Числа произвольно делят три группы. Элементы теории чисел. Наименьшее общее кратное
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями
Оборудование : маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор
Тип урока : урок-лекция
Цели урока :
- воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
- развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
- образовательные : сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур
Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.
Ход урока
В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.
Криволинейная трапеция (слайд 1 )
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м. ), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс
Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)
Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая
Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)
Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f
И на отрезке [a; b ] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:
Задание 1:
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.
Решение: (по алгоритму слайд 3 )
Начертим график функции и прямые
Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :
Самопроверка по слайду
Интеграл
Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.
Запишем эти рассуждения в виде формул.
Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму
Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)
Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)
Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,
Определение:
Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм
= (щ.м.)
Формула Ньютона- Лейбница.
Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:
Sк.т. =(щ.м.)
С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
S к. т.(щ.м.)
Сравнивая эти формулы, получим:
= (щ.м.)Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.
Для удобства вычислений формулу записывают в виде:
= = (щ.м.)Задания: (щ.м.)
1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )
2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )
Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )
Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?
Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)
Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:
- Построить графики функций
- Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
- Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
- Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
- Вычислить площадь каждой из них
- Найти разность или сумму площадей
Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)
Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).
Список литературы
- Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
- Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
- Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.
Фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $$ функции $f(x)$ и прямыми $y=0, \ x=a$ и $x=b$, называется криволинейной трапецией.
Площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
$S=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}.$ (*)
Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции мы будем условно делить на $4$ типа. Рассмотрим каждый тип подробнее.
I тип: криволинейная трапеция задана явно. Тогда сразу применяем формулу (*).
Например, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=4-(x-2)^{2}$, и прямыми $y=0, \ x=1$ и $x=3$.
Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Применяя формулу (*), найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{1}^{3}{\left(4-(x-2)^{2}\right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{4dx}-\int\limits_{1}^{3}{(x-2)^{2}dx}=4x|_{1}^{3} – \left.\frac{(x-2)^{3}}{3}\right|_{1}^{3}=$
$=4(3-1)-\frac{1}{3}\left((3-2)^{3}-(1-2)^{3}\right)=4 \cdot 2 – \frac{1}{3}\left((1)^{3}-(-1)^{3}\right) = 8 – \frac{1}{3}(1+1) =$
$=8-\frac{2}{3}=7\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
II тип: криволинейная трапеция задана неявно. У этого случая обычно не задаются или задаются частично прямые $x=a, \ x=b$. В этом случае нужно найти точки пересечения функций $y=f(x)$ и $y=0$. Эти точки и будут точками $a$ и $b$.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=1-x^{2}$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения. Для этого приравняем правые части функций.
Таким образом, $a=-1$, а $b=1$. Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{1dx}-\int\limits_{-1}^{1}{x^{2}dx}=x|_{-1}^{1} – \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=$
$=(1-(-1))-\frac{1}{3}\left(1^{3}-(-1)^{3}\right)=2 – \frac{1}{3}\left(1+1\right) = 2 – \frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
III тип: площадь фигуры, ограниченной пересечением двух непрерывных неотрицательных функций. Эта фигура не будет криволинейной трапецией, а значит с помощью формулы (*) её площадь не вычислишь. Как же быть? Оказывается, площадь этой фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных верхней функцией и $y=0$ ($S_{uf}$), и нижней функцией и $y=0$ ($S_{lf}$), где в роли $x=a, \ x=b$ выступают координаты по $x$ точек пересечения данных функций, т.е.
$S=S_{uf}-S_{lf}$. (**)
Самое главное при вычислении таких площадей – не “промахнуться” с выбором верхней и нижней функции.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной функциями $y=x^{2}$ и $y=x+6$.
Найдём точки пересечения этих графиков:
По теореме Виета,
$x_{1}=-2, \ x_{2}=3.$
То есть, $a=-2, \ b=3$. Изобразим фигуру:
Таким образом, верхняя функция – $y=x+6$, а нижняя – $y=x^{2}$. Далее, найдём $S_{uf}$ и $S_{lf}$ по формуле (*).
