Органические вещества и их названия. Теория химического строения органических соединений. Классификация органических веществ. Углеводороды и их производные
Формулы корней. Свойства квадратных корней.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.
Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...
Начнём с самой простой. Вот она:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, - вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, "математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа". Понятие "квадратный корень" появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.
С чего все начиналось
Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало - ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.
Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.
Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе "Математика в девяти книгах", а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.
Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность - все, что имеет под собой "корневую" смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).
Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду "галочка" √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.
Наши дни
С точки зрения математики, квадратный корень из числа y - это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.
В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.
Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.
Свойства квадратного корня на поле R
Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.
Как найти корень числа?
Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:
1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа - до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:
Следующее нечетное число - это 11, остаток у нас следующий: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Для таких случаев существует разложение в ряд Тейлора:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , где n принимает значения от 0 до
+∞, а |y|≤1.
Графическое изображение функции z=√y
Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:
Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).
Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R
1. Область определения рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).
2. Область значений рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).
3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.
4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.
5. Функция z=√y не является периодической.
6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).
7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.
8. Функция z=√y непрерывно растет.
9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.
Варианты изображения функции z=√y
В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.
А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.
Стоит отметить, что в данной области квадратный корень очень востребован, так как входит в состав большинства геометрических формул, необходимых для вычислений. Сам алгоритм подсчета достаточно сложен и строится на рекурсии (функции, что вызывает сама себя).
Корень квадратный в комплексном поле С
По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.
Столбиком наджней, а когда нужно больше пятнадцати знаков, то компьютеры и телефоны с калькуляторами чаще всего отдыхают. Осталось проверить, займт ли описание методики 4-5 тыс. знаков.
Берм любое число, от запятой отсчитываем пары цифр вправо и влево
Например, 1234567890,098765432100
Пара цифр - это как бы двузначное число. Корень из двузначного - однозначное. Подбираем однозначное, квадрат которого меньше первой пары цифр. В нашем случае это 3.
Как при делении столбиком, под первой парой выписываем этот квадрат и из первой пары вычитаем. Результат сносим под подчерк. 12 - 9 = 3. Добавляем к этой разнице вторую пару цифр (будет 334). Слева от числа берм удвоенное значение той части результата, которую уже нашли о дополняем цифрой (у нас 2*6=6), такой, чтобы при умножении на не полученное число не превосходило число со второй парой цифр. Получаем, что найденная цифра - пятрка. Снова находим разность (9), сносим следующую пару цифр получая 956, снова выписываем удвоенную часть результата (70), снова е дополняем нужной цифрой и так далее до упора. Или до нужной точности вычислений.
Во-первых для того что бы вычислить квадратный корень надо хорошо знать таблицу умножения. Самые простые примеры - это 25 (5 на 5 = 25) и так далее. Если же брать числа посложнее, то можно использовать данную таблицу, где по горизонтали единицы, а по вертикале десятки.
Есть хороший способ как найти корень из числа без помощи калькуляторов. Для этого вам понадобится линейка и циркуль. Суть в том, что вы находите на линейке значение, которое у вас под корнем. Например, ставите отметку возле 9. Ваша задача - поделить это число на равное количество отрезков, то есть на два линии по 4,5 см, а на ровный отрезок. Несложно догадаться, что в итоге получится 3 отрезка по 3 сантиметра.
Способ нелегкий и для больших чисел не подойдет, но зато считается без калькулятора.
без помощи калькулятора способу извлечения корня квадратного учили в советские времена в школе в 8-м классе.
Для этого надо разбить многозначное число справа налево на грани по 2 цифры :
Первая цифра корня это целый корень из левой грани, в данном случае, 5.
Вычитаем 5 в квадрате из 31, 31-25=6 и к шестерке приписываем следующую грань, имеем 678.
Следующая цифра х подбирается к удвоенной пятерке так, чтобы
10х*х было максимально большим, но меньшим чем 678.
х=6, поскольку 106*6 = 636,
теперь вычисляем 678 - 636 = 42 и добавляем следующую грань 92, имеем 4292.
Снова ищем максимальный х, такой что 112х*х lt; 4292.
Ответ: корень равен 563
Так можно продолжать сколько требуется.
В некоторых случаях можно попытаться разложить подкоренное число на два или несколько квадратных множителей.
Также полезно запомнить таблицу (или хотя бы какую-то ее часть) - квадраты натуральных чисел от 10 до 99.
Предлагаю изобретенный мною вариант извлечения квадратного корня в столбик. Он отличается от общеизвестного, исключением подбора чисел. Но как выяснил позже, данный метод уже существовал за много лет до моего рождения. Описал его в своей книге Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе великий Исаак Ньютон. Так что здесь излагаю свое видение и обоснование алгоритма метода по Ньютону. Запоминать алгоритм не стоит. Можно просто при необходимости пользоваться схемой на рисунке в качестве наглядного пособия.
