Где лежит радиус описанной окружности треугольника. Окружность, описанная около треугольника. Полные уроки — Гипермаркет знаний. Как найти радиус описанной окружности – прямоугольник

Когда и где появились Олимпийские игры? И кто является основоположником олимпийских игр, Вы узнаете из этой статьи.

История возникновения Олимпийских игр кратко

Зародились Олимпийские игры в Древней Греции, ведь присущий грекам атлетизм, стал причиной появления спортивных игр. Основоположником Олимпийских игр является царь Эномай, который организовал спортивные игры для тех, кто желал взять его дочь Гипподамию в жены. По легенде, ему предсказали, что причиной смерти станет его зять. Поэтому молодые люди, победившие в тех или иных соревнованиях, погибали. Только хитрый Пелопс обогнал Эномая на колесницах. Да так, что царь сломал себе шею и умер. Предсказание сбылось, а Пелопс, став царем, учредил каждые 4 года организовывать Олимпийские игры в Олимпии.

Считается, что в Олимпии, месте, где проводились первые Олимпийские игры, первые соревнования состоялись в 776 году до нашей эры. Имя того, кто был первым победителем игр в Древней Греции – Кореб из Элиды, который победил в состязании в беге.

Олимпийские игры в древней Греции виды спорта

Первые 13 игр единственным видом спорта, в котором состязались участники, был бег. После было пятиборье. Оно включало бег, метание копья, прыжки в длину, метание диска, борьбу. Немного позже добавили состязание колесниц и кулачный бой.

Современная программа Олимпийских игр включает 7 зимних и 28 летних видов спорта, то есть 15 и 41 дисциплин соответственно. Все зависит от сезона.

Как только римляне присоединили Грецию к Риму, число национальностей, которые могут брать участие в играх, увеличилось. В программу состязаний добавились бои гладиаторов. Но в 394 году нашей эры император Феодосий І, поклонник христианства, отменил Олимпийские игры, считая их развлечением для язычников.

Олимпийские игры на целых 15 столетий канули в Лету. Первым, кто сделал шаг к возрождению забытых состязаний, был монах-бенедиктинец Бернар де Монфокон. Он интересовался историей и культурой Древней Греции и настаивал на том, что нужно провести раскопки в том месте, где когда-то была знаменитая Олимпия.

В 1766 году Ричард Чандлер нашел около горы Кронос руины неизвестных сооружений античности. Это была часть стены храма. В 1824 году лорд Станхоф, археолог, приступил к раскопкам на берегах Алфея. В 1828 году эстафету раскопок Олимпии подхватили французы, а в 1875 году – немцы.

Пьер де Кубертен, государственный деятель Франции настаивал на том, что необходимо возобновить Олимпийские игры. И в 1896 году были проведены первые возродившиеся Олимпийские игры в Афинах, которые популярны и сейчас.

Надеемся, что из этой статьи Вы узнали где и когда возникли Олимпийские игры.

В незапамятные времена организовал Геракл в 1210-е годы. Они проводились один раз в пять лет, но потом по неизвестным причинам эта традиция прервалась и была возрождена при царе Ифите.

Первые Олимпийские игры в Греции не нумеровались, их называли исключительно по имени победителя, причем в единственном тогда виде состязаний - беге на определенную дистанцию.

Античные авторы на основании материалов начали отсчёт соревнований с 776 года до н. э., именно с этого года Олимпийские игры стали известны по имени атлета, победившего на них. Однако существует мнение, что им просто не удалось установить имена более ранних победителей, и поэтому само проведение не могло в те времена считаться состоявшимся и достоверным фактом.

Первые Олимпийские игры проходили в Олимпии - городке, расположенном в Южной Греции. Участники и десятки тысяч зрителей из многих полисов Эллады добирались к месту морем или по суше.

В состязаниях в ловкости и силе участвовали бегуны, а также борцы, метатели дисков или копий, прыгуны, кулачные бойцы. Игры проводились в самый жаркий месяц лета, а на это время под запрещались войны между полисами.

Глашатаи в течение всего года разносили по городам всей Греции весть об объявлении священного мира и о том, что дороги, ведущие в Олимпию, безопасны.

В соревнованиях имели право участвовать все греки: и бедные, и знатные, и богатые, и незнатные. Только лишь женщинам не разрешалось присутствовать на них, даже в роли зрительниц.

Первые как и последующие, в Греции были посвящены великому Зевсу, это был исключительно мужской праздник. Согласно легенде, одна очень смелая гречанка в мужской одежде тайно проникла в город Олимпию, чтобы посмотреть на выступление своего сына. И когда он победил, мать, не сдержавшись, в восторге бросилась к нему. Несчастную женщину по закону должны были казнить, однако из уважения к ее победителю-отпрыску помиловали.

Почти за десять месяцев до начала Олимпийских игр все, кто собирался в них участвовать, обязаны были начать тренировки в своих городах. День за днем в течение десяти месяцев подряд атлеты непрерывно упражнялись, а за месяц до открытия состязаний они прибывали в Южную Грецию и там, недалеко от Олимпии, продолжали подготовку.

