График линейной функции y. Линейная функция, её свойства и график. Линейная функция в жизни

Обычно родители хотят, чтобы ребенок в школьные дни был организован, и поэтому пытаются придумать и приучить его к разным распорядкам , чтобы ученик все успел и никуда не опоздал.

Так как дети все разные, то и день для каждого нужно формировать по-разному. Так что именно по этой причине каждый распорядок необходимо составлять, исходя из занятости родителей и индивидуальности самого ребенка .

Обязательно нужно учесть, какое время года в данный момент. Например, в зимнее время рано темнеет и чтобы родители не нервничали, нужно ребенку идти домой пораньше, а в летнее время важно, чтобы школьник садился за уроки пораньше – так у него остается больше времени для игр и общения со сверстниками.

Всегда можно поменять распорядок в связи с разными обстоятельствами . К примеру, ребенок заболел или на улице идет дождь, да и ложиться спать не обязательно именно в установленное время, можно и раньше.

Пример режима дня для детей.

7:30 - подъем. Лучше не жалеть ребенка и поднимать его пораньше, посколькувполне возможно, что он может остаться и без завтрака , а это гораздо хуже, чем если он не поспит лишние 15 минут.

7:45 - завтрак. Перед тем как ребенок выйдет, необходимо чтобы он позавтракал и даже если он не хочет есть, лучше его заставить хотя бы выпитьчай, ведь после первого урока вполне возможно он почувствует голод и будет кушать в сухомятку бутерброд или печенье, а это не очень хорошо для желудка .

8:30 - уроки. В основном во всех школах уроки начинаются именно в это время, но в некоторых и в 8 часов - тогда вам просто необходимо изменить время в своем распорядке.

14:00 - обед. Обычно в это время уроки заканчиваются и дети разбегаются домой, а если ваш малыш остался на продленку, то обед будет кстати. По крайней мере, в школах обед длится достаточно времени, чтобы сходить домой и покушать, или подкрепиться в школьной столовой.

14:30 - 17:00 - отдых. После обеденного перерыва необходимо немного отдохнуть , чтобы пища усвоилась, а затем можно и прогуляться.

17:30 - 18:00 – ужин и немного времени после прогулки для того, чтобы переодеться и покушать.

18:00 - домашнее задание . Сколько необходимо затратить времени на уроки так сразу и не определишь, все зависит от того, какой день, сколько задали и какая сложность задания.

20:00 - личное время. Наверняка, любой ребенок за 2 часа уроки сделает и тогда школьник вполне может заняться тем, что ему захочется: посмотрит телевизор, поговорит с друзьями по телефону, поиграет на компьютере.

21:30 - процедура подготовки ко сну . Необходимо покупаться, почистить зубы, несмотря на то, что некоторым этого делать совсем не хочется.

22:00 - сон. Ни в коем случае не разрешайте ребенку сидеть допоздна за компьютером или перед телевизором, ведь завтра опять рано вставать и малыш будет весь день вялым и не выспавшимся, а на занятиях ничего не будет соображать. Для того чтобы школьник был отдохнувшим и полным сил , ему нужно спать не меньше десяти часов.

Да, в выходные дни распорядок можно не соблюдать и делать все, что хочется, но на то они и выходные , чтобы отдохнуть от учебной недели и школы .

Знакомая всем ситуация: вы с самого утра бегаете по дому, собираете себя (а заодно и мужа) на работу и детей в дет-ский сад или школу. Старший не помнит, куда он положил спортивную форму, младший опять разбросал игрушки и отказывается их убирать…

Когда же дети начнут вам помогать? Почему им не приходит в голову сделать что-то самим?

Не ждите, что это желание появится у них само по себе. Воспитывать в своих отпрысках ответственность и организованность надо с младых ногтей.

Список № 1. Важные дела

У каждой семьи есть список дел, необходимых для выполнения. Решите, что из этих дел под силу сделать ребёнку в зависимости от его возраста, пола и возможностей. Например, список может выглядеть так:

Купить продукты - папа.
Приготовить ужин - мама.
Помыть посуду - дочь.
Выгулять собаку - сын.

Вы можете делать общий список дел и ставить напротив каждого пункта галочки - выполнение. Или можете составлять планы на неделю с указанием дня выполнения дела и распределением обязанностей.

Списки можно составлять не только по ведению домашнего хозяйства. Попробуйте вместе написать список покупок в магазине, подарков родственникам, план проведения каникул… Такая система не только помогает организовать время и учит планировать, но и объединяет семью, делает её сплочённой и сильной. И играет важную роль в следующем пункте…

Список № 2. Семейные ценности

Каждая семья - это небольшое государство со своими заповедями, законами, ценностями и порядками. Когда дети понимают, что и они относятся к какому-то определённому «государству», это даёт им чувство защищённости. Такие дети быстрее адаптируются в социуме, спокойнее себя чувствуют в конфликтных ситуациях.

Составьте вместе с детьми список ценностей вашей семьи. Что для вас важно? Не обижать младших? Помогать ближним? Стремиться к новым знаниям? Напишите самые важные пункты, оформите список красиво и повесьте на видное место. Дети обязательно должны принять участие в написании «законов вашего маленького государства»!

Список № 3. Наши итоги

Научите детей подводить итоги - всего, что они делали и планировали. Это разовьёт в них способность анализировать поступки (вместо того чтобы сетовать на жизнь), искать эффективные решения (вместо обвинения в своих неудачах других людей), думать сообща.

Возьмите за правило еженедельно собираться вместе и обсуждать: что у вас получилось в прошедшие дни? Удалось ли выполнить всё по намеченному плану? Почему некоторые пункты остались невыполненными?

