Свойства умножения правила. Свойства умножения натуральных чисел. III. Устный счёт

Катенин Павел Александрович (1792-1853)

Поэт, драматург, переводчик, литературный критик, знаток театра. Пушкин познакомился с Катениным вскоре поcле окончания Лицея. Личность Катенина была интересна и во многом привлекательна для Пушкина. Молодой полковник лейб-гвардии Преображенского полка, участник Отечественной войны 1812 года и заграничных походов, Катенин был человеком энциклопедических знаний, оригинального ума и независимых политических убеждений. Он являлся членом Союза спасения и одним из руководителей "Военного общества" - ранней преддекабристской организации. Еще в конце 1810-х годов он перевел французский революционный гимн:

Отечество наше страдает Под игом твоим, о злодей! Коль нас деспотизм угнетает, То свергнем мы трон и царей!

Пушкин и Катенин встречались в петербургских литературных и театральных кругах (1817-1820). Их многое сближало, но многое и разделяло. Катенин был безапелляционен в суждениях и сектантски непримирим в своих литературных отношениях. Он был "архаистом" (подобно А. С. Грибоедову) и, ратуя за национальную самостоятельность русской литературы, решительно отрицал литературные заслуги Карамзина и "арзамасцев". Пушкин прислушивался к его критике, но далеко не во всем принимал ее. Отсюда его двойственное отношение к Катенину, - заинтересованное и критическое одновременно. Стихи его он оценивает как "полные силы и огня, но отверженные вкусом и гармонией".

О самом Катенине он иногда пишет еще резче: "Он опоздал родиться - и своим характером и образом мыслей весь принадлежит 18 столетию" (письмо Вяземскому в апреле 1820 года). Общение с Катениным, однако, сыграло известную роль в эстетическом развитии Пушкина.

В 1822 году за дерзкую выходку в театре Катенин был выслан из Петербурга в свое костромское имение, где находился до 1832 года. Сосланный

ранее Пушкин узнал об этом в Бессарабии. В первой главе "Онегина" появилась строфа о русском театре.

Там наш Катенин воскресил Корнеля гений величавый...

В столицу оба опальных поэта вернулись почти одновременно летом 1827 года. Катенин - ненадолго, и в этот свой приезд помирил Пушкина с А. М. Колосовой. В 1828 году Катенин написал балладу "Старая быль" и послание, в которых осторожно, намеками укорял Пушкина за "Стансы" и некоторые другие, по его мнению, верноподданнические стихи. Пушкинский "Ответ Катенину" насмешлив:

Напрасно, пламенный поэт, Свой чудный кубок мне подносишь И выпить за здоровье просишь: Не пью, любезный мой сосед! Товарищ милый, но лукавый, Твой кубок полон не вином, Но упоительной отравой...

Пушкин в 1830 году пригласил Катенина участвовать в "Литературной газете", в 1832 году содействовал изданию книги "Стихотворения и переводы Павла Катенина", годом позже подарил ему экземпляр "Онегина".

Личное общение Пушкина и Катенина возобновилось в 1832-1834 годах во время приездов последнего в Петербург. В январе 1833 года оба они были избраны членами Российской академии и посещали ее заседания. "Одолжи меня своим посещением в понедельник вечером; во вторник поутру я отправляюсь в далекий путь: в Грузию", - писал Катенин Пушкину в субботу 10 марта 1834 года. Это была их последняя встреча.

Катенин оставил содержательные воспоминания о Пушкине, творчество которого расценивал в соответствии со своим причудливо-догматическим вкусом; восхищаясь "Евгением Онегиным", "Графом Нулиным", "Капитанской дочкой", отвергал "Бориса Годунова", "Бахчисарайский фонтан", "Моцарта и Сальери".

Получил домашнее образование. С 1806 числился на службе в Министерстве народного просвещения. В 1808-1809 посещал салон А. Н. Оленина ; познакомился с К. Н. Батюшковым , Н. И. Гнедичем , А. А. Шаховским . Участвовал в любительских спектаклях.

С 1810 на военной службе. Участник Отечественной войны 1812 и заграничных походов.

С конца 1816 член декабристского Союза спасения; один из руководителей тайной декабристской организации Военное общество. В 1820 по политическим мотивам отстранён от службы, уволен в отставку. В 1822 за публичный скандал во время театрального спектакля по распоряжению императора был выслан из Санкт-Петербурга . Долгие годы провёл в деревне.

Похоронен в селе Бореево Чухломского уезда Костромской губернии. В 1955 прах перенесён в Чухлому .