$S_{uf}=\int\limits_{-2}^{3}{(x+6)dx}=\int\limits_{-2}^{3}{xdx}+\int\limits_{-2}^{3}{6dx}=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-2}^{3} + 6x|_{-2}^{3}= 32,5$ (ед.$^{2}$).
$S_{lf}=\int\limits_{-2}^{3}{x^{2}dx}=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-2}^{3} = \frac{35}{3}$ (ед.$^{2}$).
Подставим найденное в (**) и получим:
$S=32,5-\frac{35}{3}= \frac{125}{6}$ (ед.$^{2}$).
IV тип: площадь фигуры, ограниченной функцией (-ями), не удовлетворяющей(-ими) условию неотрицательности. Для того, чтобы найти площадь такой фигуры нужно симметрично относительно оси $Ox$ (иными словами, поставить “минусы” перед функциями) отобразить область и с помощью способов, изложенных в типах I – III, найти площадь отображённой области. Эта площадь и будет искомой площадью. Предварительно, возможно, вам придётся найти точки пересечения графиков функций.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^{2}-1$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения графиков функций:
т.е. $a=-1$, а $b=1$. Начертим область.
Симметрично отобразим область:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^{2}-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^{2}-1) = 1-x^{2}$.
Получится криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=1-x^{2}$ и $y=0$. Это задача на нахождение криволинейной трапеции второго типа. Мы её уже решали. Ответ был такой: $S= 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$). Значит, площадь искомой криволинейной трапеции равна:
$S=1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
a-b – положительное число, то a>b .
Если при сравнении чисел a и b разность a-b
– отрицательное число, то a
Если неравенства записываются знаками < или >, то их называют строгими неравенствами.
Если неравенства записывают знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.
Примеры.
1. Сравните числа а и b по их разности.
а) a-b=-7. Решение.
Так как разность a-b – отрицательное число, то a б) a-b=4,5. Решение.
Так как разность a-b – положительное число, то a>b. в) a-b=0. Решение.
Так как разность a-b равна нулю, то a=b. 2.
Сравните данные числа. а) 0,099 и 0,1. Решение.
Десятичные дроби сравниваются поразрядно: из двух чисел больше то, которое содержит больше единиц высшего разряда. 0,099 < 0,1, так как 0<1 (сравнили десятые доли чисел). б) -5,43 и -5,6. Решение. -5,43 > -5,6, так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. так как из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, а меньше та, числитель которой меньше. так как из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше, а меньше та, знаменатель которой больше. Решение.
Приведем дроби к общему знаменателю. Получаем: Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями. Получаем: 3.
Записать в виде двойного неравенства: 6 < 12 и 12 < 15. Решение
. 6 < 12 < 15. Читают: двенадцать больше шести и меньше пятнадцати. 4.
— 4 ≤ х < 3. Решение:
-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2. 5.
Задания для самостоятельного решения. 5.1
Сравните с нулем разность чисел а и b, если а) a 5.2.
Сравните данные числа. а) -2,467 и -2,476; б) 8,98 и 8,899; 5.3.
Выписать все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству: а) -5 ≤ х < 1; б) -3 < x ≤ 3; в) 4 < x < 9; г) -8 ≤ x ≤ -4. Ответы.
5.1.
а
.
a-b<0; 5.1.
б
.
a-b>0; 5.1.
в
.
a-b=0. 5.2.
а
.
-2,467 > -2,476; 5.2.б.
8,98 > 8,899; 5.3.а
-5; -4; -3; -2; -1; 0; 5.3.б.
-2; -1; 0; 1; 2; 3; 5.3.в.
5; 6; 7; 8; 5.3.г.
-8; -7; -6; -5; -4. Примеры. Решить уравнение. 1.
1,5х+4 = 0,3х-2. 1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: 1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: х = -6 :
1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь: чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:
6 :
1,2 = 60 :
12 = 5. Ответ:
5. 2.
3∙
(2х-9) = 4∙
(х-4). 6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) ∙
c = a ∙
c-b ∙
c. 6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 11 :
2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ:
5,5. 3.
