Подобие по 2 углам. Свойства подобных треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольников

Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два неких треугольника являются подобными друг другу, без рассмотрения всех элементов.

Теорема 1

Первый признак подобия двух треугольников

Треугольники подобны, если хотя бы два угла в неком треугольнике соответственно равны двум углам в другом треугольнике.

Доказательство

Если даны два треугольника: ABC и А1В1С1, где ∠A=∠A1 , и ∠B=∠B1. Тогда получается, что ∠C и ∠C1 также равны между собой. Давайте докажем, подобие △ABC и △A1B1C1.

Если отложить на стороне ВА отрезок ВА2, который будет равен отрезку A1B1 , и затем, провести прямую через точку А2, которая будет параллельна прямой АС. То эта прямая будет пресекать отрезок ВС в точке, которую назовем С2 . Итак, треугольники А2ВС2 и А1В1С1 равны: А2В =А1В1 по построению, ∠В1 = ∠В по условию и ∠А2= ∠А1 , так как ∠А=∠А1 по условию и ∠А2 =∠А как соответственные углы. Согласно лемме 1 о подобных треугольниках (прямая, которая параллельна одной из сторон треугольника и которая пересекает две другие его стороны, отсекает треугольник, который подобен данному) будем иметь: △ABC ∼ △A2BC2 , таким образом, △A1B1C1 ∼△ABC. Значит, теорема доказана. Теоремы 2 и 3 доказываются по аналогичной схеме.

Теорема 2

Второй признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если две из сторон одного треугольника будут соответственно пропорциональными двум сторонам второго треугольника. Также должно соблюдаться условие равенства углов между этими сторонами.

Теорема 3

Третий признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если соблюдается условие пропорциональности трех сторон одного из них трем сторонам второго.

Следствие 1 из теоремы 1. Если рассматривать подобные треугольники, то их сходственные стороны будут пропорциональны высотам, которые будут опущены на сходственные стороны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. прямоугольные треугольники считаются подобными, если катет и гипотенуза одного из них пропорциональны катету и гипотенузе второго треугольника;
2. подобными считаются прямоугольные треугольники, если острый угол одного из них равен острому углу второго треугольника.

Признаки подобия треугольников в примерах

Пример 1

Необходимо найти длину отрезка KP, если известно, что в треугольнике АВС, длина стороны АС равна десяти, и на стороне АВ есть некая точка К, но АК =2, ВК=3. Через точку К проведена прямая, которая параллельна АС. Точка P лежит на ее пересечении со стороной ВС. Это ситуация, когда используются признаки подобия треугольников. Урок с подобной задачкой обязательно встречается в каждой школе. Итак, если в треугольнике есть прямая, проведенная параллельно одной стороне, то образуется треугольник, который подобен данному. Треугольник КBР подобен треугольнику АBС. Доказывая это, заметим, что угол ВКР равен углу ВАС. В виду того, что это соответственные углы, которые лежат при параллельных КР и АС и секущей АК. Кроме этого, угол В - общий и, следовательно, третьи углы равны, угол ВРК и ВСА. Таким образом, согласно теореме о первом признаке подобия треугольников, ∠ АВС подобен ∠КВР. Из этого следует, что КР / АС, стороны лежащие против ∠В, равно ВК / ВА стороны, стороны, которые лежат против равных ∠Р и ∠С. Следовательно, отрезок ВА найдем, складывая BК и АК. Подставляем сюда данные, получаем: КР / 10 = 3 / 5 то есть, КР=6

Пример 2

Пусть в треугольниках ABC и А1В1С1, ∠В = ∠В1. Стороны АВ, ВС в треугольнике ABC больше в 2,5 раза сторон A1B1, B1C1, что в треугольнике A1B1C1. Нужно найти АС и A1C1 , при условии, что их сумма равняется 4,2 м. Решение. По условию задачи запишем:

1. ∠B=∠B1;
2. AB/A1B1=BC/B1C1=2,5 Следовательно, △ABC∼△А1В1С1. По второму признаку подобия треугольников.
3. AC+A1C1=4,2м. Из подобия этих треугольников получаем следствие AC/A1C1=2,5 , или АС=2,5xА1С1 Если АС = 2,5 x А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 x А1С1 + A1C1 = 4,2, поэтому АС = 3 (м), A1C1 = 1,2 (м).