Творчество

Печататься начал перед Отечественной войной 1812 («Цветник», 1810). Переводил стихотворные произведения Биона, Гесснера, Вергилия, Гёте, Ф. Шиллера, Ариосто, «Романсы о Сиде» Гердера , отдельные песни из «Ада» Данте и Оссиана. В переработке Катенина ставилась трагедия Тома Корнеля «Ариана» (1811). Возглавил одно из течений декабристского романтизма. В 1815 опубликовал баллады «Наташа», «Убийца», «Леший», в 1816 - «Ольга» (вольный перевод баллады Г. А. Бюргера «Ленора»), резко отличающейся по своим художественным принципам от поэзии карамзинистов и В. А. Жуковского и вызвавшие полемику. Ориентация на изображение русского быта, на широкое использование просторечных форм языка сближала Катенина с А. С. Шишковым , но вместе с тем была связана с декабристской идеей борьбы за народность литературы.

В 1810-1820-е годы много писал для театра, в частности переработки Ж. Расина , П. Корнеля , других французских драматургов. Единственная оригинальная трагедия Катенина «Андромаха» была поставлена в 1827. Выступал также как театральный педагог (среди его учеников - В. А. Каратыгин).

Издания

• П. А. Катенин. Избранные произведения. Вступит. ст., подготовка текста и примеч. Г. В. Ермаковой-Битнер, Москва-Ленинград: Советский писатель, 1965 (Библиотека поэта. Большая серия).

Адреса в Санкт-Петербурге

• 1822 год - дача «Кирьяново» - Петергофская дорога, 45;
• осень 1825 - май 1827 года - доходный дом Паульсона - Миллионная улица, 8.

Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.

Навигация по странице.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число . Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78 ; если к нулю прибавить целое положительное число 999 , то в результате получим число 999 .

Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю . Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0 , где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Основные свойства умножения целых чисел

Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел . Перечислим основные из этих свойств.

Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число . Так 1·a=a , где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a , это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556 ; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78 .

Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю , то есть, a·0=0 . Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.

Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю . В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0 , если либо a=0 , либо b=0 , либо и a и b равны нулю одновременно.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения

Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.

Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c , то есть, a·(b+c)=a·b+a·c . Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c .

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.

Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.

Свойства вычитания целых чисел

Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a , b и c – произвольные целые числа):

• Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a .
• Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0 .
• Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c .
• И все другие свойства вычитания целых чисел.

Свойства деления целых чисел

Рассуждая о смысле деления целых чисел , мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b , когда произведение c·b равно a .

Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:

• Никакое целое число нельзя делить на нуль.
• Свойство деления нуля на произвольное целое число a , отличное от нуля: 0:a=0 .
• Свойство деления равных целых чисел: a:a=1 , где a – любое целое число, отличное от нуля.
• Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a .
• В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a .
• Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c , где a , b , и c такие целые числа, что и a и b делится на c , и c отлично от нуля.
• Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b , если a делится на c ; (a·b):c=a·(b:c) , если b делится на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , если и a и b делятся на c .
• Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a , b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b .
• Любые другие свойства деления целых чисел.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: учить упрощать выражение, содержащее только действия умножения.

Задачи (Слайд 2):

• Познакомить с сочетательным свойством умножения.
• Формировать представление о возможности использования изученного свойства для рационализации вычислений.
• Развивать представления в возможности решения «жизненных» задач средствами предмета «математика».
• Развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения.
• Развивать организационные общеучебные умения, в том числе умения самостоятельно оценивать результат своих действий, контролировать самого себя, находить и исправлять собственные ошибки.

Тип урока: изучение нового материала.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Устный счёт. Математическая разминка.
Строка чистописания.
3. Сообщение темы и задач урока.
4. Подготовка к изучению нового маериала.
5. Изучение нового материала.
6. Физкультминутка
7. Работа по закреплению н. м. Решение задачи.
8. Повторение пройденного материала.
9. Итог урока.
10. Рефлексия
11. Домашнее задание.

Оборудование: карточки с заданием, наглядный материал (таблицы), презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Прозвенел и смолк звонок.
Начинается урок.
Вы зa парты тихо сели
На меня все посмотрели.

II. Устный счёт

– Посчитаем устно:

1) «Весёлые ромашки» (Слайды 3-7 таблица умножения)

2) Математическая разминка. Игра «Найди лишнее» (Слайд 8)

• 485 45 864 947 670 134 (классификация на группы ЛИШНЕЕ 45 – двузначное, 670 – в записи числа нет цифры 4).
• 9 45 72 90 54 81 27 22 18 (9 – однозначное, 22 не делится на 9)

Строка чистописания. Прописать в тетради числа, чередуя: 45 22 670 9
– Подчеркнуть самую аккуратную запись числа

III. Сообщение темы и задач урока. (Слайд 9)

– Запишите число, тему урока.
– Прочитайте задачи нашего урока

IV. Подготовка к изучению нового материала

а) Верно ли выражение

На доске запись:

(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7

– Назовите используемое свойство сложения. (Сочетательное)
– Какую возможность даёт сочетательное свойство?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок.

