Задача 5. Разделить данный отрезок пополам.

Построение проводится также как и в задаче 4.

Задача 6. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.

1 случай: данная точка О лежит на данной прямой а.

Построение:

1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В.
2) Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. С и D — точки их пересечения.
3) Проведем прямую CO. Получаем ОС ⊥ AB.

ОС ⊥ AB, т.к. Δ АСВ — равнобедренный (СА = СВ). Отрезок СО - медиана этого треугольника (АО=ОВ), а следовательно, и высота.

2 случай: данная точка О не лежит на данной прямой а.

Построение:
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В.
2) Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Точки О и С — точки их пересечения.
3) Проводим прямую ОС. ОС ⊥ AB.

ОС ⊥ AB, т.к. точки О и С равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) При помощи циркуля и линейки разделите отрезок на 4 равные отрезка.

б) При помощи циркуля и линейки разделите угол на 4 равных угла.

Решение:
а) Дано: отрезок АВ

1. Из точки А проведем окружность, радиусом, большим 0,5АВ.

2. Из точки В проведем окружность с тем же радиусом.

3. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ. АО=ОВ.

4. Из точки А проведем окружность радиусом, большим 0,5АО.

5. Из точки О проведем окружность с тем же радиусом.

6. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О1 - точка пересечения этой прямой и отрезка АО. АО1=О1О.

7. Аналогично разделим отрезок ОВ на два равных: ОО2=О2В.

Доказательство:

Отрезок АВ разделен на четыре равных отрезка, т.к. АО=ОВ и АО1=О1О, и ОО2=О2В.

2. а) По катету и прилежащему к нему острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.

б) По гипотенузе и острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.

Решение:
а)

2. Из точки В построим прямую, перпендикулярную прямой.
3. Из точки В построим угол, равный углу О.
4. Сторона угла пересекает построенный перпендикуляр в точке С.
АВС - искомый треугольник.
Доказательство:
В треугольнике АВС угол В - прямой, сторона АВ=а, угол САВ равен углу О. Искомый и построенный треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

3. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. Заданные стороны возьмите произвольно.
б) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к этому основанию.
Решение:
а) Т.к. в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то построение треугольника сводится к построению по трем сторонам.
1. На прямой отметим точку А и от точки А отложим отрезок, равный отрезку а, отметим точку В.
2. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра В, и раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.

Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, b, т.е. треугольник АВС - равнобедренный и равен искомому по трем сторонам.

4. а) Постройте прямоугольник по диагонали и стороне. Заданные отрезки возьмите произвольно.
б) Постройте прямоугольник по двум сторонам. Заданные отрезки возьмите произвольно.
Решение:
а) Если известны диагональ и сторона прямоугольника, то можно построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

1. На прямой m отметим точку А и отложим отрезок AD, равный отрезку а.
2. Из точки А проведем окружность радиусом, равным отрезку d.
3. Из точки D построим прямую l, перпендикулярную прямой m.
4. Прямая l и окружность, построенная из точки А пересекаются в точке С.
5. Из точки D проведем окружность, радиусом d.
6. Из точки А проведем окружность радиусом СD.
7. Окружности пересекаются в точке В.
ABCD - прямоугольник.
Доказательство:
АВСD - параллелограмм (из равенства треугольников ABD и АCD: АВ=CD и AB||CD).
А т.к диагонали параллелограмма равны: АС=BD по построению, то он является прямоугольником.


5. а) Разделите данный отрезок на три равные отрезка.
б) Разделите данный отрезок на пять равных отрезков.
Решение:
а)

1. Из точки А проведем луч и отметим на нем с помощью циркуля три равных отрезка: АА1, А1А2, А2А3.

2. Соединим точки А3 и В.

3. На отрезке А3В возьмет произвольно точку О и построим через эту точку перпендикуляр m к прямой А3В.

4. Из точки А2 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В2 - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.

5. Из точки А1 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В1 - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.

АВ1=В1В2=В2В.

Доказательство:

Т.к. перпендикуляры к одной прямой параллельны между собой, то по обобщенной теореме Фалеса АВ1=В1В2=В2В.