Пусть дети активно вступают в беседу и делятся своими мыслями, почему что-то пошло не так. Что надо исправить, чтобы в дальнейшем дело было сделано? Как решить трудности и в чём им нужна помощь? Возможно, вы очень удивитесь, когда выслушаете ребёнка. Только ни в коем случае не перебивайте его, не унижайте, не навязывайте своего мнения. Анализ неудач требует максимального доверия и открытости. Никакого давления!

Подведя итоги, поблагодарите детей за активное участие, отличную работу и обязательно скажите, какие они молодцы и что вы настоящая семья!

Чем раньше вы введёте систему списков в вашей семье, тем быстрее дети научатся планировать дела.

Повесьте списки на видное место, они будут служить детям напоминанием об их обязанностях.

Не отчаивайтесь, если первые 2 недели ваш план не будет работать, - это нормально. Более того, в первое время идея может вызывать неприятие. Но со временем вы увидите, что детям нравится выполнять задания, видеть, что от них многое зависит и что их, как взрослых, подключают к важным внутрисемейным процессам.

Если у вас двое детей, выполнение дел по спискам можно превратить в азартную игру: кто наберёт больше баллов за большее количество выполненных дел, тому в конце недели достанется приз!

Будьте примером для своих детей. Чем чётче вы станете выполнять дела по спискам сами, тем быстрее подтянутся ваши малыши. Ведь для них правильно то, что делают их родители.

Екатерина Одинцова:

Моя дочь, когда была пятиклассницей, набрала себе огромное количество различных кружков. В итоге ничего не успевала. Мы с ней написали расписание на неделю. И тогда она поняла, что, если будет посещать все кружки, которые хочет, у неё свободного времени останется 40 минут в день. Поэтому она вычеркнула то, что не было приоритетным.

>>Математика: Линейная функция и ее график

Линейная функция и ее график

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению.

Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m,(2) где k,m - числа (коэффициенты), причем .

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.

С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда:
если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы :

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3.

В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) - нет: конкретные значения мы придаем одной из них - переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х - независимая переменная (или аргумент), у - зависимая переменная.

Обратите внимание: линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения у - kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая - ее называют также графком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение. Составим таблицу:

Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - З0x находим: у = 500 - 30 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:

у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16.

В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограничения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е - знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.

Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:

Пример 2. Построить график линейной функции:

Решение, а) Составим таблицу для линейной функции y = 2x + 1

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведем через них прямую линию. Это - график уравнения у = -2x: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].

Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].

б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но - будьте внимательны! - на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции на отрезке .
Решение. Составим таблицу для линейной функции

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую - график линейной х функции (рис. 42).

Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке , т. е. для х е .

Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 - это и есть наибольшее значение линейной функции на отрезке . Обычно используют такую запись: у наиб =7.

Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 - это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке .
Обычно используют такую запись: y наим. = 4.

Пример 4. Найти у наиб и y наим. для линейной функции y = -1,5x + 3,5

а) на отрезке ; б) на интервале (1,5);
в) на полуинтервале .

Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала (рис. 47).

а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что у наиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у наим. = - 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены.

в) С помощью рисунка 45 заключаем, что y наиб. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) Используя рисунок 46, делаем вывод: у наиб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у наим. не существует.

д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y наим = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а у наиб., не существует.

Пример 5. Построить график линейной функции

у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0?
б) при каких значениях х будет у > 0?
в) при каких значениях х будет у < 0?

Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:

Через точки (0; - 6) и (3; 0) проведем прямую - график функции у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.

в) у < 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2x - 6 < 0 (получили х < 3).

Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m - конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m

.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k>0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Линейная функция в жизни

А теперь давайте подведем итог этой темы. Мы с вами уже познакомились с таким понятие, как линейная функция, знаем ее свойства и научились строить графики. Так же, вы рассматривали частные случаи линейной функции и узнали от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Но, оказывается, в нашей повседневной жизни мы также постоянно пересекаемся с этой математической моделью.

Давайте мы с вами подумаем, какие реальные жизненные ситуации связаны с таким понятием, как линейные функции? А также, между какими величинами или жизненными ситуациями, возможно, устанавливать линейную зависимость?

Многие из вас, наверное, не совсем представляют, зачем им нужно изучать линейные функции, ведь это вряд ли пригодится в дальнейшей жизни. Но здесь вы глубоко ошибаетесь, потому что с функциями мы сталкиваемся постоянно и повсюду. Так как, даже обычная ежемесячная квартплата также является функцией, которая зависит от многих переменных. А к этим переменным относится метраж площади, количество жильцов, тарифов, использование электроэнергии и т.д.

Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы с вами сталкивались – это уроки математики.

Мы с вами решали задачи, где находили расстояния, которые проезжали машины, поезда или проходили пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения. Но ведь эти примеры применимы не только в математике, они присутствуют в нашей повседневной жизни.

Калорийности молочных продуктов зависит жирности, а такая зависимость, как правило, является линейной функцией. Так, например, при увеличении сметане процента жирности, увеличивается и калорийность продукта.

Теперь давайте сделаем подсчеты и найдем значения k и b, решив систему уравнений:

Теперь давайте выведем формулу зависимости:

В итоге мы получили линейную зависимость.

Чтобы знать скорость распространения звука в зависимости от температуры, возможно, узнать, применив формулу: v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.

И таких практических использований знаний в применении линейной функциональной зависимости можно перечислять долго. Начиная от платы за телефон, длины и роста волос и даже пословиц в литературе. И этот список можно продолжать до бесконечности.

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений