Сечение куба проходящее через прямую. Загадки трех точек. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его рёбер
С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены , то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена
Разделить многочлены Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)
В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) - алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).
Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.
Для любых многочленов \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), существуют единственные полиномы
\(q(x) \) и \(r(x) \), такие что
\(\frac{f(x)}{g(x)} = q(x)+\frac{r(x)}{g(x)} \)
причем \(r(x) \) имеет более низкую степень, чем \(g(x) \).
Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного \(q(x) \) и остатка \(r(x) \) для заданных делимого \(f(x) \) и ненулевого делителя \(g(x) \)
Пример
Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
\(\large \frac{x^3-12x^2-42}{x-3} \)
Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой \((x^3/x = x^2) \)
|
3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) \)
|
|
4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.
|
|
5. Повторяем шаг 4.
|
|
6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен \(q(x)=x^2-9x-27 \) - частное деления многочленов, а \(r(x)=-123 \) - остаток от деления многочленов.
Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
или
\(\large{\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}} = x^2-9x-27 + \large{\frac{-123}{x-3}} \)
« Загадка трёх точек» Информационно-исследовательский проект
Цели проекта: построение сечений в кубе, проходящих через три точки; составление задач по теме « Сечение куба плоскостью»; оформление презентации; подготовка выступления.
В геометрии нет царской дороги Евклид
Аксиомы стереометрии Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Для решения многих геометрических задач, связанных с кубом полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Под сечением будем понимать любую плоскость (назовем ее секущей плоскостью), по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает многогранник по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры.
Правила построения сечений многогранников: 1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости; 2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого: а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости); б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
Куб имеет шесть граней. Его сечением могут быть: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.
Рассмотрим построение этих сечений.
Треугольник
Полученный треугольник EFG будет искомым сечением. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба.
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.
Для построения сечения куба, проходящего через точки лежащие на ребрах куба, выходящих из одной вершины, достаточно просто соединить данные точки отрезками. В сечении получится треугольник.
Четырехугольник
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба.
Полученный прямоугольник BCFE будет искомым сечением. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба, для которых AE = DF . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , соединим точки E и F . Прямая EF будет параллельна AD и, следовательно, BC . Соединим точки E и B , F и C .
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба и вершину B . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F и вершину B , Соединим отрезками точки E и B , F и B . Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE , соответственно.
Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , лежащие на ребрах куба и вершину B . Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F и вершину B , Соединим отрезками точки E и B , F и B . Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE , соответственно.
Плоскость сечения параллельна одному из ребер куба или проходит через ребро (прямоугольник) Плоскость сечения пересекает четыре параллельных ребра куба (параллелограмм)
Пятиугольник
Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD . Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и DC . Обозначим S точку пересечения FR c СС 1. Соединим точки E и Q , G и S .
Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS - след секущей плоскости в грани (BCC1). Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый). Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след - NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую. Пятиугольник MNLPS - искомое сечение.
В сечении куба плоскостью может получится только тот пятиугольник, у которого имеются две пары параллельных сторон.
Шестиугольник
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E , F , G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E , F , G , найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD . Обозначим Q , R точки пересечения прямой PG с AB и CD . Проведем прямую RF и обозначим S , T её точки пересечения с CC 1 и DD 1. Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A 1 D 1. Соединим точки E и Q , G и S , F и U . Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением.
В сечении куба плоскостью может получится только тот шестиугольник, у которого имеется три пары параллельных сторон.
Дано: M€AA1 , N€B1C1,L€AD Построить: (MNL)
Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.
Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.
Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.
1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.
Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.
2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.
Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).
Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).
Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.
Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.
3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).
Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.
Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).
Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.
Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.
Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.
Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.
4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.
Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.
Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.
Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2
отдела образования администрации города Кировское
«Сечение куба плоскостью
и практическое их применение в задачах».
Подготовила учитель математики
учитель-методист
Чумакова Г.В.
2015 г.
Введение:
Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.
Основными действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линий пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, построение прямой перпендикулярной плоскости.
Проиллюстрирую построение сечения на одной задаче из школьного курса математики:
№1. Постройте хотя бы два сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью АМ 1 С, если точка М 1 движется по отрезку ВВ 1 от В до В 1 . Найдите границы измерения высоты сечения, проведённой из точки М 1 .
Решение: Построим два требуемых сечения, взяв точку М
1
ближе к точке В, а точку М
2
ближе к В
1
. Оба сечения показаны на рисунке.В начале движения когда точка М
1
только отошла от точки В
1
, сечение представляет собой треугольник с основанием АС и высотой М
1
О, которая чуть больше отрезка ВО, т.е.
