Сложносочиненное предложение с придаточным места. Спп с придаточными места. Виды придаточных обстоятельственных

В. М. ГАЛИЦКИЙ, Б. М. КАРНАКОВ, В И. КОГАН ЗАДАЧИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей высших учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1981 ОГЛАВЛЕНИЕ Предусловие...... », ... f ,.¦ f . * .. 5 Принятые сокращения 7 Наиболее часто используемые обозначения, ¦ 7 Постоянные 8 Задачи Решения Глава I. Операторы в квантовой механике..... 9 126 § I. Основные понятия теории линейных операторов 9 ОЩ § 2. Собственные функции, собственные значения,сред- значения,средние II большого числа N ^> 1 частиц. . * Глава П. Атомы и молекулы § I. Стационарные состоянии атомов с одним и двумя электронами § 2. Многозлектронные атомы « § 3. Основные представления теории молекул. . ¦ § 4. Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимо- Взаимодействие атомов и молекул... § 5. Нестационарные явления в атомах и молекулах. Глава 12. Атомное ядро § 1. Основные представления о ядерных силах. ДеЙ- трои § 2. Модель оболочек Глава 13. Теория столкновений § 1. Борновское.приближение § 2. Фазовая теория рассеяшгн. Рассеяние медленных частиц. Резонансные явления при рассеянии. . § 3. Рассеяние быстрых частиц (приближение эйко- эйконала). Рассеяние частиц со спином..... § 4. Рассеяние составных частиц. Неупругие столк- столкновения. , Глава 14. Квантован теории излучения § 1. Излучение фотонов § 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов при столкновениях Глава 15. Релятивистские волновые уравнения. , § I. Уравнение Клейна - Гордоиа * . § 2. Уравнение Дирака ¦>¦ Глава 16. Законы сохранения § 1. Кинематика распадов и столкновений.... § 2. Интегралы движения § 3. Сохранение момента и четности в распадах н столкновениях. Изотопические соотношения. . * Дополнение.... Литература. t со 60 сз 66 67 69 69 72 74 74 76 79 80 80 83 85 88 92 94 94 97 100 100 103 105 107 109 109 111 112 112 116 118 118 120 122 647 648 308 (S09) C25) C35) C40) 349 C49) C73) 382 C82) C91) D00) 410 D10) D28) D39) D49) D66) 476 D76) D87) 501 E01) F12) F35) E42) 552 E52) F66) S85 E85) F04) 622 F22) F26) F33) ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ у. Ш.-уравнение Шредппгера в. ф. - волновая функция с. ф. - собственная функция с. з.-собственное значение д. с. - дискретный спектр с. п. и - система центра инерции "- символ оператора (матрицы), однако над оператором умножения ои, как правило, не ставится =о -знак пропорциональности ~ - знак порядка величины (tn I /I n)s f%= \ *F*mfWndT-~ матричный элемент оператора f НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии, либо в решении каждой задачи. Однако имеется ряд величии, встречающихся во мно- многих задачах, для которых мы старались придерживаться стандартных обозна- обозначений. Обозначения таких величин ео всех случаях, когда это не может привести к недоразумениям, в тексте не поясняются. ?f (q) - при записи волновой функции, как правило, q обозначает со- совокупность переменных используемого представления, a f-¦ собственные значения соответствующих физических величин или квантовые числа рассматриваемого состояния *^пЩ "" с- Ф- линейного осциллятора е - заряд частицы *) с^ - скорость света И - гамильтониан В - энергия 6, <Н/ - напряженности электрического и магнитного нолей А ~ векторный потенциал U - потенциальная энергия V - оператор возмущения d - днпольный момент *) Но если речь идет о конкретной реальной частице (электроне, про* тоне, атомном ядре и т. д.), то е обозначает элементарный заряд cfc ж 4,80-К)-10 ед. СГСЭ (так что заряд электрона равен - е, протона -\-et ядра Ze н т. д.). °o - боровский радиус б/ - фазовый сдвиг 6 - матрицы Паулн w, W - вероятность перехода, вероятность перехода в единицу вре- времени J Z, Ze - заряд ядра R - радиус потенциала т, М - масса, магнитное квантовое число |i - масса, магнитный момент р, Р - импульс к - волновой вектор /1 - массовое число ядра «о - частота /, L, /, / - момент (орбитальный и полный) s, S - спин А- (г) - функция Бесселя Нп {х} - полином Эрмнта }";т F, ф) - шаровая функция ПОСТОЯННЫЕ Решение значительного числа задач по физике атома, молекулы и ядра предполагает проведение численных расчстон для сравнения результата реше- решения с экспериментальными данными (приводимыми в условиях задач). Для удобства вычислений ниже приведены численные значения основных физиче- физических величин *). Постоянная Планка ft = 1,054-Ю7 эрг-с Элементарный заряд е = 4,80- Ю-10 ед. СГСЭ Масса электрона те = 9,11-Ю-28 г Скорость света с = 3,00-1010 см/с Боровский радиус (ат. ед. длины) а0 = 0,53-10-в см Атомная единица энергии mee4/ft2 = 4,36-Ю"1 эрг = 27,2 эВ Атомная единица частоты tntekfh3 = 4,I3-Iflie с Атомная единица напряженности электрического поля е/а<)=6.14-10й В/см Постоянная тонкой структуры а = e2ftic = 1/I37 Масса протона тР = 1836те - 1,67-104 г Разность масс нейтрона и протона mn - tnp & 2,5me Энергия покоя электрона тес2 = 0,51 МэВ Радиус ядра R ж 1,2-10~13 Ах"ъ см 1 эВ= 1,60-10-12эрг *) Приведенные значения - приближенные; более точные значения см. специальной литературе. ЗАДАЧИ Глава 1 ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ § ]. Основные понятия теории линейных операторов 1.1. Рассмотреть следующие операторы (-°° < а) отражения 7: №(i)eT(-j); б) сдвига Та: ?„?(*)= Щх+ а)\ в) изменения масштаба Мс: МСЧ? (х) = V^ T (сх), с > 0; г) комплексного сопряжения R: R4?{x)^ W{x). Являются ли эти операторы линейными? Найти вид операторов, которые по отношению к указанным являются: транспонированными, комплексно сопряженными, эр- эрмитово сопряженными, обратными. 1.2. Для указанных ниже операторов найти операторы, ко- которые по отношению к ним являются транспонированными, ком- комплексно сопряженными, эрмитово сопряженными: а) id/dx, -оо < х < +со; б) id/дг, г - радиальная переменная сферической системы координат @=g: г < оо). 1.8. Для произвольного линейного оператора L") показать следующее: а) (?+)+ = ?; б) операторы?+? и СС+ являются эрмитовыми, е) операторы? + ?+ и i(L - ?+) эрмитовы. 1.4. Показать, что если оператор С эрмитов, то оператор G = ЛСЛ+ также является эрмитовым. 1.5. Показать, что произвольный оператор F можно предста- представить в виде F = A + iB, где А н В - эрмитовы операторы. 1.6. Показать, что если операторы А и В эрмитовы, то опера- операторы АВ -f- ВЛ и i(AB - ВА) также эрмитовы. ") В дальнейшем все рассматриваемые операторы предполагаются линей- линейными и термин «линейный» для нраткости опускается. 1.7. Оператор Р неэрмнтов. В каком случае оператор F2 яв- является эрмитовым? 1.8. Показать, что при алгебраических действиях с коммута- коммутаторами справедлив закон дистрибутивности, т. е. что коммута- коммутатор суммы равен сумме коммутаторов: Г? А„ Y, В*1 = ?[А> Д*!1 Li к J 1, к 1.9. Даны три оператора: Л, В, С. Выразить коммутатор про- произведения АВ н С через коммутаторы [Л, С] и [В, С]. 1.10. Доказать тождество Якобн для коммутаторов операто- операторов Л, В, С: [А, [В, С]] + [В, [С, ЛЦ + [С, [Л, ВЦ = 0. 1.11. Могут ли две матрицы Р, Q конечного ранга N удовле- удовлетворять коммутационному соотношению [Р, <3]=-?/? 1.12. Оператор Р вида P = F(f), где F(z) -некоторая функ- функция переменной г, представимая в виде ряда F (г) = Л cnz", можно понимать как оператор, равный F= J] cj". п Используя это определение, найти явный вид следующих операторов: а) ехрAя7); б) fo = exp(a-^) "(оператор Т определен в 1.1). В связи с данной задачей см. так- также 1.51. 1.13. Предполагая К малой величиной, найти разложение опе- оператора (Л - KB)-1 по степеням I. 1.14. Доказать следующее соотношение: еяве-а=в + [А, в] + -1 [л, [л", в]]+ ... 1.15. В общем случае линейный оператор С можно рассмат- рассматривать как линейный интегральный оператор, т. е. Ф (|) = lV (I) = \ L (I, %") У (%") <%, где L{1,|")- ядро оператора С Ц - совокупность переменных используемого представления). Как ядра операторов?*, С, ?+ связаны с ядром L(%,%") опе- оператора С? Найти ядра операторов Т, Мс, Та, х == х, р ss -ihd/dx. Операторы Т, Мс, Та определены в 1.1. 1.16. Ядро L(x,x") оператора С является функцией вида: a) L=)(x + x-); 6) L=l(x-x-); e) L = fWg(x"). Какие ограничения на функции f{x) н g(x) вытекают нз эр- митовостн оператора?? 1.17. Какой вид имеет ядро L(x,x") оператора С, если этот оператор коммутирует с оператором: а) координаты х е х; б) импульса р = -i 1.18. Показать, что оператор Р, коммутирующий с оператора- операторами х и р (в одномерном случае), кратен единичному, т. е. F tm == Fo = const. § 2. Собственные функции, собственные значения, средние 1.19. В состоянии, описываемом волновой функцией вида где pv,Xo,a-вещественные параметры, найти функцию распре, деления по координатам частицы. Определить средние значений и флуктуации координаты и импульса частицы. 1.20. Волновая функция состояния частицы имеет вид .;) - эрмитов оператор; б) P"(fi)=~P(fi). Можно также говорить о проекционных операторах P({f}), проектирующих на состояния, в которых физическая величина f имеет не одно определенное значение Д-, а принимает какое-либо значение нз некоторого набора {/} = {f(i. /(l> ¦¦¦}. При этом со- сохраняются указанные выше свойства проекционных операторов. В частности, оператор Р = T-P(U) также является проекцион- проекционным. На какие состояния проектирует этот оператор? Отметим, что понятие проекционного оператора очевидным образом может быть обобщено на случай, когда в роли fi вы- выступает совокупность физических величин, составляющих часть полного набора (или весь полный набор). 1.36. Какой физический смысл имеет среднее значение проек- проекционного оператора P(Ji) в произвольном состоянии, описывае- описываемом волновой функцией Т? 1.37. Найти оператор, проектирующий на состояния, в кото- которых координата частицы удовлетворяет условию х ^ 0. 1.38. Найти проекционные операторы Р±, проектирующие на четные Р+ н нечетные Р- относительно инверсии координат со- состояния частицы. 1.39. Показать, что эрмитов оператор F, рассмотренный в задаче 1.26, умножением на некоторую постоянную величинуе может быть превращен в проекционный оператор: Р = ср. На какое состояние проектирует оператор Р? 1-40. Эрмитов оператор / имеет N различных собственных значений. Найти вид нроекционного оператора P{fi) на состоя- состояния с заданным значением /,- величины /. § 3. Элементы теории представлении. Унитарные преобразования 1.41. Написать нормированные соответствующим образом собственные функции радиуса-вектора Wr, и импульса V в г- н в р-представлениях. 