7х- (3+2х)=х-9. 7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = -6 :
4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ:
-1,5. 3 ∙
(х-5) = 7 ∙
12 — 4 ∙
(2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей. 3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е.
(a-b) ∙
c = a ∙
c-b ∙
c. 3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 143 :
11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ:
13. 5.
Решить самостоятельно уравнения: а)
3-2,6х = 5х+1,48; б)
1,6 ·
(х+5) = 4 ·
(4,5-0,6х); в)
9х- (6х+2,5) = — (х-5,5); 5а)
0,2; 5б)
2,5; 5в)
2; 5г)
-1. 1.
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака. Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений. Примеры.
Раскрыть скобки. 1а) (-3х+4) = -3х+4; 1б) (2a-3b)+(-c-d) = 2a-3b-c-d; 1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k. 2.
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-». Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками. Примеры.
Раскрыть скобки. 2а) — (4х-5) = -4х+5; 2б) - (-2a+c) — (b-3d) = 2a-c-b+3d; 2в) - (4k-m) — (-a+2b) = -4k+m+a-2b. 3.
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми
. Примеры подобных слагаемых: 5а и -а; 2с и -12с. Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом
. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1). Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых
. Чтобы привести подобные слагаемые
, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть). Примеры.
Привести подобные слагаемые. 3а) 2а-7а+9а-6а = (2-7+9-6)а = -2а; 3б) -4m+6m-3m+4m = (-4+6-3+4) m = 3m; 3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с. 4.
В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями. Примеры.
Привести подобные слагаемые. 4а) -4а
+5с-11с-20а
= (-4-20)а+(5-11)с = -24а-6с; 4б) 3,2х
+5,6у-8х
-3у = (3,2-8)х+(5,6-3)у = -4,8х+2,6у; 4в) 8
m
-3k+7
m
-2k+12k+13
m
= (8+7+13) m+(-3-2+12) k = 28m+7k. 5.
Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.
Примеры.
Раскрыть скобки. 5а) 2 (4х-5у) = 2 ∙
4х+2 ∙
(-5) = 8х-10у; 5б) -3 (4а+7с) = -3 ∙
4а-3 ∙
7с = -12а-21с; 5в) -6 (-а+4с) = -6 ∙
(-а) -6 ∙
4с = 6а-24с. 6.
Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые. Примеры.
Упростить выражение. 6а) (3х+у) -2 (5х-у) = 3х
+у-10х
+2у = -7х+3у; 6б) 3х(а+1,5) -4ах = 3ах
+4,5х-4ах
= 4,5х-ах; 6в) -6 (х+у)+3 (2х-у) = -6х
-6у+6х
-3у = -9у. 7.
Примеры для самостоятельного решения
. Упростить: 7а) 4 (5-3а) — (11-а); 7б) 2 (3х-у) -6 (5х+3у); 7в) -2а(3с+4)+6ас; 7г) 5 (а-2с+1) -4 (-3+3с-а); 7д) –х(2у+7)+7 (х-4ху). Ответы.
