Степень уравнения с двумя переменными примеры. Тема урока: "Уравнение с двумя переменными и его график". Что означает линейное уравнение

Инструкция

Степень уравнения - это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения .

Совет 2: Как определить окислительно-восстановительные уравнения

Химическая реакция – это процесс превращения веществ, протекающий с изменением их состава. Те вещества, которые вступают в реакцию, называются исходными, а те, которые образуются в результате этого процесса – продуктами. Бывает так, что в ходе химической реакции элементы, входящие в состав исходных веществ, изменяют свою степень окисления. То есть они могут принять чужие электроны и отдать свои. И в том, и в другом случае меняется их заряд. Такие реакции называются окислительно-восстановительными.

Инструкция

Запишите точное уравнение химической реакции, которую вы рассматриваете. Посмотрите, какие элементы входят в состав исходных веществ, и каковы степени окисления этих элементов. После этого сравните эти показатели окисления тех же элементов в правой части реакции.

Вот, например, широко известная обнаружения сульфат-иона SO4 ^2-. Ее суть в том, что соль бария, которая имеет формулу BaSO4, практически нерастворима в воде. При образовании она мгновенно выпадает в виде плотного тяжелого белого осадка. Запишите какое-либо уравнение подобной реакции, например, BaCl2 + Na2SO4 = BaSO4 + 2NaCl.

Итак, из реакции вы видите, что кроме осадка сульфата бария

Уравнение представляет собой математическое соотношение, которое отражает равенство двух алгебраических выражений. Чтобы определить его степень, необходимо внимательно посмотреть на все присутствующие в нем переменные.

Инструкция

• Решение любого уравнения сводится к нахождению таких значений переменной х, которые после подстановки в исходное уравнение дают верное тождество - выражение, не вызывающее никаких сомнений.
• Степень уравнения - это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения .
• Уравнения бывают разных степеней. К примеру, линейные уравнения вида ax+b=0 имеют первую степень. В них присутствуют только неизвестные в названной степени и числа. Важно отметить отсутствие дробей с неизвестной величиной в знаменателе. Любое линейное уравнение сводится к изначальному виду: ax+b=0, где b может являться любым числом, а a - любым, но не равным 0. Если вы привели запутанное и длинное выражение к надлежащему виду ax+b=0, можно с легкостью найти не более одного решения.
• Если в уравнении есть неизвестное во второй степени, оно является квадратным. Кроме того, в нем могут быть и неизвестные в первой степени, и числа, и коэффициенты. Но в таком уравнении отсутствуют дроби с переменной в знаменателе. Любое квадратное уравнение, подобно линейному, сводится к виду: ax^2+bx +c=0. Здесь a, b и с – любые числа, при этом число a не должно быть равным 0. Если, упрощая выражение, вы обнаружили уравнение вида ax^2+bx+c=0, дальнейшее решение довольно простое и предполагает не более двух корней. В 1591 году Франсуа Виет вывел формулы для нахождения корней квадратных уравнений. А Евклид и Диофант Александрийский, Аль-Хорезми и Омар Хайям использовали геометрические способы нахождения их решений.
• Существует также и третья группа уравнений, которая называется дробными рациональными уравнения ми. Если в исследуемом уравнении присутствуют дроби с переменной в знаменателе, то это уравнение - дробное рациональное или же просто дробное. Чтобы найти решения таких уравнений, надо всего лишь уметь с помощью упрощений и преобразований сводить их к рассмотренным двум известным типам.
• Все остальные уравнения составляют четвертую группу. Их больше всего. Сюда входят и кубические, и логарифмические, и показательные, и тригонометрические их разновидности.
• Решение кубических уравнений состоит также в упрощении выражений и нахождении не более 3 корней. Уравнения, имеющие более высокую степень, решаются разными способами, в том числе и графическим, когда на основе известных данных рассматриваются построенные графики функций и отыскиваются точки пересечений линий графиков, координаты которых и являются их решениями.

«Корень n-ой степени» - Операция извлечение корня является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Какая кривая является графиком функции y = x? ? -Показатель корня. Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют извлечением корня. Решите уравнения: Рассмотрим уравнение: Понятие корня n – й степени из действительного числа.

«Решение уравнений высших степеней» - Рефлексия. Физкультминутка. Найти область определения функции. РАЗМИНКА (проверка д/з). Задания первого этапа. Что значит решить уравнение? Какие виды уравнений записаны на доске? Схема решения линейного уравнения квадратного уравнения биквадратного уравнения. Что записано на доске? Что называется корнем уравнения?