Пример 3

Необходимо выяснить, подобны ли треугольники А1В1С1 и ABC если см, ВС = 5 см, АВ = 3, АС = 7 см, B1C1 = 7,5 см, А1В1 = 4,5 см, A1C1 = 10,5 см? Решение. ВС/ B1C1=5/7.5= 1/1.5 AB/ А1В1=3/4.5=1/1.5 АС/ A1C1=7/10.5=1/1.5

Значит, по третьему признаку, треугольники являются подобными.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны.

Комментарий . Вспоминаем первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. В данном случае, если углы равны, а стороны пропорциональны - то треугольники подобны .

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны

Свойства подобных треугольников

Площади подобных треугольников соотносятся как квадрат соотношений их подобных сторон.

Простейшие задачи на подобие треугольников

Задача .
Даны подобные треугольники:
1)АВС и KLM
АС = 17 см, АВ = 9 см, ВС = 10 см, ML = 7,5 см, LK = 6,75 см, MK = 12,75 см
2)АВС и МКС
АВ = 4 см, АС = 6см, ВС = 5см, МС = 3 см, СК = 2,5 см, МК = 2 см
Составьте отношение их сходственных сторон.Определите коэффициент подобия.

Решение .
Поскольку треугольники по условию задачи подобны, то для нахождения сходственных сторон выстроим их по возрастанию, так как у подобного треугольника стороны также будут иметь соответствующие размеры, умноженные на коэффициент подобия

1) АВ=9 см; ВС=10 см; АС=17 см; и LK=6,75 см; ML=7,5 см; MK=12,75 см
2) АВ = 4 см; ВС = 5см; АС = 6см; и МК = 2 см; СК = 2,5 см; МС = 3 см

Теперь вычислим соотношение двух наименьших сторон, оно будет точно таким же, как двух наибольших или средних по величине сторон. Это и есть коэффициент подобия данных треугольников.

1) AB / LK = 9 / 6,75 = 1 1/3 Внимание! Переведите десятичные дроби в простые, чтобы получить верный коэффициент подобия. AB/ LK = BC / ML = AC / MK = 1 1/3
2) AB / MK = 4 / 2 = 2, AB / MK = BC / CK = AC / MC = 2

Подобие треугольников. Первый признак подобия

Примечание . Это урок с задачами по геометрии о подобии треугольников. Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме .

Задача

В треугольнике ABC угол A вдвое больше угла B, а длины противолежащих этим углам сторон соответственно равны 12 и 8. Найти третью сторону.

Решение .
Для угла А построим биссектрису на противоположную сторону BC. Пусть она пересечет противоположную сторону в точке К.

Исходя из того, что AK - биссектриса, углы ABC и KAC - равны. Поскольку угол С у них общий, то и третий угол этих треугольников является одинаковым. Таким образом, треугольники являются подобными по трем углам.

Исходя из того, что треугольники ABC и AKC подобны:
AC: BC = KC: AC = AK: AB

AC: BC = KC: AC
8 / 12 = KC / 8
KC = 64 / 12 = 16 / 3

Поскольку угол AKB = ABK (BK - биссектрисса, следовательно - треугольник AKB равнобедренный)
Откуда AK = BK

Учтем, что BK = AC - KC, тогда
AK = BK = 12 - 16 / 3

Теперь вернемся к свойствам подобных треугольников
KC: AC = AK: AB
и подставим известные значения
(16 / 3) / 8 = (12 - 16 / 3) / AB
AB = (AK * AC) / KC = 10

Ответ : 10 см

Подобие треугольников. Третий признак подобия

В этом уроке, вы найдете решение задач по геометрии, которые используют правила подобия треугольников и являются интересными для решения. Я их размещаю здесь если они вызывают некоторые трудности при решении у школьников.

Задача

Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны. Соотношение сторон теругольников 3:4 . Площадь одного из них больше площади другого на 14 см 2 . Найдите площади треугольников.

