29 сложение и вычитание смешанных чисел задание. Сложение и вычитание смешанных чисел (Вольфсон Г.И.). Рассказы об истории возникновения и развития математики

Сложение и вычитание смешанных чисел выполняется на основе свойств этих действий.

Задача 1. На столе лежали плитки шоколада. Сколько плиток шоколада будет лежать на столе, если на него положить ещё плитки (рис. 134)?

Рис. 134

Решение. Чтобы решить задачу, надо сложить числа и .

Пишут короче:

Значит, на столе будут лежать плитки шоколада.

Задача 2. На тарелке лежали плитки шоколада. Сколько останется плиток шоколада на тарелке, если плитки съедят (рис. 135)?

Рис. 135

Решение. Чтобы решить задачу, надо из вычесть . Имеем:

Пишут короче:

Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из неё выделяют целую часть и добавляют её к уже имеющейся целой части.

Например:

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поступают так:

Обычно пишут короче:

Таким же образом поступают и при вычитании дроби из натурального числа, и при вычитании смешанного числа из натурального числа.

Например:

Вопросы для самопроверки

• Как складывают и как вычитают смешанные числа?

Выполните упражнения

1115. В одной коробке кг конфет, а в другой коробке кг. Сколько килограммов конфет в этих двух коробках?

1116. Чему равна длина белой ленты, если длина красной ленты , а белая лента на короче красной?

1117. Выполните действия:

1118. Найдите значение выражения:

1119. На базу привезли яблоки на двух грузовиках. На первом было т яблок, а на втором - на меньше. Сколько тонн яблок привезли на базу? Выразите ответы в центнерах.

1120. Два шахматиста сыграли две партии: первая партия продолжалась ч, а вторая - на ч больше. Сколько часов продолжалась игра? Выразите продолжительность игры в минутах.

1121. Вычислите устно:

1122. Восстановите цепочку вычислений:

1123. Каковы координаты точек, отмеченных на рисунке 136? Чему равно расстояние (в единичных отрезках) между точками: О и Е, О и К, О и С, D и С, А и Е, М и E? Сравните координаты точек С и D, С и Е, М и К, N и А, А и В.

Рис. 136

1124. Между какими натуральными числами на координатном луче расположены смешанные числа:

1125. При каких значениях а частное 12: а будет:

• а) натуральным числом;
• б) неправильной дробью;
• в) правильной дробью?

Ответьте на те же вопросы для частного а: 6.

1126. Составьте задачу по уравнению:

1127. По рисунку 137 составьте уравнение и решите его.

Рис. 137

1128. В старинных книгах можно встретить такие названия дробей: пол, полтина, пятина, седьмина, - десятина. Подумайте, как появились следующие названия: - четь, - полчёти, - полполчети, - полполполчети (малая четь). Дробь называли «треть». Попробуйте догадаться, как называли дроби .

Подумайте, почему смешанные числа называли: - полвтора, - полтретья, - полчетверта, - полпяты, - полшесты и т. д.

Сохранился ли такой способ чтения в наше время?

1129. Из дробей

выделите целую часть, а смешанные числа

запишите в виде неправильных дробей.

1130. Выполните действия:

1131. Лесник прошёл 3 км и 4 ч ехал на лошади. С какой скоростью он ехал на лошади, если весь путь равен 34 км?

1132. Пошёл дождь. Под водосточную трубу поставили пустую бочку. В неё вливалось каждую минуту 8 л воды, а через щель в бочке выливалось 3 л воды в минуту. Сколько литров воды будет в бочке через 1 мин; 2 мин; 3 мин? Успеет ли бочка наполниться, если её объём 400 л, а дождь шёл 1 ч 10 мин?

1133. Легковой автомобиль движется со скоростью 70 км/ч, а грузовой - со скоростью 40 км/ч. Сейчас легковой автомобиль находится сзади грузовика на расстоянии 60 км. Оба автомобиля движутся в одном направлении. Какое расстояние будет между ними через 1 ч, через 2 ч, через 3 ч?

1134. Решите задачу:

1135. Найдите значение выражения:

1. (38 35 - 35) : 259;
2. (43 21 + 1671) : 429.

1136. Выполните действия:

1137. Длина прямоугольника м, а ширина на м меньше длины. Найдите периметр прямоугольника.

1138. В один из дней зимних каникул мальчик ч катался на лыжах, а на коньках на ч меньше. Сколько всего времени он катался на лыжах и коньках?

1139. Верёвку длиной 256 м разрезали на две части, одна из которых в 7 раз длиннее второй. На сколько метров одна часть верёвки длиннее второй?

1140. В археологических раскопках древнего города участвовали две экспедиции. В первой было в три раза больше сотрудников, чем во второй. Когда во вторую экспедицию прибыли ещё 18 человек, то в двух экспедициях вместе стало 66 сотрудников. Сколько стало сотрудников во второй экспедиции?

1141. В куске 112 м материи. Из куска сшили детские костюмы. Сколько метров материи осталось?

1142. Площадь прямоугольника 616 м 2 , а его длина 28 м. Найдите площадь такого квадрата, у которого периметр равен периметру прямоугольника.

1143. Выполните действия:

• а) (936: 24 + 32 14) : 487;
• б) (43 56 + 43 44) : 215 - 15.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

С древних времён людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчёты за купленные или проданные товары.

Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в XVII веке) дроби так и назывались - «ломаные числа». У других народов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».