1.42. Найтн в импульсном представлении волновую функцию состояния частицы, рассмотренного в 1.19. 1.43. По заданной волновой функции >F(jr, у, z) вычислить вероятность нахождения частицы в интервалах значений z от z\ ДО Z2 И Ру - ОТ pi ДО р2. 1.44. Найти вид операторов отражения Т н сдвига Го в им- импульсном представлении. 1.45. Показать, что при переходе от координатного представ- представления к импульсному четность волновой функции относительно ее (соответствующего) аргумента остается неизменной. 1.46. Как известно, произвольный линейный оператор в об- общем случае является интегральным оператором. Установить со- соотношение между L (х, х") и L (р, р") - ядрами одного и того же оператора С в х- я р-представлениях. 1.47. Найтн вид операторов г"1 к г~2 в импульсном пред- представлении. Проверить равенство г^ = г V ". 1-48. Даны два эрмитовых оператора Л и В. Указать связь между собственными функциями оператора Л в В-представле- нии и собственными функциями оператора В в Л-представлении. В качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть операторы х и р. 1.49. Обозначим через 4?t="4">,[ нормированные соответ- соответствующим образом волновые функции полного набора К. Вы- Выразить через матричные элементы fik = \ xFtf^?k dx произволь- произвольного оператора f: а) результат действия оператора / на функции Т,-; б) результат действия оператора f на волновую функцию произвольного состояния в Х-представлении. Сравнить полученные результаты. 1.50. Каков вид проекционного оператора P(fi) на состоя- состояние с определенным значением fi физической величины f в f-представленин? 1.51. Какой смысл можно придать оператору F видз Р = = /r(f), где F, ; б) [?„ (pr)Pl. Ui, &)т]„ , \U, PkPil \U Ш. где г, р, С-операторы раднуса-вектора, импульса и момента импульса частицы; а и Ъ - постоянные величины. 3.5. Найти коммутатор , где? и V - операторы мо- момента импульса частицы по отношению к двум центрам, нахо- находящимся иа расстоянии а друг от друга. 3.6. Используя коммутационные соотношения для оператора момента, найти Sp?/, где Ct- матрица i-й компоненты мо- момента L. 3.7. Представить оператор момента системы нз двух частиц в виде двух слагаемых, описывающих момент частиц в с. ц. и. (момент относительного движения) и момент центра инерции системы. 3.8. Показать, что момент количества движения системы из двух частиц относительно их центра инерции перпендикулярен к оси, проходящей через обе частицы. 3.9. Найти нормированные соответствующим образом волно- волновые функции Ч"г./т, описывающие состояния частицы, находя- находящейся на расстоянии г0 от начала координат и имеющей мо- момент 1 и его проекцию m на ось г. 3.10. Найти собственные функпии операторов квадрата мо- момента частицы и его проекции на ось z в импульсном представ- представлении следующими двумя способами: а) непосредственно из решения задачи на собственные функ- функции и собственные значения операторов I2 и 4 в импульсном представлении; б) используя соотношение между волновыми функциями в г- и р-представлениях. Вид собственных функций У/т(в, ч>) в координатном пред- представлении считается известным. 3.11. Показать, что функции, получающиеся в результате дей^ ствня операторов /± = 1Х ± й„ иа собственные функции Ч^, оператора проекции момента иа ось z (IJVm = тУ?„), также яв- являются собственными функциями оператора U, отвечаюшими собственным значениям т + 1 и т - 1 в случаях t+ и Г- соот- соответственно. 3.12. Показать, что в состоянии Wm с определенной проек- проекцией момента т на ось z: »* f 3.13. В состоянии Ч^т с определенными значениями_момента / и его проекции т на ось z найти средние значения ZJ, /*. 3.14. В состоянии Ф/т с определенными значениями момента / и его проекции т на ось z найти среднее значение и среднюю квадратичную флуктуацию проекции момента на ось г, со- составляющую угол а с осью z. 3.15. В состоянии частицы, характеризующемся угловой за- зависимостью волновой функции вида ХР = А cos"

Угол по- поворота относительно некоторой оси z, n - целое), найти вероят- вероятности различных значений т проекции момента на ось г. 3.16. В состоянии частицы, волновая функция которого имеет угловую зависимость вида Чг = ЛехрB/ф) (<р-азимутальный угол сферической системы координат), найти вероятности раз- различных значений I момента частицы. 3.17. Доказать соотношение \Г1т(в,ч)Р- 21+1 = 4л где Yim(e,ф) -шаровые функции. 8.18. В пространстве различных состояний момента велнчн- яы L найти проекционные операторы Р(М) на состояния с опре- определенной проекцией момента М на ось г. 3.19. Найтн закон преобразования волновой функции состоя- состояния частицы с определенным значением момента I в fs-пред- ставленин при вращении системы координат на угол щ (см. 3.1). 3.20. Показать, что нз коммутационных соотношений \&, f ] = = 0 оператора физической величины f с компонентами момен- момента Ci системы следует, что матричные элементы величины f вида <«, L,M"\f\n,L,M) (где и означает набор квантовых чисел, которые вместе с L и М образуют полный набор) отличны от нуля лишь при М = М" и прн этом не зависят от М. 3.21. Найти закон преобразования волновой функции частн- цы в Hz-представлении при отражении координат, т. е. при пре- преобразовании /г ¦= -г. § 2. Момент L = I 3.22. В случае момента частицы 1= 1 найти угловую зависи- зависимость волновой функции VjR-ofe, ф) (в, ф- угловые переменные сферической системы координат с полярной осью z) состояния с определенной проекцией момента т = 0 на ось г, направление которой в пространстве определяется полярным а и азимуталь- азимутальным р углами. 