6. а) При помощи циркуля и линейки провести касательную к окружности с заданным центром из точки, которая лежит не на окружности.
б) При помощи циркуля и линейки постройте центр заданной окружности.
Решение:
а) Т.к. касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то нам необходимо построить прямоугольный треугольник, зная гипотенузу и то, что прямой угол лежит на окружности. Если около этого треугольника описать окружность, то ее радиус равен половине гипотенузы.
Пусть О - центр окружности, А - данная точка.
1. Проведем отрезок ОА.
2. Найдем его середину К: ОК=КА.
3. Из точки К построим окружность радиусом ОК.
4. Окружности с центрами О и К пересекаются в точке В.
5. Проведем прямую АВ.
Прямая АВ является касательной к окружности.
Доказательство:
Треугольник ОАВ - прямоугольный (гипотенуза равна диаметру) по построению, а т.к. ОВ - радиус и сторона АВ перпендикулярна стороне АВ, то АВ - касательная.


7. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и и диагонали.
б) При помощи циркуля и линейки п остройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и боковой стороне.
Решение:
а)

1. На прямой m отложим отрезок AD, равный b.

2. От точки D на прямой m отложим отрезок DK, равный а.

3. Из точек А и К как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей С.

2. От точки А на прямой m отложим отрезок АМ, равный а.

3. Из точек M и D как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей B.

ABCD - равнобедренная трапеция.

Доказательство:

ВСKD - параллелограмм по построению, следовательно, ВС=DK и BC||DK.

Треугольники MBA и KCD равны по построению, следовательно AB=CD.

8. а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным проекциям катетов на гипотенузу.
б) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным катету и его проекции на гипотенузу.
Решение:
а) Искомый треугольник - прямоугольный, т.к. известны проекции катетов a и b на гипотенузу, то гипотенуза равна a+b. Третья вершина треугольника лежит на описанной около этого треугольника окружности (R=(a+b)/2) и высоте, проведенной из точки пересечения проекций к гипотенузе.

1. На прямой m отложим отрезок АК, равный отрезку а.

2. От точки К на прямой m отложим отрезок КВ, равный отрезку b.

3. Найдем середину О отрезка АВ.

4. Проведем окружность с центром в точке О и радиусом АО.

4. Из точки К построим прямую, перпендикулярную прямой m/

АСВ - искомый прямоугольный треугольник.

Доказательство:

Треугольник АСВ - прямоугольный, т.к. Точка С лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза треугольника. Также точка С лежит на высоте проведенной к гипотенузе, причем проекции равны отрезкам a и b по построению.

9. а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным гипотенузе и острому углу, синус которого равен 4/5.
б) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным высоте, опущенной на гипотенузу и острому углу, синус которого равен 4/5.
Решение:
а) Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, следовательно, если разбить гипотенузу на пять равных отрезков, то катет равен четырем из них. Найдем второй катет: пусть первый катет - 4х, гипотенуза - 5х, то по теореме Пифагора прилежащий катет равен 3х.
Построение сводится к построению треугольника по трем сторонам.

1. На прямой m отложим отрезок АС, равный а.
2. Проведем произвольный луч из точки А, отметим на нем пять равных отрезков: АА1, А1А2, А2А3, А3А4, А4А5. Соединим точки А5 и С, проведем параллельные прямые к прямой А5С через точки А3 и А4, они пересекут отрезок АС в точках С3 и С4.
3. Из точки А проведем окружность радиусом АС3, из точки С проведем окружность радиусом АС4.
4. Точка В - точка пересечения окружностей.
АВС - искомый прямоугольный треугольник.

Доказательство:
Построенный треугольник равен искомому по трем сторонам.

Построить прямую, касающуюся этой окружности в данной точке.

466. Построить треугольник по трем его медианам.

467. Построить треугольник по двум данным углам при основании и данному его периметру.

468. Построить треугольник по основанию с, медиане ш„высоте й,.

469. Построить равнобедренный треугольник по высоте (й,), опущенной на основание, и высоте (й,), опущенной на боковую сторону.

470. Построить треугольник АВС, если известны угол С, высота й, и периметр-его 2р.

471. Построить треугольник по углу А, высоте й, и биссектрисе того же угла 1,.

472. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и радиусу вписанного круга.

473. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по сумме гипотенузы с высотой, опущенной на нее.

474. Построить параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между ними.

475. Построить параллелограмм по данному его углу и диагоналям (И, и И,).