7б) -24х-20у; 7г) 9а-22с+17; Вы перешли на эту страницу, чтобы получить составленный мною «Справочник по геометрии 7-9». В нём 415 пунктов (определения, теоремы и формулы с рисунками) на 48 страницах формата А4. По ссылке вы попадёте на мой ЯндексДиск , где вам будет предложено скачать (посмотреть) мой «Справочник по геометрии 7-9». Если вы распечатаете Справочник в виде книжки по 2 страницы на каждой стороне листа А4, то получится весьма компактная и удобная вещица, которая поможет вам в учёбе, в подготовке к ОГЭ или ЕГЭ. Желаю вам успехов! Не секрет, что при подготовке по математике к ОГЭ учащиеся испытывают бОльшие затруднения при решении задач модуля «Геометрия», причём не только второй части, но даже и при выполнении заданий первой части. Безусловно, чтобы чувствовать себя увереннее необходимо повторить ВЕСЬ теоретический материал геометрии 7-9. «Справочник по геометрии 7-9», несомненно, отлично вам в этом поможет! 1)
в
обычном электронном pdf файле
. Она стоит 200 рублей. Оплатить можно с помощью формы ниже. Оплата проводится самим сервисом Яндекс.Деньги, поэтому перевод денег осуществляется строго конфиденциально! После проверки получения денег я высылаю вам книгу на указанный вами электронный адрес. К книге отдельным файлом высылается памятка по решению задач на проценты. 2)
Книга «Как решать задачи на проценты» в 3d формате
. Что это за книга вы можете посмотреть в видео на этой странице ниже. Эта книга стоила 600 рублей, но теперь цена понижена в 2 раза потому что оказалось недоступным приложение к книге в виде тестов (тесты находились на иностранном сайте) — жаль, конечно, но все задачи, их решения и видео на месте, а это главное! Оплату проводит сервис Яндекс.Деньги — самый надежный и порядочный в мире. В форме оплаты вы введете свой электронный адрес, на который я и пришлю вам ссылку на скачивание книги и инструкцию. Также отдельно я пришлю вам памятку по решению задач на проценты. Если вы хотите научиться решать задачи на проценты, то полезной будет эта книга: смотрите видео ниже.
Дорогие учащиеся
, вы можете оплатить книгу и сами через уличный терминал. Далее: ВНИМАНИЕ!
Со своего компьютера отправляете мне письмо на адрес: at@сайт с какими-нибудь подробностями платежа из чека. Не забудьте написать свое имя и какую именно книгу вы оплатили. После проверки поступления денег я пришлю вам книгу в письме. С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко — автор сайта, на котором Вы находитесь. Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо: 1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;
2) сложить
почленно
полученные уравнения и найти значение одной из переменных;
3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.
Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2). Примеры.
Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения. Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24. Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы. Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5. Сделаем проверку
. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений. Ответ:
(3; -5). Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами
): Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2. Ответ:
(-2; 1). 3 ·
4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3. Ответ:
(4; -3). Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом: 1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);
2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;
3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;
4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.
Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений. Мы получили уравнение: 3·
(7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у
. Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у
в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный
. Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной
. у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у
в выражение х=7+у и находим х
. Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы. Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр. Задача 1.
Диагональ прямоугольника равна 16 и составляет со стороной угол 30°. Найти площадь прямоугольника. Решение.
Катет AD можно было найти иначе – через косинус ∠САD. Так как косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего углу катета к гипотенузе, то отсюда следует: катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла. У нас: AD=AC∙
cos30°; Подставим найденные значения в формулу площади прямоугольника. Задача 2.
Диагональ прямоугольника составляет с его стороной, равной 10 см, угол 60°. Найти периметр и площадь прямоугольника. Решение.
Задача 1.
Одна сторона прямоугольника меньше другой на 7 см, а диагональ прямоугольника равна 17 см. Найти периметр прямоугольника. AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(х+7) 2 =17 2 ⇒ х 2 +х 2 +14х+49=289; 2х 2 +14х-240=0; х 2 +7х-120=0, отсюда по теореме Виета х 1 =-15; х 2 =8. Следовательно, АВ=8 см, AD=8+7=15 см. Периметр прямоугольника: P□ = 2∙
(AB+AD); P□ = 2∙
(8+15); P□ = 46 см. Ответ:
46 см. Задача 2.
Периметр прямоугольника 94 см, а диагональ 37 см. Найти площадь прямоугольника. AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(47-х) 2 =37 2 ⇒ х 2 +47 2 -94х+ х 2 =1369; 2х 2 -94х+2209—1369=0; 2х 2 -94х+840=0. Делим обе части равенства на 2. Получаем: х 2 -47х+420=0. Найдем дискриминант. D=b 2 -4ac=47 2 -4∙1∙420=2209—1680=529=23 2 >0; 2 д.к. х 1 = (47-23)/2=12; х 2 = (47+23)/2=35. Так как АВ=х, то либо АВ=12, тогда AD=47-12=35; либо АВ=35, тогда AD=47-35=12. Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см. Площадь прямоугольника S□ = AB∙
AD=12∙
35=420 (см 2). Ответ:
420 см 2 . Задача 3.