Если точка М
1
займёт положение М
2
расположенной очень близко к точке В
1
, то
АМ
2
С почти совпадёт с
АВ
1
С, а его высота М
1
О – с отрезком В
1
О, длина которого равна 
(ОВ 1 =
=
).
Отсюда по соображениям непрерывности делаем вывод: 
Особо следует посмотреть, что произойдёт, если точка М 1 займёт положение вершины В.
№2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки А 1 , E и L , лежащие на рёбрах куба.
Плоскости граней A 1 ADD 1 и DD 1 C 1 C пересекаются по прямой DD 1 , а плоскости граней A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C – по прямой D 1 C 1 . Соединив точки А и Е, получим прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA 1 D 1 D , а продолжив её, найдём точку N , принадлежащую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней AA 1 D 1 D u DD 1 C 1 C .
Аналогично найдём точку М, общую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C . Таким образом, точки N u M принадлежат секущей плоскости и плоскости DD 1 C 1 C ; прямая MN – линия пересечения плоскости сечения с плоскостью грани DD 1 C 1 C , а F и K – точки пересечения её с рёбрами куба CD u CC 1 . Последовательно соединив прямыми точки A 1 , E , F , K u L , получаем пятиугольник A ! EFKL , который и даст нам искомое сечение.
При построении сечения куба плоскостью Х при произвольном расположении точек в сечении получается: треугольник, трапеция, прямоугольник, пятиугольник или шестиугольник. Естественно возник вопрос, как вид сечения зависит от вида расположения точек задающих это сечение
Я решил провести исследование, цель которого является выяснение.
Построить сечения куба плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.
Взяты три точки A 1 , D , C 1 , которые принадлежат вершине D 1 , а сами являются вершинами куба.
В сечении получился равносторонний треугольник, так как A 1 C 1 , A 1 D u DC 1 – диагонали граней этого куба.
Три точки: A 1 u C 1 – вершины куба, а точка F принадлежит ребру куба DD 1 . Точки принадлежат прямым выходящим из вершины D 1 .
В сечении получился равнобедренный треугольник, так как F равноудалена от точек A 1 u C 1 .
Три точки: A 1 u C 1 – вершины куба, а точка F принадлежит прямой ребра куба DD 1 . Точки принадлежат прямым выходящим из одной вершины D 1 .
В сечении получается равнобедренная трапеция, так как F равноудалена от точек A 1 u C 1 , то есть LA 1 =KC 1 .
Три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной D 1 . Точки F u M принадлежат продолжениям рёбер D 1 D u D 1 C соответственно, а точка A 1 является вершиной куба.
В сечении получился пятиугольник A 1 KLNG .
Взяты три точки F , M u Q так, что лежат на продолжении рёбер D 1 D , D 1 C 1 , и D 1 A 1 соответственно.
В сечении получился шестиугольник KLNGJH .
Три точки лежат на рёбрах с одной вершиной D 1 .
В сечении получился произвольный треугольник, но если точки расположить так чтобы D 1 Q =D 1 M =D 1 F , то есть если они были бы равноудалены от вершины D 1 то в сечении получился бы равносторонний треугольник.
Секущая плоскость задана точками Н, Q и M . В сечении получается параллелограмм, так как KC ││ MP и MK ││ PC по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.
Если точки H , Q и M , задают секущую плоскость, удаленные от D , на расстоянии 2a , где а – для ребра куба, то в сечении получается правильный треугольник ACB 1 .
Вывод: три задающих сечение точки принадлежат трём рёбрам куба с общей вершиной или являются их продолжением, то в сечении получается: треугольник, пятиугольник, шестиугольник трапеция, параллелограмм.
Построение сечения куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.
Три точки M , K u F , взяты так что M u F принадлежат рёбрам с одной вершиной A 1 , а точка K лежит на ребре не смежным с ними.
В сечении получается прямоугольник, так как А 1 М=D
1 K
и по теореме о трёх перпендикулярах можно доказать что MKLF
– прямоугольник., а если А 1 М
D
1 K
, то может получится трапеция или пятиугольник.
Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A 1, а точка N принадлежит ребру CC 1 , не смежному сними. K , L u N середины рёбер A 1 A , A 1 B 1 u CC 1 – соответственно.
В сечении получается правильный шестиугольник KLGNHM
Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A 1, а точка T принадлежит ребру DC .
В сечении получается шестиугольник KLFRTZ .
Три точки взяты так, что K u L принадлежат рёбрам куба с одной вершины A 1 , а точка M ребре DD 1 .