476. Построить параллелограмм по основанию, высоте и тупому углу между диагоналями, обращенному к основанию.

477. Построить параллелограмм по его двум" высотам (й~ и й,) и острому углу.

478. Построить ромб по углу, образованному диагональю со стороной, и по сумме (ш) его диагоналей.

479. Построить трапецию, если даны: большее основание (а), средняя линия (Ь), углы а и б при меньшем основанни.

480. Из данного треугольника прямыми, параллельными большей стороне, вырезать трапецию та«, чтобы средняя линия ее равнялась отрезку и, а высота - отрезку Ь,

481. Построить квадрат по разности (т) между диагональю и стороной.

1П. Задачи на доказательство

482. Дан ромб. Построены биссектрисы его внешних углов до взаимного пересечения. Определить вид образовавшегося четырехугольника и доказать, что его периметр вдвое больше суммы диагоналей ромба.

483. Доказать, что если биссектрисы углов при основа

нии равностороннего треугольника продолжить до взаим

ного пересечения и из середины полученных отрезков восставить к ним перпендикуляры, то основание треугольника рассечется этими перпендикулярами на 3 равные части.

484. В треугольнике АВС сторона ВС продолжена эа точку С. Проведены биссектрисы углов АСР и АВС. Доказать, что угол Е, образовавшийся при пересечении биссектрис, равен половине угла А.

485. В треугольнике АВС на большей стороне АВ отложен отрезок ВР = ВС. Доказать, что СР разделит угол С на два угла, из которых один равен полусумме углов ВАС и АСВ, а другой - их полуразности.

486. Доказать, что сумма расстояний от какой-нибудь точки М, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. д 487. На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки до боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону.

488. В параллелограмме АВСР точка М - середина ВС, а У - середина СР. Доказать, что прямые АМ и АУ делят диагональ ВР на 3 равные части.

489. Доказать, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечейии образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.

490. Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.

491.. Диагонали параллелограмма АВСР пересекаются в точке О. Доказать, что точки пересечения биссектрис каждого иэ треугольников АВО, ВСО, СРО, РАО служат вершинами ромба.

§ 5. Параллелограммы и трапеции .

Углы и стороны параллелограмма.

1, Один из углов параллелограмма равен 3 / 7 d. Определить остальные углы.

2. Определить углы параллелограмма, если один из них больше другого на 3 / 11 d.

3. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 9 см и составляет 3 / 10 всего периметра. Определить другие стороны этого параллелограмма.

4. Две стороны параллелограмма относятся, как 3: 4, а периметр его равен 2,8 м. Определить стороны.

5. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Определить отрезки BE и ЕС, если AВ=9 см и AD = 15 см.

6. На чём основано устройство чертёжных инструментов, называемых „параллельными линейками" (черт. 11)?

7. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащие к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.

Диагонали параллелограмма.

8. Одна из сторон параллелограмма равна 5 м. Могут ли его диагонали выражаться следующими числами: 1) 4 м и 6 м; 2) 4 м и 3 м; 3) 6 м и 7 м?

9. Доказать, что всякий четырёхугольник, диагонали которого взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.

10. Может ли диагональ параллелограмма равняться его стороне?

11. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Доказать, что отрезок её между параллельными сторонами делится в этой точке пополам.

12. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки BE = 2 м и AF=2,8 м. Определить стороны ВС и AD.

13. В параллелограмме ABCD высота, которая проведена из вершины В, делит основание AD пополам. Определить диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма содержит 3,8 м и превышает периметр треугольника ABD на 1 м.

Построение параллелограмма.

14. Построить параллелограмм, стороны которого даны, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

15. Построить параллелограмм:

1) по двум сторонам длиной в 2 см и 3 см и углу между ними, содержащему 110°;

2) по двум сторонам, равным 2,1 см и 3,2 см, и одной из диагоналей, равной 4,0 см;

3) по двум диагоналям, равным 6,0 см и 5,0 см, и одной из сторон, равной 4,5 см;

4) по двум диагоналям, равным 5 см и 4 см, и углу между ними, равному 135°;

5) по основанию, равному 2,0 см, высоте, равной 1,5 см, и диагонали, равной 3,2 см.

Разные задачи на параллелограммы.

16. Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 5 дм. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислить периметр получившегося параллелограмма.

17. В параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен 1 5 / 11 d. Определить углы параллелограмма.

18. Середины Е и F параллельных сторон ВС и AD параллелограмма ABCD соединены прямыми с вершинами D и В (черт. 12). Доказать, что эти прямые делят диагональ АС на три равные части.

19. Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр получившегося параллелограмма не зависит от положения точки и равен сумме боковых сторон треугольника.

Прямоугольник.

20. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол, равный 2 / 5 d. Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне.

21. В прямоугольнике определить угол между меньшей стороной и диагональю, если он на 1 / 3 d меньше угла между диагоналями, опирающегося на ту же сторону.

22. Существует ли внутри прямоугольника точка, одинаково удалённая: 1) от всех его сторон? 2) от всех его вершин?

23. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.

24. В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом в 2 / 3 d. Сумма обеих диагоналей и обеих меньших сторон равна 3,6 м. Определить длину диагоналей.

25. ABCD- данный прямоугольник; М - середина стороны ВС. Дано, что прямые МА и MD взаимно перпендикулярны и что периметр прямоугольника ABCD равен 24 м. Определить его стороны.

26. Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

27. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найти периметр прямоугольника.

28. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие - на катетах. Определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся, как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.

29. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит её в отношении 1:3. Определить длину диагонали, если известно, что точка её пересечения с другой диагональю удалена от большей стороны на 2 м.

30. Построить прямоугольник:

1) по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см;

2) по диагонали, равной 4,2 см, и углу между диагоналями, равному 135°;

3) по основанию, равному 3,2 см, и углу между диагоналями, равному 120°.

Геометрическое место точек, равноудалённых от прямой.

31. Найти на данной прямой АВ точку, которая находится на расстоянии т (= 2 см) от другой данной прямой CD.

32. Найти точку, находящуюся на равном расстоянии от двух данных точек и на расстоянии а (= 6 см) от данной прямой.

33. Внутри данного угла найти точку, находящуюся на расстояниях т (= 1 см) и n (= 2 см) от сторон угла.

34. 1) Внутри данного угла построен другой, одноимённый угол, стороны которого параллельны сторонам данного и равно отстоят от них. Доказать, что биссектрисы обоих углов совпадают.

2) Разделить пополам угол, вершина которого не помещается на чертеже.

35. Между сторонами данного острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен к одной стороне угла.

Ромб.

36. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Определить углы ромба.

37. Доказать, что:

1) всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть ромб;

2) всякий параллелограмм, у которого диагональ делит угол пополам, есть ромб.

38. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна 3 / 17 d. Определить углы ромба.

39. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся, как 5:4. Определить углы ромба.

40. Определить углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

41. Периметр ромба равен 8 см, высота 1 см. Найти тупой угол ромба.

42. Построить ромб:

1) по стороне, равной 2,7 см, и диагонали, равной 6,0 см;

2) по двум диагоналям, равным 4 см и 3 см;

3) по высоте, равной 2,2 см, и диагонали, равной 4,2 см;

4) по углу, содержащему 70°, и диагонали, проходящей через вершину этого угла и равной 3,7 см;

5) по диагонали, равной 5 см, и противолежащему углу, равному 120°.

Квадрат.

43. Построить квадрат по диагонали, равной 3,8 см.

44. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные части: AA 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 , D 1 соединены последовательно прямыми. Доказать, что A 1 B 1 C 1 D 1 есть также квадрат.

45. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найти периметр квадрата.

46. В прямоугольном треугольнике прямой угол разделён пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырёхугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.

47. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две - на катетах. Определить сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.

48. Дан квадрат, сторона которого 1 м; диагональ его служит стороной другого квадрата. Найти диагональ последнего.

49. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его служит диагональю другого квадрата. Найти сторону последнего.

50. 1) Доказать, что биссектрисы углов прямоугольника своим пересечением образуют квадрат.

2) Стороны прямоугольника 1 см и 3 см. Определить диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов.

51. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определить стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое более другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

52. На катетах прямоугольного треугольника ABC построены два квадрата (черт. 13). Из вершин D и Н этих квадратов на продолжение гипотенузы опущены два перпендикуляра: DK и НМ. Доказать, что: 1.) данный треугольник ABC можно составить из двух заштрихованных треугольников; 2) сумма перпендикуляров НМ и DK равна гипотенузе.