Стороны прямоугольника относятся как 3:
4, а площадь прямоугольника равна 108 см 2 . Найти диагональ прямоугольника. Так как S□ = AB∙
AD и по условию равна 108 см 2 , то можно составить уравнение: 3х∙
4х=108. Тогда 12х 2 =108, а разделив обе части равенства на 12, получаем: х 2 =9. Отсюда х=3, так как х – положительное число. Стороны прямоугольника Тогда АВ=3х=3∙
3=9 и AD=4х=4∙
3=12. Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора найдем BD – искомую диагональ прямоугольника. BD 2 =AB 2 +AD 2 =9 2 +12 2 =81+144=225, отсюда BD=15 см. Ответ:
15 см. Задача 4.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите диагональ прямоугольника, если его меньшая сторона равна 15 см. АС 2 =AB 2 +ВС 2 =15 2 +30 2 =225+900=1125, отсюда получаем: Задача 5.
В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 7 см дальше, чем от большей стороны. Диагональ прямоугольника равна 26 см. Найдите стороны прямоугольника. ОМ 2 +МА 2 =АО 2 или х 2 +(х+7) 2 =13 2 . Упрощаем равенство: х 2 +х 2 +14х+49=169; 2х 2 +14х-120=0; х 2 +7х-60=0. Корни этого приведенного квадратного уравнения удобно найти по теореме Виета. х 1 =-12, х 2 =5. Так как сторона выражается положительным числом, то ОМ=х=5 см. тогда ОК=5+7=12 (см). АК=ОМ=5 см и АМ=ОК=12 см – это половинки сторон прямоугольника. Тогда АВ=2∙
АК=10 см и AD=2∙
МА=24 см. Ответ:
10 см и 24 см. I.
Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.
Примеры
алгебраических выражений: 2m -n; 3·
(2a + b); 0,24x; 0,3a -b ·
(4a + 2b); a 2 – 2ab; Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной. II.
Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
Примеры.
Найти значение выражения: 1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. 2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Решение
. 1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим: — 2+ 2 ·
10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5. 2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем: |-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7. III.
Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).
Примеры.
При каких значениях переменной выражение не имеет смысла? Решение.
Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль! В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0. В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4. В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2. В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5. Пример:
5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.
Тождество
– это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Примеры.
a)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения: 1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k). Решение
. Вспомним распределительное свойство (закон) умножения: (a+b)·c=a·c+b·c
(распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить). 1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у. 2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c. 3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak. б)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения: 4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с. Решение.
Применим законы (свойства) сложения: a+b=b+a
(переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется). 4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11. 5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9. 6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5. в)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения: 7) 4 ·
х ·
(-2,5); 8) -3,5 ·
2у ·
(-1); 9) 3а ·
(-3) ·
2с. Решение.
Применим законы (свойства) умножения: a·b=b·a
(переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется). 7) 4 ·
х ·
(-2,5) = -4 ·
2,5 ·
х = -10х. 8) -3,5 ·
2у ·
(-1) = 7у. 9) 3а ·
(-3) ·
2с = -18ас. Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.
Примеры.
Упростите, используя сокращение дробей. Решение.
Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b
; дробь 11) сократим на а
и дробь 12) сократим на 7n
. Получаем: Алгебраические выражения применяют для составления формул. Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными.
Пример: известная вам формула пути s=v·t
(s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.
Задачи на проценты приходится решать всем учащимся с 5-го по 11 класс (а также их родителям!) не только в классе и дома, но и на экзаменах: переводных, ОГЭ и ЕГЭ. Научиться решать такие задачи вам поможет моя книга, которая так и называется: «Как решать задачи на проценты». Книга содержит теоретический материал по теме: «Проценты», более 100 задач с подробными решениями, а также 16 видео решений различных задач по данной теме. Вы можете приобрести книгу в одном из представленный форматов:
Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.
Примечание
. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.
Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:
Сложим эти равенства почленно.