«Степени двойки» - Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Правила перевода из одной системы счисления в другую. 1998 = 1024 +512+256+128+64+16 = =2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2. 3. Сложим десятичные значения. Таким образом: Следовательно, двоичная запись числа 1998 – 11111010000. Теперь переведём в десятичную запись 1011011101.

«Степень с целым показателем» - Вычислите. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. При каких значениях х верно равенство. Представьте выражение в виде степени. Упростите.

«Степени чисел» - Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Франсуа Виет ввёл буквы для обозначения в уравнениях коэффициенты неизвестных. Современные определения и обозначения степени берут начало от работ английских математиков. Степени. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин.

«Степень в корне» - Решить уравнение хn = a; Решить уравнение. Решите уравнение х4 = 1 графически. Тема: Понятие корня n – й степени из действительного числа. Где n – показатель корня, а – подкоренное число. графики пересекаются в точках (-1; 0) и (1; 0). Проблема. Аналогично, что уравнение х4 = 4 имеет два корня -2 и 2.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Уже в начале 2 тысячелетия до н. э. Вавилоняне умели решать системы таких уравнений с двумя переменными. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником для нас является «Арифметика» Диофанта, содержащая различные типы уравнений. В ней Диофант (по его имени и название уравнений – диофантовы уравнения) предвосхищает ряд методов исследования уравнений 2-ой и 3-ой степеней, развившихся только в 19 веке.

Простейшие диофантовы уравнения ах + ву = 1(уравнение с двумя переменными, первой степени) х2 + у2 = z2 (уравнение с тремя переменными, второй степени)

Наиболее полно изучены алгебраические уравнения, их решение было одной из важнейших задач алгебры в 16-17 вв.

К началу 19 века трудами П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса было исследовано диофантово уравнение вида: ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные.

Это уравнение 2-ой степени с двумя неизвестными.

К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов уравнений с двумя переменными (диофантовых уравнений). Существует большое число конкретных диофантовых уравнений, решаемых элементарными способами. /p>

Теоретический материал.

В этой части работы будут описаны основные математические понятия, даны определения терминов, сформулирована теорема о разложении с использованием метода неопределенных коэффициентов, которые были изучены и рассмотрены при решении уравнений с двумя переменными.

Определение 1: Уравнение вида ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0, где a, в, с, d, e, f числа; х, у неизвестные переменные называется уравнением второй степени с двумя переменными.

В школьном курсе математики изучается квадратное уравнение ах2+вх +с=0 , где а,в,с числа х переменная, с одной переменной. Существует много способов решения такого уравнения:

1. Нахождение корней, используя дискриминант;

2. Нахождение корней для четного коэффициента в (по Д1=);

3. Нахождение корней по теореме Виета;

4. Нахождение корней с помощью выделения полного квадрата двучлена.

Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Определение 2: Корень уравнения – это число, которое при подстановке в уравнение образует верное равенство.

Определение 3: Решение уравнения с двумя переменными называется пара чисел (х,у) при подстановки которых в уравнение, оно превращается в верное равенство.

Процесс разыскивания решений уравнения очень часто заключается обычно в замене уравнения равносильным уравнением, но более простым при решении. Такие уравнения называются равносильными.

Определение 4: Два уравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого уравнения, и наоборот, причем оба уравнения рассматриваются в одной и той же области.

Для решения уравнений с двумя переменными используют теорему о разложении уравнения на сумму полных квадратов (методом неопределенных коэффициентов).

Для уравнения второго порядка ах2 + вху + су2 + dx + ey + f = 0 (1) имеет место разложение а(х +ру +q)2 + r(y+s)2 +h (2)

Сформулируем условия, при которых имеет место разложение (2) для уравнения (1) двух переменных.

Теорема: Если коэффициенты а,в,с уравнения (1) удовлетворяют условиям а0 и 4ав – с20, то разложение (2) определяется единственным способом.

Другими словами уравнение (1) с двумя переменными можно с помощью метода неопределенных коэффициентов привести к виду (2), если выполнены условия теоремы.

Рассмотрим на примере, как реализуется метод неопределенных коэффициентов.

СПОСОБ №1. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов

2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

1. Проверим выполнение условия теоремы, а=2, в=1, с=2, значит, а=2,4ав – с2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Условия теоремы выполнены, можно разложить по формуле (2).