Средняя линия треугольника.

53. На половине длины стропильных ног, концы которых раздвинуты на 5 м, устроена затяжка (ригель). Определить её длину.

54. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найти стороны треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.

55. Периметр треугольника равен 12 см; середины сторон соединены последовательно. Найти периметр полученного треугольника.

56. Стороны треугольника относятся, как 3:4:6. Соединив середины всех сторон, получим треугольник с периметром в 5,2 м. Определить стороны данного треугольника.

57. По разные стороны от данной прямой MN даны две точки А и В на расстояниях 10 дм и 4 дм от неё. Найти расстояние середины О отрезка АВ от данной прямой.

58. Высота равностороннего треугольника равна 6 дм. Найти проекцию данной высоты на другую высоту.

59. Через вершину тупого угла тупоугольного треугольника проведена вне его прямая;, проекции прилежащих к тупому углу сторон на эту прямую равны 4 см и 2 см. Определить проекции всех медиан на ту же прямую.

60. Внутри произвольного угла взята точка М. Провести через точку М прямую так, чтобы отрезок её, заключённый между сторонами угла, делился в точке М пополам.

Трапеция.

61. В трапеции ABCD из вершины В проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с бoльшим основанием AD. Периметр треугольника ABE равен 1 м, и длина ED равна 3 дм. Определить периметр трапеции.

62. Боковая сторона трапеции разделена на 6 равных частей, и из точек деления проведены к другой боковой стороне отрезки, параллельные основанию. Определить длины этих отрезков, если основания трапеции равны 10 см и 28 см.

63. В трапеции ABCD (AD - большее основание) дано:
AC_|_CD; АВ = ВС; / CAD = 2 / 7 d. Определить углы этой трапеции.

64. В трапеции ABCD (AD -большее основание) диагональ АС перпендикулярна к стороне CD и делит / ВАD пополам; / CDA = 60°; периметр трапеции равен 2м. Определить AD.

65. Пусть AD означает большее основание трапеции ABCD. Могут ли углы А, В, С и D относиться между собой, как 2:5:6:3?

Средняя линия трапеции.

66. Основания трапеции относятся, как 7:3, и разнятся на 3,2 м. Найти длину средней линии этой трапеции.

67. Основания трапеции равны 2,4 м и 3 м. Внутри этой, трапеции проведена между боковыми сторонами прямая, параллельная основаниям, которая равна 2,8 м. Одинаково ли удалена эта прямая от обоих оснований и если нет, то к какому основанию она ближе?

68. В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны АВ проведена прямая, параллельная основаниям, до встречи в точке F с боковой стороной CD; из вершины В проведена прямая, параллельная стороне CD, до встречи в точке G с бoльшим основанием AD. Определить длину оснований, если EF=12 см и АG = 1 см.

69. В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны АВ проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке G с бoльшим основанием AD. Определить основания трапеции, если AG = 5 дм и GD = 2,5 м.

70. Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 дм. Определить основания трапеции.

71. Найти отношение между параллельными сторонами трапеции, в которой средняя линия делится двумя диагоналями на 3 равные части.

Равнобедренная трапеция.

72. Доказать, что в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

73. В данной равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр содержит 24 м. Определить боковую сторону.

74. Определить углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противоположных углов равна 8 / 13 d.

75. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Определить углы трапеции.

76. ABCD - равнобедренная трапеция, причём AD - большее основание. Разность между периметрами треугольников ACD и ВАС равна 6 дм, а средняя линия трапеции равна 12 дм. Определить основания.

77. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам; периметр этой трапеции равен 4,5 м, а большее основание равно 1,5 м. Определить меньшее основание.

78. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки в 6 см и 30 см. Определить основания этой трапеции.

79. ABCD - равнобедренная трапеция, причём AD-большее основание; СЕ - высота, проведённая на AD. Зная, что DE равно 1,25 м и что средняя линия трапеции равна 2,75 м, определить основания.

80. В равнобедренной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними равен 60°. Определить меньшее основание.

81. В равнобедренной трапеции острый угол равен 45°, высота её равна h метрам, а средняя линия равна т метрам. Определить основания трапеции.