3.23. Найтн угловые зависимости волновых функций Ч""* (б. ф) н Wi F, ф) состояний частицы с моментом 1=1 н определенным значением проекции момента на осн х и у со- соответственно. Воспользоваться известным видом шаровых функ- функций У, „.(е.ф). 3.24. Частица находится в состоянии с моментом 1= 1 и его проекцией т (т = 0, ±1) на ось z. Найти вероятности w(m",m) различных значений проекции момента т" на ось г", состав- составляющую угол а с осью г. Задачу предлагается решить одним из следующих способов: а) используя результат задачи 3.14; б) путем нахождения коэффициентов разложения с(т", т) заданной волновой функции в ряд по собственным функциям оператора?2> (при решении задачи этим способом ограничиться каким-либо частным значением т, например т = 0). Рассмотреть, в частности, случай, когда ось г" перпендику- перпендикулярна осн г. 3.25. Показать, что в случае момента частицы (= 1 три функции Ч^-о F, ф), 4^-0F, ф), 4^-0(8, ф), описывающие со- состояния частицы с равной нулю проекцией момента на осн х, у, г, образуют полную систему функций (в пространстве угло- угловых переменных в, ф). Какой смысл имеют коэффициенты разложения волновой функции произвольного состояния частицы с моментом (= 1 в ряд по этим функциям? 3.26. Указать в k-представленни явный вид операторов ком- компонент момента, повышающего t+ и понижающего?_ операторов (?± = 1Л± it у) для момента I = 1. Каков вид операторов?±? 3.27. Найтн из решения уравнения на собственные функции волновую функцию состояния частицы с I = 1 н проекцией мо- момента U = 0 в 4-представлеиии. 3.28. В состоянии частицы с моментом_ Z= 1 и его проек- проекцией т на ось г найтн следующие средние:/", # (га -целое чи- число). 3.29. Найтн явный вид оператора F = F(al)", где а -обыч- -обычный вектор, F(x) -некоторая функция переменной х, Т-опе- Т-оператор момента частицы. Оператор Р действует в пространстве Состояний частицы с моментом 1= 1 (или же 1 являются матри- матрицами момента I = 1). 3.30. Найти явный вид оператора $((j>o) поворота системы координат на угол (j>0 (см. 3.1 и 3.19), действующего в простран- пространстве состояний частицы с моментом 1=1. 3.31. Используя результат предыдущей задачи, найти угло- угловую зависимость волновой функции Ч"д-о (в, <р) состояния ча- частицы с моментом 1=1 н его проекцией т = 0 на ось г, на* правление которой определяется углами я, р. Сравнить с 3.22. 3.32. Ё пространстве состояний частицы с моментом 1= 1 ¦найти проекционные операторы Р{т) (т = 0, ±1) на состояния (и - целое). Найти функции рас- распределения ротатора по энергиям и проекциям момента, а так- также средние значения этих величин в указанном состоянии. 4.3. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии пространственного ротатора с моментом инер- инерции /. Какова кратность вырождения уровней? 4.4. Состояние пространственного ротатора описывается вол- иовой функцией вида: о) V^Ccos"e; б) 4" = Ces"4 В указанных состояниях найти функции распределения ро- ротатора по энергии, квадрату момента и его проекции иа ось z, а также средние значения этих величия. 4.5. Найти энергетические уровни и волновые функции ста- стационарных состояний плоского гармонического осциллятора. Определить кратность вырождения энергетических уровней. 4.6. В стационарном состоянии 4^1 плоского осциллятора (см. решение 4.5) найтн вероятности различных значений проек- проекции момента иа ось, перпендикулярную плоскости колеба- колебаний. 4.7. Частица находится в аксиально симметричном поле Щр). Какую кратность вырождения имеют в общем случае (т, е. в отсутствие случайного вырождения) энергетические уровни дискретного спектра «поперечного» движения частицы (т. е. дви- движения в плоскости, перпендикулнриой оси симметрии поля)? Может ли кратность вырождения первого возбужденного уровня «поперечного» движения быть равной 3; 4? 4.8. Найти энергетические уровни и волновые функции ста- стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой двумерной потенциальной яме f о, t/(p)=@0> р<а, р>а. *) Ротатором называется вращающаяся {в плоскости или в пространстве) система из "двух жестко связанных друг с другом частиц. Момент инерции ротатора равен / = (AQS, где ц - приведенная масса частиц, а-расстояние у 4.9. Найтн энергетические уровни дискретного спектра ча стицы в двумерной потенциальной яме С/(р) вида?/(p) = p I ям. Сравнить с одномерным движением. 4.12. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае тфО. Получить условие существования состояний Дискретного спектра частицы с отличным от нуля значением проекции мо- момента т. 4.13. Найтн энергетические уровни частицы дискретного спектра в двумерном поле С/(р)=-а/р. Определить кратность вырождения уровней. Сравнить со случаем кулоновского поля U(r)=-a/r. 4.14. Для частицы, находнщейся в бесконечно глубокой дву- двумерной потенциальной яме вида, указанного в 4.8, найти при- приближенно энергию основного состояния вариационным методом, аппроксимируя волновую функцию выражениями вида (р<Сй): и) Чгс(р) = Л(а-р); б) Ч"о(р) = ВсОб(пр/2й). Сравнить полученные результаты с точным значением. 