Параллелограмм делится на равные треугольники. Определение параллелограма и его свойства. Диагонали разделены пополам точкой пересечения
Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .
Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.
Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).
И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .
Доказано!
2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доказано!
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).
Доказано!
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?
\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .
Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .
По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .
Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).
Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .
И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .
При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.
Доказательство
BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .
Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .
Четвертый признак верен.
1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD.
Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.
Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB.
Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD.
Следствия:
1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ.
Аналогично и ∠С = ∠В.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB.
Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD.
В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD;
∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ - их секущая.
Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB.
Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180° .
В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Из равенства \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.
Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (рис.36).
Здесь AD || BC. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие (AB и CD) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями (BM) есть высота. Отрезок EF, соединяющий средние точки E и F боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
и параллельна им: EF || AD и EF || BC.
Трапеция с равными боковыми сторонами (AB = CD) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны (A = D, B = C).
Параллелограмм (ABCD, рис.32) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой (BE, рис.32).
Свойства параллелограмма.
1. Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, AD = BC).
2. Противоположные углы параллелограмма равны (A = C, B = D).
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне составляет 180°. Например, A+ B=180°.
3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD).
4.Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Δ ABD=Δ BCD.
5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон: AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² .
Признаки параллелограмма.
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны (AB = CD, AD = BC).
2. Противоположные углы попарно равны (A = C, B = D).
3. Две противоположные стороны равны и параллельны (AB = CD, AB || CD).
4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD).
Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником. В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником и т.д. На рис.17 показан шестиугольник ABCDEF.
Точки А, В, C, D, E, F – вершины многоугольника; углы A , B , C , D, E , F – углы многоугольника; отрезки AC, AD, BE и т.д. - диагонали; AB, BC, CD, DE, EF, FA – стороны многоугольника; сумма длин сторон AB + BC + … + FA называется периметром и обозначается p (иногда обозначают – 2p, тогда p – полупериметр). В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, контуры которых не имеют самопересечений, как показано на рис.18. Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Шестиугольник на рис.17 выпуклый; пятиугольник ABCDE на рис.19 не выпуклый, так как его диагональ AD лежит снаружи. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º (n – 2), где n - число углов (или сторон) многоугольника.