82. В равнобедренной трапеции высота равна 10 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти среднюю линию.

Прямоугольная трапеция.

83. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника: равносторонний со стороной а и прямоугольный. Определить среднюю линию трапеции.

84. В прямоугольной трапеции ABCD острый угол ADC = 1 / 2 d и сторона AD = a . Из середины E стороны CD проведён к ней перпендикуляр, который встречает продолжение стороны ВА в точке F. Требуется определить длину BF.

Построение трапеции.

85. Построить трапецию: 1) по двум боковым сторонам, равным 1,5 см и 2 см, и основаниям, равным 5 см и 2,3 см;

2) по одному из оснований, равному 4,8 см, высоте, равной 3,2 см, и двум диагоналям, равным 4,2 см и 5 см;

3) по основанию, равному 4 см, боковой стороне, равной 2,4 см, углу между ними, содержащему 72°, и другой боковой стороне, равной 3 см.

86. Построить трапецию:

1) по четырём сторонам (всегда ли построение возможно?);

2) по двум основаниям и по двум диагоналям (условие возможности построения?).

Смешанные задачи на параллелограммы и трапеции.

87. Определить вид четырёхугольника, вершинами которого служат середины сторон данного: 1) произвольного четырёхугольника; 2) параллелограмма; 3) прямоугольника; 4) ромба; 5)квадрата; 6)трапеции.

88. В четырёхугольнике диагонали равны 1 м и 8 дм и пересекаются под углом в 56°25". Определить стороны и углы четырёхугольника, который получим, соединяя середины сторон данного.

89. В треугольнике ABC биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D; прямая, проведённая из D параллельно СА, пересекает АВ в точке Е; прямая, проведённая из Е параллельно ВС, пересекает АС в F. Доказать, что ЕА = FC.

90. 1) На основании равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что сумма расстояний этой точки от обеих боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону.

2) На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки от боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону.

Центральная симметрия.

91. Найти наименьший угол поворота, при котором совмещаются сами с собой: 1) квадрат; 2) ромб; 3) прямоугольник; 4) пятиконечная звезда.

92. Доказать, что прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей прямоугольника (черт. 14), делит прямоугольник на два центрально-симметричных четырёхугольника.

93. Рассмотреть чертёж (черт. 15) и доказать, что точки М и N, К и L центрально-симметричны, т. е. находятся на одинаковом расстоянии от центра. Каким построением получаются в параллелограмме центрально-симметричные точки?

Этапы решения задачи на построение

Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа:

анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каж­дый из них в отдельности.

1. Анализ. На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности, алгоритма, состоящего из основных или элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической задачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопровож­дается чертежом, иллюстрацией, помогающими установить связи и зависимости между данными и искомыми фигурами.

2. Построение. Этот этап решения представляет собой непосредст­венную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения.

3. Доказательство. Его цель - доказательство того, что построен­ная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовле­творяет всем поставленным в задаче условиям.

4. Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всег­да ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом разными счи­таются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с которой связыва­лось построение).

Проиллюстрируем эти этапы на конкретном примере.

Задача. Построить параллелограмм по ос­нованию а, высоте h и одной из диагоналей d .

Согласно условию, данными являются отрез­ки, представляющие основание, высоту и диагональ параллелограмма (рис.). Все эти фигуры считаются уже построенными, и поэтому объяснение не требуется.

1. Анализ . Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что иско­мый параллелограмм АВСD уже построен (рис.). Отмечаем на чертеже данные элементы: ВС = а , ВН = h, DВ=d.

Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма. От­мечаем, что противоположные стороны АВ и DС лежат на параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте h . Поэтому можно построить треугольник АВD и затем достроить его до параллело­грамма АВСD. Получим следующий алгоритм построения искомой фигуры:

1) Строим параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h друг от друга.

2) На прямой МК откладываем отрезок АD = а.

3) Из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность и находим точку В ее пересечения с прямой РQ.

4) На луче ВQ откладываем отрезок ВС = а.

5) Строим отрезки АВ и СD.

2. Построение . Все этапы алгоритма построения выполняем циркулем и линейкой непосредственно на чертеже с использованием заданных элементов (рис. 157).

3. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Его противоположные стороны АD и ВС параллельны, так как лежат на па­раллельных прямых МК и РQ. Эти же стороны равны по построению:

АD = ВС = а. Значит, АВСD - параллелограмм, у которого АD = а, ВD = d , а высота равна h, так как расстояние между параллельными прямыми МК и РQ равно h (по построению). Следовательно, АВСD - искомый параллелограмм.

4. Исследование. Проверим возможность построения паралле­лограмма АВСD непосредственно по шагам алгоритма построения.

1) Параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h всегда можно построить, и притом единственным образом.

2) Построить отрезок АD = а на прямой МК также всегда можно, и притом единственным образом.

3) Окружность, проведенная из центра D радиусом d, будет иметь общие точки с прямой РQ только тогда, когда d ≥ h . Если d = h , то по­лучится одна общая точка В, если же d > h, то две общие точки В и В".

5) Эти построения всегда однозначно выполнимы. Таким образом, решение возможно, если d ≥ h . Если d = h , то зада­ча имеет единственное решение, если же d > h , то два решения.

Упражнения

1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по из­вестным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?

2. Даны отрезок р, два угла α и β. Всегда ли можно построить тре­угольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы рав­ны α и β.

3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у ко­торого известны его стороны а и в.

4. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:

а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;

б) квадрат со стороной р;

в) квадрат, диагональ которого задана.

5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?

6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.

7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.

8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по:

а) известным диагоналям;

б) известной стороне и одному из углов при его вершине;

в) углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла;

г) стороне и диагонали.

9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

10. По каким данным можно построить равнобедренный треуголь­ник? Во всех возможных случаях выполните построения.

3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.

Пусть на плоскости (в пространстве) задана фигура F. Поставим в соответствие каждой точке данной фигуры F единственную точку плоскости (пространства). Получим новую фигуру F". В этом случае говорят, что фигура F" получена преобразованием фигуры F. При этом фигура F" является образом фигуры F для данного преобразования, а фигуры F – прообразом фигуры F". Существует несколько видов преобразований: симметрия относительно точки (центральная симметрия) , симметрия относительно прямой (осевая симметрия), симметрия относительно плоскости, гомотетия и др.

Симметрия относительно точки. Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка. Точка Х " называется симметричной точке Х относительно точки О, если точки Х, О, Х" лежат на одной прямой и ОХ = О Х ". Точка, симметричная точке Х ", есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х", симметричную Х относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то фигура называется центрально-симметричной относительно точки О, а точка О – ее центром симметрии. Примеры – параллелограмм, окружность, куб, сфера, параллелепипед.

Пусть m – фиксированная прямая и Х – произвольная точка. Точка Х " называется симметричной точке Х относительно прямой m, если прямая ХХ" перпендикулярна прямой m и ОХ = О Х ", где точка О – точка пересечения прямых ХХ" и m. Точка, симметричная точке Х, лежащей на прямой m, есть сама точка Х. Точка, симметричная точке Х ", есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х", симметричную Х относительно данной прямой m, называется преобразованием симметрии относительно прямой m. Прямая m называется осью симметрии.

Гомотетия . Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k∙ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка Х переходит в такую точку Х", что ОХ = k∙ОХ", называется гомотетией относительно центра О, число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F" называются гомотетичными.

Движение – преобразование фигуры F в фигуру F", при котором сохраняется расстояние между точками, т.е. движение переводит любые две точки Х и Y фигуры F в точки Х " и Y" фигуры F" так, что ХY = Х "Y".

Преобразование симметрии относительно точки является движением (центральная симметрия) .

Преобразование симметрии относительно прямой является движением(осевая симметрия) .

Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.

Основные выводы

Рассмотрев материал данного параграфа, выяснили, что построе­ние геометрических фигур с заданными свойствами при помощи цир­куля и линейки осуществляется по определенным правилам. Прежде всего, надо знать, какие построения можно выполнять с помощью линейки, не имеющей делений, и с помощью циркуля. Эти построения называют основными. Кроме того, надо уметь решать элементарные задачи на построение, т.е. уметь строить: отрезок, равный данному; угол, равный данному; середину отрезка; биссектрису угла; прямую, перпендикулярную данной прямой, и проходящую через данную точку.

Процесс решения более сложных задач на построение разбивается на 4 этапа и основывается на умении решать элементарные задачи.