Решение

Для решения данной задачи будем руководствоваться основным свойством подобия треугольников - все размеры одного теругольника подобны размерам другого. Сначала опустим на сторону а каждого треугольника высоту h. Таким образом площадь первого треугольника будет выражаться формулой S 1 =1/2ah, а площадь второго треугольника формулой S 2 =1/2*3/4a*3/4h. Таким образом, можно определить соотношение площадей треугольников:

S 1 /S 2 = 1/2 ah / (1/2 * 9/16 ah)

S 1 /S 2 = ah / (9/16 ah)

Выше перечисленные преобразования мы могли бы не проводить, если нам известна теорема:

Выразим площадь одного треугольника через площадь другого:

По условию задачи S 1 -S 2 =14, таким образом

16S 2 /9-S 2 =14

S 2 =18, следовательно S 1 = 14+18=32

Ответ: 18 и 32

Задача

Стороны AB и DC трапеции ABCD продлили так, что прямые AB и DC пересеклись в точке E. Таким образом, продолжения сторон трапеции образовали треугольник площадью 98 квадратных сантиметров. Найти площадь трапеции, если ее основания относятся друг к другу как 5 к 7.

Решение

Начало решения .

Из условия задачи видно, что у нас получились треугольники EAD и EBC. Поскольку оба треугольника имеют общий угол E, а основания трапеции, являющиеся параллельными, согласно теореме Фалеса, отсекают на сторонах AE и DE пропорциональные отрезки отрезки, то треугольники EAD и EBC являются подобными.

Способ 1 .

Опустим из вершины E высоту на основание AD. Она же будет высотой для основания BC, поскольку основания трапеции параллельны. Обозначим высоту для треугольника EAD как h 1 , а для треугольника EBC как h 2 .

Таким образом:
Площадь треугольника EAD будет равна S EAD =1/2*AD*h 1 .
Площадь треугольника EBC будет равна S EBC =1/2*BC*h 2 .

Поскольку треугольники подобны, то все стороны относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия. Поскольку основания трапеции относятся дрцг к другу как 5:7, то и все остальные стороны относятся друг к другу с тем же соотношением. Из этого следует:
BC / AD = 5 / 7
BC = 5AD / 7

аналогично:
h 2 / h 1 = 5 / 7
h 2 = 5h 1 / 7

Таким образом:
S EBC =1/2*BC*h 2 .
Подставим значения сторон меньшего подобного треугольника через значения сторон большего подобного треугольника:
S EBC =1/2*(5AD / 7)*(5h 1 / 7)
S EBC =1/2*AD*h 1 *25 / 49

Заметим, что по условию задачи площадь получившегося треугольника EAD равна 98 сантиметрам, одновременно S EAD =1/2*AD*h 1 .
Подставим вместо указанного выражения его значение:
S EBC = 98*25/49
S EBC = 50 см 2

Способ 2 .

Если нам известна теорема: "площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон" , то площади подобных треугольников AED и BEC будут соотноситься как 5 2: 7 2 . То есть:
S EBC / S EAD = 5 2 / 7 2
S EBC / S EAD = 25 / 49
S EBC = S EAD * 25 / 49

Поскольку площадь треугольника EAD известна нам по условию и составляет 98 см 2 , то
S EBC = 98 * 25 / 49
S EBC = 50 см 2

II
признак подобия треугольников. Если две стороны одного
треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, заключенные между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.

АВ
АС
Дано: ABC, А1В1С1, А А1 ,
А1 В1 А1С1
Доказать: ABC
А1В1С1
Идея доказательства: Рассмотрим два треугольника ABC и А1В1С1 .
Докажем, что они подобны. Для этого построим треугольник ABC2 и
докажем, что он подобен треугольнику А1В1С1 . Рассмотрим треугольники
ABC и ABC2 и докажем, что они равны. Сделаем вывод о подобии
треугольников ABC и А1В1С1.

Доказательство: докажем, что В В1 и применим 1
признак подобия треугольников
С1
А1
С
В1
А
В

С
С1
В1
А1
В
А
1
2

1= А1,
2= В1.
ABC2
А1В1С1
по двум углам
АВ
АС2
Тогда
А1 В1 А1С1
АВ
АС
по условию
А1 В1 А1С1
С2
АС = АС2

С
С1
В1
А1
В
А
1
2
2).
ABC = АВС2
В = 2,
=
по двум сторонам и углу
между ними
2= В1
С2

III
признак подобия треугольников. Если три стороны одного
треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то
такие треугольники подобны.