3. 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h, исходя из условий теоремы обе части тождества равносильны. Упростим правую часть тождества.

4. 2(х + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(х2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2х2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Приравниваем коэффициенты при одинаковых переменных с их степенями.

х2 2 = 2 у21 = 2p2 + r) ху2 = 4p х2 = 4q у0 = 4pq + 2rs х01 = 2q2 + rs2 + h

6. Получим систему уравнений, решим ее и найдем значения коэффициентов.

7. Подставим коэффициенты в (2), тогда уравнение примет вид

2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

2(х + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), это уравнение равносильно системе двух линейных уравнений.

Ответ: (-1; 1).

Если обратить внимание на вид разложения (3), то можно заметить, что оно по форме идентично выделению полного квадрата из квадратного уравнения с одной переменной: ах2 + вх + с = а(х +)2 +.

Применим этот прием при решении уравнения с двумя переменными. Решим с помощью выделения полного квадрата уже решенное с использованием теоремы квадратное уравнение с двумя переменными.

СПОСОБ №2: Решить уравнение 2 х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

Решение: 1. Представим 2х2 в виде суммы двух слагаемых х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х +1= 0.

2. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было свернуть по формуле полного квадрата.

(х2 + у2 + 2ху) + (х2 + 2х +1)= 0.

3. Выделим полные квадраты из выражений в скобках.

(х + у)2 + (х + 1)2 = 0.

4. Данное уравнение равносильно системе линейных уравнений.

Ответ: (-1;1).

Если сравнить результаты, то видно, что уравнение, решенное способом №1 с использованием теоремы и методом неопределенных коэффициентов и уравнение, решенное способом №2, с помощью выделения полного квадрата имеют одинаковые корни.

Вывод: Квадратное уравнение с двумя переменными можно разлагать на сумму квадратов двумя способами:

➢ Первый способ – это метод неопределенных коэффициентов, в основе которого лежит теорема и разложение (2).

➢ Второй способ – с помощью тождественных преобразований, позволяющих выделить последовательно полные квадраты.

Конечно же, при решении задач второй способ является предпочтительнее, т. к. не требует запоминания разложения (2) и условия.

Этот метод можно применять и для квадратных уравнений с тремя переменными. Выделение полного квадрата в таких уравнениях более трудоемко. Такого вида преобразованиями я буду заниматься в следующем году.

Интересно заметить, что функцию, имеющую вид: f(х,у)= ах2 + вху + су2 + dx + ey + f, называют квадратичной функцией двух переменных. Квадратичным функциям принадлежит важная роль в различных разделах математики:

В математическом программировании (квадратичное программирование)

В линейной алгебре и геометрии (квадратичные формы)

В теории дифференциальных уравнений (приведение линейного уравнения второго порядка к каноническому виду).

При решении этих различных задач, приходится, по сути, применять процедуру выделения полного квадрата из квадратного уравнения (одной, двух и более переменных).

Линии, уравнения которых, описываются квадратным уравнением двух переменных, называются кривыми второго порядка.

Это окружность, эллипс, гипербола.

При построении графиков этих кривых так же используется метод последовательного выделения полного квадрата.

Рассмотрим, как работает метод последовательного выделения полного квадрата на конкретных примерах.

Практическая часть.

Решить уравнения, методом последовательного выделения полного квадрата.

1. 2х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0; х2 + х2 + у2 + 2ху + 2х + 1 = 0;

(х +1)2 + (х + у)2 = 0;

Ответ:(-1;1).

2. х2 + 5у2 + 2ху + 4у + 1 = 0; х2 + 4у2 + у2 + 2ху + 4у + 1 = 0;

(х + у)2 + (2у + 1)2 = 0;

Ответ:(0,5; - 0,5).

3. 3х2 + 4у2 - 6ху - 2у + 1 = 0;

3х2 + 3у2 + у2 – 6ху – 2у +1 = 0;

3х2 +3у2 – 6ху + у2 –2у +1 = 0;

3(х2 - 2ху +у2) + у2 - 2у + 1 = 0;

3(х2 - 2ху + у2)+(у2 - 2у + 1)=0;

3(х-у)2 + (у-1)2 = 0;

Ответ:(-1;1).