С помощью таблиц можно не вычислить, а найти, корни квадратные толь из чисел которые есть в таблицах. Проще всего вычислять корни не только квадратные, но и других степеней, методом последовательных приближений. Например вычислим корень квадратный из 10739, заменяем три последние цифры нулями и извлечем корень из 10000 получим 100 с недостатком, поэтому берем число 102 возводим его в квадрат, получаем 10404, что тоже меньше заданного, берем 103*103=10609 опять с недостатком, берем 103,5*103,5=10712,25, берем ещ больше 103,6*103,6=10732, берем 103,7*103,7=10753,69, что уже с избытком. Можно принять корень из 10739 примерно равны 103,6. Более точно 10739=103,629... . . Аналогично вычисляем корень кубический сначала из 10000 получаем примерно 25*25*25=15625, что с избытком, берем 22*22*22=10,648, берем чуть больше 22,06*22,06*22,06=10735, что очень близко к заданному.
Вычисление (или извлечение) квадратного корня можно производить несколькими способами, но все они не сказать что уж очень просты. Проще, конечно, прибегнуть к помощи калькулятора. Но если такой возможности нет (или вы хотите понять суть квадратного корня), могу посоветовать пойти следующим путем, его алгоритм таков:
Если на такие длительные вычисления у вас нет сил, желания или терпения, можно прибегнуть к помощи грубого подбора, его плюс в том, что он невероятно быстрый и при должной смекалке точный. Пример:
Когда я учился в школе (в начале 60-х годов), нас учили извлекать квадратный корень из любого числа. Методика несложная, внешне похожа на деление столбиком, но излагать е здесь, это потребуется полчаса времени и 4-5 тысяч знаков текста. Но зачем это Вам? У вас есть телефон или иной гаджет, в нм есть калькулятор. Калькулятор есть и в любом компьютере. Лично я предпочитаю производить такого рода вычисления в Excel.
Зачастую в школе требуется находить квадратные корни разных чисел. Но если вот мы привыкли пользоваться постоянно для этого калькулятором, то на экзаменах такой возможности не будет, поэтому нужно учиться искать корень без помощи калькулятора. А сделать-то это в принципе возможно.
Алгоритм таков:
Смотрите сначала на последнюю цифру вашего числа:
Например,
Теперь требуется определить примерно значение для корня из самой левой группы
В случае когда число имеет больше двух групп, то находить корень надо так:
А вот следующая циферка должна быть именно наибольшей, подобрать е надо так:
Теперь надо образовать новое число А посредством добавления к остатку, который был получен выше, следующую группу.
В наших примерах:
При переходе от неорганической к органической химии можно проследить, как отличается классификация органических и неорганических веществ. Мир органических соединений обладает разнообразием и многочисленностью их вариантов. Классификация органических веществ не только помогает разобраться в этом изобилии, но и подводит чёткую научную базу под их изучение.
В качестве основы для распределения по классам избрана теория химического строения. Основу изучения органики составляет работа с самым многочисленным классом, который принято называть основным для органических веществ - углеводородами. Прочие представители мира органики рассматриваются как их производные. Действительно, при изучении их структуры не трудно заметить, что синтезирование этих веществ происходит путём замены (замещения) в структуре углеводорода одного, а иногда и нескольких водородных звеньев на атомы других химических элементов, а иногда и на целые ветки-радикалы.
Классификация органических веществ взяла за основу углеводороды ещё и по причине простоты их состава, да и углеводородная составляющая является наиболее весомой частью большинства известных органических соединений. На сегодняшний день из всех известных относящихся к миру органики, соединения, построенные на основе имеют значительное преобладание. Все остальные вещества либо находятся в меньшинстве, позволяя отнести их в разряд исключения из общего правила, либо настолько неустойчивы, что их получение затруднительно даже в наше время.
Классификация органических веществ путём разделения на отдельные группы и классы позволяет выделить два крупных органических класса ациклических и циклических соединений. Само их название позволяет сделать вывод о типе построения молекулы. В первом случае это цепочка из углеводородных звеньев, а во втором - молекула представляет собой кольцо.
Ациклические соединения могут иметь разветвления, а могут составлять простую цепочку. Среди названий этих веществ можно встретить выражение "жирные или алифатические углеводороды". Они могут быть предельными (этан, изобутан, или непредельными (этилен, ацетилен, изопрен), в зависимости от типа связи некоторых углеродных звеньев.
Классификация органических веществ, относящихся к циклическим соединениям, подразумевает дальнейшее разделение их на группу карбоциклических и группу гетероциклических углеводородов.