4.15. То же, что и в предыдущей задаче, но для энергии Еп -о. i tn i=i первого возбужденного состояния частицы с проек- проекцией момента |т|= 1. Радиальную волновую функцию аппро- аппроксимировать полиномом второй степени, удовлетворяющим не- необходимым граничным условиям в точках р = 0 и р = а. 4.16. Получить приближенное значение энергии основного со- состояния плоского осциллятора вариационным методом, исполь- используя пробную функцию вида Ч"0(р) = Сехр(-ар), где а - вариационный параметр. Сравнить с точным значением (см. 4.5). 4.17. В двумерном случае найти функцию Грина уравнения Шредиигера для свободной частицы при энергии Е < 0, убы- убывающую прн р -> со. 37 4.18. В двумерном случае найти функции Грина Cjf"(p, p") ^авненнн Шредиигера для свободной частицы при энергии > 0. Индексы (±) у функции Грнна указывают на характер ее асимптотики при р-э-оо: Gf> со ехр[± i т/ЩШ/Ш р]. 4.19. Найти функцию Грина G?(q>, if") плоского ротатора (см. 4.1). Рассматривая функцию Грииа 0? как аналитическую функ- функцию комплексной переменной Е, показать, что она имеет особые точки - полюсы, - и установить соответствие между положения- положениями этих полюсов в плоскости Е и энергетическими уровнями ротатора. § 2. Состояния дискретного спектра в центральных полях 4.20. Как изменяются значения Enri энергетических уровней частицы в дискретном спектре: а) при фиксированном значении I с увеличением п,; б) при фиксированном значении п, с увеличением If 4.21. Для частицы, находящейся в центральном поле, а) могут лн быть двукратно вырожденные уровни? б) какую кратность вырождения может иметь первый воз- возбужденный уровень? в) что можно сказать о квантовых числах уровня, если его кратность вырождения равна 7; 9? 4.22. Обозначим через Ек значение энергии /V-ro уровня дис- дискретного спектра частицы в центральном поле (нумерация уровней ведется в порядке возрастания энергий; основному со- состоянию соответствует N = 1). Указать ограничения на макси- максимально возможные значения: о) момента частицы в состояниях, имеющих такую энер- энергию Ец\ б) кратности вырождения такого уровня. 4.23. Найти уровни энергии и нормированные волновые функ- функции стационарных состояний сферического осциллятора С/(г) = = kr2/2, используя метод разделения переменных в уравнении Шредннгера в декартовых координатах. Определить кратность вырождения уровней. 4.24. Произвести классификацию четырех нижних уровней осциллятора по значениям квантовых чисел п„ I и четности, исходя только нз известного значения (см. предыдущую задачу) кратности вырождения уровней. Какая комбинация волновых функций Ч"щп.п, отвечает со- состоянию осциллятора с моментом I = 0 (при /V = п\ -f- п2 +] + п = 2)? 4.25. Найти уровни энергии и собственные функции ^nrim(r, 6, <р) оператора Гамильтона сферического осциллятора из решения уравнения Шредингера в сферических координатах. Произвести классификацию состояний осциллятора, относящих- относящихся к /V-му энергетическому уровню, по квантовым числам nr, I и четности. Какова кратность вырождения уровней? 4.26. Показать, что для пространственного осциллятора опе- операторы коммутируют с гамильтонианом # = ра/2ц + &г2/2. Убедившись в том, что коммутатор операторов I2 и Тп отли- отличен от нуля, объяснить «случайное» вырождение энергетических уровней осциллятора. 4.27. В классической механике прн движении частицы в ку- лоновском поле U(r) = -a/r вектор А = [рМ] /ц - иг/г яв- является интегралом движения. Указать вид эрмитова оператора А, который можно сопоставить классической векторной вели- величине А. Найтн коммутаторы [Н, А,] н ;, + qyb 11е изменяется при указанном преобразовании, т. е. является скаляром. 5.16. Показать, что при врашении системы координат величи- величины У=Ф*оУ (Vt^ X ч?F/) ЛЛ преобразуются как комло- V о. Р Р / ненты вектора. 5.17. Для двух частиц со евчном s = 1/2 найти собственные функции *?ssz операторов суммарного спина (точнее, его квад- квадрата) и его проекции на ось г. Вид функций Тю и Wim найти одним из следующих способов (учитывая наиболее общий вид функции, отвечающей S2 = 0: й) непосредственно из уравнения на собственные функции оператора Sa; #) воспользовавшись операторами $±; в) основываясь на свойствах симметрии функций Fs по от- отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц, аналогичных установленным в 3.39. 5.18. Показать, что оператор a\Oz в состояниях системы из двух частиц, отвечающих определенному значению суммарного спина, также имеет определенное значение. 5.19. Две частицы со спином s == 1/2 находятся в состоянии, описываемом спиновой функцией вида Уяр = ф-де fa, p = = ", 2 - спиновые переменные каждой из частиц; спиновые функции обеих частиц нормированы на единицу, так, например, Ф== f " V |ф| |а + |<р2|г- 0> т- е- между спиновыми состояния- состояниями частиц нет корреляции. Каковы вероятности различных значений_суммарного спина в этом состоянии? Чему равно значение 5?? Рассмотреть, в частности, случай, когда фй = уа. 5.20. Представить выражение (©югJ в виде, содержащем матрицы Паули о\, % в степени не выше первой. Индексы I, 2 у матриц означают, что эти матрицы являются операторами, действующими в пространстве спиновых переменных 1-й и 2-Й частиц. 