Решить уравнения:

1. 2х2 + 3у2 – 4ху + 6у +9 =0

(привести к виду: 2(х-у)2 + (у +3)2 = 0)

Ответ: (-3; -3)

2. – 3х2 – 2у2 – 6ху –2у + 1=0

(привести к виду: -3(х+у)2 + (у –1)2= 0)

Ответ: (-1; 1)

3. х2 + 3у2+2ху + 28у +98 =0

(привести к виду: (х+у)2 +2(у+7)2 =0)

Ответ: (7; -7)

Заключение.

В данной научной работе были изучены уравнения с двумя переменными второй степени, рассмотрены способы их решения. Поставленная задача выполнена, сформулирован и описан более краткий способ решения, основанный на выделении полного квадрата и замене уравнения на равносильную систему уравнений, в результате упрощена процедура нахождения корней уравнения с двумя переменными.

Важным моментом работы является то, что рассматриваемый прием применяется при решении различных математических задач связанных с квадратичной функцией, построением кривых второго порядка, нахождением наибольшего (наименьшего) значения выражений.

Таким образом, прием разложения уравнения второго порядка с двумя переменными на сумму квадратов имеет самые многочисленные применения в математике.

Линейное уравнение первой степени с двумя переменными.

Линейное уравнение первой степени с двумя переменными – это уравнение вида ax + by = c, где x и y – неизвестные, a, b, c – некоторые числа, при этом хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю. Числа a и b называются коэффициентами при неизвестных, c – свободным членом .

Подобное определение не всегда сразу понятно, и, безусловно, требует дополнительных разъяснений. Попробуем объяснить.

Что означает уравнение с двумя переменными?

Тут все просто. Это уравнение, в котором присутствует сразу два неизвестных числа. Для какой задачи мы можем использовать подобную математическую модель? Например, в 7 Б классе учатся 18 человек. Причем неизвестно, сколько девочек и сколько мальчиков. Пусть мальчиков будет x, а девочек y. Таким образом, у нас получается такое уравнение:
x + y = 18. Заметим, что у нас много вариантов значений x и y, при которых наше уравнение обратится в верное числовое равенство. Например, x = 10, y = 8 или x = 5, y = 13 и т.д.

Такую пару чисел, при которой уравнение с двумя переменными обращается в верное равенство, называют решением уравнения . К примеру, x = 2 и y = 16 – решение уравнения x + y = 18. Это решение можно записать и в кратком виде - (2; 16). Важно при этом соблюдать порядок записи чисел. В уравнении вида ax + by = c решение записывается именно в таком порядке – (x; y). То есть сначала x, потом y.

Насколько много решений у уравнения с двумя переменными?

Обычно, если коэффициенты a и b не равны нулю, решений уравнения с двумя переменными бесконечное множество. Действительно, если подставлять в уравнение значения x, всегда можно будет определить соответствующее значение y, при котором уравнение обратится в верное равенство. Но бывает и такое, когда уравнение с двумя переменными не имеет решений. Такое возможно, когда, например, коэффициенты a и b равны нулю, а свободный член c ≠ 0.

Что означает уравнение первой степени?

Это означает что степень, в которую возводятся переменные этого уравнения – 1. То есть, у нас нет в уравнении переменных, которые мы возводим в квадрат, куб, четвертую степень, извлекаем корень и т.д.

Что означает линейное уравнение?

Линейное уравнение – это уравнение прямой линии. В этом легко убедиться, вспомнив понятие координатной плоскости . Мы знаем, что каждой паре чисел соответствует единственная точка на координатной плоскости. Теперь возьмем, к примеру, уравнение x + y = 2. Во множество решений данного уравнения попадают такие пары чисел: (0; 2), (2; 0), (1; 1), (5; -3), (-2; 4). Построим эти точки и проведем через них прямую m.

Мы получили график прямой m. Каждая точка этой прямой имеет координаты, являющиеся решением уравнения x + y = 2, или еще говорят, что каждая точка удовлетворяет уравнению x + y = 2. Вообще для того чтобы построить прямую, достаточно найти 2 пары чисел, удовлетворяющих линейному уравнению. И через точки с данными координатами можно строить прямую.

Дата публикации: 08.09.2014 10:09 UTC

• Универсальные учебные действия, Рабочая тетрадь по алгебре, 7 класс, Ерина Т.М., Ерина М.Ю., 2019
• Алгебра, 7 класс, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е., 2013
• Алгебра, 7 класс, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е., 2008

Следующие учебники и книги:

• Уроки математики, Методические рекомендации к учебнику для 1 класса, Пособие для учителей, Истомина Н.Б., Немкина Е.С., Попова С.В., Редько З.Б., 2013