В окружность вписан угол асв величиной 126. Вписанный угол. Задание В7. Задания с решением

Вычисление углов II

1. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 126 o . Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 63 o , 62 o , 90 o и 145 o . Найдите угол В этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
3. Точки A, B, C и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1: 4: 12: 19. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
4. Точки A, B, C и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1: 5: 10: 20. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 58 o , угол CAD равен 43 o . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
6. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25 o и 51 o . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
7. Углы А, В и С четырехугольника АВСD относятся как 1: 13: 17. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
8. Центральный угол на 45 o больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
9. Центральный угол на 47 o больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
10. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
11. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
12. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 10% окружности. Ответ дайте в градусах.
13. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, составляет 180 o . А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 45 o . Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
14. Точки А, В и С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1: 4: 13. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
15. АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 35 o . Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
16. AС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 39 o . Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
17. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 6 o . Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.
18. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 114 o . Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.
19. В угол С величиной 107 o вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ, где точка О - центр окружности. Ответ дайте в градусах.
20. Касательные в точка А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 2 o . Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.
21. Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 67 o и 25 o . Ответ дайте в градусах.
22. Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 75 o . Найдите .
23. Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54 o . Найдите .
24. Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 30 o . Найдите .

Урок по теме « Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы» 8 класс. Цели урока: - повторить определения касательной, видов углов, закрепить знания по теме, научить поиску решения нестандартных задач; - активизировать самостоятельность и познавательную деятельность учащихся, научить применять полученные знания на практике. Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Теоретическая разминка. 3. Тест « Верите ли Вы, что…» 4. Устная работа по готовым чертежам. 5. Тест по форме ГИА (части А и В). 6. Различные способы решения одной задачи. 7. Софизм и окружность. 8. Проект « Найди центр круга». 9. Итоги. 10.Рефлексия. 1. Вступительное слово учителя. Сегодня на уроке мы обобщим знания по теме «Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы», проверим теоретическую подготовку по данному разделу, закрепим умения решать задачи по готовым чертежам и навыки решения тестовых заданий, рассмотрим различные способы решения одной задачи и обратимся к математическим софизмам, как к средству развития интереса к математике. 2. Теоретическая разминка. - дайте определение окружности. - что называется хордой - какой отрезок является радиусом окружности. - каково может быть взаимное расположение прямой и окружности. - какая прямая называется касательной - сформулируйте свойство касательной - какой угол называется центральным - чему равна градусная мера дуги. - какой угол называется вписанным. - сформулируйте теорему о вписанном угле. - какие следствия из него знаете. - чему равен угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания. - сформулируйте теорему о двух пересекающихся хордах. - сформулируйте теорему о квадрате касательной. Белая Ирина Вячеславна 3. Тест «Верите ли вы, что…» (каждому ученику выдается лист с высказываниями; если он согласен с ним ставит знак +, если нет -) 1 вариант. 1. Верите ли вы, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу? 2. Верите ли вы, что угол, проходящий через центр окружности, называется центральным углом? 3. Верите ли вы, что хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности? 4. Верите ли вы, что градусная мера полуокружности равна 180º? 5. Верите ли вы, что любые две точки окружности делят ее на две дуги? 6. Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180º? 7. Верите ли вы, что отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности называется диаметром? 8. Верите ли вы, что если две хорды пересекаются, то сумма отрезков одной хорды равна сумме отрезков другой хорды? 9. Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90º, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу 45º? 10. Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны? 11. Верите ли вы, что прямая и окружность могут иметь одну, две, три общие точки? 2 вариант. 1. Верите ли вы, что окружность – это геометрическая фигура, состоящая из точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии? 2. Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается? 3. Верите ли вы, что хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром? 4. Верите ли вы, что величина центрального в два раза больше величины дуги, на которую он опирается? 5. Верите ли вы, что для изображения окружности на чертеже используют циркуль? 6. Верите ли вы, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º? 7. Верите ли вы, что прямая, проходящая через середину хорды перпендикулярна этой хорде? 8. Верите ли вы, что дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности? 9. Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности? 10. Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность, называется вписанным углом? 11. Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники? Ответы. 1 вариант. --+++---++2 вариант. -++-++-+--+ 2 Белая Ирина Вячеславна 4. Устная работа по готовым чертежам. 1. 1) Найти ОА. (24) 2. 1) Найти угол АВС. (40) 3. 2) ОА=5, найти ОВ. (5√2) 2) Найти угол АВС. (130) 1) Найти углы АОD и ACD. 2) Найти угол АВС. (80; 40) (120) 4. 1) Найти DE. (4) 3) АВ =12, ОВ = 13 ; найти ОА. (5) 3) Найти углы А и С. (53 ; 90) 3) Найти угол ВСD. (110) 2) Найти CD. (6) 3 Белая Ирина Вячеславна 5. Тестирование по материалам ГИА (уровень Аи В). Вариант 1. 1. Угол АСВ на 38о меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ а) 96о; б) 114о; в) 104о; г) 76о; 2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО. а) 60о; б)40о; в) 30о; г) 45о 3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126о а) 112о; б) 123о; в) 117о; г) 113о; 4 Белая Ирина Вячеславна Вариант 2. 1. Угол МСК на 34о меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112о; б) 102о; в) 96о; г) 68о; 2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50о; б) 60о; в) 30о; г) 45о; 3. О – центр окружности, угол L =136о. Найдите угол В. а) 108о; б) 118о; в) 112о; г) 124о; Вариант 3. 1. Угол EFG на 42о меньше угла EOG найдите сумму углов. а) 102о; б) 126о; в) 84о; г) 116о; 2. KL – диаметр окружности, О – ее центр. КО=ОМ=КМ. Найдите угол ОМL. а) 60о; б) 40о; в) 30о; г) 45о; 3. Угол EOD – центральный, угол EFD – вписанный, найдите угол EFD, если угол EOD=174о. а) 116о; б) 120о; в) 93о; г) 103о; Ответы к тесту: 1 2 3 1 Вариант Б В В 2 Вариант Б В В 3 Вариант Б В В 6. Различные способы решения одной задачи 5 Белая Ирина Вячеславна Задана была задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. (Рис. 1) Ученики могут решать эту задачу двумя способами, если нашли только один способ решения, то можно по усмотрению комментировать другой. I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто; 360о/5/2*5=180о. II способ: Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому

В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются .

Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на .

1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:

2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:

Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.

В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.

3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального :

4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:

5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:

Решим несколько задач.

1 . Задание B7 (№ 27887)

Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:

Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°

Ответ: 45°

2 .Задание B7 (№ 27888)

Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.

Ответ: 135°

3 . Задание B7 (№ 27890)

Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:

Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.

Ответ: 45°.

4 . Задание B7 (№ 27885)

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.

Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°

Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.

Рассмотрим треугольник ADC:

Сумма углов треугольника равна 180°.

Величина угла АСВ равна 180°- (121°+19°)=40°

Ответ: 40°

5 . Задание B7 (№ 27872)

Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°

Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°

Ответ: 108°

6 . Задание B7 (№ 27873)

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

(см. чертеж предыдущей задачи)

Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:

АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.

4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.

Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.

Следовательно, угол А равен 60°

Ответ: 60°

7 . Задание B7 (№ 27874)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD

Угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки, называется вписанным.

ТЕОРЕМА Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия:

все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, заключенных между его сторонами

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

ТЕОРЕМА Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла.

Задания с решением

1. Найдите величину угла АВС . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Построим квадрат со стороной АС.

Тогда видно, что угол АВС опирается на окружности, то есть на дугу 90º. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

2. Хорда АВ делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 6:12. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ . Пусть большая часть окружности равна 12х, тогда меньшая равна 6х. Вся окружность составляет 360º.

Получаем уравнение 12х+6х=360º.Откуда х=20º.

Угол АСВ опирается на большую дугу окружности, которая равна 12·20º=240º.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен

Ответ 120º

3. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 84º. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол АВС – это угол между касательной и хордой. Он измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла. Дуга внутри угла равна 84º.Значит

4. К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

Пусть ОА=36, ОС=85.Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора получаем

5. К окружности из точки С вне ее проведены касательная АС и секущая СD, пересекающая окружность в точке В . Сумма длин касательной и секущей равна 30см, а внутренний отрезок секущей на 2см короче касательной. Найти длины касательной и секущей.

Пусть АС=х, а СD=у . Тогда х+у =30, а DB=AC -2=x -2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x -2)=y-x +2. По теореме, если из точки вне круга проведены к нему касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть . Тогда

Получаем систему

. х =80 не подходит так как у >0 Поэтому получаем

Касательная АС =12, секущая CD =18.

Ответ 12 и 18

6. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Построим на данном чертеже квадрат

Тогда становится очевидно, что сектор составляет одну четверть круга.

Радиус равен половине диагонали квадрата, сторона которого равна 4.

Тогда площадь сектора вычислим по формуле

Тогда искомая величина равна

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 90º, вписанный в окружность радиуса 1.
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 30º, вписанный в окружность радиуса 3.
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.	Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 120º, вписанный в окружность радиуса .
Центральный угол на 34º больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.	Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.	Угол ACO равен 25º, где O - центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O- центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 110º. Ответ дайте в градусах.	Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 116º и 36º . Ответ дайте в градусах.
Угол ACB равен 50º. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 130º. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.	Хорда AB стягивает дугу окружности в 86º. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 28º. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.	Через концы A, B дуги окружности в 72º проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 112º. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.	Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а дуга меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 62º. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке - центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается . Значит, центральный угол величиной в 90 градусов будет опираться на дугу, равную 90°, то есть круга. Центральный угол, равный 60°, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу .

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.

2. Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен х, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен у.

Мы знаем, что х = 2у.
Отсюда 2у = 36 + у,
у = 36.

3. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда АВ равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим α.
В треугольнике АОВ стороны АО и ОВ равны 1, сторона АВ равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный, то есть угол АОВ равен 90°.
Тогда дуга АСВ равна 90°, а дуга АКВ равна 360° - 90° = 270°.
Вписанный угол α опирается на дугу АКВ и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135°.

Ответ: 135.

4. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче - правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»
Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде АВ. Так, как будто хорда АВ - это экран в кинотеатре:-)
Очевидно, что найти нужно угол АСВ.
Сумма двух дуг, на которые хорда АВ делит окружность, равна 360°, то есть
5х + 7х = 360°
Отсюда х = 30°, и тогда вписанный угол АСВ опирается на дугу, равную 210°.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол АСВ равен 105°.