Находим у
из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.
Сделаем коэффициенты при переменной у
противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.
Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.
Выразим х
через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х
во 2-ое уравнение системы.
1 способ.
Площадь прямоугольника найдем по формуле: S = ab (площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину). Для этого нам нужно найти стороны прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный ∆ADC, в котором искомые стороны прямоугольника AD и CD являются катетами. Гипотенуза АС=16, острый ∠САD=30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, CD=16:2=8. Второй катет AD найдем по теореме Пифагора: AD 2 +CD 2 =AC 2 . Подставляем значения. AD 2 +8 2 =16 2 ; AD 2 +64=256; AD 2 =256-64; AD 2 =192;
2 способ.
Пусть в прямоугольнике ABCD диагональ АС составляет угол 30° со стороной AD. Мы знаем, что диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников – прямоугольный ∆ ADC (∠ADC=90°) CD – катет, противолежащий углу 30°, поэтому этот катет равен половине гипотенузы, т.е. CD = АС :
2 = 16 :
2 = 8 (см). Второй острый угол рассматриваемого прямоугольного ∆ ADC – угол AСD равен 60° (90°-30°=60°). Площадь треугольника ADC равна половине произведения двух его сторон АС и CD на синус угла между ними. Тогда площадь прямоугольника равна произведению АС и CD на синус угла между ними:
3 способ
основан на том, что площадь прямоугольника можно найти как половину произведения его диагоналей на синус угла между ними
. Проведем вторую диагональ BD и обозначим точку пересечения диагоналей через О. Углом между двумя пересекающимися прямыми считают меньший из образовавшихся углов.
У нас это угол АОВ. Обозначим его через α. Найдем градусную меру угла α. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то ∆АОВ – равнобедренный с углами при основании по 60°. На самом деле: ∠ОАВ=90°-∠САD=90°-30°=60°. Третий угол треугольника АОВ, т.е. угол α также равен 60° (считали: 180°-60°-60°). Площадь прямоугольника:
Периметр прямоугольника P□ = 2 (a+b), S□ = ab, где a и b – стороны прямоугольника. Нам известна лишь одна сторона: а = 10. Найдем вторую сторону, как неизвестный катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу 60°. Так как тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему
, то b = a ∙ tg60°. Подставляем значения и получаем:
Решение.
Пусть АВ=х. Тогда AD=х+7. Зная, что диагональ BD=17, используем теорему Пифагора и составим уравнение:
Решение.
Периметр прямоугольника P□ = 2∙
(AB+AD) = 94, следовательно, (AB+AD)=47. Пусть АВ=х. Тогда AD=47-х. Зная, что диагональ BD=37, используем теорему Пифагора и составим уравнение:
Решение.
Обозначим одну часть через х. Тогда АВ=3х. Тогда AD=4х.
Решение.
Итак, в прямоугольнике ABCD биссектриса АК делит сторону ВС пополам. АВ=15 см. Требуется найти диагональ АС прямоугольника. В прямоугольном треугольнике АВК один из острых углов равен 45° (биссектриса АК делит прямой угол пополам: ∠ВАК=∠КАD=45°). Тогда и второй острый угол треугольника АВК равен 45°, т.е. ∠АКВ=45°. Углы при основании ∆АВК равны, следовательно, ∆АВК – равнобедренный. Это означает, что ВК=АВ=15 см. А так как биссектриса АК по условию разделила сторону ВС пополам, то ВС=2∙
ВК=30 см. Стороны прямоугольника 15 см и 30 см. Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС – искомую диагональ прямоугольника.
Решение.
Пусть точка О – пересечение диагоналей прямоугольника ABCD отстоит от стороны AD на х см, тогда от стороны АВ точка О будет отстоять на (х+7) см, т.е ОМ=х и ОК=х+7. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то АО=АС:
2=26:
2=13 (см). Заметим, что МА=ОК. На основании теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника АМО получаем равенство:
IV.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
(а-b)·c=a·с-b·c
(распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
(a+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
(a·b)·c=a·(b·c)
(сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