5.21. Найти явный вид оператора Р= F(a -J- froics), где F(x) -произвольная функция переменной х, а и Ь- некоторые числа. 5.22. Используя результат задачи 5.18, найти проекционные операторы Ps=n, \ на состояния.двух нзетиц со спином s == 1/2, отвечающие определенному значению суммарного спина частиц. 45 5.23. Для системы из двух частиц со спином s = 1/2 найти оператор спинового обмена €, действие которого на спиновую функцию Ч?ар (а, р = 1, 2 -спиновые переменные 1-й и 2-й ча- частиц) состоит в следующем: Yap = СЧ?ар = Ура, т. е. этот опе- оператор переставляет спиновые переменные обеих частиц (задача состоит в явном выражении оператора С через матрицы Паули), 5.24. Для системы из двух частиц со спином s = 1/2 найти проекционные операторы Pssz на состояния с определенным зна- значением суммарного спина S и его проекции Sz на ось г. 5.25. Найти собственные функции и собственные значения следующих операторов: а) V, = a (dl2 + Ъ2г) + fi0ie2; б) i?2 = ol Параметры о, Ь - вещественны, так что операторы V\,% - эрмитовы 5.26. Спины Л" частиц, равные s каждый, складываются в результирующий спин S = Ns. Каков суммарный спин любых 2; 3; ...; п частиц в указанном состоянии? 5.27. Спиновая функция системы из Л" частиц со спином s = l/2 имеет вид Mi),(i).-(i).GL. ¦¦«)„ Найти в указанном состоянии среднее значение квадрата суммарного спина системы частиц. 5.28. В условиях предыдущей задачи в частных случаях п = 1 и п = N - I найти вероятности различных значений ве- величины S суммарного спина системы частиц. 5.29. Состояние частицы со спином s = 1/2 характеризуется определенными значениями квантовых чисел I, m, s*. Найти в указанном состоянии вероятности различных значений пол- полного момента j = 1 -J- s частицы. 5.30. Состояние некоторой системы характеризуется опреде- определенными значениями квантовых чисел 7 (момент системы) и /г = Л Найти вероятности различных значений проекции мо- момента Jn на ось, направление которой в пространстве опреде- определяется единичным вектором п. 5.31. Моменты двух слабо взаимодействующих подсистем, равные I и 1/2, складываются в результирующий момент 7. В следующих состояниях совокупной системы: а) 7 = 3/2, /г=±1/2; б) 7=1/2, 7е= ±1/2 - найти вероятности различных значений проекций складывае- складываемых моментов на ось г и их средние значения. При решении задачи воспользоваться операторами /±. 5.32. Показать, что спиновая функция системы из N частиц со спином s = 1/2, отвечающая состоянию с максимально воз- 43 можным значением S = N/2 суммарного спина, симметрична по отношению к перестановке спиновых переменных любых двух частиц. Имеют ли определенную симметрию спиновые функции, от- отвечающие другим значениям суммарного спина? Сравнить со случаем N = 2. 5.33. В системе трех частиц со спином s = I /2 имеется во- восемь различных спиновых состояний. Произвести классифика- классификацию этих состояний по значениям суммарного спина системы. Найти полную систему спиновых функций ^ss^ описываю- описывающих состояния с определенными значениями S, Sz суммарного спина. 5.34. Произвести классификацию спиновых состояний систе- системы из четырех частиц со спином s = 1/2 по значениям суммар- суммарного спина S системы. 5.35. Какие отличные от нуля средние значения мультиполь- пых моментов (dt - электрического дисольного, |л, - магнитного дипольного, Dm - электрического квздрупельного) может иметь система, характеризующаяся определенным значением 7 полного момента, равным; а) 7 = 0; б) J = 1/2? § 2. Пространственные состояния частицы со спином 5.36. Состояния частицы с определенным значением проек- проекции спина на направление импульса называют спиральными со- состояниями. Для частицы со спином 5 = 1/2 найти волновые функции Ур;, I, описывающие состояния с определенным им- импульсом ро и спиральностью Я = ±1/2. 5.37. Указать вид оператора спиральности и показать, что этот оператор коммутирует с оператором полного момента j = =1 + s частицы. 5.38. Для частицы со спином s = 1/2 показать, что наиболее общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния рч, частицы (т. е. состояния с орбитальным моментом / = I и полным моментом / = 1/2) имеет вид гдсх=(л1 - произвольный спинор, не зависящий от направ- направления вектора п (п = т/г или п = р/р в зависимости от того, какое представление - координатное или импульсное -исполь- -используется). Нормировать на единицу указанную волновую функцию. Каково распределение по направлениям импульса частицы в указанном состоянии? Сравнить со случаем sv.-c°cTt)«iiHH. Вычислив среднее значение вектора суммарного момента ча- частицы в рассматриваемом состоянии, выяснить, как j зависит от конкретного выбора спинора х- Найти вид функций, опнсываю- Щих состояния с определенным значением /z = ±l/2 проекции полного момента на ось г. 5.39. Произвести анализ состояний частицы со спином s = = 1/2, волновые функции которых имеют в импульсном пред- представлении еннн-угловую зависимость вида (спинор х = (?) не зависит от вектора п), по значениям сле- следующих квантовых чисел, полного момента частицы /, орби- орбитального /, четности, спиралыгости h 5.40. Для частицы со спином s = 1/2 показать, что наиболее общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния рз/2 имеет вид (произвольный вектор с и спинор X=(kJ |ie зависят от век- вектора п). При каком конкретном выборе компонент вектора с и спи- спинора х указанная выше функция описывает рз^-состояние ча- частицы с определенным значением /z = ±l/2, zh3/2 проекции полного момента на ось г? 5.41. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловую зависимость волновых функций хУщг состояний с определенны- определенными значениями орбитального момента /. полного момента / и проекции \г полного момента на ось г в случае / = /+ 1/2- Зядачу предлагается решать следующими двумя способами: о) используя проекционные операторы Р,; 6} используя повышающие (понижающие) операторы /±. 5.42. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае 1*=1- 1/2. 5.43. Покачать, что функции Ч^, рассмотренные в двух предыдущих задачах, связаны соотношением V,tlU = im)V1Vj Л,2-/±1/2, n=f (или n=-jf). Следствием этого соотношения является одинаковый вид угловых распределений по направлениям импульса частицы в состояниях с заданными значениями / и /« и различными зна- значениями орбитальною момента 1\.ъ = / ± 1/2. 5.44. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловую за- зависимость волновых функций WllzX (в импулвеном представле- представлении), описывающих состояния частицы с определеннымн"значе- Щями / полного момента, его проекции /г на ось г и спирячь- ности К. 5.45. Для заряженной частицы со спином 5 = 1/2 найти среднее значение вектора магнитного момента в состояниях Оператор магнитного момента ji имеет вид где Ци -спиновый магнитный момент частицы (для электрона це = ~e0h/2mec, для протона цР = 2,79е0Н/2трс и т. д., е° > 0 - величина заряда электрона), е - ее заряд. Глава 6 ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ § I. Бесспшооая заряженная частица в магнитном поле 6.1. Показать, что при определенной калибровке векторного потенциала гамильтониан заряженной частицы в магнитном поле *) можно представить в виде Убедиться в эрмитооости гамильтониана. 6.2. Найти оператор скорости v заряженной частицы в маг нитном поле. Установить коммутационные соотношения между различными компонентами этого оператора [с",-, ?к] а также J0i, **] ¦ 6.3. Для заряженной частицы в постоянном однородном маг- магнитном поле найти операторы координат центра орбиты ро по- поперечного (перпендикулярного магнитному полю) движения, квадрата радиуса-вектора этого центра р^ и квадрата радиуса орбиты Рд. Установить коммутационные соотношения для этих операто- операторов друг с другом и с гамильтонианом. 6.4. Найти нормированные соответствующим образом волно- волновые функции стационарных состояний и уровни энергии заря- *) В задачах данной главы используется координатное представление, так что А(г, *>*" А(г, /). женной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле при следующих калибровках векторного потенциала а) Ах = О, А„ = Жох, А* = 0; б) А* = -ЗёеУ, А» = 0, Аг = 0. 6.5. Б предыдущей задаче были найдены дое полные системы функции ^прург и 1%^Рг, описывающие стационарные состояния заряженной частицы в однородном магнитном поле 3i0 при двух различных калибровках векторного потенциала. Найти соотно- соотношение между этими волновыми функциями. 6.6. Найти волновые функции стационарных состояний и со- соответствующие иы уровни энергии заряженной бесспнновой ча* стицы в однородном магнитном поле, используя следующую ка- калибровку векторного потенциала: А =-|-. Какова крат- кратность вырождения энергетических уровней поперечного движе- движения частицы? Нормируемы ли на единицу волновые функции стационарных состояний поперечного движения? 6.7. Найти спектр собственных значений операторов квадра- квадратов раднуса-вектора (% центра орбиты поперечного движения и радиуса орбиты р| частицы в однородном магнитном поле (см. 6.3). Показать, что волновые функции x?nmPz стационарных со- состояний частицы в однородном магнитном поле, найденные в предыдущей задаче, являются собственными функциями этих операторов. 6.8. Охарактеризовать поперечное пространственное распре- распределение заряженной частицы в однородном магнитном поле в стационарных состояниях л?Птрг (см. 6.§) в случае т~--у^гп. Специально обсудить случай /)>1 и произвести предельный переход к классической механике. 6.9. То же, что и в предыдущей задаче, но при л=0. Спе- Специально обсудить случай \т\ > 1. 6.10. В задачах 6.4 и 6.6 было установлено, что энергетиче- энергетические уровни поперечного движения заряженной частицы в од- однородном магнитном поле являются дискретными, причем соот- соответствующие этим уровням собственные функции гамильтониа- гамильтониана обладают интересным свойством: согласно 6.4 они не могут быть нормированы на единицу (и таким образом, не описывают частицу, локализованную в ограниченной области пространства), а согласно 6.6 существуют стационарные состояния, в которых частица локализована в ограниченной области пространства. Объяснить указанное свойство собственных функций: воз- возможность их выбора как нормируемыми, так и неиормируемыми на единицу. Сравнить со случаем стационарных состояний дис- дискретного спектра частицы в потенциальном поле?/(г). 