В сечении получается трапеция LKQM .
Три точки K u L которые принадлежат рёбрам с одной вершиной A 1 .и точка R которая лежит на ребре BC .
В сечении получается пятиугольник KLFRT .
Вывод: Если секущая плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник, пятиугольник, шестиугольник, трапеция.
В сечении куба параллелограмм и его частные случаи.
Точки T
, H
, J
задающие сечение расположены так, что TH
AD
, HJAD
. В сечении получается квадрат HTKJ
.
Сечение задано точками C , F , L , причём DF =FD 1 , BL =LB 1 . В сечении получается ромб AFCL .
Сечение задано точками C , G , H . B 1 H =DG . В сечении параллелограмм A 1 GCH.
Точки задающие сечение являются вершинами куба A , D , C 1 . В сечении получается прямоугольник
В сечении куба правильные многоугольники
Треугольник АВВ 1 равносторонний, так как его стороны это диагонали граней куба.
Треугольник КМТ равносторонний, так как КВ=МВ=ТВ.
КМТЕ – квадрат, так как сечение задано точками М, К, Е и МКAD
, EKAD
.
В сечении правильный шестиугольник КМТНЕО, так как точки Н, Е, К задающие сечение являются серединами рёбер СС 1 , DC , АА 1 соответственно.
Куб и несколько задач по стереометрии с ЕГЭ.
В пособии “ЕГЭ 2005. Математика. Типовые тестовые задачи” (Корникова Т. А. и др.) Содержит 10 задач (С4) по стереометрии, объединенных общей идеей: дана треугольная призма АВСА
1
В
1
С
1
стороны основания АВ и ВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны ребру ВВ
1
, АВ=ВС=ВВ
1
, вершина А является вершиной конуса (или центром одного из оснований цилиндра, или центром сферы), основание конуса (сфера или второе основание цилиндра) проходит через середину одного ребра призмы, длина его известна. Надо найти объем или поверхность конуса (сферы, цилиндра).
Общий пример решения:
Данную призму дополнить до куба. Шестиугольник DEFKLM – сечение куба плоскостью основания конуса, окружность которого проходит через середину А 1 В 1 , А – вершина конуса, или
DEFKLM – сечение куба плоскостью основания цилиндра, окружность которого проходит через середину А 1 В 1 , А – центр второго основания цилиндра, или это сечение куба плоскостью большого круга сферы с центром А, сфера которого проходит через середину А 1 В 1 .
Шестиугольник
DEFKLM
– сечение куба плоскостью, проходящей через середину рёбер А
1
В
1
, ВВ
1
, ВСЖ при построении получаются точки
K
,
L
,
M
, которые являются серединами соответствующих рёбер. Стороны этого шестиугольника являются гипотенузами треугольников
DB
1
E
,
EBF
,
FCK
,
KQL
,
LRM
,
MA
1
D
, катеты которых равны половине ребра куба. Тогда центр этого шестиугольника является центром описанной около него окружности, которая пересекает рёбра куба в точках
D
,
E
,
F
,
K
,
L
и М, радиус этой окружности 
, где А
1
В
1
=
а
.
AO EL,
т
.
к
.
EAL
– равнобедренный:
AL
=
AE
.
(
ABE
u
EAL
– прямоугольные,
AB
=
AQ
=
а,
BE
=
LQ
=
)
EO
=OL
как середина диагонали ЕL
шестиугольника DEFKLM
, т. е. АО – медиана,а по свойствам равнобедренного треугольника и высота. Аналогично доказывается АО DK
. Так как АО перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости шестиугольника, то АО перпендикулярна ко всей плоскости.
Если А – вершина конуса то АО – его высота, если А – центр второго основания цилиндра, то АО- высота цилиндра.
АВС: АС=
,
P
– точки пресечения диагоналей основания куба, АР=
, РР
1
=АА
1
=
а
. ОР=РР
1
= , тогда из прямоугольного
РОА АО=
. И так АО=
.
Тогда, если идёт речь о конусе:
=
(из 
).
Ответ: 
Если речь идёт цилиндре:
Ответ: 
Если речь идёт о сфере:
Ответ: 
Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005
Вариант 6.
Задача. Даны призма АВСА 1 В 1 С 1 и цилиндр. Стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ 1 и взаимно перпендикулярны. Центром основания цилиндра служит точка А 1 окружность второго основания проходит через середину ребра А 1 В 1 .
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ВВ 1 =АВ=ВС=10. Найдите его объём.
Решение:
. 
.