Современное обозначение дробей берёт своё начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII-XIV веках оно было заимствовано европейцами, вначале в записи дробей не использовалась дробная черта. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около 300 лет назад. Первым европейским учёным, который стал использовать и распространять современную запись дробен, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо пизанский). В 1202 году он ввёл слово «дробь», названия «числитель» и «знаменатель» ввёл в XIII веке Максим Плануд - греческий монах, учёный-математик.

На данном уроке вы узнаете правила сложения и вычитания смешанных чисел, научитесь решать различные задачи по теме «Сложение и вычитание смешанных чисел». Сложение и вычитание смешанных чисел основано на свойстве этих чисел. При сложении можно использовать переместительное и сочетательное свойство, а при вычитании чисел можно использовать свойства вычитания числа из суммы и вычитания суммы из числа.

Для начала давайте вспомним, что такое смешанные числа. Смешанное число - число, записанное в таком виде, что у него есть целая часть и дробная часть. Например, . Здесь 3 - целая часть, - дробная.

Предположим, нам дали такую задачу. Вася пробежал первый из двух кругов дистанции за 1 минуту 40 секунд, а второй круг - за 1 минуту 20 секунд. За какое время Вася пробежал всю дистанцию и насколько быстрее он пробежал второй круг, чем первый?

Решение

Несложно видеть, что мы можем сложить минуты с минутами, секунды - с секундами. Получится 2 мин + 60 секунд, т. е. 3 мин. Но, с другой стороны, 40 секунд - это минуты, а 20 секунд - . И тогда, по аналогии, чтобы сложить эти смешанные числа, мы можем не переводить их в неправильные дроби, а сразу сложить целые минуты друг с другом, и отдельно - дробные. Это дает 2 минуты и , то есть еще одну целую минуту. Итого 3 минуты.

Можно было все это проделать и так. Заметим, что смешанное число есть сумма своих целой и дробной частей. А дальше воспользуемся переместительным свойством:

А что с вычитанием? То же самое. Из чисто практических соображений первый круг по минутам одинаков со вторым, а по секундам - на 20 дольше (или на треть минуты). Можно и так:

Думаю, вы уже поняли алгоритм? Из целого вычитаем (к целому прибавляем) целое, из дробного - дробное. Рассмотрим еще несколько примеров.

Закрепим эти выкладки правилом. Чтобы сложить два смешанных числа, необходимо:

• сложить их целые части;
• сложить их дробные части;
• если нужно, перевести сумму дробных частей в смешанное число;
• сложить полученные числа.

Перейдем к вычитанию. Рассмотрим несколько примеров, после чего сформулируем общий алгоритм.

Найти ошибки в примерах на сложение

Рассмотрим внимательно первый пример: смешанное число заменили дробью , а число - , но данные дроби не равны. Если мы решим переводить дроби в неправильные, то получим следующее:

Теперь перейдем ко второму примеру, в нем действия выполняются согласно рассмотренному нами алгоритму. Как видим, все действия выполнены правильно, однако принято записывать смешанные числа так, чтобы их дробная часть являлась правильной дробью. Поэтому представим дробь в виде смешанного числа, а потом уже выполним сложение.

Если пойти по плану, то надо из вычесть . Этого мы сделать не можем. Тогда поступим так, как мы делаем при вычитании натуральных чисел: займем у старшего разряда. Только роль старшего разряда здесь будет играть целая часть. Ведь единица - это , так что можно вместо записать . А дальше - по плану:

.

Закрепим эти выкладки правилом. Чтобы вычесть одно смешанное число из другого, вы должны:

• сравнить дробные части уменьшаемого и вычитаемого;
• если дробная часть уменьшаемого больше, то вычесть из целой части целую часть, из дробной части дробную часть, а результаты сложить;
• если же больше дробная часть вычитаемого, то одну единицу от целой части уменьшаемого мы переводим в дробь, чтобы дробь стала неправильной, а затем вычитаем из целой части целую, а из дробной - дробную, и результаты складываем.

Найти ошибки в примерах на вычитание

Рассмотрим первый пример. Согласно алгоритму, мы должны сначала 12 представить в виде смешанного числа, а затем уже выполнять вычитание:

Рассмотрим второй пример. Здесь ошибка при вычитании дробных частей: нам необходимо из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого, а не наоборот. Чтобы это выполнить, нам придется занять 1 единицу и представить ее в виде дроби.

На этом уроке мы познакомились со смешанными числами, научились складывать их и вычитать, сформулировали алгоритмы для сложения и вычитания. Узнали, что для сложения и вычитания смешанных чисел вовсе не обязательно переводить их в неправильные дроби, а достаточно просто сложить либо вычесть целые части и сложить либо вычесть дробные части, после чего записать окончательный ответ.

В каждом из случаев у нас была одна тонкость. Для сложения мы понимали, что иногда получается сумма дробных частей в виде неправильной дроби, поэтому при необходимости полученную неправильную дробь нужно приводить к правильной, то есть выделять целую часть. А при вычитании появлялась такая тонкость, что не всегда из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого, поэтому нам необходимо было «занимать» единицу у целой части и переводить ее в дробную, чтобы получить неправильную дробь, из которой уже можно было вычесть дробную часть.

Список литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г.14-е изд., испр. и доп. - М.: 2013.
2. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 кл. - М: Мнемозина, 2013.
3. Ерина Т.М. Математика 5 кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина 2013. - М: Мнемозина, 2013.

1. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» ()
2. Интернет-сайт «Школьный помощник» ()
3. Интернет-сайт schools.keldysh.ru ()

Домашнее задание