6.11. Найти уровни энергии и нормированные соответствую- соответствующим образом волновые функции стационарных состояний за- заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно пер- перпендикулярных однородных магнитном и электрическом по- полях. 6.12. Найти уровни энергии и нормированные волновые функ- функции стационарных состояний заряженного сферического осцил- осциллятора (заряженная частица в центральном поле (У(г)=Аг2/2), находящегося в однородном магнитном поле. В случае слабого магнитного поля найти магнитную вое приимчивость осциллятора в основном состоянии. 6.13. То же, что и в предыдущей задаче, для плоского за-- ряженного ротатора (заряженная частица, совершающая дви- жение в плоскости на заданном расстоянии а от некоторой точ- ки)_ находящегося в однородном магнитном поле, перпендику- перпендикулярном плоскости вращения. 6.14. Показать, что энергетический спектр поперечного движе- движения заряженной бесспнновой частицы, находящейся в магнит- магнитном поле соленоида (соленоид имеет бесконечную длину и кру- круговое сечение, так что магнитное поле вне соленоида равно нулю, а внутри-однородно и направлено вдоль его оси), является непрерывным и магнитное поле не может «связать» частицу, т. е, отсутствуют стационарные состояния, в которых частица лока- локализована в поперечном направлении в ограниченной области пространства. В пределе, когда радиус соленоида R = то, получается одно- однородное во всем пространстве магнитное поле, в котором спектр поперечного движения частицы является дискретным и суще- существуют локализованные стационарные состояния (см., например, задачу 6.6). Объяснить,таким образом из непрерывного спектра при Л! Ф оо получается дискретный спектр при R = оо. 6.15. Показать, что магнитное поле Ji(r), отличное от нуля в ограниченной области пространства, не может «спяззть» заря- заряженную бесспиновую частицу, т. е. не существует стационарных состояний частицы, в которых она локализована в ограниченной области пространства. 6.16- Как известно, в одномерном и двумерном случаях в лю- любом поле притяжения у частицы всегда имеются состояния дис- дискретного спектра, в которых она локализована в ограниченной области пространства. В трехмерном случае таких состояний может и не быть, если потенциальная яма достаточно «мелкая». Показать, что при наличии в пространстве однородного маг- магнитного поля у заряженной частицы в произвольном поле при- притяжения U(r), удовлетворяющем условиям U(r)^0, ?/(r)->-0 при г~*оо, всегда имеются стационарные состояния, в которых она локализована в ограниченной области пространства (и не только в поперечном направлении!), т. е. что при наличии маг- магнитного поля любая яма может «связать» частицу. § 2. Частица со слипом в магнитном поле 6-17. Найти волновые функции стационарных состояний и соответствующие им энергетические уровни нейтральной части- частицы, имеющей спин s = 1/2 и спиновый магнитный момент цо (так что . оспшлятора^" "Р™6™*10 Ф>»КЦИЮ Грина гармонического зов^нит г^™" ylfflTaPHblil оператор, соответствующий преобра- отсчётТ те Я| Т" е" ""^«ИУ в новую инерщальную систему относите^ МЯ " "нваРнштности уравнения Шредннгера шносительыо этого преобразования части™"?"™"1610"1 "РИ ЭТОМ нреобразованш. волновая функция частицы в координатном и импульсном предстаалшиях? вочн"™! ? у|штаРный оператор, соответствующий калибро- V6 "™У пРеоСРаз°ванию потенциалов электромагаитного поля. ГХёГ™"" УРЫ"™ ШеД.шГоХёобраГв систем Как."еобх°Димо преобразовать оператор Гамильтона от впемр„„ "Р" ^"итарноил преобразовании, зависящем явно нить г?Л Уравюние ШРИЧшгера сохраняло свой вид? Срав- "анике. КаНонтескими преобразованиями в классической ме- гоп^п9" На"Г" ОПеРат°Ры коордннаты и импульса в гейзенбер- гейзенберговском представлении для свободной частицы задачу предлагается решить двумя способами- пят™ "с"олы>"я Унитарное преобразование, связывающее оие- %ФГКеЛтИ" ° гайзе»СеР™^™ » шр^.-геров гайЭн?^0^6*™™"™ Решек«Ем уравнений движения ддя гейзенберговских операторов. 7.30. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы нгхо- дященея в однородном поле U(x)= -Рл TBB«n«2Z Ж"" ЧТ° " " двух "Р"ЛЫДУШИХ задачах, для линейного гармонического осциллятора. ПРЯЛ""°Й ™c™ub" находящй эовзться калибровкой векторного потенциала вида А = = @, Жъх, 0) (магнитное поле направлено вдоль оси z), Задачу предлагается решить двумя способами, указанными в условии 7.29. 7.33. Исходя из уравнений движения для гайзенберговских операторов, показать, что = -j Ь1Ь. 7.34. Найти значение «разновременного» коммутатора Ш0*(П] Д Ш0(П] Д о) свободной частицы; б) частицы в однородном поле} е) осциллятора. 7.35. Для систем, рассмотренных в 7.29-7.31, найти гамиль- гамильтониан /?(() и сравнить с ЙA =0). 7.36. Используя вид гайзенберговских операторов p(Q, x(t)\ иайти зависимость от времени следующих средних: х((), р((), L&x(t)J, (Ар(О)8-Для а) свободной частицы; б) частицы в однородном поле; в) осциллятора в состоянии, описываемом волновой функцией вида 7-37. Гамильтониан системы имеет вид Я = /?0 -\- Р, где «не- возмущеяный» гамильтониай /?о не зависит явно от времени. Рассмотреть унитарное преобразование от шредннгеровского представления к новому, так называемому представлению взаимодействия, осуществляемое унитарным оператором О = ¦=е*р(г7?с