Карбоциклические «кольца» составлены лишь атомами углерода. Они могут быть алициклическими (насыщенными и ненасыщенными), а также являться ароматическими карбоциклическими соединениями. В алициклических соединениях просто происходит соединение двух концов углеродной цепочки, а вот ароматические в своей структуре имеют так называемое бензольное кольцо, которое оказывает существенное влияние на их свойства.
В гетероциклических веществах можно встретить атомы других веществ, наиболее часто эту функцию выполняет азот.
Следующим составляющим элементом, влияющим на свойства органических веществ, является наличие функциональной группы.
Для галогенопроизводных углеводородов в качестве функциональной группы может выступить один, а то и несколько атомов галогенов. Спирты получают свои свойства благодаря наличию гидроксогрупп. Для альдегидов характерной особенностью является наличие альдегидных групп, для кетонов - карбонильных групп. Карбоновые кислоты отличаются тем, что в их состав входят карбоксильные группы, а амины обладают аминогруппой. Для нитросоединений характерно наличие нитрогруппы.
Многообразие видов углеводородов, а также их свойств, основано на самом различном типе комбинирования. К примеру, состав одной молекулы может включать две и более одинаковых, а иногда и различных функциональных группы, определяя специфические свойства этого вещества глицерин).
Большую наглядность даст для рассмотрения вопроса (классификация органических веществ) таблица, которую легко можно составить на основе информации, изложенной в тексте данной статьи.
Органические вещества - это такие соединения, которые имеют в своем составе атом Карбона. Еще на ранних этапах развития химии все вещества разделяли на две группы: минеральные и органические. В те времена считали, что для того, чтобы синтезировать органическое веществонеобходимо иметь небывалую «жизненную силу», которая присущая только живым биосистемам. Поэтому осуществить синтез органических веществ из минеральных невозможен. И лишь в начале 19 века Ф. Веллер опровергнул существующее мнение и синтезировал карбамид из цианата аммония, то есть он получил органическое вещество из минерального. После чего рядом ученных были синтезированы хлороформ, анилин, ацетатная кислота и множество других химических соединений.
Органические вещества лежат в основе существования живой материи, а также являются основными продуктами питания для человека и животных. Большинство органических соединений являются сырьем для разных отраслей промышленности - пищевой, химической, легкой, фармацевтической и т.д.
На сегодня известно более 30 млн. разнообразных органических соединений. Поэтому органические веществапредставляют наиболее обширный класс Разнообразие органических соединений связано с уникальными свойствами и структурой Карбона. Соседние атомы Карбона связываются между собой одинарными или кратными (двойной, тройной) связями.
Характеризируются наличием ковалентных связей С-С, а также полярных ковалентных связей С-N, C-O, C-Hal, C-металл и т.д. Реакции, проходящие с участием органических веществ, имеют некоторые особенности по сравнению с минеральными. В реакциях неорганических соединений, как правило, участвуют ионы. Зачастую такие реакции очень быстро проходят, иногда мгновенно при оптимальной температуре. В реакциях с обычно участвуют молекулы. Следует сказать, что в этом случае одни ковалентные связи разрываются, а другие при этом образуются. Как правило, данные реакции протекают значительно медленнее, а для их ускорения необходимо повысить температуру или использовать катализатор (кислота или основание).
Как образуются органические вещества в природе? Большая часть органических соединений в природе синтезируется в из диоксида карбона и воды в хлорофиллах зеленых растений.
Классы органических веществ.
Основана на теории О. Бутлерова. Систематическая классификация является фундаментом научной номенклатуры, что дает возможность назвать органическое вещество, исходя из существующей структурной формулы. Классификация основана на двух основных признаках - структуре карбонового скелета, количеству и размещению функциональных групп в молекуле.
Карбоновый скелет - это стабильная в разных часть молекулы органического вещества. В зависимости от его строения все органические вещества разделяются на группы.
К ациклическим соединениям относят вещества с прямой или разветвленной углеродной цепью. К карбоциклическим соединениям относят вещества с циклами, их разделяют на две подгруппы - алициклические и ароматические. Гетероциклические соединения - вещества, в основе молекул которых циклы, образованы атомами Карбона и атомами других химических элементов (Оксиген, Нитроген, Сульфур), гетероатомами.
Также органические вещества классифицируют по наличию функциональных групп, которые входят в состав молекул. Например, классы углеводородов (исключение - в их молекулах нет функциональных групп), фенолов, спиртов, кетонов, альдегидов, аминов, эфиров, карбоновых кислот, и т.д. Следует помнить, что каждая функциональная группа (СООН, OH, NH2, SH, NH, NO) обуславливает физико-химические свойства данного соединения.