43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17

– Какие свойства сложения мы применяются в данном случае?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок. При этом вычисления можно выполнять в любом порядке.

– В таком случае как называется ещё одно свойство сложения? (Переместительное)

– Вызывает ли это выражение затруднение? Почему?(Мы не умеем умножать двузначное число на однозначное)

V. Изучениенового материала

1) Если мы будем выполнять умножение в том порядке, в каком записаны выражения, то возникнут трудности. Что же поможет нам снять эти трудности?

(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6

2) Работа по учебнику с. 70, № 305 (Выскажи своё предположение о результатах, которые получат Волк и Заяц. Проверь себя, выполнив вычисления).

3) № 305. Проверь, равны ли значения выражений. Устно.

Запись на доске:

(5 2) 3 и 5 (2 3)
(4 7) 5 и 4 (7 5)

4) Сделай вывод. Правило.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
– Расскажите сочетательное свойство умножения.
– Объясните сочетательное свойство умножения на примерах

5) Коллективная работа

На доске: (8 3) 2, (6 3) 3, 2 (4 7)

VI. Физминутка

1) Игра «Зеркало». (Слайд 10)

Свет мой зеркальце, скажи,
Да всю правду доложи.
Мы ль на свете всех умнее,
Всех забавней и смешнее?
Повторяйте все за мной
Веселые движения физминутки озорной.

2) Физминутка для глаз «Зоркие глазки».

– Закройте глаза на 7 секунд, посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, затем сделайте глазами 6 кругов по часовой стрелке, 6 кругов против часовой стрелки.

VII. Закрепление изученного

1)Работа по учебнику. решение задачи. (Слайд 11)

(с. 71, № 308) Прочитайте текст. Докажите, что это задача. (Есть условие, вопрос)
– Выделите условие, вопрос.
– Назовите числовые данные. (Три, 6, трёхлитровые)
– Что они обозначают? (Три ящика. 6 банок, в каждой банке по 3 литра сока)
– Какая это задача по структуре? (Составная задача, т. к. нельзя сразу ответить на вопрос задачи или для решения требуется составление выражения)
– Тип задачи? (Составная задача на последовательные действия))
– Решите задачу без краткой записи составлением выражения. Для этого используйте следующую карточку:

Карточка-помощница

– В тетради решение задачи можно оформить следующим образом: (3 6) 3

– Можем ли мы решить задачу в таком порядке?

(3 6) 3 = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л).
3 (3 6) = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л)

Ответ: 54 литра сока во всех ящиках.

2) Работа в парах (по карточкам): (Слайд 12)

– Поставь знаки, не вычисляя:

(15 * 2) *4 15 * (2 * 4) (–Какое свойство?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3

Проверка: (Слайд 13)

(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 < 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 > 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3

3) Самостоятельная работа (по учебнику)

(с. 71, № 307 – по вариантам)

1 в. (8 2) 2 = (6 2) 3 = (19 1) 0 =
2 в. (7 3) 3 = (9 2) 4 = (12 9) 0 =

Проверка:

1 в. (8 2) 2 = 32 (6 2) 3 = 36 (19 1) 0 = 0.
2 в. (7 3) 3 = 63 (9 2) 4 = 72 (12 9) 0 = 0

Свойства умножения: (Слайд 14).

• Переместительное свойство
• Сочетательное свойство

– Зачем нужно знать свойства умножения? (Слайд 15).

• Чтобы быстро считать
• Выбирать рациональный способ счета
• Решать задачи

VIII. Повторение пройденного материала. «Ветряные мельницы». (Слайд 16, 17)

• Числа 485, 583 и 681 увеличить на 38 и записать три числовых выражения (1 вариант)
• Числа 583, 545 и 507 уменьшить на 38 и записать три числовых выражения (2 вариант)

485 + 38 523		583 + 38 621		681 + 38 719
583 – 38 545		545 – 38 507		507 – 38 469

Учащиеся выполняют задания по вариантам (двое учащихся решают задания на дополнительных досках).

Взаимопроверка.

IХ. Итог урока

– Чему учились сегодня на уроке?
– В чём же заключается смысл сочетательного свойства умножения?

Х. Рефлексия

– Кто считает, что понял смысл сочетательного свойства умножения? Кто доволен своей работой на уроке? Почему?
– Кто знает, над чем ему еще надо поработать?
– Ребята, если вам урок понравился, если вы довольны своей работой, то поставьте руки на локти и покажите мне ладошки. А если вы были чем-то расстроены, то покажите мне обратную сторону ладошки.

XI. Информация о домашнем задании

– Какое домашнее задание вы бы хотели получить?

По выбору:

1. Выучить правило с. 70
2. Придумать и записать выражение на новую тему с решением