Обычно большинство участников игр обычно были зажиточными людьми, ведь бедняки не могли себе позволить тренироваться целый год и не работать.

Первые Олимпийские игры длились лишь пять дней.

На пятый день перед храмом главного бога Зевса устанавливали стол, сделанный из слоновой кости и золота, а на нем ставили награды для победителей - венки из оливы.

Победители подходили один за другим к верховному судье, который на их головы возлагал эти наградные венки. При во всеуслышание объявлял имя атлета и его город. При этом зрители восклицали: «Слава победителю!».

Слава об Олимпийских играх пережила многие века. И сегодня каждый житель планеты знает пять колец, которые означают единство континентов.

Первые Олимпийские игры современности положили начало традиции: произносить клятву. Есть еще и другая прекрасная традиция: зажигать в Греции, как и в древности, олимпийский огонь, а затем нести его эстафетой через страны в руках преданных спорту людей, к месту проведения очередной Олимпиады.

И хотя в результате сильнейшего землетрясения все олимпийские сооружения древности стерты с лица земли, однако в XVIII веке, в результате раскопок в древней Олимпии, были найдены многие атрибуты тогдашних игр.

А уже в конце XIX века бессменный и первый барон де Кубертен, вдохновленный трудами археолога Курциуса, возродил игры, а также написал свод, определяющий правила их проведения - «Олимпийскую Хартию».

Первые Игры

Мало для кого является секретом, что первые Олимпийские игры были проведены в Греции еще в 776 году до нашей эры. Местом для соревнований было выбрано небольшое селение Олимпия. На то время состязания проводились всего в одной дисциплине, которой был бег на расстояние в 189 метров. Интересная особенность, которая выделяла первые Олимпийские игры в Греции, заключалась в том, что в них могли принимать участие только мужчины. При этом они состязались без обуви и какой-либо одежды на себе. Помимо всего прочего, право наблюдать за ходом соревнований получила лишь одна женщина, которую звали Деметра.

История Олимпиад

Первые Олимпийские игры имели большой успех, поэтому традиция их проведения сохранилась еще на 1168 лет. Уже в то время было решено проводить подобные состязания каждые четыре года. Подтверждением большого их авторитета является тот факт, что на время состязаний между государствами, которые пребывали в состоянии войны, всегда заключался временный мирный договор. Каждая новая Олимпиада получала множество изменений по сравнению с тем, какими были первые Олимпийские игры. Прежде всего, речь идёт о добавлении дисциплин. Сначала это был бег на прочие дистанции, а потом к нему добавились прыжки в длину, кулачный бег, пятиборье, метание диска, копья, дротика и многие другие. Победители пользовались таким большим уважением, что им на территории Греции даже воздвигали памятники. Бывали и затруднения. Самым серьёзным из них стал запрет на Игры со стороны императора Феодосия Первого в 394 году нашей эры. Дело в том, что он считал подобного рода соревнования языческими развлечениями. А еще через 128 лет в Греции случилось очень сильное землетрясение, из-за которого об Играх на долгое время забыли.

Возрождение

В середине восемнадцатого века стали предприниматься первые попытки возрождения Олимпиад. Они начали воплощаться в реальность примерно через сто лет благодаря французскому учёному Пьеру де Кубертену. При помощи своего соотечественника - археолога Эрнста Курциуса - он, по сути, написал новые правила проведения таких соревнований. Первые Олимпийские игры современности начались 6 апреля 1896 года в греческой столице. Участие в них приняли представители 13 стран со всей планеты. Россия, в связи с финансовыми проблемами, своих спортсменов не направляла. Состязания проходили в девяти дисциплинах, среди которых были следующие: гимнастика, пулевая стрельба, легкая и тяжелая атлетика, борьба, фехтование, теннис, плаванье и гонки на велосипедах. Интерес общественности к Играм был колоссальным, ярким подтверждением чего является присутствие на них, по официальным данным, зрителей в количестве более 90 тысяч человек. В 1924 году было принято решение о разделении Олимпиады на зимнюю и летнюю.

Несостоявшиеся состязания

Случалось, что соревнования не проводились, несмотря на то, что были запланированы. Речь идёт о Берлинских играх 1916 года, Олимпиаде в Хельсинки 1940 года, а также о Лондонских состязаниях 1944 года. Причина этого в одном и том же - в мировых войнах. Сейчас же все россияне с нетерпением ждут первые Олимпийские игры, которые пройдут на территории России. Произойдет это в Сочи в 2014 году.

Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.

Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула

Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.

Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.

Таким образом, исходя из вышеприведенной формулы, вычисляем полупериметр:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Подставляем значения в формулу и получаем:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16√5.

Ответ: R = 126/16√5

Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника

Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.

Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.

Ответ: R = 5/√3.

Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.

Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

В данном выражение 5 – длина гипотенузы.

Ответ: R = 2.5.

Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.

Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.

Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.

Ответ: R = 49/√132

Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности

Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		пересекаются в одной точке .
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного середина гипотенузы .
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
		,
Площадь треугольника		S = 2R 2 sin A sin B sin C ,
Радиус описанной окружности		Для любого треугольника справедливо равенство:

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке .

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы .

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R 2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.