Дано:
АВ
ВС
АС
А1 В1 В1С1 А1С1
ABC, А1В1С1,
Доказать:
ABC
А1В1С1
Доказательство: (аналогично)
Что нужно рассмотреть, чтобы доказать, что
ABC
А1В1С1 ?
Каким признаком подобия мы воспользуемся?
Какой вспомогательный треугольник мы должны рассмотреть?
Какому треугольнику он будет подобен? По какому признаку?
Если треугольники подобны, то какое отношение мы можем составить?
С каким отношением мы должны его сравнить? Что будет следовать?

Доказательство:
докажем, что А А1 и применим
2 признак подобия треугольников
С
С1
А1
В1 А
В

10.

С
С1
В1
А1
В
А
1
2
1). Рассмотрим ABC2, у которого
1= А1,
2= В1.
ABC2
А1В1С1
Тогда
по двум углам
АВ ВС 2 АС2
А1 В1 В1С1 А1С1
АВ
ВС
АС
по условию
А1 В1 В1С1 А1С1
АС = АС2
С2
ВС = ВС2

11.

С
С1
В1
А1
В
А
1
2
2).
ABC = АВС2
А = 1,
=
по трем сторонам
1= АА11
С2

12. Решение задач

13.

№1
По данным рисунка
Найти: x
Доказать: BC||AD
Решение:
1) Рассмотрим два треугольника с общей вершиной AOD
и COB
:
BOC DOA, так как они вертикальные.
Рассмотрим отношение прилегающие стороны:
DO AO
DO 4
AO 6
2
2
BO
CO
AO 2
CO 3
Согласно II признаку подобия AOD
~ COB
. Коэффициент подобия k=2.
С помощью него определим длину x=AD:
x
2 | x 2 * BC 2 * 4 8
BC
2) Так как AOD ~ COB, то все углы у них равны. OBC ODA - эти углы являются
накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Таким образом,
BC||AD.
Ответ: 8

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ - треугольники, у которых $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , и, следовательно, $\angle C = \angle C_1$ . Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1\text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $\angle В = \angle В_1$ по условию и $\angle А_1 = \angle А_2$ , так как $\angle А_1 = \angle А$ по условию и $\angle А = \angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , и значит, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из теоремы 1 вытекает следующее.

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.

Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.

Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия. Из подобия треугольников следует: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \,\,\, (1) $$ Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим: $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{AC}{8} \,\,\, (2) $$ Из равенства (2) составим две пропорции $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} \\ \frac{5}{10} = \frac{AC}{8} \\ \text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м). $$

Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Из условия задачи: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м. $$ Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует $$ \frac{AC}{A_1C_1} = 2,5\text{ , или }АС = 2,5\bullet А_1С_1 $$ Так как АС = 2,5 А 1 С 1 , то АС + А 1 C 1 = 2,5 А 1 С 1 + A 1 C 1 = 4,2, откуда A 1 C 1 = 1,2 (м), АС = 3 (м).

Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 , если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А 1 В 1 = 4,5 см, B 1 C 1 = 7,5 см, A 1 C 1 = 10,5 см?

Решение. Имеем: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{7,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{7}{10,5} = \frac{1}{1,5} $$ Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.

Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1\text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $\angle 1 = \angle2 \text{ и } \angle 3 = \angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: $$ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1\text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника.

Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Видео-решение.

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили \(\Delta\)MBN, который подобен \(\Delta\)ABC. Но \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)AВС, то \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны .

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2 . Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB / MB = BC / BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’, то, следовательно, и \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}\) (рис. 369).

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, \(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{MN}\).

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

\(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{NB}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Сравним ещё две пропорции: \(\frac{AB}{MB} = \frac{AC}{MN}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{AC}{A’C’}\) . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. MN =А’С’.

Оказалось, что три стороны \(\Delta\)BMN равны трём сторонам \(\Delta\)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, а \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.