Формулы сокращенного умножения всех степеней. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов. Откуда берутся формулы сокращённого умножения

1 сентября уже не за горами, и пора вспоминать все, что было благополучно забыто за лето. Специально для школьников и их родителей подборка нескольких полезных ссылок, которые помогут освежить в голове школьные премудрости. А заодно узнать о мире немало нового.

Универсальные помощники

Электронный учебник по биологии - http://www.ebio.ru — материалы по ботанике, зоологии, анатомии, биологии и экологии. Все очень просто и с картинками.
. Энциклопедия «Флора и фауна» - http://biodat.ru/db/fen/anim.htm — собрана информация практически по всем видам животных и растений.
. Теория эволюции как она есть - http://evolution.powernet.ru/ — для удобства все материалы классифицированы по уровню сложности: от 1-го до 3-го.

Географический справочник онлайн - http://geo.historic.ru — справочные данные, физические карты и географический атлас.
. Краткая географическая энциклопедия - http://geoman.ru/geography/info/index.shtml — емко обо всем, чему учат учителя географии.

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так вот они:

Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула разности квадратов: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Здесь C n k - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится - формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на - b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a - b 2 = a - b a - b .

Раскроем скобки:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x - 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter